ББК 22.19 Н64 УДК 519.6 Никольский С.М. Квадратурные формулы.— 4-е изд., доп. с добавлением Н. П. Корнейчука.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.— 256 с. ISBN 5-02-013786-3 Посвящена некоторым общим вопросам теории квадратурных формул: оценке приближений, выбору наилучшей формулы и др. Добавление отражает наиболее важные теоретические резуль- таты, полученные с начала выхода первого издания до наших дней. Третье издание вышло в 1979 г. Для инженеров, научных работников и студентов, знакомых с математическим анализом в объеме программы технических вузов. Табл. 4. Ил. 11. Библиогр. 120 назв. ц 1702070000—062 qg gg 053(02)-88 ©Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1979, с дополнениями, 1988 ISBN 5-02-013786-3 ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ При подготовке четвертого издания переработан § Д.4, который дополнен обзором новых результатов по оптими- зации квадратурных формул. Существенно расширен спи- сок литературы к Добавлению. Интерес к экстремальным задачам теории квадратур не ослабевает. За последние годы получен ряд новых ре- зультатов в решении задачи оптимального восстановления определенного интеграла; это стало возможным, главным образом, благодаря существенному продвижению в иссле- довании экстремальных свойств моносплайнов и их обоб- щений. С учетом этих новых фактов переработан и допол- нен обзор результатов в § Д.4. С. М. Никольский, Н. П. Корнейчук ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Второе издание этой книги состоит из двух частей. Первая часть есть некоторое улучшение первого изда- ния. Существенных изменений здесь не произошло — исправлены лишь замеченные недочеты, в отдельных ме- стах упрощены доказательства, уточнены числовые кон- станты. Вторая часть написана П. П. Корнейчуком и пред- ставляет собой дополнение к первой. Она отражает наи- более важные результаты, непосредственно связанные с идеями, изложенными в первом издании, полученные в математической литературе уже после выхода в свет первого издания. Самому Николаю Павловичу Корнейчуку и его уче- никам — научным сотрудникам Днепропетровского госу' дарственного университета — принадлежит существенная доля в этих результатах. Я выражаю Николаю Павловичу свою глубокую бла- годарность за это дополнение, значительно повысившее актуальность книги. С. М. Никольский § 1. ПРОСТЕЙШИЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ Предположим, что нам падо вычислить приближенно определенный интеграл от некоторой положительной не- прерывной функции /(ж) на отрезке [а, Ь]. х 2 Рис. 1. Очень простое приближенное выражение интеграла представляет собой вели- А у чина площади прямо- угольника, основанием которого служит отрезок [а, Ь], а высотой ордината /((а+6)/2) графика фун- кции /(ж) в средней точке (а + Ь)/2 этого отрезка (рис. 1). Мы получили, таким образом, приближенную квадратурную формулу 'х\ dx (1.1) имеющую смысл для любой непрерывной функции, не обязательно положительной. Левая часть здесь равна правой, если функция f(x) есть произвольная линейная функция Ax + В, где А, В — константы. Мы будем говорить в связи с этим, что наша приближенная квадратурная формула точна для любой функции /(ж), представляющей собой произвольную ли- нейную функцию. Мы рассмотрели простейшую квадратурную формулу прямоугольников. Несколько более сложной является формула трапеций. В случае положительной функции f{x) она сводится к тому, что определенный интеграл за- меняется числом, равным площади трапеции, сторонами которой является отрезок [а, Ь] оси Ох, отрезки прямых х='ацх==Ьц хорда АВ графика функции (рис. 2). 5 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ДОБАВЛЕНИЮ 1. Аксень М. В., Турецкий А. X. О наилучших квадратурных фор- мулах для некоторых классов функций // ДАН СССР.— 1966. il66, № 5.—С. 1019—1021. 2. Аксень М. Б., Турецкий А. X. Наилучшие квадратурные фор- мулы для некоторых классов функций // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.— 1966.— № 1.—С. 14—27. 3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее при- ложения.— М.: Мир, 1972. 4. Алхимова В. М. Наилучшие квадратурные формулы с равно- отстоящими узлами Ц ДАН СССР.— 1972.— 202, № 2.— С. 263— 266. 5. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации.—М.: Наука, 1965. 6. Бернштейн С. Н. О некоторых экстремальных свойствах после- довательных интегралов // Бернштейн С. Н. Собр. соч.— Т. II.— М.: Изд-во АН СССР, 1954.— С. 170—172. 7. Бусарова Т. Н. Квадратуры с наименьшей оценкой остатка для одного класса периодических функций // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функ- ций и их приложениям.— Днепропетровск, 1972.— С. 16—19. 8. Бусарова Т. Н. О порядке остатка фрмулы прямоугольников для фиксированных функций // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их при- ложениям.— Днепропетровск, 1973.— С. 13—15. 