22.162 Т 66 УДК 517.5 Задачи п упражнения по функциональному анализу. Трено- гий В. А., П и с а р е в с к и и Б. М., Соболева Т. С,—М.: На- ука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.-^ 256 с. Сборник содержит задачи по всем основным разделяя курса функционального анализа, читаемого в вузах. Он ориентирован на учебное пособие В. А. Треногина «Функциональный анализ», вы- шедшее в 1980 г. Рамки задачника несколько шире требований программы, В задачник вошли такие разделы, как: «Нелинейные операторные уравнения в банаховых пространствах», «Дискрет- ные приближения решений операторных уравнении», «Монотон- ные операторы», «Элементы теории экстремумов и выпуклого ана- лиза» и др. Г о ц о н з е н т ы: кафедра высшей математики Московского инжс- , , нерно-фйзического института: доктор физико-математических наук . А. А, Кириллов, Владчлен Александрович Т р е н о г и и. Борис Меерович Писаревок и и Татьяна Сергеевна Соболева ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Редактор А. И. Ш т е р в Техн. редактор С. Я. Ш к л я р Корректоры Т. Г. Е г о р о в а, И. Я. К р и ш т а л ь ИБ Ns 12499 Сдано в набор t9.09.83. Подписано к печати 05.07.84. Формат 84Х108'/:л. Бумага тип. J\'i 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 13,44^ Условн. кр.-отт. 13,44. Уч.-изд. л. 14,84. Тираж 20 000. экз. За- каз № 806. Цена 80 коп. Главная редакция физико-матеяатччесгоп литературы 117U71, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства «Наука» 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25 17020ЕОООО-125 053 (02)-84 '©Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1984 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .............. 5 Глава 1. Нормированные пространства ...... 9 § 1. Линейные нормированные пространства . , . 9 § 2. Банаховы пространства ..'...... 22 § 3. Гильбертовы пространства ....... 26 § 4. Пространства Лебега и Соболева ..... 33 § 5. Построение элемента наилучшего приближения в гильбертовых и банаховых пространствах ... 37 § 6. Метрические пространства ....'... 43 .Глава 2. Линейные операторы ........ 46 § 7. Непрерывность, ограниченность и норма линейно- го оператора ........... 46 § 8. Пространство ограниченных линейных операторов 51 § 9. Обратные операторы ......... 58 § 10. Замкнутые операторы ........ 62 Глава 3. Сопряженные пространства и сопряженные огэ- раторы ....... ...... 65 § 11. Непрерывные линейные функционалы . . . . 65 § 12. Теорема Хана — Банаха. Структура сопряженного пространства ............ 67 § 13. Слабая сходимость. Рефлексивность .... 79 § 14. Сопряженные операторы ....... 73 Глава 4. Компактные множества и вполне непрерывные операторы ............. 81 § 15. Компактные множества в нормированных прост- ранствах ............ 81 § 16. Линейные вполне непрерывные операторы ... 88 § 17. Нормально разрешимые операторы ..... 96 Глава 5. Самосопряженные операторы. Спектральная тео- рия ................ 102 § 18. Самосопряженные операторы . ..... 102 § 19. Спектр линейного оператора . ..... 107 § 20. Спектр вполне непрерывного и самосопряженного оператора ., ...... .... 111 I* 3 § 21. Линейные интегральные уравнения . ... lr4 § 22. Неограниченные операторы в гильбертовом прост- ранстве . ........... 123 Глава 6. Нелинейные операторы и уравнения в банаховых пространствах . . .......... 127 § 23. Дифференцирование нелинейных операторов . . 127 § 24. Принцип сжимающих отображений, итерационный процесс Ньютона и принцип неподвижной точки Шаудера ............ 136 § 25. Неявные операторы ......... 146 Г л а в а 7. Дискретные приближения решений операторных уравнений . ............ 