GAMES AND DECISIONS Introduction and critical survey R. DUNCAN LUCE AND HOWARD RAIFFA Harvard University NEW YORK, JOHN WILEY AND SONS LONDON, CHAPMAN AND HALL 1957 Р.Д.Льюис Х.Райфа, Игры и решения Введение и критический обзор Перевод с английского И. В. Соловьева Под редакцией Д.. Б. Юдина С предисловием А. А. Ляпунова ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1961 АННОТАЦИЯ Книга Льюса и Райфы посвящена математической тео- рии игр и ее приложениям. Кроме изложения классических методов анализа. игр, в ней много внимания уделяется раз- личным аспектам теории игр с ненулевой суммой и реше- ниям в условиях неопределенности. Характер изложения — неформальный, качественный. Ос- новное внимание уделяется критическому обсуждению основ- ных идей теории игр и анализу возможных приложений этой теории к различным реальным ситуациям. Как пишут авторы в своем предисловии, это книга о теории игр, а не изло- жение самой теории. Благодаря этому книга заинтересует не только специали- стов-математиков, но и специалистов всех отраслей науки,где . применяется теория игр. Среди приложений, обсуждаемых в книге, значительное место занимают приложения к раз- личным вопросам экономики и других общественных наук. Критическое ознакомление с этим материалом будет инте- ресно и для специалистов в этих науках. Редакция литературы по математическим наукам Предисловие к русскому изданию Теория игр—это математическая дисциплина, которая устанавливает правила поведения в конфликтных ситуациях, обеспечивающие достижение лучших (в некотором заранее заданном смысле) результатов. Эта дисциплина, сложившаяся в течение последних десятилетий, привлекла интересы иссле- дователей своими самыми разнообразными применениями к экономике, организации производства, военному делу и пр. Несомненно, что в ближайшем будущем теория игр будет раз- виваться еще интенсивнее и получит новые применения. За последнее десятилетие вышло в свет большое количе- ство монографий и статей, посвященных этой дисциплине и ее приложениям. Для удобства читателя мы приведем здесь краткое описание литературы, уже имеющейся на русском языке или готовящейся к печати. Читатель, далекий от математики и желающий ознако- миться с элементами теории игр в самом популярном изло- жении, может начать с книги Дж. Д. Вильямса «Совершен- ный стратег или Букварь по теории стратегических игр» («Со- ветское радио», 1960). Лицам, интересующимся математиче- ским аппаратом теории игр, можно рекомендовать книгу Е. С. Вентцель «Элементы теории игр», а также статью Г. Бо- ненбласта, включенную в сборник «Современная математика для инженеров» под редакцией Э. Ф. Беккенбаха (ИЛ, 1958) и перепечатанную в журнале «Математическое просвещение» (№ 4, 1959). Для более полного изучения теории игр может служить книга Дж. Мак-Кинси «Введение в теорию игр» (Физматгиз, в печати), а также книга Д. Блекуэлла и М. А. Гиршика «Теория игр и статистических решений» (ИЛ, 1958). В Государственном издательстве физико-математиче- ской литературы готовится к печати перевод книги К. Бержа «Общая теория игр нескольких лиц». Для ознакомления со- ветских читателей с новейшими результатами, относящимися к теории игр, то же издательство планирует издание серии 6 Предисловие к русскому изданию сборников по теории игр под общей редакцией Н. Н. Воро- бьева. Первый из этих сборников, «Матричные игры», уже готовится к печати. Одним из методов анализа так называемых «игр против природы» — ситуаций, в которых приходится принимать реше- ния, оптимальные с той или иной точки зрения, при наличии ряда неполностью известных объективных обстоятельств — является линейное программирование. Методы линейного про- граммирования изложены в книге С. Вайды «Теория игр и линейное программирование», перевод которой включен в сбор- ник под редакцией Г. У. Куна и А. У. Таккера «Линейные не- равенства и смежные вопросы» (ИЛ, 1959). Освещение того же круга вопросов, рассчитанное на читателей в более высо- ким уровнем математической подготовки, содержится в книге Д. Б. Юдина и Е. Г. Гольдштейна «Задачи и методы линей- ного программирования» («Советское радио», в печати). Приложение методов линейного программирования к задачам экономики подробно разобрано в книге «Экономический рас- чет наилучшего использования ресурсов» (Изд. АН СССР, М., 1959) Л. В. Канторовича, которому и принадлежит от- крытие этих методов. Другой вид «игр против природы», когда приходится иметь дело с непрерывно меняющейся обстанов- кой, рассмотрен в монографии Р. Беллмана «Динамическое программирование» (ИЛ, 1960). Наконец, во многих случаях возникают такие игровые си- туации, в которых количественная теория игр, основанная на использовании понятия «цены игры», оказывается непримени- мой ввиду того, что действия игроков могут затрагивать каче- ственно различные обстоятельства, и судить об эффективности этих действий приходится лишь по качественному сопостав- лению результатов. Однако и в таких случаях возможны точ- ные постановки вопросов и точные методы для их решения. При этом особенно большое значение имеет выбор специаль- ных критериев, позволяющих оценивать то или иное действие. Этому кругу вопросов посвящена книга Ф. М. Морза и Дж. Е. Кимбелла «Методы исследования операций» («Совет- ское радио», 1956). Таким образом, современная литература на русском языке в значительной степени отражает многие аспекты теории игр. Однако до сих пор в этой литературе существовал значитель- >ный пробел, относящийся к анализу возможностей приложе- ний теории игр к конкретным задачам. Теперь этот пробел в известной мере заполняется книгой Льюса и Рдйфы, пере- предисловие к русскому изданию 7 вод которой предлагается вниманию читателей. Данная книга занимает среди других работ в этом направлении совершенно особое положение. Она не столько излагает теорию игр как таковую, сколько описывает ее применения к различным об- ластям человеческой деятельности и дает анализ этих приме- нений. Поэтому книга Льюса и Райфы более, чем какая-либо другая, дает представление как о богатстве содержания тео- рии игр и многообразии ее приложений, так и о многочислен- ных трудностях, возникающих при переходе от исследования абстрактных игр к анализу реальных ситуаций. Нам представляется, что круг читателей этой книги будет весьма широк. В самом деле, она безусловно доступна чита- телям, интересующимся лишь принципиальными возможно- стями применения теории игр и не собирающимся вникать в тонкий математический аппарат высших разделов этой тео- рии. Эти читатели могут прочитать основной текст, вовсе не обращаясь к приложениям, в которых излагаются вопросы, требующие формального подхода. Читатель, интересующийся математическими вопросами, найдет в книге прежде всего большое количество иллюстра- ций применения методов теории игр к конкретным задачам. Кроме того, он найдет в ней систематическое (правда, весьма краткое) изложение методов решения матричных игр и опи- сание перспективных путей анализа некоторых важных для приложений частных классов игр. Помимо изложений классических методов анализа игр, ко- торые подробно изучены и в ранее опубликованной литера- туре, в книге уделяется много внимания различным аспектам теории игр с ненулевой суммой и решениям в условиях не- определенности. Эти наиболее трудные и в то же время наибо- лее интересные для приложений вопросы теории игр также не нашли отражения в отечественной и уже переведенной зару- бежной литературе. Однако многие вопросы, такие, как основы теории игр с нулевой суммой или методы линейного программирования, излагаются в книге довольно конспективно, и она вряд ли пригодна для первоначального ознакомления с этими вопро- сами и обстоятельного их изучения. Для этой цели лучше ис- пользовать литературу, о которой уже говорилось выше. Авторы поставили перед собой две задачи. Первая из них—ей посвящена большая часть книги—систематическое изложение и критика основных идей и результатов теории игр. 8 Предисловие к русскому изданию Особенностью этого изложения является его качественный, неформальный характер. Постановка задач и их критика, анализ возможностей и перспектив развития теории игр проведены весьма искусно, без математических подробностей, загромождающих текст и сокращающих круг читателей. Тем не менее нет оснований упрекать авторов в нестрогом подходе к изложению материала. Все принимаемые допущения четко оговариваются. Читатель в каждом параграфе видит цель, которую ставят авторы, и вместе с авторами участвует в анализе идей теории игр и мо- делей выбора решений. Вторая задача, которую ставят перед собой авторы кни- ги,—это показ того, как математические методы теории игр применяются к конкретным задачам. Льюс и Райфа рассмат- ривают разнообразный круг примеров и уделяют большое внимание выявлению допущений, принимаемых в теории игр, сопоставляя их с существом разбираемых примеров. Одновре- менно авторы показывают, как результаты теории игр могут быть использованы в различных конфликтных ситуациях. Нужно отметить, что известная часть примеров, проанализи- рованных в книге, связана с ситуациями, характерными для капиталистического общества, и с теми или иными социологи- ческими построениями, проникнутыми буржуазной идеологией. Однако не следует забывать того, что само по себе содер- жание примеров не играет никакой роли для теории игр. Зна- чение этих примеров заключается лишь в том, что они пока- зывают, как в конкретных случаях может быть поставлена математическая задача игрового характера и как можно ис- пользовать результаты теоретико-игрового исследования этой задачи для выбора рациональных действий в изучаемой кон- фликтной ситуации. Игровые постановки вопросов возникают в самых разно- образных случаях. Например, при эксплуатации природных ресурсов мы нередко сталкиваемся с тем, что ввиду непол- ноты наших сведений мы должны в ограниченные сроки при- нимать решения о путях хозяйственного использования при- родных возможностей при неполностью известных обстоятель- ствах. Здесь создается такая ситуация: наши действия могут привести в будущем к ущербу, если эти неизвестные обстоя- тельства окажутся неблагоприятными; требуется установить такой комплекс действий, при которых ущерб, могущий быть вызванным неизвестными обстоятельствами, не превышал бы известных пределов, а хозяйственный эффект был бы опти- Предисловие к русскому изданию 9 мальным. Подобная обстановка складывается при планиро- вании народного хозяйства в новых условиях, созданных либо новыми достижениями науки и техники, либо необходимостью освоения новых районов. Аналогичные ситуации имеют место и при борьбе с эпидемическими болезнями, при использова- нии токсических веществ в лекарственных целях и т. п. Для конфликтных ситуаций такого характера типично то, что од- ним «игроком» является человеческое общество, а другим — природа. Существуют конфликтные ситуации совершенно иного вида — ситуации, в которых интересы «игроков» строго проти- воположны. Примером такой конфликтной игровой ситуации является классическая «задача Блотто», один из вариантов которой состоит в следующем. Командир имеет в своем рас- поряжении шесть рот, две из которых уже вступили в бой на двух различных участках. По данным разведки, силы против- ника составляют в общей сложности пять рот, но их распре- деление по участкам неизвестно. Как использовать резервные четыре роты, чтобы нанести противнику наибольший ущерб при минимуме своих потерь? «Задача Блотто» представляет собой пример игры со стро- гим соперничеством. В других случаях возникают ситуации, соответствующие классу игр с нестрогим соперничеством, а также классу кооперативных игр. Подобные ситуации воз- можны, например, в области финансовых или экономических отношений между различными государствами. Таким образом, методы теорий игр могут найти (и уже находят) весьма разнообразные и чрезвычайно существен- ные приложения в самых различных сферах человеческой деятельности. Ознакомление возможно большего числа иссле- дователей с этими методами представляется на.м совершенно необходимым. Существенную помощь может оказать в этом книга Льюса и Райфы, тем более что изучение большей ее части не требует специальной математической подготовки и вполне доступно широкому кругу читателей. Л. Л. Ляпунов Посвящается памяти профессора Джона фон Неймана Предисловие В этой книге мы стремимся изложить основные идеи и вы- воды теории игр и соответствующие модели выбора решений, не загромождая текст формальными математическими по- дробностями; поэтому, например, в книге почти нет доказа- тельств. Это — книга о теории игр, а не изложение самой тео- рии. Мы надеемся, что эта книга, в которой выясняется строе- ние теории игр — ее допущения и выводы, недостатки и цели — будет служить полезным критическим введением в теорию и руководством к дальнейшему чтению. Мы пыта- лись, с одной стороны, давать достаточно точные формули- ровки, чтобы при чтении не могло возникнуть недоразумений и неверных представлений, но, с другой стороны, мы стреми- лись пользоваться обычным языком и простыми обозначе- ниями, чтобы книга была полезна тем ученым, для которых учебник теории игр показался бы непонятным. Многие мате- матики, даже из тех, кто сочувствует применениям матема- тики к социологии, считают, что эти цели несовместимы, и мы должны признаться, что иногда, в минуты уныния, мы готовы были согласиться с ними. По своей общей структуре наша книга во многом следует оригинальному построению теории игр, данному фон Нейма- ном и Моргенштерном в их книге «Теория игр и экономиче- ское поведение» [1944, 1947], однако в деталях эти две книги различны.. Во-первых, в течение десятилетия, прошедшего после второго издания книги фон Неймана и Моргенштерна, в теории игр было получено много новых результатов, боль- шую часть которых мы попытались охватить. Во-вторых, мы сосредоточили внимание почти исключительно на основных понятиях и поэтому сравнительно мало занимались подроб- ными решениями конкретных игр. В-третьих, критический раз- бор и приводимые нами примеры имеют сильную социологи- ческую окраску—по крайней мере для математика. Мы стре- мились в той мере, в какой мы могли это сделать, указать основные интуитивные и эмпирические возражения, которые 14 Предисловие могли бы выдвинуть или выдвигали социологи против данной теории — возражения, касающиеся не математической сто- роны дела, а применимости математики к практическим за- дачам. Книгу можно с полным основанием упрекнуть за ее крити- ческий тон. Но мы не склонны к придиркам и надеемся, что наши читатели не используют критику для такой цели. Наша задача — предостеречь читателя и обратить его внимание на принципиально слабые пункты теории. Мы полагаем, что это можно сделать со сравнительно небольшим применением ма- тематики, и поэтому мы потратили много усилий на то, чтобы изложение было понятным для читателя с небольшой матема- тической подготовкой. Если мы не потерпели полную неудачу, то кое-что в книге может представить интерес для широкого круга исследователей: экономистов, занимающихся экономи- ческой теорией, исследователей политических отношений, со- циологов с методологическим уклоном или теоретическим интересом к исследованию конфликтных ситуаций, психологов- экспериментаторов, изучающих выбор решений, исследовате- лей систем управления, занимающихся теориями «рациональ- ного» выбора и организации, философов, интересующихся аксиоматикой некоторых сторон человеческого поведения, ста- тистиков и других лиц, деятельность которых связана с вы- бором решений, и, наконец, математиков, работы которых мы в основном излагаем. Можно все же спросить: какие именно предварительные сведения необходимы для чтения книги? На это ответить не- легко. Строго говоря, не предполагается знание ни анализа, ни линейной алгебры, но эти знания, бесспорно, и не излишни. Вероятно, самой важной предпосылкой является наличие у чи- тателя трудно определимого качества — привычки к матема- тическому мышлению. Мы надеемся, что этот ингредиент не потребуется в большом количестве, но нет сомнения," что в не- которой мере он необходим. Читатель должен быть в состоя- нии принимать условные утверждения, если даже он сознает, что посылка ложна; он должен признавать законность усту- пок ради простоты математических выводов, он должен быть достаточно терпелив, чтобы следовать за специфическими по- строениями, присущими математике; и прежде всего у него должно быть доброжелательное отношение к самому ме- тоду — отношение, основанное на известных ему успешных применениях метода в различных опытных науках и на пони- мании необходимости строгой дедукции в науке. Предисловие 15 Нашу первую тему можно рассматривать как задачу о людях, принимающих решения в столкновениях с другими людьми при наличии риска, связанного с исходами их выбо- ров. Эта задача весьма общим образом изложена в гл. 1 на основе интуитивных соображений. В качестве основы самой теории игр и других вопросов, которые мы будем разбирать, мы должны рассмотреть современное учение об индивидуаль- ном выборе решений в рискованных ситуациях — теорию по- лезности. Это сделано в гл. 2. В гл. 3—12 рассматривается теория игр: в гл. 3 дана общая модель игр; в гл. 4, 5 и 6 из- ложены теории игр двух лиц, а в гл. 7—12 — теории игр с чис- лом игроков больше двух. В гл. 13 мы обращаемся к задаче индивидуального выбора решений, когда исходы не просто связаны с риском, но, скорее, неопределенны. Этот материал, как и материал, изложенный в гл. 14, включен отчасти по- тому, что он интересен сам по себе как часть задачи о вы- боре решений, а также потому, что эти модели различным об- разом связаны с теорией игр. О последней главе—гл. 14— можно сказать, что в ней разбираются задачи о групповом выборе решений, в отличие от предыдущих глав, посвящен- ных". поведению индивидуумов в различной обстановке. В восьми приложениях разбираются различные специальные вопросы, которые естественно возникают в различных местах книги, но которые мы предпочли не излагать в основном тексте. Читатель, в зависимости от своих интересов и подготовки, может читать главы не по порядку или читать не все главы. Следует указать на некоторые разумные группировки глав. I. В гл. 1, 3, 4, 7 и 8 мы даем общее изложение теории игр, не входя в некоторые частные и спорные вопросы. Несмотря на то, что сюда не входит теория полезности (гл. 2), эти главы, вероятно, охватывают материал, достаточный для но- вичка, который желает получить некоторые основные сведе- ния по этому предмету, но не хочет вникать в него глубоко или исследовать различные смежные темы. II. В гл. 5—12 мы погружаемся в принципиально трудную и не вполне удовлетворительную теорию игр в общем виде — игр, в которых число игроков больше двух, игр с ненулевой суммой и игр, в которых имеет место и то и другое. Читатель, уже вполне овладевший теорией игр двух лиц с нулевой сум- мой, может начать с гл. 5, хотя мы рекомендуем ему прочесть также гл. 3, в которой введены и критически рассмотрены ос- новные постулаты относительно игроков. 