ББК 32.965.5 П58 УД К 681.5(075.8). Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. пособие.— 2-е изд., стер.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—256 с.—ISBN 5-02-013903-3. Учебное пособие содержит основные разделы теории нелиней- ных систем, входящие в программу втузов. Подробно изложенч широко применяемые на практике метод фазовой плоскости и щ- тод гармонической линеаризации, приводится характеристика мз- тодов точечного преобразования и припасовывания. Основной упор сделан на выявлении основных особенностей динамического поге- дения нелинейных систем (автоколебания, скользящий процесс, логическое управление, переменная структура и т. п.). Значитель- ное внимание уделяется коррекции нелинейных систем. Даются основные понятия о самонастраивающихся системах, 1-е изд.— в 1979 г. Для студентов втузов, а также для инженеров — проектиров- щиков автоматических систем. Табл. 1. Ил. 223. Библиогр. 37 назв. Рецензент доктор технических наук Г. Ы. Лебедев д 1502000000—160 ^д-gg 053 (02)-88 ISBN 5-02-013903-3 ©Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 1988 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . ........... 5 Глава 1. Виды и особенности нелинейных систем . . 7 § 1.1. Виды нелинейностей ........ 7 § 1.2. Фазовое пространство и фазовая плоскость . . 13 § 1.3. Типы особых точек и фазовые портреты линейных систем . . .......... 18 § 1.4. Особые точки и фазовые портреты нелинейных систем , . .......... 26 Глава 2. Изображение переходных процессов на фазовой плоскости ........... 33 § 2.1. Переходные процессы и автоколебания релей- ной системы ........... 33 § 2.2. Система со скользящим процессом ..... 38 § 2.3. Система с логическим управлением. Учет вре- менного запаздывания ........ 41 § 2.4. Системы с переменной структурой .... 48 Глава 3. Методы припасовыванпя и точечного преобразо- вания ...'......... 52 § 3.1. Метод припасовывапия . ...... 52 § 3.2. Метод точечного преобразования ..... 57 § 3.3. Примеры точечного преобразования .... 62 Глава 4. Автоколебания в системах высокого порядка 70 § 4.1. Исходные положения метода гармонической ли- неаризации ........... 70 § 4.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеа- ризации ............ 76 § 4.3. Алгебраический способ определения -симметрич- ных автоколебаний и устойчивости .... 86 § 4.4. Частотный способ определения симметричных автоколебаний .......... 97 § 4.5. Несимметричные автоколебания. Постоянные ошибки . . .......... 104 Глава 5. Исследование устойчивости нелинейных систем 112 § 5.1. Устойчивость. Функция Ляпунова .... 112 § 5.2, Теоремы Ляпунова ......... 118 § 5.3. Пример исследования устойчивости методом Ляпунова . . , ........ 124 I* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 5.4. Исследование устойчивости методом гармониче- ской линеаризации ......... 129 § 5.5. Частотный критерий абсолютной устойчивости 135 Глава 6. Процессы управления и вынужденные колебания в нелинейных системах ........ 143 § 6.1. Одночастотные вынужденные колебания. Частот- ные характеристики ......... 143 j § 6.2. Процессы управления, сопровождающиеся вынуж- денными вибрациями ......... 147 § 6.3. Процессы управления в автоколебательных си- стемах ............. 156 § 6.4. Колебательные переходные процессы .... 163 Глава 7. Нелинейные системы с коррекцией .... 175 § 7.1. Линейная коррекция нелинейных систем . . . 175 § 7.2. Нелинейные корректирующие устройства . . . 185 § 7.3. Псевдолинейная коррекция ....... 196 § 7.4. Системы с переменной структурой ..... 207 Глава 8. Дискретные нелинейные системы ..... 214 § 8.1. Виды нелинейных дискретных систем .... 214 ! § 8.2. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем ......... 217 § 8.3. Одночастотные периодические колебания в нели- нейных дискретных системах ...... 220 § 8.4. Коррекция систем управления с ЦВМ .... 225 § 8.5. Особенности систем автоматического управления с ЦВМ ............. 230 Глава 9. Саыонастраивающиеся системы ..... 233 § 9.1. Виды самопастраивающихся систем .... 233 § 9.2. Системы с разомкнутой цепью самонастройки 241 § 9.3. Самоиастраивающиеся системы с моделью . . . 245 § 9.4. Системы с анализом процесса управления . . . 248 § 9.5. Экстремальные системы ........ 251 Литература .,,........,.. 