С17.6 А 46 УДК 513.83 В написании книги принимали участие В. И. ЗАЙЦЕВ и В. В. ФЕДОРЧУК Введение в теорию множеств и общую тополо- гию. Александров П. С. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1977, 368 стр. Первые три главы книги представляют собой изложение фактов теории множеств с так называемой «наивной» точки зрения. В главах 4—6 дается изло- жение основных топологических фактов, касающихся метрических и топологических пространств. Особое внимание при этом обращается на метризационные теоремы и понятия компактности (бикомпактности) и паракомпактности. Книга является учебным пособием для студентов физико-математических факультетов университетов. Она может быть использована также аспирантами различных специальностей, нуждающимися в теории множеств и топологии. Книгу можно рассматривать как введение в сов- ременные разделы общей топологии. Илл. 12, библ. 39. 20203—029 Главная редакция 1-77 физико-мптематической литературы издательства «Наука», 1977 053 (02)-77 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .................. . ........ 5 Глава первая. О бесконечных множествах ............... 7 § 1. Понятие множества ........................ 7 § 2. Подмножества. Операции над множествами ............ 8 § 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Отображение одного множества на другое. Разбиение множества на подмножества. Семейства множеств и покрытия ................. 12 § 4. Теоремы о счетных множествах .................. 18 § 5. Понятие о частично упорядоченном и (линейно) упорядоченном мно- жестве ..' . '......................... 23 § 6. О сравнении мощностей ...................... 28 Глава вторая. Действительные числа ................. 34 § 1. Дедекиндовское определение иррационального числа ........ 34 § 2. Сечения в множестве действительных чисел. Верхняя и нижняя грани 37 § 3. Действия над действительными числами .............. 42 § 4. Разложение действительных чисел в двоичные дроби. Мощность кон- тинуума ............................. 47 Глава третья. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа ...................... 52 •§ 1. Упорядоченные множества .................... 52 $ 2. Определение и примеры вполне упорядоченных множеств ...... 57 § 3. Основные теоремы о вполне упорядоченных множествах ...... 62 < 4. Счетные трансфинитные числа (порядковые числа второго класса). Понятие конфинальности. Аксиома выбора ............ 69 § 5. Теорема Цермело ......................... 78 § 6. Теоремы о кардинальных числах ................. 84 •§ 7. Регулярные и иррегулярные порядковые числа. О наименьшем началь- ном числе, которому конфинален данный порядковый тип ..... 92 Глава четвертая. Метрические и топологические пространства ..... 96 § 1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств ........................... 96 § 2. Непрерывные отображения ........... ........ 112 § 3. Связносгь ............................ 118 § 4. Базы и вес топологического пространства ............. 127 $ 5. Подмножества прямой и плоскости ................ 135 •§ 6. Некоторые классические примеры метрических пространств и их свойства ............................. 147 ОГЛАВЛЕНИЕ § 7. Пространства со счетной базой .................. 158- § 8. Аксиомы отделимости ....................... 164 § 9. Ограниченные множества в R"; теоремы Больцано—Вейерштрасса, Кантора и Бореля—Лебега. Теорема Коши ............ 180 Глава пятая. Компактные и полные метрические пространства .... 188 § 1. Компактность в данном пространстве и компактность в себе .... 188 § 2. Непрерывные отображения компактов ............... 195 § 3. Связность в компактных пространствах .............. 202 § 4. Компакты как непрерывные образы канторова дисконтинуума . . .211 § 5. Определение и примеры полных метрических пространств ..... 219 § 6. Пополнение метрического пространства .............. 22S § 7. Простейшие свойства полных метрических пространств ....... 229 § 8. Компактность и полнота ..................... 230 § 9. Множества, являющиеся одновременно множествами Fa и Gg в ком- пактных метрических пространствах ................ 232 Глава шестая. Условия типа компактности и метризация топологических пространств .......................... 238 § 1. Бикомпактные пространства ................... 238 § 2. Непрерывные отображения бикомпактных пространств ...... 248 § 3. Теорема Вейерштрасса—Стоуна ................. 251 § 4. Топологическое произведение и теоремы Тихонова ........ 254 § 5. Внутренняя характеристика вполне регулярных пространств . . . 266 § 6. Максимальное бикомпактное расширение вполне регулярного прост- ранства ............................. 