517.2 Т 52 УДК 517 Мера и интеграл, Т о л с т о в Г. П. Главная редак- ция физико-математической литературы издательства «Наука», 1976. Книга содержит краткое п довольно простое из- ложение элементов теории абстрактной меры и ин- теграла (включая меру и интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса). Она может оказаться полезной студентам математических специальностей университетов и педа- гогических институтов, а также студентам инженерно- математических специальностей втузов, аспирантам и заинтересованным научным работникам. Георгий Павлович Толстое МЕРА И ИНТЕГРАЛ М., 1976 г., 392 стр. с илл. Редактор В. В. Абгарян Техн. редактор Н. В. Кошелсва Корректоры Г. В. Подволъская, Е. В. СиЭоркино Сдано в набор 5.04.1976 г. Подписано к печати 31.08.1976 г. Бумага 84ХЮ8'/з2. Физ. печ. л. 12,25. Условн. печ. л. 20,58. Уч.-изд. л. 17,87. Тираж 10 000 экз. Т-15762. Цена книги 1 р. 29 к. Заказ Ns 94. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства «Наука», 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25 J» Т 20203— 118 053 (02)-76 ^Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1976. ОГЛАВЛЕНИЕ ! Предисловие ......••••••• ; 7 S Глава I. Введение .......•••• 9 § 1. Кольца и алгебры множеств ....... J § 2. Полукольца ...,..••••• it § 3. Борелевские кольца и алгебры, б-кольца. Ьорелев- скио множества .....••••• § 4. Последовательности множеств, их пределы (по Бо- релю) ......••••••• § 5. Функции множества, коночная и счетная аддитив- ность .....•••••••• '-4 § 6. Непрерывность счетно-аддитивной функции, задап- i ной на кольце .....•••••• °_> j § 7. О группировке членов положительного ряда . . о" t Глава II. Мера — начальные сведения . . . . I . . 35 I § 1. Абстрактная мера, ее общие свойства; всроя^ност- 'I ная мера ....•••••••• 35 ' § 2. Продолжение меры — постановка задачи ... 41 § 3. Продолжение меры с полукольца на кольцо, мини- мальное над ним ......•••• ^3 § 4. Мера Стилтьеса на прямой, критерий счотпоп адди- тивности .......•;••• •46 § 5. Функция распределения меры на прямой ... 51 § 6. Мера Стилтьеса на плоскости и в ге-мериом прост- § 7. Функция распределения меры на плоскости и в ^ га-мерном пространство ........ "О § 8. Классы а {М) и 6 (М); ^-измеримость .... /4 § 9. Лузинские меры .......... '9 § 10. Бореловские меры. Полные меры ..... 8U Глава III. Продолжение меры. Меры Лебега и Лебега — Стилтьеса. ........•• 86 § 1. Внутренняя и внешняя меры, индуцированные про- извольной мерой. Продолжение меры по схеме древ- них греков ............ 86 § 2. Продолжение меры но схеме Жордана .... 91 § 3. Продолжение счетно-аддитпвной меры с кольца -V на классы о(М) и 6(М) .. ^ ...... 93 § 4. Продолжение счетно-аддитивной меры с 6-кольца М на класс а(М) .......••• 105 f 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 5. Продолжение счетно-аддитивной меры по схеме Ле- бега. Внутренняя и внешняя меры Лебега . . . 105 § 6. Свойства лебеговского продолжения. Борелевскос продолжение счетно-аддитивной меры . . . . 110 § 7. Мера Лебега на прямой . . . . . . . . 114 § 8. Мера Лебега — Стилтьеса на прямой .... 120 § 9. Функция распределения счетно-аддитивной меры на прямой ............. 124 § 10. Мера Лебега на плоскости и в га-мерном простран- стве .............. 126 . § 11. Мера Лебега—Стилтьеса на плоскости и в ге-мер- пом пространстве .......... 134 § 12. Функция распределения счетно-аддитивной меры на плоскости и в га-мерном пространстве ... . 137 Глава IV. Измеримые функции ....... 144 § 1. Д-измеримые функции, их простейшие свойства. Бо- рслевские функции и функции, измеримые по Ле- бегу . . . .......... 144 § 2. Характеристические функции. Ступенчатые функ- ции .............. 