22.161.5 К 78 УДК 517.531 Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Тео- рия устойчивости: Учебное пособие, 2-е изд., перераб. и доп.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. Как и другие книги, вышедшие в серии «Избранные главы выс- шей математики для инженеров и студентов втузов», эта книга предназначается в основном для студентов технических вузов, но она может принести пользу и инженеру, желающему восстановить в памяти разделы математики, указанные в заголовке книги. В этом издании по сравнению с предыдущим, вышедшим в 1971 г., расширены параграфы, относящиеся к гармоническим функ- циям, вычетам и их применениям для вычисления некоторых интег- ралов, конформным отображениям. Добавлены также упражнения теоретического характера. В начале каждого параграфа приводятся необходимые теорети- ческие сведения (определения, теоремы, формулы), а также под- робно разбираются типовые задачи и примеры. В книге содержится свыше 1000 примеров и задач для самосто- ятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами, а в ряде случаев даются указания к решению. Рис. 71. Библ. 19 назв. 9П9ПЧ 1П7 ® Чад^^ьство <Наука». Л)ЛМ—Ш/ 17П-1ГГПППП Главная редакция 1\-,.„,„ гц „, 23-81. l/U2UotK)UU физико-математической OoolU^)-81 литературы, 19S1 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ............................. 5 Глава I. Функции комплексного переменном^ ........ 7 § 1. Комплексные числа и действия над ними ........ 7 § 2. Функции комплексного переменного ........... 18 § 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. , 25 • § 4. Дифференцирование функций комплексного переменно- го. Условия Коши—Римана ............... 32 § 5. Интегрирование функций комплексного переменного . . 42 § 6. Интегральная формула Коши ............... 50 § 7. Ряды в комплексной области ............... 56 § 8. Нули функции. Изолированные особые точки...... 72 § 9. Вычеты функций ...................... 79 § 10. Теорема Коши о вычетах. Приложение вычетов к вы- числению определенных интегралов. Суммирование не- которых рядов с помощью вычетов ........... 85 § 11. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше ............................ 106 § 12. Конформные отображения ................ 115 § 13. Комплексный потенциал. Его гидродинамический смысл ............................ 142 Глава II. Операционное исчисление .............. 147 § 14. Нахождение изображений и оригиналов ........ 147 § 15. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи- циентами .......................... 173 § 16. Интеграл Дюамеля .................... 185 § 17. Решение систем линейных дифференциальных уравне- ний операционным методом................ 188 § 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра с ядрами специального вида ..................... 192 § 19. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргу- ментом ........................... 198 § 20. Решение некоторых задач математической физики . . . 201 § 21. Дискретное преобразование Лапласа .......... 204 Глава III. Теория устойчивости ................ 218 § 22. Понятие об устойчивости решения системы дифферен- циальных уравнений. Простейшие типы точек покоя 218 1* ОГЛАВЛЕНИЕ ^ 23. Второй метод Ляпунова ............••••• S 24. Исследование на устойчиность по первому приближе- нию ........•••..•••••••••••„••••' § 25. Асимптотическая устойчивость в целом, ^стоичивость по Лагранжу ............••••••••••• § 26. Критерии Рауса—Гурвица . ........'... • • • § 27. Геометрический критерий устойчивости (критерии Ми- хайлова) ..............••••••••••••• § 28. D-pa36iieiuin ..........••••••••;••••• ^ 29. Устойчивость решений разностный уравнении . . . . . Ответы Приложение Литература . ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящем издании весь текст заново пересмотрен и внесены некоторые дополнения. Увеличен раздел, посвя- щенный теории вычетов и ее приложениям (в частности, введено понятие вычета относительно бесконечно удален- ной точки, применение вычетов .к суммированию некото- рых рядов). Увеличено число 'задач по применению опе- рационного исчисления к изучению некоторых специаль- ных функций (гамма-функции, функции Бесселя и др.), а также число задач на изображение функций, заданных графически. Существенно переработан параграф, посвя- щенный конформным отображениям. Увеличено количество разобранных в тексте примеров. Устранены замеченные неточности и опечатки; некоторые задачи, имеющие гро- моздкие решения, заменены более простыми. При подготовке второго издания книги существенную помощь своими советами и замечаниями нам оказали за- ведующий кафедрой математики Московского института стали и сплавов профессор В. А. Треногин и доцент этой кафедры М. И. Орлов. Считаем своим приятным долгом выразить им нашу глубокую признательность. Мы учли замечания и пожелания кафедры прикладной математики Киевского инженерно-строительного института (заведующий кафедрой доцент А. Е. Журавель), а также замечания товарищей Б, Ткачева (г. Краснодар) и Б. Л. Цаво (г. Сухуми). Всем им мы выражаем нашу благодарность. 