270 § 7. Построение всех бикомпактных расширений данного вполне регуляр- ного пространства ........................ 275 § 8. Свойства связности и нульмерности для бикомпактов ....... 282 § 9. Некоторые универсальные бикомпактные пространства ....... 288 § 10. Диадические бикомпакты ..................... 291 § 11. Открытые покрытия; паракомпактность и другие свойства типа ком- пактности ............................ 295 § 12. Локально бикомпактные пространства .............. 311 § 13. Метризационные теоремы Александрова—Урысона и Нагата—Смир- нова .............................. 315 Прибавление к главе шестой. Теорема о мощности бикомпактов с первой аксиомой счетности ....................... 319- Прибавление. Проекционные спектры и абсолют ............ 323 § 1. Общее понятие обратного спектра топологических пространств. Абс- трактные проекционные спектры ................. 323 § 2. Проекционные спектры над семействами разбиений ......... 332 § 3. Теорема реализации для абстрактных спектров .......... 342 § 4. Леммы о неприводимых замкнутых отображениях ......... 345 § 5. Абсолют регулярного пространсгва ............... 346 § 6. Экстремально несвязные пространства ............... 354 § 7. Соабсолютные пространства .................... 358 Литература .............................. 362- Предметный указатель ......................... 364 ПРЕДИСЛОВИЕ*) Эта книга была задумана как второе издание моей книги «Введение в общую теорию множеств и функций», изданной в 1948 г. Однако вскоре же после начала работы над этим вто- рым изданием мне стало ясно, что речь фактически идет о на- писании новой книги, а не о новом издании уже написанной; и действительно, из старой книги в новую были перенесены без существенных изменений лишь первые три главы. В перерабо- танном виде материал шестой и седьмой глав старой книги был частично взят мною в пятую главу новой книги. Составляющие основную часть новой книги главы четвертая и шестая написаны заново, лишь с небольшими заимствованиями из Прибавлений к двум последним главам старой книги. Однако сохранился и общий ее дух, состоящий в элементарном и—как я надеюсь— логически тщательном изложении рассуждении: формулировок и доказательств, и пронизывающий всю книгу так называемый «наивный» подход к основным понятиям теории множеств, непре- взойденным образом воплощенный в классической книге Ф. Хаус- дорфа «Теория множеств». Как мне кажется, предлагаемая вниманию читателя книга в ее теперешнем виде может служить руководством для первого ознакомления с общей топологией, т. е. с теорией топологиче- ских пространств, с обращением особого внимания на их важ- нейший частный случай—метризуемые пространства. Отсюда следует и специальное внимание, уделяемое нами проблеме мет- ризации топологических пространств. С другой стороны, чрезвы- чайно большое место в книге занимают пространства, обладающие тем или иным свойством «типа компактности», т. е. прежде всего бикомпактные (и локально бикомпактные), а также паракомпакт- ные пространства. Эти последние тесным образом связаны с об- щей проблемой метризации. Если прибавить, что вполне регу- лярные, или тихоновские, пространства суть не что иное, как подпространства бикомпактов, то станет ясным, что выделение, *) В списке литературы читатель найдет работы, лишь непосредственно связанные с теми или иными местами основного текста. ПРЕДИСЛОВИЕ с одной стороны, метризуемых пространств, а с другой стороны, пространств, удовлетворяющих условиям типа компактности, дает нам доступ практически ко всем важнейшим типам тополо- гических пространств, что и объясняет название основной и завершающей шестой главы нашей книги. При этом я хотел бы настойчиво обратить внимание на то, что Прибавление к книге составляет ее неотъемлемую часть. Оно написано В. И. Зайцевым и посвящено кругу тесно связанных между собой вопросов, которые я причисляю к важнейшим среди разрабатывавшихся в общей топологии за последнюю четверть века, а именно теории обратных (в частности и в особенности проекционных) спектров и теории абсолютов и неприводимых совершенных отображений топологических пространств. Основы первой теории заложены в работах П. С. Александрова [4], [5], [8] и А. Г. К у р о ш а [1] и получили новое и очень инте- ресное развитие в работах В. И. Зайцева [2] и [З]. Вторая теория восходит к работам Глисона (Gleason) и еще даже М. Сто у и а (М. Н. Stone) [1], но свое полное развитие полу- чила лишь в работах В. И. П о ном а р ев а [2] и [З], в которых, в частности, и была осуществлена связь теории абсолютов и теории проекционных спектров. Кроме Прибавления В. И. Зай- цев написал и § 5 гл. 6, в котором он излагает данную им внутреннюю характеристику