148 § 3. Арифметические операции над измеримыми функ- циями, суперпозиции ......... 153 § 4. ^-измеримые функции. Понятие «почти всюду» . 156 . § 5. Сходимость почти всюду, сходимость по мере . . 159 § 6. Теорема Д. Ф. Егорова ........ 166 § 7. Теорема Н. Н. Лузина . ....... 168 Глава V. Произведение мер ......... 175 § 1. Ступенчатый интеграл ........ 175 § 2. Прямые произведения множеств и классов мно- жеств ............. 179 § 3. Произведение мер, заданных на полукольцах . . 185 § 4. Лебеговское и борелевское произведения мер . . 190 Глава VI. Интеграл по лузинской мере (случай неотрица- тельной функции) . . ...... 198 § 1. Ординатные множества . . ...... 198 § 2. Интеграл от неотрицательной функции — определе- ние и простейшие свойства ....... 202 § 3. Простейшие свойства, специфические для интегра- ла от неотрицательной функции ...... 207 § 4. Интегрирование последовательностей неотрицатель- ных функций ........... 212 § 5. Линейность интеграла ......... 218 § 6. Интегрирование положительных рядов .... 220 Глава VII. Интеграл по лузинской мере (без ограничения на знак функции) ........ 223 § 1. Определение ........... 223 § 2. Простейшие свойства интеграла. Теорема Лебега 225 § 3. Интегральные суммы Лебега ...... 235 § 4. Интегральные суммы Римана. Интеграл Римана . 238 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 5. Интеграл как функция множества. Абсолютная не- прерывность ........... 247 § 6. Свойства интеграла, связанные с операциями над мерой; интегральное преобразование меры . . 253 § 7. Атомы, непрерывно распределенная мера, интеграл при наличии атомов ......... 259 Глава VIII. Интеграл Лебега и Лебега —Стилтьеса . . 265 § 1. Интеграл Лебега .......... 265 § 2. Интеграл Лебега — Стилтьеса — вводные замечания, терминология и обозначения ....... 270 § 3. Дискретная мера Лебега — Стилтьеса; интеграл в этом случае ........... 274 § 4. Мера Лебега — Стилтьеса, заданная интегралом; ин- теграл по такой мере . . ...... 279 § 5. Свойства интеграла Лебега — Стилтьеса, связанные с простейшими операциями над мерами . . . 284 § 6. Интеграл Лебега — Стилтьеса при наличии атомов 287 Глава IX. Теорема Фубини ......... 292 § 1. Монотонные классы множеств ...... 292 § 2. Свойство Фубини .......... 294 § 3. Теорема Фубини в случае борелевского произведе- ния мер для конечного прямоугольника и ограни- ченной функции .......... 299 § 4. Теорема Фубини для борелевского произведения мер в случае существования внутреннего интег- рала . . . .......... 30$ § 5. Свойство Фубини в широком смысле . . . . 31». i; 6. Теорема Фубини для борелевского произведения ' мер в общем случае ......... 315 § 7. Теоремы о сечениях множеств и функций . . . 318 § 8. Теорема Фубини в случае лебеговского произведе- ния мер ......... ... 320 Глава X. Преобразование интеграла при отображении . 327 § 1. Измеримые отображения . . ..... 327 § 2. Преобразование меры при отображении . . . 332 ^ 3. Преобразование интеграла при отображении. Связь абстрактного интеграла с одномерным интегралом Лебега — Стилтьеса ......... 333 Глава XI. Функции множества на борелевскнх кольцах 340 § 1. Сосредоточенные функции. Свойства меры, задан- ной па борелевском кольце ....... 34U ^ 2. Обобщенная мера .......... 341 § 3. Вариации функции множества. Вариации интеграла 344 § 4. Ограниченность счетно-аддитивной функции, задан- ной на борелевском кольцо ...... J 3-i6 § 5. Теорема Жордана о вариациях счетио-аддитивнои функции, заданной на борелевском кольце; ее след- ствия .......•••••• "'*' 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 6. Разложение и смысле Хана ....... 350 § 7. Разложение функции множества на абсолютно не- прерывную и сингулярную составляющие (разло- жение в смысле Лебега) ........ 