ББК 22.19 В19 УДК 519.6 (075.8) Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач: Учеб. пособие для вузов.—2-е изд., перераб. и доп.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.— 552 с.— ISBN 5-02-013796-0. Содержит основные численные методы решения экстремальных задач. Приводятся теоретическое обоснование и краткие характеристики этих ме- тодов. Рассматриваются задачи минимизации функций конечного числа пе- ременных и задачи оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Сохранена структура первого издания, но содержание некоторых глав существенно переработано и дополнено. 1-е издание — в 1980 г. Для студентов вузов по специальности «Прикладная математика», а также для специалистов, связанных с решением задач оптимизации. Табл. 11. Ил. 42. Библиогр. 343 назв. Рецензент член-корреспондент АН СССР Л. Д. Кудрявцев 1702070000-191 " 053(02)-88 60-00 ISBN 5-02-013796-0 Издательство «Наука». Главная редакция фз1зико-математическоИ литературы, 1980; с изменениями, 1988 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию .......... 5 Предисловие ................ 6 Глава 1. Методы минимизации функций одной переменной . . 9 § 1. Постановка задачи ............ 9 § 2. Классический метод ........... 15 § 3. Метод деления отрезка пополам ........ 17 §' 4. Метод золотого сечения. Симметричные методы ... 19 § 5. Об оптимальных методах .......... .22 § 6. Метод ломаных ............. 28 § 7. Методы покрытий ............ 33 § 8. Выпуклые функции одной переменной ...... 38 § 9. Метод касательных . . ......... 45 § 10. Метод поиска глобального минимума ...... 53 § 11. Метод парабол ............. 59 § 12. Другой метод поиска глобального минимума .... 62 § 13. О методе стохастической аппроксимации ..... 66 Глава 2. Предварительные сведения о задачах на экстремум . . 68 § 1. Постановка задачи минимизации. Теорема Вейерштрасса 68 § 2. Классический метод ............ 78 § 3. Вспомогательные предложения ........ 91 Глава 3. Элементы линейного программирования ..... 101 § 1. Постановка задачи ............ 101 § 2. Геометрическая интерпретация. Угловые точки .... 106 § 3. Симплекс-метод ............. 113 § 4. Антициклин .............. 126 § 5. Выбор начальной угловой точки ........ 136 § 6. Об условии разрешимости канонической задачи .... 145 Глава 4. Элементы выпуклого анализа ........ 148 § 1. Выпуклые множества ........... 148 § 2. Выпуклые функции . . ......... 162 § 3. Сильно выпуклые функции . ... ..... 181 § 4. Проекция точки на множество . . ...... 188 § 5. Отделимость выпуклых множеств ........ 193 § 6. Субградиент. Субдифференциал ........ 206 § 7. Равномерно выпуклые функции ........ 218 § 8. Правило множителей Лагранжа ........ 223 § 9. Теорема Куна — Таккера. Двойственная задача . . . 234 Глава 5. Методы минимизации функций многих переменных . . 260 § 1. Градиентный метод ............ 260 § 2. Метод проекции градиента .......... 277 § 3. Метод проекции субграднента . ....... 285 Г ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Метод условного градиента . . ....... 291 § 5. Метод возможных направлений . ....... 299 § 6. Метод линеаризации . . ......... 309 § 7. Квадратичное программирование ........ 314 § 8. Метод сопряженных направлений . . ..... 320 § 9. Метод Ньютона ..... ........ 329 § 10. Метод Стеффенсена . . . ........ 338 § 11. Метод покоординатного спуска . . ...... 342 § 12. Метод поиска глобального минимума ...... 347 § 13. Метод модифицированных функций Лагранжа .... 356 § 14. Метод штрафных функций ......... 363 § 15. Метод барьерных функций . . ....... 384 § 16. Метод нагруженных функций . . ..... . 396 § 17. О методе случайного поиска ......... 410 § 18. Общие замечания ........ .... 415 Глава 6. Принцип максимума Понтрягина . ...... 421 § 1. Постановка задачи оптимального управления ^ . . . 421 § 2. Формулировка принципа максимума. Примеры .... 435 § 3. Доказательство принципа максимума . . . . . . ' 461 § 4. О методах решения краевой задачи принципа максимума ' 480 § 5. Связь между принципом максимума и классическим вариа- ционным исчислением . . . . . . . . . . . 485 Глава 7. Динамическое программирование . . . . . . . 490 § 1. Схема Беллмана. Проблема синтеза для дискретных систем 490 § 2. Схема Моисеева ............. 505 § 3. Проблема синтеза для систем с непрерывным временем . 513 § 4. Достаточные условия оптимальности ....... 522 Список литературы . .... ......... 531 Основная литература . . ........... 531 Дополнительная литература ........... 532 Предметный указатель . . . .......... 546 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Во втором издании кнпга существенно переработана. Добав- лен новый материал, посвященный методу линеаризации, методу Стеффенсена, геометрическому и квадратичному программирова- нию, изложены некоторые новые варианты градиентного метода, метода покрытий. Существенно переработаны параграфы, по- священные элементам выпуклого анализа, методу штрафных функций. Приведено простое доказательство принципа максиму- ма Понтрягина для задачи оптимального управления с гранич- ными условиями достаточно общего вида. Из книги исключены параграфы, содержащие доказательство оптимальности метода Фибоначчи. Исправлены замеченные ошибки, неточности. Автор глубоко признателен С. М. Алиакбарову, А. С. Анти- пину, А. В. Арутюнову, С. С. Ахпеву, Е. Г. Белоусову, А. II. Бе- никову, В. А. Березневу, Н. С. Васильеву, О. В. Васильеву, Г. С. Ганшину, Ю. М. Данилину, Д. В. Денисову, Я. И. Заботп- ну, С. К. Завриеву, В. С. Ижуткину, А. С. Ильинскому, А. Д. Ис- кендерову, А. 3. Ишмухаметову, А. Г. Коваленко, А. И. Кораб- леву, Е. В. Лямину, М. Д. Марданову, Ю. Е. Нестерову, В. Н. Нефедову, В. И. Плотникову, М. М. Потапову, Т. Л. Руд- невой, А. Г. Сухареву, А. Г. Тетереву, А. В. Тимохоьу, А. А. Третьякову, В. Р. Фазылову, Р. Ф. Хабибуллину, Ю. II. Че- ремных, Н. Т. Чиричу, которые своими советами, предложе- ниями, замечаниями способствовали улучшению второго издания книги. ПРЕДИСЛОВИЕ Первые задачи геометрического содержания, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин, появились еще в древние времена. Развитие промышленности в XVII— XVIII веках привело к необходимости исследования более слож- ных задач на экстремум и к появлению вариационного исчис- ления. Однако лишь в XX веке при огромном размахе произ- водства и осознании ограниченности ресурсов Земли во весь рост встала задача оптимального использования энергии, мате- риалов, рабочего времени, большую актуальность приобрели вопросы наилучшего в том или ином смысле управления раз- личными процессами физики, техники, экономики и др. Сюда относятся, например, задача организации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресур- сов, задача управления системой гидростанций и водохранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии, задача о космическом перелете из одной точки пространства в другую наибыстрейшим образом или с наименьшей затратой энергии, задача о быстрейшем нагреве или остывании металла до заданного температурного режима, задача о наилучшем га- шении вибраций и многие другие задачи. Потребности развития самой вычислительной математики также привели к необходимости исследования таких задач на максимум и минимум, как, например, задачи наилучшего при- ближения функций, оптимального выбора параметров итерацион- ного процесса или узлов интераолирования, минимизации не- вязки уравнений и т. д. На математическом языке такие задачи могут быть сформу- лированы как задачи отыскания экстремума (максимума или минимума) некоторой функции или функционала J(u), выража- ющего собой качество (цену) управления и из заданного мно- жества U некоторого пространства. Требование принадлежности управления и некоторому множеству U выражает собой ограни- чения, обычно вытекающие из законов сохранения, ограничен- ности наличных ресурсов, возможностей технической реализации управления, нежелательности каких-либо запрещенных (аварий- ных) состояний и т. п. Задачи отыскания экстремума функции J (и) па множестве U принято называть экстремальными зада- ПРЕДИСЛОВИЕ чамн. Заметим, что задача максимизации функционала J(u} на множестве U эквивалентна задаче минимизации функционала —J (и) на том же множестве С/, поэтому можно ограничиться рассмотрением задач минимизации. В настоящее время теория экстремальных задач обогатилась фундаментальными результатами, появились ее новые разделы, такие как линейное, выпуклое, стохастическое программирова- ние, оптимальное управление и др. Потребности практики спо- собствовали бурному развитию методов приближенного решения экстремальных задач. Появление быстродействующих электрон- ных вычислительных машин (ЭВМ) сделало возможным эффек- тивное решение многих важных прикладных экстремальных за- дач, которые ранее из-за своей сложности представлялись недо- ступными. В настоящей книге излагаются элементы теории экстремаль- ных • задач, а также основы наиболее часто используемых на практике методов приближенного решения экстремальных задач, теоретическое обоснование п краткая характеристика этих ме- тодов. Книга написана как учебное пособие для студентов фа- культетов и отделений прикладной математики университетов, технических вузов. В основу книги положен курс лекций по чис- ленным методам решения экстремальных задач, который автор в течение ряда лет читает на факультете вычислительной мате- матики и кибернетики Московского университета. В главе 1 излагаются методы минимизации функций одной переменной, в главах 2—5 рассматриваются задачи минимиза- ции функций конечного числа переменных, в главах 6, 7 — за- дачи оптимального управления процессами, описываемыми си- стемами обыкновенных дифференциальных уравнений. Часть текста, которая содержит материал, дополняющий и