тихоновских пространств. Участие В. И. Зайцева в работе над моей книгой настолько велико, что я считал необходимым отметить его особо. Это отно- сится и к В. В. Федорчуку, который не только тщательно от- редактировал всю книгу, но и внес едва ли не во все ее пара- графы улучшения, часто очень существенные. Я могу прямо сказать, что без участия В. В. Федорчука книга в ее настоящем виде вообще не была бы написана. В работе над этой книгой В. В. Федорчук был существенно поддержан своим учеником А. В. Ивановым. Названным моим дорогим ученикам и коллегам я выражаю искреннюю и сердечную благодарность. Гильберт часто сравнивал математику с волшебным, чарующим садом. В этот сад ведут многие различные входы. Одним из них является и теоретико-множественная топология. Моя книга в пер- вую очередь обращена к избравшим именно этот вход молодым, начинающим математикам. Найдя, как я надеюсь, уже в самом начале пути много прекрасного, они дальше смогут пойти раз- личными дорогами и прийти в такие углубленные части сада, что у входа нельзя было предвидеть самого их существования. Москва Июнь, 1976 р. П. Александров Глава первая О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ § 1. Понятие множества На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем трудно определимым понятием, которое выражается словом «совокуп- ность». Например, можно говорить о совокупности людей, при- сутствующих в данный момент в данной комнате, о совокуп- ности гусей, плавающих в пруду, зайцев, живущих в лесах Московской области, и т. п. В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова «со- вокупность» употребить слово «множество». В математике постоянно приходится иметь дело с различными множествами: например, с множеством вершин или диагоналей какого-нибудь многоугольника, множеством делителей числа 30 и т. д. Все приведенные примеры множеств обладают одним сущест- венным свойством: все эти множества состоят из определенного конечного числа' элементов; последнюю фразу мы понимаем в том смысле, что в каждом из упомянутых случаев на вопрос «сколько?» (людей в комнате, гусей на пруду, делителей числа 30) мы можем ответить или прямым указанием известного нам целого числа (например, число делителей числа 30 есть 8), или указанием на то, что целое число, дающее ответ на вопрос, во всяком случае имеется, хотя в данный момент и при данном состоянии наших знаний нам может быть и неизвестно, каково оно именно. Мно- жества, состоящие лишь из конечного числа элементов, назы- ваются конечными множествами. В математике приходится постоянно сталкиваться и с дру- гими—не конечными, или, как принято говорить, бесконечными, множествами. Таковы, например, множества всех натуральных чисел, всех четных чисел, всех целых, дающих при делении на 11 в остатке 7, всех прямых, проходящих через данную точку плос- кости. Понятие множества для удобства дополняется понятием пус- того множества. Пустое множество, по определению, не содержит О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 1 элементов; число элементов пустого множества есть нуль. Необ- ходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за Полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью, так как, может быть, какой-нибудь капитан и завез какого-нибудь страуса за Поляр- ный круг. Пустое множество обозначается через А. § 2. Подмножества. Операции над множествами Введем теперь следующие основные обозначения и понятия. Для того чтобы указать, что х есть элемент множества А, пишут х б А или Л Э х (при этом обычно, хотя и далеко не ! всегда, обозначают множества большими буквами, а их эле- : менты—малыми). ' Определение 1. Если каждый элемент множества Л есть ' вместе с тем элемент множества В, то множество Л называется частью или подмножеством множества В. Например, множество всех четных чисел есть часть множе- ства всех целых чисел. Вместо того чтобы сказать, что множе- ство Л есть часть множества В, говорят часто, что множество Л содержится в множестве В или что Л включено в В, и записы- вают это так: ! Л^В или В^ А. Если Л есть подмножество множества В, причем А^В, то пишут Л с В или В =) Л. Знаки ^, с называются знаками включения (одного множе- ства в другое). Согласно нашему определению всякое множество Л есть под- множество самого себя. Кроме того, пустое множество есть часть всякого множества. Множество Л и пустое множество назы- ваются несобственными подмножествами множества Л; все осталь- ные подмножества называются собственными. Для всякого эле- мента а ^ Л подмножеством множества Л является и множе- ство {а}, состоящее только из этого элемента. Мы часто будем опускать скобки и обозначать множество {а} через