ББК 22.161.6 С17 УДК 517.2 Рецензент—д-р физ.-мат. наук, проф. А. Ф. Филиппов Самоиленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. С17 Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие.—2-е изд., перераб.—М.: Высш. шк., 1989.— 383 с.: ил. ISBN 5-06-000557-7 В пособии приводятся краткие теоретические сведения и решения типовых вадач по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Имеются также задачи для самостоятельного решения. Материал пособия позволяет вырабо- тать практические навыки в решении и исследовании дифференциальных урав- нений, описывающих эволюционные процессы в различных областях естество' знания. Первое издание вышло в 1984 г, в издательстве «Вища школа». „ „ 1602070100(4309000000)—512 ... .. ББК 22.161.6 с—————001(01)-89——————91-89 517 ISBN 5-06-000557-7 © А. М. Самойленко. С. А. Кривошея. Н. А. Перестюк, 1989 ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие посвящено методам решения и качественного иссле- дования задач из курса обыкновенных дифференциальных урав- нений. Цель книги—помочь студентам в формировании их математического мышления, в выработке практических навы- ков решения и исследования дифференциальных уравнений, описывающих эволюционные процессы в различных областях естествознания. В пособии должное внимание уделено изложению методов решения типовых задач теории обыкновенных дифференциаль- ных уравнений и их приложений; подбору и решению задач, разъясняющих основные идеи, понятия, теоретические факты и их практическое применение; подбору большого числа задач для самостоятельного решения студентами. Содержание пособия полностью охватывает программу по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений для универ- ситетов и педагогических институтов, а также для технических вузов с углубленным изучением математики. Первое издание пособия вышло в 1984 г. в Киеве в изда- тельстве «Вища школа». Настоящее издание существенно сокра- щено, некоторые параграфы переработаны. Авторы выражают благодарность рецензенту профессору А. Ф. Филиппову за полезные замечания и советы, способство- вавшие улучшению настоящего издания, а также рецензентам первого издания доцентам А. И. Зинченко и Ю. А. Клиху. Авторы ВВЕДЕНИЕ При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный про- цесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т. е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциаль- ными. Простейшим примером дифференциального уравнения яв- ляется уравнение Щм. где f(x}—известная, а у==у(х)—искомая функции независи- мого переменного х. Решения этого уравнения называют перво- образными функциями для функции f(x). Например, решениями дифференциального уравнения —/- = 1 + sin 2л- являются функ- ции у=х—-у- cos 2х + С, где С—произвольная постоянная, причем других решений это уравнение не имеет. Характерное свойство дифференциальных уравнений—иметь бесконечное множество решений. В этом смысле приведенный выше пример типичен. Поэтому, решив дифференциальное урав- нение, описывающее эволюцию некоторого процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характе- ризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача недоопределена и аналогична такой: «Автомо- биль движется по прямолинейному шоссе в направлении к го- роду А с постоянной скоростью у». Через какое время он при- едет в город Л?». Обозначив путь, пройденный автомобилем за время / от начала наблюдения, через s=-s{t), получим закон движения автомобиля: —==У|)- Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, необ- ходимо знать начальное положение автомобиля, т. е. на каком расстоянии от города Л находится автомобиль в начальный момент. Рассмотрим несколько конкретных задач, приводящих к диф- ференциальным уравнениям. Задача 1. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество Ny бактерий. Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Найти зависимость роста числа бактерий с тече- нием времени. Решение. Обозначим через N (t) количество размножаю- щихся бактерий в момент времени t: N(0)=N,. Отвлекаясь от того, что численность может измеряться только целыми числами, считаем, что N (t) изменяется во времени непрерывно дифференцируемо. Тогда скорость размножения есть производ- ная от функции N (t); поэтому указанный в условии задачи биологический экспериментальный закон позволяет составить дифференциальное уравнение размножения бактерий: dN (t) (1) •=kN{t), k>0. dt Коэффициент k зависит от вида бактерий и условий, в кото- рых они находятся. Его можно определить экспериментально. Задача свелась к чисто математической задаче: найти реше- ние N=N{t) уравнения (1), для которого N{0)=Ny. Поскольку N(t)>0, разделив обе части уравнения (1) на N{t), получим -.т (In N {t))= k. Отсюда \nN(t)=kt+C^, (2) где С\—произвольная постоянная; обозначим ее так: Ci=lnC, С>0. Из (2) имеем Л?(0=Се". (3) Чтобы из множества функций (3) выделить ту, которая описывает процесс размножения бактерий, воспользуемся усло- вием N(0}=Ny, откуда Ny=C. Окончательно получим N{t)=N^, (4) т. е. численность бактерий возрастает по показательному закону. Дифференциальное уравнение (5) рассмотренное в предыдущей задаче, описывает разнообразные процессы и зависимости между величинами, в которых искомая функция у=у(х) может быть не только положительной. Прежде чем перейти к рассмотрению еще нескольких задач, приводящих к уравнению (5), разработаем теорию этого уравнения, считая, что k—фиксированное действительное число. Решениями уравнения (5) являются те и только те функции У==у(х), производная которых в каждой точке отличается от значения функции в этой точке лишь множителем k. ЛИТЕРАТУРА 1. Арнольд В. II. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния.—М.: Наука, 1971. 2. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости.—М.: Наука. 1971. 3. Гудыменко Ф. С., Павлюк И. А., Волкова В. А. Сбор- ник задач но дифференциальным уравнениям.—Киев: Вища школа, 1972. 4. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II.—М.: Высшая школа, 1986. 5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчи- вости.—М.: Наука, 1967. 6. Е р у г и н Н. П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.—Киев: Вища школа, 1974. 7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—М.: Наука, 1971. 8. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные Дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления.—М.: Наука, 1980. 9. Киселев А. И., Краснов М. А., Макаренко Т. И. Сбор- ник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—М.: Выс- шая школа, 1965. 10. Л и зоркий П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа.—М.: Наука, 1981. 11. Ляшко И. И. н др. Дифференциальные уравнения.—Киев: Вища школа, 1981. 12. .Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновен- ным дифференциальным уравнениям.—Минск: Вишэйшая школа, 1970. 13. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных диф- ференциальных уравнений.— Минск: Вышэйшая школа, 1974. 14. П е т р о в с к и и И. Г. Лекции по теории обыкновенных диффе- ренциальных уравнений.—М.: Наука, 1970. 15. Пономарев К. К, Составление дифференциальных уравне- ний.—Минск: Вышэйшая школа, 1973. 16. П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния.—М.: Наука, 1974. 17. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.—М.: ГИТТЛ, 1952. 18. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния.—М.: Наука, 1980. 19. Филиппов А. Ф. Сботжик задач по дифференциальным урав- нениям.—М.: Наука, 1979. 20. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Мир, 1970. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ........................... 3 Введение............................. 4 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка ....... 17 § 1. Общие понятия и определения. ............... 17 § 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися перемен- ными ............................ 28 § 3. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям первого порядка........................... 35 § 4. Однородные уравнения ................... 50 § 5. Линейные уравнения первого порядка ............ 60 § 6. Уравнения в полных дифференциалах ............ 74 § 7. Существование и единственность решения задачи Коши ... 84 § 8. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. ........................ 95 Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков ...... 113 § 9. Уравнения, разрешаемые в квадратурах. Уравнения, допу- скающие понижение порядка ................ 