16 Предисловие III. Большая часть исследований относится к играм двух игроков (при условии, что сюда включаются игры с ненулевой суммой, бесконечные и рекурсивные игры, а также более из- вестные игры двух лиц с нулевой суммой), и можно ожидать, что многие читатели ограничатся этими вопросами. Таким чи- тателям нужно ознакомиться с гл. 4, 5 и 6 и приложениями 2. 3, 4, 6, 7 и 8. IV. Глава 4 дает достаточную подготовку для чтения гл. 13, если читатель уже несколько ознакомился с аксиомати- ческим методом; поэтому если он интересуется только задачей о выборе решений при наличии неопределенности — включая как частный случай выбор статистических решений, — то ему нужно прочесть лишь эти две главы. V. То, что нам нужно сказать о линейном программирова- нии и его связи с теорией игр, относится в основном к прин- ципам, а не к вычислительной технике. Этот вопрос освещен в гл. 1 и 4 и в приложениях 5 и 8. При этом мы не пытались научить читателя тонкому делу практической подготовки про- грамм для вычислительных машин при решении на этих ма- шинах задач на линейное программирование. VI. Читатели, интересующиеся такими вопросами, как ар- битраж, выбор групповых решений, планирование обществен- ного благосостояния и процессы «справедливого» дележа, мо- гут сосредоточить свое внимание на гл. 2, 4, 6 и 14. Этот перечень можно дополнить гл. 11, но тогда нужно сначала прочесть гл. 7 и 8. Возможны другие комбинации глав, и по оглавлению не- трудно составить программу, соответствующую потребностям читателя. Выражения благодарности В 1952 г. по инициативе профессоров П. Ф. Лазерсфельда и Герберта Соломона была организована группа по исследо- ванию моделей поведения как отделение бюро прикладных социальных исследований Колумбийского университета. Этой группой руководила университетская комиссия в составе про- фессоров Т. У. Андерсона, Ч. X. Грехэма, П. Ф. Лазерсфельда, 3. Нагела, X. Райфа (председатель), Г. Соломона и У. Викри. Одна из основных задач, поставленных комиссией перед груп- пой, заключалась в составлении систематических изложений и критических обзоров различных применений математики в науках о человеческом поведении. Через год в группу всту- пил Р. Д. Льюс, на которого была возложена ответственность Предисловие 17 за выполнение этой задачи. Был завершен ряд исследований, большинство которых было опубликовано в виде технических отчетов, доступных ограниченному кругу ученых. Настоящая книга является первым из этих исследований, получающих более широкое распространение, и предполагается, что впо- следствии будут опубликованы и другие работы, более узкие по своей тематике. Ряд организаций существенно способствовал подготовке книги. Управление военно-морских исследований щедро фи- нансировало нашу работу, как путем договорных обяза- тельств по группе моделей поведения, так и путем поддержки основных исследований, проводившихся отделением матема- тической статистики Колумбийского университета. Бюро при- кладных социальных исследований было ответственно в адми- нистративном отношении за выполнение первого договора, и его руководители и сотрудники неизменно обеспечивали кан- целярское, административно-хозяйственное и материальное обслуживание группы. Наконец, мы оба многим обязаны Центру углубленных исследований в области наук о поведе- нии (Center for advanced study in the behavioral sciences) Станфордского университета (Калифорния), где мы восхити- тельно провели год, необремененные обычными учебными обя- занностями и окруженные столь же свободными коллегами; многие из их стимулирующих и сочувственно критических за- мечаний включены в книгу. Кроме того, Центр оказал нам весьма существенную помощь в технических вопросах. Всего труднее воздать должное многочисленным лицам, вложившим свою долю в составление рукописи, причем неко- торые из них, как мы подозреваем, сами о том не знали. Мно- гие прочли ее и высказали свои замечания и поощрения, но мы ограничимся упоминанием лишь тех из них, которые от- дали так много своих знаний и времени, что не поблагодарить их в явной форме было бы просто невозможно. Больше всего мы хотим поблагодарить профессора Гарольда У. Куна, ко- торый внимательно прочел предпоследний вариант рукописи и сделал весьма ценные замечания. Его внимание способство- вало устранению двусмысленных и вводящих в заблуждение формулировок и некоторых существенных ошибок. Не следует считать его ответственным за наши взгляды, так как с неко- торыми из них он, как нам известно, не согласен, или за оставшиеся ошибки, но во всяком случае устранение ошибок и неясностей в книге в значительной мере является его за- слугой. Далее мы благодарим профессоров Росс^а Эшби, 2 Зак. 1465. Р. Д. Льюс, X. Райфа 18 Предисловие Роберта Даля и Мартина Шубика за их многочисленные полезные замечания и профессора А. У. Таккера, предложив- шего название книги. Как мы сказали, этим далеко не исчер- пывается список коллег, в той или иной мере способствовавших завершению окончательного варианта. Наконец, без действен- ной помощи редакторов эту книгу (как и большинство книг) нам было бы очень трудно закончить, а читателю было бы гораздо труднее читать. Мы особенно благодарим мисс До- роти Уинн, которая редактировала рукопись и наблюдала за ее печатанием в течение последнего года подготовки, и мист- рис Двору Фрумхартц, которая на первой стадии нашей ра- боты над книгой сыграла такую же роль в отношении глав об играх плиц. Р. Данкан Льюс Ховард Райфа Нью-Йорк, Май 1957. ГЛАВА 1 Общее введение в теорию игр § 1.1. Столкновение интересов Во всей мировой литературе столкновение интересов было одной из главных тем; возможно, по вниманию, которое ей уделялось, с ней сравнимы лишь темы бога, любви и внутрен- ней борьбы. Научное же изучение столкновения интересов, в отличие от его описания или применения в качестве драма- тической пружины, составляет небольшую, но все растущую часть литературы. Отражением этого роста является то, что в последнее время столкновение интересов индивидуумов и организаций является одним из основных предметов изучения нескольких отраслей науки: экономической науки, социологии, Политической науки') и, в несколько меньшей степени, дру- гих отраслей. Нетрудно в общих чертах охарактеризовать основные ас- пекты задачи о столкновении интересов. Пусть индивидуум находится в таком положении, которое приводит к одному из нескольких возможных исходов, причем у индивидуума имеются по отношению к этим исходам некоторые личные предпочтения. Но хотя он может до некоторой степени упра- влять переменными факторами, определяющими исход, он не имеет полной власти над ними. Иногда управление находится в руках нескольких индивидуумов, которые, подобно ему, имеют какие-то предпочтения 'по отношению к возможным ис- ходам, но в общем случае интересы этих индивидуумов не со- гласуются. В других случаях конечный исход может зависеть как от случайностей (которые в юридических науках иногда ') О так называемой «политической науке» в буржуазной социологии см. статью Б. Шабада, Апология политической системы капитализма, •^Коммунист», № 2 (1960). — Прим. ред. 2* 20 Гл. 1. Общее введение в теорию игр именуются «стихийными бедствиями»), так и от других инди- видуумов (которых этот исход может затрагивать и может не затрагивать). Поведения, вызванные такими ситуациями, давно наблюдались и регистрировались, но сейчас ощущается необходимость построения теории для объяснения этих на- блюдений и формулировки общих принципов для руководства разумными действиями. Литература по этим вопросам настолько обширна, спе- циализирована и богата подробностями, что совершенно без- надежно пытаться хотя бы кратко обрисовать ее; однако по- пытка построить математическую систему на основе некото- рого большого класса этих задач составляет содержание лишь небольшой части литературы по этим вопросам. В самом деле, помимо спорадических вылазок в экономической науке, в ко- торых по большей части пытаются свести задачу к простой задаче на оптимизацию, решаемой при помощи математиче- ского анализа или, в более сложной формулировке, при по- мощи вариационного исчисления, единственной математиче- ской теорией, выдвинутой до сих пор, является теория игр — тема нашего исследования. В некоторых отношениях название «теория игр» неудачно, ибо оно наводит на мысль, что теория игр рассматривает лишь не имеющие социального значения столкновения, происходящие в салонных играх, тогда как эта теория имеет значительно более широкое значение. Действи- тельно, фон Нейман и Моргенштерн дали своей ставшей ныне классической книге название «Теория игр и экономическое поведение», по-видимому, с целью предвосхитить такое истол- кование, хотя и это название не отражает еще более широкую применимость данной теории. § 1.2. Исторический обзор Современный математический подход к столкновению ин- тересов — теорию игр — обычно приписывают фон Нейману, изложившему его в своих статьях 1928 и 1937 гг., хотя в по- следнее время Фреше [1953] поднял вопрос о приоритете, ука- зав, что основы теории игр были намечены в некоторых ста- тьях Бореля в начале 20-х годов [1921, 1924, 1927]. Эти статьи были переведены на английский язык и в 1953 г. переизданы с примечаниями Фреше и фон Неймана. Хотя Борель дал яс- ную формулировку важного класса теоретико-игровых задач и ввел понятие чистых и смешанных стратегий, он, как указы- § 1.2. Исторический обзор 21 вает фон Нейман, не получил основного вывода—теоремы о минимаксе, без которой не может быть никакой теории игр. Действительно, Борель предположил, что теорема о мини- максе в общем случае неверна, хотя он доказал ее справед- ливость в некоторых частных случаях. Фон Нейман доказал ее справедливость при общих условиях и, кроме того, создал богатую идеями теорию игр с числом игроков больше двух. Интереснее споров о 'приоритете то обстоятельство, что обе группы статей—одна, появившаяся во Франции, а другая— в Германии, — не привлекли к себе большого внимания при своем опубликовании. До выхода в свет в 1944 г. книги фон Неймана и Моргенштерна ') почти не появлялось других ста- тей, причем эти статьи публиковались в математических жур- налах. По-видимому, «практики», которые чаще всего встречаются со столкновениями интересов, не обратили на эти работы осо- бого внимания; это, однако, неудивительно, поскольку первые статьи были написаны для математиков, а не для социологов. К счастью, фон Нейман и Моргенштерн стремились писать так, чтобы терпеливый ученый с ограниченной математиче- ской подготовкой смог усвоить мотивировку, рассуждения и выводы теории; судя по откликам, которые вызвала книга как в нематематических, так и в математических журналах, их попытка не была безуспешной. Лишь очень немногие науч- ные труды с таким математическим содержанием вызвали столь большой интерес и общее восхищение. Однако мы знаем, что большая часть материала книги лежала втуне в течение двух десятилетий. По-видимому, последующему быстрому раз- витию теории игр в значительной мере способствовала по- следняя война. Во время войны развернулась большая дея- тельность в направлении научного или по крайней мере си- стематического подхода к таким задачам, которые раньше относились исключительно к компетенции «практиков». Сюда относятся такие вопросы, как организация тыла, поиски под- водных лодок, противовоздушная оборона и т. д. Теория игр, бесспорно, входит в это направление (получившее название «исследование операций».—Ред.} и является одним из наи- более сложных теоретических построений из появившихся в этой области. ') Первое издание книги «Теория игр и экономическое поведение» вышло в 1944 г., но обычно ссылаются на пересмотренное издание 1947 г., включающее первую формулировку теории полезности, которую мы рас- смотрим в гл. 2. Все наши ссылки будут относиться к изданию 1947 г. 22 Гл. 1. Общее введение в теорию игр Следует подчеркнуть, что теория игр — хотя это и не отно- сится непосредственно к самой теории — является прежде всего созданием математиков, а не «практиков» в принятом выше смысле этого слова. В основном это объясняется тем, что начало ей положил математик и она была изложена в книге как весьма формальное (хотя большей частью эле- ментарное) построение, что сделало ее доступной в качестве орудия исследования только для математиков. Мы даже счи- таем, что до сих пор воздействие теории игр сказалось больше в прикладной математике, особенно в математической статистике, чем в социальных науках. § 1.3. Неформальное описание игры Теория игр не охватывает всех разнообразных задач, под- ходящих под наше определение столкновения интересов, и, вероятно, никакая математическая теория не могла бы сде- лать этого. В этом введении мы попытаемся указать основные особенности теории игр и некоторые интересные задачи, входящие в ее рамки. Читатель может легко привести при- меры, в настоящее время не охваченные теорией игр, и при рассмотрении наших примеров мы укажем некоторые важные задачи такого типа. Во-первых, предполагается, что возможные исходы данной ситуации точно указаны и у каждого индивидуума имеются по отношению к ним определенные предпочтения. Таким об- разом, если отвлечься от того, что игрок находится в конф- ликте с другими, и ограничиться лишь исходами, то мы можем предположить, что тем или иным способом можно установить, какой выбор сделает игрок, если ему будет пред- ложен некоторый набор альтернатив. Эта задача об индиви- дуальном выборе решений является основой для всего по- строения, которое мы будем разбирать, и здесь не должно быть путаницы относительно принимаемых допущений. По- этому мы 'посвятили всю гл. 2 изучению современной теории полезности. Для того чтобы не вводить в заблуждение чита- телей, знакомых с классическими и несколько дискредитиро- ванными применениями слова «полезность», мы постараемся установить, чем современные исследования полезности отли- чаются от прежних представлений. Говоря коротко, современ- ная теория показывает, что если допустить рискованные ис- ходы, т. е. лотереи, включающие основные альтернативы, и § 1.3. Неформальное описание игры 23 если предпочтения индивидуума упорядочены заданным обра- зом, то его предпочтения можно 'представить численно так называемой функцией полезности. Полезность имеет то весьма существенное свойство, что индивидуум предпочтет одну ло- терею другой тогда и только тогда, когда • ожидаемая полез- ность одной больше, чем ожидаемая полезность другой. Итак, предполагаемое индивидуальное желание предпочтительных исходов рассматривается в теории игр как задача максимиза- ции ожидаемой полезности. Во-вторых, предполагается, что переменные, определяю- щие возможные исходы, также указаны точно, т. е. что можно точно описать все переменные и все значения, которые они могут принимать. В действительности, если в данной ситуации имеется п индивидуумов или, говоря на языке теории игр, если ведется игра п лиц, то переменные можно разбить на п + 1 класс. Каждому лицу ставится в соответствие один класс, представляющий его область выбора, и считается, что остающийся класс находится во власти случая. Как мы сказали раньше, в подобной конфликтной ситуа- ции мы интересуемся лишь некоторыми видами поведения. В действительности нас могут интересовать все виды поведе- ния: вызванные конфликтом напряжения, количество само- убийств или распространенность нервных расстройств, агрес- сивное поведение, выход из конфликта, перемены личной или деловой стратегии и т. д., — но всякая теория будет, по-види- мому, рассматривать лишь небольшую часть из них. В на- стоящее время теория игр рассматривает выборы, которые могут делать люди или, лучше сказать, которые им следует делать (в подлежащем уточнению смысле), равновесные ис- ходы и некоторые аспекты сообщений и сговоров, в которые игроки могут вступить, пытаясь улучшить свои исходы. Хотя многое из того, что является интересным для общества, ин- дивидуума или науки, не входит в теорию игр, но некоторые важные стороны общественного поведения она охватывает. Теория, подобная рассматриваемой нами в этой книге, не может существовать без допущений об индивидуумах, к ко- торым будут 'относиться ее положения. Мы уже высказали одно из них: каждый индивидуум стремится получить макси- мальную полезность. При истолковании этого допущения нужно быть осторожным, так как функция индивидуальной полезности может быть нетождественной с некоторой числен- ной мерой, принятой для описания игры. Например, покер, если в него играют на деньги, есть игра с численными платежами, 24 Гл. 1. Общее введение в теорию игр которые назначаются всем исходам, и один из способов игры состоит в том, что игрок стремится обеспечить максимум своего ожидаемого денежного дохода. Но некоторые игроки наслаждаются