354 Глава XII. Теорема Радона—Никодима и ее приложения 361 § 1. Теорема Радона — Никодпма для борелевской ал- гебры ............. 361 § 2. Усиление теоремы Радона — Никодпма .... 364 ^ § 3. Интеграл по абсолютно непрерывной мере . . . 367 § 4. Лебеговское разложение интеграла на абсолютно не- . . ирерывную и сингулярную составляющие . . 368 § 5. Лебеговское разложение интеграла при наличии атомов ............. 370 § 6. Лебеговское разложение интеграла Лебега — Стил- тьеса ............. 372 § 7. Абсолютно непрерывные и сингулярные функции точки на прямой. Неопределенный интеграл Лебега 376 Глава XIII. Интеграл по обобщенной мере ..... 385 § 1. Определение ........... 385 § 2. Лебеговское разложение интеграла по обобщенной мере ............. 386 § 3. Обобщенная мера Лебега — Стилтьеса; интеграл по такой мере ............ 389 § 4. Лебеговское разложение интеграла Лебега — Стил- тьеса по обобщенной мере ....... 391 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга — результат основательной обработки лек- ций, читавшихся автором в последние годы с целью вос- полнить недостающее в сведениях о мере и интеграле, сообщаемых студентам в обычном курсе математического анализа, в частности, дать базу для достаточно современ- ного изложения теоретико-вероятностных дисциплин. Книга доступна читателю, знакомому с простейшими опе- рациями над множествами, с началами дифференциально- го и интегрального исчисления и имеющему представле- ние о многомерных евклидовых и метрических пространст- вах, включая понятия открытых и замкнутых множеств. Книга содержит элементы теории меры, сведения об измеримых функциях, теорию абстрактного интеграла Лебега (включая теорему Фубини) и теорию .обычных интегралов Лебега и Лебега — Стилтьеса, сведения о функциях множества (включая понятие вариации функ- ции множества и теорему Радона — Никодима). Книга в целом — нечто среднее между монографией и учебным пособием. Она почти не содержит специальных упражнений, но это в какой-то мере компенсируется до- вольно большим количеством иллюстрирующих примеров, замечаний и дополнительного материала. Способ изложения (за малым исключением) сильно отличается от принятого в известных книгах С. Сакса, П. Халмоша, Г. Е. Шилова, А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина и др. Интеграл от положительной функ- ции вводится на геометрической основе — как «площадь» соответствующей «криволинейной трапеции» в декартовом произведении рассматриваемого абстрактного пространст- ва и числовой прямой. В результате многие свойства аб- страктного интеграла оказываются либо простыми анало- гиями элементарно-геометрических фактов, либо — в тео- ремах о предельном переходе — некоторыми перефрази- ПРЕДИСЛОВИЕ ровками свойства непрерывности счетно-аддитивнои ме- ры; последнее свойство, таким образом, в нашем изложе- нии приобретает особое значение, его роль в теории ин- теграла становится более ощутимой. В этой теории используется два сорта счетно-аддитив- пых мер, названных автором лузинскими и борелевскилш; вторые — разновидность первых. Борелевские меры в не- ^ котором смысле оптимальны. Любая лузипская мера до- вольно просто продолжается до борелевской. Обычные. меры Лебега и Лебега — Стилтьеса — разновидности боре- левских мер. В основном теория интеграла строится для лузинской меры. Однако в некоторых важных вопросах приходится ограничиваться случаем борелевской меры. Например, теорема Фубини в формулировках §§ 6 и 8 гл. IX (справедливая для борелевских мер), вообще гово- ря, неверна для лузйнских мер. Подобным образом дело обстоит с теоремами § 7 гл. XI о разложении счетпо-ад- дитивнои функции па абсолютно непрерывную и сингу- лярную составляющие. В теории меры существенную