а. Подмножество множества Л, состоящее из всех элементов, удовлетворяющих данному условию Э{, будем обозначать через {а ^ Л: а удовлетворяет 91}. ПОДМНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Предположим, что мы имеем некоторую (конечную или бес- конечную) совокупность множеств Ад *). Рассмотрим множество тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из мно- жеств, входящих в данную совокупность. Множество всех этих элементов называется суммой (или объединением) множеств, об- разующих данную совокупность. Объединение множеств обозначается знаком U; например, Лий есть объединение множеств Л и В; объединение всех мно- жеств Л данной совокупности 81 множеств обозначается через U Л. Если совокупность §t состоит из множеств Лд, где а Лея пробегает некоторое множество индексов А, то их объединение обозначается через U Ад или просто через U Ад.-Если сово- стеА а купность И состоит из множеств Л„, где п пробегает все нату- ральные числа 1,2,3, ..., то их объединение обозначается че- рез U А„ или AiLlAaUAgU ... Например, множество всех целых чисел есть объединение множества всех четных и множества всех нечетных чисел, а также объединение: множества Л^ всех нечетных чисел, не делящихся на три, множества Ад всех четных чисел, множества Ау всех чисел, делящихся на три (при этом мно- жества Ai и Ад имеют общие элементы—числа, делящиеся на 6). Рассмотрим теперь операцию вычитания множеств. Пусть имеем два множества Л и В (из которых второе может и не содержаться в первом). Разностью множеств Л и В называется множество тех элементов множества А, которые не суть эле- менты множества В. Разность множеств Л и В обозначается1 через А \В. Переходим к третьей и последней основной операции над множествами—к операции взятия общей части, или пересечения, множеств. Пусть мы снова имеем конечную или бесконечную совокупность множеств Ад. Назовем пересечением этих множеств множество тех элементов, которые содержатся во всех данных множествах (множество элементов, общих всем множествам Ла). Пересечение обозначается знаком П; так например, АПВ есть пересечение множеств А и В. Пересечение всех множеств Л данной совокупности 'Я множеств обозначается через fl Л; Лей *) Индексы а, Р, ... (могущие, например, принимать значения 1,2,3,...) служат для различения элементов данной совокупности: например, мы гово- рим о множествах Аа, Лр , Л-у данной совокупности множеств. 10 О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. пересечение совокупности множеств Ау., где а пробегает некоторое множество индексов А, обозначается через Q Лд или через ^Ла; СС.6А а, в частности (^ Л„= А^ П А^ П Ау П • • • Примеры. 1. Обозначим через Л„ множество всех рациональных чисел, абсолютная величина которых меньше — (где п—натуральное 05 число). Пересечение ^ Л„ всех множеств Л„ состоит из одного п=1 числа 0. 2. Обозначим через Л„ множество всех положительных рациональных чисел, меньших чем —. В этом случае нет ни одного элемента, общего всем множествам Л„, т. е. пересе- оэ чение Q Лд всех множеств Л„ есть пустое множество. п=1 Из очевидных свойств действий сложения, пересечения и вы- читания отметим Коммутативность: Ли5==биЛ, ЛП5==5ПЛ. Ассоциативность: (Л U В) U С == Л и (В U С) == А и В U С. (Л П б) П С == Л П (В П С) --= Л п В П С. Дистрибутивность (пересечения относительно сложения): (Ли5)ПС=(ЛпС) U (ВпС), вообще (UA„)n5=U(A» Пб) а а. и, далее, (Л\5) П С == (Л Л С)\5 = (Л П С)\(В П С), Л\В=Л\(ЛП5). А^(АПВ)Ц(А\В). Почти столь же очевидны следующие соотношения двойствен- ности (сложения и пересечения): Для любой (конечной или бесконечной) совокупности под- множеств Ла данного произвольного множества Х имеют место $ 2) ПОДМНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ тождества X\n^=U(X\AJ, (X Ct х\ил»=П(х\л„). 11 (i) (2) Доказательства обеих формул (1) и (2) совершенно анало- гичны и проводятся автоматически. Докажем, например, фор- мулу (1). Пусть х С Х\ Г\ Аа- Это означает, что х не принадлежит хотя бы Ct одному Ла, т, е. что х принадлежит хотя бы одному Х\Лд, т. е. x^U(X\Aa). Поэтому левая часть формулы (1) содер- сь жится в правой части. Пусть, обратно, х ^ U (Х\Лд); это означает, что х принад- а. лежит хоть одному Х\Л„, следовательно, х не может принад- лежать всем Лд, т. е. х не принадлежит Q Ау,, значит, х при- а надлежит Х\ Q Ла. Таким образом, правэя часть формулы (1) а. есть подмножество левой части. Формула (1) доказана. В заключение этого параграфа скажем об убывающих и воз- растающих последовательностях множеств. Последовательность множеств Л^, Лд, Ay, . . ., "п, • • • (3) называется убывающей, соответственно возрастающей, если для любого /i имеем Л„ ^ A„+i, соответственно Лд^Лд+i. Если при этом для всех п имеют место более сильные соотношения Л„^Л„+1, соответственно Л„с:Л„+,, то последовательность (3) называется строго убывающей (строго возрастающей}. Легко видеть, что пересечение (соответственно сумма) любой бесконечной подпоследовательности убывающей (соответственно воз- растающей} последовательности (3) совпадает с пересечением (соот- ветственно суммой} всей последовательности (3). Любая (конечная или бесконечная) совокупность множеств называется дизъюнктной или состоящей из дизъюнктных множеств, если пересечение любых двух (различных) множеств, входящих в эту совокупность, пусто. 