блефом как таковым и при этом мало счи- таются с ожидаемым платежом. Их функции полезности нельзя отождествить с денежными платежами в игре. Многие даже считают, что само допущение о максимизации полезно- сти является тавтологией, и практически вопрос состоит про- сто в том, имеется ли в данном конкретном случае численная полезность. Если допустить, что поведение игроков можно вполне правильно характеризовать как стремление получить максимальную полезность, то возникает еще вопрос о том, насколько игроку известны те функции, т. е. численные полез- ности, к максимизации которых стремятся другие игроки. Тео- рия игр принимает, что они известны ему полностью. Другими словами, предполагается, что каждый игрок знает структуры предпочтений других игроков. Это допущение и родственные ему допущения о способно- сти игроков понимать состояние игры часто резюмируются предложением: «теория предполагает разумных игроков». Хотя в некоторых работах это не указано, термин «разум- ный» далеко не точен и, бесспорно, в разных теориях имеет разный смысл. В широком смысле он, по-видимому, включает любые допущения об игроках, стремящихся к максимуму че- го-то, и любое допущение о наличии у игрока полных знаний в очень сложной ситуации, когда, как указывает опыт, пони- мание ситуации на самом деле должно быть гораздо более ограниченным. Эмпирик немедленно скажет, что, поскольку эти допущения столь сильно расходятся с фактами, теория имеет смысл разве лишь как математическое упражнение. Мы не будем сейчас опровергать это утверждение, хотя в после- дующих главах приведем основательные доводы в защиту теории. Обычно авторы таких критических замечаний настой- чиво добиваются ответа на следующий вопрос: почему мате- матик при формулировке своих допущений не использует зна- ния о человеческом поведении, накопленные в психологии и социологии? На это можно просто ответить, что большей частью эти знания не могут быть сформулированы настолько четко, чтобы их можно было включать как допущения в ма- тематическую модель. Можно надеяться, что далекие от дей- ствительности допущения и основанная на них теория побу- дят поставить опыты с целью усовершенствования описатель- ной стороны теории. § 1.4. Примеры столкновения интересов 25 В итоге мы приходим к такой формулировке некоторого класса столкновений интересов: имеется п игроков, и ка- ждому нужно выбрать одну возможность из строго опреде- ленного набора, причем при совершении выбора у игрока нет никаких сведений о выборах других игроков. Область воз- можных выборов игрока может содержать такие элементы, как «ход тузом пик», или «производство танков вместо авто- мобилей», или, что более существенно, стратегию, охватываю- щую все действия, которые нужно совершить во всех возмож- ных обстоятельствах (см. ниже). После того как все игроки сделали свои выборы, получается некоторый исход, который каждый игрок оценивает в соответствии со своими собствен- ными склонностями и предпочтениями. Перед каждым игро- ком стоит задача: какой выбор он должен сделать, чтобы его частное влияние на исход принесло ему как можно больше? Он должен допустить, что другие игроки руководствуются та- кими же побуждениями. Мы увидим дальше, что вышесказан- ное является описанием нормальной формы игры п лиц. В последующем изложении существенную роль будут играть две другие формы—развернутая форма игры и игра, пред- ставленная характеристической функцией; но сейчас мы не будем ими заниматься. § 1.4. Примеры столкновения интересов Теперь нам нужно рассмотреть, какие существенные за- дачи на столкновение интересов охватывает эта формули- ровка. В нашем кратком обзоре мы приведем примеры из трех областей: экономика, салонные игры и военные ситуа- ции. Основываясь на них, можно будет легко представить аналогичные примеры для других отраслей знания. Представим себе 'простейшую экономическую ситуацию, когда имеется несколько предпринимателей, каждый из кото- рых стремится получить максимум прибыли, имея при этом лишь ограниченную власть над переменными, определяющими эту прибыль. Предприниматель не имеет власти над перемен- ными, которыми распоряжается другой предприниматель, но которые могут сильно влиять на доход первого. Трактовка этой ситуации как игры может вызвать следующее возраже- ние: в игровой модели предполагается, что каждый предпри- ниматель делает один выбор из области возможных выборов и этими единичными выборами определяются прибыли. 26 Гл. I. Общее введение в теорию игр Представляется очевидным, что этого не может быть в действи- тельности, так как при этом в промышленности не были бы нужны правления и сложный исполнительный аппарат. Ско- . рее здесь имеется ряд решений и модификаций этих решений, которые зависят от выборов, совершенных другими членами экономической системы. Однако в принципе можно вообра- зить, что какой-либо администратор предвидит все возмож- ные случайности и подробно описывает действие, которое нужно предпринимать в каждом случае, вместо того чтобы ре- шать каждую задачу по мере ее возникновения. Под «подроб- ным описанием» мы подразумеваем то, что проведение дальней- ших операций предприятия может быть предоставлено канце- лярскому работнику или машине и от администратора больше не потребуется никакого вмешательства или разъяснения. Например, в игре «крестики и нулики» очень легко запи- сать все возможные ситуации и указать, что нужно сделать в каждом случае (поэтому взрослому эта игра кажется скуч- ной) . Такое подробное указание действий называется страте- гией (чистой). Ко'нечно, этими действиями необязательно должны быть частные решения — в них могут входить в ка- честве элементов различные чистые стратегии игроков. С этой точки зрения игрок выбирает стратегию, охватывающую все возможные частные обстоятельства. По практическим причи- нам вообще нельзя полностью указать экономические страте- гии, и поэтому деловая стратегия обычно является лишь руко- водством к действиям в области цен, производства, рекламы, найма рабочей силы 'и т. д., в котором не устанавливаются подробно ни условия, которые нужно 'принимать во внимание, ни те действия, которые нужно предпринять. Понятие страте- гии в теории игр является абстракцией этого обычного пред- ставления, основанной на предположении, что относительно этих условий и действий нет никакой неясности. При такой концепции исчезает одна из трудностей применения теоре- тико-игровой модели к экономическим задачам. Понятие чи- стой стратегии и некоторые родственные с ним понятия будут рассмотрены значительно подробнее в гл. 3 и 4. На практике при попытке представить многие экономиче- ские задачи в форме игр возникают по меньшей мере два затруднения. Вообще трудно точно указать имеющиеся у игро- ков наборы стратегий. Это может объясняться разными при- чинами, из которых основная — возможность изменения набо- ров стратегий в процессе игры. Например, такое изменение может быть вызвано научным открытием или новым изобре- § 1.4. Примеры столкновения интересов 27 тением, открывающим перед промышленником совершенно новую область деятельности. Правда, такие усложнения фор- мально можно охватить при помощи теорий выбора решений при неопределенности, рассматриваемых в гл. 13, но это вы- водит нас из круга игр, определенных нами выше. Кроме того, сомнительно, полезны ли будут в настоящее время, скажем, ходячие решения задачи о воздействии 'изобретений. Если мы ограничимся лишь формальными положениями, связанными с риском, не рассматривая неопределенность, то возможность изобретения внесет лишь путаницу, и мы можем надеяться получить самое большее весьма ограниченные предсказания. Ограничение такого рода многие социологи считают огром- ным недостатком, и однако оно весьма обычно во всех физи- ческих науках. Такое предсказание аналогично физическому предсказанию на основании граничных условий, которые мо-, гут изменяться в течение исследуемого процесса либо от внешних причин, либо по ходу самого процесса. Предсказание будет справедливым лишь до тех 'пор, пока условия остаются неизменными; однако такие предсказания полезны и приме- няются и тогда, когда не известно, действительно ли имеет место предполагаемое постоянство. Во многих отношениях социологи, по-видимому, хотят получить от математической модели предсказания сложных общественных явлений, более подробные, чем предсказания, когда-либо полученные в 'при- кладной физике и технике; можно сказать почти наверняка,. что их желания никогда не исполнятся, и поэтому им нужно будет изменить свои требования, чтобы не подвергать сомне- нию формальные дедуктивные системы. Вторая трудность при описании наборов стратегий многих экономических ситуаций заключается в том, что большинство решений не характеризуется одними лишь очевидными аль- тернативами, но требует указания времени. Важность указа- ния времени решений настолько очевидна, что не требует по- яснений. Расширение набора или множества альтернатив так, чтобы в выбор входило время, не составляет принципиальной трудности, Но всякое расширение этих множеств может вы- звать большие практические затруднения. Множества страте- гий очень быстро становятся огромными, и поэтому определе- ние величин, необходимых для того, чтобы описать экономи- ческую ситуацию как игру, становится практически невоз- можным. Эти трудности значительны, но, как мы увидим, есть некоторые обстоятельства, благодаря которым они окажутся не столь непреодолимыми, как может теперь показаться. 28 Гл. 1. Общее введение в теорию игр Если обратиться теперь от экономики к салонным играм, то хорошо известно, что в них всегда имеется четкая про- цедура счета очков. В некоторых играх, которые ведутся на деньги, таких, как покер, имеется много возможных исходов, мало отличающихся один от другого. В других играх, таких, как шахматы, исход есть просто выигрыш или проигрыш, ко- торым можно приписать более или менее произвольные чис- ловые значения, например 1 и 0. Очень часто игрок стремится получить максимум ожидаемого выигрыша, выраженного в очках, принятых в данной игре; но, как мы указали раньше, могут быть случаи, когда эти очки нельзя отождествить с лич- ной выгодой, как в том случае, когда взрослый нарочно про- игрывает ребенку. В салонной игре, как и в приведенном примере экономиче- ской ситуации, каждый игрок делает не один выбор, но целую серию выборов, порядок и характер которых зависят от пре- дыдущих выборов, совершенных игроком и другими игроками, т. е. от предшествующей партии игры. Можно показать, точно таким же образом, как в экономической ситуации, что поня- тие стратегии позволяет привести эту развернутую форму к вышеупомянутой нормальной форме. Мы покажем это по- дробно в гл. 3. В разработанных теориях имеет весьма большое значение одно различие между салонными играми и экономическими играми. Правила 'игры или по крайней мере общественные приличия почти всегда указывают, что в салонной игре между игроками не должно быть сговора. В экономике поня- тие коалиции, т. е. сговора между некоторыми предпринима- телями с тем, чтобы улучшить положение каждого члена коа- лиции за счет других предпринимателей, не входящих в коа- лицию, или за счет потребителя, весьма широко применяется в теории и в- повседневной жизни и признается, законом. По- этому теория игр, стремящаяся найти 'применение не только в салонных играх, должна учитывать эту обычную сторону конфликтных ситуаций. Военный конфликт, по определению, есть столкновение ин- тересов, в котором ни одна сторона не распоряжается пол- ностью переменными, определяющими исход, который ре- шается рядом «битв». Мы можем просто считать исход выиг- рышем или проигрышем и приписать им численные значения 1 и 0. Очевидно, возможны более тонкие интерпретации исхо- дов, скажем основанные на степени разрушения и т. д. Мы опять встречаем те же две практические трудности, как в эко- § 1.4. Примеры столкновения интересов 29 номической задаче: в действительности каждая сторона при- нимает ряд решений, и время их выбора имеет существенное значение, причем область, в которой нужно делать выборы для принятия решения, обычно точно не указывается. Первое затруднение можно разрешить, как и раньше, при помощи по- нятия стратегии, и действительно понятие военной стратегии является обычным, если даже оно не всегда ясно сформули- ровано. Второй вопрос имеет более глубокий смысл и затруд- няет теоретико-игровой анализ многих важных военных си- туаций; но, бесспорно, некоторые существенные ситуации мо- гут быть охвачены теорией игр. Одна из самых простых — «дуэль», которая в простейшей форме представляет конф- ликт двух игроков 1 и 2, имеющих соответственно р и q «вы- стрелов». Для каждого игрока i существует функция, указы- вающая вероятность того, что выстрел игрока i в момент t даст «'попадание», допустим, смертельное. Мы можем пред- положить, что интервал времени t ограничен, например, запасом горючего в воздушном бою. В этом случае задача состоит в том, чтобы определить, когда игроку лучше всего произвести каждый из его выстрелов, чтобы обеспечить мак- симальную вероятность попадания в противника прежде, чем он сам -будет ранен, причем предполагается, что он знает, сколько выстрелов сделал его 'противник. В большинстве ду- эльных ситуаций, представляющих действительный интерес, вероятность попадания увеличивается с течением времени, как, например, в классической дуэли, когда два противника идут навстречу друг другу с поднятыми пистолетами. Политическая борьба также изобилует ситуациями, вклю- чающими столкновения .интересов. Кроме затруднений, свя- занных с неясно определенными областями действия, как в экономических и военных задачах, здесь, как мы знаем, имеется значительная неопределенность в отношении исхода или платежной функции даже в известной области возмож- ных действий. Это в некоторой степени относится и к другим описанным нами ситуациям, но особенно очевидно в политике, где, например, поражение кандидата иногда приписывают (задним числом) одной фразе из сотен фраз, произнесенных им во время выборной кампании. Политические и экономические конфликты наводят на мысль об «общественном арбитре». Часто признают, что столкновения интересов не должны переходить, например, в открытые угрозы и контругрозы, но должны существовать социальные механизмы, которые позволяли бы учитывать 30 Гл. 1. Общее введение в теорию игр предпочтения и стратегические возможности каждого игрока и обеспечивать справедливое разрешение конфликта. Такой примирительный механизм — будь то система голосования или лицо, называемое арбитром,—должен отличаться тем„ что он будет решать не данный частный конфликт, но широ- кий класс конфликтов, которые могут возникнуть, и его ка- чество в принципе будет оцениваться по отношению ко всей области возможных конфликтов. Таким образом, мы приходим к следующему определению: теория игр есть модель конфликтных ситуаций с участием не- скольких человек, в которых для разрешения конфликта при- меняются два основных способа: сговор и примирение. (Неко- торые из наших коллег убедили нас в том, что не следует ис- пользовать для нашей книги соблазнительное, но несколько. легкомысленное название «Конфликт, сговор и примирение».) § 1.5. Теория игр и социология Из приведенных выше замечаний можно заключить, что- теория игр в нормализованной форме охватывает некоторые важные общественные явления, но совершенно ясно, что при рассмотрении многих ситуаций возникают серьезные практи- ческие трудности. Однако это еще не дает полной картины. При разработке теории образования коалиций в играх п лиц. фон Нейман и Моргенштерн преобразовали нормальную- форму игры к математически более простой структуре (тем, что многие детали нормальной формы были опущены), а это, по-видимому, сделает возможным более широкое применение теории, чем то, на которое указывает приведенное выше рас- смотрение. Этот вопрос более основательно разбирается в гл. 8, а сейчас мы ограничимся замечанием, что для таких применений нужно будет найти приближенные оценки «ха- рактеристической функции», по-видимому, опытным путем. Это, кажется, можно будет сделать при 'помощи некоторых ме- тодов, разрабатываемых в психологии и социологии, и следует надеяться, что такая задача привлечет представителей этих наук. Однако это лишь. предположение, и мы видели на деле, что многие социологи разочаровались в теории игр. Сначала существовало наивное, вызванное модой представление, что теория игр решает бесчисленные задачи социологии и эконо- мики или что по крайней мере благодаря ей их решение бу- дет найдено через несколько лет. Это предположение не оправдалось. § 1.5. Теория игр и социология 31 Каково же значение теории игр для социологии? Во-пер- вых, из того, что в течение прошедших двенадцати лет 'приме- нения теории были не очень многочисленны '), не следует, что теория в конце концов не покажет свою жизнеспособность в прикладных задачах. Судя по физике, время, необходимое для практического воздействия теоретических открытий, ча- сто измеряется десятилетиями. Во-вторых, хотя современная форма теории, может быть, и не вполне удовлетворительна — отчасти, по-видимому, из-за ее так называемой нормативно- ^i-i^ — это совсем не означает, что социологам остается лишь .