254 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее учебное пособие по нелинейным ав- томатическим системам соответствует второй части курса теории автоматического регулирования, читаемого автором в МВТУ им. Н. Э. Баумана. Этой части предше- ствует первая часть—теория линейных систем [23]. Вопросы статистики и оптимизации рассматриваются в последующих частях курса, которыми являются стати- стическая динамика и теория оптимальных систем. Основная задача автора состояла в том, чтобы изло- жить нелинейную теорию с наибольшей наглядностью. При этом акцент сделан на таких вопросах и методах, которые наиболее доступны для инженерных расчетов при анализе и проектировании нелинейных систем авто- матического регулирования и управления. Кроме непре- рывных нелинейных систем, кратко рассмотрены нели- нейные дискретные системы. Раздел самонастраивающих- ся систем изложен конспективно и ограничен основными понятиями о видах, структуре и функционировании различных типов самонастраивающихся систем автома- тического регулирования и управления. Последовательность изложения материала следующая. Вначале па примерах нелинейных систем второго поряд- ка в простейшем виде на фазовой плоскости рассматри- ваются наиболее характерные особенности переходных и установившихся процессов, которые не наблюдаются в системах линейных и порождены именно наличием нелинейности характеристик. Каждый такой пример (и соответствующий ему параграф во второй и третьей ПРЕДИСЛОВИЕ главах) имеет самостоятельное значение как введение к рассмотрению определенного класса нелинейных процес- сов управления. Таким образом в рамках систем второго порядка удается наглядно с методической точки зрения показать основные существенные особенности поведения нелинейных систем, хотя снижение порядка уравнения динамики всей замкнутой системы до второго является довольно сильной идеализацией реальных автоматических систем. В последующих главах излагаются методы исследова- ния и расчета нелинейных систем автоматического регу- лирования и управления, динамика которых описывает- ся уже дифференциальным уравнением высокого поряд- ка (выше второго). Это характерно для большинства реальных систем. Таковы главы четвертая, пятая, шестая и седьмая. В этих главах рассматриваются нели- нейные непрерывные системы и релейные системы, а также некоторые способы их коррекции. Глава восьмая посвящена краткому изложению методов исследования устойчивости и периодических колебаний нелинейных дискретных систем. Г Л А В А 1 ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ § 1.1. Виды нелинейностей Система автоматического управления или регулиро- вания называется нелинейной в том случае, если хотя бы одно звено системы описывается нелинейным уравне- нием (обладает нелинейной характеристикой). В первой части курса [23] изучались линейные системы как обыкновенные, так и другие (с запаздыванием, с рас- пределенными параметрами, с переменными параметра- ми и дискретные). Система любого из этих видов стано- вится нелинейной, если хотя бы в одном звене систе- мы имеется какое-либо отклонение от линейной зависимости. Поэтому класс возможных нелинейных систем весьма широк. Строго говоря, все реальные системы являются в в большей или меньшей степени нелинейными. Однако во всех случаях, когда с инженерной точки зрения до- пустимо рассматривать линеаризованную систему, обра- щаются к линейной теории как более простой ' и более разработанной. И только тогда, когда нелинейность иг- рает существенную роль в поведении системы, прибега- ют к теории нелинейных систем. Последняя становится все более важной для практики по мере повышения требований к качеству процессов и к точности расчета систем автоматического управления и регулирования. Можно различать статические и динамические нели- нейности. Статические нелинейности — это нелинейности стати- ческих характеристик. Они могут быть непрерывными (рис. 1.1), или релейными (рис. 1.2). С другой стороны, они могут быть однозначными (рис. 1.1 и 1.2), петле- выми гнстерезисными (рис. 1.3) пли опережающими (рис. 1.4). На рисунках даны примеры аналитического описания статических нелинейностей. Нелинейные стати- 8 ВИДЫ II ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 а) Хг =/f,s:J + ^г3 или. * ч •у . ,., д>=/г,ду+/г,г', йж , , , б) 444-^У ем ^ ^=^ г; ^=^sln^ ^^f/^^, ,,. 72 ' / - \h (Х]-Ь-Щ\\Е) при, \х/\>6' \Sz О г", е) Ж) Хц = \Sf\ Рис. 1.1. ВИДЫ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ § 1.11 ческие характеристики могут иметь и более сложный вид, как это показано, например, на рис. 1.5. а) Комби- нация релейной и линейной характеристик; б) характе- ристика расхода газа х^ при разных давлениях в зависи- мости от открытия клапана х\\ в) зависимость скорости а) s, в) Рис. 1.2. привода хч от управляющего сигнала х\ при разных на- грузках; з) зависимоть между моментом и угловой ско- ростью электродвигателя при разных напряжениях. Динамические нелинейности — это нелинейности, связанные с дифференциальными уравнениями динами- ки звена. К ним относится, например, нелинейное трение. Так, нелинейная сила вязкого трения характеризуется выражением dx\ ^ \dt- [. i ил, ^^b^ Сила сухого трения в простейшем случае (имеются и 10 ВИДЫ II ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. t § 1.11 ВИДЫ НЁЛИНЕЙНОСТЕЙ более сложные зависимости) описывается соотношением dx dx Fi=-csign-TT при -^0 dt v dt ' "' c< Fr •'^с при — ^ 0. 