12 О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 1 § 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Отображение одного множества на другое. Разбиение множества на подмножества. Семейства множеств и покрытия Если два множества состоят из одного и того же конечного числа элементов, то между элементами этих множеств возможно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. такое соответ- ствие, при котором каждому элементу одного множества соот- ветствует один и только один элемент другого множества и об- ратно; если же число элементов первого множества меньше, чем второго, то можно установить взаимно однозначное соответствие между первым множеством и частью второго. Понятие взаимно однозначного соответствия по существу дела не предполагает, что множества, между элементами которых устанавливается это соответствие, непременно конечны. Приведем примеры взаимно однозначных соответствий между бесконечными множествами. 1. Множество Л состоит из всех целых положительных чисел, множество В—из всех целых отрицательных чисел. Очевидно, мы получим взаимно однозначное соответствие между множествами А и В, если каждому положительному числу поставим в соответствие отрицательное с тою же абсолютной величиной. 2. Множество А состоит из всех целых положительных чисел, множество В—из всех положительных четных чисел. Мы получим взаимно однозначное соответствие между Л и В, если каждому числу п ^ Л поставим в соответствие число 2п ^ В. 3. Множество Л состоит из всех точек прямой линии (которую примем за ось абсцисс некоторой координатной системы) *). Множество В состоит из всех точек полуокружности х^(у-\Г-=\, г/<1, с центром в точке (О, 1). Концы этой полуокружности, т. е. точки (1,1) и (—1,1) не принадлежат к ней (в силу условия г/<1) (рис. 1). Полуокружность касается нашей прямой в начале координат. Устанавливаем взаимно однозначное соответствие между множе- ствами Л и В, ставя в соответствие каждой точке g прямой ту точку т] окружности, в которой эту окружность пересекает луч, соединяющий центр круга с g. 4. Пусть Лий сохраняют смысл, указанный в предыдущем примере. Пусть В'—интервал (—1; 1) числовой прямой, т. е мно- *) Мы считаем, что читатель знаком с понятиями числовой прямой и действительного числа из курса анализа. Подробно мы займемся действитель- ными числами в следующей главе. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ И ПОКРЫТИЯ 13 жество всех точек оси абсцисс, удовлетворяющих неравенству —1<д;<1. Проектируя полуокружность В ортогонально на интервал В' и помня, что Л уже поставлено во взаимно одно- значное соответствие с В, получим взаимно однозначное соот- ветствие между числовой прямой Л и ее интервалом (—1; 1). •Очевидно, можно таким образом установить взаимно однозначное соответствие между число- вой прямой и любым ее ин- тервалом, а следовательно, и между любыми двумя ин- тервалами. На основе понятия взаим- но однозначного соответст- вия вводится следующее Определение 2. Два множества называются коли- -^-—--^————— чественно эквивалентными, если между ними возможно Рис. 1. установить взаимно одно- значное соответствие. Таким образом, множества Л и В в каж- дом из предыдущих примеров суть множества количественно экви- валентные. Количественно эквивалентные множества часто называют просто эквивалентными множествами. Замечание 1. Относительно двух эквивалентных множеств говорят, что они имеют одинаковую мощность. Замечание 2. Очевидно, что два конечных множества экви- валентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного и того же числа элементов. ЗамечаниеЗ. Из предыдущего определения эквивалент- ности следует, что два множества Ли В, эквивалентных од- ному и тому же третьему множеству С, эквивалентны между собою. Замечание 4. На вопрос, что такое мощность (см. заме- чание 1), можно ответить лишь так называемым «определением через абстракцию»: мощность—это то, что есть общего у всех эквивалентных между собою множеств. Если мы поставим себе вопрос: «Что есть общего у всех эквивалентных между собою конечных множеств?», то из сказанного в замечании 2 будет сле- довать, что этим общим является одинаковое число, или коли- чество, элементов, из которого состоят все эквивалентные между собой конечные множества. В этом смысле понятие мощности является—в применении к бесконечным множествам—аналогом понятия количества (количественные числа) *). *) См. в связи с этим замечание в § 5 этой же главы. ..