0 ПРЕДИСЛОВИЕ у Мы признательны профессорам М. И, Вишику, Ф. И. Карпелевичу, А. Ф. Леонтьеву и С. И. Похожаеву за постоянное внимание и поддержку нашей работы. Все замечания и пожелания по улучшению задачника будут приняты нами с благодарностью. Авторы ГЛАВА I ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Комплексные числа и действия над ними Комплексным, числом г называется выражение вида г=х+1у (алгебраическая форма комплексного числа), где х и у—любые дей- ствительные числа, а I— мнимая единица, удовлетворяющая условию Р==—1. Числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного чис- ла г » обозначаются JC=Rez, i/==lmz. Комплексное число S==x—iy называется сопряженным комплекс- ному числу г=л-+1у. Комплексные числа г, = л", -Т- 1у\ и г, == .Va +'Уа считаются равными тогда и только тогда, когда x^==Xt, У1=У2- Комплексное число г== х -)-»'(/ изображается в плоскости XOY точкой М с координатами {х, у) либо вектором, начало которого находится в точке О (О, 0), а конец в точке М (х, у) (рис. 1). Длина р вектора ОМ называется модулем комплексного числа и обозначается \ г [, так что p==\z \==.Y х^-ту^. Угол ф, образованный вектором ОМ с осью ОХ, называется аргумен- том комплексного числа 'г и обозначается О, IX л -;- arctg у-, если х<0, у Ss О, arg.4 • ; (1) — л + arctg : , если х < 0, у < О, п/2, если х -= 0, у > О, — л/2, если х == 0, у < 0. ЛИТЕРАТУРА 1 Араманович И. Г., Лун ц Г. Л„ Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.—М.: Наука, 1968. 2 Б ар б,ч шин Е, А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. , ,. - 3 Волковыский Л. И., Лунц Г, Л., Араманович И. Г— Сборник задач по теории функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1970. 4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устой- чивости.—М.: Няука, 1967. 5 F в графов М. А, Аналитические функции.— М.: Наука^ !9Ьэ. 6' Евграфов М. А.. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., ' Шабунин М. П., Бежанов К. А. Сборник задач по теории аналитических функций.—М.: Наука, 1969. 7 К ар<-'л о у X., ЕгерД. Операционные методы в прикладной математике.—М.: ИЛ, 1948. 6 К Р а с н о в "Л. Л„ М а к а р е н к о Г. И. Операционное исчисле- ние. Устойчивость движения (задачи и упражнения). — М.: 9 КР^Тчхович Г. И., Мордасов» Г. М., Подольский В. А, Римсккй-Корсаков Б. С„ Сулейманова X. Р., Чегис И. А. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики.—М.: Высшая школа, 1970. Ю. Лаврентьев М. А./Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного пгремеяного.—М.: Наука, 1973. i Н Маркушевич А. И„ М а р к у ш е в и ч Л. А. Введение в теорию аналитических функции.-М.: Просвещение, 1977. 12. Мышки с Л. Д. Матемачика для втузов (специальные курсы}.— М • Наука, 1971. . • 13. Привалов И. И. Введение в теорию функции комплексного переменного.-М.: Наука, 1977. 14 П ч един Б К Специальные разделы высшей математики. Функ. ции комплексного переменного. Операционное исчисление.—М.: '15 Р^мТн ^'сТи и П.' И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитиче. ' окне и специальиые функции. Преобразование Лапласа.-М„ 16 Й^нТк^в А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комп. лексной переменной.-М.: Наука, 19/9. „,-<„„„„ М И 17 Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. и. Лекции по теории функций комплексного переменного.—М.. 18. Ч^н^ев П. И. Высшая математика (специальные главы).—. 19. ^с^оГь^Л13^. Дифференциальные уравнения и вариаци. • Михаил Леонтьевич Краснов Александр Иванович Киселев Григорий Иванович Макаренко ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ (Серия: Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов) Редактор И. Е. Морозона. Техн. редактор И. Ш. Аксельрод Корректор Т. С, Вайсберг ИБ № 11792 Сдано в набор 19.03.81. Подписано к печати 12.08.81. Формат 84Х108'/э2 Бумага тип. № Ц. Условн. печ. л. 15,96. Уч.-иэд. л. 18.51, Тираж 59 000 экз. Заказ № 767. Цена 75 коп, Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудо- вого Красного Знамени Ленинградское произ- водственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М Горького Союзполиграф- прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор- говли. 197136, Ленинград, П-136, Чкалов- ский пр., 15. Отпечатано в тип. № 4 изд-ва «Наука», Новоси». бирск, 77, Станиславского, 25. ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ М.Л.КРАСНОВ А.И.КИСЕЛЕВ Г.И.МАКАРЕНКО ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР , в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМЛТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ 1981