I Печатается по постановлению I едакцаонно-издательского совета Ленинградского университета В сборник входит более тысячи задач и упражне- ний по всем отделам университетского курса обыкно- венных дифференциальных уравнений с кратким изло- жением методов интегрирования, решениями типовых примеров, ответами и указаниями для решения наиболее трудных задач. Сборник рассчитан на студентов университетов. Может быть использован также студентами педагоги^ ческих институтов и вузов с расширенной программой по математике. ОГЛАВЛЕНИЕ Стр Предисловие .......................... f Отдел I. Уравнения первого порядка, разрешенные относи- тельно производной ................... 7 § 1. Введение ........................ — § 2. Уравнение, не содержащее искомой функции . .... 17 § 3. Уравнение, не содержащее независимой переменной ... 28 § 4. Уравнение с разделяющимися переменными ....... 40 § 5. Однородное уравнение и простейшее уравнение, приво- дящееся к однородному ................. 47 § 6. Обобщенное однородное уравнение ........... 59 § 7. Линейное уравнение ................... 61 § 8. Уравнение Бернулли .................. 70 § 9. Уравнение Дарбу ......... ........... 73 § 10. Уравнение Риккати . . .......... 75 § 11. Уравнение в полных дифференциалах .......... 78 § 12. Интегрирующий множитель ............... 81 § 13. Вопросы и задачи для повторения ........... .85 Отдел II. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной ................. 91 § 1. Введение ........................ — § 2. Уравнение /г-ой степени ................. 92 § 3. Неполные уравнения .................. 96 § 4. Уравнения Лагранжа и Клеро .............. 99 § 5. Другие уравнения, разрешимые относительно у или х . 104 § 6. Задача о траекториях ........... ....... 107 § 7. Вопросы и задачи для повторения ............ 110 Отдел III. Уравнения высших порядков ........... 113 § 1. Введение ....................'.... — § 2. Уравнение, содержащее только независимую переменную и производную порядка п ................ 118 <> 3. Уравнение, не содержащее искомой функции и последова- тельных первых производных .............. 123 § 4. Уравнение, не содержащее независимой переменной . . . 128 Оглавление § 5. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных ..................... 131 § 6. Обобщенное однородное уравнение . . ...... 132 § 7. Уравнение, левая часть которого есть точная производная . 134 § 8. Вопросы и задачи для повторения ............ 137 Отдел IV. Линейные уравнения высших порядков ..... 140 § 1. Введение •••••••••••••••„•••••••• ,~ § 2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами . . 145 § 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами .......... .^ ••••• .... 160 § 4. Понижение порядка линейных уравнений ........ 165 § 5. Интегрирование при помощи степенных рядов ... . 170 •§ 6. Вопросы и зад»чи для повторения ............ 179 Отдел V. Системы обыкновенных дифференциальных урав- нений ........•...•••••••••-•••-•• 1^ § 1. Введение ...........••••••••••••• ~ § 2. Общие методы интегрирования систем дифференциальных уравнений .............•••••••••• 193 § 3. Линейные системы ................... 200 § 4. Интегрирование линейных систем при помощи степенных Т)ЯДОВ ........•••••••••••••••••• §'5. Матричный метод интегрирования линейных систем ... 233 §дб. Вопросы и задачи для повторения ............ 230 0',тдел VI. Линейные уравнения с частными производными первого порядка ......'............•••. 234 § 1. Введение ..................... — § 2. Однородное уравнение ................. 237 § 3. Неоднородное уравнение . . ............. 1241 § 4. Вопросы и задачи для повторения ............ 244 Отдел VII. Разные задачи ......... 247 Ответы .................... ......... 256 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящий „Сборник" содержит задачи по университет- скому курсу дифференциальных уравнений в объеме программы, утвержденной Министерством высшего образо- вания СССР. Значительная часть этого „Сборника" может быть использована в педагогических институтах и в техни- ческих высших учебных заведениях. Он может быть также использован студентами-заочниками и лицами, самостоятель- но изучающими теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. „Сборник" состоит из семи отделов. Каждый отдел (кроме последнего) начинается вводным параграфом, в котором кратко излагаются основные понятия и определения, а также общие вопросы, относящиеся к задачам этого отдела. Затем идут параграфы, в которых содержатся уравнения опреде- ленного типа. Каждый из этих параграфов состоит из крат- кого изложения методов интегрирования уравнений рассмат- риваемого вида, решенных примеров и задач для самостоя- тельного решения. В конце отдела приводятся вопросы и задачи для повторения. Все определяемые понятия и формулировки теорем выделены курсивом. Для логического ударения используется разрядка. Этот „Сборник" составлен на основании опыта проведения практических занятий по курсу обыкновенных дифферен- циальных уравнений на математико-механическом факультете Ленинградского Государственного университета. С целью облегчения использования „Сборника" студен- тами-заочниками и лицами, самостоятельно изучающими Предисловие теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, я вклю- чил в „Сборник" краткое изложение основных теоретиче- ских сведений, знание которых необходимо для сознатель- ного решения примеров и задач. С этой же целью, наряду с кратким изложением методов интегрирования, я рассматриваю большое количество под- робно решенных примеров, иллюстрирующих эти методы и выявляющих свойства решений. Вопросы и задачи для повторения, включенные в „Сбор- ник", содержат минимальный объем требований, предъяв- ляемых обычно на зачете по обыкновенным дифференциаль- ным уравнениям и могут быть использованы для само- контроля. Задачи, помещенные в последнем отделе „Сборника", либо являются дополнительными к соответствующим зада- чам предыдущих отделов, либо выходят за рамки этих отделов. В последнем случае даны указания для их ре- шения. При составлении „Сборника" использована следующая литература: Н. М. Гютнер и Р. О. Кузьмин. Сборник задач по высшей математике, том II. Л.—М., Физматгиз, 1958. Л. И. К рее р. Сборник упражнений по дифференциаль- ным уравнениям. М., Гостехиздат, 1940. Н. М. Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. ЛГУ, 1955. И. Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Гостехиздат, 1952. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. II, М., Гостехиздат, 1957. В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1958. Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения. М., Гостехиздат, 1957. Убедительно прошу всех читателей сообщить в адрес Издательства о всех замеченных недостатках „Сборника". Н. М. Матвеев ОТДЕЛ 1 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ § 1.ВВЕДЕНИЕ 1е. Понятие об обыкновенном дифференциальном урав- нении первого порядка, разрешенном относительно производной, и его решении. Обыкновенным дифферен- циальным уравнением называется равенство, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию у и ее производные у', у",. .., У00: F{x, у, у', Г,..., /"')=0. (1) Функцию /•', как и вообще все рассматриваемые в этом задачнике функции, всюду, где не оговорено противное, мы предполагаем вещественной функцией от своих аргу- ментов, которые тоже предполагаются вещественными. Порядок старшей производной, входящей в состав урав' нения (1), называется порядком этого уравнения. Если уравнение (1) может быть приведено к такому виду, в котором левая часть есть целая рациональная функ- ция (полином) относительно всех входящих в него произ- водных, то наивысшая степень старшей производной назы- вается степенью уравнения. Решением уравнения (1) называется функция у==ср(х), обращающая это уравнение в тождество. График решения на плоскости (х, у) называется инте- гральной кривой. Процесс нахождения решений называется интегрирова- нием дифференциального уравнения. Задача интегри- рования дифференциального уравнения со- стоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств. Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной Уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной (уравнение первого порядка и первой степени), имеет вид: dJL=f^ У). (2) Относительно правой части этого уравнения мы будем всегда предполагать, что она однозначна и непрерывна. Наряду с ним рассматривают так называемое перевернутое уравнение: dx _ 1 (У) ay f(x,y) ' \ 1 используя его в окрестности тех точек, в которых f(x, у) обращается в бесконечность. Отметим другие записи уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Уравнения (2) и (2') можно заменить равносильным им уравнением dy—f(x, y)dx=0. (3) К уравнениям вида (2) и (2') приводятся также урав- нение М(х, y)dx+N(x, y)dy=0 (4) и так называемое уравнение в симметрической форме: dx _ dy (5) Х(х,у) ~ Y(x,y) • Решением дифференциального уравнения (2) на некото- ром интервале (а, Ь')* изменения независимой переменной х называется функция у==у(.<), определенная и непрерывно дифференцируемая (т. е. имеющая непрерывную производ- ную) на этом интервале и обращающая уравнение (2) в тождество, справедливое для всех значений х из интер- вала (а, Ь). При этом, конечно, предполагается, что точки [х, f (х)} лежат в области задания функции f(x, у). Например, для уравнения У =-7 (6) функция ____ y==YT^x2 (7) будет решением в интервале (—1, +1). * Этог интервал может быть как конечным, так и бесконечным • одну или об- ск-роны. Он может быть также замкнутым (с одного или с обоих концов). Эю замечание относительно интервала задания решения нужно иметь в виду и впредь. § I. Введение Решение может быть задано в неявном виде Ф(;с, у)=0. Так, уравнение (6) имеет решение: ^+^=1. (8) (9) Решение может быть задано также в параметрической форме: x=^(t), y='b(t). (10) Например, уравнение (6) имеет решение: \x=cost, y= sint. (11) Решения уравнения (2') присоединяются к решениям уравнения (2). Решением уравнения (4) называется функция у=-У{х)- или х==х(у\ обращающая это уравнение в тождество. Все интегральные кривые являются гладкими кривыми. т. е. они имеют непрерывно изменяющуюся касательную. У 1"\ 'Г^' i,••','^/\1\ \\1,1 /11 ы'^,,/\ :;-' ш'^// // /^ "I///^ о х Рис. 1. 