151 § 26. Приближенные и разностные схемы .... 151 § 27. Интерполяция сплайнами . ...... 164 § 28. Приближенные схемы Галеркина ..... 170 § 29. Метод монотонных операторов ...... 177 Глава 8. Элементы теории экстремума и выпуклого ана- лиза ............... 186 § 30. Необходимые условия экстремума функционала 186 ,§ 31, Достаточные условия экстремума функционала 195 § 32. Полунепрерывные и выпуклые функционалы . . 201 Ответы и указания .'........... 205 Литература .............. 250 Список обозначений ............ 252 Предметный указатель ........... 254 ПРЕДИСЛОВИЕ Функциональный анализ — одна из важнейших обла- стей современной математики. Его возникновение и раз- витие связано с именами таких крупнейших ученых как Д. Гильберт, Ф. Рисе, С. Бапах, М. Фреше, А. Н. Колмо- горов, С. Л. Соболев, А. Н. Тихонов, С. М. Никольский и др. Началом создания функционального анализа можно считать систематическое построение теории операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, а затем и в линейных нормированных пространствах (начало XX века). Важной особенностью функционального анализа явля- ется общая абстрактная форма рассмотрения проблем анализа, позволяющая единообразно исследовать далекие, казалось бы, друг от друга вопросы. Именно поэтому сегодня идеи, концепции и методы функционального ана- лиза пронизывают чуть ли пе все области математики, объединяя их в единое целое. Функциональный анализ -играет важную роль в сов- ременном математическом образовании инженера-исследо- вателя, которому предстоит применять математические методы в конкретной области иауки. На языке функцио- нального анализа получают ясное выражение основные проблемы прикладной и вычислительной математики. Предлагаемый задачник рассчитан на студентов тех- нических вузов, специализирующихся в области приклад- ной математики. Его структура и применяемая термино- логия ориентированы на учебное пособие В. А. Треногн- на «Функциональный анализ» [25]. Однако задачник со- ставлен так, чтобы читатель мог пользоваться любым дру- гим пособием по функциональному анализу. 5 Задачник будет полезен инженерам, математикам-прп- кладникам при изучении курса функционального анализа, студентам университетов при первоначальном изучении атого курса. Данный, задачник отражает многолетний опыт авто- ров по преподаванию функционального анализа в Москов- ском физико-техническом институте, Московском инсти- туте нефтехимической и газовой промышленности им. И. М. Губкина, Московском институте стали и спла- вов. Наряду с традиционными задачами, при составле- нии которых была использована приведенная в конце книги литература, сборник содержит большое число но- вых, отвечающих современным потребностям практики. Сюда, в частности, относятся все задачи, при решении которых предполагается использование ЭВМ, многие за- дачи нелинейного и прикладного функционального ана- лиза. Сборник неоднороден по своему содержанию. Но каж- дой теме имеются задачи различной степени трудности, предназначенные как для аудиторной, так и для самостоя- тельной работы студентов. Кроме задач технического или вычислительного характера имеются задачи, позволяю- щие лучше уяснить то или иное понятие или результат. Встречаются группы задач, которые могут служить для самостоятельного изучения отдельных вопросов теории, представляя непростое утверждение в виде его разложе- ния на более или менее элементарные упражнения. К по- давляющему большинству задач приведены ответы или указания к решениям. Задачник состоит из восьми глав, каждая из которых содержит, 'в свою очередь, несколько параграфов. Параг- раф