D1FFERENTIALGLE1CHUNGEN LOSUNGSMETHODEN UND LOSUNGEN von Dr. E. КАМКЕ GEWOHNLICHE DIFFERENTIALQLEICHUNQEN 6, VERBESSERTE AUFLAGE LEIPZIG 1959 Э. КАМКЕ СПРАВОЧНИК ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО С. В. ФОМИНА ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ. ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1961 АННОТАЦИЯ Книга Э. Камке является наиболее полным справочником по обыкновенным дифференциаль- ным уравнениям, в котором содержится около 1650 уравнений с решениями. В ней имеется также конспективное изложение важнейших раз- делов теории. Настоящее издание, сверенное с 6-м немец- ким изданием, частично переработано и снабже- но дополнениями. Книга предназначена для широкого круга на- учных работников и инженеров, сталкивающихся с обыкновенными дифференциальными уравне- ниями при решении различных задач. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию ................... id Некоторые обозначения ........................ 15 Принятые сокращения в библиографических указаниях ........ 15 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка .... 21 § 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно произ- водной: у'=/(л", у); основные понятия ............. 21 1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциального уравнения ......................... 21 1.2 Существование и единственность решения ......... 22 § 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно произ- водной: у' ==f(x, у); методы решения .............. 23 2.1. Метод ломаных ...................... 23 2.2. Метод последовательных приближений Пикара—Линделёфа 25 2.3. Применение степенных рядов ............... 26 2.4. Более общий случай разложения в ряд .......... 27 2.5. Разложение в ряд по параметру .............'. 29 2.6. Связь с уравнениями в частных производных ....... 30 2.7. Теоремы об оценках .................... 31 2.8. Поведение решений при больших значениях х ....... 33 § 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной: F (у', у, х) = 0 .................. 34 3.1. О решениях и методах решения .............. 34 3.2. Регулярные и особые линейные элементы ......... 35 ^ 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого порядка ............................ 37 4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися перемен- ными ........................... 37 4.2. у' =f(ax-[-by-\-c) .................... 37 4.3. Линейные дифференциальные уравнения .......... 38 4.4. Асимптотическое поведение решений линейных дифферен- циальных уравнений .................... 39 4.5. Уравнение Бернулли у' +/(•»") У + g (х) У == 0 • • • • • • • ^1 4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним ........................... 41 4.7. Обобщенно-однородные уравнения ............. 43 4.8. Специальное уравнение Риккати: у' -4- ву2 = Ьх<1 ...... 43 4.9. Общее уравнение Риккати: у' ==/(л") у2-}- g (х) у -\- h (х) . . 44 4.10. Уравнение Абеля первого рода .............. 47 4.11. Уравнения Абеля второго рода .............. 50 4.12. Уравнение в полных дифференциалах ........... 51 6 ОГЛАВЛЕНИЕ 4.13. Интегрирующий множитель ................ 52 4.14. F (у', у, х) = 0, «интегрирование посредством дифференци- рования» ......................... 53. 4.15. (а) у = G (х, у'); (6) х = О (у, у') ............. 53 4.16. (a) G(y'.x)=0; (6) G[y'.y)=0 ............. 54 4.17. (а) у = g (у'); (б) х = g (у') ................ 54 4.18. Уравнения Клеро ..................... 55 4.19. Уравнение Лагранжа—Даламбера ............. 55 4.20. F {х, ху' — у, у') = 0. Преобразование Лежандра ...... 56 Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных ........ 57 § 5. Основные понятия ....................... 57 5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифферен- циальных уравнений .................... 57 5.2. Существование и единственность решения ......... 57 5.3. Теорема существования Каратеодори ............ 58 5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров 59 5.5. Вопросы устойчивости ................... 60 § 6. Методы решения ........................ 62 6.1. Метод ломаных ...................... 62 6.2. Метод последовательных приближений Пикара — Линделёфа 62 6.3. Применение степенных рядов ................ 63 6.4. Связь с уравнениями в частных производных ........ 64 6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями ......................... 64 6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исклю- чения ........................... 65 6.7. Теоремы об оценках .................... 65 § 7. Автономные системы ...................... 67 7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы . 67 7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае п = 2 .................... 68 7.3. Критерии для определения типа особой точки ........ 69 Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений ... 73 § 8. Произвольные линейные системы ................ 73 8.1. Общие замечания ...................... 73 8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения . 73. 8.3. Сведение неоднородной системы к однородной ........ 74 8.4. Теоремы об оценках .................... 74 § 9. Однородные линейные системы ................. 75 9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений ... 75 9.2. Теоремы существования и методы решения ......... 77 9.3. Редукция системы к системе с меньшим числом уравнений . 78 9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений .... 79 9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений . . 79 9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина ................. 80 9.7. Фундаментальные решения ................. 81 § 10. Однородные линейные системы с особыми точками ....... 82 10.1. Классификация особых точек ................ 82 10.2. Слабо особые точки .................... 83 10.3. Сильно особые точки .................... 85 § 11. Поведение решений при больших значениях х .......... 86 ОГЛАВЛЕНИЕ 7 & 12. Линейные системы, зависящие от параметра ........... 87 § 13. Линейные системы с постоянными коэффициентами ....... 90 13.1. Однородные системы .................... 90 13.2. Системы более общего вида ................ 90 Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения п-го по- рядка .......................... 92 § 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной: у(я) =/(;<-, у, у',..., /"-!») ................... 92 § 15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной: F{x, у, у', ..., у("')=0 ..................... 93 15.1. Уравнения в полных дифференциалах ............ 93 15.2. Обобщенно-однородные уравнения ............. 93 15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у .......... 94 Глава V. Линейные дифференциальные уравнения я-го по- рядка .......................... 95 § 16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения я-го по- рядка ............................. 95 16.1. Общие замечания ..................... 95 16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения 95 16.3. Исключение производной (я—1)-го порядка ........ 