113 § 10. Общие свойства линейных дифференциальных уравнений . , 132 § 11. Линейные однородные уравнения .............. 141 § 12. Линейные неоднородные уравнения ............ 170 § 13. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффи- циентами ...... .................... 184 § 14. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффи- циентами .......................... 202 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка , . 221 § 15. Преобразования уравнений и свойства их решений ..... 221 § 16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов ...................... 224 § 17. Гипергеометрическое уравнение ............... 232 § 18. Уравнение Бесселя ..................... 241 § 19. Краевые задачи. ...................... 247 Глава 4. Системы дифференциальных уравнений .......... 258 § 20. Общие вопросы теории систем в нормальной и симметричной формах........................... 258 § 21. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений 270 § 22. Линейные системы с постоянными коэффициентами ..... 276 § 23. Линейные неоднородные системы .............. 294 382 Глава 5. Устойчивость решений дифференциальных уравн ний . . . 310 § 24. Понятие устойчивости решения ............... 310 § 25. Устойчивость решений линейных однородных систем диффе- ренциальных уравнений .................. 314 § 26. Критерий устойчивости по первому приближению. ..... 323 § 27. Исследование устойчивости мегодом функций Ляпунова. , . 330 § 28. Фазовая плоскость ..................... 338 Дополнение. Дифференциальные уравнения первого порядка с част- ными производными .................. 362 Ответы.............................. 355 Литература. ........................... 381 Учебное издание Самойленко Анатолий Михайлович Кривошея Сергей Арсентьгвич Перестюк Николай Алексеевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Редакторы Е. В. Зернов, А. М. Су- ходский. Мл. редакторы Г. В. Вятоха, Н. П. Майкова. Оформление художника Н. Ю. Бабиковой. Художественный редактор М. Г. Миц- кевич. Технический редактор Э. М. Чижевский. Корректор Р. К. Ко- синова ИБ № 6761 Изд. № ФМ-909. Сдано в набор 17.04.89. Подп. в печать 03.10.89. Формат 60Х90/16 Бум. кн.-жури. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 24,0 усл. печ. л. 24,0 усл. кр.-отт. 23,76 уч.-изд. л. Тираж 60000 экз. Зак. № 2314. Цена 1 р. 20 к. Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14. Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» Государственного комитета СССР по печати. 113054, Москва, Валовая, 28 А. М. САМОЙЛЕНКО, С. А. КРИВОШЕЯ, Н. A. HfcFtLlW«<> ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» !989 22.161.5 К 78 УДК 517.531 Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Тео- рия устойчивости: Учебное пособие, 2-е изд., перераб. и доп.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. Как и другие книги, вышедшие в серии «Избранные главы выс- шей математики для инженеров и студентов втузов», эта книга предназначается в основном для студентов технических вузов, но она может принести пользу и инженеру, желающему восстановить в памяти разделы математики, указанные в заголовке книги. В этом издании по сравнению с предыдущим, вышедшим в 1971 г., расширены параграфы, относящиеся к гармоническим функ- циям, вычетам и их применениям для вычисления некоторых интег- ралов, конформным отображениям. Добавлены также упражнения теоретического характера. В начале каждого параграфа приводятся необходимые теорети- ческие сведения (определения, теоремы, формулы), а также под- робно разбираются типовые задачи и примеры. В книге содержится свыше 1000 примеров и задач для самосто- ятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами, а в ряде случаев даются указания к решению. Рис. 71. Библ. 19 назв. 9П9ПЧ 1П7 ® Чад^^ьство <Наука». Л)ЛМ—Ш/ 17П-1ГГПППП Главная редакция 1\-,.„,„ гц „, 23-81. l/U2UotK)UU физико-математической OoolU^)-81 литературы, 19S1 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ............................. 5 Глава I. Функции комплексного переменном^ ........ 7 § 1. Комплексные числа и действия над ними ........ 7 § 2. Функции комплексного переменного ........... 18 § 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. , 25 • § 4. Дифференцирование функций комплексного переменно- го. Условия Коши—Римана ............... 