расширяю- щий основное содержание книги, напечатана петитом и при первом чтении может быть опущена. Заманчиво было бы изложить теорию и методы минимизации сразу в общем виде на языке функционального анализа, охватив при этом как частный случай многие методы минимизации функций конечного числа переменных. Однако такой способ из- ложения, несмотря на свою привлекательность и удобства для читателя-математика, видимо, все же труден для первого зна- комства с предметом, не говоря уже о том, что он не может отразить всю специфику конечномерных задач. Поэтому автор, стремясь сделать книгу доступной читателям, владеющим мате- матикой в объеме программ технических вузов и впервые знако- мящихся с теорией и методами решения экстремальных задач, в настоящей книге отобрал материал, не требующий для своего понимания знаний функционального анализа. За пределами книги остались такие важные разделы теории и методов экстремальных задач, как задачи оптимального уп- 8 ПРЕДИСЛОВИЕ равления процессами, описываемыми уравнениями с частными производными, некорректные экстремальные задачи, аппрокси- мация и устойчивость экстремальных задач, методы минимиза- ции в функциональных пространствах. Этим разделам теории и методам экстремальных задач, требующим для математически строгого изложения использования аппарата функционального анализа, автор предполагает посвятить отдельную книгу. По рассматриваемым в книге проблемам имеется обширная библиография, насчитывающая много тысяч названии. Спиоок литературы, который приведен в конце книги, содержит лишь некоторые работы, которые были непосредственно использованы в книге или близко примыкают к ней, дополняя ее содержание. Нумерация формул, теорем, лемм, определений, упражнений в каждом параграфе самостоятельная; ссылки на материалы, расположенные в пределах данного параграфа, нумеруются од- ним числом, вне данного параграфа, но в пределах данной гла- вы — двумя числами, вне данной главы — тремя числами. Так, например, теорема 3 из § 2 главы 4 в пределах этого параграфа именуется просто теоремой 3, в других параграфах 4-й главы — теоремой 2.3, в других главах — теоремой 4.2.3. Аналогично па- раграфы при ссылках на них в пределах данной главы нумеру- ются одним числом, а вне этой главы — двумя числами: первое число означает номер главы, второе — номер параграфа. Автор выражает глубокую благодарность академикам А. Н. Тихонову и А. А. Самарскому за внимание и поддержку при написании книги, С. М. Цидилину и Ю. Н. Черемных, про- читавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд ценных замеча- ний, Н. Л. Григоренко, взявшему на себя труд по научному редактированию книги и устранившему многочисленные погреш- ности изложения, а также Н. С. Бахвалову, И. С. Березину, В. И. Благодатских, В. Г. Карманову, М. Ковач, В. Л. Кулагину, М. С. Никольскому, М. М. Потапову, Н. А. Прохорову, В. Г. Сушко, В. В. Федорову, Б. М. Щедрину, М. Ячпмовичу за многочисленные полезные дискуссии и советы, способствовавшие улучшению содержания книги. В столь бурно развивающейся области, как теория и методы решения экстремальных задач, очень трудно создать учебное по- собие, которое обладало бы определенной завершенностью и бы- ло бы свободным от недостатков, и поэтому автор будет при- знателен читателям за критические замечания по содержанию книги. Ф. П. Васильев Глава 1 МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ С задачами мпнимизацпп функций одной переменной мы впервые стал- киваемся при изучении начальных глав математического анализа и ре- шаем их методами дифференциального исчисления. Может показаться, что эти задачи относятся к достаточно простым и методы их решения хорошо разработаны и изучены. Однако это не совсем так. Методы дифференциаль- ного исчисления находят ограниченное применение и далеко не всегда удобны для реализации на современных ЭВМ. Хотя в последние .десятиле- тия появились другие методы, более удобные для использования на ЭВМ, требующие меньшего объема вычислительного труда, но тем не менее эту область экстремальных задач никак нельзя считать завершенной. Работы, посвященные новым методам минимизации функций одной переменной, продолжают появляться на страницах математических книг и журналов (см., например,- [11, 90, 95, 106, 128, 241, 246, 266, 279, 282, 288, 291, 314, 328, 332]). Мы здесь остановимся на некоторых наиболее известных мето- дах, достаточно хорошо проявивших себя на практике. § 1. Постановка задачи Пусть R={y: —ooJ{v]. Это значит, что U^ пусто. Пример 2. Функция J(u}= Ы + \и—11 —1 на <7= = {и: |ы|^1} принимает свое наименьшее значение, равное ну- лю, во всех точках отрезка W* = [и'- 0 ^ и ^ 1}. Если У = = {и: 1^к^2}, то ?7^ содержит одну точку и^ = 1; если С7 = ={;i: 1<^<2}, то ^=0. Пример 3. Пусть J(u)=u при и^О и /(0)=1.^На мно- жествах U = {it: 0 < и ^ 1} или U ={и: 0 < У =$ 1) эта функция не имеет наименьшего значения, т. е. U^ == 0. Пример 4. Пусть /(ы)=1пы, ?/={u: 0<м<1}. Здесь ?7:1: = 0, так как во всех точках из U функция принимает ко- нечные значения, а для последовательности и^ = 1/й {k == =1, 2, ...) имеем lim J(и^) = — оо. ft->00 Определение 2. Функция 7(м) называется ограниченной снизу на множестве U, если существует такое число М, что J(u)^M для всех ueU. Функция /(м) не ограничена снизу на ?7, если существует последовательность {и^} е ?7, для которой lim J(iift) = — оо. ft-» со В примерах 1—3 функции ограничены снизу на рассмат- риваемых множествах, а в примере 4 функция не ограни- чена. В тех случаях, когда U^ = 0, естественным обобщением по- нятия наименьшего значения функции является понятие нижней грани функции. Определение 3. Пусть функция /(ы) ограничена снизу на множестве U. Тогда число J^ называют нижней гранью J(u} на U, если: 1) J^^J(u) при всех u^U; 2) для любого сколь угодно малого числа в > 0 найдется точка у. s U, для которой J ("с) < -Л? + 8- Если функция J(u} не ограничена снизу на U, то в качестве нижней грани J(u) на U принимается/^==з—оо. Нижнюю грань J(u} на U обозначают через inf J'(u)==J^. usu В примерах 1—3 J^ = 0, а в примере 4J^=c — оо. Если U^ =?^0, то, очевидно, нижняя грань J(u) на U совпа- дает с наименьшим значением этой функции на U, т. в. inf J (и) = niin J(u). В этом случае говорят, что функция /(к) usi/ usU ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 11 § 1] на U достигает своей нижней грани. Подчеркнем, что inf J (и) == ue.U == J^ всегда существует, a min J (и), как мы видели из приме- u=U ров 1—4, не всегда имеет смысл. Введем еще два определения. Определение 4. Последовательность {и,) <= U называется минимизирующей для функции J(u) на множестве U, если lim J (uh) == inf J (и) = J^. fc->oo USU Из определения и существования нижней грани следует, что минимизирующая последовательность всегда существует. Определение 5. Скажем, что последовательность {uJ сходится к непустому множеству U, если lim p (Ufi, U) = 0, где й-»°° p (uiif U) = inf | u^ — u\ — расстояние от точки Ыд до множества U. иеи Заметим, что если U^ =/= 0, то всегда существует минимизи- рующая последовательность, сходящаяся к U^', например, мож- но взять стационарную последовательность и^=и^ {k= i, 2, ...),: где Уд, — какая-либо точка из U^. Однако не следует думать, что при U^ -^ 0 любая минимизирующая последовательность будет сходиться к Пщ. 2 Пример 5. Пусть J(и) ==——^ ?/=R. Очевидно, здесь i "i и J ^ = 0 и множество U^ состоит из единственной точки и^ == 0. Последовательность и^ = k (k==i, 2, ...) является минимизиру- ющей, так как lim J(/c) == 0, но р(и^,и^)=!{ не стремится k-"» к нулю. Теперь можем перейти к формулировке задачи минимиза- ции функции 7 (и) на множестве U. В дальнейшем будем раз- личать задачи двух типов. К первому типу отнесем задачи, в которых требуется определить величину J^ == inf J (и). Сразу uiZU же подчеркнем, что в задачах первого типа неважно, будет ли множество U^ точек минимума J(u) на U непустым или оно пусто. Ко второму типу задач отнесем те задачи, у которых мно- жество U^ непусто и требуется наряду с J^ найти какую-либо точку и^ е U^. Заметим, что получить точное решение задачи первого или второго типа удается лишь в редких случаях. Поэтому на прак- тике при решении задач первого типа обычно строят какую-либо минимизирующую последовательность {и^} для функции /(и) на U и затем в качестве приближения для ^^ берут величину /(и,,) при достаточно большом k. Аналогично для приближенного ре- шения задач второго типа достаточно построить минимизирую- щую последовательность {щ}, которая сходится ко множеству U^ в смысле определения 5, п в качестве приближения для J^ 12 МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. i и точки У* s U^ взять соответственно величину /(м;,) и точку ы» при достаточно большом k. Как показывает пример 5, в отличие от задач первого типа не всякая минимизирующая последовательность может быть ис- пользована для получения приближенного решения задач второ- го типа. Построение минимизирующих последовательностей, схо- дящихся ко множеству U^, в общем случае требует привлече- ния специальных методов [6, 22]. В настоящей главе будем рас- сматривать лишь такие задачи второго типа, у которых любая минимизирующая последовательность сходится к U^. Один та- кой класс задач дается следующей теоремой, называемой теоре- мой Вейерштрасса. Теорема 1. Пусть U—замкнутое ограниченное множество из R, функция J(u] непрерывна на U. Тогда J(u) ограничена снизу на U, множество U^ точек минимума J(u} на U непусто, замкнуто и любая минимизирующая последовательность {и»} сходится к U^. Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [10, 160, 165, 233]. Несколько более общий факт будет установлен в § 2.1, из которого также будет следовать теорема 1. Предла- гаем читателю вернуться к примерам 1—5 и выяснить, в каких случаях и какое из условий теоремы 1 нарушено и к чему это приводит. Возможна и более широкая постановка задач минимизации второго типа — когда ищутся не только точки минимума в смыс- ле определения 1, но и точки так называемого локального ми- нимума. Определение 6. Точка v^ e U называется точкой локаль- ного минимума функции J(u} на множестве U со значением c=J(y^), если существует такое число сх>0, что /(v^)^J'(u) длявсехы G.U [\ {и: \ и\— v^ \ <;сс} = Oa(v^).^ Если при некотором к > 0 равенство 0 найдется такая точка и^еи, что J(Uc)>J*—e. Если /(м) не ограничена сверху на ?/, то по определению принимается /* == оо. Последовательность {uJ e U называется максимизирую- щей для /(и} на U, если lim J(и^) = J*. Еслп существует такая ft-» 00 точка и* s U, что /(»*)=/*, то и* называется точкой максиму- 14 МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. » ма J (и) на U, а величина J(u*)—наибольшим пли максималь- ным значением J(u} на U. Множество точек максимума J(u) на U будем обозначать через U*, верхнюю грань — через J* ==' = sup J (и). иеи Заметим, что верхняя грань и максимизирующая последова- тельность всегда существуют, а максимальное значение может не существовать. Если выполнены условия теоремы 1, то /* < °°, U* ?= 0 и любая максимизирующая последовательность {и„} схо- дится к ?7*. В задачах максимизации также можно различать задачи двух типов: в задачах первого типа ищется величина J*, а в задачах второго типа ищется J* и какая-либо точка и* е U*. Нетрудно видеть, что sup J (и) = ueu .inf(-J(u)), us U причем любая точка максимума и любая максимизирующая по- следовательность для J (и) на U являются точкой минимума и соответственно минимизирующей последовательностью для функ- ции —J (и) на U. Это значит, что любая задача максимизации функции J(u) на U равносильна задаче минимизации функции —J(u) на том же множестве U. Поэтому мы можем ограничиться изучением лишь задач минимизации. Наконец, немного о точках локального максимума. Определение 10. Точка v* e U называется точкой ло- кального максимума функции J(u} на множестве U, если суще- ствует такое число а>0, что J(v*}'^J{u} для всех u<=UH П {и: \и— v*\ < v.} = Oy.(v*). Если при некотором ос>0 равен- ство J{v*)=J(u) для u^0a(v*} возможно только при u=v*, то v* называют точкой строгого локального максимума. Для функции, график которой изображен на рис. 1.1, точки У), Уз, "7, "ю являются точками строгого локального максимума, а в точках, удовлетворяющих неравенствам Us'S:u 0 на множествах U-»t+0 [я, Ь] П (у, v + я) = 0^ (У), [а, Ь} П (v - к, г) = 0„ (и) суще- ствовала производная J'(u), причем J'(u)>0 при и<=0^(и) и J' (и) < 0 при и е Оа (и). Если же lim J (м)< J (v), lira / (и) < u-»»—o u->c+0 ^J(r) п J'(u)<.0 при ue0,t(v), J'(v)>0 при u^0a(v}, то v — точка локального максимума. В тех случаях, когда удается вычислить в подозрительной точке производные второго и более высокого порядков, то их также можно использовать для исследования поведения функции 530 ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [ГЛ. 7 В заключение упомянем, что функции Беллмана, Кротова тесно свя- заны с функцией Ляпунова, широко используемой в теории устойчиво- сти [9]. Упражнения. г С (и2 {t) — х2 (t)) dt при условиях ж(0) == х(Т} == 0. Показать, О < Т < л. что пара (и» (<) ==0, ж, (<) ==0) является оптимальной при Указание: функцию Кротова искать в виде К(х, t) == if(t)a:2. 2. С помощью принципа максимума найти подозрительные на оптималь- ность управления п траектории, а затем доказать их оптимальность для следующей задачи быстродействия: наибыстрейшим образом перевести точ- ку (-''с, Уо) из заданного состояния в начало координат (0, 0), предполагая, что движение точки подчиняется одному из следующих условий: a) x(t) = y(t), y(t) = a(t), u(t) e V(t) -{ue-E1: H ^ i},0^t^T, 6)s(t)=y(t), y(t) =-x,(t)+u(t), a(t)e=V(t) =={ae=E1: \u\ s; 1}, 0 §S t sS. T; в) x{t) =y(t) +a(t), y(t} ==-x(t)+ v (t), (u(t), v(t))(=V(t) = = {(a, v) e?2: H sS 1, \v\ г$ 1}, 0 sS * ^ Т. Указание: функцию Кро- това искать в виде К(х, t) = ^ii(t)x + ^г(0?- 3. Перевести точку (х, у, г) е Е3 из начала координат (О, О, 0) в точку (а, 0, 0) быстрейшим образом, если x(t)==y(t), y(t)=z(t), z(t)s=u(t), u(t) e= V(t) = [aeE1: ja| s$ 1} (0 э$ t s^ T); а == const. Показать, что опти- мальное время Т* == (32 f a |)1/3. У к а з а н и е: функцию Кротова искать в виде К(х, t) -= ^i (t)x + ^s(t)y + bW2- 4. Рассмотреть задачу минимизации функции т J f (х (t), и (t), t) dt + Фц (х (f„), t„) + Ф {х (Г), Г) при условиях (13)—(16). Для этой задачи сформулировать и доказать тео- ремы, аналогичные теоремам 1—4. 1. Рассмотреть задачу минимизации функции СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА •Алексеев В. М., Г а л е е в Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи.—М.: Наука, 1984.— 288 с. Алексеев В. М., Т и х о м и р о в В. М., Ф о м п н С. В. Оптимальное управление.—М.: Наука, 1979.—432 с. Ашманов С. А. Линейное программирование.—М.: Наука, 1981.— 304 с. Бахвалов Н. С., ЖидковН.П., К об ельков Г. М. Численные методы.—М.: Наука, 1987.—600 с. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф. Основы теории управления.— Киев: Вища школа, 1975.— 328 с. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.—М.: Нау- ка, 1981— 400 с. У « J Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации.— Минск: Изд-во БГУ, 1981.—352 с. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их при- менение в системах оптимизации.—М.: Наука, 1982.—432 с. 3 у б о в В. И. Лекции по теории управления.—М.: Наука, 1975.— 496 с. Ильин В. А., Садовничий В. А., С е п д о в Бл. X. Математический анализ. Начальный курс.—М.: Изд-во МГУ, 1985.— 660 с. Карманов В. Г. Математическое программирование.—М.: Наука, 1986.- 288 с. Ляшенко И. Н., Карагодова Е. А., Черникова Н. В., Шор Н. 3. Линейное и нелинейное программирование — Киев: Вища школа, 1975.— 372 с. М арчу к Г. И. Методы вычислительной математики.—М.: Наука, 1980.— 536 с. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем.—М.: Наука, 1975.-528 с. Моисеев Н. Н., И в а н и л о в Ю. П., С т о л я р о в а Е. М. Методы оптимизации.—М.: Наука, 1978.— 352 с. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследова- ние операций в задачах и упражнениях.— М.: Высшая школа, 1986.— 287 с. П о н т р я г и н Л. С., Болтянский В. Г., Г а м к р е л и д з е Р. В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1976.— 392 с. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.— М.: Наука, 1980— 320 с. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экст- ремальных задачах.—М.: Наука, 1975.—320 с. 532 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 20. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.—М.: Наука, 1978.—592 с. 21. С у х а р е в А. Г., Т и м о х о в А. В., Ф е д о р о в В. В. Курс методов оптимизации.—М.: Наука, 1986.—328 с. 22. Т и х о н о в А. Н., А р с е н и н В. Я. Методы решения некорректных задач.—М.: Наука, 1986.—288 с. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 23. А б р а м о в Л. М., К а п у с т и н В. Ф. Математическое программиро- вание.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1981.—328 с. 24. Аваков Е. Р. Условия, экстремума для гладких задач с ограниче- ниями типа равенств // Журн. вычислит, матем. и матем. физики.— 1985.— Т. 25, № 5.— С. 680—693. 25. А к у л и ч И. Л. Математическое программирование в примерах и за- дачах.— М.: Высшая школа, 1986.— 319 с. 26. А л е к с е е в О. Г. Комплексное применение методов дискретной опти- мизации.— М.: Наука, 1987.— 248 с. 27. А л ь б е р Я. И., Шильман С. В. Метод обобщенного градиента: сходимость, устойчивость и оценки погрешности // Журн. вычисл. ма- тем. п матем. физики.— 1982.— Т. 22, № 4.— С. 814—823. 28. А н р и о н Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптималь- ном управлении.— М.: Наука, 1979.— 208 с. 29. Антипин А. С. Методы нелинейного программирования, основан- ные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа.— М.: Изд-во Всесоюзного научно-исследовательского института системных ис- следований, 1979.— 74 с. 30. А о к и М. Введение в методы оптимизации.— М.: Наука, 1977.— 344 с. 31. Арутюнов А. В. О необходимых условиях оптимальности в зада- че с фазовыми ограничениями // ДАН СССР.—1985.—Т. 280, № 5.— С. 1033—1037. 32. А р у т ю н о в А. В., М а р д а н о в М. Дж. К теории оптимальных процессов с запаздываниями // Дифференциальные уравнения.— 1986.— Т. 22, № 8.- С. 1291-1298. 33. А с т а ф ь е в Н. Н. Линейные неравенства и выпуклость.—М.: Наука, 1982— 152 с. 34. А х и е в С. С. О необходимых условиях оптимальности для систем функционально-дифференциальных уравнений // ДАН СССР.— 1979.— Т. 247, № 1.—С. 11—14. 35. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику.— М.: Нау- ка, 1984.— 296 с. 36. А щ е п к о в Л. Т. Оптимальное управление линейными системами.— Иркутск: Иэд-во ИГУ, 1982.— 116 с. 37. А щ е п к о в Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами.— Новосибирск: Наука, 1987.— 226 с. 38. А щ е п к о в Л. Т., Б е л о в Б. И., Б у л а т о в В. П., В а с и л ь е в О. В.. СрочкоВ.А., ТарасенкоН.В. Методы решения задач математи- ческого программирования и оптимального управления.— Новосибирск: Наука, 1984.— 234 с. 39 Бабенко К. И. Основы численного анализа.—М.: Наука, 1986.— 744 с. 40.БагриновскийК.А.,Бусыгин В. П. Математика плановых ре- шений.— М.: Наука, 1980.— 224 с. 41. Б а з а р а М., Ш е т т и К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы.— М.: Мир, 1982.— 584 с. 42. Б а к у ш и н с к и и А. Б. Итерационные регуляризующие алгоритмы для нелинейных задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физики,— 1987.—Т. 27, № 4.—С. 617—621. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 533 43-Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел.—М.: Наука. 44. Б а н к Б., Б е л о у с о в Е. Г., М а н д е л ь Р., Ч е р е м н ы х Ю. Н., Широнин В.М. Математическая оптимизация: вопросы разрешпио- сти и устойчивости.—М.: Изд-во МГУ, 1986.—216 с. 45. Б а р т и ш М. Я. Об одном классе методов типа Ньютона // Вестник МГУ. Сер. вычислит, матем. и киберн.— 1987, № 2.— С. 16—20. 46. Б а т и щ е в Д. И. Методы оптимального проектирования.— М.: Радио и связь, 1984.— 248 с. 47. Б а т у х т и н В. Д., М а и б о р о д а Л. А. Оптимизация разрывных Функций.— М.: Наука, 1984.— 208 с. 48. е п к о И. В., Б у б л и к Б. Н., 3 и н ь к о П. Н. Методы и алгорит- мы решения задач оптимизации.— Киев: Вища школа, 1983.— 512 с. 49. Б е л е н ьк и и В. 3., В о л к о н с к и и D. А., И в а н к о в С. А., П о- м а н с к и и А. Б., Шапиро А. Д. Итеративные методы в теории игр и программировании.— М.: Наука, 1974.— 240 с. 50. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией.—М.: Наука.— 1964— 360 с. 51. Белолипецкий А. А., Рябов А. Ю. Асимптотические оценки решений задачи оптимального быстродействия вблизи точек излома изохронной поверхности // Журн. вычисл. матем. п матем. физики — 1986— Т. 26, № 4— С. 521-535. 52. Б е л о у с о в Е. Г. Введение в выпуклый анализ и целочисленное про- граммирование.— М.: Изд-во МГУ, 1977.— 196 с. 53. Бердышев В. И. Непрерывность многозначного отображения, свя- занного с задачей минимизации функционала // Изв. АН СССР. Сер. матем.—1980.- Т. 44, № 3- С. 483-509. 54. Б е р е з и н И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I.— М.: Наука, 1966.—632 с. Том 2.—М.: Физматгаэ, 1962.—640 с. 55. Б е р е з н е в В. А. Математические методы планирования производст- венной программы предприятий легкой промышленности.— М.: Легкая индустрия, 1980.— 144 с. 56. Б е р е з н е в В. А., Карманов В. Г., Третьяков А. А. О стаби- лизирующих свойствах градиентного метода // Журн. вычислит, матем. и матем. физики— 1986.— Т. 26, № 1.— С. 134—137. 57. Б ер е сн e-в В. Л., Гимади Э. X., Д е м е н т ь е в В. Т. Экстремаль- ные задачи стандартизации.— Новосибирск: Наука, 1978.— 334 с. 58. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лаг- ранжа.— М.: Радио и связь, 1987.— 400 с. 59. Бертсекас Д., Шрив С. Стохастическое оптимальное управле- ние: случай дискретного времени.—М.: Наука, 1985.— 280 с. 60. Б и с т р и ц к а с В. Б. Приближенное решение уравнений динамиче- ского программирования // Журн. вычпсл. матем. и матем. физики.— 1985.— Т. 25, № 8.— С. 1131—1142. 61.Благодатских В. И. Линейная теория оптимального управле- ния—М.: Изд-во МГУ, 1978—96 с. 62. Благодатских В. И. Принцип максимума для дифференциаль- ных включений II Тр. Мат. ин-та АН СССР.—1984.— Т. 166.— С. 23-43. 63. Б л а г о д а т с к п х В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. Мат. ин-та АН СССР.— 1985—Т. 169-С. 194-252. 64. Б л и с с Г. А. Лекции по вариационному исчислению.— М.: Изд-во иностр. литературы, 1950.— 348 с. 65. Б о л т я н с к и и В. Г. Математические методы оптимального управле- ния.— М.: Наука, 1969.— 408 с. 66. Б о л т я н с к и и В. Г. Оптимальное управление дискретными систе- мами.—М.: Наука, 1973.—448 с. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Болтянский В. Г. Метод шатров в топологических векторных про- странствах И ДАН СССР.— 1986.— Т. 289, № 5.— С. 1036—1039. , Б р а и с о н А., Х о Ю - Ш п. Прикладная теория оптимального уп- равления.—М.: Мир, 1972.—544 с. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Струк- турно-параметрическая оптимизация и устойчивость динамики ауч- ков.— Киев: Наукова думка, 1985.— 304 с. Б у д а к Б. М., Васильев Ф. П. Некоторые вычислительные аспек- ты задач оптимального управления.— М.: Изд-во МГУ, 1975.— 172 с. БулавскийВ.А., Звягина Р. А., Яковлева М.А. Ччслен- ные методы линейного программирования.— М.: Наука, 1977.— 368 с. Булатов В. П. Методы погружения в задачах оптимизации.— Но- восибирск: Наука, 1977.— 160 с. Б у р д а к о в 'О. П. Устойчивые варианты метода секущих для реше- ния систем уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.— 1983.—Т. 23, JV» 5.—С. 1027—1040. Буслаев В. С. Вариационное исчисление.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.— 288 с. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем.—М.:.Наука, 1985.—136 с. Вайникко Г.М., Веретенников А. Ю. Итерационные проце- дуры в некорректных задачах.— М.: Наука, 1986.— 182 с. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функци- ональными уравнениями,—М.: Наука, 1977.—624 с. Васильев Н. С. О численном решении экстремальных задач по- строения эллипсоидов и параллелепипедов // Журн. вычислит, матем. п матем. физики.— 1987.—Т. 27, № 3.—С. 340—348. Васильев О. В. Методы оптимизации в конечномерных пространст- вах.— Иркутск: Изд-во Иркутск, ун-та, 1979.— 90 с. Васильев О. В. Методы оптимизации в функциональных прост- ранствах.— Иркутск: Изд-во Иркутск, ун-та, 1979.— 120 с. Васильев Ф. П. Лекции по методам решения экстремальных за- дач.—М.: Изд-во МГУ, 1974.—376 с. Васильев Ф. П. О методе нагруженных функционалов // Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и кпберн., 1978.—№ 3.— С. 24—32. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных за- дач.— М.: Наука, 1980— 520 с. Васильев Ф. П. Применение негладких штрафных функций в ме- тоде регуляризации неустойчивых задач минимизации // Журн. вы- числит. матем. и матем. физики.— 1987,— Т. 27, № 10.— С. 1444— 1450. Васильев Ф. П., Константинова Т. В. Об одном обобщении метода нагруженных функционалов // Вестник МГУ. Сер. вычисл. ма- тем. и киберн.— 1983, № 2.—С. 3—8. Васильев Ф. П., С о л о д к а я М. С., Я ч и м о в и ч М. Д. О регуля- ризованном методе линеаризации при наличии погрешностей в исход- ных данных II Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн.—1985, № 4.— С. 3—8. Васильев Ф. П., Хромова Л. Н., Я ч и м о в и ч М. Д. Итератив- ная регуляризация одного метода минимизации третьего поряд- ка Н Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн.— 1981, № 1.— С. 31-36. Васин А. А. Модели процессов с несколькими участниками.— М.: Изд-во МГУ, 1983.— 84 с. Васин В. В. Дискретная аппроксимация и устойчивость в экстре- мальных задачах // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.— 1982.— Т. 22, № 4.— С. 824—839. 535 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 90. В и л к о в А. В., Ж и д к о в Н. П., Щедрин Б. М. Метод отыскания глобального минимума функции одного переменного // Журн. вычис- лит. матем. и матем. физики.— 1975.— Т. 15, J\» 4.— С. 1040—1042. 91. Вилков В. Б. Некоторые свойства функции Лагранжа в задачах математического программирования.— Кибернетика, 1986, № 1.— С. 65—69. 92. В л а д и м и р о в А. А., Нестеров Ю. Е., Ч е к а н о в Ю. Н. О рав- номерно выпуклых функционалах // Вестник МГУ. Сер. вычисл. ма- тем. и киберн.— 1978, № 3.— С. 12—23. 93. Воеводин В. В. Линейная алгебра.—М.: Наука, 1980.—400 с. 94. В о л о ш и н А. Ф. Метод локализации области оптимума в задачах математического программирования // ДАН СССР.— 1987.— Т. 293, № 3.— С. 549—553. 95. В о р о б ь е в Н. Н. Числа Фибоначчи.— М.: Наука, 1978.— 144 с. 96. В о р о б ь е в Н. Н. Теория игр. Лекшш для экономпстов-кибернетп- ков.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.—268 с. 97. Г а б а с о в Р. Ф., К и р и л л о в а Ф. М. Качественная теория опти- мальных процессов.—М.: Наука, 1971.—508 с. 98. Г а б а с о в Р. Ф., К и р и л л о в а Ф. М. Особые оптимальные управле- ния.- М.: Наука, 1973- 256 с. 99. Г а б а с о в Р. Ф., Кириллова Ф. М. Оптимизация линейных си- стем.— Минск: Изд-во БГУ, 1973.— 248 с. 100. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в тео- рии оптимального управления.— Минск: Наука п техника, 1974.— 272 с. 101. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Основы динамического про- граммирования.— Минск: Изд-во БГУ, 1975.— 264 с. 102. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф.М. Методы линейного програм- мирования.— Минск: Изд-во БГУ. Часть 1, 1977.—176 с., часть 2, 1978.— 240 с.. часть 3, 1980.— 368 с. 103. Г а в у р и н М. К., М а л о з е м о в В. Н. Экстремальные задачи с ли- нейными ограничениями.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1984.—176 с. 104. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления.— Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1977.— 254 с. 105. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1967.—576 с. 106. Ганшин Г. С. Методы оптимизации и решение уравнений.— М." На- ука, 198Г- 128 с. 107. Гапоненко Ю.Л. Метод последовательной аппроксимации для ре- шения нелинейных экстремальных задач // Известия вузов. Сер. ма- тем— 1980, № 5.- С. 12-15. 108. Г е л ь ф а н д И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление.— М.: Фпзматгиз, 1961.—228 с. 109. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций.—М.: Наука, 1971.-384 с. 110. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположнымп интересами.—М.: Наука, 1976.— 328 с. 111. Г ил л Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация.— М.: Мир, 1985— 509 с. 112. Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач.— М.: Изд-во МГУ, 1987-120 с. 113. Гладков Д. И. Оптимизация систем неградиентным случайным по- иском.— М.: Энергоатомиздат, 1984.— 256 с. 114. Гнеденко Б. В. Математика—народному хозяйству.—Новое в жиз- ни науке, технике. Сер. Математика, кибернетика.— М.: Знание, 1977, № 10.— 64 с. 115. Голиков А. И., Ж а дан В. Г. Две модификации метода линеари- зации в нелинейном программировании // Журн. вычислит, матем. и матем. физики.— 1983.— Т. 23, № 2.— С. 314—325. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 536 116. Голыптейн Е. Г., Третьяков Н. В. Модифицированные функ- ции Лагранжа и их применение // Экономика и матем. методы.