6) s^cs^s, при. \x,\sia Puu. 1,4. a) Л т =[f1(з;^) при x'>o' ) z ^zW при.з,<0 Риг. 1.3. Звено с изменяющейся постоянной времени имеет вид [?\(-t•^)^)+ll•г•2:=A^rl. P~=Tt или же (Т^р + 1) -r.2 = ^'1^1 ПРИ РД-! > О, (Т^р 4- 1)^2 = A'i3-i при рл-i < 0. Здесь надо отметить особенность такой динамической нелинейности по сравнению с линейным звеном с пере- 1'цс. 1.5. 12 ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 менным параметром вида [Ti(t)p+i]x,==k^i. В системе с переменными параметрами фигурирует зави- симость коэффициентов от времени, в то время как нели- нейность характеризует их зависимость от координат (или производных). Точно так же, например, гистерезис (рис. 1.3) представляет собой нелинейное (координатное) запаздывание, в отличие от временного или инерционного в линейных системах. Аналогично на рис. 1.4 представле- но нелинейное (координатное) опережение. Конечно, могут быть нелинейные звенья с перемен- ным параметром, например вида [Ti(xi,t)p+i]x2=k^, а также нелинейные запаздывающие звенья типа xz(t) =F(a-i(<--r)). Примерами динамических нелинейностей могут слу- жить также любые нелинейные дифференциальные, раз- ностные и интегральные уравнения. Нелинейности в системах управления и регулирова- ния могут быть естественно присущими реальной системе (трение, люфт, гистерезис, зона нечувствительности, насы- щение) и зачастую вредными: влияние их в этом случае надо стремиться уменьшить. Но могут быть и специально вводимые нелинейности для придания системе желаемых свойств. Таковы, например, релейные элементы и различ- ные нелинейные и псевдолинейные корректирующие устройства. Большой интерес представляют также логи- ческие нелинейные управляющие блоки и системы с пе- ременной структурой, о которых речь будет в последую- щих главах. Оптимизация систем автоматического управления также в большинстве случаев связана с введением специальных нелинейностей в контур системы. Введение специальных нелинейпостей приводит к различным нелинейным законам управления, которые обладают более богатыми возможностями по сравнению с линейными, § 1.21 ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 13 § 1.2. Фазовое пространство и фазовая плоскость При составлении уравнений динамики нелинейной системы все звенья, поддающиеся линеаризации в преде- лах малых отклонений координат, описываются линейны- ми уравнениями. Для одного или двух (реже — несколь- ких) существенно нелинейных звеньев этой системы составляются нелинейные уравнения (или используются нелинейные характеристики). В общем случае нелиней- ные дифференциальные уравнения динамики в нормаль- ной форме имеют вид -^=Ф,(^, ж.„ ..., a-n, t; g(t); f(t}), i=l, 2, ..., re, где ж, (г ==• 1, 2, ..., п} —координаты состояния системы, 8W, /(О—соответственно задающие и возмущающие воздействия, или в векторной записи ^-Ф(ж,<.?,/). Для рассмотрения переходных процессов, вызванных какими-либо начальными отклонениями координат (при отсутствии внешних воздействий) эти уравнения для си- стем с постоянными , параметрами (т.е. для i.^,. .,,,•/;„ стационарных счетом) I принимают вид ^ dx, -^=Ф,(а:1, x.i,...,x^}, Рис. 1.6. i =1,2,..., п, (1.1) а в векторной форме ^=Ф(ж). (1.2) Для исследования нелинейных систем широко исполь- зуется метод фазового пространства, который состоит в следующем. Представим себе /г-мерное пространство ко- ординат состояния системы (х\, а-з, ..., а",,) (рис. 1.6)*), *) На рис. 1.6 координатные осп хз, ..; Хп ^-мерного прост- ранства условно совмещены в одну ось. 14 ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 называемое фазовым пространством. Тогда начальное со- стояние системы x{to) изобразится определенной точкой MO с координатами xi(to), х-г (to}, ..., Xn(to), а процесс во времени, т. е. решение уравнений (1.1) X(t)=(xi(t), X2(t), ..., Ж„(0), получит изображение в виде некоторой кривой (рис. 1.6), которая называется фазовой траекторией данной системы. Текущая точка М на ней, соот- ветствующая состоянию систе- мы в произвольный момент вре- мени t, называется изображаю' щей точкой. Отметим, что зна- чения нелинейных функций dx Ф; = -т.