32 § 5. Интегрирование функций комплексного переменного . . 42 § 6. Интегральная формула Коши ............... 50 § 7. Ряды в комплексной области ............... 56 § 8. Нули функции. Изолированные особые точки...... 72 § 9. Вычеты функций ...................... 79 § 10. Теорема Коши о вычетах. Приложение вычетов к вы- числению определенных интегралов. Суммирование не- которых рядов с помощью вычетов ........... 85 § 11. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше ............................ 106 § 12. Конформные отображения ................ 115 § 13. Комплексный потенциал. Его гидродинамический смысл ............................ 142 Глава II. Операционное исчисление .............. 147 § 14. Нахождение изображений и оригиналов ........ 147 § 15. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи- циентами .......................... 173 § 16. Интеграл Дюамеля .................... 185 § 17. Решение систем линейных дифференциальных уравне- ний операционным методом................ 188 § 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра с ядрами специального вида ..................... 192 § 19. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргу- ментом ........................... 198 § 20. Решение некоторых задач математической физики . . . 201 § 21. Дискретное преобразование Лапласа .......... 204 Глава III. Теория устойчивости ................ 218 § 22. Понятие об устойчивости решения системы дифферен- циальных уравнений. Простейшие типы точек покоя 218 1* ОГЛАВЛЕНИЕ ^ 23. Второй метод Ляпунова ............••••• S 24. Исследование на устойчиность по первому приближе- нию ........•••..•••••••••••„••••' § 25. Асимптотическая устойчивость в целом, ^стоичивость по Лагранжу ............••••••••••• § 26. Критерии Рауса—Гурвица . ........'... • • • § 27. Геометрический критерий устойчивости (критерии Ми- хайлова) ..............••••••••••••• § 28. D-pa36iieiuin ..........••••••••;••••• ^ 29. Устойчивость решений разностный уравнении . . . . . Ответы Приложение Литература . ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящем издании весь текст заново пересмотрен и внесены некоторые дополнения. Увеличен раздел, посвя- щенный теории вычетов и ее приложениям (в частности, введено понятие вычета относительно бесконечно удален- ной точки, применение вычетов .к суммированию некото- рых рядов). Увеличено число 'задач по применению опе- рационного исчисления к изучению некоторых специаль- ных функций (гамма-функции, функции Бесселя и др.), а также число задач на изображение функций, заданных графически. Существенно переработан параграф, посвя- щенный конформным отображениям. Увеличено количество разобранных в тексте примеров. Устранены замеченные неточности и опечатки; некоторые задачи, имеющие гро- моздкие решения, заменены более простыми. При подготовке второго издания книги существенную помощь своими советами и замечаниями нам оказали за- ведующий кафедрой математики Московского института стали и сплавов профессор В. А. Треногин и доцент этой кафедры М. И. Орлов. Считаем своим приятным долгом выразить им нашу глубокую признательность. Мы учли замечания и пожелания кафедры прикладной математики Киевского инженерно-строительного института (заведующий кафедрой доцент А. Е. Журавель), а также замечания товарищей Б, Ткачева (г. Краснодар) и Б. Л. Цаво (г. Сухуми). Всем им мы выражаем нашу благодарность. 0 ПРЕДИСЛОВИЕ у Мы признательны профессорам М. И, Вишику, Ф. И. Карпелевичу, А. Ф. Леонтьеву и С. И. Похожаеву за постоянное внимание и поддержку нашей работы. Все замечания и пожелания по улучшению задачника будут приняты нами с благодарностью. Авторы ГЛАВА I ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Комплексные числа и действия над ними Комплексным, числом г называется выражение вида г=х+1у (алгебраическая форма комплексного числа), где х и у—любые дей- ствительные числа, а I— мнимая единица, удовлетворяющая условию Р==—1. Числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного чис- ла г » обозначаются JC=Rez, i/==lmz. Комплексное число S==x—iy называется сопряженным комплекс- ному числу г=л-+1у. Комплексные числа г, = л", -Т- 1у\ и г, == .Va +'Уа считаются равными тогда и только тогда, когда x^==Xt, У1=У2- Комплексное число г== х -)-»'(/ изображается в плоскости XOY точкой М с координатами {х, у) либо вектором, начало которого находится в точке О (О, 0), а конец в точке М (х, у) (рис. 1). Длина р вектора ОМ называется модулем комплексного числа и обозначается \ г [, так что p==\z \==.Y х^-ту^. Угол ф, образованный вектором ОМ с осью ОХ, называется аргумен- том комплексного числа 'г и обозначается О, IX л -;- arctg у-, если х<0, у Ss О, arg.4 • ; (1) — л + arctg : , если х < 0, у < О, п/2, если х -= 0, у > О, — л/2, если х == 0, у < 0. ЛИТЕРАТУРА 1 Араманович И. Г., Лун ц Г. Л„ Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.—М.: Наука, 1968. 2 Б ар б,ч шин Е, А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. , ,. - 3 Волковыский Л. И., Лунц Г, Л., Араманович И. Г— Сборник задач по теории функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1970. 4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устой- чивости.—М.: Няука, 1967. 5 F в графов М. А, Аналитические функции.— М.: Наука^ !9Ьэ. 6' Евграфов М. А.. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., ' Шабунин М. П., Бежанов К. А. Сборник задач по теории аналитических функций.—М.: Наука, 1969. 7 К ар<-'л о у X., ЕгерД. Операционные методы в прикладной математике.—М.: ИЛ, 1948. 6 К Р а с н о в "Л. Л„ М а к а р е н к о Г. И. Операционное исчисле- ние. Устойчивость движения (задачи и упражнения). — М.: 9 КР^Тчхович Г. И., Мордасов» Г. М., Подольский В. А, Римсккй-Корсаков Б. С„ Сулейманова X. Р., Чегис И. А. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики.—М.: Высшая школа, 1970. Ю. Лаврентьев М. А./Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного пгремеяного.—М.: Наука, 1973. i Н Маркушевич А. И„ М а р к у ш е в и ч Л. А. Введение в теорию аналитических функции.-М.: Просвещение, 1977. 12. Мышки с Л. Д. Матемачика для втузов (специальные курсы}.— М • Наука, 1971. . • 13. Привалов И. И. Введение в теорию функции комплексного переменного.-М.: Наука, 1977. 14 П ч един Б К Специальные разделы высшей математики. Функ. ции комплексного переменного. Операционное исчисление.—М.: '15 Р^мТн ^'сТи и П.' И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитиче. ' окне и специальиые функции. Преобразование Лапласа.-М„ 16 Й^нТк^в А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комп. лексной переменной.-М.: Наука, 19/9. „,-<„„„„ М И 17 Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. и. Лекции по теории функций комплексного переменного.—М.. 18. Ч^н^ев П. И. Высшая математика (специальные главы).—. 19. ^с^оГь^Л13^. Дифференциальные уравнения и вариаци. • Михаил Леонтьевич Краснов Александр Иванович Киселев Григорий Иванович Макаренко ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ (Серия: Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов) Редактор И. Е. Морозона. Техн. редактор И. Ш. Аксельрод Корректор Т. С, Вайсберг ИБ № 11792 Сдано в набор 19.03.81. Подписано к печати 12.08.81. Формат 84Х108'/э2 Бумага тип. № Ц. Условн. печ. л. 15,96. Уч.-иэд. л. 18.51, Тираж 59 000 экз. Заказ № 767. Цена 75 коп, Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудо- вого Красного Знамени Ленинградское произ- водственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М Горького Союзполиграф- прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор- говли. 197136, Ленинград, П-136, Чкалов- ский пр., 15. Отпечатано в тип. № 4 изд-ва «Наука», Новоси». бирск, 77, Станиславского, 25. ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ М.Л.КРАСНОВ А.И.КИСЕЛЕВ Г.И.МАКАРЕНКО ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР , в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМЛТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ 1981 22.18 П93 УДК519.6 Метод линеаризации. Пшеничный Б. Н. - М.: Наука. Главная редак- ция физико-матиматической литературы, 1983. - 136с. Книга посвящена систематическому изложению метода линеаризации - одного из универсальных методов решения общих задач математического программирования, а также его применениям к задачам безусловной оптими- зации, линейного и квадратичного программирования, нахождению решений систем неравенств, задачам минимакса. Изложение доведено до стадии описа- ния конкретных алгоритмов для конкретных задач. Табл. 6 Библ. 47 назв. Борис Николаевич Пшеничный МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ Редакторы Л Д. Вайнштейн, И.