ЛИТЕРА Г УРА ..Александров П.С. |'] Sur les espaces de la prpmiere classe et les espai-ps abstrai'ts. C.R. Агж1. Sci. Paris 178 (1924), 185—187. 12] Zur Begrundung der n-dimensionale mengentheoretischen Topologie, Main, Ann. 94 (1925), 296—308. (Jj (Jeber stetige Abbildungen kompakter Raume, Proc. Koninkl. Acad. Am- sterdam 28 (1925), 997—999; Math. Ann. 96 (1927), 555—571. j4J Untersachungen uber Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen, Ann. Math. 30 (1928—1929), 101—187. .(5) Sur les suites des espaces topologiques. C.R. Acad. Sci. Paris 200 (1935), 1708—1711. ^6] К теории топологических пространств, ДАН СССР 2 (1936), 51—54. {7] О бикомпактных расширениях топологических пространств, Матем. сб. 5 (47) (1939), 403—424. }8] О понятии пространства в топологии, УМН 2, №.1 (1947), 5—.57. (9] Основные теоремы двойственности для незамкнутых множеств, Матем. сб. 21 (1947), 161—231. {10] Комбинаторная топология, М., Гостехиздат, 1947. [11] Лекции по аналитической геометрии, «Наука», 1968. Александров П. С., Пасынков Б. А. |1] Введение в теорию размерности, «Наука», 1973. Александров П.С., Урысон П. С. [1] Une conditio'n necessaire et suffisante pour qu'une classe (L) snit une classe (0), C.R. Acad. Sci. Paris 177 (1923), 1274—1276. [2] Мемуар о компактных топологических пространствах. Изд. 3, «Наука», 1971. Александров П. С., Хопф X. (Alexandroff P., Hopf Н.) [1] Topologi'e, I, Berlin, Springer, 1935." Архангельский А. В. [1] Аддиционная теорема для веса множеств, лежащих в бикомпактах, ДАН СССР 126, №2 (1959), 239—241. [2] О мощности бикомпактов, удовлетворяющих первой аксиоме счетности, ДАН СССР 187, № 5 (1969), 967—970. Зайцев В.И. [1] К теории тихоновских пространств, Вести. МГУ, сер. матем., №3 (1967), 48—57. [2] О некоторых классах топологических пространств и их бикомпактных расширений, ДАН СССР 178, № 4 (1968). 778. [3] Проекционные спектры, Тр. Моск. матем. о-ва, т. 27 (1972), 129—193. Ивановский Л.Н. [1] Об одной гипотезе П. С. Александрова, ДАН СССР 123, №5 (1958), 785—787. Й ex T. (Jec h Т. J.) [1] Теория множеств и метод форсинга, »Мир», 1973. ЛИТЕРАТУРА 363 К v ч ь м ч н о с В. И. [1] О гипотсче П. С. Александрова в теории топологических групп, Д \Н СССР 125, №4 (1959), 727—730. К у р а т о в с к и и К. [1] Топология, т. 1, «Мир», 1966, т. 2, «Мир», 1969. К у р о и' А . Г. [1] Kombinatorischer Aufbau der bikompac-ten topologischen Raumen, Corn- po&itio Math. 2 (1935), 471—476 Л е ф ше ц С. [1] Алгебраическая топология, ИЛ. 1944- Ми щ е и к о А [1] О финально компактных пространствах, ДАН СССР 145, №6 (1962), ',224—1227. Пономарев В.И. [1] О свойствах типа компактности, Вестн. МГУ, сер. матем., № 2 (1962), 33—35. [2] Паракомпакты, их проекционные спектры и непрерывные отображении. Матем. сб. 60, № 1 (1963). 89—119. 13] Об абсолюте топологического пространства, ДАН СССР 153, J\"» 5 (1963), 1013—1016. [4] О пространствах, соабсолютных с метрическими, УМН 21, JSi» 4(1966). 101—132. Смирнов Ю. М. [1] О пространствах близости, Матем. сб. 31, № 3 (1952), 543—574. Стоун A. (Stone А. Н.) Hj Paracompactness and product spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1943). 977—982. Сто ун М (Stone М. Н.) [1] Applications of the theory of Boolean rings to general topology. Trails.. Amer. Math. Soc. 41 (1937). 375—481. Хаусдорф (Hausdorff F.) [1] Теория множеств, ОНТИ, 1934. Чех (Се с h Е.) [1] Sur la dimension des espaces parfaitement normaux. Bull. Int. Acad. Sci. de Boheme 33 (1932), 149—183. [2] On bicompact spaces, Ann. Math. 38 (1937), 823—844. . Ш а н и н Н. А. [1] О произведении топологических пространств, Тр. Матем. ин-та АН СССР им. Стеклова, XXIV, Изд-во АН СССР, 1948. Щепи н Е. В. [1] Действительные функции и пространства, близкие к нормальным, Сиб» матем. ж. 13, №5 (1972), 1182-1196. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ регулярного пространства Абсолют 349 Аксиома отделимости Тц (аксиома Кол- могорова) 165 — — Ti 166 — — Т., 167 — — Ту (аксиома регулярности) 168 — — Г 4 (аксиома нормальности) 168 — счетности вторая 128 — — первая 128 — Цермело (аксиома выбора) 74 Аксиомы эквивалентности 16 База пространства 128 — — в точке (локальная база) 128 — — нормальная 267 — — симметрическая 267 — семейства множеств аддитив- ная 127 — — — мультипликативная 127 Бикомпакт 243 — диадический 291 — нульмерный 284 Вес пространства 128 — — локальный 128 Вписанность 18 — звездная 297 — комбинаторная 303 Вычет пространства 233 Граница множества 105 Грань верхняя 39 — нижняя 40 Двоеточие простое 103 — связное 103 — слипшееся 103 Диаметр множества 96 Дисконтинуум Антуана 217 — веса т (D^) 259 — канторов (канторово совершенное множество) 138 Замыкание множества 97,100 Звезда множества 17 — точки 18 Канторова «лестница» 147 Квазикомпонента 284 Класс верхний правый 34 — нижний левый 34 — порядковых чисел мощности m 84 — приводимости 233 Компакт 188 Комплекс абстрактный 325 — симплициальный 324 — полный 325 Компонента порядковая 27 — сцепленности 296 — точки 123 Континуум 204, 282 — жорданов 206 — Серпинского второй 207 — — первый 207 Континуум-проблема 92 Конфинальность 70 Кратность семейства множеств IS Кривая Пеано 197 — плоская алгебраическая 137 Лемма Веденисова 179 — об ужатии конечных покрытий 298 — — — точечно конечных покрытий 297 . — Урысона большая 172 — — малая 172 — Шуры-Буры 285 Метрика 96 Множества дизъюнктные 11 — упорядоченные подобные 26 — функционально отделимые 172 — эквивалентные (равномощные) 13 Множество 7 — бесконечное 7 — борелевское (б-множество) 10 — вполне ограниченное 190 365 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ —Множество вполне упорядоченное 57 — всюду плотное 105 — второй категории 230 — выпуклое (в R"} 121 — замкнутое 97, 98 — каноническое замкнутое (кя-мно- жество) 105 — — открытое (хо-множество) tUb — компактное 188 — — в себе 188 — конечное 7 —— направленное 24 — нигде не плотное 105 — ограниченное 39 — открытое 97, 98 — открыто-замкнутое 118 — отображений из Х в Y 31 — первой категории 230 —— плотное в открытом множестве 105 — пустое 7 — совершенное 135 — сцепленное 204 — счетное 14 — упорядоченное 24 — — замкнутое 55 —— — непрерывное 55 — — открытое 55 — функций расчленяющее 261 —— частично упорядоченное 23 — е-сцепленное 204 —Мощность данного порядкового типа 27 — континуума 33 — множества 13 .Неравенство Кошн—Буняковского 147 .Нерв семейства множеств 325 Нить проекционного спектра макси- мальная 326 — — — минимальная 326 — спектра 323 Область пространства 125 — — односвязная 126 • Образ множества 14 — — малый 15 Объединение (сумма) множеств 9 Ограничение отображения 15 Окрестность сферическая 97 — точки 100 Отношение соабсолютности 358 — эквивалентности 16 Этображение 14 — бикомпактное 359 — взаимнооднозначное 115 — замкнутое 113 — изометрическое 225 Отображение канторова дисконти- нуума на отрезок 147 — многозначное неприводимое совер- шенное 351 — «на» 14 — непрерывное 112 — — в точке 112 — неприводимое 345 — ограниченное 223 — открытое 113 — равномерно непрерывное 196 — симплициалыюе 326 — совершенное. 249 — топологическое (гомеоморфизм) 115 — факторное 116 Огрезок вполне упорядоченного мно- жества, отсеченный элементом 64 Паракомпакт 300 Пересечение множеств 9 Плотность пространства 130 Подмножество 8 — плотное 55 — порядково выпуклое 27 — — плотное 55 ' — упорядоченное 52 Подпокрытие 18 Подчинение 275 — элементарное 276 11окрытие 18 — замкнутое 193 — звездно конечное 18 — — счетное 18 — конечное 193 — конечнократное (точечно конеч- ное) 18 — локально конечное 298 — открытое 193 Полное расслабление спектра 327 Полусегмент 25 Пополнение пространства 225 — числовой прямой 46 Порядковый тип 26 Порядок алфавитный (лексикографиче- ский) 62 — естественный 24 — связности области 126 Последовательность вполне расходя- щаяся 220 — стационарная 104 — фундаментальная 219 Предбаза 133 Предел спектра верхний 326 — — нижний 326 — — полный (предельное простран- ство) 323 Пример Антуана 217 366 ПРЕДМЬТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Принцип выбора обобщенный 79 — сходимости Коши 184 — трансфинитной индукции 68 Произведение метрическое 149 — множеств 78 — мощностей 92 — отображений диагональное 257 — — upocloe 256 — порядковых типов 60 — топологических пространств 2?5 Производная множества 162 Прообраз 15 Пространства соабсолютные 358 Пространство бикомпактное 238 — бэровское 154 — Волмэна — Пономарева 332 — вполне несвязное 125 — — разрывное 282 — — регулярное 171 — гильбертово 150 — — обобщенное 152 — данного упорядоченного множества 102 — «две стрелки)? 