начинается с краткого теоретического введения, со- держащего необходимые для решения последующих задач основные- определения и теоремы, а также краткие опи- сания используемых математических приемов. Иногда теоретические сведения вклиниваются внутрь параграфа, предшествуя группе задач на заданную тему. В главе 1 подобраны задачи, относящиеся к теории линейных нормированных, банаховых, гильбертовых, ле- беговых, соболевскпх и метрических пространств. Отдель- ный параграф (§ 5) посвящен важному в приложениях вопросу построения элемента наилучшего приближения в гильбертовых и банаховых пространствах. Глава 2 включает материал по теории линейных опе- раторов. Наряду с задачами общего плана, связанными с понятиями непрерывности, ограниченности, нормы лп- 6 ыейных операторов, а также обратного оператора, значи- тельное внимание уделено конкретным линейным опера- торам, в частности, интегральным и дифференциальным, которые находят широкое применение в решении при- кладных задач. Рассматриваются также и неограничен- ные замкнутые линейные операторы. Задачи по теории сопряженных пространств и сопря- женных операторов подобраны в главе 3. В главе 4 рассмотрены компактные множества, впол- не непрерывные и нормально разрешимые операторы. В главе 5 собраны задачи по теории самосопряжен- ных операторов в гильбертовых пространствах, задачи на теорию спектра линейного, вполне непрерывного и само- сопряженного операторов. Специальные параграфы по- священы линейным интегральным уравнениям. Рассмат- риваются решения интегральных уравнений II рода,- а также метод регуляризации для интегральных уравнений I рода (§ 21). Здесь же уделяется внимание неограниченным операторам, в частности, оператору Штурма — Лиувилля (§ 22). Глава 6 содержит задачи нелинейного функциональ- ного анализа. Рассматриваются дифференцирование в не- линейном случае, сжимающие отображения, метод каса- тельных Ньютона, принцип Шаудера, неявные операторы. Отметим, что эти и другие разделы нелинейного функционального анализа появились в связи с выросши- ми потребностями теории дифференциальных уравнений, численных методов, математического программирования п других разделов математики. Определенный интерес для прикладников может представить глава 7, которая содержит подборку задач и упражнений на важнейшие современные приближенные методы — метод разностных схем, метод сплайнов, метод Галеркина и метод монотонных операторов. Последняя, 8-я глава посвящена вариационному ис- числению, как классическому (§§ 30, 31), так и абстракт- ному (§ 32). При этом авторы старались найти единый подход к этим вопросам. Поскольку задачник предназначен, в основном, для студентов технических вузов, авторы сочли нецелесооб- разным включать в него упражнения по теории тополо- гических и линейных топологических пространств и по теории меры. В сборник из-за ограниченного объема не вошли также некоторые важные прикладные разделы функционального анализа, в частности, применения к тео- 7 рии дифференциальных уравнений с частными производ- ными (общий метод Фурье, обобщенные функции, полу- группы, приближенные схемы) и к теории оптимального управления. Авторы глубоко признательны профессору кафедры теории функций и функционального анализа МГУ им. М. В. Ломоносова А. А. Кириллову, профессору А. И. Приленко и возглавляемому им коллективу кафед- ры высшей математики МИФИ за большое число ценных советов, учтенных при подготовке настоящего издания. Авторы искренне благодарны А. И. Штерну, прове- рившему текст рукописи во всех его деталях и выска- завшему много полезных замечаний, а также Л. Б. Ко- релыптейну