97 16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к одно- родному .......................... 97 16.5. Поведение решений при больших значениях х ....... 98 § 17. Однородные линейные дифференциальные уравнения п-го по- рядка .............................. 98 17.1. Свойства решений и теоремы существования ........ 98 17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения ..... 99 17.3. О нулях решений ...................... 100 17.4. Фундаментальные решения ................. 100 17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные диф- ференциальные формы ................... 101 17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина ...... 103 17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полных дифференциалах ...................... 103 § 18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми точками ............................. 104 18.1. Классификация особых точек ................ 105 18.2. Случай, когда точка х == ё регулярная или слабо особая . • 107 18.3. Случай, когда точка х = оо регулярная или слабо особая . • 110 18.4. Случай, когда точка х = ? сильно особая ........•• 111 18.5. Случай, когда точка х == со сильно особая ......... 111 18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффи- циентами .......................... 113 18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициен- тами ............................ 113 18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэф- фициентами ........................ 115 18.9. Случай действительного переменного ............ 116 § 19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью определенных интегралов .................... 117 19.1. Общий принцип ...................... 117 19.2. Преобразование Лапласа .................. 120 8 ОГЛАВЛЕНИЕ 19.3. Специальное преобразование Лапласа ............ 123 19.4. Преобразование Меллина .................. 124 19.5. Преобразование Эйлера ................... 125 19.6. Решение с помощью двойных интегралов .......... 127 § 20. Поведение решений при больших значениях х ......... 128 20.1. Полиномиальные коэффициенты .............. 128 20.2. Коэффициенты более общего вида ............. 129 20.3. Непрерывные коэффициенты ................ 130 20.4. Осцилляционные теоремы .................. 130- § 21. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка, зависящие от параметра .......................... 131 § 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных урав- нений п-го порядка ....................... 134 22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами ...................... 134 22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами ...................... 135 22.3. Уравнения Эйлера ..................... 137 22.4. Уравнение Лапласа ..................... 137 22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами ....... 138 22.6. Уравнение Похгаммера ................... 138 Глава VI. Дифференциальные уравнения второго порядка .... 143 § 23. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка . . . 143. 23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений . . . 143 23.2. Некоторые дополнительные замечания ........... 144 23.3. Теоремы о предельных значениях .............. 145 23.4. Осцилляционная теорема .................. 146 § 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго порядка ............................. 146 24.1. Общие замечания ...................... 146 24.2. Некоторые методы решения ................ 148 24.3. Теоремы об оценках .................... 149 § 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка ............................. 150 25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второго порядка .......................... 150 25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений вто- рого порядка ........................ 151 25.3. Разложение решения в непрерывную дробь ......... 154 25.4. Общие замечания о нулях решений ............. 155- 25.5. Нули решений на конечном интервале ........... 156 25.6. Поведение решений при х->со ............... 158 25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с особыми точками ..................... 161 25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения; действи- тельное переменное .............. ..... 163 25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное ..... 166 25.10. Метод ВБК ........................ 167 Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков ................ 169 § 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка .... 169 § 27, Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка . . . 170 ОГЛАВЛЕНИЕ 9 Г да в а VIII. Приближенные методы интегрирования дифферен- циальных уравнений ................. 171 § 28. Приближенное интегрирование ди^рференциальных уравнений первого порядка ......................... 171 28.1. Метод ломаных ....................... 171 28.2. Метод добавочного полушага ................ 172 28.3. Метод Рунге—Хейна — Кутта ............... 173 28.4. Комбинирование интерполяции и последовательных прибли- жений ........................... 175 28.5. Метод Адамса ....................... 176 28.6. Дополнения к методу Адамса ................ 179 ^ 29. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков ........................ 180 29.1. Методы приближенного интегрирования систем дифферен- циальных уравнений первого порядка ............ 181 29.2. Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка .......................... 183 2Р.З. Метод Рунге — Кутта для дифференциальных уравнений второго порядка ...................... 183 29.4. Метод Адамса—Штёрмера для уравнения у" =/(-<", у, у') • 184 29.5. Метод Адамса—-Штёрмера для уравнения у" == f (х, у) ... 185 29.6. Метод Блесса для уравнения у" == f (х, у, у') ........ 186 ЧАСТЬ ВТОРАЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений д-го порядка . 189 § 1. Общая теория краевых задач .................. 189 1.1. Обозначения и предварительные замечания ......... 189 1.2. Условия разрешимости краевой задачи ........... 191 1.3. Сопряженная краевая задача ................ 192 1.4. Самосопряженные краевые задачи ............. 194 1.5. Функция Грина ....................... 195 1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина ........................... 197 1.7. Обобщенная функция Грина ................ 198 § 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения ^/Лл-)уМ+/,^(х)у=/(^). ................. 200 v-o 2.1. Собственные значения и собственные функции; характеристи- ческий детерминант Д (\) .......:.......••• 200 2.2. Сопряженная задача о собственных значениях и резольвента Грина; полная биортогональная система ........... 202 2.3. Нормированные краевые условия; регулярные задачи о соб- ственных значениях .................... 203 2.4. Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях .................. 205 2.5. Разложение заданной функции по собственным функи,ня№ регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях . 206 2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственных значе- ниях .....................••••••• 208 2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма ....... 212 10 ОГЛАВЛЕНИЕ 2.8. Связь между краевыми задачами и интегральными уравне- ниями типа Фредгольма ................... 216 2.9. Связь между задачами о собственных значениях и интеграль- ными уравнениями типа Фредгольма ............ 217 2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтерра ....... 219 2.11. Связь между краевыми задачами и интегральными уравне- ниями типа Вольтерра ................... 220 2.12. Связь между задачами о собственных значениях и инте- гральными уравнениями типа Вольтерра .......... 221 2.13. Связь между задачами о собственных значениях и вариа- ционным исчислением ................... 223 2.14. Применение к разложению по собственным функциям . . . 226 2.15. Дополнительные замечания ................ 227 § 3. Приближенные методы решения задач о собственных значениях и краевых задач ........................ 231 3.1. Приближенный метод Галеркина—Ритца . ......... 231 3.2. Приближенный метод Граммеля .............. 233 3.3. Решение неоднородной краевой задачи по методу Галер- кина — Ритца ....................... 234 3.4. Метод последовательных приближений ........... 235 3.5. Приближенное решение краевых задач и задач о собственных значениях методом конечных разностей .......... 237 3.6. Метод возмущений .................... 240 3.7. Оценки для собственных значений ............. 242 3.8. Обзор способов вычисления собственных значений и соб- ственных функций ..................... 246 § 4. Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения F(y)=W(y) ......................... 247 4.1. Постановка задачи .................... 247 4.2. Общие предварительные замечания ............ 249 4.3. Нормальные задачи о собственных значениях ....... 249 4.4. Положительно определенные задачи о собственных зна- чениях .......................... 251 4.5. Разложения по собственным функциям ........... 254 § 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида ..... 257 Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем линейных дифференциальных уравнений . . 259 § 6. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем линейных дифференциальных уравнений ............ 259 6.1. Обозначения и условия разрешимости ........... 259 6.2. Сопряженная краевая задача ............... 261 6.3. Матрица Грина ...................... 262 6.4. Задачи о собственных значениях .............. 263 6.5. Самосопряженные задачи о собственных значениях .... 264 Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнений низших порядков ............ 267 § 7. Задачи первого порядка .................... 267 7.1. Линейные задачи ..................... 267 7.2. Нелинейные задачи .................... 268 § 8. Линейные краевые задачи второго порядка ........... 268 8.1. Общие замечания ..................... 268 8.2. Функция Грина ...................... 269 8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода ..... 270 8.4. Краевые условия при [х\->со. .............. 270 ОГЛАВЛЕНИЕ 11 8.5. Отыскание периодических решений ............ 271 8.6. Одна краевая задача, связанная с изучением течения жидкости ......................... 272 & 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка . . . 272 9.1. Общие замечания ..................... 272 9.2. Самосопряженные задачи о собственных значениях ..... 274 9.3. у' = F (х, '/.) г, г'-=—G (х, л) у и краевые условия само- сопряженны ........................ 278 9.4. Задачи о собственных значениях и вариационный принцип 281 9.5. О практическом вычислении собственных значений и соб- ственных функций ..................... 283 9.6. Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопря- женные .......................... 283 9.7. Дополнительные условия более общего вида ........ 286 9.8. Задачи о собственных значениях, содержащие несколько параметров ........................ 287 9.9. Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках ........................... 288 9.10. Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале 289 § 10. Нелинейные краевые задачи и задачи о собственных значениях второго порядка ........................ 290 10.1. Краевые задачи для конечного интервала ......... 290 10.2. Краевые задачи для полуограниченного интервала ..... 293 10.3. Задачи о собственных значениях .............. 294 § 11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего— восьмого порядков ....................... 296 11.1. Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка 296 11.2. Линейные задачи о собственных значениях четвертого по- рядка ........................... 297 11.3. Линейные задачи для системы двух дифференциальных урав- нений второго порядка .................. 299 11.4. Нелинейные краевые задачи четвертого порядка ...... 300 11.5. Задачи о собственных значениях более высокого порядка . 301 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Предварительные замечания ..................... 302 Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка .... 307 1—367. Дифференциальные уравнения первой степени относи- тельно у' ....................... 307 368—517. Дифференциальные уравнения второй степени относи- тельно у' ....................... 360 518—544. Дифференциальные уравнения третьей степени относи- тельно у' ....................... 389 545—576. Дифференциальные уравнения более общего вида . . . 395 Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго по- рядка .......................... 403 1—90. ay" +.......................... 403 Qi_i45. (ax+b)y"+ ...................... 432 146—221. х^у"+ ... ...................... 447 222—250. (х2 ± в2) у" +...................... 465 251—303. (ел-2 +bx-f-c}y"+ ................. ^77 304—341. (ах»+ ...)У"+ ... ............. .... 500 12 ОГЛАВЛЕНИЕ 342—396. (ах*+ ...) у" + ... ................. 509 397—410. (e^"+ ...)/'+ ...; ">5 . . . . . . . . . . . . . . 519 411—445. Прочие дифференциальные уравнения ......... 526 Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего по- рядка .......................... 533 Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка ......................... 549 Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких порядков ..................... 564 Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка ......................... 568 1—72. ay"=F(x, у, у') ................... 568 73—\03.f(x)y"==F(x,y,y') ................. 586 .m—W7.f(x)yy"^F(x,y,y') ................. 597 Ш—22з./(х,у)у"=Р(х,у,.у') ................ 613 226—249. Прочие дифференциальные уравнения ......... 621 Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более высоких порядков .............. 628 Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений . . 635 Предварительные замечания ................. 635 1—18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами ........ 635 19—25. Системы двух дифференциальных уравнений первого по- рядка с переменными коэффициентами ........ 