-, стоящих в уравнениях Рис. 1.7. (1.1) справа, определяют в каж- дый момент времени проекции скорости v изображающей точ- ки М на оси координат Xi. Если в многомерном фазовом пространстве мы лишь мысленно можем представить себе геометрическую карти- ну, то, например, для системы второго порядка (п == 2) Рис. 1.8. можно реально изображать фазовые траектории на пло- скости (рис. 1.7). При этом можно изобразить и интег- ральную кривую для данной системы, добавив ось вре- мени t (рис. 1.8). § t.2] ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 15 Уравнения (1.1) при re = 2 принимают вид ^у (]х. ^=ф,(х„х,\ -^ (1.3) Дифференциальное уравнение фазовой траектории полу- чается путем исключения времени из системы уравне- ний (1.3): ^ ^ ^ (^г ^) /I 4) dx, Ф,(^,^)- Точки равновесного состояния системы определяются ну- левыми значениями скорости dxJdt == 0, dx^ldt == 0; сле- довательно, в этих точках Ф. (ж„ жг) = О, Ф^х„ 3-2)= О, что создает неопределенность правой части уравнения (1.4). Поэтому точки равновесного состояния системы яв- ляются так называемыми особыми точками на фазовой плоскости. dx Сопоставим изображение переходного процесса в ви- де фазовых траекторий на плоскости у (х) с обыч- ным его изображением в виде кривой x{t). Для удобства положим, что уравнения (1.3) имеют более простой вид: dx Л ^ dt т. е. координата у, откла- дываемая по оси ординат фазовой плоскости, пред- ставляет собой скорость р г 19 изменения координаты х, откладываемой по оси абсцисс. В этом случае для изображающей точки спра- ведливо следующее Правило для направления движения по фазовым тра- екториям: а) в верхней полуплоскости (рис. 1.9)—слева направо, т. е. в сторону увеличения х, так как там скорость у > 0; 1б ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ {ГЛ. 1 б) в нижней полуплоскости, наоборот,— справа на- лево; в) ось х пересекается фазовыми траекториями под прямым углом, так как там скорость у = 0, т. е. имеет место максимум или минимум величины х. Рис. 1.10. Заметим, что это правило недействительно в общем случае уравнения (1.3). Рассмотрим сначала затухающий колебательный про- цесс x(t) "(рис, 1.10, я). На фазовую плоскость (рис. 1.10, б), где у == dx/dt, нанесем отмеченные на кри- вой переходного процесса точки А, В, С, ..., в которых х имеет либо максимум, либо нуль, либо минимум. В ре- зультате получим, что затухающий колебательный про- цесс изображается на фазовой плоскости в виде сходя- щейся спиралевидной кривой. Аналогично расходящийся колебательный процесс (рис. 1.11, а) изобразится на фазовой плоскости в виде рас-ходящейся спиралевидной кривой (рис. 1.11, б). Очевидно, что периодический процесс (рис. 1.12, а] изобразится на фазовой плоскости в виде замкнутой кри- вой (рис. 1.12, б). За один период колебаний изображаю- щая точка М пробегает весь замкнутый контур, а затем повторяет движение по нему. Монотонный затухающий процесс x(t} (рис. 1.13, а) изобразится на фазовой плоскости в виде кривой, мо- нотонно приближающейся к положению равновесия S 1.2] ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 17 а) б) ,Рис. 1.11. б) Рис. 1.12. „ dx ^-dt б) Рцс. 1.13. IS ВИДЫ Й ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ !ГЛ. 1 (рис. 1.13, б), а монотонный расходящийся процесс (рис. 1.14, я)—в виде монотонно удаляющейся кривой (рис. 1.14, б). Удобство представления процесса в виде фазовых траекторий на плоскости состоит в том, что вся совокуп- iy=-^ \3 dt б) Рис. 1.14. ность возможных форм переходных процессов в системе при любых начальных условиях представляется в виде единого «фазового портрета». Недостатком же является то, что мы вынуждены при этом ограничиваться рассмот- рением лишь систем второго порядка. Для исследования нелинейных систем более высокого порядка будут приме- нены другие методы. § 1.3. Типы особых точек и фазовые портреты линейных систем В качестве исходного материала, используемого в даль- нейшем при изучении нелинейных систем, рассмотрим особые точки линейных систем второго порядка. Уравне- ния линейной системы имеют вид Яц.