— 1983.— Т. 19, № 3.- С. 528-547. 117. Горбунов В. К. Методы редукции неустойчивых вычислительных задач.— Фрунзе: Илим, 1984.— 134 с. 118. Горелик В. А., Кононенко А. Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах.— М.: Радио и связь, 1982.— 145 с. 119. Гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных за- дач теории приближений.—М.: Изд-во МГУ, 1983.—208 с. 120. Григоренко Н. Л. Дифференциальные игры преследования не- сколькими'объектами.—М.: Изд-во МГУ, 1983.—79 с. 121. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю.Н., Токарев В. В. Механика космического полета с малой тягой.— М.: Наука, 1966.— 680 с. 122. Гроссман К., К а п л а н А. А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации.— Новосибирск: Наука, 1981.— 184 с. 123. Г у п а л А. М. Стохастические методы решения негладких экстремаль- ных задач.— Киев: Наукова думка, 1979.— 152 с. 124. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления.— М.: Наука, 1977.— 304 с. 125. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления.— М.: Наука, 1985.— 288 с. 126. Давыдов Э. Г. Методы и модели теории антагонистических игр.— М.: Изд-во МГУ, 1978.— 208 с. 127.Дамбраускас А. П. Симплексный поиск.—М.: Энергия, 1979.— 176 с. 128. Данилин Ю. М. Оценка эффективности одного алгоритма отыска- ния абсолютного минимума // Журн. вычисл. матем. и матем. физи- ки.- 1971- Т. 11, № 4- С. 1026-1031. 129. Данилин Ю. М., К о в н и р В. Н. Об одной точной штрафной функ- ции для задачи нелинейного программирования.— Кибернетика, 1986, № 5.— С. 43—46. 130. Данцпг Дж. Линейное программирование, его применения п обоб- щения.— М.: Прогресс, 1966.— 600 с. 131. Даффин Р., Питерсон Э., ЗенерК. Геометрическое програм- мирование.— М.: Мир, 1972.— 312 с. 132. Демьянов В.Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая опти- мизация.—М.: Наука, 1981.—384 с. 133. Демьянов В. Ф., М а л о з е м о в В. Н. Введение в минимакс,— М.: Наука, 1972.—368 с. 134. Денисов Д. В., К а р м а н о в В. Г., Т р е т ь я к о в А. А. Ускорен- ный метод Ньютона для решения функциональных уравнений // ДАН СССР.— 1985.—Т. 281, №- 6.— 1293—1297. 135. Д и к и н И. И., 3 о р к а л ь ц е в В. И. Итеративное решение задач математического программирования.— Новосибирск: Наука. 1980.— 144 с. 136. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, прибли- жения и анализ чувствительности.— М.: Мир, 1987.— 156 с. 137. Дуб о в и ц кий А. Я., Милютин А. А. Необходимые условия сла- бого экстремума в общей задаче оптимального управления.—М.: Нау- ка, 1971.— 114 с. 138. Дюркович Е. Численный метод нахождения времени быстродейст- вия с заданной точностью // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.— 1983.— Т. 23, № 1.— С. 51—60. 139. Евтушенко Ю. Г. Численный метод поиска глобального экстре- мума функций (перебор на неравномерной сетке) // Журн. вычисл. ма- тем. и матем. физики—1971—Т. 11, № 6.—С. 1390-1703. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 537 140. Евтушенко Ю. Г., Ж а дан В. Г. Об одном подходе к системати- зации численных методов нелинейного программирования.— Техниче- ская кибернетика, 1983, 4 1.— С. 47—59. 141. Евтушенко Ю. Г., Ратькин В. А. Метод половинных делении для глобальной оптимизации функции многих переменных.— Техниче- ская кибернетика, 1987, № 1.—С. 119—127. 142. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионны- ми процессами.— М.: Наука, 1978.— 464 с. 143. Емеличев В. А., Комли к В. И. Метод построения последователь- ности планов для решения задач дискретной оптимизации.— М.: Нау- ка, 1981- 208 с. 144. Еремин И. И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного в выпуклого программирования.—М.: Наука, 1976.—192 с. 145. Еремин И. И., Мазуров В. Д. Нестационарные процессы мате- матического программирования.—М.: Наука, 1979.—288 с. 146. Еремин И. И., Мазуров В. Д., Астафьев Н. Н. Несобствен- ные задачи линейного и выпуклого программирования.— М.: Наука, 1983.— 336 с. 147. Ермаков С. М., Жиглявский А. А. Математическая теория оп- тимального эксперимента.— М.: Наука, 1987.— 320 с. 148. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования.— М.: Наука, 1976.— 240 с. 149. Ермольев Ю.М., Г у л е н к о В. П., Ц а р е н к о Т. И. Конечно- разностный метод в задачах оптимального управления.— Киев: Науко- ва думка, 1978.— 164 с. 150. Ермольев Ю. М., Л я ш к о И. И., М и х а л е в и ч В. С.. Т ю п- тя В. И. Математические методы исследования операций.—Киев: Ви- ща школа, 1979.— 312 с. 151. Ермольев Ю. М., Ястремский А. И. Стохастические моде- ли и методы в экономическом планировании,— М.: Наука, 1979.— 254 с, 152. Ж а д а н В. Г. Об одном классе итеративных методов решения зада? выпуклого программирования // Журн. вычисл. матем. и ыатем физи- ки.— 1984.— Т. 24, № 5.— С. 665—676. 153. Жданов В. А. О методе покоординатного спуска // Мат. заметки.— 1977.- Т. 22, вып. 1.- С. 137-142. 154. Жиглявский А. А. Математическая теория глобального случайно- го поиска.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.—296 с. 155. Заботин Я. И. Лекции по линейному программированию.—Ка- зань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985.—98 с. 156. Заботин Я. И., Кораблев А. И., Хабибуллин Р.Ф. Усло- вия экстремума функционала при наличии ограничений — Кибернети- ка, 1973, № 6. С. 65—70. 157. Заботин Я. И., КрейнинМ.И.К сходимости методов отыскания минимакса // Известия вузов. Сер. матем.—1977.—№ 10 (185). С. 56— 64. 158. Завриев С. К. Стохастические градиентные методы решения мини- максных задач.—М.: Изд-во МГУ, 1984.—82 с. 159. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование.— М.: Советское ра- дио, 1973.- 312 с. 160. Зори ч В. А. Математический анализ.—М.: Наука, ч. I, 1981.—543 с., ч. II, 1984.- 640 с. 161. Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем авто- матического управления.— М.: Наука, 1981.— 336 с. 162. Иванов В. К., В а с и н В. В., Т а н а н а В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.— М.: Наука, 1978.— 208 с. 163. Ижуткин В. С., Кокурин М.Ю. О гибридном методе нелиней- ного программирования, использующем криволинейный спуск // Извес- тия вузов. Сер. матем.— 1986, № 2.—С. 61—64. 35 ф. П. Васильев СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 538 164. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра.—М.: Наука. 1974, 296 с. 165. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.— М.: Наука, ч. I, 1971.— 600 с., ч. II, 1973.— 448 с. 166. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач.— М.: Наука, 1974.— 480 с. 167. Казимиров В. И., Пл о т н и к о в В. И., С т а р о б и н е ц И. М. Аб- страктная схема метода вариаций и необходимые условия экстремума // Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1985.—Т. 49, № 1.—С. 141—159. 168. Калихман И. Л. Сборник задач по математическому программиро- ванию.— М.: Высшая школа, 1975.— 270 с. 169. Калихман И. Л., Войтенко М. А. Динамическое программиро- вание в примерах и задачах.— М.: Высшая школа, 1979.— 126 с. 170. Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического программирования.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1976.—192 с. 171. Карманов В. Г., Третьяков А. А. Оценка скорости сходимости некоторых методов покоординатного спуска // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вы- числ. матем. и киберн.— 1985, №. 2.— С. 41—46. 172. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные диф- ференциальные уравнения и основы вариационного исчисления.— М.: Наука, 1986.— 287 с. 173. Катковник В. Я. Линейные оценки и стохастические задачи опти- мизации.— М.: Наука, 1976.— 488 с. 174. К и р и н Н. Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимиза- ции управляемых систем.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1975.— 160 с. 175. Киселев Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями.— М.: Изд-во МГУ, 1986.— 106 с. 176. Ковалев М. М. Дискретная оптимизация.— Минск: Изд-во БГУ, 1977.— 191 с. 177. Ковач М. Непрерывный аналог итеративной регуляризации гради- ентного типа Н Вестн. МГУ. Сер. вычпсл. матем. и киберн.— 1979.— № 3.- С. 36—42. 178. Ковач М. О сходимости метода обобщенных барьерных функций Ц Вестн. МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн.— 1981.— № 1.— С. 40— 45. 179. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций в функционального анализа.— М.: Наука, 1976.— 544 с. 180. Коростелев А. П. Стохастические рекуррентные процедуры (ло- кальные свойства).—М.: Наука, 1984.—208 с. 181 Коша А. Вариационное исчисление.—М.: Высшая школа, 1983.— 279 с. 182. К р а с н о в М. Л., М а к а р е н к о Г. И., Киселев А. И. Вариаци- онное исчисление. Задачи и упражнения.— М.: Наука, 1973.— 192 с. 183. Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения мо- делей.— М.: Изд-во МГУ, 1983.— 264 с. 184 Красовский Н. Н. Теория управления движением.— М.; Наука, 1968.—476 с. 185 Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений.—М.: Нау- ка, 1970— 420 с. 186. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата,— М.: Наука, 1985.— 520 с. 187. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференци- альные игры.— М.: Наука, 1974.— 456 с. 188. Кротов В. Ф., Б у к р е е в В. 3„ Г у р м а н В. И. Новые методы ва- риационного исчисления в динамике полета.—М.: Машиностроение, 1969.- 288 с. 189. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального уп- равления.— М.: Наука, 1973.— 448 с. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 539 190. Кузнецов Ю. Н., К у зубов В. И., Волощенко А. Б. Ма- тематическое программирование.— М.: Высшая школа, 1980.— 302 с. 191. Кукушкин Н.С., Морозов В. В. Теория неантагонистическпх игр.— М.: Изд-во МГУ, 1984.