отказаться от нее. Многое в теории имеет весьма общее зна- чение, но для плодотворного применения может потребовать некоторого пересмотра. Требуется, чтобы этой теории уделя- лось больше внимания, причем внимания не только со сто- роны одних математиков, как это имеет место сейчас. В-тре- тьих, теория игр представляет один из первых примеров сложных математических выводов, относящихся исключи- тельно к вопросам, возникающим в общественных науках. Идея теории игр возникла из нефизических задач, и для трак- товки этой идеи был разработан математический аппарат, большей частью элементарный с точки зрения математика. Эта теория черпает по мере надобности свои методы из суще- ствующих разделов математики — из теории множеств, тео- рии выпуклых тел и т. д., а когда известные методы оказы- вались неприменимыми, то создавались новые разделы мате- матики. В большинстве других попыток привести науки к ма- тематической форме (за исключением статистики, которая занимает особое место) стремились использовать обрывки ма- тематических теорий, созданных для исследования физиче- ских задач. Если судить по физике, то решающие успехи в 'придании математической формы общественным наукам по- явятся, как в теории игр, вместе с развитием новых матема- тических теорий или существенно новых приложений старых теорий применительно к рассматриваемой задаче. Ни от од- ной из этих теорий нельзя ожидать, что она будет панацеей, но их совместное действие обещает быть значительным. То, что совершили Нейман и Моргенштерн, было замечательным достижением: в первом опубликованном ими основном труде ') В скором времени появится книга, представляющая значительный вклад в литературу по прикладной теории игр: Shubik M., Competition, oligopoly and the theory of games, 1959 [M. Ш у б и к, Конкуренция, олиго- полия и теория игр. — Ред.]. 32 Гл. 1. Общее введение в теорию игр по этому предме - ->ни сформулировали четкое обобщение на материале сравш.-ельно неясных общественных наук, отли- чающееся значительной широтой и математической глубиной, и с мастерским искусством разработали на этой основе слож- ное и тонкое построение. Значение их вклада можно частично оценить по тому, что и поныне материал теории мы должны излагать по той же общей схеме. Правда, впоследствии тео- рия была дополнена, но ее основные 'понятия не изменились. ГЛАВА 2 Теория полезности § 2.1. Классификация выборов решений Современная теория полезности будет примегоггвся как необходимое орудие во всей книге, и поэтому мы должны иметь ясное представление об этой теории. По-видимому, его нелегко составить, судя по многочисленным неверным толко- ваниям сущности «полезности». Возможно, фон Нейман и Моргенштерн неудачно использовали именно это слово для созданного ими понятия, потому что в прошлом было столько верных и неверных применений различных понятий, называв- шихся полезностью, что многие смотрят с предубеждением на все, связанное с этим словом, а другие упорно вкладывают в современное понятие устарелые значения. Мы, конечно, не собираемся утверждать, что в теории фон Неймана — Мор- генштерна нет серьезных ограничений, но было бы потерей времени перечислять все уничтожающие обвинения, которые, .будучи справедливы для прежних теорий, совершенно непри- менимы или неверны для современной теории. Методологически было бы разумно отложить этот разбор» до тех пор, пока мы не столкнемся с ним в изложении теории игр. Бесспорно, при изложении теории имеются превосходные поводы для изучения понятия полезности, однако это заста- вит нас значительно отклониться в сторону и потратить много времени на длинные рассуждения. Кроме того, теория полез- ности не входит в теорию игр. Правда, она была создана как основа теории игр, но она может существовать отдельно и имеет другие применения. Поэтому мы решили изложить ее в начале книги. В качестве предпосылки мы дадим в этом параграфе классификацию задач на выбор решения и таким образом покажем связь теории полезности со всей теорией игр. 3 Зап. 1465. Р. Д. Льюс, X. Райфа 34 Гл. 2. Теория полезности В следующем параграфе мы рассмотрим классическое по- нятие полезности и покажем, как путем преодоления его недостатков пришли к современному понятию. Мы не стре- мимся представить подробную историю развития этого поня- тия; превосходное изложение истории вопроса можно найти в работе Савиджа [1954]. В §§ 2.4 и 2.5 мы изложим один из вариантов теории, а в §§ 2.6 и 2.7—распространенные заблу- ждения в его истолковании. Глава заканчивается кратким разбором практических задач. В приложении 1 излагается мо- дификация теории полезности, в которой предпочтение рас- сматривается как вероятностное предпочтение. Выборы решений обычно разбиваются согласно тому, при- нимает ли решение 1) индивидуум или 2) группа, и согласно тому, производится ли выбор а) при определенности, б) при риске или в) при неопределенности. К этой последней клас- сификации мы по существу должны добавить г) сочетание неопределенности и риска на основании экспериментальных данных. Этот раздел относится к теории статистических вы- водов. Различие между индивидуумом и группой является не со- циально-биологическим, а лишь функциональным. В теории индивидуумом (игроком) считается как человек, так и орга- низация, имеющая единый интерес, служащий мотивом ее решений. Всякое собрание таких индивидуумов, противоречия между которыми разрешаются либо открытым конфликтом, либо компромиссом, будет рассматриваться как группа. Это не четко определенные формальные понятия, но скорее весьма общие классификационные признаки, которые могут способ- ствовать распознаванию этих классов в практических задачах. В зависимости от точки зрения промышленную организацию можно рассматривать как индивидуум, находящийся в конф- ликте с другими аналогичными организациями, или как группу, составленную из соперничающих отделов. Обратимся к классификации по признаку определенно- сти — риска — неопределенности и допустим, что нужно сде- лать выбор между двумя действиями. Мы будем применять эти термины следующим образом. а) Выбор решений при определенности, если относительно каждого действия известно, что оно неизменно приводит к не- которому конкретному исходу (употребляются также слова «перспектива», «стимул», «альтернатива» и т. д.). б) Выбор решений при риске, если каждое действие при- водит к одному из множества возможных частных исходов, § 2.1. Классификация выборов решений 35 причем каждый исход имеет известную вероятность появле- ния Предполагается, что принимающему решения эти веро- ятности известны. Например, действие может привести к такому рискованному исходу: выигрыш 10 долларов, если монета (уравновешенная) выпадает гербом, и проигрыш 5 дол- ларов, если она выпадает решеткой. Очевидно, определен- ность есть вырожденный риск, когда вероятности равны 0 и L в) Выбор решений при неопределенности, когда то или иное действие или оба действия имеют своим следствием мно- жество возможных частных исходов, но вероятности этих ис- ходов совершенно неизвестны или даже не имеют смысла. При помощи этих понятий, хотя они пока еще не точно определены, можно описать общее построение и содержание книги. За исключением гл. 14, в книге разбирается индиви- дуальный выбор решений, возможно, совершаемый группой. с общего согласия ее членов. В следующих двух параграфах кратко характеризуется индивидуальный выбор решений при определенности и указана область применения соответствую- щих теорий. В частности, описывается задача линейного про- граммирования и обрисована ее связь с теорией игр (более полный разбор см. в приложении 5). Мы включили ее для того, чтобы показать, что тема одного раздела классифика- ционной схемы может иметь сильные формальные связи с те- мой другого раздела. Затем мы обращаемся к индивидуаль- ному выбору решений при риске—теории полезности. Далее следует основной материал книги — гл. 3—12, относящиеся к теории игр. Задача столкновения интересов для каждого» участника интуитивно представляется задачей индивидуаль- ного выбора решений при сочетании риска и неопределенно- сти, происходящей от его неосведомленности о том, как будут поступать другие участники. В теории игр эту задачу стре- мятся решить путем ее преобразования в близкие к ней за- дачи об индивидуальном выборе решений при риске. По су- ществу, как мы остро почувствуем в дальнейшем, допущения о побуждениях игроков недостаточны для того, чтобы пол- ностью устранить неопределенности этой задачи. Гл. 13 представляет краткий обзор области, по традиции называемой выбором решений при неопределенности, для ко- торой типичным примером служит задача о статистике, пы- тающемся прийти к решению, когда «состояние природы» не- известно, и задача о сочетании неопределенности и риска, когда неопределенность можно свести к стоимости экспери- ментирования. При этом возникает задача — объяснить смысл З* 36 Гл. 2. Теория полезности термина «неизвестное», и, к сожалению, это вынудит нас дать некоторые замечания об основах теории вероятностей. Хотя мы должны коснуться этой темы, мы не сможем рассмотреть ее как следует. В гл. 14 мы обратимся от индивидуального выбора реше- ний к выбору решений группой. Мы рассмотрим некоторые вопросы, указанные и объясненные Эрроу в книге «Обще- ственный выбор и индивидуальные ценности» [1951(1)], где он разбирает задачу о том, как лучше всего сочетать проти- воречивые системы предпочтений членов общества так, чтобы прийти к компромиссной системе предпочтений для общества как целого. Этот материал было целесообразно включить •в книгу ввиду сходства этой задачи с задачей об арбитраже в играх с торгом и в кооперативных играх двух лиц (см. гл. 6), :а также с играми против природы (см. гл. 13). Имея в виду эту общую схему, мы можем теперь сказать •несколько слов о выборе решений при определенности и об основных предпосылках современной теории полезности. Бо- лее полные разборы теории полезности имеются в работах Адамса [1954], Эдвардса [1954(3)] и Савиджа [1954]. § 2.2. Индивидуальный выбор решений при определенности Выбор решений при определенности—это широкая об- ласть. Большую часть материала формальной теории в эко- номике, психологии и науках об управлении можно отнести к этой рубрике. До последнего времени в качестве основного математического аппарата здесь применялся анализ для оты- скания максимумов и минимумов функций и вариационное исчисление для отыскания функций, производственных пла- нов, графиков движения оборотных фондов и т. д., которые обеспечивают оптимальное распределение времени и ресурсов для так называемого динамического программирования. Мы не будем разбирать эти вопросы, потому что они имеют лишь отдаленную связь с теорией игр, но мы кратко очертим неко- торые идеи, приведшие к теории полезности. В типичном виде выбор решений при определенности сво- дится к следующему: дано множество возможных действий и нужно выбрать одно (или все) из тех, которые дают макси- мум (или минимум) некоторого данного показателя. В мате- матических символах: пусть х—любое действие в данном •§ 2.2. Индивидуальный выбор решений при определенности 37 множестве F возможных действий и пусть f(\) — показатель, связанный с х (или оценивающий х); нужно найти те дей- ствия х^ из F, которые дают максимальный (или мини- мальный) показатель, т. е. ^(х^^^х) для всех х из F. Очень часто суть задачи состоит в надлежащем выборе соответствующего показателя. Во многих экономических си- туациях подходящими показателями являются прибыль и убы- ток, но в других условиях такие величины нелегко опреде- лить. Рассмотрим, например, человека, который хочет купить одну из нескольких картин. В некотором смысле мы можем утверждать, что сущность задачи такова: как индивидууму •следует выбрать показатель качества, чтобы его выбор свелся к отысканию альтернативы с максимальным показа- телем? Практически мы можем, конечно, обойти эту задачу, ибо для этого нам нужно лишь наблюдать то, что он будет поку- пать. Вместо этого мы можем наблюдать его поведение в ряде •более простых ситуаций и по этому поведению предсказать •его покупку. Например, при проведении эксперимента его можно инструктировать следующим образом. «Перед вами де- сять ценных репродукций. Мы будем предлагать их вам па- рами, и вы будете говорить нам, какую картину каждой пары вы предпочли бы иметь. После того как вы укажете свои предпочтения для всех сравниваемых пар, мы выберем одну пару наугад и предложим вам ту картину, которую вы раньше выбрали. Поэтому вы заинтересованы в том, чтобы как можно лучше проявить свои истинные вкусы». Однако все вы- боры покупателя можно объяснить, предположив, что он имеет простой порядок оценки картин, от наименее нравящихся до наиболее нравящихся, такой, что он всегда выбирает в любой •сравниваемой паре картину более высокого порядка. В таком •случае его выборы можно выразить тем, что приписать кар- . тинам числа таким образом, чтобы они отражали этот поря- док предпочтений, например 1 — наименее нравящейся, 2 — •следующей и, наконец, 10—наиболее нравящейся. Это можно сделать, если его предпочтение удовлетворяет условию тран- зитивности: если при сравнении пары (А, В) он предпочи- тает Л, а при сравнении пары (В, С) предпочитает В, то при сравнении пары (А, С) предпочтительнее Л, и это относится ко всем возможным тройкам альтернатив Л, В и С. Понятие транзитивности крайне важно, и его нужно хорошо понять. Это вполне естественное и часто применяемое понятие: если Литература Нижеследующая библиография, несмотря на большой объем, яв- ляется далеко не исчерпывающей. Она сравнительно полно охватывает самое теорию игр и в меньшей степени—смежные вопросы. Это не должно вызвать затруднений, поскольку в других недавно опубликованных рабо- тах имеются превосходные библиографические списки по этим темам. Библиография по основам теории вероятностей приведена в книге Са- виджа [1954], по линейному программированию, теории выпуклых мно- жеств и линейным неравенствам—в сборнике под редакцией Куна и Таккера [1956 (2)], по теории статистических решений—в монографии Блекуэлла и Гиршика [1954], по теории полезности—в статье Эдвардса [1954 (3)] и в книге Савиджа [1954]. Адаме (Adams E. W.) A survey of Bernoullian utilities and applications, Behavioral models project, Tech. Rep. 9, Columbia Univ., 1954. Алле (Allais M.) Le comportement de 1'homme rationnel devant le risque. Critique des postulats et axioms de 1'ecole Americaine, Econometrica, 21, 503—546, 1953. Андерсон (AndersonO.) Theorie der Gliicksspiele und okonomisches Verhalten. Schvseizerische Zeifschrift fur Volkswirtschaft und Statistik, 85, 43—53, 1949. Армстронг (ArmstrongW. E.) The determinateness of the utility function, Economic Journal, 49, 453— 467, 1939. Армстронг Utility and the theory of welfare, Oxford Economic Papers, New Se- ries, 3, 259—271, 1951. Баумол (В a u m о 1 W. J.) The Neumann — Morgenstern utility index — an ordinalist view Journal Political Economy, 59, 61—66, 1951. Беллман (Bellman R.) On the theory of dynamic programming, Proc. Nat. Acad Sci U. S. A, 38, 716—719, 1952 (1). Беллман On games involving bluffing, Rend. Circolo mat. Palermo, Ser. 2, 1, 139—156, 1952 (2). Беллман On a new iterative algorithm for finding the solutions of games and linear programming problems, Res. Mem. P-473, RAND Corporation, Santa Monica, 1953. Беллман Decision making in the face of uncertainty, I, II, Naval Research Lo- gistics Quart., 1, 230—232, 327—332. 1954. Литература 609 Беллман, Б л е к у э л л (Bellman R., В 1 а с k w e 11 D.) Some two-person games involving bluffing, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 35, 600—605, 1949. Б ен н ио н-(В e n n i о n E. G.) Capital budgeting and game theory, Harvard Business Review, 34, 115—123, 1956. Б ер ж (В ег ge С.) Sur une theorie ensembliste des jeux alternatifs, Journal math. pures et appl., 32, 129-184, 1953 (1). Б е р ж Le probleme du gain dans la theorie generalisee des jeux sans infor- mations, Bull. Soc. math. France. 81, 1—8, 1953 (2). Б е ри а р (В er n a r d J.) The theory of games of strategy as a modern sociology of conflict, Amer. Journal Sociology, 59, 411—424, 1954. Берч (В irch В. J.) On games with almost complete information, Proc. Cambridge Philos. Soc., 51, 275—287, 1955. Биттер (Bitter F.) The mathematical formulation of strategic problems. Proceedings of the Berkeley Symposium, J. Neyman (ред.), pp. 223—228, Univ. California Press, Berkeley, 1949. Б л ay (В lau J. H.) The existence of social welfare functions, Econometrica. Блекетт (Blackett D. W.) Some Blotto games, Naval Research Logistics Quart., 1, 55—60, 1954. Блекуэлл (Blackwell D.) On randomization in statistical games with k terminal actions, in Kuhn and Tucker [Г953], pp. 183—188, 1953. Блекуэлл On multi-component attrition games, Naval Research Logistics Quart., 1, 210-216, 1954 (1). Блекуэлл Game theory, in Operations research for management, M с С 1 о s- key J. F., Trefethen F. N., (ред.), pp. 238—253, Johns Hopkins Press, Baltimore, 1954 (2). Блекуэлл An analog of the minimax theorem for vector payoffs, Pacific Journal Math., 6, 1—8, 1956 (1). Блекуэлл Controlled random walks, Institute of Mathematical Statistics, Seattle, 1956 (2). Блекуэлл, Гиршик (Blackwell D., GirshickM. A.) Theory of games and statistical decisions, Wiley, New York, 1954. [Рус- ский перевод: Блекуэлл Д., Гиршик M. А., Теория игр и статисти- ческих решений, ИЛ, M., 1958.] Б л эк (Black D.) On the rationale of group decision making, Journal Political Economy, 56, 23—24, 1948 (1). Б л эк • The decisions of a committee using a special majority, Econometrica, 16, 245—261, 1948 (2). 39 Зак. 1465. Р. Д. Льюс. X. Райфа 610 Литература Блэк The elasticity uf committee decisions with an altering size of majority, . Econometrlca. 