640 . 26—43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше первого ..................... 642 44—57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 646 Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений . 650 1—17.' Системы двух дифференциальных уравнений. ..... 650 18—29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 655 ДОПОЛНЕНИЯ О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И. Зборник) .......................... 659 Дополнения к книге Э. Камке (Д. Митринович) ........... 670 Об одном дифференциальном уравнении первого порядка (Д. Митринович) ....................... 688 О случаях приводимости линейных дифференциальных уравнений (Д. Митринович) ....................... 690 Об интегрировании дифференциального уравнения у у" -[-f(x) у2 -= w (x) (Т. Леко) ......................... 692 Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и построения их общего решения с помощью рекуррентных фор- мул (И. Зборник) ....................... 695 Пр едметныйуказатель. . . . . . . . . . . . . . . • . . • • 698 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Первое русское издание перевода справочника Камке вышло около 10 лет тому назад. Это десятилетие было периодом быстрого развития вычислительной математики и вычислительной техники. Со- временные вычислительные средства позволяют быстро и с большой точностью решать задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими для применения численных методов. В частности, расширилось при- менение численных методов и в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее возможность запи- . сать общее решение того или иного дифференциального уравне- ния или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях извест- ные преимущества. Поэтому тот обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Камке, сохраняет большое значение и сейчас. Здесь содержится около 1650 уравнений с реше- ниями. Книга Камке, помимо чисто справочного материала, содержит изложение (правда, без доказательств) и ряда теоретических вопросов, относящихся к дифференциальным уравнениям, в том числе некоторых разделов теории, которые обычно не включаются в учебники по дифференциальным уравнениям. В частности, здесь содержится по- дробное изложение теории краевых задач и задач о собственных зна- чениях. Вышедшее в 1959 году шестое немецкое издание книги Камке мало отличается от предыдущих. Внесенные автором изменения касаются только деталей и сосредоточены в третьей части. При подготовке второго русского издания книга подверглась переработке, заключающейся в следующем: 1) Из книги исключены некоторые устаревшие параграфы, не соответствующие современному уровню. В частности, опущены пара- графы о графических и машинных методах решения дифференциаль- ных уравнений; из третьей части опущена глава о функциональных дифференциальных уравнениях, написанная без учета современного состояния теории уравнений с отклоняющимися аргументами. 2) Значительно переработана имевшаяся в книге обширная библио- графия. Ссылки на старые и малодоступные иностранные издания 14 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ во многих местах, где это оказалось возможным, заменены ссылками на современную отечественную или переводную литературу. Вся боль- шая и трудоемкая работа по переработке библиографии была осу- ществлена ведущим редактором книги Н. X. Розовым. 3) Русский перевод заново сверен с шестым немецким изданием; исправлены все замеченные неточности, ошибки и опечатки. Все вставки, замечания и дополнения редактора и переводчика, вклю- ченные в книгу при подготовке настоящего издания, заключены в квадратные скобки. В конце книги под заглавием «Дополнения» помещены переводы с сокращениями нескольких журнальных статей, дополняющих спра- вочную ее часть (в шестом немецком издании автор упоминает об этих статьях). Перевод этих статей выполнил Н. X. Розов. С. В. Фомин. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ а, Ь,..., А, В, ..., а, р, ..., k, т, п, ..., \, у., ч, ... —данные постоянные величины (если не сказано другое). С, Ci, Сз, ... — произвольные постоянные интегрирования. Здг = х \ действительная и мнимая части комплексного числа г = х -|- 1у, ^2= у } i==Y^\. ехр и == в". sign у = < —1, если и < О, : 0, если и = О, I. 1, если и > 0. ( 0, если р=/= q, 1, если р == q. Det|e„,J есть определитель матрицы (а\\ ... а^ ^Дщ ... а.пп! т\ С"1 п\(п — т)! f(x) f(x) == о (g (х)) при х -> а означает, что J \л' -> 0 при х -> в. 8 \x) f(x) f (х) = О (g (х)) при х-> а означает, что ' • ограничено при х -> а. § \^) (а, Ь) — открытый интервал а < х < Ь. [а, Ь}—замкнутый отрезок a-^.x^.b. G (-ti, Хг, ..., х^)—область в пространстве переменных л-i, ..., Хц. inf — нижняя грань. sup — верхняя грань. (/М ^)" F W = / W -^ [(^ -^Г1 F Ч • [Обозначения всех функций и операций приведены в соответствие с обозначениями, установившимися в русской литературе. — Прим. ред.} ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ [При ссылках на следующие книги указывается только фамилия автора А и не—Э. Л. А и не, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харь- ков, 1939. Белл м а и — Р. Беллман, Теория устойчивости решений дифференциаль- ных уравнений, ИЛ, 1954. 16 ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ Ватсон—Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, тт. I, II, 1949. Коддингтон и Левинсон — Э. А. Коддингтон и Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958. Курант и Гильберт — Р. Курант и Д. Гильберт, Методы матема- тической физики, т. I, 1951. Матвеев — Н. М. Матвеев, Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, Изд. ЛГУ, 1955. Наймарк — М. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, 1954. Петровский—И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 1952. Понтрягин — Л. С. Понтрягин, Обыкновенные дифференциальные уравнения, 1961. Сансоне — Дж. Самсоне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, ИЛ, т. I, 1953, т. II, 1954. Степанов — В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, 1953. Уиттекер и Ватсон — Е.Т.Уиттекер и Г. Н. Ватсон, Курс со- временного анализа, т. I, 1933, т. II, 1934. ЯнкеиЭмде—Е. ЯнкеиФ.Эмде, Таблицы функций с формулами и кривыми, 1958. — Прим. ред.} Цифровые данные при ссылках на журналы расположены в следующем порядке: (серия), том (год издания), страница; например, Journal cle Math. (4), 5 (1889), стр. 376 = Journal de Mathematiques pures et appliquees, Paris, серия 4, том 5, 1889 год, стр. 376. Ниже приводится список принятых сокращений названий журналов, на которые имеются ссылки. [ДАН СССР — Доклады Академии наук СССР. Москва. }КТФ — Журнал технической физики. Ленинград. ИАН СССР — Известия Академии наук СССР. Москва. ИАН УССР —Известия Академии наук УССР. Киев. Изв. Харьк. матем. об-ва—Известия Харьковского математического обще- ства. Харьков. Матем. сборник—Математический сборник. Москва. УМН — Успехи математических наук. Москва. — Прим. ред.