135 —, допускающее дробление 303 — индуктивно нульмерное 132 — инициально компактное 242 — квазинормальное 336 — компактное 188, 238 — — в точке 188 — локально бикомпактное 311 — — компактное 188 — — связное 126 — метризуемое 99 — метрическое 96 — — полное 219 — наследственно нормальное 169 — непрерывных >1;уикцчй на отрез- ке 152 — несвязное П8 — нормальное 168 — паракомпактное 300 — полурегулярное 131 — приводимое 233 — регулярное ',68 — связное 118 — сепарабелыюе 130 — сильно паракомпактиое 300 —, соабсолютное данному регуляр- ному пространству 358 — совершенно нормальное 169 — «стрелка» 134 — счетно компактное 300 — топологическое 98 — финально компактное 242, 300 — Фреше — Урысона 129 — хаусдорфово 167 Пространство экстремально несвязное 354 — //-замкнутое 245 — /т 259 — /t 263 — /i-мерное евклидово 147 — (Я, Я)-компактное 300 Разбиение множества 15 — топологического пространства 332 Разложение действительного числа » бесконечную дробь 47 Размерность индуктивная большая 287 — — малая 287 — dim 287 Разность множеств 9 Расстояние между множествами 96 — — отображениями 223 — от точки до множества 97 Расширение бикомпактное 270 — — максимальное (Стоуна — Чеха) 270 — одноточечное 245 Свойства (аксиомы) замыкания 101 — операций над множествами 10 Свойство рефлексивности 16 — симметрии 16 — транзитивности 16 — Суслина 291 Сегмент 25 Сеть пространства 128 Сечение упорядоченного множества 34 — — — дедекиндово 55 — — — («скачок») 54 Симплекс данного поля вершин 325 Система множеств дизъюнкгная It — — дискретная 298 — — звездно конечная 295 — — — счетная 295 — — конечно ветвящаяся 218 — — консервативная 299 — — локально конечная 298 — — сцепленная 295 — — счетно ветвящаяся (Л-система) 218 — — центрированная 240 — — — максимальная 257 — — u-правильная 276 — покрытий измельчающаяся 299 Соответствие взаимно однозначное 12: — подобия 25 Соотношения двойственности 10 Спектр проекционный 326 Cni'Kfp топологических пространств 323 Спектры проекционные сильно эьви- вален гпые 342 — — эквиваленгные 342 Тело множеств 110 — семейства подмножеств 17 Теорема Архангельского 319 — Больцано — Вейерштрясса 180 — Бореля — Лебега 18.3 — Бэра — Хаусдорфа 161 — Вейерштрасса — Стоуна 251 — Даукера 319 ' — Зайцева 267 — Кантора 183, 192 — Кантора — Бернштейна 29 — Линделёфа вторая 160 — — первая 159 — метризационная Александрова — Урысона 319 — — Нагата — Смирнова 315 — — Урысона вторая 244 — — — первая 171 — о наибольшем значении действи- тельной функции на компакте 196 — — продолжение непрерывных функ- ций 177 — реализации для абстрактных спек- тров 343 — Стоуна А. большая 303 — — о паракомпактности метри- ческих пространств 309 — Стоуна — Чеха о максимальном бикомпактном расширении 271 — Тихонова вторая 260 — — первая 257 — Урысона о погружении 174 — Цермело 78 Теоремы о диадических бикомпак- тах 291 Топология замкнутая 98 — открытая 98 — подпространства (индуцированная) 99 — факторная 116 Top 216 Точка внутренняя 97, 104 — изолированная 103 — канторова дисконтинуума второго рода 141 — — — первого рода 141 — конденсации 104 — локальной компактности 188 Точка полного накопления 2-10 — предельная 103 — прикосниьения 97, 100 — р-щиопальпая R /?" 126 Углопме квазинормальности 336 — K.)IIIH 1!2 — к-нормальнос! и 336 Цепь множеств 122 — Л-системы 218 Число алгебраическое 23 — двоично-рациональное 47 — действительное 36 — иррациональное 36 — кардинальное иррегулярное ИЗ* — — недостижимое 89 — — регулярное 89 — — зйсорбитантное 89 — порядковое 62 — — второго класса 69 — — — рода (предельное) Г>Д — — иррегулярное 93 — — начальное мощности т й5 — — первого класса 69 — — — рода (изолированное) 6S- — — регулярное 92 — трансфинитное 62 — трансцендентное 23 Числовая прямая 38 — — топологическая 102 Ядро открытое множества 104. — цепи Л-системы 218 — Л-системы 218 Л-множество 111, 218 /•„-множество 107 6'?,-множестЕо 107 //-конец 346 //-система 247 u-конец 276 е-компопента 204 е-сеть 190 е-цепь 204 х-конец 332 ха-множество 105 ко-множество 106 я-база 360 n-вес 360 л-конец 333 л-множество 106 Павел Сергеевич .Александров Введение в теорию множеств и общую топологию М.. 1977 г., 368 стр. с иял. Редакторы: Д. Я. Федорчук., Ф. И. К.изн.ер Техн. редактор Л. В. Лихачева Корректор Д. П. Сорокина Сдано в набор 7/Х 1976 г. Подписано к печати 31/1 1977 г. .Бумага 60х90'/ц. Физ. печ. л. 23. Условн. печ. л. 23. Уч.-изд. л. 25,13. Тираж 35000 экз. Цена книги 1 р. 10 к. Заказ № 797 Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, B-7I, Ленинский проспект, 15 Отпечатано с матриц, изготовленных Ордена Октябрьской революции и Ордена Трудового Красного Знамени -Лервой Образцовой типографией имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли; Москва, М-54, Валовая, 28 , в 4-й типографии издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25. Заказ № 654 П. С. АЛЕКСАНДРОВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ И ОБЩУЮ ТОПОЛОГИЮ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей высших учебных заведений ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1977