16, 262—270, 1948 (3). Боненбласт, Дрешер, Гиршик, Гарри с, Хельмер, Мак-Кинси, Шепли, Сноу (Bohnenblust H., Dresher М., Girshick М. А„ Harris Т. Е., Helmer О., McKinsey J. С. С., S h а р 1 е у L. S., S n о w R. N.) Mathematical theory of zero-sum two-person games with a finite or a continuum of strategies, RAND Corp., Santa Monica, Calif., 1948. Боненбласт, Карлин (Bohnenblust H., Karlin S.) On a theorem of Ville, in Kuhn and Tucker [1950], pp. 155—160, 1950. Боненбласт, Карлин, Шепли (Bohnenblust H., Kar- lin S., S h а р 1 еу L. S.) Solutions of discrete two-person games, in Kuhn and Tucker [1&50], pp. 51—72, 1950 (1). Боненбласт, Карлин, Шепли Games with continuous, convex payoff, in Kuhn and Tucker [1950], pp. 181—192, 1950 (2). Боннессен, Фенхель (Bonnessen Т., Fenchel W.) Theorie der konvexen Korper, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Bd. Ill, T. I, Springer, Berlin, 1934. Б о р ель (В о re I E.) La theorie du jeu et les equations integrales a noyau symetrique gauche, C. R. Acad. Sc., 173, p. 1304, 1921. Б о р ел ь Sur les jeux ou le hasard se combine avec 1'habilete des joueurs, C. R. Acad. Sc., 178, p. 24, 1924. Б о р ел ь Sur les systemes de formes lineaires a determinate symetrique gauche et la theorie generale du jeu, C. R. Acad. Sc., 184, p. 52, 1927. Б о р е л ь . Applications aux jeux de hasard, Traite du calcul des probabilities et de ses applications, Gauthier-Villars, Paris, 1938. Б от т (Bott R.) Symmetric solutions to majority games, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 319—323, 1953. Браун (Brown G. W.) Iterative solutions of games by fictious play, in Koopmans [1951], pp. 374—376, 1951. Браун, Купманс (Brown G. W., Koopmans Т. С.) Computational suggestions for maximizing a linear function subject to linear inequalities, in Koopmans [1951], pp. 377—380, 1951. Браун, фон Нейман (Brown G. W., von Neumann J.) Solutions of games by differential equations, in Kuhn and Tucker [1950], pp. 73—79, 1950. Брейтуэйт (Braithwaite R. В.) Theory of games as a tool for the moral philosopher, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1955. Б р о ее (В г о ss I. D. J.) Design for decision, Macmillan, New York, 1953. Вайда (Vajda S.) Theory of games and linear programming, Wiley, New York, 1956. [Русский перевод в сб. Кун и Таккер (ред.). Линейные неравенства и смежные вопросы, ИЛ, М., 1959.] Литература 611 В а л ь д (W a I d A.) Contributions to the theory of statistical estimation and testing hypo- theses, Ann. Math. Statistics, 10, 299—326, 1939. В альд On the principles of statistical inference, Notre Dame Mathematics Lectures, № 1, Univ. of Notre Dame, Indiana, 1942. В а л ь д Generalization of a theorem by von Neumann concerning zero-sum two- person games, Ann. Math., 46, 281—286, 1945 (1). В ал ь д Statistical decision functions which minimize the maximum risk, Ann. Math., 46, 265—280, 1945 (2). В ал ь д Theory of games and economic behavior by John von Neumann and Oskar Morgenstern, Rev. Econ. Statistics. 39, 47—52, 1947 (1). В ал ьд Foundation of a general theory of sequential decision functions, Econo- metrica, 15, 279—313, 1947 (2). В а л ьд Statistical decision functions, Wiley, New York, 1950 (1). В а л ь д Note on zero-sum two-person games, Ann. Math., 52, 739—742, 1950 (1). В а л ь д Basic ideas of a general theory of statistical decision rules, Proc. Inter- national Congress of Mathematicians, 1, 231—243, American Mathematical Society, Providence, 1952. Вальд, Вольфовиц (Wald A., Wolfowitz J.) Bayes solution of sequential decision problems, Ann. Math. Statistics, 21, 82—99, 1950. Вальд, Вольфовиц Two methods of randomization in statistics and theory of games, Ann. Math., 53, 581—586, 1951. Be иль (Weyl H.) Elementary proof of a minimax theorem due to von Neumann, in Kuhn and Tucker [1950], pp. 19—25, 1950 (1). В ёйл ь The elementary theory of convex polyhedra, in Kuhn and Tucker [1950], pp. 3—18, 1950 (2). Викри (Vickrey W.) Strong and weak solutions in the theory of games, Depart. Economics, Columbia Univ., 1953. В и ль (Ville J.) Note sur la theorie generale des jeux ou intervient 1'habilite des jouers, in В о г е 1 Е. et Ville J., Applications aux jeux de hasard, T. IV, Fasci- cule II, 1938. Вильяме (W i 11 i a m s J. D.) The compleat strategyst, being a primer on the theory of games of stra- tegy, McGraw-Hill, New York, 1954. [Русский перевод: Вильяме Дж. Д., Совершенный стратег или Букварь по теории стратегических игр, изд. Со- ветское Радио, М., I960.] Вольфовиц (W о 1 f о w i t z J.) Minimax estimates of the mean of a normal distribution with known variance, Ann. Math. Statistics, 21, 218—230, 1950. 39* 612 Литература Вулф (Wolfe Ph.), ред. Report of the third conference on games. Logistics Research project, of games, Logistics Research project, Department of Mathematics, Princeton Univ., 1965. Вулф, ред. Report of the third conference on games, Logistics Research project, Department of Mathematics, Princeton Univ., 1967. Г ей л (Gale D.) Convex polyhedral cones and linear inequalities in Koopmans [1951], pp. 287—297, 1951. Гейл A theory of ra-person games with perfect information, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 39, 496—501, 1953. Гейл, Кун, Такк.ер (G а 1 е D., К и h n H. W., Т u ck e r A. W.) On symmetric games, in Kuhn and Tucker [I960], pp. 81—88, 1950 (1). Гейл,Кун,Таккер Reduction of game matrices, in Kuhn and Tucker [19SO], pp. 89—96, 1950 (2). Гейл,Кун,Таккер Linear programming and the theory of games, in Koopmans [1951], PP. 317—329, 1951. Гейл, Стюарт (G ale D.,StewartF. M.) Infinite games with perfect information, in К ч h n and Tucker [1953], pp. 245—266, 1963. Гейл, Шерман (G a 1 e D., S h e r m a n S.) Solutions of finite two-person games, in Kuhn and Tucker [1950], pp. 37—50, I960. Герстенхабер (Gerstenhaber M.) Theory of convex polyhedral cones, in Koopmans [1951], pp. 298—316, 1951. Г и р ш и к, Рубин (G i г s с h i с k M. A., R u b i n H.) A Bayes approach to a quality control model, Ann. Math. Statistics, 23, 114—125, 1952. Гликсберг (Glicksberg I.) Minimax theorem for upper and lower semicontinuous payoffs, Research Memorandum RM-478, RAND Corporation, Santa Monica, 1950. Гликсберг, Гросс (Glicksberg I..Gross 0.) Notes on games over the square, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 173—184, 1953. Голдман, Танкер (Goldman A. J., Tucker A. W.) Theory of linear programming, in Kuhn and Tucker [1966 (2)], pp. 53—97, 1966. Гофман, Фестингер, Лоуренс (Hoffman Р. J., Festin- ger L., Lawrence D. H.) Tendencies toward group comparability in competitive bargaining, in Thrall, Coombs and Davis [1954], pp. 231—253, 1954. Гуд (Good I. J.) Probability and the weighing of evidence, Griffin, London, Hafner, New York, I960. Гудман (Goodman L. A.) On methods of amalgamation, in Thrall, Coombs and Davi? [1954], pp. 39--48, 1954. Литература 613 Гудман, Марковиц (Goodman L. A., Markowitz H.) Social welfare functions based on rankings, Cowles Commission Discus- sion Paper, Economics, № 2017, 1951. Гудман, Марковиц Social welfare functions based on individual rankings, American Journal Sociology. 58, 257—262, 1952. Гурвиц (Hurwicz L.) Optimality criteria for decision making under ignorance, Cowles Commis- sion Discussion Paper, Statistics, № 370, 1951 (1). Гурвиц Some specification problems and applications to econometric models, Econometrica. 19, 343—344 (abstract), 1951 (2). Гурвиц What has happened to the theory of games? American Economic Asso- ciation, 65, 398—405, 1953. Гуревич, Уолман (Hurewicz W., Wallman H.) Dimension theory, Princeton Univ. Press, Princeton, 1948. Дайне (Dines L. L.); On a theorem of von Neumann, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 33, 329—331. 1947. Даль (D a h 1 R.) A preface to democratic theory, Univ. Chicago Press, Chicago, 1956. Дани (D u nne J. J.) The theory of games in extensive from, Ph. D. thesis, Depart. Math. Univ. Notre Dame, 1963. Да иски H (D a n ski n J. M.) Fictitious play for continuous games. Naval Research Logistics Quart., 1, 313—320, 1954. Данцгг (Dantzig G. B.) A proof of the equivalence of the programming problem and the game problem, in Koopmans [1951], pp. 330—338, 1951 (1)'. Д анциг Maximization of a linear function of variables subject to linear inequali- ties, in Koopmans [1951], pp. 339—347, 1951 (2). Д а н циг Application of the simplex method to a transportation problem, in Koopmans [1961], pp. 359—373, 1951 (3). Д анциг Constructive proof of the min-max theorem, Pacific Journal Mathematics, 6, 25—33, 1956. Дворецкий, Вальд, Вольфовиц (Dvoretsky A., WaldA„WolfowitzJ.) Elimination of randomization in certain statistical decision problems and zero-sum two-person games, Ann. Math. Statistics, 22, 1—21, 1951 (1). Дворецкий, Вальд, Вольфовиц Recent suggestions for the reconciliation of theories of probability, in N e у m a n J. (ред.) Proc. Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, pp. 217—226, Univ. California Press, Berkeley, 1961 (2). Дейвидсон, Маршак (Davidson D., Marschak J.) Experimental tests of stochastic decision theory, Cowles Foundation Discussion Paper 22, Yale Univ., 1957 (неопубликовано). 40 ,3ак. 1465. Р. Д. Льюс, X. Райфа 614 Литература Дейвидсон, С и ге л, Сапе (DavidsonD.,SiegelS.,Sup- pes P.) Some experiments and related theory on the measurement of utility and subjective probability, Appl. Mat. and Statistics Laboratory, Tech. Rep. l Stanford Univ., Stanford, 1965. Де-Поссель (D e Possel R.) Sur la theorie mathematique des jeux de hasard et de reflexion, Actua- lites scientifiques et industrielles, № 436, Hermann, Paris, 1986. Де-Финетти (De Finetti B.)) La prevision: ses lois logiques, ses sources subjectives, Annales de 1'Institut H. Poincare, 7, 1—68, 1937. Дейч (Deutsch К. W.) Applications of game theory to international politics; some opportuni- ties and limits, Center of international studies, Princeton Univ., Princeton. Джефрис (Jeffreys H.); Theory of probability, 2nd ed., Oxford Univ. Press, London, 1948. Джиллис (Gillies D. В.); son Discriminatory and bargaining solutions to a class of symmetric ra-per- games, in Kuhn and Tucker [1963], pp. 325—342, 1963 (1). Джиллис Some theorems on n-person games, Ph. D. thesis, Depart. Math., Prin- ceton Univ., Princeton, 1953 (2). Джиллис, Мейберри, фон Нейман (Gillies D. В., Мау- b еггу J. P., vo n NeumannJ.) Two variants of poker, in Kuhn and Tucker [1963], pp. 13—50, 1953. Джонс (J о h n s M. V., Jr.) Non-parametric empirical Bayes procedures, Ph. D. thesis, Depart. Math. Statistics, Columbia Univ., 1966. Джорджеску-Реген (Georgescu-Roegen N.) The pure theory of consumer's behavior, Quart. Journal Economics, 50, 545—593, 1936. Дорфман (D о г f m a n R.) Applications of the simplex method to a game theory problem, in Koopmans [1951], pp. 348—358, 1961. ' Дрешер (DresherM.) Methods of solution in game theory, Econometrica, 18, 179—181, 1950. Дрешер Games of stategy, Math. Magazine, 25, 93—99, 1951. Дрешер Solution of polynomial-like games, Proc. Internal. Congress Math., 1, 1950, American Mathematical Society, Providence, pp. 334—385, 1952. Дрешер, Карлин (Dresher M., К а г 1 i n S.) Solutions of convex games as fixed points, in Kuhn and Tucker [1963], pp. 75—86, 1963. Дрешер, Карлин, Шепли (Dresher M., Karlin S., Shapley L. S.) Polynomial games, in Kuhn and Tucker [1950], pp. 161—180, 1950. Дрешер, Танкер, Вулф (Dresher M., Tucker A. W., Wolfe Ph.), ред. Contributions to the theory of games, III, Annals of Math. Studies, 39, Princeton Univ. Press, Princeton, 1957. Дуб (Do ob J. L.) Stochastic processes, Wiley, New York, 1953. [Русский перевод: Д у б Д. Л., Вероятностные процессы, ИЛ, M., 1956.] Литература 615 Дэлки (Dalkey N.); Equivalence of information patterns and essentially determinate games, in Kuhn and Tucker [1953], p. 217—244, 1953. Жильбо (Guilbaud G. Т.) La theorie des jeux, Economic appllquee, 1949. Зейтен (ZeuthenF.) Problems of monopoly and economic warfare, Routledge, Lon- don, 1980. Зелигман (Seligman В. В.) Games theory and collective bargaining, Labor and Nation, 8, 50—52, 1952. Зимыель (Simmel G.) Soziologie, 3 Aufl., Munchen — Leipzig, 1923; англ. перевод: The socio- logy of Georg Simmel, Free Press, Glencoe, 1950. HHaAa(InadaKen-ichi) Elementary proofs of some theorems about the social welfare function, Ann. Inst. Statistical Math., 6, 115—122, 1954. Ин а да Alternative incompatible conditions for a social welfare function, Econo- metrica, 23, 396—399, 1955. И с бел л (Is bell J. R.) A class of game solutions, Proc. Amer. Math. Soc., 6, 346—348, 1955. Кайзен (KaysenC.) The minimax rule of the theory of games, and the choices of strategies under conditions of uncertainty, Metroeconomica, 4, 5—14, 1952. Какутани (Kakutani Sh.) A generalization of Brouwer's fixed point theorem, Duke Math. Journal, 8, 457—458, 1941. Калиш, Милнор, Нэш, Не ринг (Kalisch G. К., Mil- no r J. W., Nash J. F„ Nering E. D.) Some experimental n-person games, Research Memorandum RM-948, .RAND Corporation, Santa Monica, 1952. Калиш, Милнор, Нэш, Неринг Some experimental ra-person games, in Thrall, Coombs and D a v i s [1964], pp. 301—327, 1954. Капланский (Kaplansky I.) A contribution to von Neumann's theory of games, Ann. Math., 46, 474—479, 1945. Карлин (KarlinS.) Operator treatment of minmax principle, in Kuhn and Tucker [1950], pp. 133—154, I960. •Карлин Continuous games, Proc. Nat. Acad. Scl. U.S.A., 37, 220—223, 1951. Карлин Reduction of certain classes of games to integral equations, in Kuhn and Tucker [1963], pp. 125—158, 1963 (1). Карлин On a class of games, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 159—172, 1953 (2). Карлин, Шепли (Karlin S., Shapley L. S.) Geometry of reduced moment spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 35. 673—679, 1949. 40*. 616 Литература Квандт (Quandt R. E.) A probabilistic theory of consumer 'behavior, Quart. Journal Economics, yn Kny__CQC 1956 Кейвуд, Томас (Caywood Т. E., Thomas С. J.) Applications of game theory in fighter versus bomber combat, Journal Operations Research Soc. America, 3, 402—411, 1955. Кемень, Де-Леу, Снелл, Томпсон (Kemeny J. G., D e- Leeuw К., Snell J. L., Thompson G. L.) Project Report 1, Dartmouth Mathematics Project, Dartmouth College, Hanover, 1965. К и пин г (Keeping E. S.) Statistical decisions, Amer. Math. Monthly, 63, 147—159, 1956. Копленд (Copeland A. H.) John von Neumann and Oskar Morgenstern's theory of games and eco- nomic behavior, Bull. Amer. Math. Soc., 51, 498—604, 1945. Копленд . ^ A «reasonable» social welfare function, Univ. Michigan seminar on applications of mathematics to the social sciences, 1961. Крентель, Мак-Кинси, Куайн (Krentel W. D., Mc-Ki ri- se у J. С. С., Quin-e W. V.) A simplification of games in extensive form, Duke Math. Journal, 18, 885—900, 1951. Кристи (Christie L. S.) Information handling in organized groups, introduction, in M с С 1 о s- key J. F., Coppinger J. M. (ред.). Operations research in management, II, pp. 417—421, Johns Hopkins Press, Baltimore, 1956. Куме (Coombs С. Н.) Psychological scaling without a unit of measurement, Psychological Re- viesS, 57, 145—158, 1950. Куме A theory of psychological scaling, Engineering Research Bulletin 34, Univ. Michigan Press, Ann Arbor, 1962. Куме Social choice and strength of preference, in Thrall, Coombs and Da vis [1954], pp. 69^-86, 1954. Кун (Kuhn H. W.) Extensive games, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 36, 570—576, 1950 (1). Кун A simplified two-person poker, in Kuhn and Tucker [1950], ;)p. 917—103, 1950 (2). Кун Lectures on the theory of games, Report of the Logistics Research pro- ject, Office of Naval Research, Princeton Univ., Princeton, 1962. Кун, ред. Report of an Informal conference on the theory of ra-person games, Logistics Research project, Depart. Math., Princeton Univ., 1953 (1). Кун Extensive games and the problem of information, in Kuhn and Т u- cker [1953], pp. 198—216, 1953 (2). Кун On certain convex polyhedra. Bull. Amer. Math. Soc., 61, 557 (ab- stract 790), 1955. Литература 617 Кун, Таккер (К u h n H. W., Tucker A. W.), ред. Contributions to the theory of games, I, Annals of Mathematics Studies, 24, Princeton Univ. Press, Princeton, 1950. Кун, Таккер, ред. Contributions in the theory of games, II, Annals of Mathematics Stu- dies, 28, Princeton Univ. Press, Princeton, 1963. Кун, Таккер Theory of games. Encyclopedia BrUannica, 10, 5—10, 1956 (1). Кун, Таккер Linear inequalities and related systems, Annals of Mathematics Stu- dies, 38, Princeton Univ. Press, Princeton, 1956 ('2). [Русский перевод: Кун и Таккер (ред.), Линейные неравенства и смежные вопросы, ИЛ, M., 1959.] К у п м а н с (К о о р m a n s Т. С.), ред. Activity analysis of production and allocation (proceedings of a confe- rence), Cowles Commission Monograph 13, Wiley, New York, 1951. Лaдepмaн(LadermanJ.) On the asymptotic behavior of decision procedures, Ann. Math. Sta- tistics, 26, 551—575, 1955. Л е м а н (L е h т а п п E. L.)) On the existence of least favorable distributions, Ann. Math. Statistics, 23, 408—416, 1952. Л е м к е (L е т k е С. Е.) The dual method of solving the linear programming problem, Naval Research Logistics Quart., 1, 36—47, 1954. Л у м и с (L о о т i s L. H.) On a theorem of von Neumann, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 32, 213—215, 1946. Лью с (Luce. R. D.) A definition of stability for n-person games, Ann. Math., 59, 357— 366, 1954. Л ьюс ф -stability; a new equilibrium concept, for n-person game theory. Ma- thematical Models of Human Behavior, Proc. of a symposium, pp. 32—44, Dunlap and Associates, Stanford, 1955 (1). Л ьюс fe-stability of symmetric and of quota games, Ann. Math., 62, 517—527, 1965 (2). Л ью с A note on the paper «Some experimental n-person games», 1955 (3). Л ью с Semiorders and a theory of utility discrimination, Econometrica, 24, 178—191, 1956 (1). Л ьюс A probabilistic theory of utility, Tech. Rep. 14, Behavioral Models (pro- ject, Columbia Univ., New York, 1956 (2). Лью с, Адаме (L u се R. D., A d а т s E. W.) The determination of subjective characteristic functions in games with misperceived payoff functions, Econometrica, 24, 158—171, 1956. Л ь ю с, Р о г о в (L и с е R. D., R о g о w А. А.) A game theoretic analysis of congressional power distributions for a stable two-party system, Behavioral Sci., 1, 83—95, 1956. 