В. Викторенкова Тех. редактор С.В. Геворкян Корректоры Т.В. Обод, Т.Д. Печко ИБ № 12230 Сдано в набор 11.11.82. Подписано к печати 22.03.83 Т-06977. Бумага 60Х90/16 офсетная. Печать офсетная Усл.печ.л. 8,50.Уч.изд.л. 8,82 . Тираж 7500 экч. Тип.зак. 562. Цена 1 р. 10 к. Издательство "Наука" Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства "Наука" 630077, Новосибирск, 77, ул. Станиславского, 25 1702070000-072 П ——————————— 25-83 053(02)-83 Издательство "Наука". Главная редакция физико-математической литературы, 1983 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие .......................................... 5 Глава 1. Задачи выпуклого и квадратичного программирования ........ 7 § 1. Введение ......................................... 7 § 2. Необходимые условия минимума и двойственность .............. 12 1. Выпуклые множества ................................. 12 2. Выпуклые функции .................................. 13 3. Основы выпуклого программирования ...................... 15 4. Двойственность в выпуклом программировании ................ 20 5. Необходимые условия экстремума. Общая задача ............... 22 6. Необходимые условия экстремума второго порядка ............. 23 7. Задача о минимаксе .................................. 23 8. Метод штрафных функций ............................. 24 § 3. Задача квадратичного программирования ..................... 27 1. Метод сопряженных направлений ......................... 27 2. Алгоритм метода сопряженных направлений .................. 29 3. Существование решения ............................... 30 4. Необходимые условия экстремума и двойственная задача .......... 31 5. Приложение. Проектирование на подпространство ............... 33 6. Алгоритм для задачи квадратичного программирования ........... 35 7. Вычислительные аспекты .............................. 40 8. Алгоритм для простых ограничений. Обобщение ................ 44 Глава 2. Метод линеаризации ................................. 45 § 4. Общий алгоритм .................................... 45 1. Основные предположения .............................. 46 2. Формулировка алгоритма .............................. 46 3. Сходимость алгоритма .................................. 46 4. Вычислительные аспекты .........'..................... 50 5. Некоторые обобщения ................................ 51 6. Задача линейного программирования ....................... 54 7. Метод линеаризации при ограничениях типа равенств ............. 57 8. Простые ограничения ................................. 58 9. Выбор параметров в методе линеаризации. Модифицированный алгоритм 60 § 5. Решение систем равенств и неравенств ....................... 65 1. Вспомогательная задача ............................... 66 2. Алгоритм ........................................ 66 3. Сходимость алгоритм.). ................................ 66 § 6. Ускорение сходимости метода линеаризации ................... 74 1. Основные предположения .............................. 74 3 2. Локальный анализ вспомогательной задачи ................... 75 3. Предварительные леммы ............................... 80 4. Алгоритм метода линеаризации с ускоренной сходимостью ......... 81 5. Линейные преобразования задачи ......................... 84 6. Модификации метода линеаризации ........................ 87 Глава 3. Задача дискретного минимакса и алгоритмы ................ 94 § 7. Задача дискретного минимакса ........................... 94 1. Вспомогательная задача ............................... 95 2. Некоторые оценки .................................. 97 3. Алгоритмы ....................................... 98 4. Алгоритм при А^ = f^ ............................... 100 5. Ускорение сходимости в выпуклом случае ................... 104 § 8. Двойственный алгоритм для задачи выпуклого программирования . .... 107 1. Двойственный алгоритм ............................... 108 2. Оценка скорости сходимости ............................ 111 3. Алгоритм для задачи выпуклого программирования ............. 