} Abhandltingen Miinchen: Abhandlungen der KonigHch Bayerischen Akademie der Wissenschaften. MathemaUsch-physikalische Klasse. Miinchen. Acad. Belgique Bulletins'. Academic royale de Belgique. Bulletins de la Ciasse des Sciences. Bruxelles. Acad. Serve: Academic Royale Serbe. Bulletin de 1'Academie des Sciences mathematiques et naturelles. A: Sciences niathematiques et physiques. Belgrade. Acta Math.: Acta Mathematica. Uppsala. Acta Soc. Fennicae: Acta Socletatis scientlarum Fennicae. Helsingforsiae. Actualites scientif.: Actualites scientifiques et industrielles. Paris. Akad. Wien: Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematisch-natur- wissenschaftliche Klasse, Abt. IIa. Sitzungsberichte. Wien. Amerlc. Journ. Math.: American Journal of Mathematics. Baltimore. Americ. Math. Monthly: The American Mathematical Monthly. Menasha, Ithaca. Annalen Phys.: Annalen der Physik. Leipzig. Annales Bruxelles: Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles. Louvain. Annales Ecole Norm.: Annales scientifiques de 1'Ecole Normale Superieure. Paris. ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ 17 Annales Toulouse: Annales de la Paculte des Sciences de 1'Unlversite de Toulouse. Paris, Toulouse. Annali dl Mat.: Annali dl Matematica pura ed applicata. Bologna. Annali Pisa: Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa. Scienze fisiche e matematiche. Bologna. Annals of Math.: Annals of Mathematics. Princeton. Archiv. Math.: Archiv der Mathematik und Physik. Leipzig, Berlin. Arklv for Mat.: Arklv fur Matematik, Astronomi och Fysik. Stockholm. Atti Accad. Lincei: Atti della Reale Accademia Nazionale del Lincel. Rendi- conti. Ciasse di Scienze fisiche, matematiche e naturali. Roma. Atti Pontificia Accad.: Atti della Ponttficia Accademia delle Scienze Nuovi Lincei. Roma. Atti Soc. Itallana: Atti della Society Italiana per il Progresso delle Scienze. Roma. Atti Veneto: Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti. Berichte Leipzig: Berichte ilber die Verhandlungen der (KonigHch) Sach- sischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-physische Klasse. Leipzig. Buletlnul Cernauti: Buletinul Facultatii de Stiinte din Cernau')i. Cernauti. Bulletin Acad. Polonaise Cracovie A: Bulletin de 1'Academie Polonaise des Sciences et des Lettres. Ciasse des Sciences Mathematiques et Naturelles. Serie A. Sciences Mathematiques. Krakau. Bulletin Amerlc. Math. Soc.: Bulletin of the American Mathematical Society. Menasha, New York. Bulletin Liege: Bulletin de ia Societe Royale des Sciences de Liege. Bulletin math. Fac. Sc.: Bulletin mathematique des Facultes des Sciences et des Qrandes Ecoles. Bulletin math. Soc. Roumalne: Bulletin mathematique de la Societe Roumaine des Sciences. Bucurestl. Bulletin Sc. math.: Bulletin des Sciences mathematiques. Paris. Bulletin Soc. Math. France: Bulletin de la Societe Mathematique de France. Paris. Compos, math.: .Composltio mathematica. Qronlngen. C. R. Paris: Comptes Rendus hebdomadaires des Seances de 1'Academie des Sciences. Paris. C. R. Roumanie: Comptes Rendus des seances de 1'Academie des Sciences de Roumanie. Bucuresti. Denkschrlften Wien: Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wissens- chaften. Wien. Mathematisch-naturvissenschaftliche Klasse. Deutsche Math.: Deutsche Mathematik. Leipzig. Duke Math. Journal: Duke Mathematical Journal. Durham. Enseignement math.: L'Enseignement mathematique, Paris—Geneve. Ergebnisse Math.: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Orenzgebiete. Berlin. Glornale Mat.: Giornale di Matemattche dl Battaglini. Napoli. Ingenieur-Archiv. Ingenleur-Archiv. Berlin. Intermediaire math.: L'intermediaire des mathematiciens. Paris. Jahrbuch PdM: Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathematik. Berltn. Jahresberlcht DMV: Jahresbericht der Deutschen Mathematlker-Vereinigung. Leipzig. 2 Зак. 1936. Э. Камке 18 ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ Japanese Journal of Math:. Japanese Journal of Mathematics. Tokyo. Journal de Math:. Journal de Mathematiques pures et appliquees. Paris. Journ. f. Math:. Journal fur die reine und angewandte Mathematik. Berlin.. Journal Hokkaido: Journal of the Faculty of Science, Hokkaido Imperial- University. Journal London Math. Soc.: Journal of the London Mathematical Society- London. Journal Washington Acad:. Journal of the Washington Academy of Sciences. Washington. Math. Ann.: Mathematische Annalen. Berlin. Math. Gazette: The Mathematical Gazette. London. Math. Zeitschrift: Mathematische Zeitschrift. Berlin. Memoires Liege: Memoires de la Societe des Sciences de Liege. Bruxelles.. Memoires par divers Savants: Memoires presentes par divers Savants a 1'Aca- demie des Sciences de 1'lnstitut de France. Paris. Memoirs College Engineering Kyoto: Memoirs of the College of Engineering. Kyoto Imperial University. Memoirs Kyoto: Memoirs of the College of Science. Kyoto Imperial Univer- sity. Series A. Memoirs Kyusyu: Memoirs of the Faculty of Science. Kyusyu Imperial University. Series A, Mathematics. Hukuoka, Japan. Memoirs Manchester: Memoirs and Proceedings of the Manchester Litterary and Philosophical Society. Manchester. Memorie Accad. d'ltalia: Memorie della Reale Accademia d'ltalia Classe di Scienze fisiche e naturall. Memorie Bologna: Memorie della R. Accademia delle Scienze dell'Istituto- dl Bologna. Classe di Sciencze Fisiche. Bologna. Monatshefte f. Math.: Monatshefte fur Mathematik und Physik. Leipzig. Monthly Notices: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. London. Nachrlchten Gottlngen: Nachrichten von der (Koniglichen) Oesellschaft der Wissenschaften zu Qottingen. Mathematisch-physikalische Klasse. Qottingen. Nouvelles Annales Math.: Nouvelles Annales de Mathematiques. Paris. Nova Ada Halle: Nova Acta. Abhandlungen der Kaiserlich Leopoldinischen Deutschen Akademie der Naturforscher. Halle. Oregon Publication: University of Oregon Publication. Eugene (Oregon). Oregon Publication, Math: University of Oregon Publication, Mathematics- Series. Eugene (Oregon). Philos. Magazine: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Maga- zine. London. Philosophical Transactions London: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London. Physical. Review: The Physical Review. Lancaster. Physikal. Zeitschrift: Physikalische Zeitschrift. Leipzig. Prace mat.-fiz.: Prace matematyczno-fizyczne. Warschau. Proc. Acad. Allahabad: Proceedings of the Academy of Sciences. Allahabad. Proc. Phys. — math. Soc. Japan: Proceedings of the Physico-mathematical So- ciety of Japan. Tokyo. Proceedings Acad. Tokyo: Proceedings of the Imperial Academy. Tokyo. Proceedings Amerlc. Acad:. Proceedings of the American Academy of Arts. and Sciences. Boston. ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ 19 proceedings Amsterdam: Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetens- chappen. Proceedings of the Section of Sciences. Amsterdam. Proceedings Cambridge: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Cambridge. proceedings Edinburgh: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. Proceedings Edinburgh Math. Soc:. Proceedings of the Edinburgh Mathema- tical Society. London. Proceedings London Math. Soc.: Proceedings of the London Mathematical Society. London. Proceedings Soc. Japan: Proceedings of the Physico-mathematical Society of Japan. Tokyo. Proceedings Soc. London A: Proceedings of the Royal Society of London, Series A. London. .Proceedings USA Academy: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Boston. Publications math. Belgrade: Publikations mathematiques de 1'Universite de Belgrade. Belgrade. Quarterly Journal: The Quarterly Journal of pure and applied Mathematics. London. Quarterly Journal Oxford: The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford series. Oxford. Rendlconti Cagllarl: Rendiconti del Seminario delle Pacolta di Scienze delle R. Universita di Cagliari. Padova. Rendiconti Istituto Lombardo: Reale Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. Rendiconti. Milano. Rendiconti mat:. Rendiconti di matematica e delle sue appli'azioni. Regia Uni- versita di Roma e Reale Istituto Nazionale di alta Matematica. Roma. .Rendiconti Napoll: Rendiconti dell'Accademia delle Scienze fisiche e matema- tiche. Napoli. Rendiconti Palermo: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Palermo. Rendiconti Sem. Mat. Milano: Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. Milano. Rendiconti Sem. Mat. Padova: Rendiconti del Seminario Matematico della R. Universita di Padova. Padova. Rendiconti Sem. Mat. Roma: Rendiconti del Seminario Matematico della R. Universita di Roma. Revue Electrlcite: Revue generale de 1'Electricite. Organe de 1'Union des Syndicats de 1'Electricite et du Comite Electrotechnique Francais. Par:s- Schweiz. Bauzeitung: Schwelzerische Bauzeitung. Zurich. Schwelz. Naturf. Ges:. Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. Zurich. Sitzungsberichte Berlin. Math. Ges.: Sitzungsberichte der Berliner Mathema- tischen Oesellschaft. Qottingen. Sitzungsberichte Heidelberg: Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, Abt. A. Heidelberg. Sitzungsberichte Mttnchen: Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der K. B. Akademie der Wissenschaften zu Mtinchen. Munchen. Sitzungsberichte Preufi. Akad:. Sitzungsberichte der PreuBischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse. Berlin. 2* 20 ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ Tohoku Math. Journ.: The Tohoku Mathemaiical Journal. Sendai (Japan). Transactions Americ. Math. Soc.: Transactions of the American Mathematicat Society. Menasha—New York. Transactions Cambridge Soc:. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge. Transactions Soc. Edinburgh: Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. Washington Publications: University of Washington. Publications in Mathe- matics. Washington. ZAMP: Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. Basel. Zeitsc' r ft f. angew. Math. Mech:. Zeitschrift fur angewandte Mat!ie,natik und Mechanik. Berlin. Zeitschrift f. Astrophyslk: Zeitschrifl fiir Astrophysik. Berlin. Zeitschrift f. Math. Phys.: Zeitschrift fur Mathematik und Physik. Leipzig. Zeitschrift f. Phys.: Zeitschrift fur Physik. Berlin. Zeitschrift math. Unterricht: Zeitschrift fur mathematishen und naturwissen- schaftlichen Unterricht. Leipzig. Zeitschrift VDI/. Zeitschrift des' Vereins deutscher Ingenleure. Berlin. .ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Обстоятельное изложение рассматриваемых в первой части вопросов и дальнейшие подробности можно найти в следующей литературе: И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциаль- ных уравнений, 1952; В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, 1953; Э. Л. А и н с, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков,. 1939; Н. М. Матвеев, Методы интегрирования обыкновенных дифферен- циальных уравнений, Изд. ЛГУ, 1955; Дж. Сансоне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, ИЛ, т. I, 1953; т. II, 1954; Э. А. Коддингтон и Н. Левинсон, Теория обыкновенных диффе- ренциальных уравнений, ИЛ, 1958; Р. Б е л л м а н, Теория устойчивости решений дифференциальных урав- нений, ИЛ, 1954. См. также выходящую книгу Л. С. Понтрягина «Обыкновенные дифференциальные уравнения», некоторые главы которой уже 'опублико- ваны: Л. С. П о н т р я г и н, Обыкновенные дифференциальные уравнения (конспект лекций), Изд. МГУ, 1955.—Прим, ред.} ГЛАВА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА § 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной: y'==f{x, у); основные понятия 1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциаль- ного уравнения. Решением, интегралом или интегральной кривой дифференциального уравнения dy_ dx --f(x, у) или y'==f(x, у) (1) называется дифференцируемая функция у==у(л'), удовлетворяющая этому уравнению, т. е. такая, что ^'(x)=.f(x, f\ при х—>^. Функции М (х) и N (х) заведомо интегрируемы, если, например, М (х) < А (х — ^~\ 0<а<1, N (х) < В (х — ^-р, 0<р<1. Если функция / (х, у) имеет вид / (х, y)==h(x, y)lg(,x, у), то. дифференциальное уравнение (1) можно написать в виде g(x. y)y'=h(x, у) или в форме системы dx ~dT =-g(x. у), --h(x, у). dy_ dt Об уравнениях такого вида см. также пп. 4.12, 4.13, 7.2. О зависимости решения от начальных условий и от изменения: самого уравнения см. пп. 2.7 и 5.4. § 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной: y'==f(x, у); методы решения 2.1. Метод ломаных. Если построить для данного дифферен- циального уравнения § 1 (1) поле направлений, то легко пост- роить приближенные изображения его интегральных кривых и таким ') Может случиться даже, что через каждую точку области проходит бесконечно много интегральных кривых; см. М.А. Лаврентьев, Math. Zeitschrift 23 (1925), стр. 197—209. [О дальнейших свойствах, пучков инте- гральных кривых см. С а неоне, т. I.—Прим. ред.} ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Асимптотическое разложение 41, 128, 163 Биортогональная полная система 203, 207 Биортогональность 198, 202, 263 Вариационные принципы 223, 227 Вариация постоянных 148, 165 Векторная запись системы уравне- ний 57 Вычет резольвенты Грина 203, 210 Детерминант Вронского 98 — Фредгольма 212 — характеристический 201, 249 — Хилла 413 Дифференциальная форма 80, 102, 146 — — антисамосопряженная 80, 102, 169 — — билинейная 81, 103, 147 — — самосопряженная 80, 102, 147, 169, 170 — — сопряженная 81, 102, 147 Дифференциальное уравнение второ- го порядка 143 и ел., 403, 568, 659 — — — —, нормальная форма Лиу- вилля 275 — — — —, приведенная (нормаль- ная) форма 150 — — линейное 95, 97, 695 — — — антисамосопряженное 102 — — — неоднородное 97, 148 — — — однородное 95 — — —, понижение порядка 99, 148 — — — самосопряженное 102, 147 — — — сопряженное 102, 104 — — — с постоянными коэффици- ентами 134 —— —, не разрешенное относительно старшей производной 34, 53 и ел., 93, 688 Дифференциальное уравнение перво- го порядка 21 и ел., 307 и ел. — — — — линейное 38 — —, приближенные методы реше- ния 24, 26, 31, 171 и ел. — — разрешенное относительно стар- шей производной 21 и ел., 92 — —, сведение к системе 92 — —, связь с уравнениями в част- ных производных 30, 52, 60, 64 — — третьего порядка 169, 533 и ел., 628 и ел. — — четвертого порядка 170, 549 и ел., 632 и ел. Дифференциальный оператор 96, 135 Задача баллистическая 300 — Коши 92, 190, 195 — краевая—см. краевая задача — о вычислении критической скоро- сти 301 — о разложении по собственным функциям 202, 206, 211, 218, 226, 254, 456 — о собственных значениях 200, 230, 263, 273, 284, 290, 299 — — — — второго порядка 272 и ел., 290 и ел. — — — — замкнутая 255 — — — — нормальная 209, 224, 249 — — — — первого порядка 267 — — — — положительно опреде- ленная 209, 224, 250, 265, 278; дру- гое определение 228 — — — —, приближенные методы решения 214, 221, 231 и ел., 283 — — — — регулярная 204, 273, 283 — — — — самосопряженная 202, 209, 247, 273 и ел. Задача о собственных значениях, связь с вариационным исчислением 223, 227, 281 'ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 69& Задача о собственных значениях, связь с интегральными уравнениями 217, 221 — — — — сопряженная 202 — — — — третьего порядка 296, 533 и ел. — — — — четвертого порядка 297, 549 и ел. _ _ _ — Штурма 223, 236, 240, 274, 278, 283, 403 — о течении жидкости в канале 272 Звезда Миттаг-Леффлера 78 Зональные гармоники 471 Изоклина 22, 55 Инвариант дифференциального урав- нения 150 — дифференциальный Шварца 151 Индекс краевой задачи 191 — характеристический особой точки 106 Интеграл дифференциального урав- нения 21, 57, 92 — — — общий 22, 30, 52 — — — первый 64 .— эллиптический I и II рода 320, 502, 572, 619 Интегральное уравнение для функ- ций Матье 415 — — однородное 212 — — полярное 216, 219 — —, собственные значения 213,214 — —, — функции 213, 215 — —, спектр 213 — — типа Вольтерра I и II рода 219 — — — Фредгольма I и II рода 212 Интегрирование посредством диффе- ренцирования 53 Интегрирующий множитель 52, 104, 670, 675 Истокообразное представление функ- ции 216 Кардиоида 388 Класс особой точки 106, 107 Конические сечения софокусные 382 Коническое сечение 653 Константа Эйлера 451 Координаты полярные 153, 614, 653 Коэффициент искажения 420 Коэффициенты Фурье (обобщенные); 207, 211, 226, 254 Краевая задача 92, 190, 260, 290, 300 Краевая задача антисамосопряжен- ная 197 — — второго порядка 268, 290, 403 - —, кратность разрешимости 191, 194, 260 - — однородная 190, 260 - — первого, второго и третьего рода 269 - — первого порядка 267 - — полуоднородная 190, 260 - —, приближенные методы реше- ния 231 и ел. - —, решение с помощью функции Грина 197 269 самосопряженная 194, 264, — —, связь с интегральными урав- нениями 217, 220, 264 — — сопряженная 193, 261 — — третьего порядка 296 — —, условия разрешимости 191, 194 — — четвертого порядка 297 Краевые условия 190, 259, 269 — — более общего вида 257, 287 — — нормированные 204 — — однородные 190 — — первого, второго и третьего рода 269 — — периодические 195, 205, 271 — — распадающиеся 205 — — самосопряженные 195, 273,277, 280 — — сопряженные 193 — — «существенные» и «остаточные» 227, 282 — — типа Штурма 205, 269, 274, 278, 297, 403 Кривая дискриминантная 36 — интегральная 21, 57, 67 — — особая 36 — — регулярная 36 — направляющая 38 — перегибов 24, 35 Линейная зависимость (независи- мость) решений 76, 98 Линейный элемент 22, 34, 57 — — особый 35 — — регулярный 35 L-изображение 120 Линия погони 323, 384 Матрица Грина 262 Матричная запись линейной системы 76 700 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Метод Адамса 176 и ел., 182 — Адамса — Штёрмера 184 и ел. — Блесса 186 —•ВБК 167 — Вианелло — Энгессера 235 — возмущений 240 — Галеркина — Ритца 231, 234, 254 — Граммеля 233 — добавочного полушага 172 — интегрального преобразования 117 и ел. — интерполяционный 247 — комплексных координат 143 — конечных разностей 237 — Куранта 229 — ломаных 23, 35, 62, 171, 181, 183 — операционный (символический) 90, 96, 135 — Пеано — Бекера 78 — последовательных приближений 25, 62, 77, 147, 175, 212, 215, 219, 235, 276 — редукционный Даламбера 100 — Рунге—Кутта 181, 183 — Рунге — Хейна — Кутта 173 — символический 90, 96, 135 — Фробениуса 109 Многочлен интерполирующий 175 — характеристический 90, 114 Непрерывная (цепная) дробь 154 Неравенство Бесселя 211, 226, 255 Нормальная форма линейного урав- нения второго порядка 150 — — Лиувилля 275 Нормированная ортогональная систе- ма 210, 215, 226, 251, 265 — полярная система 210 Овал Кассини 351 Операторное произведение 99 Операционный метод 90, 96, 135 Ортогональная система полная 208 Ортогональность 208, 214, 249, 300 Ортонормированная система полная 210, 215, 226, 251, 265 Основное уравнение внешней балли- стики 654 Оценка собственных значений по Темплю — Беклею 244 — — — по Треффтцу—Виллерсу 245 — — — по Треффтцу — Ньюингу 244 Показатель в особой точке 105 — характеристический 114, 412, 417 Поле направлений 22, 57 Полиномы Лежандра 468, 471 — Неймана 459 — ультрасферические 477 — Чебышева I рода 467, 477 — — II рода 477 — Чебышева — Лагерра 286, 439 445 — Чебышева — Эрмита 286, 423 — Якоби 286, 477, 480, 482 Последовательные приближения 25 62, 77, 147, 175, 215, 219, 235, 276 — — Неймана 212 Преобразование Лапласа 120 — — специальное 123 — Лежандра 56, 374, 382, 400 — Меллина 124 — Эйлера 125 Приближенные методы решения диф- ?еренциальных уравнений 24, 26, 1, 171 и ел. — — — задач о собственных зна- чениях 214, 221, 231 и ел., 283 — — — краевых задач 231 и ел. Приводимость линейных уравнений 690 Принцип Рэлея 227 Производная односторонняя 32 — Шварца 151 Равенство Парсеваля 226, 255 Разложение по собственным функ- циям 206, 211, 218, 226, 254, 456 Ранг дифференциального уравнения 112 — особой точки 83 Резольвента Грина 203, 210, 249 — интегрального уравнения 213 Резонанс 271 Решение дифференциального уравне- ния (системы) 21, 57, 67, 92 — — —, асимптотическое разложе- ние 41, 86, 89, 128, 131, 163 — — — в параметрической форме 53 и ел., 94 — — —, зависимость от изменения уравнений 31, 65 — — —, — от начальных условий 59, 63 — — —, — от параметров 29, 60, 63, 87, 131, 145 — — —, поведение при | х \ -> со 33, 39, 86, 98. 