618 Литература Л ь ю с, Т а к к е р (L u с е R. D., Т и с k e г A. W.) Contributions in the theory of games, IV, Annals of Mathematics 'Stu- dies, 40, Princeton Univ. Press, Princeton, 1958. M а д ж у м д а р (М a j и m d а г Т.) Choice and revealed preference, Econometrica, 24, 71—73, 1956. Мак -Доиалд (McDonaldJ.) Poker; an american game, Fortune, 37, 128—131, 181—187, 1948. Мак-Доналд The theory of strategy, Fortune. 38, 100—110, 1949. Мак-Доналд Strategy in poker, business, and war, Norton, New York, 1950. Мак-Доналд Strategy of the seller — or what businessmen won't tell, Fortune, 46, 124—127, 197—198, 1952. Мак-Кинси (М с К i n s e у J. С. С.) Notes on games in extensive form, Research Memorandum RM-157, RAND Corporation, Santa Monica, I960 (1). Мак-Кинси Isomorphism of games, and strategic equivalence, in К u h n and Т u- cker [1950], pp. 117—130, 1950 (2). Мак-Кинси Introduction to the theory of games, McGraw-Hill, New York, 1962 (1). [Русский перевод: Мак-Кинси Дж., Введение в теорию игр, Физматгиз (в печати).] Ма.к-Кинси Some notions and problems in game theory, Bull. Amer. Math. Soc„ 58, 591—611, 1952 (2). Марковиц (Markowitz H.) The utility of wealth, Journal Political Economy, 60, 151—158, 1952. Map ч. Левитан (March J. G., Levitan R. E.) On the normative theory of political representation, Graduate School of Industrial Administration, Carnegie Inst. Technol., 1955. Маршак (MarschakJ.) Neumann's and Morgenstern's new approach to static economics, Jour- nal Political Economy, 54, 97—115, 1946. Маршак Rational behavior, uncertain prospects, and measurable utility, Econo- metrica, 18, 111—141, 1950. Маршак Towards an economic theory of organization and information, in Thrall, Coombs and Da vis [1964], pp. 187—220, 1954. Маршак Norms and habits of decision making under certainty, Mathematical Models of Human Behavior, Dunlap and Associates, pp. 45—54, 1955. Me и (May К. О.) A set of independent necessary and sufficient conditions for simple majority decision, Econometrica, 20, 680—684, 1952. Мей A note on the complete independence of the conditions for simple majo- rity decision, Econometrica, 21, 172—173, 1953. Мей Intransitivitv, utility, and the aggregation of preference patterns, Econo- metrica, 22, 1—13, 1954. Литература 619 Мейберри, Нэш, Шубик (Mayberry J. P., Nash J. P., S h u b i k M.) A comparison of treatments of a duopoly situation, Econometrica, 21, 141—154, 1953. Me из (Mays W. J.) The valuation of risks, Amer. Math. Monthly, 52, 138—148, 1945. Милнор (Milnor J. W.)j Games against nature, Research Memorandum RM-679, RAND Corpo- ration, Santa Monica, 1951. Милнор Reasonable outcomes for /i-person games. Research Memorandum RM-916, RAND Corporation, Santa Monica, 1952. Милнор Sums of positional games, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 291— 302, 1953. Милнор Games against nature, in Thrall, Coombs and Da.vis [1964], pp. 491—60, 1964. Милнор, Ш е п л и (Milnor J. W., S h а р 1 е у L. S.) On games of survival. Research Memorandum P-622, RAND Corpo- ration, Santa Monica, 1955. Миле (Mills W. H.) The four person game—edge of the cube, Ann, Math.. 59, 367—378, 1954. Морген штерн (Morgenstern 0.) Oligopoly, monopolistic competition, and the theory of games, Proc. Amer. Economic Review. 38, 10—18, 1948. Моргенштерн Economics and the theory of games, Kyklos, 3, 294—308, 1949 (I). Моргенштерн The theory of games, Scientific American, 180, 22—25, 1949(2). Моргенштерн Theorie des Spiels, Die Amerikanische Rundschau, 5, 76—87, 1949 (3). Mop генштерн Die Theorie der Spiele und des wirtschaftlichen Verhaltens, Teil I, Jahr- buch fur Sozialwissenschaft. 1, 113—139, 1950. Мостеллер, Ноджи (Mosteller P., Nogee Ph.) An experimental measurement of utility. Journal Political Economy, 59, 371—404, 1951. Моцкин, Райфа, Томпсон, Тролл (М о t z k i п Т. S., R a iff a H., Thompson G. L., Thrall R. M.) The double description method, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 51—73, 1953. H а г ел (N a gel E.) of Principles of the theory of probability, International Encyclopedia Unified Science, Vol. I, № 6, Univ. Chicago Press, Chicago, 1939. фoнHeймaн(vonNeumannJ.) , Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Math. Annalen, 100, 295—320, 1928. фон Нейман Uber ein okonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes, Ergebnisse eines Mathematik Kollo- quiums, 8, 73—83, 1937. фон Нейман 1953. A certain zero-sum two-person game equivalent to the optimum assign- ment problem, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 5—12, '"м 620 Литература фон Нейман A numerical method to determine optimum strategy, Naval Research Logistics Quart.. I, 109—115, 1954. фон Нейман, Моргенштерн (von Neumann J., M о г- genstern 0.) Theory of games and economic behavior, Princeton, 1944 (1 ed.), 1947 (2 ed.). Нейман, Пирсон (Neyman J., Pearson E. S.) Contributions to the theory of testing statistical hypotheses, Statistical Research Memoirs, Part I, II, 1966, 1938. Н о р м а н (Norman R. Z.J On the convex polyhedra of the symmetric traveling salesman problem, Bull. Amer. Math. Soc., 61, 559 (abstract 804), 1955. Нэш (Nash J. F.) Equilibrium points in n-person games, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 36, 48—49, 1950 (1). Нэш The bargaining problem, Econometrica, 18, 155—162, 1950 (2). Нэш Non-cooperative games, Ann. Math., 54, 286—295, 1951. Нэш Two-person cooperative games, Econometrica, 21, 128—140, 1953. Нэш, Ш е п л и (N a s h J. P., S h a p 1 е у L. S.) A simple three person poker game, in Kuhn and Tucker [1950], pp. 105—116, 1950. Оттер, Данн (О 11 er R., D u n n е J. J.) Games with equilibrium points, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 39, 310—314, 1953. Паксон (Paxson Е. W.) Recent developments in the mathematical theory of games, Econo- metrica, 17, 72—73, 1949. Папандреу (Papandreou A. G.) An experimental test of an axiom in the theory of choice, Econometrica, 21, 447 (abstract), 1953. Папандреу, Зауерлендер, Браунли, Г у рви ц, Франк- лин (Papandreou А. G., Sauerlender О. H., Brownlee О. Н., Hurwicz L„ Franklin W.) A test of a proposition in the theory of choice, Univ. Minnesota, 1954 (неопубликовано). П ар ето (Р a ret о V.) Manuel d'economic politique, Ide ed., 2de ed., Giard, Paris, 1909. 1927. Пейсаков (PeisakoffM.P.) More on games of survival, Research Memorandum RM-884, RAND Corporation, Santa Monica, 1952. Раднер, Маршак (RadnerR.,MarschakJ.) Note on some proposed decision criteria, in Thrall, Coombs and Da vis [1954], pp. 61—68, 1964. Р айфа (Raiffa Н.) Arbitration schemes for generalized two-person games, Report M720-1, R30, Engineering Research Inst., Univ. Michigan, Ann Arbor, 1951. Р а и ф а Arbitration schemes for generalized two-person games, in К u h n and Tucker [1953], pp. 361—387, 1953. Литература 621 Рамзи (Ramsey F. P.) The foundations of mathematics and other logical essays, chapt. VII, Harcourt, Brace, New York, 1931. Ричардсон (Richardson M.) On weakly ordered systems, Bull. Amer. Math. Soc., 52, 113—116, 1946. Ричардсон Extension theorems for solutions of irreflexive relations, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 39, 649—655, 1953 (1). Ричардсон Solutions of irreflexive relations, Ann. Math., 58, 573—590, 1953 (2). Ричардсон Relativization and extension of solutions of irreflexive relations, Pacific Journal Math., 5, 551—584, 1955. Ричардсон On finite projective games, Proc. Amer. Math. Soc., 7, 458—465, 1956. Роббинс (Robbins Н. Е.) Competitive estimation, Ann, Math. Statistics, 21, "311— 312 (abst.), 1950. Р о б б и я с Asymptotically subminimax solutions of compound statistical decision problem, Proc. Second Berkeley Symposium on mathematical statistics and probability, Univ. California Press, 1951. Робинсон (Robinson J.) 1951. Cow- An iterative method of solving a game, Ann. Math., 54, 296—301, Рубин (Rubin H.) The existence of measurable utility and psychological probability, les Commission Discussion Paper, Statistics, № 331, 1949. С а вид ж (Savage L. J.) The theory of statistical decision, Journal Amer. Statistical Association, 46, 55—67, 1951. С ав и д ж The foundations of statistics, Wiley, New York, Chapman and Hall, Lon- don, 1954. Econometrica, 20, Самуэльсон (Samuelson P. A.) Probability, utility, and the independence axiom, 670—678, 1952. Сапе, Уинет (SuppesP.,Winet M.) An axiomatization of utility based on the notion of utility differences, Management Science, 1, 259—270 (1955). Скарф,Шепли (Scarf H., S h а р 1 е у L. S.) Games with information lag, Research Memorandum RM-1320, RAND Corporation, Santa Monica, 1964. CToyH(StoneR.) The theory of games, Economic Journal, 58, 185—201, 1948. Танкер (Tucker A. W.) Game theory and programming, Depart. Math., Oklahoma Agricultural and Mechanical College, Stillwater, 1955. Томпсон (Thompson F. B.) Equivalence of games in extensive form, Research Memorandum RM-759, RAND Corporation, Santa Monica, 1952. Томпсон (Thompson G. L.) Signaling strategies in n-person games, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 267—278, 1953 (1). Томпсон (ThompsonG.L.) Bridge and signaling, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 279—290, 1953 (2). 622 Литература R. M., Coombs С. Н., D a- Тролл, Куме, Дейвис (Thrall v i s R. L.), ред. Decision processes, Wiley, New York, 1954. Тьюки (Tukey J. W.) A problem in strategy, Econometrica, 17, 73 (abstract), 1949. Уолд (Wold Н.) Ordinal preferences or cardinal utility? (with additional notes by G. L. S. Shackle, L. J. Savage, and H. Wold), Econometrica, 20, 661—664, 1952. Уэлдо.н (Weldon J. С.) On the problem of social welfare functions, Canadian Journal Econo- mics and Political Science, 18, 452—463, 1952. Фаркас (Farkas J.) Ober die Theorie der einfachen Ungleichungen, Journal relne und angew. Math., 124, 1—27, 1902. Фаркуарсон (Farquharson R.) Sur une generalisation de la notion d'equilibrium, Comptes rendus hebdomadaires des seances de I'acad. des sci., Paris, 240, 46—48, 1955. Феллер (Eeller W.); An introduction to probability theory and its applications, Vol. I, Wiley, New York, 1950. [Русский перевод: Феллер В., Введение в теорию веро- ятностей и ее приложения, ИЛ, M., 1952.] Фишер (Fisher R. A.) Randomisation, and an old enigma of card play. Math. Gazette, 18,. 294—297, 1934. Флуд (Flood M. M.) Some experimental games, Research Memorandum RM-789, RAND Cor- poration, Santa Monica, 1952. Флуд Game-learning theory and some decision making experiments, in Thrall, Coombs and Da vis [1954], pp. 139—158, 1964 (1). Флуд Environmental non-stationarity in a sequential decision-making expe- riment, in Thrall, Coombs and Davis [1954], pp. 287—300, 1954 (2). Фреше (FrechetM.) Emile Borel, initiator of the theory of psychological games and its application, Econometrica, 21, 95—96, 1953. Фреше, фон Нейман (Frecht M., von Neumann J.) Commentary on the Borel note, Econometrica, 21, 118—127, 1953. Фридман, С а вид ж (Friedman M., Savage L. J.) The utility analysis of choices involving risk, Journal Political Economy, 56, 279—304, 1948. Фридман, Савидж The expected-utility hypothesis and the measurability of utility. Journal Political Economy, 60, 463—474, 1952. Ханнэн (Hannan J. F.) The dynamic theory of decision and games, 1957 (неопубликовано). Ханнэн, Роббинс (Hannan J. F., R о b b.i n s H. E.) Asymptotic solutions of the compound decision problem for two com- pletely specified distributions, Ann. Math. Statistics, 26, 37—51, 1955. X а р ш а н ь и (Н а г s а n у i J. С.) Approaches to the bargaining problem before and after the theory of games; a critical discussion of Zeuthen's, Hick's and Nash's theories, Eco- nometrica, 24, 144—157, 1956. Литература 623 Хауснер (Hausner M.) Games of survival. Research Memorandum RM-776, RAND Corporation, Santa Monica, 1952 (1). Хауснер Optimal strategies in games of survival, Research Memorandum RM-777, RAND Corporation, Santa Monica, 1952 (2)'. Хауснер Multidimensional utilities, in Thrall, Coombs and Davis [1954], pp. 167—180, 1954. X е и в у д (Н а у w о о d О. G., Jr.) Military decision and the mathematical theory of games, Air University Quarterly Review, 4, 17—30, 1950. X е и в у д Military decision and game theory. Journal Operations Research Society America. 2, 365—385, 1954. Хельмер (Helmer 0.) Open problems in game theory, Econometrica, 20, 90, 1952. X е р ш т е и н, M и л н о р (Н е г s t е i n I. N., M i 1 n о г J. W.) An axiomatic approach to measurable utility, Econometrica, 21, 291—297, 1953. Хилдрет (Hildreth С.) Alternative conditions for social orderings, Econometrica, 21, 81—94, 1953. Ходже с, Леман (Hodges J. L., Jr., Lehmann E. L.) The uses of previous experience in reaching statistical decisions, Ann. Math. Statistics, 23, 396—407, . 1952. Чар не с, Купер, Гендерсон (Charnes A., Cooper W. W., Henderson A.) An introduction to linear programming, Wiley, New York, 1953. Чеймпернаун (Champernowne D. G.) A note on J. v. Neumann's article, Review Economic Studies, 13, 10—18, 1946—1946. Чернов (Chernoff H.) Remarks on a rational selection of a decision function, Cowles Commis- sion Discussion Paper, Statistics, № 326, 1949 (неопубликовано). Чернов Rational selection of decision functions, Econometrica, 22, 422—443, 1954. Чёрчмэн (Churchman С. W.) - Theory of experimental inference, Macmillan, New York, 1948. Чёрчмэн, Аккофф, Арнофф (Churchman С. W., Ackoff R. L., Arnoff E. L.) Introduction to operations research, Wiley, New York, 1957. Шекли (Shackle G. L. S.) Expectations in economics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1949. Ill е пли (Shapley L. S.) Information and the formal solution of many-moved games, Proc. Internal. Congress Mathematicians, I, 574—575, American Mathematical Society, Providence, 1952 (1). Ш е п л и Notes on the n-person game, III, some variants of the von Neumann — * 'Morgenstern definition of solution, Research Memorandum RM-817, RAND Corporation, Santa Monica, 1952 (2). 624 Литература Ш е пл и n-person games, V, stable-set solutions including an arbitrary closed component. Research Memorandum RM-1005, RAND Corporation, Santa Monica, 1962 (3). Ш епли Quota solutions of /г-person games, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 343—359, 1963 (1)}. Шепли A value for ra-person games, in Kuhn and Tucker [1953], pp. 307— 317, 1853 (2). Шепли Additive and non-additive set functions, Ph. D. thesis, Depart. Math., Princeton Univ., 1953 (3). Шепли Stochastic games, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.. 39, 1095—1100, 1953 (4), Шепли A symmetric market game, Research Memorandum RM-1533, RAND Corporation, Santa'Monica, 1955. Шепли, CHoy(ShapleyL.S.,SnowR. N.) Basic solutions of discrete games, in Kuhn and Tucker [1950] pp. 27—35, 1950. . Шепли, Шубик (Shap ley L. S., Shubik M.) Solution of n-person games with ordinal utilities, Econometrica, 21, 348 (abstract), 1953. Шепли, Шубик A method for evaluating the distribution of power in a committee system, American Political Science Review, 48, 787—792, 1954. Ш е р м а н (S h e r m a n S.) Games and sub-games, Proc. Amer. Math. Soc., 2, 186—187, 1951. Шифман (ShiffmanM.) Games of timing, in Kuhn and Tucker [1963], pp. 97—123, 1&53. Штейнхауз (S t e i nh a u s H.) The problem of-fair division, Econometrica, 16, 101—104, 1948. Штейнхауз Sur la division pragmatique, Econometrica, 17 (supplement), 315—319, 1949. Штейяхауз Quality control by sampling (a plea for Bayes'rule), Colloquium Mathe- maticum, 2, 98—108, '951. Штиглер (Stigler G. J.) The development of utility theory, Journal Political Economy, Part I, 58, 307—327; Papt II, 58, 373—396, 1950.. Шубик (Shubik M.) Information, theories of competition, and the theory of games, lournal Political Economy, 60, 145—150, 1952 (1). Шубик A business cycle model with organized labor considered, Econometrica, 20, 284—294, 1952 (2). Шубик The role of game theory in economics, Kyklos, 6, 21—34, 1953. Шубик Readings in game theory and political behavior, Doubleday, Garden City, 1964. Литература 625 game theory in management, Management Science. 2, Шубик The uses of 40—54, 1955. Шубик Competition, oligopoly, and the theory of games, 1959. Эверетт (Everett H.) Recursive games, Princeton Univ. Press, Princeton, 1954. Эдварде (Edwards W.) Experiments on economic decision-making in gambling situations, Eco- nometrica, 21, 349—350 (abstract), 1953 (1). Эдварде Probability-preferences in gambling, Amer. Journal Psychology, 66, 349—364, 1953 (2). Эдварде , Probability preferences among bets with differing expected values, Amer. Journal Psychology, 67,'57—67, 1954 (1). Эдварде The reliability of probability preferences, Amer. Journal Psychology, 67, 68—95, 1954 (2). Эдварде The theory of decision making, Psychological Bull., 5, 380—417, 1954 (3). Эджворт (Edgeworth F. Y.) Mathematical psychics, C. Kegan Paul, London, 1881. Эйбрамсон (Abramson L. R.) Linear conditional utility functions, Depart. Math. Statistics, Columbia Univ., 1956 (не опубликовано). Э р р о у (Arrow К. J.) Social choice and individual values, Cowles Commission Monograph 12, Wiley, New York, 1951 (1}. Эрроу situations, Alternative approaches to the theory of choice in risk-taking Econometrica, 19, 404—437, 1951 (2). Эрроу Mathematical models in the social sciences, in Lerner D., L a s s- well H. D. (ред.). The policy Sciences, pp. 129—154, Stanford Univ. Press, Stanford, 1951 (3). Эрроу The meaning of social welfare; a comment on some recent proposals, Tech. Rep. 2, Depart. Economics and Statistics, Stanford Univ., 1951 (4). Эрроу ^ Hurwicz's optimality criterion for decision-making under ignorance, Tech. Rep. 6, Depart. Economics and Statistics, Stanford Univ., 1953. Эрроу, Блекуэлл.Гиршик (Arrow K..J., Blackwell D., Girshick M. A.) Bayes and minimax solutions of sequential decision problems, Econo- metrica, 17, 213—2,43, 1949. Именной указатель Адаме (Adams E. W.) 36, 345, 347, 608, 617 Акофф (Ackoff R. L.) 623 Алле (Allais M.) 49, 608 Андерсон (Anderson 0.) 