2°. Поле направлений. Если рассматривать дифферен- циальное уравнение в виде (2) и обозначить через а угол между касательной к интегральной кривой у=ср(л:) в точ- ^ (х, у) и положительным направлением оси Ох (рис. 1), то, принимая во внимание, что iga=y', a y'==f{x, у), мы будем иметь igo.==f[x, у), так что направление каса- тельных к интегральным кривым задается са- мим дифференциальным уравнением. Проведя в каждой точке (х, у) из области задания функции f(x, у) отрезок (для определенности) единичной длины с центром в этой точке, образующий с положитель- ным направлением оси Ох угол ее, где tga=f(x, у), полу- чим так называемое поле направлений. Если в точке (х^, у») правая часть уравнения (2) обра- щается в бесконечность, то направление поля парал- 10 Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной лелыю оси Оу. В этом случае нужно использовать перевернутое дифференциальное уравнение (2'). Если же в точке (Хц, у у) функция f(x, у) обращается в о неопределенность „, то говорят, что в этой точке поле не определено. Такую точку будем называть особой точкой дифференциального уравнения (2). Если при этом существует интегральная кривая у== у (х) [х=х(у)\, обладающая свойством у{х)->уц при х ^ Хц, [х (у) -> Хц пу-яу-^Уц}, то говорят, что она примыкает к точке (Хц, уо). В рассматриваемом случае само уравнение (2) не указывает наклона касательной в точке (Ху, уц) к ин- тегральной кривой, примыкающей к этой точке. Это обстоя- тельство порождает особенности поведения интегральных кривых в окрестности особой точки (Хц, у,), обусловленные аналитической структурой правой части уравнения (2). Изучая поле направлений, определяемое заданным диф ференциальным уравнением, мы получаем некоторое пред- ставление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые. Например, из рассмотрения соответствующих полей на- правлений ясно, что интегральными кривыми уравнения dУ-=:L (w dx x \-"' являются полупрямые (рис. 2): у=Сх(х+0), х=0 (у^О) (13) {С—любое постоянное число), а интегральными кривыми уравнения (6) служат окружности с центром в начале коор- динат (рис. З): ^+у^=С3. . (14) В точке (0, 0) поле, определяемое уравнениями (6) и (12), не задано. Из (13) и (14) ясно, что все интегральные кри- вые уравнения (12) примыкают к точке (0, 0), в то время как в случае уравнения (6) ни одна из интегральных кри- вых не примыкает к ней. Если дифференциальное уравнение задано в виде (4), то поле, определяемое этим уравнением, не определено в точке (Хц, у о), в которой функции М{х, у) и N(x, у) одновременно обращаются в нуль. Эту точку будем называть особой точкой рассматриваемого уравнения. При изучении поля направлений особый интерес пред- ставляют изоклины — линии, во всех точках которых на- правление поля одно и то же. Так, для уравнений (6) и (12) § 1. Введение изоклинами служат полупрямые, выходящие из начала координат. Изоклинами уравнения у'=х^+У (15) [У 4 У^- "'-'fi ^ Г Рис. 2. являются окружное ги х'- + у'2 == Д", так что, например, все интегральные кривые этого^уравнения в точках пересечения У ^— "^ d /г /^"/''' / ^ ^. •f \ \ \ ^ •>7/ \ \ S. ^ /-// s, —— - ^ Рис. 3. с окружностью х2 4- у2 = 1 наклонены к оси Ох под углом -^- (рис. 4). Из вида правой части уравнения (15) ясно, что интеграль- ная кривая, проходящая через начало координат, касается в этой точке оси Ох. Очевидно также, что каждое решение уравнения (15) есть возрастающая функция от х (во всем интервале существования решения). Таким образом, интегральная кривая, проходящая через начало координат, имеет вид, указанный схематически на рис. 4. В простейших случаях удается по виду правой части уравнения (2) найти линию экстремумов и линию точек 12 ©г согласно теореме Пеано, имеет решение, если точка (Ху, у,) лежит в области задания и непрерывности пра- вой части этого уравнения. Единственность решения только при одном этом условии не гарантируется. Чтобы гарантировать не только существование, но и единственность решения задачи Коши, достаточно, согласно теореме Пикара, предположить дополнительно, что правая часть уравнения (2) удовлетворяет условию Липшица относительно у в некоторой окрестное ги начальной точки {Ху, уо), в частности, что она имеет в этой окрестности ограниченную частную производную по у. Например, так обстоит дело, если правая часть уравне- ния (2) есть полином относительно л: и у. При этом начальную точку (Ху, уо) можно выбирать произ- вольно. Единственность решения задачи Коши также заведомо имеет место, если функция f(x, у) есть полином только относительно у, причем коэффициенты этого полинома суть непрерывные функции от х. Но при этом только ^в можно задавать произвольно, а Хц должно лежать внутри интервала непрерывности коэффициентов. Если уравнение имеет вид (4), где М и N суть поли- номы, то существует единственное решение с начальными данными Ху, уп, если в точке (Ху, уу) функции М и N не обращаются одновременно в нуль. Точки (Ху, Уо), в которых f(x, у) непрерывна, а -^ обращается в бесконечность, будем называть особыми точ- ками уравнения (2). В этих точках может быть нарушена единственность решения задачи Коши. Например, для урав- нения 14 Отд. 1. Уравнения, разрешенные относительно производной у- =2 У у (21) такими точками будут все точки оси Ох (у =0). Решение задачи Коши стараются найти в элементарных функциях или в квадратурах от элементарных функций. В тех случаях, когда это не удается, приходится искать решение в другом виде или прибегать к приближенным ме'юдам решения. 