Г1 •{- й^а-з' dx. ~dT" dx^ -^ -= «21^1 + а^х^, (1.5) или в векторно-матричной форме dx -=Ах, А- dt 2? I ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 19 § 1.3] при условии, что матрица А невырожденная, т. е. det А =^ 0. Дифференциальное уравнение фазовых траек- торий, согласно (1.5), имеет вид Vi + ^а' (1.6) Единственной особой точкой (точкой равновесного состоя- ния системы) является точка х\ == 0, жз = 0. Пусть корни Xi и \ч характеристического уравнения det[4-^E] =0 (здесь Е— единичная матрица) различны. Путем подста- новки вида х == Ру , где Р — некоторая невырожденная матрица, матрицу А можно привести к диагональному виду. Уравнения (1.5) примут вид ^ dt Р-^АРу -= diag [Xi, ^] у, или ^ dt dy ^Уи -5Г = ^1Уу Решением этих уравнений является Г ^•lt ^i6 >; у, = С,е'--'. (1.7) Рассмотрим фазовые траектории в этой условной си- стеме координат (t/i, г/2), а затем отобразим фазовые траектории на плоскость исходных координат (a-i, а-г). Случай вещественных корней ^1,2. Переходный про- цесс — апериодический. Пусть |^|>lAi|. (1.8) Исключив t из решения (1.7), получим уравнение фазо- вых траекторий У.,=Су^. (1.9) Если знаки корней /ч, 2 одинаковы, то с учетом (1.8) имеем W^i > 1, п фазовые траектории представляются в виде парабол, как показано на рис, 1.15. При этом на- 20 ВИДЫ П ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. t правление движения изображающей точки М по любой фазовой траектории определяется уравнением (1.7), а именно: случаю \\ < О, К^ < 0 отвечает рис. 1.15, а, Рис. 1.15. что соответствует затухающим переходным процессам; случай К\ ~> 0, Ку. > 0 (рис. 1.15, б) соответствует рас- ходящимся переходным И.Уг процессам. Если же знаки корней ?ч,2 различны, то в урав- нении (1.9) имеем ^2Ai< << —1, и фазовые траек- тории имеют вид гипер- бол (рис. 1.16). В случае отрицатель- ных вещественных корней (рис. 1.15, а) особая точ- ка 0 называется точкой типа «устойчивый узел». Рис. 1.16. В случае положитель- ных вещественных кор- ней (рис. 1.15, б) осо- бая точка 0 называется точкой типа «неустойчи- вый узел». В случае же вещественных корней разных знаков (рис. 1.16) особая точка 0 называется точкой типа «сед- ло». Седловая точка всегда неустойчива. §1.3] ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 21 Отобразим полученные фазовые портреты линейной системы на плоскость исходных координат (х\, Хч). Ис- пользуем тот факт, что оси парабол и асимптоты гипер- бол (i/i, г/2) сами являются фазовыми траекториями и при линейном преобразовании останутся прямыми. Их отображение на плоскость (х\, хг) примет вид хч == kxi. Подставив это соотношение в (1.6), получим fe= "91 + а^ 21 22 "11 + al2?l'f ИЛИ й12^2 + (^11 — в22) k — Д21 = О, откуда находим два значения A-i и Ь. Это Дает Две пря- молинейные фазовые траектории (рис. 1.1Q ). на Рис. 1.17. рис. 1.17 дано расположение также и остальных (криво- линейных) фазовых траекторий. Аналогичная картина *) Как и ранее на рисунках коэффициенты k обозначают не углы, а крутизну наклона соответствующих прямых (т. е. k равны тангенсам углов наклона). 22 ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 изображена и на рис. 1.18 для особой точки типа «седло». По какой из фазовых траекторий пойдет переходный про- цесс в системе, определяется начальными условиями x\(to), a"2(0 (фазовые траекто- рии показаны в координатах у\, уч па рис. 1.19, а, б). Рис. 1.19. Случай комплексных корней /.i, 2. Переходный про- цесс — колебательный. Пусть л,,2==а±^. (1.11) Решения (1.7) принимают комплексный вид i/i==Cie"'(cos^+Jsin^), У2 == (У (cos ^ — 7 sin ^). Введя новые переменные с помощью подстановки У\ = 21 + /Z2, У2 = Zl — /22, преобразуем решение к вещественной форме zi = Л е2'cos (^4-'О, 2,== Ле"' sin(^+^), где А и ^ — произвольные постоянные. Перейдем к по- 24 ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (ГЛ. 1 лярным координатам (г, ср). Тогда г = Yz\ + zJ = Ав0 tg(t)=^=tg(p<+Y), 1 (р=р<4-"Гт-^л, /с=0, ±1, ±2,... (1.12) Эти выражения описывают логарифмическую спираль, изображенную на рис. 1.20, а для случая а <. О и на рис. 1.20, б для к > 0. Рис. 1.20. В случае комплексных Kopiieii с отрицательной ве- щественной частью (рис. 1.20, а) особая точка 0 называ- ется точкой типа «устойчивый фокус». В случае комплексных корней с положительной ве- щественной частью (рис. 1.20,6) особая точка 0 называ- ется точкой типа «неустойчивый фокус». Для преобразования полученных фазовых портретов в исходную систему координат (х[, хч} воспользуемся методом изоклин. Пусть, например, задана система 'х+2х+5х==0. (1.13) Корни характеристического уравнения К\,2^—1±/2. § 1.31 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 25 rf^l _ ^2 ~йГ - жг' dt Обозначив х == х\, х == а-а, приведем систему к виду 2^2—5а-1. (1.14) Дифференциальное уравнение фазовых траекторий &——2-5:-1. (1.15) ах^ х^ Для изоклины а'2 == ^иЛ"1 отсюда находим с = 2 — Возьмем четыре значения, ka == О, 1, со, — 1; тогда с == —оо, —7, —2, 3. Соответствующие направления ка- Рцс. 1.21. сательных к фазовым траекториям показаны на рис. 1.21 стрелками. Ориентируясь по ним, вычерчиваем фазовые траектории. Одна из них изображена на рис. 1.21. 