роль играют введенные автором классы о- и б-множеств, по многим свойствам на- поминающих открытые и замкнутые множества тополо- гических- пространств. Автор чрезвычайно благодарен доценту Б. П. Антоно- ву за помощь при подготовке книги к печати. Без этой помощи, нужно прямо сказать, книга вряд ли была бы издана — во всяком случае в ближайшие годы. Работе помогли очень хорошие записи лекций, сделанные моим слушателем И. А. Кирилловым, которого я также очень благодарю. Москва, 27 февраля 1974 г. Г. Толстое ГЛАВА I ВВЕДЕНИЕ § 1. Кольца и алгебры множеств Непустой класс К множеств *) называют кольцом, ее ли из условий Л е= К, В е= К всегда следует, что A[jBeK, А\В(=К — см. схематический рис. 1. (1) (2) (2) Примеры колец множеств (выполнение условий (1)— ) легко проверяется): 1. Класс К, содержащий только пустое множество О. 2. Класс К == {О, Е}, содержащий только два множе- ства,— пустое множество О и какое-нибудь множество Е ^ О. 3. Класс К всех подмножеств какого-нибудь множест- ва Е, 4. Класс К всех конечных подмножеств какого-нибудь множества Е. *] Класс множеств — это множество, элементы которого сами являются множествами. Можно было бы, конечно, говорить о мно- жестве множеств. 10 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I 5. Класс К всех конечных и счетных подмножеств произвольного множества Е. 6. Класс К всех ограниченных подмножеств произволь- ного фиксированного множества Е из га-мерного евклидо- ва пространства Л". 7. Класс К всех конечных (или всех конечных и бес- конечных) промежутков 'числовой прямой и конечных систем таких промежутков без общих точек*)—см. рис.2. Рис. 2. 8. Класс К всех конечных (пли всех конечных и бес- конечных) промежутков числовой прямой и конечных си- стем таких промежутков без общих точек, содержащихся в фиксированном множестве Е — см. рис. 3. Рис. 3. 9. Класс К всех промежутков числовой прямой вида [«, ^)**) (или вида [ст, J3) и [ст, +оо); или вида [ст. J3) и (— ос, ^); или вида [к, ^), [к, + оо), (— оо, ^), (— оо. -|-оо)) и конечных систем таких промежутков без об- щих точек — см. рис. 4. Рис. 4. ^Одноточечные промежутки вида [а, а] п пустые проме- жутки (к, а), [«, «), (а,а] не исключаются. **) Здесь и далее, если не оговорено противное, а и (3 —- числа (а sg; (3); пустой полуинтервал [а, ») не исключается. § 1] КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ 11 10. Тот же класс, что и в примере 9, но рассматрива- ются лишь промежутки, содержащиеся в фиксированном множестве Е *). Простейшие свойства колец: I. Всякое кольцо К содержит пустое множество О. В самом деле, так как класс К. непуст (по определе- нию .кольца), то существует множество А <=К. Поэтому и О = А \ A s К (как разность двух множеств коль- ца - см. (1)-(2)). II. Если К. — кольцо, A s К, В ^ К, то А П В е К. (3) Действительно, легко проверить, что А^\В^А\(А\В) — см. рис. 5. Но А <^ К по условию, А \ В ЕЕ К по опре- делению кольца. Поэтому, опять- таки по определению кольца, и А \ (А \ В) е К, откуда и следу- ет (3). Рис. 5. Замечание. Таким образом, кольцо, т. е. класс множеств, ин- вариантный относительно объеди- нения и разности двух множеств, оказывается инвариантным и от- носительно их пересечения. Одна- ко класс множеств, инвариантный относительно вычитания и пере- сечения двух множеств, вообще го- воря, не инвариантен относитель- но их объединения, т. е. не является кольцом. Таков, на- пример, класс из трех множеств О, А == [О, I], В ==' == [2, 3] — см. рис. 6. Рис. 6. *) В примерах 9 и 10 рассматриваются промежутки, откры- тые справа. Аналогичные примеры можно было бы привести и для промежутков, открытых слева. Г. П. ТОЛСТОВ МЕРА И ИНТЕГРАЛ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1976