4°. Общее решение. Общее решение в форме Коши. Общий интеграл. Общее решение в параметрической форме. Функция у==^(х. С), (22) определенная в некоторой области изменения переменных л- и С и имеющая частную производную по х, называется общим решением уравнения (2) в заданной области D из- менения переменных х и у, в каждой точке которой реше- ние задачи Коши существует и единственно,* если равен- ство (22) разрешимо в области О относительно произвольной посто- янной С, так что мы имеем: С=^(х, у) (23) Рис. 7. и, если функция (22) является ре- шением уравнения (2) при всех значениях произвольной постоян- ной С, доставляемых формулой (23), когда точка (х, у) пробегает об- ласть D. Например, для уравнения (21) общим решением в области будет \х <+"°, 0 <_у < + °° у = (х + С)2, х > - С. (24) (25) Это — правые ветви парабол с вершинами на оси Ох и осями симметрии, параллельными оси Оу (рис. 7). Чтобы найти решение уравнения (2) с начальными дан- ными Хц, уу из области D при помощи формулы общего решения (22) поступают так: 1) подставляют в формулу (22) вместо х и у числа д'о и У»: Уо=У(^о, С). (26) * D есть вся область существования и единственности для уравне- ния (2') или ее часть. § 1. Введение 15 2) решают уравнение (26) относительно С. Находят С=Со. 3) подставляют найденное значение С в формулу (22): у=^(х, Со). (27) Это и есть искомое решение. Оно будет единственным. Общее решение .у=у(х, Ху, у»), (28) в котором роль произвольной постоянной играет начальное значение Уо решения у=у(х) при фиксированном значе- нии Хц независимой переменной х, называется общим реше- нием в форме Коши. Если общее решение уравнения (2) задано в неявном виде Ф(х, у, С)=0 или ^(х, у)==С, (29) то оно называется общим интегралом этого уравнения. Так, для уравнения (6) общим интегралом будет соотноше- ние (14). Если общий интеграл уравнения (2) записан в виде ^ (х, у)=С, то функция ф называется интегралом этого уравнения. Если функция (22), дающая общее решение уравне- ния (2), задана в параметрическом виде x=^(t. С), у=-Н^, С), (30) то (30) называется общим решением уравнения (2) в пара- метрической форме. Например, для уравнения (6) об- щим решением в параметрической форме будет: x=Ccost, у = С sin t. (31) Если дано однопараметрическое семейство кривых, на- пример, в виде (22), то, дифференцируя его по л: и исклю- чая ид полученного уравнения и уравнения (22) параметр С, мы получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение первого порядка. Это дифференциальное уравнение назы- вается дифференциальным уравнением данного семейства кривых. 5°. Частное решение. Решение, в каждой точке которого сохраняется единственность решения задачи Коши, т. е. через эту точку в достаточно малой окрестности ее прохо- дит только одна интегральная кривая, называется частным решением. Если (22) есть общее решение уравнения (2) в области D, то всякое решение, содержащееся в форму- ле (22), при конкретном (допустимом) числовом значении !б Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной произвольной постоянной С, является частным решением. При этом не исключаются и значения С-= ± со. 6°. Особое решение. Решение, в каждой точке которо- го нарушается единственность решения задачи Коши, назы- вается особым решением. Особое решение очевидно не содержится в формуле общего решения ни при каком числовом значении произвольной постоянной, включая С=±сю. Особое решение вида y==0, и убывающую, когда /(-^)<0. Если f(x) обращается в нуль в некоторой точке х = с из (о, Ь) и имеет противоположные знаки при х < с и х>с, то каждая интегральная кривая уравнения (1) будет иметь в точке х==с экстремум, так что прямая х=с будет ли- нией максимумов или линией минимумов ин- тегральных кривых. Предположим, что f(x) дифференцируема в (а, Ь). Если при этом // (х) сохраняет знак, то каждая интегральная кривая имеет одно и то же направление вогнутости во всех точках интервала (а, Ь). Если же /' (х) обращается в нуль в некоторой точке х == d из (а, Ь) и имеет противополож- ные знаки при х < d и х > d, то каждая интегральная кри- вая уравнения (1) будет иметь в точке х = d перегиб, так что прямая x-==d будет линией точек перегиба ин- тегральных кривых. 4°. Примеры. 1. Пусть дано уравнение ^=^. (9) Правая часть непрерывна при всех значениях х. Функция у==^+С (10) есть общее решение уравнения (9) в области \х\ < +°°, \У\< -г00. (11) § 2. Уравнение, не содержащее у 21 Особых решений нет. Общим решением (в той же области) в форме Коши будет х у= Сз-^йх+Уо или У=х'1 —х^+уо. (12) -t'o В частности, если взять Ху==0, то получим у == х'6 + Уо, что совпадает с (10) с той лишь разницей, что здесь вместо С стоит у„. Решение (12), очевидно, является непрерывной функцией от х, Xft и уп при всех х, Ху, у„. Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям: у==2 при х = 1. Так как точка (1,2) лежит внутри области (11), то существует единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям (13). Эго решение частное. Его можно най- ти, используя обычную формулу общего решения (10) или общее решение в фор- ме Коши (12). Подставляя в (10) л'==1, у=2, находим С==1, так что искомым решением будет у == х3 + 1. Полагая в формуле (12) Хц=:\, Уу =2, получаем: х у= [Зх^+З или y=xз+ 1. (14) (13) Рис. 11. Интегральные кривые (рис. 11) получаются из кубиче- ской параболы у = х3 сдвигом параллельно оси Оу. Они не имеют экстремумов, ибо правая часть уравнения (9) хотя и обращается в одной точке х==0 в нуль, но сохраняет один и тот же знак во всех других точках, вследствие чего интегральные кривые возрастают во всей области определе- ния. Так как // (х) ==6х обращается в нуль в точке х=0 и меняет знак при переходе через нее, то каждая инте- гральная кривая имеет в этой точке перегиб, так что ось Оу будет линией точек перегиба интегральных кривых. 2. Рассмотрим уравнение &='-- cs) Правая часть, так же как и в предыдущем примере, определена и непрерывна в области (11). Общим решением в этой области будет 22 Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной (16) Особых решений нет. Интегральные кривые (рис. 12) не имеют ни точек экстремума, ни точек перегиба. Каждая интегральная кри- вая имеет свою горизонтальную асимптоту. Например, для интегральной кривой у=—e~x горизонтальной асимптотой будет ось Ох. 3. Для уравнения , -^=s^г^ ну) \у dx х ' \ ' где мы считаем, что при д:==0 пра- вая часть равна 1, общим реше- нием в области (11) будет sin х , , ^, —^- dx + С, ^J или (в форме Коши) (18) I'sin.x , . У = —^- dx + уо. Рис. 12. (19) Особых решений нет. В элементарных функциях общее решение не выражает- ся. Все решения определены и непрерывны при всех значе- ниях х. Прямые x=k-.(k== ± 1, ±2,...) являются линиями экстремумов интегральных кривых, ось Оу—линией точек перегиба. Из формулы (19) видно, что каждая интегральная кривая имеет свою горизонтальную асимптоту, так как lim у=|-+Уо, nm У^—^-.+Уо-' »--» -L лп •" t- -^__ ^д " (20) В частности, горизонтальными асимптотами кривой, проходящей через начало координат, y=±f. 4. Возьмем уравнение dy _\_ dx ~ х ' интегральной будут прямые (21) * Ибо t sln,x- dx == -" (см. Г. М. Фихтенгольц. Основы мате- ^) Л /• о магического анализа, т. 2. М., Гостехиздат 1957, стр. 134). § 2. Уравнение, не содержащее у 23 Правая часть его определена и непрерывна в каждом из интервалов (—со, 0), (0, +^) и обращается в бесконечность при х = 0. Формула (рис. 13) у=Ы\х\+С (22) дает общее решение уравнения (21) в каждой из областей — со < ^ < О, | у | < + ~ (23) и 0<х<+ ~, |.vi<+ (24) Прямая х==0 является решением перевернутого уравне- ния и притом частным (почему?). Она является асимпто- той интегральных кривых уравнения (21). 5. Рассмотрим уравнение dy_ __ _J__ 'd-x- ~ /"Г^х2 • Рас. 13. Рис. 14. (25) Правая часть определена и непрерывна в интервале (—1, +1). Общим решением в области И<1, Ы<+~ (26) будет (рис. 14): ^=arcsinx+ С. (27) Правая часть уравнения (25) обращается в бесконечность при х= ± 1. Прямые х== + 1 — особые решения уравне- ния (25) (почему?). Они являются огибающими семей- ства (27). 6. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых у = Vx+ С. (28) Дифференцируя обе части по х, получаем: (29) dy _ 1_ ~dx~~i^x ' 24 Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной Это и есть дифференциальное уравнение семейства (28). Интегральными кривыми этого уравнения будут кривые данного семейства (28) и их огибающая х==0 (рис. 15), которая является особым решением уравнения (29). 7. Найти кривые, у которых тан- генс угла а между касательной и по- ложительным направлением оси Ол равен абсциссе точки касания. Выде- лить интегральную кривую, проходя- щую через начало координат. Пусть y==tp(n)—уравнение ис- комой кривой (рис. 16). Тогда tgm=y. По условию задачи имеем: tgn==x. Заменяя tga на у', приходим к дифференциальному уравнению на- шей задачи: Рас. 15. Его общим решением будет dy_ dx ••X. (30) х- (31) Оно определено на всей плоскости и представляет собой семейство парабол с вершинами на оси Оу (рис. 17). Чтобы y-yfz; a. njAa ~^г Рас. 16. Рис. 17. выделить интегральную кривую, проходящую через начало координат, полагаем в (31) х == 0, у==0. Получим С == 0, и. следовательно, искомой кривой является парабола г2 (32) У= 2 • 8. Найти закон движения точки по оси Ох, если ско- рость движения есть заданная функция времени f(t) и в момент времени t=to точка занимает положение х==Хц. § 2. Уравнение, не содержащее у 25 dx (it Обозначим положение точки в момент времени t через х. Тогда дифференциальным уравнением задачи будет //к (33) Записывая общее решение в форме Коши, находим, что искомым законом движения будет t x=^f(t)dt+x,. (34) Проинтегрировать уравнения: 1. y'^ws^x. 3. у == sin3 x. 1 2. у ix 5. у': 7. /=- (l+x^'l'' X ~\ +JC2+-/TF^ 9. y'^x^e3'. 11. У'=^у 13. y'=shx. 15. /=—J==~. •r /4 _ ^ 17. y'==v:[gx. 4. /==————. \+Vrx 6. у' = Y\ — х2. 8. y'=xcosx. 10. у' = 2^ cos x. 12. y'==sinn:cos3x- 14. у' ' X'- — 1 • 16. /== -/"^2—1 18. у'=^. •ех х ' 20. у'= 22. у' = 19- У—тгг- 21. у' 1 In х 2 24. y^ln^l. 9R ^,•—}ft±ъc-=-{— -"• У —{х+\)(^+\)- 23. у' == X -/Х* — \ х 25- У'=ХЗ-Г 27 у'--^2-^2- —• •у — (а2-х2)з • Указание. Воспользоваться формулой Остроградского- 28. у'=\х . 29. y'==cos^. 