26 ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [Г.1. 1 Как частный случай (1.11), при к == 0, т. е. для чисто мнимых корней ^i,2==±/',8, из (1.12) в полярных координатах на плоскости (г\, zs) получаем г == А == = const. Фазовые траектории имеют вид окружностей (рис. 1.22). При переходе к исходным координатам Рис. 1.22. Рис. 1.23. (xi, Хч) получатся эллипсовидные замкнутые кривые (рис. 1.23). Это соответствует периодическим во времени процессам. В случае чисто мнимых корней особая точка U (рис. 1.22 и 1.23) называется точкой типа «центр». § 1.4. Особые точки и фазовые портреты нелинейных систем Рассмотрим фазовые траектории нелинейной системы второго порядка (1.16) Особые точки, отвечающие равновесным состоянням си- стемы, определяются из условия Ф!^, .'/) —О, Ф2(Д', ?/) =0. (1.17) Для выявления типа каждой особой точки уравнения (1.16) линеаризуются при малых отклонениях координат в окрестности особой точки. Затем определяются корн» характеристического уравнения линеаризованной системы, по которым, согласно § 1.3, и устанавливается тип осо- бой точки. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 27 Проведем рассмотрение этого вопроса на примере. Пусть заданы уравнения нелинейной системы ^=-^1-^-2;/, ^-х-у. (1.18) Уравнение фазовых траектории имеет впд ^____х + У i\ AQ\ ^-_^(1.,-^)_2у (1ЛУ) Найдем особые точки согласно условиям (1.17) ^(1+^)+2y==0, x+y=0, откуда получаем три решения: 1) ж==0, у=0, 2) ж==1, у=-1, 3) х-= -1, »/=1. Следовательно, система имеет три возможных равновес- ных состояния. Исследуем характер особых точек. 1. В окрестности точки х == 0, у == 0 линеаризован- ные уравнения имеют вид dx. =- — г dt 2,, ^--+У- Характеристическое уравнение: 1-Х 1-Х == X2 1=0. Корни ^,,2==±/-чпсто мнимые. Следовательно, это особая точка типа «центр», „„пттим малые 2. В окрестности точки х = 1, У = -1_вводим малые отклонения в координатах^ == х -^^-У^ д ^. ставляя в уравнения (1.18) ж=|+1, У—^—1 и от брасьгвая нелинейные члены, получим линеаризованную "'"^У ^ . - ^ . , - 2п, ^ (it .. -г П- ^___^. dt "~ ^ Характеристическое уравнение имеет вид '\~^ i~_^ --)2 + ЗХ-2- 0. 28 ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 Корни характеристического уравнения ^=-4±/? вещественны и имеют разные знаки. Следовательно, это особая точка типа «седло». 3. Рассматривая линеаризованную систему в окрест- ности точки x=—i, у = 1, подстановкой в уравнение (1.18) х == i — 1, у = л + 1 приходим к тому же урав- нению, что и в предыдущем случае. Следовательно, здесь тоже особая точка типа «седло». Найдем асимптоты фазовых траекторий в седловых , , точках. Положив т) == л == /i-i, из уравнения / фазовых траекторий dr\ S — Т) dl = - 4g - 2г) Х пли Рис. 1.24. ^2 — На рис. 1.24 эти асимптоты показаны в окрестностях соответствующих особых точек. Точка же (0, 0) типа «центр» должна быть окружена замкнутыми кривыми. Исходя из этого, па рис. 1.25 изображен примерный ход фазовых траекторий па всей плоскости. Для определения направления движения изображаю- щей точки по фазовым траекториям достаточно исследо- вать какую-либо одну точку. Возьмем, например, точку х = 0, у = 1. Согласно уравнениям (1.18) в этой точке имеем dx/dt = —2, dyldt = 1, т. е. х изменяется в сторо- ну уменьшения, а у — в сторону увеличения. В соответ- ствии с этим и поставлена стрелка па фазовой траекто- § 1.4] ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 29 рии, проходящей через точку (О, 1), а так как система непрерывна, в ту же сторону будут направлены и все соседние фазовые траектории. Таким образом выясняется качественная картина фа- зовых траекторий. Отметим, что в данном примере ни одно из трех возможных равновесных состояний системы не является устойчивым. Рис. 1.25. Методом изоклин можно уточнить очертания фазовых траекторий. Уравнение изоклины, согласно (1.19), имеет вид ————————=с1 (1-20) —х(.\.