— 104 с. 192. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопре- деленности.—М.: Наука, 1977.—392 с. 193. Лагунов В.Н. Введение в дифференциальные игры.— Вильнюс: Ин- ститут матем. и кибернетики АН Литовской ССР, 1979.— 342 с. 194. Лебедев В. Ю. Декомпозиционный метод решения блочных задач линейного программирования со связывающими переменными // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.—1981.—Т. 21, № 4.—С. 881— 886. 195. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике.—М.: Наука, '1985.— 352 с. 196. Левитин Е.С.К теории возмущений негладкпх экстремальных за- дач с ограничениями Ц ДАН СССР.— 1975.— Т. 224, № 6.— С. 1260— 1263. 197. Лейхтвейс К. Выпуклые множества.—М.; Наука, 1985.—336 с. 198. Леонов А. С. О применении обобщенного принципа невязка для ре- шения некорректных экстремальных задач // ДАН СССР.—1982 — Т. 262, № 6- С. 1306-1310 199. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления.— М.: Наука, 1972— 576 с. 200. Л и с к о в е ц О. А. Вариационные методы решения неустойчивых за- дач.—Минск: Изд-во Наука и техника, 1981.—344 с. 201. Л оран П.-Ж. Аппроксимизация и оптимизация.—М.: Мир, 1975— 496 с. • " • 202. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование.— М.: Наука, 1984.- 392 с. 203.Лэсдон Л. С. Оптимизация больших систем.—М.: Наука. 1975— 432 с. 204. Любушин А. А., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Изв АН СССР. Сер. технич. киберн.— 1983.—№ 2.—С. 147—159. 205. Мансимов К. Б. Многоточечные необходимые условия оптимально- сти особых в классическом смысле управлений в системах с за- паздыванием II Дифференц. уравнения.— 1985.— Т. 21, № 3.— С 527— 530. 206. М а р д а н о в М. Д. Некоторые вопросы математической теории опти- мальных процессов в системах с запаздываниями.— Баку: Изд-во Азерб. ун-та, 1987.— 120 с. 207. М а р ч у к Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружа- ющей среды.—М.: Наука, 1982.—320 с, 208. М а р ч у к Г. И. Окружающая среда и проблемы оптимизации // Тр. МИАН СССР. Т. 166.-М.: Наука, 1984—С. 123-129. 209. М а р ч у к Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории пере- носа нейтронов.—М.: Атомиздат, 1981.—454 с. 210. Матвеев А. С. О необходимых условиях экстремума в задаче оп- тимального управления с фазовыми ограничениями // Дифференц. уп- равления.- 1987.— Т. 23, № 4.- С. 629-640. 211. Мееров М. В. Исследование и оптимизация многосвязпых систем управления.— М.: Наука, 1986.— 236 с. 212. Мезенцев А. В. Сборник задач по теории оптимального управле- ния.—М.: Изд-во МГУ, 1980-48 с. 213. МихалевичВ.С., Волкович В. Л. Вычислительные методы ис- следования и проектирования сложных систем.— М.: Наука. 1982.— 286 с, 35* СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 540 214. М и х а л е в и ч В. С., Г у п а л А. М., Н о р к п н В. И. Методы невы- пуклой оптимизации.—М.: Наука, 1987.—280 с. 215. Михалевич В.С.,Кукса А. И. Методы последовательной опти- мизации в дискретных сетевых задачах оптимального распределения ресурсов.— М.: Наука, 1983.— 208 с. 216. Михалевич В. С., Т рубин В. А., Шор Н. 3. Оптимизационные задачи производственно-транспортного планирования: модели, методы. алгоритмы.— М.: Наука, 1986.— 259 с. 217. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем.— М.: Наука, 1971.—424 с. 218. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа.—М.: Наука, 1981.—488 с. 219. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления.— М.: Наука. 1988.— 360 с. 220. Мороз А. И. Курс теории систем.—М.: Высшая школа, 1987.—304 с. 221. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставлен- ных задач.— М.: Изд-во МГУ, 1974.— 360 с. 222. Морозов С. Ф., С у м и н М. И. Об одном классе задач управления динамическими системами с разрывной правой частью.— Кибернетика, 1985, № З.—С. 59—71. 223. Москаленко А. И. Методы нелинейных отображений в оптималь- ном управлении.— Новосибирск: Наука, 1983.— 223 с. 224. М у р т а ф Б. Современное линейное программирование.— М." Мир. 1984-224 с. "225. Мухачева Э.А., Рубинштейн Г.Ш. Математическое програм- мирование.— Новосибирск: Наука, 1977.— 320 с. 226. Наконечный А. Г. Минимальное оценивание функционалов от ре- шений вариационных уравнений в гильбертовых пространствах.— Ки- ев: Изд-во Киевск. ун-та, 1985.—84 с. 227. Немировский А. С., Нестеров Ю. Е. Оптимальные методы гладкой выпуклой минимизации // Журн. вычисл. матем. и матем. фи- зики.— 1985.— Т. 25, № 3.— С. 356—369. 228. Немировский А. С., Юдин Д. Б. Сложность задач и эффектив- ность методов оптимизации.—М.: Наука; 1979.—384 с. 229. Нестеров Ю. Е. Об одном классе методов безусловной минимиза- ции выпуклой функции, обладающих высокой скоростью сходимости // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.— 1984.— Т. 24, J\s 7.— С. 1090— 1093. 230. Нефедов В. Н. Методы регуляризации многокритериальных за- дач оптимизации.— М.: Изд-во Московск. авиацион. ин-та, 1984.— 56 с. 231. Нефедов В. Н. Отыскание глобального максимума функции не- скольких переменных на множестве, заданном ограничениями типа не- равенств II Журн. вычисл. матем. и матем. физики.—1987.— Т. 27, № 1- С. 35-51. 232. Никольский С. М. Первый прямой метод Л. С. Понтрягина в диф- ференциальных играх.— М.: Изд-во МГУ, 1984.— 64 с. 233. Никольский С. М. Курс математического анализа.— М.: Наука, 1973—Т. 1.—432 с. Т. 2.—392 с. 234. Ногин В. Д., Протодьяконов И. О., ЕвлампиевИ.И. Ос- новы теории оптимизации.— М.: Высшая школа, 1986.— 384 с. 235. Нурминский Е.А. Численные методы решения детерминирован- ных и стохастических минимаксных задач.— Киев: Наукова думка, 1979.— 158 с. 236. Орлов М. В. О некоторых численных методах решения линейной задачи быстродействия // Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и кибер- нетики.— 1986.— № 4— С. 41—46. 237. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечетной ис« ходной информации.— М.: Наука, 1981.— 208 с. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 541 238. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нели- нейных систем уравнений со многими неизвестными.— М.: Мир, 1975.— 560 с. 239. Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений.— М.: Изд-во иностр. литературы, 1963.— 220 с. 240. Панин В. М. Методы конечных штрафов с линейной аппроксима- цией ограничений // Кибернетика.— 1984.— Ч. 1, JNs 2,— С. 44—50.— Ч. 2. Л'« 4.— С. 73—81. 241. Певный А. Б. Об оптимальных стратегиях поиска максимума функ- ции с ограниченной старшей производной // Журн. вычисл. матем. п матем. физики.— 1982.— Т. 22, № 5.— С. 1061—1066. 242. ПервозванскпйА.А., Гайцгори В. Г. Декомпозиция, аг- регирование и приближенная оптимизация.— М.: Наука, 1979.— 344 с. 243. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управле- ния.— Ленинград: Энергия, 1977.— 288 с. 244. П е т р о с я н Л. А., Томский Г. В. Динамические игры и их при- ложения.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1982.— 252 с. 245. Пионтковский О. В. О минимизации нелинейных функционалов в нормированных пространствах.—Успехи матем. наук, 1974.—Т. 29 № 3.— С. 225—226. 246. Пиявский С. А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстрему- ма функции // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.—1972.— Т. 12. № 4.— С. 885-896'. 247. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач.— М.: Наука, 1982.— 256 с. 248. П о л а к Э. Численные методы оптимизации. Единый подход.— М.: Мир, 1974— 376 с. 249. П о л о в и н к и н Е. С., Смирнов Г. В. О задаче быстродействия для дифференциальных включений Ц Дифференц. уравнения, 1986.— Т. 22, № 8—С. 1351-1365. 250. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию.— М.: Наука, 1983.— 384 с. 251. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1983.— 332 с. 252. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры // Тр. МИАН СССР. Т. 169.—М.: Наука. 1985.- С. 119-158. 253. Потапов М. М. Об аппроксимации задач оптимизации с гладкими допустимыми управлениями при наличии ограничений // Вестн. МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн.— 1983.— № 4.— С. 3—7. 254. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процес- сов.— М.: Наука, 1973.— 256 с. 255. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума.—М.: Нау- ка, 1982.— 144 с. 256. Пшеничный Б. Н. Метод линеаризации.— М.: Наука, 1983.— 136 с. 257. Р а з у м и х и н Б. С. Физические модели и методы теории равновесия в программировании и экономике.—М.: Наука, 1975.—304 с. 258. РакитскийЮ.В., Устинов С.М.,ЧерноруцкийИ.Г. Чис- ленные методы решения жестких систем,— М.: Наука, 1979.— 208 с. 259 Растригин Л. А. Системы экстремального управления.— М.: Нау- ка, 1974—632 с. 260. Раушенбах Б. В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией кос- мических аппаратов.— М.: Наука, 1974.— 600 с. 261. Рейкл ей т и с Г., Рейвиндраи А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. В двух книгах.—М.: Мир, 1986, книга 1 —350 с., книга 2— 320 с. 542 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 262. Рихтер К. Динамические задачи дискретной оптимизации.—М.: Ра- дио и связь, 1985.— 136 с. 263. Ройтвнберг Я.Н. Автоматическое управление.— М.: Наука, 1978.— 552 с. 264. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.—М.: Мир, 1973.—472 с. 265. Романовский И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач.— М.: Наука, 1977.— 352 с. 266. Рубальский Г. Б. Поиск экстремума унимодальной функции од- ной переменной на неограниченном множестве // Журн. вычисл. ма- тем. и матем. физики.— 1982.— Т. 22, № 1.— С. 10—16. 267. С а а т и Т. Целочисленные методы оптимизации п связанные с ними экстремальные проблемы.— М.: Мир, 1973.— 302 с. 268. Самсонов С. П. Восстановление выпуклого множества по его опор- ной функции с заданной точностью // Вести. МГУ. Сер. вычпсл. матем. и кибернетики.