26 Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной Проинтегрировать следующие уравнения и выделить ин- тегральную кривую, проходящую через заданную точку ^ (Ху, -У»)» выяснив предварительно вопрос о существовании и единственности ее: 30. у'== - 2xe-x'•, 7И(0, 1). 31. У=—; ^, о). ' те sin -t ' У' 32. у'==-—, М(\, 1), 7И(-1, -1), М(0, 1). 33. /=^; ЛГ(0,0). 34. у' = ; Л1(0,-1), ^(0,1), М(\,0). ^Г=^2 ' 35. y'==e-^; M(0,0). Найти решение вида х=а: 1 36. у'= 38. у= 40. У= COS2.X ' 1 37. у': lVx^\ ' l х—\ • s\n"x 39. y'=ex. 1 41. у': y'2 - х'1 ' Найти горизонтальные и вертикальные асимптоты ин- тегральных кривых, проходящих через заданную точку ^ (-<•(), Уо): 42. у= -2^-^; Af(0, 1). 43. У=1^; ^(0,0). 44. У=-^-; ^(1,1). 45. у=^;Ж(1,0). 46. /=е-^; УИ(0,0). 47. у': ^-; ЛГ(0,0). Исследовать поле направлений, определяемое следующи- ми уравнениями (установить область задания уравнения, указать области возрастания и убывания решений, найти § 2. Уравнение, не содержащее у 27 линии экстремумов, установить направление вогнутости, найти линии точек перегиба), и построить графики решений: 48. у'==0. 50. у'=-1. 52. у^^х. 54. у' = - 2хе-^ 56. У^ГТ^ 58. у'=-^. 49. У=1. 51. у'=2х. 53. у'==5х^. 55. у' = е-^ . 57. /=-^ 59. у' = 2 / | х | Составить дифференциальное уравнение заданного семей- ства кривых. Какое характерное свойство кривых заданного семейства выражает полученное дифференциальное уравне- ние? Совпадает ли семейство интегральных кривых с задан- ным семейством кривых? 60. 61. y==У\-x2+C. 62. y=ln;c+C. Решить задачи: 63. Найти кривую, для которой сумма длин отрезка касательной и подкасательной пропорциональна про- изведению координат точки касашя. Указание. Воспользоваться фор- мулами длин отрезка касательной ТМ и подкасательной ТР (рис. 18): ТР=^-, У' тм= ;-,1/ТТ7 Рис. 18. 64. Найти кривые, у которых тан- генс угла между касательной и положительным направ- лением оси Ох обратно пропорционален абсциссе точки касания. 65. Найти зависимость пути s от времени t в равномер- ном прямолинейном движении со скоростью Vy, если s==Sg при t = ty. Указание. Составив дифференциальное уравнение движения, воспользоваться общим решением в форме Коши. 66 Материальная точка М массы m находится на абсо- лютно твердой и несгибаемой кривой АВ, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью <". 28 Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной Найти уравнение кривой АВ, если точка М находится в равновесии в произвольном положении на этой кривой. Указание. Пусть Оу—ось вращения. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы направление равнодействую- щей сил, действующих на точку (силы тяжести—gx и центробежной силы тш^х), совпадало с направлением нор- мали к кривой в точке М (х, у). § 3. УРАВНЕНИЕ, НЕ СОДЕРЖАЩЕЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1°. Общий интеграл. Для уравнения, не содержащего независимой переменной S-m о) перевернутым уравнением будет dx__1 /,,v dy~f(yy \- ' Уравнение (Т) не содержит искомой функции х, и к нему применимо все сказанное в § 2 относительно уравне- ний такого типа. Предположим, что /Су) непрерывна в интервале (с, о?) и не обращается в нуль в этом интервале. Тогда правая часть уравнения (Г) будет непрерывной функцией от независи- мой переменной у в интервале (с, d), вследствие чего (§ 2) x-^fЪ)dy+c (2) будет общим решением уравнения (Г) в области | 5 !,, c'==^ будет, очевидно, реше- нием уравнения (1), так как, подставляя у=т) в уравнение (1) мы получим тождество 0=0. Это решение может оказаться особым. Решение y==f\ является либо огибающей, либо асимптотой семейства интегральных кривых, образующих общий интег- рал. В первом случае решение y^=f\ будет особым, во вто- ром — частным. 3°. Непосредственное интегрирование уравнения (1). Общий интеграл и особые решения уравнения (1) можно найти и не обращаясь к перевернутому уравнению. Для этого, умножив обе части уравнения (1) на dx, перепишем его в виде dy=f(y)dx. (5) Разделив обе части этого уравнения на /(у), получим: у^==^[/(у)=0?1. (6) В скобках мы указываем для памяти то уравнение, которое следует рассмотреть после интегрирования (6), ибо, деля обе части уравнения (5) на /(у), мы могли потерять те ре- шения этого уравнения, которые обращают делитель /(у) в нуль.* Интегрируя уравнение (6), получаем: \7^-^С. (7) Полученное соотношение и представляет собою общий ин- теграл уравнения (1). Рассмотрим теперь уравнение /(у)=0. Если оно имеет вещественные решения вида y=f], то последние могут оказаться особыми решениями. Во всяком случае других особых решений у уравнения (1) быть не может. * Уравнение (1) заведомо не имеет особых решений, если функци» f(y) непрерывно дифференцируема. 30 Отд. 1. Уравнения, разрешенные относительно производной Заметим, что дифференциальное уравнение (1) с началь- ными условиями у=Уо при х==Хц (8) равносильно следующему интегральному уравнению: (9) Здесь неизвестная функция у входит под знак интеграла. 