608 Андерсон (Anderson Т. W.) 16 Армстронг (Armstrong W. E.) 442, 608 Арнофф (Arnoff E. L.) 623 • • • Банах (Banach S.) 464 Баумол (Baumol W. J.) 608 Беллман (Bellman R.) 120, 553, 608, 609 Беннион (Bennion E. G.) 609 Берж (Berge С.) 78, 609 Бернар (Bernard J.) 609 Бернулли Д. (Bernoulli D.) 43 Бернулли Н. (Bernoulli N.) 107 Бернулли Я. (Bernoulli J.) 363 Берч (Birch В. J.) 227, 609 Биттер (Bitter F.) 609 Блау (Blau J. H.) 425, 430, 431, 609 Блекетт (Blackett D. W.) 570, 571, 609 Блекуэлл (Black-well D.) 120, 405, 437, 569, 597—599, .601, 602, 604, 608, 609, 625 Блэк (Black D.) 449, 451, 452, 609 610 Боненбласт (Bohnsnblust H.),i 567, 610 Боннессен (Bonnessen T.) 610 Борель (Borel E.) 20, 107, 121, 561, 570-572, 610, 611 Ботт (Bott R.) 275, 610 Браун (Brown G. W.) 120, 550, 553—555, 610 Браунли (Brownlee О. Н.) 620 Брейтуэйт (Braithwaite R. В.) 196, 197, 199—201, 206, 610 Бросс (Bross I. В. J.) 610 Вайда (Vajda S.) 610 Вальд (Wald A.) 87, 121, 122, 394, 405, 561, 611, 613 Вейль (Weil H.) 494, 610 Викри (Vickrey W.) 16, 262, 276— 279, 611 Виль (Ville J.) 121, 494, 561, 611' • Вильяме (Williams J. D.) 611 Вольфовиц (Wolfowitz J.) 611, 613 Вулф (Wolfe Ph.) 273, 276, 612, 614 Гаррис (Harris T. E.) 610 Гейл (Gale D.) 229, 494, 514, 515, 554, 555, 612 Гельбаум (Gelbaum В. R.) 276 Гендерсон (Henderson A.) 623 Герк (Gurk H. M.) 275 Герстенхабер (Gerstenhaber M.) 612 Гиршик (Girshick M. A.) 405, 437, 568, 569, 609, 610, 612, 625 Гликсберг (Glicksberg I.) 595, 612 Голдман (Goldman A. J.) 540, 612 Гофман (Hoffman P. J.) 612 Грехэм (Graham С. Н.) 16 Гросс (Gross 0.) 612 Гуд (Good I. J.) 389, 612 Гудман (Goodman I». A.) 427. 439, 441, 446, 451, 612, 613 Гурвиц (Hurwicz L.) 180, 361, 362, 366, 374, 378, 388, 389, 417, 613, 620 Гуревич (Hurewicz W.) 497, 613 Дайне (Dines L. L.) 613 Даль (Dahl R.) 17, 458, 613 Данн (Dunne J. J.) 227, 613, 620 Данскин (Danskin J. M.) 613 Даныиг (Dantzig G. В.) 494, 515, 543, 547, 613 Именной указатель 627 Дворецкий (Dvoretsky A.) 613 Дейвидсон (Davidson D.) 62, 63, 474, 613 Дейвис (Davis R. L.) 612, 616, 618— 620, 622, 623 Де-Леу (DeLeeuw К.) 616 Де-Поссель (De Possel R.) 614 Де-Финетти (De Finetti B.) 383, 614 Дейч (Deutsch К. W.) 614 Джефрис (Jeffreys H.) 614 Джиллис (Gillies D. В.) 120, 255, 256, 272, 275, 280, 308, 614 Джонс (Johns M. V., Jr.) 605, 614 Джорджеску-Реген (Georgescu-Roe- gen N.) 474, 614 Дорфман (Dorfman R.) 547, 614 Дрешер (Dresher M.) 567, 568, 610, 614 Дуб (Doob J. L.) 594, 614 Дэлки (Dalkey N.) 78, 102, 227, 615 Жильбо (Guilbaud G. T.) 615 Зауерлендер (Sauerlender О. Н.) 620 Зейтен (Zeuthen F.) 183, 184, 615 Зелигман (Seligman В. В.) 615 Зиммель (Simmel G.) 207, 615 Инада (Inada Ken-ichi) 425, 430, 615 Исбелл (Isbell J. R.)' 275, 615 Кайзен (Kaysen С.) 615 Какутани (Kakutani S.) 494, 615 Калиш (Kalisch G. К.) 276, 332— 336, 338, 342, 615 Капланский (Kaplansky I.) 539, 615 Карлин (Kariin S.) 514, 567—570, 610, 614, 615 Квандт (Quandt R. E.) 474, 616 Кейвуд (Caywood T. E.) 616 Кемень (Kemeny J. R.) 109, 616 Кенией (Kenney) 98 Кипинг (Keeping E. S.$ 616 Кнастер (Knaster В.) 464, 465 Копленд (Copeland A. H.) 454, 455, 616 , Коппингер (Coppinger J. M.) 616 Крентель (Krentel W. D.) 78, 616 Кристи (Christie L. S.) 335, 616 Куайн (Quine W. V.) 78, 616 Куме (Coombs С. Н.)) 449, 612, 616, 618—620, 622, 623 Кун (Kuhn H. W.) 17, 42, 51, 77, 120, 212, 213, 215, 227, 235, 273, 275, 276, 296, 321, 494, 504, 515, 539, 554, 555, 571, 572, 608, 610, 612, 614—621, 624 Купер (Cooper W. W.) 623 Купманс (Koopmans T. С.) 547, 610, 612—614, 617 Ладерман (Laderman J.) 605, 617 Лазерсфельд (Lazersfeld P. F.) 16 Лассуэлл (Lasswell H. D.) 625 Левитан (Levitan R. E.) 460, 618 Леман (Lehmann E. L.) 388, 389, 391, 414, 617, 623 Лемке (Lemke C. E.J 547, 550, 617 Лернер (Lerner D.) 625 Лоуренс (Lawrence D. H.) 612 Лумис (Loomis L. H.) 494, 617 Льюс (Luce R. D.) 16, 220, 256, 276, 286, 328—331, 337, 339, 345, 347, 442, 487, 617, 618 Маджумдар (Majumdar T.) 457, 458, 618 Мак-Доналд (McDonald J.) 618 Мак-Кинси (McKinsey J. С. С.) 78, 219, 250, 264, 266, 267, 269, 610, 616, 618 Мак-Клоски (McCloskey J. F.) 609, 616 Маркович, (Markowitz H.) 427, 439, 441, 446, 613, 618 Марч (March J. G.) 460, 618 Маршак (Marschak J.) 401, 403, 474, 613, 618, 620 Медисон (Madison J.) 459 Мей (May К. О.) 453, 454, 618 Мейберри (Mayberry J. P.) 120, 614 619 Мейз (Mays W. J.) 619 Миллер (Miller G. A.) 64 Милнор (Milnor J. W.) 43, 256. 306—309, 332—336, 338, 342, 366, 379—381, 393, 414, 591, 592, 594, 595, 615, 619, 623 Миле (Mills W. H.) 619 Монмор (Montmort) 107 628 Именной указатель Моргенштерн (Morgenstern О.) 13, 20, 21, 30, 31, 33, 44, 47, 62, 77, 102, 162, 204, 207—209, 230, 236, 247, 256, 260, 262, 266—269, 272, 274, 276, 283, 299, 383, 471, 619, 620 Мостеллер (Mosteller F.) 61, 619 Моцкин (Motzkin T. S.) 540, 619 Нагел (Nagel E.) 16, 363, 619 Нейман, фон (Neumann von J.) 13, 20, 21, 30, 31, 33, 44, 47, 62, 77, 102, 104, 107, 120, 162, 204, 207— 209, 230, 236, 247, 256, 260, 262, 264, 266—269, 272—275, 283, 295, 299, 383, 471, 493, 494, 550, 553, 554, 558—560, 610, 614, 619, 620, 622 Нейман (Neyman J.) 609, 613', -620 Неринг (Nering E. D.) 275, 332— 336, 338, 342, 615 Ноджи (Nogee Ph.) 61, 619 Норман (Norman R. Z.) 42, 620 Нэш (Nash J. F.) 87, 120, 147, 163, 169, 174, 175, 183, 190—192, 205, 219, 220, 226, 227, 234, 236, 273, 332—336, 338, 342, 443—446, 494, 615. 619, 620 Оттер (Otter R.) 227, 620 Паксон (Paxson E. W.) 620 Папандреу (Papandreou A. G.) 474, 620 Парето (Pareto V.) 620 Пейсаков (Peisakoff M. Р.) 589— 591, 620 Пирсон (Pearson E. S.) 620 Раднер (Radner R.) 401, 403, 620 Райфа (Raiffa H.) 16, 185, 193, 197, 205, 206, 619, 620 Рамзи (Ramsey F. P.) 478, 620 Ричардсон (Richardson M.) 274, 621 Роббинс (Robbins H. E.) 392, 393, 603, 605, 621, 622 Робинсон (Robinson J.) 557, 621 Рогов (Rogow A. A.) 328—331, 617 Рубин (Rubin H.) 366, 371, 612 Савидж (Savage L. J.) 34, 36, 49 353, 358, 363, 366, 383, 385, 387 414, 478, 608, 621, 622 Самуэльсон (Samuelson P. A.) 621 Сапе (Suppes P.) 62, 63, 614, 621 Сигел (Siegel S.) 62, 63, 614 Скарф (Scarf H.) 595, 621 Снелл (Snell J. L.) 616 Сноу (Snow R. N.) 120, 494, 539, 610, 624 Соломон (Solomon H.) 16 Стоун (Stone R.) 621 Стюарт (Stewart F. M.) 612 Таккер (Tucker A. W.) 18, 133,'275, 276, 321, 494, 514, 515, 540, 545, 554, 555, 608, 610, 612, 614—621, 624 ' Томас (Thomas С. J.) 616 Томпсон (Thompson F. В.) 78, 621 Томпсон (Thompson G. L.) 214, 216, 217, 235, 616, 619, 621 Трефетен (Trefethen F. N.) 609 Тролл (Thral! R. M.) 612, 616, 618— 620, 622, 623 Тьюки (Tuckey J. W.) 570, 622 Уинет (Winet M.) 62, 621 Уолд (Wold H.) 622 Уолман (Wallman H.) 497, 613 Уэлдон (Weldon J. С.) 431, 622 .Фаркас (Farkas J.) 521, 522, 622 Фаркуарсон (Parquharson R.) 234, fi99 Феллер (Feller W.) 586, 622 Фенхель (Penchel W.) 610 Фестингер (Festinger L.) 612 Фехнер (Fechner G. T.) 482 Фишер (Fisher R. A.) 107, 622 Флуд (Flood M. M.) 622 Франклин (Franklin W.) 620 Фреше (Frechet M.) 20, 622 Фридман (Friedman M.) 622 Ханнэн (Hannan J. F.) 605, 622 Харшаньи (Harsanyi J. С.) 183, 184, 622 Хауснер (Hausner M.) 47, 52, 588, 589. 623 Именной указатель 029 Хейвуд (Haywood 0. G.) 97, 98, 623 Хельмер (Helmer О.) 610, 623 Херштейн (Herstein I. N.) 47, 623 Хильдрет (Hildreth С.) 439, 445— 447, 623 Ходжес (Hodges J. L.) 388, 389, 391, 414, 623 Чарнес (Charnes A.) 623 Чеймпернаун (Champernowne D. G.) 623 Чернов. (Chernoff H.) 112, 359, 360, 364, 366, 371, 373, 377, 380, 414, 623 Чёрчмэн (Churchman С. W.) 623 Шапиро (Shapiro H. N.) 554 Шекли (Shackle G. L. S.) 622, 623 Шепли (Shapley L. S.) 120, 205, 250, 256, 267, 272—276, 279—283, 316, 318, 321, 325, 327, 494, 539, 567, 568, 576—578, 585, 588, 591. 594, 595, 610, 614, 619—624 Шерман (Sherman S.) 612, 624 Шифман (Shiftman M.) 570, 624 Штейнхауз (Steinhaus H.) 464, 465, 624 Штиглер (Stigler G. I.) 624 Шубик (Shubik M.) 17, 31, 218, 234, 325, 327, 605, 607, 619, 624, 625 Эверетт (Everett H.) 579, 581, 584— 586, 588, 590, 591, 625 Эдварде (Edwards W.) 36, 61, 63, 475, 625 Эджворт (Edgeworth F. Y.) 442, 625 Эйбрамсон (Abramson L. R.) 449, 625 Эрроу (Arrow К. J.) 36, 363, 366, 378, 416, 417, 423, 425—427, 430, 431, 433—436, 442, 446, 456, 468, 625 Эшби (Ashby R.) 17 41 Зак. 1465. Р. Д. Льюс, X. Райфа Предметный указатель Аксиомы для арбитражной схе- мы 168 — — задачи торга 172 — — — — п. лиц 444 — — критериев выбора решений 367 — — полезности 49 — — правила большинства 454 . — — — пропорционального пред- ставительства 460 — — функции группового выбора 425 — — цены Шепли 318 Априорное распределение вероят- ностей состояний природы 375, 383 Арбитр 29 — в игре п лиц 322 Арбитражная схема, аксиомы для 168 — — для игр с нестрогим сопер- ничеством 193 — — как функция группового вы- бора 422 — — определение 166 — — устойчивость 202 Байеса правило решения 398 — формула 398 Блотто игры 570—571 Брауэра теорема о неподвижной точке 87, 118, 496 Вальда критерий 356 Вектор достижимый 581—582 — критический 582 Вероятность субъективная 62, 63, 383 Влияние раскрытия стратегии 128 Возможное решение 545 — — минимальное 545 — — основное 545 — — соседнее 545 Выбор 67 .Выбора группового задача 422 — — — связь с выбором индиви- дуальным 448 — — — — — — решения при не- определенности 435 — — функция 417, 422 — — — аксиомы для 425 — множество 367 Выборки пространство 395 Выпуклое множество 160 — тело 161 Гарантированный уровень игрока 93 — — — максимизация 94 — — стратегии 100 — — — смешанной 104—105 Граф связный 69 Гурвица критерий 361 — — пример, противоречащий ин- туиции 402 Двойного описания метод 540 Двойственности теория 520 Действий доминирование слабое 366 — — строгое 366 — полезность ожидаемая 355 — усреднение 372 Действия 352 — допустимые 367 — оптимальные 356 — эквивалентные 366 Дерево игры 69 Дивидендов политика 605 Предметный указатель 631 Дискриминативного решения при- мер 268 Дифференциальные уравнения для решения игры 553 Доверительный интервал 410 — уровень 410 Долевая игра 275, 290 Доминирование вектора га-мерного 303 — действий 366 — стратегий 115 Допустимость действий 367 — стратегий 115 Допущение о независимости не- связанных альтернатив 52, 173 Допущения, характеризующие иг- роков 77—80, 85 Достижимости-устранимости тео- рия 600 Достижимость множества 601 Достижимый вектор 581—582 Дуэль 29 — варианты 569 Ер Ер. 'етическая предпосылка 277 'етическое множество 277 Задача линейного программирова- ния, см. Линейного программиро- вания задача — о воздействии изобретений 27 — — диете 39 — — дележе торта 465 — — коммивояжере 41 — — распределении персонала 41 — — рынке с одним продавцом и двумя покупателями 269 — — — — — — — — — анализ на основе ф-устойчивости 298 — — — — — — — — — класс В 309 _--____-_-__ —D314 — — — — —.— — — — — ^311 — — — — — — — — — реше- ние 269 — — — — — — — — — цена Шепли 321 — — — —__—__ ядро 271 «Заключенного дилемма» 133 — — аналог для п лиц 135 — — повторения 136 Значимости уровень 407 Игра Блотто 570—571 — в нормальной форме 81, 83, 86 — — развернутой форме 77 — выпуклая строго 567 — выпукло-вогнутая 567 — двух лиц в нормальной форме 88 — — — матрица исходов 88 — — — с ненулевой суммой 125 — — — — — —кооперативная 126 — — — — — — некооперативная 126 решений 148 смысле Нэша 148 бом 150 гом 149 определение разрешимая в — — — сла- — — — стро- — полностью в слабом смысле 151 — — — — нестрогим соперниче- ством 125 — — — — нулевой суммой 97 — — — — — — без уравновешен- ных пар 102 — — — — — — не имеющая це- ны 563 — — — — — — с бесконечным множеством чистых стратегий 561 — — — — — — свойства 127 — — — — — — связь с доктри- ной военных решений 97 '— •— — — — — — — задачей линейного программирования 39, 515 — — — — — — со строгим со- перничеством 91 — динамическая 122 — долевая 275, 290 — «женщины и кошки против мужчин и мышей» 597 — как выбор решения при неопре- деленности 390 — квазиполиномиальная 568 — мажоритарная 275 — на выживание 122, 586, 589 — — — приближенное решение 595 — — — приведение к рекурсивной игре 587 — — единичном квадрате 561, 566 — — истощение 122, 597 41* 632 Предметный указатель Игра на истощение многокомпо- нентная 597 — — распределение 570 — — экономическое разорение 122, 606 — описание неформальное 22 — ошибочная 346 — полиномиальная 567 — последовательно составная 573 — приведенная 150 — — полностью 151 — простая 275, 289, 586 — против природы 352, 357 — разделимая 290 — рекурсивная 122, 578 — связанная с выбором вре- мени 568 — симметричная 276, 552, 570 — с полной информацией 72 . — стохастическая 122, 574•-, • — строго определенная 564 — с целью справедливого дележа для двух лиц 462 — — — — — — п лиц 465 — унивалентная 486 — «gops» 73 — «le Her» 107 — m-долевая 276 — п лиц в нормальной форме 209 — — — неединственность решения 266 — — — несущественная 244 — — — против природы 352 — — — с идеальной памятью 215 — — — — нетрансферабельными полезностями 301 — — — — нулевой суммой 210 — — — — постоянной суммой 211 — — — существенная 244 — — — эксперимент Ранд 332 — — — ^-устойчивая 289 — — — 5-эквивалентная 246 — — — ^-устойчивая 288 Игрок разумный 24 — слабый 290 Игрока разорение 586 — уловки 128 Игры дерево 69 — правила 73, 84 — точка равновесия 96 — цена 43 — — верхняя 148 — — нижняя 148 Идеальная память 215 Индивидуального выбора связь с групповым выбором 448—449 Индивидуумы аналогичные 446 Исход 72 Исходов множество 72 Квазиполиномиальная игра 568 Класс эквивалентности характери- стических функций 247 — В 306 — D 312 — L 309 Коалиций изменения допустимые 221 — образование 208" — — ограничения на 218 — определение неформальное 28 'Коалиционная структура 220 Коалиция выигрышная 289 — проигрышная 289 — эффективная 303 Компонента-игра 574—575 Критическая точка 538 — — смежная 542 Критический вектор 582 Кумса шкала основная совместная качественная 451 — — — — количественная 450 Лапласа критерий 380 Линейная функция полезности 55 Линейного программирования за- дача двойственная 518 — — — определения максимума 518 — — — — — общая 520 — — — — минимума 517 — — — — — общая 520 — — — приведение к игре 528 — — — прямая 543 — — — симметричная 519 — — — — общая 520 — — — сопряженная 544 —.— — теория двойственности 520 — — основная теорема 521 — — — —" доказательства 522,529 Линейное программирование 390 — — задача о диете 39 Линии постоянного относительного преимущества 193—194 Лотереи определение 48 Предметный указатель 635 Максиминная стратегия 100, 490 Максиминный критерий 356 — — в играх с целью справедли- вого дележа 464 — — пример, противоречащий ин- туиции 402 Матрица платежная 89 — — эквивалентная по порядку 436 Метод двойного описания 540 — симплексный 543 Минимаксная стратегия 101, 491 Минимаксного убытка критерий 357 — риска критерий 358 — — — пример, противоречащий интуиции 403 Минимальное ощутимое различие 439, 442 Минимальный полный класс реше- ния правил 404 — — — — в игре двух лиц 150 Минимума функция 503, 536, 540 Множества достижимость 601 — устранимость 601 Множество выбора 367 — выпуклое 160 — действий 385 — еретическое 277 — информационное 71 — — сигнальное 214 — исходов 72 — — совместное максимальное 161 — оптимальное 367 — — Парето 161 — переговорное 162 — решающее 430 — следствий 385 — состояний природы 385 — эффективное 263 Моментов определения задачи связь с полиномиальными игра- ми 567 Независимость несвязанных аль- тернатив в задаче торга 172 — — — — — — п лиц 444 — — — — теория полезности 52 — — — при выборе группового ре- шения 429 — — — — правиле пропорцио- нального представительства 460 Неймана — Пирсона критерий 395— 396 Некооперативная игра 126 Несущественная игра 244 Нормализация характеристических функций 247 Нормальная форма игры 81, 83, 86 Оптимальное множество 367 —— — Парето 161 Оптимальность по Парето 172, 254 Оценка в интервале 406 — доверительная 410 — точечная 406 Оценочная функция 408 Ошибочная игра 346 Ошибочные предположения 346 Пара стратегий допустимая 149 — — недопустимая 149 — — совместно доминирующая 149 — — ^-устойчивая 287 Парадокс петербургский 43 Парето оптимальное множество 161 — оптимальность 254 — — в задаче торга 172 — — — — — п лиц 444 — — — играх с целью справедли- вого дележа 464, 467 — — при выборе группового ре- шения 430 Партия 67 Переговоров кривая 186 Переговоры до игры, влияние на полезность 129 — — — как формальный ход 219 — — — предположения о 157 —т — — пример нежелательности 153 Пессимизма-оптимизма показатель 361 Петербургский парадокс 43 Платежей наборов классификация 280 Платежи побочные 223, 238 Платежная матрица 89 — функция 77 Поведения нормы 268 — стратегия 212 — — присоединенная 216 Показатель а 361 Покера вариант 572 Полезностей индивидуальных срав- нение 59 634 Предметный указатель Полезности определение экспери- ментальное 61 — понятие классическое 38 — трактовка аксиоматическая 47 — трансферабельность 223, 239 — функция 44, 54, 387 — — линейная 55 — — преобразование линейное 55 Полезность нетрансферабельная 302 — отрицательная 357 — n-мерная 52 Полиномиальные игры 567 Полный класс правил решения 404 Полумартингал 594 Постулат о разумном поведении 80 Предпосылка 254 — еретическая 277 • — несогласующаяся 277 • — согласующаяся 277 Предпосылки доминирование 262 — достижимость 265 — обобщение 280—281 Предпосылок множеств изомор- физм 264 Предпочтений вероятностная при- рода 472 — нетранзитивность 37, 475 — обозначение 49 — порядков профиль 422 — транзитивность 37 — упорядоченность 46—47 Предпочтения индуцированные 475 Примирение 30 Принцип недостаточного основания 363, 376, 441 Проверка гипотезы 406 Пропорционального представитель- ства правило 460 — — — аксиомы для 460 Простая игра 275, 289, 586 Простого большинства правило 423 . — — — аксиомы для 454 — — — в аспекте теории игр 457 — — — нетранзитивность 424, 455 Противники строгие 91 Профиль порядков предпочтений 422 