за помощь в составлении ответов и ука- ааний. В. А. Треногин Б. М. Писаревский Т. С. Соболева Глава 1 НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. Линейные нормированные пространства Линейное пространство Х над множеством веществен- ных чисел R (комплексных чисел С) называется норми- рованным пространством, если каждому х е X поставлено в соответствие неотрицательное число ll-rll, называемое нормой х, так, что выполнены следующие три аксиомы: 1) llrcll = 0 тогда и только тогда, когда х == 0; 2) 11Хя;11 == Ш • Иа-11 для любого х^Х и любого вещест- венного (комплексного) числа К; 3) \\х + у\\ sS 11^11 + Ili/ll для любых х, у, е X. Открытым шаром с центром в точке а-о е Х и радиу- сом г > 0 называется множество Sr(a'o) == {х <= X: \\х ~ х„\\ < <г). Замкнутым шаром с центром в точке х»^Х и ради- усом г>0 называется множество 5,(жо) = {же X: Vix — х»\\ ^ г}. Сферой с центром в точке а"» е X и радиу- сом г>0 называется множество Or(a'o) == {хеХ: \\х— — а;»!! = ?•}. Множество А <= Х называется ограниченным, если его можно заключить в некоторый шар (открытый или зам- кнутый). Диаметром множества А<=-Х называется число diamA == sup На- — у\\. Расстоянием от точки х s X до мно- (C.ySA зкества АС:Х называется число р(я", А) = inflla;— г/11. У<=А Расстоянием между множествами А, В'^Х называется число р(А, В) == inf Дж—г/Ц. xi=A,y?B Множество М <= X называется открытым, если для лю- бой Хо^М существует г>0 такое, что ^(жо)^.^. Точка а е X называется предельной точкой множества М с: X, если в любом шаре 5,(а) найдется точка х<=М (х^а). Множество всех предельных точек множества М обозна- чается М'. Множество М U М'_ называется замыканием множества М и обозначается М. Множество М с: X назы- вается замкнутым, если М = М. 9 Последовательность Хп s X (п <= N) называют сходя- щейся к элементу а-о s X ц записывают ;г„ ->- а'о, если ЧДп — а"о11 ->- 0 при п -^ оо. Множество Ь^Х называется линейным многообрази- ем, если из х, у <=L следует, что ж + у s L и ^а- е L для любого числа ^. Если линейное многообразие является замкнутым в Х множеством, то оно называется подпро- странством. Алгебраической суммой множеств А и В пространства Х называется множество А + В всевозмож- ных сумм вида а+Ь, где де4, Ь<=В. Пусть а-о<= Х— произвольный элемент, L<=- Х — линейное многообразие. Множество Хц + L называется аффинным многообразием. Пусть L, M —подпространства пространства Х такие, что любой элемент х е X единственным образом представим в виде x'=u+v, где и е L, v<^M. В этом случае говорят, что Х есть прямая сумма L и М и записывают Х = L ® M. Отрезком, соединяющим точки х, у s X, называется множество точек вида ах + ^>у, где га^О, ^ > О, та + ? == 1. Множество Ас Х называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки А, целиком лежит в А. Множество А <= X называется всюду плотным в X, если А °= X. Пространство Х называется сепарабелъным, если в нем существует счетное всюду плотное множест- во. Множество А '= Х называется нигде не плотным в X, если в каждом шаре 5<=Х содержится другой шар Si, не содержащий точек А. Пространство Х называется строго нормированным, если в нем равенство \\х + у\\ == На'11 + Нг/.П при х^ О, у ^ О возможно только для у = Кх, где К > 0. Отображение F: Х -»- У линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство У называется непрерывным в точке Хц е X, если для лю- бого е>0 существует б=-6(е)>0 такое, что для любого а-е5а(а-о) f(x)eSAf(,Xa)). Отображение F: Х ->- У называ- ется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке .г'о е X. Отображение F; Х ->- У называется равномерно непрерывным, если для любого е > 0 существует б == = 6(е)> 0 такое, что для любого а-о^Х из x-sSc,(xs) сле- дует /(а:)е5.(/(а-о)). 1.1. Доказать, что в определении линейного нормиро- ванного пространства аксиому 1) можно, заменить на ак- сиому: из lla-11 =0 следует х = 0. 1.2. Пусть Хп, х, г/„, yeX (neN). Доказать что: а) если Хп -* х, то а-,. — ограниченная последователь- ность; 10 б) если Хп-*- х, Кп -- К, ^а1= С, то X,i.r„ ->- Кх', в) если .а-,, —- х, то lla-J .->- 1Ы1;. г) если Хп -> х и На-,, — yJ ->- 0, то г/„ -г ж; д) если Хп -'- -г, то Иж,, — г/11 ->- \\х — г/11; е) если ж,, -* а-, г/„ -^ г/, то На-л - г/п11 ->- На; — г/11. 1.3. Доказать, что открытый шар SAxa) — открытое множество, замкнутый шар iS^a'o) ^- замкнутое множест- во и замыкание 5г(а'о) совпадает с Sr(xy). 1.4. Доказать, что djam SAxa) = 2r. 1.5. Пусть Sr(a) с=^в(6)с:Х. Доказать, что г-^R и 1!о-Ы1^Д-г. 1.6. Доказать, что для любых элементов х, у е Х вы- полняется неравенство Иа-11 <$ тах {На- + г/11, \\х — г/11}. 1.7. Доказать, что алгебраическая сумма и объедине- ние двух ограниченных множеств — ограниченные мно- жества. 1.8. Доказать, что множество А <= Х является ограни- ченным тогда и только тогда, когда diam A < °°. 1.9. Доказать, что множество А <= X является ограни- ченным тогда и только тогда, когда для любой последова- тельности Хпе А и любой последовательности Кпе С, стремящейся к нулю, последовательность Кп^п стремится к нулю. 1.10. Пусть А с= X— ограниченное множество. Дока- зать, что .А — ограниченное множество и diamA" = diam A. 1.11. Доказать, что для произвольного множества А с: X множество А' замкнуто. 1.12. Доказать, что для произвольного множества Л с: X имеет место включение (A')'^A', Возможно ли здесь строгое включение? 1.13. Следует ли из А, В<=Х, А.<^5, что А<=Д? 1.14. Пусть А(^ Х — замкнутое множество. Доказать, что р(а:, Л)==0 тогда и только тогда, когда х^А. 1.15. Пусть А, В с: Х—произвольные множества. До- казать, что р(Л, В)=р(А, В)==р(А, J3)=p(J, Б). 1.16. Пусть х е X -- произвольная точка, Л с: X—про- извольное множество. Доказать, что р(а", 4)=-p(a', A). 1.17. Пусть А, В с: X — замкнутые множества. Воз- можно лп, что р(А, В) = 0, если А П В =-0? 1.18. Пусть А <= Х — произвольное множество. Назо- вем границей множества А множество дА таких точек л а X, что любой открытый тар с центром в х содержит хотя бы одну точку из А и хотя бы одну точку из допол- нения к А, Доказать, что дА—замкнутое множест- 11 ЛИТЕРАТУРА 1. Антонович А. Б., Кня а е в П. Н., Р ады ко Я. В. Задачи и упражнения но функциональному анализу.— Минск: Вышэй- шая школа, 1978. 2. В а с и л ь е в Ф. П. Методы решения экстремальных задач,— М.: Наука, 1981. 3. Г е л ь ф а н д И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисле- ние,— М.; Физматгиз, 1961. , 4. Г у р е в и ч А. П., 3 е л е н к о Л. Б. Сборник задач по функци- ональному анализу.— Саратов: Изд-во СГУ, 1973. 5. Д р о б ы ш е в и ч В. И., Д ы м н и к о в В. П., Р и в и н Г. С. За- дачи по вычислительной математике.— М.: Наука, 1980. 6.Дьедонне Ж. Основы современного анализа,—М.: Мир, 1964. 7. К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в • Г. П. Функциональный ана- лиз в нормированных пространствах.— М.: Физматгиз, 1959. 8. К а т о Т. Теория возмущений линейных операторов.— М.: Мир, . 1972. 9. К и р и л л о в А. А., Г в и ш и а н и Л. Д. Теоремы и задачи функционального анализа.— М.: Наука, 1979. 10. К о л л а т ц Л. Функциональный анализ и вычислительная ма- тематика.— М.: Мир, 1969. 11. К о л м о г о р о в А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функ- ций и функционального анализа.