4°. Поле направлений. В точках прямой у=Ь направ- ление поля, определяемого уравнением (1), одно и то же, tg д ==/"(&), так что каждая такая прямая является изокли- ной. Вследствие этого все интегральные кривые получаются из любой из них сдвигом параллельно оси Ох. Если уравнение /(у)=*0 имеет вещественные решения у == -ц, то прямые у =ч\, будучи интегральными кривыми, разбивают плоскость (х, у} на полосы, в каждой из которых интегральные кривые имеют один и тот же характер пове- дения в отношении возрастания и убывания, причем интег- ральная кривая не может переходить из одной полосы в другую, если все решения у==ч\ частные. Если же уравнение f(y) = 0 не имеет вещественных кор- ней, то интегральная кривая, проходящая через любую точку плоскости, возрастает, если/(у) > 0, и убывает, если/(у)<0. 5° Уравнение вида ^==/(ал: + by). Это уравнение при- водится к уравнению, не содержащему независимой пере- менной, при помощи подстановки z=ax+by, (10) где г—новая неизвестная функция. Действительно, так как z'=a+by', то z'=a+bf(2). Это уравнение вида (1). 6°. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение (11) Правая часть определена и непрерывна при всех значе- ниях у и не обращается в нуль, Так как при этом она го- ложительна, то все интегральные кривые возрастают при всех значениях х, при которых они определены. Перевернутое уравнение -^= ' , (1Г) dy I +.y2 § 3. Уравнение, не содержащее х 31 имеет общее решение в области х == arctgy + С \У\< +0°, \Х\< + 00. (12) (13) Следовательно, формула (12) дает общий интеграл урав- нения(П). Общим решением уравнения (11) будет С,<х<^-С,}. (14) Особых решений нет. Мы придем к тем же результатам, если будем интегри- ровать уравнение (11) способом, указанным в п. 3°. Действи- тельно, умножая обе части уравнения (11) на dx и деля на 1+ у2, получим: 1-^7=^. (15) При этом мы не теряем решений уравнения (11), ибо дели- тель 1 + у3 не обращается в нуль ни при каком веществен- ном значении у. Интегрируя уравнение (15), находим: arctgy=x+C. (16) Это и есть общий интеграл уравнения (11). Общим интег- ралом в форме Коши будет у [ Г^з === л'—-^о или arctgy—arctgyo=x—;Ce. (17) у» Особых решений нет, ибо нет даже кривых, подозрительных на особое решение, так как при переходе от уравнения (11) к уравнению (15) мы не теряем никаких решений уравне- ния (11). Найдем решение с начальными условиями у = 0 при х=0. Полагая в (16) х==0, у = 0, имеем С==0, так что искомым решением будет arctgy==x или y=igx(—^-<.x<^-\. (18) V " "/ К этому же решению мы придем, воспользовавшись форму- лой общего интеграла в форме Коши. Действительно, пола- гая в формуле (17) л:о==0, Уо = 0, получаем снова решение (18). Прямые х= ± ^- являются асимптотами этого решения (рис.19). 2. Возьмем уравнение Й-=1-У2. (19) 32 Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной Правая часть определена и непрерывна при всех значе- ниях у, но обращается в нуль при J/= ± 1. Будем интег- рировать уравнение (19) методом, указанным в п. 3°: dy (20) .Поэтому y-l (21) есть общий интеграл уравнения (19). Решая уравнение 1—yз=0, находим з/==±1. Прямые у=+1 являются частными решениями. Интегральные кривые, лежащие внутри полосы |у|<1, возрастают, лежащие вне—убывают. х Рис. 19. Рис. 20. Решения у=-±1 являются асимптотами интегральных кривых (21) (рис. 20). 3. Рассмотрим уравнение (22) Здесь правая часть определена и непрерывна в проме- жутке [—1, +1], причем на концах этого промежутка она обращается в нуль. Интегрируя уравнение (22), имеем: dy ==dx (^1-^=0?), (23) /1-.y2 так что общим интегралом уравнения (22) будет arcsin у == х + С, (24) откуда у = sin (л: + С) (—^ —С<х<-^-С\. (25) § 3. Уравнение, не содержащее х. 33 Из уравнения У'l—y2=0 находим прямые у==± 1. Эти прямые являются особыми решениями, так как они пред- ставляют сибой огибающие семейства интегральных кривых, входящих в общее решение (25) (рис. 21). 4. Изучить поле направлений, определяемое дифферен- циальным уравнением Й=У' (26) и построить семейство интегральных кривых. Рас. 21. Рас. 22. Прямые вида у=Ь—изоклины (рис. 22). Изоклина у==0 является интегральной кривой. В верхней полуплоскости интегральные кривые возра- стают, в нижней — убывают. Исследуем направление вогнутости интегральных кри- вых. Дифференцируя обе части уравнения (26), имеем у"=у' или, принимая во внимание уравнение (26), у"==у. Отсюда ясно, что в верхней полуплоскости интегралььые кривые вогнуты вверх, а в нижней—вниз. Интегрируя уравнение (25), имеем: ^^dx (y=0?), 1п|у|=.с+1п|С, \y\=\C\ex, у= ±Cex, откуда получаем общее решение: у = С.^ (С, = ± С). (27) Из этой формулы общего решения легко видеть, что все отмечен ые выше свойства интегральных кривых имеют место. Кроме того видно, что интегральные кривые не могут пересекать ось Ох. Сама ось0^(у==0) является решением Уравнения (26) и притом частным (почему?). Она представ- ляет собой горизонтальную асимптоту всех других интег- ральных кривых уравнения (26) (рис. 23). 3 Н. М. Матвеев 34 Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной 5. Составить дифференциальное уравнение семейства показательных функций у == Се^, (28) где ^—заданное число, а С—параметр семейства. Дифференцируя обе ча- сти равенства (28) по х, имеем: у' = kCe^. (29) Заменяя Cekx на у, полу- чаем: y'=ky. (30) Рис. 23. Это и есть искомое диффе- ренциальное уравнение. Его. решениями будут все пока- зательные функции (28) и функция у = 0, содержа- щаяся в формуле (28) при С==0. Общее свойство всех этих функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению, а следовательно, и общее дифференциальное свойство всех покагательиых функций (28) состоит в том, что скорость изменения каждой функции пропорциональна з ачению самой функции. Именно этим объясняется тот факт, что законы многих процессов выра-. жаются в виде показательной функции. Таков, например, закон распада радия, рассматриваемый ниже, в примере 8. 