Процедура оценки несмещенная 409 Прямая задача линейного про- граммирования 543 — — — — допущение о невыро- жденности 545 Прямая задача линейного програм- мирования, теорема действенно- сти 544 Психологическое доминирование 152 Развернутая форма игры 77 Разделимая игра 290 Разумного поведения постулат 80 Разумность 134 — групповая 254, 279 — индивидуальная 253, 279 Разумные исходы в эксперименте Ранд 342 — — класс В 306 — — — D 312 — — — L 309 Разумный платеж 313 Ранд Корпорейшн 121 ' — — проведенный эксперимент 332 Распределение вероятностей субъ- ективное 383 Рекурсивные игры 578 — — связь со стохастическими иг- рами 585 Решающее множество 430 Решение игры п лиц главное 275 — — — — фон Неймана — Мор- генштерна 263 — — — — сильное 278 — — — — слабое 278 Решения выбор достоверный 45 — — группового 435 — — индивидуальный и групповой 34 — — классификация 34 — — лотереи 45 — — при неопределенности 35, 352 — — — определенности 34 — — — — индивидуальный 36 — — — проведении эксперимента 394 — — — риске 34 — выбора критерий, аксиомы для 367 • — — — максиминной полезности 356 — — — минимаксного риска 358 — — — — убытка 357 —— — — показателя пессимизма- оптимизма 361 — — — опирающийся на «прин- цип недостаточного основания» ,363 — правил полный класс 404 Предметый указатель 635 Решения правило 395 — — Байеса 398 — — усредненное 399 Риск 354, 358, 398 Сверхигра динамическая 122 «Семейный спор» 128 Сговор 28 — в ходе игры 132 — путем повторения 154 Сигнальная стратегия 216 Сигнальное информационное мно- жество 214 Сил распределение, исследование на основе цены Шепли 326 — — — — — теории ^-устойчиво- сти 329 Сильные решения 278 Симметризация игры 554 Симметричная задача линейного программирования 519 — игра 276, 290 — — двух лиц с нулевой суммой 552 " Симплексный метод 546, 560 — — двойственный 550—551 Слабые решения 278 Случайный процесс 592 — ход 69 Сожаление 358 Составные стратегии 216 Состояния природы 352 Стохастическая игра 574 — — связь с рекурсивной игрой 585 Стратегии гарантированный уро- вень 100 — доминирование 115 — — в игре п лиц 229 — коррелированные 224 — уравновешенные 93, 96 Стратегий минимальный полный класс 150 — множество полностью приведен- ное 151 — пара уравновешенная 491 — смешанных наборы, эквивалент- ные по поведению 213 — чистых точка равновесия для игры п лиц 226 Стратегия допустимая 115 — максимкнная 100, 490 — минимаксная 101, 491 Стратегия недопустимая 115 — поведения 212 — — присоединенная 216 — равновесия 100, 123 — сигнальная смешанная 216 — — чистая 216 — смешанная (усредненная)' 104, 488 — — максиминная 106 — — минимаксная 106 — составная 216 — угроз 189, 190 — — оптимальная 190 — чистая 81 — — описание неформальное 26 Строго определенная игра 564 Сумма двух игр 319 Существенная игра 244 Теорема Брауэра о неподвижной точке 87, 118, 496 — о минимаксе 87, 118, 124 — — — в теории статистических решений 405 — — — доказательство 494 — — — исторические замечания 20, 493 — — — неформальное изложение 106 — — — обобщение 603 — — — формулировка 106 — Эрроу 430 Теории полезности аксиома о моно- тонности 53 — — — — непрерывности 51 — — — — приведении составных лотерей 50—51 — — — — порядке альтернатив 49 • — — — — транзитивности 52 — — — — эквивалентности 52 — — неверные толкования 57 — — основная теорема 54 Торга задача 169—170 — — аксиомы для 172 — — и игры с целью справедли- вого дележа 462 — — обобщение на случай п лиц 443 — — — — — — — аксиомы для 444 — — — Нэша 190 — — решение 172 636 Предметный указатель Точечная оценка 406 Точка равновесия для игры п лиц 234 — status quo 170 Убыток 357 Угроз стратегия 189, 190 — — оптимальная 190 Унивалентная игра 586 Уравновешенные пары в разверну- тых играх 102 Уровень значимости 407 — доверительный 410 — оценки 439 Условие индивидуальной разумно- сти 253 Усреднение действий 372 Усредненное правило решения 399 Устойчивые множества 280—281 Устранимость множества 601 .. Фиктивной партии использование для решения игры 555 Функция арбитражная 166 — гарантированного уровня, см. Функция минимума — группового выбора 417, 422 — минимума 503, 536, 540 — Нэша 171—172 • — оценочная 408 '— платежная 77 — «политического представитель- ства» 460 —— субъективной вероятности 480 — характеристическая, см. Харак- теристическая функция Характеристическая функция, ана- логия с вероятностной мерой 249 — — нормализация 247 —— — определение для игры обще- го вида 242 — — — — — с нулевой суммой 241 — — приведенная форма 247 — — субъективная 346 Ход 67 ^- случайный 69 Цена игры с бесконечным множе- ством чистых стратегий 563—564 — Шепли, аксиомы для 318 — — верхняя и нижняя 148 — — в эксперименте Ранд 342 — — для игры двух лиц коопе- ративной 187 — — — — — — с нулевой сум- мой 107 — — как арбитражная схема 321 — — обобщенная 585 — — преобразования 577, 581 — — формула для 320 Частичное незнание 381 Чистая стратегия 81 Шепли способ 187 — цена, см. Цена Шепли Эквивалентности соотношение 246— 247 Эквивалентные по поведению стра- тегии 213 Эрроу теорема 430 Ядра определение 255 Ядро в эксперименте Ранд 337 — для примера рынка 271 С-устойчивость 280 ^-устойчивость 234, 289 S-эквивалентность 246 ф-устойчивая пара 234 — — в эксперименте Ранд 337 — —.для нетрансферабельных по- лезностей .303 — — неединственность 296 — — определение для характери- стической функции 287 — — связь с классом В 308 ————— L 312 — — существование 295 Оглавление Предисловие к русскому изданию .......... Предисловие .....'................ Глава 1. Общее введение в теорию игр ....... § 1.1. Столкновение интересов ................ § 1.2. Исторический обзор .................. § 1.3. Неформальное описание игры .............. § 1.4. Примеры столкновения интересов ............ § 1.5. Теория игр и социология ................ Глава 2. Теория полезности ............. § 2.1. Классификация выборов решений ............ § 2.2. Индивидуальный выбор решений при определенности . . *§ 2.3. Пример выбора решений при определенности: линейное программирование ................... § 2.4. Индивидуальный выбор решений при риске ....... § 2.5. Аксиоматическая трактовка полезности ......... § 2.6. Некоторые распространенные заблуждения ....... § 2.7. Сравнение индивидуальных полезностей ......... *§ 2.8. Экспериментальные определения полезности ...... § 2.9. Резюме ......................... Глава 3. Развернутая и нормальная формы игры . . § 3.1. Дерево игры ............... ... .... § 3.2. Информационные множества .............. § 3.3, Исходы ..................••••••• § 3.4. Пример: игра «gops» .................. § 3.5. Развернутая форма ................... § 3.6. Разумность и знание .................. § 3.7. Чистые, стратегии и нормальная форма ......... § 3.8. Резюме ...................•••••• 638 Оглавление Глава 4. Игры двух лиц с нулевой суммой ..... 87 § 4.1. Введение ........................ 87 § 4.2. Игры со строгим соперничеством и игры с нестрогим соперничеством ..................... 90 § 4.3. Рассуждения об играх со строгим соперничеством .... 92 § 4.4. Априорное требование к теории ............ 96 § 4.5. Игры с уравновешенными парами ............ 98 *§ 4.6. Уравновешенные пары в развернутых играх ...... 102 § 4.7. Игры без уравновешенных пар ............. 102 § 4.8. Теорема о минимаксе ......'............ 106 § 4.9. Совместимость теорий чистых и смешанных стратегий . 108 § 4.10. Интерпретации-смешанной стратегии .......... 109 § 4.11. Использование слабостей противника .......... 113 *§ 4.12. Указания к приложениям об играх двух лиц с нулевой суммой ..........:'.............. 118 § 4.13. Резюме ......................... 123 Глава 5. Некооперативные игры двух лиц с ненулевой суммой .................. ^5 § 5.1. Введение ........................ 125 § 5.2. Обзор основных свойств игр с нулевой суммой ..... 127 § 5.3. Пример: «семейный спор» ................ 128 § 5.4. Пример: «дилемма заключенного» ............ 133 § 5.5. Многократное повторение «дилеммы заключенного» . . . 136 § 5.6. Повторение игр с нулевой суммой ........... 143 § 5.7. Роль уравновешенных пар в играх с ненулевой суммой 145 *§ 5.8. Существование уравновешенных пар .......... 147 *§ 5.9. Определения «решения» для некооперативных игр .... 148 § 5.10. Некоторые психологические факторы .......... 151 § 5.11. Желательность сообщения до игры ........... 153 § 5.12. Резюме ......................... 154 Глава 6. Кооперативные игры. двух лиц . ...... 157 § 6.1. Введение ........................ 157 § 6.2. Решение фон Неймана—Моргенштерна ........ 158 § 6.3. Решения — но в каком смысле? ............. 162 § 6.4. Арбитражные схемы .................. 165 § 6.5. Задача торга по Нэшу ................. 169 § 6.6. Критика модели Нэша для задачи торга ........ 174 § 6.7. Другие подходы к задаче торга ............ 183 Оглавление 639 § 6.8. Арбитражные схемы для игр с нестрогим соперничеством. Цена игры Шепли ................... 186 § 6.9. Арбитражные схемы для игр с нестрогим соперничеством. Развернутая модель торга по Нэшу ........... 190 § 6.10. Арбитражные схемы для игр с нестрогим соперничеством. Случай осмысленных сравнений индивидуальных полезно- стей .......................... 193 § 6.11. Два определения сравнений индивидуальных полезностей в играх двух лиц .................... 196 *§ 6.12. Устойчивость арбитражных схем ............ 202 § 6.13. Резюме ......................... 204 Глава 7. Теории игр п лиц в нормальной форме . . . 207 § 7.1. Введение ........................ 207 § 7.2. Смешанные стратегии и нормальная форма ....... 209 § 7.3. Игры с постоянной суммой и игры с нулевой суммой . . 210 *§ 7.4. "^ Стратегии поведения и идеальная память ........ 211 *§ 7.5. Составные стратегии" .................. 215 § 7.6. Условия, ограничивающие сообщение .......... 217 § 7.7. Классификация предпосылок для игр га лиц ....... 223 § 7.8. Некооперативные игры. Точки равновесия ........ 226 § 7.9. Кооперативные игры без побочных платежей ...... 230 § 7.10. Резюме ......................... 234 Глава 8. Характеристические функции ....... 2^8' § 8.1.. Побочные платежи ................... 238 § 8.2. Определение характеристических функций ....... 240 § 8.3. S-эквивалентность и нормализация характеристических функций ........................ 245 *§ 8.4. Функции множества ................... 248 § 8.5. Критические замечания ................. 250 § 8.6. Предпосылки и ядро .^. .............. • . . 252 § 8.7. Резюме ......................... 258 Глава 9. Решения ................. 260 § 9.1. Определение решения фон Неймана—Моргенштерна . . 260 § 9.2. Некоторые замечания об определении решения ..... 264 § 9.3. Некоторые следствия определения решения ....... 26& § 9.4. Решения задачи о рынке с одним продавцом и двумя поку- пателями .................... . . . • 269 § 9.5. Дальнейшие предложения о решениях .......... 272 640 Оглавление § 9.6. Сильные решения ................... 276 *§ 9.7. Решения на областях, отличных от предпосылок .... 279 § 9.8. Резюме ......................... 282 Глава 10. ф-устойчивость .............. 285 § 10.1. 6-устойчивые пары :......,.......... 285 § 10.2. Критические замечания ................ 288 § 10.3. Анализ рынка с одним продавцом и двумя покупателями на основе ф-устойчивости ................ 298 § 10.4. Нетрансферабельные полезности ............ 301 § 10.5. Резюме .......................... 304 Глава 11. Разумные исходы и цена ......... 306 § 11.1. Разумные исходы. Класс-Д. :............. 306 § 11.2. Разумные исходы. Класс L ................ 309 § 11.3. Разумные иходы. Класс D ................ 312 § 11.4. Цена ......................... 316 § 11.5. Цена как арбитражная схема ............. 321 Глава 12. Приложения теории игр п. лиц ...... 325 § 12.1. Априорные распределения сил в схемах голосования . . 325 § 12.2. Распределение сил в идеализированном законодательном органе ......................... 328 § 12.3. Эксперимент ...................... 332 § 12.4. Бывают ли «реальные» игры «абстрактными» играми? . . 344 Глава 13. Индивидуальный выбор решений при не- определенности .................. 352 § 13.1. Введение и формулировка задачи ........... 352 § 13.2. Некоторые критерии выбора решений ......... 356 § 13.3. Аксиоматическая трактовка; аксиомы, не основанные на предположении о «полном незнании» .......... 365 § 13.4. Аксиоматическая трактовка; аксиомы, основанные на предположении о «полном незнании» . ......... 375 § 13.5. Случай «частичного незнания» ............. 381 § 13.6. Игры как выбор решения при неопределенности .... 390 § 13.7. Выбор статистических решений при фиксированных экс- периментах ...................... 394 § 13.8. Выбор статистических решений при нефиксированных экспериментах ..................... 399 § 13.9. Полные классы правил решения .... ........ 403 Оглавление 641 § 13.10. Некоторые замечания о связи между классической тео- рией статистических выводов и современной теорией статистических решений ................ 405 § 13.11. Резюме ........................ 412 Глава 14. Групповой выбор решений ........ 416 § 14.1. Введение ....................... 416 § 14.2. Общественный выбор и индивидуальные ценности; пред- варительная формулировка .............. 416 § 14.3. Общая формулировка задачи .............. 421 § 14.4. Условия, налагаемые на функцию группового выбора, и теорема Эрроу о невозможности .......... 424 § 14.5. Разбор парадокса Эрроу ................ 432 *§ 14.6. Процедуры выбора групповых решений, основанные на степени индивидуальных предпочтений ......... 439 § 14.7. Правило большинства и ограниченные профили .... 449 § 14.8. Стратегические аспекты правила большинства ..... 453 § 14.9. Игры с целью справедливого дележа .......... 462 § 14.10. Резюме ........................ 468 Приложение 1. Вероятностная теория полезности . . vl\ П.1.1. Введение ........................ 471 П.1.2. Различение предпочтений и индуцированные предпочтения 474 П.1.3. Различение вероятностей и качественная вероятность . . 477 П.1.4. Функция полезности и субъективная вероятность ..... 479 П.1.5. Выводы о субъективных шкалах ............. 482 П.1.6. Теорема о невозможности • ............... 485 Приложение 2. Теорема о минимаксе ....... 488 П.2.1. Формулировка задачи .................. 488 П.2.2. Исторические замечания ................. 493 П.2.3. Доказательство теоремы о минимаксе, принадлежащее Нашу .......................... 494 Приложение 3. Первая геометрическая интерпрета- ция игры двух лиц с нулевой суммой ..... 498 Приложение 4. Вторая геометрическая интерпрета- ция игры двух лиц с нулевой суммой ..... 505 Приложение 5. Линейное программирование и игры двух лиц с нулевой суммой .......... 515 П.5.1. Приведение игры к задаче линейного программирования 515 П.5.2. Теория двойственности общей задачи линейного програм- мирования ........................ 520 П.5.3. Приведение задачи линейного программирования к игре 527 642 Оглавление Приложение 6. Решение игр двух лиц с нулевой суммой .................... 534 П.6.1. Введение. ........................ 534 П.6.2. Метод последовательных проб .............. 535 П.6.3. Проверка всех критических точек ............ 536 П.6.4. Метод двойного описания ................ 540 П.6.5. Симплексный метод ................... 543 П.6.6. Геометрическая интерпретация симплексного метода и двойственного симплексного метода .........'.. 547 П.6.7. Решение симметричных игр посредством дифференциаль- ных уравнений ..................... 551 П.6.8. Приведение игры к симметричной форме ........ 554 П.6.9. Итеративное решение игр при помощи фиктивной партии 555 Приложение 7. Игры с бесконечными множествами чистых стратегий ............•".. 561 П.7.1. Введение ........................ 561 П.7.2. Игры, не имеющие цены ................. 562 П.7.3. Игры, в которых множество А (или В) конечно ..... 564 П.7.4. Игры, в которых множество Л «почти» конечно ..... 56& П.7.5. Игры на единичном квадрате .............. 566 П.7.6. Игры, связанные с выбором времени или распределением средств ......................... 568 П.7.7. Модель покера, предложенная Борелем ......... 571 Приложение 8. Последовательное повторение игр двух лиц .................... 573 П.8.1. Введение ........................ 573. П.8.2. Стохастические игры .................. 574 П.8.3. Рекурсивные игры .................... 578 П.8.4. Игры на выживание ................... 586 П.8.5. Многокомпонентные игры на истощение ......... 597 П.8.6. Теория достижимости-устранимости и составные задачи выбора решений ..........:......... 599 П.8.7. Политика в области дивидендов и игры на экономическое разорение ....................... 605 Литература ..................... 60& Именной указатель ................. 626 Предметный указатель . . . . • ........... 630 Р. Д. Льюс, X. Рай^а ИГРЫ И РЕШЕНИЯ Редактор Г. М. Ильичева Художник Л. Г. Ларскш Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор М. А. Белёва Сдано в производство 23/V 1960 г. Подписано к печати 14/1 1961 г. Бумага бОхЭг1/»^,! бум. л. 40,2 печ. л. Уч.-изд. л. 36,8 Изд. № 1/5215 Цена 2 р. 78 к. Зак. 1465 * ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва, 1-й Рижский пер., 2 * Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза Ленинград, Измайловский пр., 29. Замеченные опечатки Стр. Строка Напечатано Следует читать 250 6—7 св. v(/?U S)—v(R)—v(S) ства и если разность ства и если разность v(RUS)—v(R)—v(S) всегда равна нулю, всегда равна нулю, 287 13 сн. i {'•> 435 12 сн. 3 s} 442 1 СВ. Л^Т^зТ^. . .Г^мГАмГ^ Аг >- As >- А, >-... .. .>- Ag9>- Aioo>- AI 448 12 св. и пока и Wi пока 509 8 св. (V) У1(У) 560 8 св. (х', у', v'), (х', у', v'), 596 6 СН. у*'(^) т*(^) 601 15—16 сн. к с**) и перпендику к с^, и перпендику лярную лярной 602 3 св. кс<*) K^W 612 2 св. ""the third conference an informal conference on games, Logistics on recent developments Research project, in the theory 622 17 сн. Frecht Frechet Зак. 1465.