—1983.—JV« l.—C. 68—71. 269. С а у л ь е в В. К., Самойлова И. И. Приближенные методы без- условной оптимизации функций многих переменных // Сб. работ ВИНИТИ: Матем. анализ. Сер. итоги науки и техники.— М.: ВИНИТИ АН СССР.— 1973.— Т. 11— С. 91—128. 270. Сачков В. Н. Введение в комбинаторные методы дпскретдой мате- матики.—М.: Наука, 1982.—384 с. 271. Се а Ж. Оптимизация. Теория п алгоритмы.—М.: Мир, 1973.— 244 с. 272. Сергиенко И. В., Лебедева Т. Т., Рощин В. А. Приближен- ные методы решения дискретных задач оптимизации.— Киев: Наукова думка, 1980.— 274 с. 273. Силин Д. Б. Линейные задачи оптимального быстродействия с раз- рывными на множестве положительной меры управлениями — Матом сборник, 1986—Т. 129(171), № 2.-С. 264-278. 274. С к а р и н В. Д. Об одном подходе к анализу несобственных задач ли- нейного программирования // Журн. БЫЧИСЛ. матем. и матем. физи- ки.- 1986.—Т. 26, № 3.- С. 439-448. 275. С р о ч к о В. А. Вычислительные методы оптимального управления.— Иркутск: Изд-во Иркутск, ун-та, 1982.—-110 с. 276. Старосельский Л. А., Шелудько Г. А., Кантор Б. Я. Об одной реализации метода оврагов с адаптацией величины овражного шага по экспоненциальному закону // Журн. вычпсл. матем. и матем, физики.— 1968.— Т. 8, № 5.— С. 1161—1167. 277. Старостенко В. И. Устойчивые численные методы в задачах гра- виметрии.—Киев: Наукова думка, 1978.—228 с. 278. Стрекаловскпй А. С. К проблеме глобального экстремума Ц ДАН СССР.— 1987.— Т. 292, № 5— С. 1062—1066. 279. Стронгин Р. Г. Численные методы в многоэкстремальпых зада- чах — М.: Наука, 1978.— 240 с. 280. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления.— М.: Наука, 1981.— 288 с. 281. С у мин М. И. Оптимальное управление системами с приближенно известными исходными данными //Журн. вычислит, матем. и матем. физики.- 1987- Т. 27, № 2.- С. 163-177. 282. Сухарев А. Г. Оптимальный поиск экстремума.—М.: Изд-во МГУ, 1975.— 100 с. 283. Сухинин М.Ф. Правило множителей Лагранжа в локально выпук- лых пространствах // Сибирск. матем. журн.— 1982.— Т. 23, № 4.— С. 153-165. 284. Сухинин М.Ф.О двух вариантах градиентного метода Ц Журн. вычисл. матем. и матем. физики.—1984.— Т. 24, .№ 8.— С. 1265— 1267. 285. Сухинин М. Ф. Об одном аналоге уравнения Беллмана Ц Мат. за- метки.— 1985.— Т. 38, № 2.- С. 265-269. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 543 286. Тадумадзе Т. А. Некоторые вопросы качественной теории опти- мального управления.—Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1983.— 128 с. 287. Т а н а е в В. С., Ш к у р б а В. В. Введение в теорию расписаний.— М.: Наука, 1975.— 256 с. 288. Тарасова В. П. Оптимальный поиск экстремума для класса ло- кально унимодальных функций.— Кибернетика, 1984.— № 1.— С. 65— 289. Т е л.е с н п н В. Р. Об одной задаче оптимизации переходных процес- сов // Тр. Мат. пн-та АН СССР.—М.: Наука, 1984.—Т. 166.—С. 235— 244. 290. Тер-Крикоров А. М. Оптимальное управление и математическая экономика.—М.: Наука, 1977.—216 с. 291. Тетерев А. Г. Анализ сходимости и устойчивости методов одномер- ной оптимизации ff Вести. МГУ. Серия вычисл. матем. и кибернети- ки.— 1981.— № 4.— С. 21—27. 292. Тимохов А. В. Математические модели экономического воспроиз- водства.— М.: Изд-во МГУ, 1982.— 128 с. 293. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений.— М.: Изд-во МГУ, 1976.— 304 с. 294. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах,— М.: На- ука, 1986.— 192 с. 295. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Диф- ференциальные уравнения.— М.: Наука, 1985.— 232 с. 296. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., С т е п а н о в В. В., Я г о- л а А. Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация.—М.: Наука, 1983.— 200 с. 297. Т и х о н о в А. Н., Р ю т и н А. А., А г а я н Г. М. Об устойчивом мето- де решения задачи линейного программирования с приближен- ными данными // Докл. АН СССР.— 1983.— Т. 272, № 5.— С. 1058— 1063. 298. Т р а у б Дж., В о ж ь н я к о в с к и и X. Общая теория оптимальных алгоритмов.—М.: Мир, 1983.—384 с. 299. Третьяков А. А. Необходимые и достаточные условия оптималь- ности р-то порядка II Журн. вычисл. матем. и матем. физики.— 1984.— Т. 24, № 2.— С. 203—209. 300. Троицкий В. А., Петухов Л. В. Оптимизация формы упругих тел.— М.: Наука. 1982.— 432 с. 301. У л ь м С. Ю. Обобщение метода Стеффенсена для решения нелиней- ных операторных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1964.—Т. 4, Xs 6.—С. 1093—1097. 302. У л ь м С. Ю. Методы декомпозиции для решения задач оптимизации.— Таллин: Изд-во Валгус, 1979.— 132 с. 303. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления.—М.: Наука, 1980.- 376 с. 304. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управ- ления.—М.: Наука, 1981.—368 с. 305. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального уп- равления.— М.: Наука, 1978.— 488 с. 306. Федоров В. В. Численные методы максимина.—М.: Наука, 1979.— 280 с. 307. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации.— М.: Мир, 1972.— 240 с. 308. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детермини- рованными и стохастическими системами.— М.: Мир, 1978.— 318 с. 309. Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ог" раниченными ресурсами.— М,: Наука, 1974.— 368 с. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 310. Фурасов В. Д. Устойчивость движения, оценкп и стабилизация.— М.: Наука, 1977.— 248 с. ЗИ.Харатишвили Г. Л., Мачаидзе 3. А., Маркозашви- ли Н. И., Тадумадзе Т. А. Абстрактная вариационная теория и ее применения к оптимальным задачам с запаздываниями.—Тбилиси: Мецниереба, 1973.— 112 с. 312.Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., П о л п а Г. Неравенства.— М.: Изд-во иностран. лит-ры, 1948.— 456 с. 313. X а ч и я н Л. Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программиро- вании II Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1986.—Т. 20, № 1.— С. 51-68. 314. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование,— М.: Мир, 1975.— 536 с. 315. X о меню к В. В. Оптимальные системы управления.—М.: Наука, 1977-150 с. 316. Хромова Л. Н. Об одном методе минимизации с кубической ско- ростью сходимости II Вести. МГУ. Сер. вычисл. матем. п киберн.— 1980.—№ З.—С. 52—56. 317. Хрусталев М.М. Необходимые и достаточные условия оптималь- ности в форме уравнения Беллмана Ц Докл. АН СССР.— 1978.— Т. 242, № о— С. 1023—1026. 318. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях.—М.: Мир, 1974.-520 с. 319. Цирлин А. М., Балакирев В. С., Дудников Е. Г. Вариа- ционные методы оптимизации управляемых объектов.— М.: Энергия; 1976.— 448 с. 320. Цурков В. И. Декомпозиция в задачах большой размерности,—М.: Наука, 1981.— 352 с. 321. Чарин В. С. Линейные преобразования и выпуклые множества.— Киев: Уища школа, 1978.— 192 с. 322. Ч е р е м н ы х Ю. Н. Анализ поведения траекторий динамики народно- хозяйственных моделей.— М.: Наука, 1982.— 177 с. 323. Ч е р е м н ы х Ю. Н. Математические, модели развития народного хо- зяйства.— М.: Изд-во МГУ, 1986.— 104 с. 324. Ч ерников С. Н. Линейные неравенства.—М.: Наука. 1968.— 488 с. 325. Черноусько Ф.Л.,Акуленко Л. Д., Соколов Б.Н. Управ- ление колебаниями.—М.: Наука, 1980.—384 с. 326. Черноусько Ф.Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи ме- ханики и управления.—М.: Наука, 1973.—238 с. 327. Черноусько Ф.Л., КолмановскийВ.Б. Оптимальное управ- ление при случайных возмущениях.— М.: Наука, 1978.— 352 с. 328. Черноусько Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управле- ния и поиска.—М.: Наука, 1978.—270 с. 329. Ч и р и ч Н. Т. О регуляризованном методе линеаризации для мини- мизации выпуклой функции на многогранном множестве при нали- чии погрешностей в исходных данных // Вести. МГУ. Сер. вычисл. ма- тем. и киберн.— 1987.— № 2.— С. 20—25. 330. Численные методы условной оптимизации // Сб. работ под ред. Гилл Ф., Мюррэй У.—М.: Мир, 1977.—292 с. 331. Чичинадзе В. К. Решение невыпуклых нелинейных задач опти- мизации.— М.: Наука, 1983.— 256 с. 332. Чуян О. Р. Оптимальный одношаговый алгоритм максимизации дваж- ды дифференцируемых функций // Журн. вычисл. матем. и матем. фи- зики— 1986.— Т. 26, № 3.- С. 381-397. 333. Швартин С.М. Общая задача устойчивости для некоторых классов задач линейного программирования. // ДАН СССР.—1985.— Т. 285, Ли 1- С. 56-59. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 543 334. Шепилов М.А.О методе обобщенного градиента для экстремаль- ных задач II Журн. вычисл. матем. и матем. физики.— 1976.— Т. 16, 335. Шепилов М. А. Об отыскании корней и глобального экстремума липшипевой функции.—Кибернетика, 1987.—№2.—С. 71—74. 336. Шор Н. 3. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения.— Киев: Наукова думка, 1979.— 200 с. 337. Э к л а н д И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные пробле- мы.— М.: Мир, 1979— 400 с. 338. Эльстер К.-Х., Рейнгардт Р., Шойбле М., Донат Г. Вве- дение в нелинейное программирование.—М.: Наука, 1985.—264 с. 339. Юдин Д. Б. Задачи и методы стохастического программирования.— М.: Советское радио, 1979.— 392 с. 340. Юдин Д. Б., Г о л ь ш т е и н Е. Г. Линейное программирование. Тео- рия, методы и приложения.—М.: Наука, 1969.—424 с. 341. Якубович В. А. К абстрактной теории оптимального управления Ц Сибирск. матем. журн.— I, 1977, 18, № 3.— С. 685—707; II, 1978.— 19, № 2.- С. 436-460. 342. Я н г Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимально- го управления.— М.: Мир, 1974.— 488 с. 343. Ячимович М. Итеративная регуляризация одного варианта метода условного градиента // Вести. МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн,— 1980— № 4.- С. 13-19. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Антициклин 124 Базис угловой точки 111 Базисные координаты 111 —переменные 111 Вектор опорный 198 — собственно опорный 198 Верхний предел последовательности 71 — — функции 78 Верхняя грань функции 13 Выпуклая комбинация точек 156 Гиперплоскость 149 — опорная 198 — отделяющая 194 — собственно опорная 198 Градиент 79 Двойственные переменные 248 Задача быстродействия 434 — двойственная 248 — классического вариационного ис- числения 485 — Коши 425 —минимизации второго типа 11, 70 — — первого типа 11, 70 — многоэкстремальная 347 — на безусловный экстремум 82 — на условный экстремум 82 — оптимального управления 433 — — — автономная 434 — — — с закрепленным временем 432, 435 — — — с закрепленным концом 432, 441. 442 — — — со свободным концом 432, 442. 443 Задача оптимального управления с подвижным концом 432, 443, 444 — — — с, фазовыми ограничениями 431 — регулярная 84, 225 — с сильно согласованной постанов- кой 371 — с согласованной постановкой 370 Замыкание множества 153 Зацикливание 124 Золотое сечение отрезка 19 Квадратичная форма неотрицатель- ная 168 — — отрицательно определенная 80 — — положительно определенная 80 Конус 204 — выпуклый 204 — двойственный (сопряженный) 204 — замкнутый 204 — открытый 204 Координата базисная 111 — отмеченная 141 — фазовая 425 Коэффициент барьерный 385 — штрафной 366 Краевая задача принципа максиму- ма 440 Критерий выпуклости функции 39, 43, 44, 164, 165, 167 — оптимальности 42, 165, 173, 192, 210, 234-247 — сильной выпуклости функции 184, 185 Лексикографически положительный вектор 135 Лексикографическое правило 135 Линейного программирования зада- ча вырожденная 123 — — — каноническая 105 — — — невырожденная 123 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 547 Линейного программирования зада- ча общая 101 — — — общая 101 — — — основная 105 Луч 149 Метод барьерных функций 384 — блуждающих трубок 510 — возможных направлений 299 — градиентный 261 — Давидона — Флетчера — Пауэлла 337 — декомпозиции 504 — деления отрезка пополам 17 '— золотого сечения 19 — касательных 45 — квазиныотоновскпй 337 — классический 15. 78 — линеаризации 309 —локальных вариаций 510 — ломаных 28 — модифицированных функций Лаг- ранжа 356 — нагруженных функций 396 — Ньютона 329 — овражный 269 — оптимальный 23 — парабол 59 — пассивный 24, 350 — — оптимальный 25 — переменной метрики 338 — поиска глобального минимума 28, 33, 53, 62, 347 — покоординатного спуска 342 — покрытий 33, 348 — последовательный 24, 350 — — оптимальный 27 — проекции градиента 277 — — субградиента 285 — равномерного перебора 24, 33 — симметричный 21 — скорейшего спуска 262 — случайного поиска 410 — — — без обучения 412 — — — с обучением 412 — сопряженных градиентов 328 — — направлений 320 — Стеффенсена 338 — стохастической аппроксимации 66, 415 — стрельбы 480 — тяжелого шарика 276 — условного градиента 291 — Фибоначчи 26 — штрафных функций 363 Минимальный корень уравнения 399 Множество аффинное 149 — выпуклое 148 — замкнутое 71 Множество компактное 71 —Лебега 73 — многогранное 152 — ограниченное 71 — открытое 153 — регулярное 238 Множитель Лагранжа 83, 224 Модуль выпуклости 218 — — точный 218 Момент времени конечный 427 — — — закрепленный 432 — — начальный 425, 427 — — — закрепленный 432 Падграфик (эпиграф) функции 171 Наиоолыпее (максимальное) значе- ние функции 14 Наименьшее (минимальное) значе- ние функции 9 Направление возможное 172 — — убывания 299 — рецессивное 177 Неравенство Гронуолла 461 — Йенсена 163 Нижний предел последовательности 71 — — функции 78 Нижняя грань функции 10 Нормальный вектор гиперплоскости 149 Оболочка аффинная 152 — выпуклая 157 Ограничения активные 224 — интегральные 434 — корректные 375 — пассивные 224 — типа неравенств 87 — — равенств 82 — точечные 434 — фазовые 431 Окрестность точки 71 Ортант неотрицательный 152 Отделимость множеств 193 — — сильная 194 — — собственная 194 — — строгая 194 Отображение многозначное 211 — — выпуклозначное 211 ——компактное 211 — — монотонное 211 — — полунепрерывное сверху 211 — — — снизу 211 —субдифференциальное 211 Отрезок локализации минимума 24 Параллелепипед 152 Подпространство несущее 152 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 548 Позпном 256 Полупространство замкнутое 149 — открытое 149 Поляра 206 Последовательность максимизирую- щая 13 —минимизирующая 11 — ограниченная 71 Постоянная Липшица 28 — сильной выпуклости 181 Принцип максимума 438 Проблема синтеза 496, 513 Программирование выпуклое 234 — геометрическое 255 — динамическое 490 — квадратичное 314 — линейное 101 — полиномиальное 319 — стохастическое 415 Проекция точки на множество 188 Произведение множества на число 153 Производная по направлению 172 Прямая линия 149 Прямое произведение множеств 200 Размерность множества 151, 152 Разность множеств 153 Разрешающий элемент 118 Расстояние от точки до множества 11 Симплекс ИЗ, 157 Симплекс-метод 112 Скользящий режим 525 Сопряженная система 436 Субградиент 206 Субдифференциал 207 Сумма множеств 153 Схема Беллмана 490 — Моисеева 505 Сходимость последовательности ко множеству 11 Теорема Вейерштрасса 12 — Куна — Таккера 235 — Фаркаша 240 Точка глобального (абсолютного) максимума 13 ———минимума 12 — локального максимума 14 — — минимума 12 — множества внешняя 154 — — внутренняя 153 — — граничная 154 — — изолированная 154 Точка множества относительно внут- ренняя 160 — множества предельная 71 — — угловая 109 — — — вырожденная 111 ———невырожденная 111 —,подозрительная на экстремум 15, 85, 88 — седловая 235 — стационарная 80 — строгого локального максимума 14 — — — минимума 12 — экстремума 14 Точность метода гарантированная 23 — — — наилучшая 23 Траектории левый конец 427 — — — закрепленный 432 — — — подвижный 432 — — — свободный 432 — правый конец 427 — — — закрепленный 432 — — — подвижный 432 — — — свободный 432 Траектория (решение) задачи Ко- ши 427 — оптимальная 433 Управление 425 — оптимальное 433 — особое 451 Уравнение Беллмана 492 — Эйлера 487 Условие Вейерштрасса 487 — дополняющей нежесткости 224, 437 — достаточное оптимальности (мак- симума, минимума) 15, 80. 85, 165, 173, 192, 210, 237, 500, 522 — Лежандра 487 — необходимое оптимальности (мак- симума, минимума, экстремума) 15, 80, 83, 165, 173, 192 210, 224, 239, 244, 246, 379, 437, 445 — Слейтера 238 — трансверсальности 437, 489 — Эрдмана — Вейерштрасса 488 Формула конечных приращений 92 Функция барьерная 385 — Беллмана 492 — Вейерштрасса 488 — вогнутая 163 —выпуклая 162 — Гамильтона — Понтрягина 436 — дважды дифференцируемая 79 — — непрерывно дифференцируе- мая (дважды гладкая) 91 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 549 Функция дифференцируемая 78 — квазивыпуклая 181 — Кротова 501, 523 — кусочно гладкая 425 — — непрерывная 425 — Лагранжа 83, 224 — — модифицированная 358 — — регулярная 235 —Ляпунова 276, 530 — Минковского 180 — непрерывно дифференцируемая (гладкая) 91 — овражная 268 — ограниченная 13 — — сверху 13 — — снизу 10 — опорная 180, 199 — полунепрерывная сверху 72 — — снизу 72 Функция равномерно выпуклая 218 — сильно выпуклая 181 — синтезирующая 496, 513 — строго вогнутая 163 — — выпуклая 162 — — равномерно выпуклая 218 — — унимодальная 13 —i удовлетворяющая условию Гель- дера 377 —, — — Липшица 28 — унимодальная 13 — штрафная 364 Шар 148 Шкала состояний 505 Элементарная операция 506 Учебное издание ВАСИЛЬЕВ Федор Павлович ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ Заведующий редакцией Е. Ю. Ходан Редактор И. В. Втторенкова Художественный редактор Г. М. Коровина Технический редактор В. Н. Кондакова Корректоры: О. А. Бутусова, Т. С. Вайсберз ИБ № 12659 Сдано в набор 07.12.87. Подписано к печати 02.11.88. Формат 60х90/16. Бумага офсетная. Гарнитура обыкновенная новая. Печать высокая. Усл. печ. л. 34,5. Усл. кр.-отт. 34,5. Уч.-изд. л. 38,64. Тираж 19 500 экз. Заказ JV« 1219. Цена 1 р. 60 Ki Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Четвертая типография издательства «Наука» 630077 г. Новосибирск-77, Станиславского, 25, ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ в 1989 году (темплан 1989 г., позиция 49) Лекции по теории графов: Учеб. пособие / Е м е л и- ч е в В. А., Мельников О. И., С а р в а н о в В. И., Тыш- кевич Р. И.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. Содержит систематическое изложение теории графов. Осно- ву книги составляет курс лекций, читаемый в течение многих лет в Белорусском государственном университете и в Бело- русском политехническом институте. Наряду с теоретическими основами рассматриваются прикладные аспекты теории графов. От начальных понятий авторы переходят к систематизирован- ному изучению более сложных понятий, указывая по мере вве- дения новых понятий их прикладное значение. Для студентов университетов и втузов, обучающихся по специальностям «Математика» и «Прикладная математика». а также для преподавателей и аспирантов. Предварительные заказы принимаются без ограничений магазинами Книготорга и Академкниги. ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ в 1989 году (темплан 1989 г., позиция 50) МАРЧУК Г. И, Методы вычислительной математики: Учеб. пособие.—3-е изд., испр.—М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит. Содержит изложение численных методов решения задач математической физики. Основное внимание уделяется слож- ным задачам математической физики, которые в процессе ре- шения сводятся, как правило, к более простым, допускающим реализацию алгоритмов на ЭВМ. Рассмотрены многие совре- менные подходы к численным методам. 2-е изд. в 1980 г. Для студентов старших курсов и аспирантов по специаль- ности «Прикладная математика». Может представлять интерес для научных работников в области вычислительной математики. Предварительные заказы принимаются без ограничений магазинами Книготорга и Академкниги.