-\-х)—1у где с — крутизна наклона (dyldx) пересекающих изокли- ну фазовых траекторий. Например, значению с == 1, т. е. углу наклона траекторий, равному 45°, соответствует, согласно (1.20), изоклина, описываемая уравнением y=-f(2+^2). яо ВИДЫ IT ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (ГЛ. 1 Она проходит через все три особые точки (штриховая линия на рис. 1.25). В отличие от линейных систем, здесь изоклина криволинейная. Отметим теперь некоторые общие особенности процес- сов в нелинейных системах. Прежде всего, это возмож- ность наличия двух или нескольких равновесных состоя- ний (особых точек), как уже было ппдно на приведен- ном примере. В соответствии с этим на фазовой плоскости получаются области с различными типами фазовых тра- екторий. На рис. 1.25, например, эти области разделены жирно обозначенными кривыми. Такие особые кривые, разделяющие области с разными типами фазовых траек- торий, называются сепаратрисами, § 1.41 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31 Существуют и другого типа особые кривые. Важным типом особых кривых являются предельные циклы — замкнутые кривые, соответствующие периодическим про- цессам, в окрестности которых имеют место колебатель- ные переходные процессы. Если эти фазовые траектории а) б) Рис. 1.27. изнутри и снаружи сходятся к данному предельному циклу (рис. 1.26, а), то мы имеем устойчивый предельный цикл. Если же. они удаляются в обе стороны (рис. 1.26,6),—неустойчивый предельный цикл. Возмо- жен и случай двух предельных циклов (рис. 1.26, в), из которых один устойчивый (в данном случае внешний), а второй неустойчивый. Особая точка О на рис. 1.26 представляет собой в пер- вом случае неустойчивое равновесное состояние, а во втором и третьем — устойчивое. Картина процессов во времени, соответствующая рис. 1.26, я, б, изображена на рис. 1.27, а, б. Физический смысл устойчивого периодического про- цесса, отвечающею предельному циклу,— автоколебания системы. Это собственные периодические колебания, про- исходящие при отсутствии внешнего периодического воздействия, причем амплитуда и частота автоколебаний не зависит от начальных условий, а определяется внут- ренними свойствами системы. Автоколебания могут воз- никать только в нелинейных системах. Что же касается 32 ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 линейных систем, то в них собственные периодические колебания возможны только на границе устойчивости (^•1,2 == ±/со), причем амплитуда их определяется на- чальными условиями (см. рис. 1.23). Физический смысл неустойчивого предельного цикла совсем иной. Как видно из рис. 1.26, б, неустойчивый предельный цикл — это граница областей начальных ус- ловий. При начальных условиях x(to), у (to), лежащих внутри неустойчивого предельного цикла, получается за- тухающий переходный процесс, если же они лежат сна- ружи — расходящийся. Следовательно, равновесное состо- яние О в данном случае устойчиво при небольших на- чальных отклонениях, а нри больших — система неус- тойчива. Говорят: система устойчива «в малом» и неус- тойчива «в большом». Здесь важно отметить, что, в отличие от линейных систем, типы динамических процессов нелинейных си- стем могут существенно зависеть от начальных условий. Интересно далее отметить, что в первом случае (рис. 1.26, а) единственным устойчивым установившимся состоянием системы является автоколебательный режим. Во втором случае (рис. 1.26,6)—равновесное состояние О. В третьем же случае система имеет два устойчивых установившихся состояния: равновесное О, и автоколеба- ния с большой амплитудой (внешний предельный цикл). Какой из них установится, зависит от начальных условий. В первом случае говорят, что имеет место «мягкое возбуждение» автоколебаний (т. е. при любых начальных условиях), а в третьем случае—«жесткое возбуждение» автоколебаний, так как, чтобы система вышла на них, не- обходимо начальные условия «забросить» за пределы внутреннего неустойчивого предельного цикла. Все это будет проиллюстрировано в последующих гла- вах на примерах систем автоматического регулирования. Кроме того, будут проиллюстрированы и многие другие особые свойства нелинейных систем, как, например, от- резки равновесия, скользящие процессы, а также особен- ности, связанные с вынужденными колебаниями и с про- цессами управления, в которых, в отличие от линейных систем, не соблюдается принцип суперпозиции. ГЛАВА 2 ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ § 2.1. Переходные процессы и автоколебания релейной системы В данной главе исследование переходных процессов на фазовой плоскости иллюстрируется на примерах об- щего характера, выявляющих основные отличительные особенности процессов в нелинейных автоматических си- стемах. Рассмотрим систему с релейной характеристикой об- щего вида. Уравнение динамики объекта (рис. 2.1, а) имеет вид (Tip+i)x=-k,xi, (2.1) а уравнение регулятора px,=F(x), (2.2) где F(x}— релейная характеристика (рис. 2.1,6). Общее \F(x) с\— Регулятор •2/ Объект Z х а) б) Рис. 2.1. уравнение динамики системы найдем, если продифферен- цируем уравнение (2.1) и затем подставим в него (2.2). В результате получим выражение 'r^+S^-hF^ dt' 3 Е. Д. Попов ЛИТЕРАТУРА 1. Андронов А. А. и др. Теория колебаний.—М.: Физматгиз, 1959. 