— М.: Наука, 1968. 12. Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Ва- риационное исчисление.—М.: Наука, 1973. 13. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Ин- тегральные уравнения.— М.: Наука, 1976. 14. Л оран П. Ж. Аппроксимация и оптимизация.—М.: Мир, 1975. 15. Л ю с т е р н и к Л. А., С о б о л е в В. II, Элементы функциональ- ного анализа.— М.: Наука, 1965. 16. Н а и м а р к М. А., Мартынов В. В. Функциональный ана- лиз.— Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 1970. 17. Рид М., С а и м о н Б. Методы современной математической физики. Том I. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1977. 18. Р у д и н У. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1975. 19. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.— М.: Наука, 1971. 20. Сборник задач по функциональному анализу.— М.: Изд-во МГУ, 1977. 21. Сборник задач по уравнениям математической физики/Под ре- дакцией В. С. Владимирова.— М.: Наука, 1974. 22. С о б о л е в В. И. Лекции по дополнительным главам математи- ческого анализа.— М.; Наука, 1968. 250 23 Соболева Т С. Задачи по функциональному анализу,—М.: ' Изд-во M1IHX и ГИ, 1977. 24. Тихонов А. Н., Ар сени н В. Я. Методы решения некор- ректных задач.—М,: Наука, 1974. 25. Т р е н о г и н В. А. Функциональный анализ.— М.', Наука, 1980. 26. Ф е т Л И. Задачи по функциональному анализу.— Новоси- бирск: Изд-во ИГУ, 1968. 27 Халмош П. Гильбертово пространство в задачах.—М.; Мир, 1970. 28. Ш и лов Г. Е. Математический анализ. Функции одногй пере- менного. Часть 3.— М.: Наука, 1970. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аксиома треугольника 43 Аналитическая оператор-функция 108 Аппроксимация 151, 155 Коэффициент сжатия 136 Кратность характеристического корня 115 Биортогональные системы Линейно независимая система 27 Локальный максимум 186 — минимум 186 — экстремум 186 .Вариационная задача с подвижны- ми границами 188 Вариация оператора 186 Вложение нормированных прост- ранств 22 Вторая производная оператора 128 Гиперплоскость 65 Граница множества 11 График линейного оператора 62 Диаметр множества 9 Дифференциал Гато 186 — Фреше 127' Задача корректная 116 — некорректная 116 Замыкание 9 Метод Галеркина 178 ^- наименьших квадратов 172 — регуляризации 116 — Ритца 173 Метрика 43 Многообразие аффинное 10 — линейное 10 . Множество бикомпактное 81 — всюду плотное 10 — выпуклое 10 — замкнутое 9, 43 — компактное 81 — локально' компактное 82 — меры нуль 33 — нигде не плотное 10 — нулей оператора 46 — ограниченное 9 — открытое 9, 43 — равномерно ограниченное 81 — равностепенно непрерывное 81 — слабо замкнутое 76 Изометричные пространства 22 Изоморфные пространства 22 Иэопериметрическая задача 189 Индекс оператора 96 Интеграл Лебега 33 — Стилтьеса 70 Интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода 114 — — — 2-го рода 116 — — Фредгольма 1-го рода 114 — — — 2-го рода 116 Интегральный оператор Фредголь- ма 115 Интерполяционный многочлен Лаг- ранжа 41 —.сплайн 164 Итерации 136 Квазирешение 93 Конечный подъем 94 — спуск 95 254 Наклон поля 196 Неподвижная точка 136 Неравенство Птолемея 28 — Коши — Буняковского 26 Норма й-линейного оператора 128 — ограниченного линейного опера- тора 46 — элемента 9 Нормы невырожденные 153 — согласованные 153 Область значений оператора 46 — определения оператора 40 Обобщенная производная 34, 182 Обобщенное решение краевой зада- чи 182 Оператор 46 — аналитический 129 — Гильберта—Шмидта 95 — демияепрерывный 178 оператор, дифференцируемый в точке в смысле Фреше 127 — замкнутый 62 — коэрцитивный ITS — левый обратный 59 — линейный 46 — — вполне