115 § 9. Алгоритмы и примеры расчетов ........................... 121 1. Метод линеаризации .................................. 121 2. Ускоренный метод линеаризации .......................... 123 3. Примеры расчетов ................................... 125 Библиографический комментарий ............................ 133 Литература ........................................... 135 ПРЕДИСЛОВИЕ Обычно в предисловии принято писать о практической важности пробле- мы и характеризовать содержание книги. Но практическая важность реше- ния задач оптимизации давно уже не вызывает каких-либо сомнений. Этой тематике посвящена такая обширная научная и научно-популярная литература, что вряд ли есть необходимость еще раз повторять, что теория и методы оптимизации находят приложение в многочисленных пробле- мах экономики, автоматическом управлении, инженерном деле и т.д. С другой стороны, краткое содержание подробно описано в первом ввод- ном параграфе этой книги. В связи с этим на нем также нет смысла останав- ливаться. Вместо этого я позволю себе высказать несколько общих заме- чаний относительно теории и численных методов оптимизации и их взаимо- действия в процессе решения реальной сложной задачи. Электронные вычислительные машины начали применяться для реше- ния задач оптимизации с первых лет своего появления. Первоначально это применение было связано с относительно простыми по своей структу- ре задачами линейного программирования, которые можно было решать разработанными регулярными методами, и со сравнительно несложными нелинейными задачами, решение которых достигалось за счет простых интуитивных соображений в соединении со способностью вычислительной техники производить огромное количество вычислительных операций. Но появление все новых и новых задач возрастающего объема, содержащих сложные нелинейности, не позволяло ограничиться простыми приемами и грубой силой. Решение достаточно общих нелинейных задач требовало как более глубокого теоретического исследования свойств их решений, так и более тонких и сложных приемов для получения численного резуль- тата в разумное для данной конкретной задачи время. Процесс создания та- кого арсенала средств для решения проблемы оптимизации интенсивно раз- вивался в течение последних двадцати лет. Представляется, что метод линеаризации - предмет исследований в настоящей книге - является одним из довольно многих плодов, получен- ных в результате этого процесса. Действительно, метод линеаризации, как это видно из дальнейшего изложения, тесно связан с методом Ньютона решения систем уравнений, методом штрафных функций, в частности, негладких штрафных функций, а в связи с последним обстоятельством и с методами недифференцируемой оптимизации. Успешное применение метода линеаризации невозможно без эффективного решения задач квадратичного программирования, что связывает его с методами сопряженных градиентов и переменной 5 метрики. Желание решать задачи большого объема требует привлечения ап- парата, разработанного в линейном программировании, т.е. приемов работы с разреженными матрицами, мультипликативного представления обратных матриц и т.п. Наконец, исследование области и скорости сходимости невозможно без привлечения теории необходимых условий экстремума, множителей и функций Лагранжа, понятия двойственной задачи. Как следует из сказан- ного, достаточно законченное изложение свойств метода линеаризации невозможно без привлечения широкого круга понятий, разработанного как в самой абстрактной теории, так и при самой конкретной машин- ной реализации. Естественно, что все это в большей или меньшей степени нашло отражение в книге. Не всем вопросам можно было уделить одинако- вое внимание при разумном ограничении объема книги. Однако, даже если какие-то проблемы упоминаются лишь бегло (например — методы сопряженных направлений и переменной метрики, методы работы с раз- реженными матрицами), то это не значит, что они не имеют существен- ного значения. Чаще наоборот, как это показывает пример с разреженными матрицами. Без умения успешно работать с ними время работы с задачами большого объема катастрофически возрастает. Укажем еще на одну и очень существенную причину, в силу которой специалист, заинтересованный в первую очередь