2. Б а б а к о в Н. А., Воронов А. А., М а к а р о в И. М. и др. Теория автоматического управления, ч. 2.— М.: Высшая шко- ла, 1977. 3. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы,— М.: Наука, 1976, 4. Бесекерский В. А. и др. Сборник задач по теории авто- матического регулирования и управления.— М.: Наука, 1972. 5. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автома- тического регулирования.— М.: Наука, 1975. 6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. Л. Асимптоти- ческие методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Наука, 1974. 7. Вавилов А. А. Частотные методы расчета нелинейных си- стем.— М.: Энергия, 1970. 8. Воронов А. А. Основы теории автоматического управле- ния,— М.: Энергия (ч. 2) 1966, (ч. 3) 1970. 9. Е м е л ь я н о в С. В., У т к и н В. И. и др., Теория систем с переменной структурой,— М.: Наука, 1970. 10. 3 у б о в В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования.— М.: Машиностроение, 1974 11. Иванов В. А., Медведев В. С., Чемоданов Б. К., Ю щ е н к о А. С. Математические основы теории автоматиче- ского регулирования, т. 1.— М.: Высшая школа, 1977. 12. II в а щ е н к о Н. Н. Автоматическое регулирование.— М.: Ма- шиностроение, 1978. 13. Козлов Ю. М., Юсупов Р. М. Беспоисковые самонастрап- вающиеся системы.— М.: Наука, 1969. 14. К р а с о в с к и и А. А. Динамика непрерывных самонастраи- вающихся систем.— М.: Физматгиз, 1963. 15. Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автома- тического управления.— М.: Гостехиздат, 1951. 16. Наумов Б. Н. Теория нелинейных автоматических систем.— М.: Наука, 1972. 17. Н е т у ш и л А. В. Теория автоматического регулирования ч. 2.— М.: Высшая школа, 1972. 18. Н о в о с е л о в А. И. Автоматическое управление.— М.: Энер- гия, 1973. 19. П а л ь т о в И. П. Качество процессов и синтез корректирую- щих устройств в нелинейных автоматических системах.— М.: Наука, 1975. ЛИТЕРАТУРА 255 20. П е т р о в Б. П., Рутковский В. Ю. и др. Принципы по- строения и проектирования самонастраивающихся систем уп- равления.— М.: Машиностроение, 1972. 21. Пономарев В. М., Литвинов А. П. и др. Основы авто- матического регулирования и управления.— М.: Высшая шко- ла, 1974. 22. ПОПОВЕ. П. Прикладная теория процессов управления в не- линейных системах.— М.: Наука, 1973. 23. П о п о в Е. П. Теория линейных систем автоматического ре- гулирования и управления.— М.: Наука, 1978. 24. П у г а ч е в В. С. Основы автоматического управления.— М.: Наука,1968. 25. С о л о д о в н и к о в В. В., Ш р а м к о Л. С. Расчет и проекти- рование аналитических самонастраивающихся систем с эта- лонными моделями.— М.: Машиностроение, 1972. 26. Солодовников В. В. Техническая кибернетика. Теория ав- томатического регулирования, кн. 3, части 1 и 2.— М.: Маши- ностроение, 1969. 27. Старикова М. В. Исследование автоматических систем с ло- гическими управляющими устройствами.— М.: Машинострое- ние, 1978. 28. С ю Д., М е и е р А. Современная теория автоматического уп- равления и ее применение.— М.: Машиностроение, 1972. 29. Ф е д о р о в С. М., Х и т р и к М. С. и др. Динамика систем уп- равления ракет с бортовыми цифровыми вычислительными машинами.— М.: Наука, 1976. 30. X л ы п а л о Е. И. Нелинейные корректирующие устройства в автоматических системах.— М.: Энергия, 1973. 31. Ц ы п к и н Я. 3. Основы теории автоматических систем.— М • Наука,1977. 32. Ц ы п к и н Я. 3., Попков Ю. С. Теория нелинейных импуль- сных систем.— М.: Наука, 1973. 33. Ч а к и Ф. Современная теория управления.— М.: Мир, 1975. 34. Чин ае в П. И. Самонастраивающиеся системы (справочника—- Киев: Наукова думка, 1969. 35. Ш а т а л о в А. С. Теория автоматического управления.— М.: Энергия,1977. 36. Ю реви ч Е. И. Теория автоматического управления.—М.: Энергия, 1969. 37. Основы проектирования следящих систем/Под ред. Н. А. Ла- коты.— М.: Машиностроение, 1978. 0Учебное издание ПОПОВ Евгений Павлович ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ Заведующий редакцией Л. А. Русаков Редакторы Р. Г. Янушевский, Д. С. Фурманов Художественный редактор Г. Н. Колъченко Технический редактор Л. В. Лихачева Корректор Л. С. Сомова ИБ № 32660 Печать с матриц. Подписано к печати 27.07.88. Формат 84Х108/32. Бумага кн.-журн. Гарниту- ра обыкновенная новая. Печать высокая. Усл. печ. л. 13,44.Усл. кр.-отт. 13,44. Уч.-изд. л. 11,69. Тираж 10 000 экз. Заказ № 1246. Цена 70 коп. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Четвертая типография издательства «Наука» 630077 Новосибирск, 77, Станислаьского, 25 Е. П. ПОПОВ ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1983