6. Составить дифференциальное уравнение семейства полупарабол у=(х+ С)2, х>-С. (31) Дифференцируя обе части уравнения (31) по х, получаем: У == 2 (х + С). (32) Исключим С из уравнений (31) и (32). Из уравнения (31) находим x-\-C-=Yy (радикал берем с положительным зна- ком, ибо, согласно условию, х 4- С > 0;. Подставляя най- денное значение х + С в равенство 1,32), получаем диффе- ренциальное уравнение /-2 Уу:\ (33) Общее свойство всех интегральных кривых, выражаемое этим уравнением, а следовательно, и общее свсйс1во всех полупарабол (31) (рис. 7) состоит в том, что касательная § 3. Уравнение, не содержащее х 35 к ним образует с положительным направлением оси Ох угол, та гене которого равен удвоенному корню из ординаты точки касания (при этом сам угол для всех кривых (3l) острый). Интегральными кривыми этого уравнения будут полу- параболы (31) и их огибающая у=0 (особое решение). 7. Найти кривые, у которых тангенс угла между каса- тельной и положительным направлением оси Ох равен квад- рату ординаты точки касания. Выделить кривую, проходя- щую через точку /И (0,1). Дифференциальным уравнением задачи будет /==У2. (34) Интегрируя это уравнение, имеем: ^=^(J/=O?), -^х+С. Поэтому общее решение уравнения (34) имеет вид: v--—1- У - х+С • (35) Это семейство равнобочных гипербол, асимптотами которых служат ось Ux и прямые х=—С; у=0— частное решение. Заменяя в (3')» х и у коорди- натами данной точки М, находим С=—1, так что искомой кривой будет 1 (36) v== \—х Рис. 24. Это решение определено и непрерыв- но в интервале (—со, 1). Оно пред- ставляет собой ту ветвь равнобочной гиперболы с асимптотами у=0 и х=\, которая лежит в верхней по- луплоскости (рис. 24). 8. Задача о распаде радия. Известно, что скорость распада радия пропорциональна наличному количеству его. Найти закон распада радия, если известно, что через 1600 лет останется половина первоначального количества. Какой процент окажется распавшимся через 100 лет? Обозначим через R количество радия в момент времени t = U, а через Ry первоначальное количество его, т. е. коли- чество радия в моме..т времени t = 0. Тогда скорость рас- dR пада равна „ . Эта скорость отрицательна (ибо R есть убы- з* 36 Отд. I. Уравнения, разрешенные относительно производной вающая функция от t, а тогда ее производная должна быть отрицательной). Согласно условию задачи, имеем: ^=-^, (37) где k есть некоторое положительное число. Интегрируя уравнение (37), имеем: ^==-/гй^(/?=0?), \nR=—kt+\nC, к откуда R = Се"". (38) Найдем С. и k. Для определения произвольной постоянной С воспользуемся начальными условиями: R =- Д?п "Р" ^=0. Подставляя в (38j R==Ry, t==0, получаем /?ц==С. Теперь имеем: Р-=Р^. (39) Для нахождения и воспользуемся указанными в задаче „промежуточными" условиями: R == -^ Рц при ^ = 1600. Пола- гая в (39) R-= ^Ro, ^==1600, имеем: ID —R g-ft-ieoo у ^o — ''•o1' > откуда .-1600ft 1 L, 'г _1" 2 n г.пплч е ==^, &=^gQQ--^Q= 0,00043. Подставляя найденное значение k в формулу (39), най- дем искомую зависимость R от t: R = T^-0'00043'. (40) Далее имеем: R (100) = Д>о<Г0'013 , -^ == е-0'043 = 0,958. KO Следовательно, через 100 лет распадется 4,2% первоначаль- ного запаса радия. 9. Найти решение интегрального уравнения х у = 2 + \ ^ dx. (41 > ^ § 3. Уравнение, не содержащее х 37 Дифференцируя по х, получаем: У'==}. (42) Нужно найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у = 2 при х==2 (43) (ибо, полагая в уравнении (41) х=2, получаем у ==2). Ин- тегрируя уравнение (42), имеем: ydy = dx, ^ = х + С. (44) Полагая х = 2, у = 2, находим, что С = 0. Искомым реше- нием будет У = V2x. (45) 10. Рассмотрим уравнение y'=cos(^-y). (46) Положим г==х—у. Тогда z'=l—y, z'==l—cosz. Отсюда ^-l^——^d-cos^O?). jr^b^+C, Г__^=^+С, -dg^=^+C, -ctg"———;c+C. 1 2sin2- ' " ч " Следовательно, общим интегралом будет х + ctg x=y- = С, (С, = - С). (47) Особых решений нет. Проинтегрировать уравнения: 67. у'=еУ. 68. у' =2^. 69. /=y41+.V2)2. 70. /==у+1. 71. у == cos3 у. 72. у' = sin у. 73. у' == cos у. 74. у' = /гу". 75. y^yi+i. 76. у'^^2_^д 77. У=1+^. 78. у'=1+}. 79. у' = ctg у. 80. y==ylny. 81. у'==]пу. 82. y'=y]/v. Ответы 1117— Ц4а Матвеев Николай Михайлович Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям Редактор М. Е. Ильина Техн. редактор С. Д. Водолагина Корректоры В. Измаилович и И. Т. Земсноеа Сдано в набор 13 VII 1960 г. М-^5613. Подписано к печати 1 Х 1960 г. Уч.-изд. л. 16,2. Печ. л. 18. Бум. л. Р. Формат бум. 60X92i/i(!. Тираж 1250U экз. Заказ 656. Цена б р. 30 к., с 1/1-19о1 г. цена 63 коп. Типография ЛОЛГУ. Ленинград, Университетская наб.. 7/9. ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА Н. М. МАТВЕЕВ СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Допущено Министерством высшего и. среднего специального образования РСФСР в качестве учебного пособия для университетов ИЗДАТЕЛЬСТВО Л:Е ЩИ Н Г Р А Д С К О Г О УНИВЕРСИТЕТА 1960