в конкретном применении метода, должен тем не менее быть хотя бы знакомым с понятиями и идея- ми, связанными с методами. Дело в том, что метод рассчитан на решение общей задачи нелинейного программирования и может в силу этого затра- чивать на решение каких-то подзадач данной задачи значительное время. Но конкретная задача (или класс задач) всегда имеет свою специфику (например, большинство ограничений имеет очень простой вид), и поэ- тому учет этой специфики за счет изменения каких-то блоков алгоритма может привести к существенному сокращению времени решения и требуе- мого объема памяти. Ясно, что такое изменение нельзя провести успешно без понимания движущих пружин, которые делают алгоритм сходящимся. Хотя данная книга продиктована стремлением подвести некоторый итог исследованиям в области метода линеаризации, автор надеется, что она вовсе не будет служить конечной точкой в этой области. Свидетельст- вом тому является все увеличивающееся число статей, посвященных этой и связанной с ней тематике. Кроме того, имеется целый ряд проблем, требующих более глубокого и детального изучения. В частности, требуют дальнейшего исследования вопросы выбора правил перехода с простого на ускоренный метод линеаризации, уточнение правил выбора шага при та- ком переходе, алгоритм изменения константы в функции штрафа, способы аппроксимации матрицы вторых производных функций Лагранжа в реше- нии. Необходимо более детально рассмотреть специфику метода линеари- зации применительно к задачам большего объема, методы декомпозиции исходной и вспомогательной задач и т.д. Все эти проблемы нетривиальны, и автор будет рад, если данная книга послужит не только для расширения сферы практического применения метода, но и отправным пунктом для его совершенствования и развития. Б.Н. Пшеничный Глава!. ЗАДАЧИ ВЫПУКЛОГО И КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ § 1.ВВЕДЕНИЕ Предлагаемая читателю книга целиком, за исключением § 8, посвяще- на одному методу решения задач нелинейного программирования — мето- ду линеаризации. Этим она отличается от большинства книг, посвященных тому же предмету, в которых обычно рассматриваются различные методы. Описание в монографиях различных алгоритмов и подходов не случайно. Оно связано с тем, что многолетняя практика решения нелинейных задач оптимизации привела специалистов к достаточно единодушному мнению о невозможности 'создания универсального алгоритма, который бы одина- ково успешно решил все задачи. И автор этой книги с таким мнением полностью согласен. Действительно, задачи нелинейной оптимизации чрез- вычайно разнообразны. Они отличаются структурой вхождения нелиней- ности, количеством переменных и ограничений, требуемым объемом памя- ти. И практический опыт показывает, что существуют классы задач, в кото- рых, казалось бы, самый неэффективный с теоретической 'точки зрения метод благодаря простоте реализации и специфике задачи дает хорошие результаты. В связи с этим вычислительная практика в целом требует набо- ра различных алгоритмов. Сосредоточение же в этой книге на одном методе связано с желанием достаточно глубоко выяснить его свойства и возмож- ности, выделить те особенности и преимущества, которые он может дать на практике. Тем более что использование метода линеаризации на прак- тике в течение многих лет показало его высокую эффективность при реше- нии достаточно широких классов задач. Поэтому здесь мы постараемся выделить наиболее характерные черты, обеспечивающие его высокую эф- фективность. 1. Более точная постановка задачи и требования к ней будут даны по ходу изложения. Здесь же мы не будем себя ограничивать особой математи- ческой строгостью. Итак, пусть/ ={l... ., т} - конечное множество индексов. Рассмат- ривается задача нахождения минимума функции /о (х) при ограничениях fi(x) ^ 0, / = 1..... т. Более коротко, niin{/o (х) : ff(x} < 0, / = 1,. . ., т ]. (1.1) Хотя можно без особого труда в методе линеаризации рассматривать и огра- ничения вида )',{х} = 0, для упрощения здесь мы этого делать не будем. По аналогии с известным методом Ньютона решения систем нелинейных уравнений попробуем нелинейную задачу (1.1) в данной точке х линеари- зовать и приращение аргумента вычислить из решения соответствующей 7