непрерывный 88 — k-линеиный 127 — — ограниченный 127 — — симметрический 128 — монотонный 177 — нелинейный вполне непрерыв- ный 127 — неотрицательный 102 — непрерывно обратимый 58 — непрерывный 46, 127 — — в точке 46, 127 — нерастягивающий 142 — неявный 146 — нётеров 96 — нормально разрешимый 96 — нормальный 106 — обратный 58 — ограниченный 46, 127 — ортогонального проектирования 57 — правый обратный 59 — проектирования 57 — самосопряженный 102, 123 — — неотрицательный 102 — сжимающий 136 — симметрический 123 — — неотрицательный 123 — сильно монотонный 178 — сопряженный 77 — ft-степенный 128 — строго монотонный 177 — сужения 151 '. — тождественный 51 — унитарный 106 — фредгольмов 96 — Штурма—Лиувилля 123 — ядерный 96 Определитель Грама 27 Ортогонализация 27 Ортогональная система 27 — — многочленов Чсбышева — Ла- гсрра 31 Ортогональный базис 27 Ортонормированная система 27 Отображение непрерывное 10 — — в точке 10 — равномерно непрерывное 10 Отрезок 10 Оценка априорная 156 Параметр регуляризации 116 Подпространство 10 Покрытие множества 81 Поле экстремалей 196 Полная вариация функции 14 Поляра 71 Полярное разложение 107 Пополнение 22 Порядок аппроксимации 151, 152 — точности приближенной схемы 152 Последовательность слабо ограни- ченная 74 — — фундаментальная 74 Предельная точка 9 Р-предельная точка 171 Продолжение оператора 52 Проекция элемента 27 Производная Гато 186 — Фреше 127 Пространство банахово 22 — гильбертово 26 • — евклидово 26 — Лебега 33 — линейное нормированное 9 — метрическое 43 — ограниченных линейных опера- торов 51 — полное 22 — рефлексивное 74 — сеточное 153 — Соболева 34, 182 — сопряженное 65 — строго нормированное 10 — унитарное 26 Прямая сумма пространств 62 Радиус сходимости 128 Разностная схема 158 Расстояние 43 ., . — между множествами 9 — от точки до множества 9 Регулярная точка 107 Резольвента 107 Резольвентное множество 107 Ряд Неймана 141 — Тейлора 129 — Фурье 27 Сингулярные числа 114 Скалярное произведение 26 Собственная функция ядра 115 Собственное значение 107 — поле 195 Собственный вектор 107 Спектр оператора 107 Спектральный радиус 107 Сплайн интерполяционный 164 — кубический 167 — линейный 165 Сумма алгебраическая 10 — прямая 10 Сфера 9 Схема Галеркина 170 — наименьших квадратов 172 — приближенная 151 Сходимость 10, 43 — в среднем 33 — почти всюду 33 — приближенной схемы 152 — равномерная 51 — сильная 51 — слабая 73 — *-слабая 74 Г-сходимость 151 — в среднем 154 — равномерная 154 Е-сеть 81 Тождество Аполлония 28 Угловая точка 188 Угол между элементами 26 Уравнение Эйлера 187 — Эйлера—Пуассона 187 255 Уравнение Якоби 19в Уравнения 1-го рода 89 — 2-го рода 89 Условие аппроксимации 151 — Лежандра 198 — устойчивости 152 Условия Вейерштрасса — Эрдмана 188 — трансверсальности 188 Устойчивость 152 Факторпространство 25 Фундаментальная последователь- ность 22 Функционал 65 — выпуклый 201 — линейный 85 — полунепрерывный снизу 201 — "слабо полунепрерывный снизу 201 Функция Вейерштрасса 196 — Грина 123 —, интегрируемая по Лебегу 33 — неявная 148 — 6 ограниченной вариацией 14 Характеристическое число ядра 115 Центр пучка 198 Центральное поле 196 Число дефектное "6 — нулей 96 — обусловленности 59 Шар замкнутый 9, 43 — открытый 9, 43 Эквивалентные нормы 22 Экстремаль 187 Экстремум функционала 186 — — сильный 167 — — слабый 187 Элемент наилучшего приближения 37 Ядро интегрального оператора lt4 — оператора 48 В.А.ТРЕНОГИН Б.М.ПИСАРЕВСКИЙ Т С. СОБОЛЕВА ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальностям; «Математика», «Прикладная математика» МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ) 98 i