128, 153, 158 — — — приближенное 171 и ел. 701 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Решение дифференциального уравне- ния, разложение в непрерывную дробь 154 — — —, — в степенной ряд 26 и ел., 35, 63 — — — с помощью определенных интегралов 117 и ел. — задачи о собственных значениях 200, 217, 221, 223, 230, 231 и ел., 263 — Кели 409 — краевой задачи 190, 200, 230 — — — на неограниченном интер- вале 270 289, 293 — — — с помощью интегральных уравнений 216, 220 — — — — — функции Грина 197 — неустойчивое 418 — нормальное 112, 162 — общее 22 — периодическое 271; другое опреде- ление 418 — полупериодическое 418 — разветвляющееся 573 — тривиальное 76, 98, 190 — устойчивое 418 — фундаментальное 81, 100 — характеристическое для данного числа 272 Решения линейно зависимые (неза- висимые) 76, 98 —, фундаментальная система 76, 77, 79, 90, 99, 114 Ряд гипергеометрический 481 — нормальный 112, 129, 162 — Похгаммера 490 — Фурье 206 Сдвиг фазы 308, 420 Седло 69, 71, 635 и ел. Система дифференциальных уравне- ний 23, 57 — — — автономная 67 и ел. — — —, векторная запись 57 — — — линейная 73 — — — —, матричная запись 76 — — — — неоднородная 74 — — — — однородная 73, 75 и ел. — — — — с постоянными коэффи- циентами 90 — — — —, уменьшение числа урав- нений 78 — — — простая 59 — — — самосопряженная 79, 80 — — — сопряженная 79 — решений фундаментальная 76, 77, 79, 90, 99, 114 Система Хилла 418 Собственное значение 200, 230, 249 263 — — интегрального уравнения 213 — —, кратность 200, 249, 263 — — периодическое 418 — — пслупериодическое 418 Собственные значения, асимптотиче- ское выражение 222, 275 — —, определение по Куранту 229 — —, приближенные методы вычис- ления 214, 221, 231 и ел., 283 — — уравнения Матье 413 ———Хилла 418 — функции 200, 230, 248 — — интегрального уравнения 213 — —, нормированная ортогональная система 210, 215, 226, 251, 265 — —, — полярная система 210 — — нормированные 279 — —, полная биортогональная си- стема 203, 207 — —, — ортогональная система 208 — —, приближенные методы вычис- ления 231 и ел. — — регулярных задач 205 Собственный вектор 263 Спектр 200 — интегрального уравнения 213 Спираль логарифмическая 631 Теорема единственности 22, 58, 59, 71, 73, 92, 95, 317 — Линделёфа 60 — о выключении Крылова — Бого- любова 243 — — — Темпля 243 — осцилляционная Клейна 288 — — Штурма 274 — сравнения Штурма 156 — существования 22, 57, 73, 77, 92, 95, 144, 642 — — Каратеодори 58 — Флоке 114 Теоремы об оценках для решений дифференциальных уравнений 31, 65, 75, 144, 149 — — — для собственных значений 214, 215, 230, 232, 242 — осцилляционные (о нулях реше- ний) 100, 130, 146, 155 и сл„ 274, 277, 279, 280, 288 — сравнения для систем 158 Тождество Бесселя 211 — Лагранжа 81, 105, 192 Точка особая 82, 105, 161, 257, 288 702 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Точка особая для автономной систе- мы (точка покоя) 68 и ел. — регулярная 83, 105 и ел. — сильно особая (нерегулярная осо- бая) 83, 85, 105 и ел. — слабо особая (регулярная осо- бая) 83, 105 и ел. Трактриса 323, 384 Узел 69, 635, 637 Уравнение Абеля 47, 50 — Бернулли 41 — Бесселя 107, 162, 302, 417, 449, 454, 695 — Вебера 422, 431, 493 — взаимодействия масс 310 — внешней баллистики основное 654 — в полных дифференциалах 51, 93, 104, 147, 150 — в частных производных, связь с обыкновенными уравнениями 30, 52, 60, 64 — гипергеометрическое вырожденное 408, 417, 437, 460, 490, 521, 695 — — Гаусса 107, 162, 302, 408, 521, 695 — Дарбу 43 — для коэффициента теплопровод- ности 304 — Дуффинга 290, 572 — жесткой нагруженной сферической оболочки 560 — изгиба сжатого стержня 516, 632 — Клеро 55, 304 — колебаний вынужденных 420 — — затухающих 578, 586 — — маятника 572, 579 — — свободных 419 — — стержня 556, 562 — Лагранжа — Даламбера 55 — Ламе 415, 522 — —, алгебраическая форма 523 — —, вейерштрассова форма 523 — —, якобиева форма 523 — Лапласа 137 — Лежандра 107, 126, 162, 417, 468 и ел., 695 — линейное 38, 134 — Матье 114, 411, 417, 488 — меридианной кривой поверхности вращения постоянной гауссовой (средней) кривизны 531, 602 — обобщенно-однородное 43, 93, 99, 150 Уравнение однородное 41 — определяющее 105, 161 — Пенлеве 569 — переменного тока 304, 308 — пограничного слоя 629 — Похгаммера 138 — пространственного тока смещения в цилиндрическом конденсаторе 625 — радиальное волновое 448, 697 — распадающееся 35 — Риккати 24, 44, 150, 167 — —, выражение решений в бессе- левых функциях 410 — —, раусоновская форма 325 — —, связь с линейными уравне- ниями второго порядка 44, 45 — — специальное 43, 408 — Римана 142, 520 — свободного падения 613 — с двоякопериодическими коэффи- циентами 115 — семейства циклоид 603 — силовых линий 356 — с периодическими коэффициента- ми 113, 411, 417 — с полиномиальными коэффи- циентами 113, 128, 138, 286, 463 — с разделяющимися переменными 37 - — суперрегенерации приемника 429 — теории вязкой жидкости 628 — — турбулентности 553 — типа Фукса 107, 161 — Тиссо 142, 567 — Томаса—Ферми 293, 594 — трактрисы (линии погони) 323, 384 — Уиттекера 489 — характеристическое 84, 637 — Хейна 505 — Хилла 114, 411, 417 — цепного моста 583 — цепной линии 583 — Шредингера 289 — эвольвент окружностей с цент- ром в начале координат 622 — Эйлера 137, 449, 459 — Эмдена для политропного газо- вого шара 587 — Эмдена — Фаулера 570, 586, 587 — Якоби 302, 344 Уравнения горизонтального движе- ния маятника с учетом вращения Земли 645 703 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Уравнения движения точки под дей- ствием гравитационной или цент- ральной силы 653, 656 — колебаний судна и гироскопа 645 — летящего снаряда 654 — теории гироскопа 657 Условие Липшица 23, 58, в3 — — обобщенное 59 Устойчивость по Ляпунову 61 Фокус 69, 636, 637 Формула Бесселя (интерполяцион- ная)' 175, 176 — Грина 81, 103, 192 — Дирихле 103 — Лиувилля 76, 99 — обращения преобразования Ла- пласа 124 — Пиконе 156 — расщепления Дункерлея — Джеф- фкотта 242 — — Саусвелла 242 — Симпсона 26, 179 — трапеций 26 Фундаментальная система решений 76, 77, 79, 90, 99, 114 Фундаментальное решение 81, 100 Функции Бесселя I, II, III рода 450, 451, 456 — Вейерштрасса 115, 116, 361, 416, 523 — возмущающие 73 — Ганкеля 451 — Ламе 1, 2, 3, 4 рода I и II раз- ряда 524, 525 — Лежандра I и II рода 126, 127, 471 — — присоединенные I и II рода 474, 515 — лемнискаты 319 — Ломмеля 455, 458 — Матье I и II рода 414 Функции Матье присоединенные I II, III рода 414 — параболические цилиндрические 491 — Пенлеве (трансцендентные) 569, 570 — сферические I и II рода 471 — Уиттекера 490 и ел. — Хилла 418 — цилиндрические 328, 450 — Чебышева—Лагерра 445 — эллиптические Якоби 429, 572 Функция влияния 196, 269 — возмущающая 95 — вырожденная гипергеометрическая 437 — гипергеометрическая 155, 482 — Грина 196, 269, 403 и ел., 549 — — обобщенная 198, 404 и ел., 549 — допустимая 224, 250, 255- — периодическая второго рода 114, 418 — Похгаммера 437 — Струве 455 Характеристика 67 Центр 69, 71, 636, 637 Циклоида 382, 603 Эвольвенты конических сечений 385 Ядро замкнутое 216 —интегрального преобразования 117 — — уравнения 212, 219 — — — итерированное 213 — — — положительно определен- ное 215 — Лапласа 118 — Меллина 118 — разрешающее 213 — Эйлера 118 Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Редактор Н. X. Розов. Техн. редактор В. Н. Крючкова. Корректор О. Л. Сигал. Сдано в набор 18/XI 1960 г. Подписано к печати 3/III 1961 г. Бумага б0х90'/ц. Физ. печ. л. 44,0. Условн. печ. л. 44,0. Уч.-изд. л. 40,04. Тираж 25 000 ЭКЗ. Т-03109, Цена книги 1 р. 30 к. Заказ М 1936. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархсза. Ленинград, Измайловский пр., 29. Опечатка В выходных данных напечатана йена книги 1 р. 30 к. Следует читать 2 руб. 10 к. Зак. 1936.