9. Бусарова Т. Н. Наилучшие квадратурные формулы для одного класса дифференцируемых периодических функций // Укр. мат. ж.— 1973.— 25, № 3.— С. 291—301. 10. Великий В. Л. О квадратурных формулах, связанных с эрми- товыми интерполяционными сплайнами // Исследования по со- временным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям.— Днепропетровск, 1973.— С. 16—19. 11. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций.— М.: Гостехиздат, 1954. 12. Ибрагимов И. И., Алиев Р. М. Наилучшие квадратурные фор- мулы для некоторых классов функций // ДАН СССР.— 1965.— 162, № 1.— С. 23—25. 13. Ибрагимов И. И., Алиев Р. М. О некоторых наилучших куба- турных формулах // Изв. АН УзССР.— 1967.— № 3.— 4.— С. 154—161. 14. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями по- следовательных производных произвольной функции па беско- нечном интервале // Уч.-зап. Моск. ун-та. Математика.— 1939.— Вып. 30.— С. 3—13. 15. Коман Г. Кубатурпо-оптимальные формулы для некоторых классов функций ff Rev. roum. math. pures et appl.— 1972.— 17, № 7.— С. 1025—1036. 248 16. Корнейчук Н. П. Об экстремальных свойствах периодических функций II ДАН УССР. Сор. А.— 1962.— № 8.— С. 993—998. 17. Корнейчук Н. П. Наилучшие кубатурные формулы для некото- рых классов функций многих переменных // Мат. заметки — 1968.—3, № 5.—С. 565—576. 18. Корнейчук Н. П., Лушпай Н. Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно- полиномиальное приближение // Изв. АН СССР. Сер. мат — 1969.— 33, № 6.— С. 1416—1437. 19. Корнейчук Н. П. Экстремальные значения функционалов и на- илучшее приближение на классах периодических функций // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1971.—35, № 1.— С. 93—124. 20. Косюк С. Д., Гнуен Суан Гнует. К вопросу о наилучших квад- ратурных формулах для некоторых классов функций // На- учные тр. Ташкентского ун-та.— 1968.— Вып. 320.— С. 58—72. 21. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.— М.: Наука,1967. 22. Левин М. И. Экстремальная задача для одного класса функ- ций Н Изв. АН ЭССР. Сер. техн. и физ.-мат.— 1963.— 12, № 2.— С. 141-145. 23. Левин М. И. Одна экстремальная задача для квадратурной формулы Маркова // Изв. АН ЭССР. Сер. техн. и физ.-мат.— 1969.— 18, № 2.— С. 249— 252. 24. Левин М. И. Экстремальные задачи для квадратурных формул на некоторых множествах функций // Изв. АН ЭССР. Сер. техн. и физ.-мат.— 1970.— 19, № 4.— С. 407—413. 25. Левин М. И. Одно свойство наилучших формул численного ин- тегрирования II Изв. АН ЭССР. Сер. техн. и физ.-мат.— 1971.— 20, № 1.— С. 90—91. 26. Лушпай Н. Е. Наилучшие квадратурные формулы на некото- рых классах функций // Материалы межвузовской конферен- ции молодых ученых-математиков.— Харьков, 1966.— С 58— 62. 27. Лушпай Н. Е. Наилучшие квадратурные формулы для неко- торых классов функций // Изв. вузов. Математика.—1969.— № 12.— С. 53—59. 28. Лушпай Н. Е. Наилучшие квадратурные формулы на классах дифференцируемых периодических функций // Мат. заметки.— 1969.—6, № 4.—С. 475—480. 29. Лушпай Н. Е. О точной оценке погрешности квадратурной фор- мулы С. М. Никольского для дифференцируемых периодиче- ских функций: Научные записки // Сб. работ асп. ДГУ (мех. мат.).—Днепропетровск, 1970.—С. 138—144. .'i0. Лушпай Н. Е. Оптимальные квадратурные формулы для диф- ференцируемых периодических функций // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям.— Днепропетровск, 1972.— С. 53— 55. 31. Лушпай Н. Е. О наилучших кубатурпых формулах для одного класса дифференцируемых функций двух переменных // Сб. работ, асп. ДГУ (мех. мат.).—Днепропетровск, 1972.—С. 35— 39. :i2. Лушпай Н. Е. Квадратурные формулы типа формулы Маркова с наименьшей оценкой остатка // Исследования по современ- ным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям.— Днепропетровск, 1973.— С. 70—75. 249 33. Душ-пай Н. Е. Об одной оптимальной квадратуре для класса дифференцируемых периодических функций // Изв. вузов. Математика— 1973.— № 4 (131).—С. 57—62. 34. Малоземов В. II. Оценка точности одной квадратурной форму- лы для периодических функций // Вести. ЛГУ. Математика механика, астрономия.—1967.—№ 1, вып. 1.—С. 52—59. 35. Малоземов В. И. О точности квадратурной формулы прямо- угольников II Мат. заметки.— 1967.— 2, № 4.— С. 357—360. 36. Моторный В. П. О наилучшей квадратурной формуле вид,] та V p^f (х^\ для некоторых классов периодических диффереп цируемых функций // ДАН СССР.—1973.—211, № 5.- С. 1060—1062. 37. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полна Г. Неравенства.— М.: ИЛ, 1948. 38. Шац Ц. Об одной наилучшей кубатурной формуле, содержа- щей частные производные от функции // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.— 1970.— № 3.— С. 68—72. 39. Ahlberg J. H., Nilson E. N. The approximation of linear funclio nals II J. Soc. Ind. Appl. Math. Numer. Analysis. Ser. B3.— 1966.— P. 173—182 40. Coman Ch., Micula Ch. Optimal cubaturo formulae // Rend. mat.- 1971.- 4, № 2.- Р. 303-311. 41. Coman Ch. Monosplines and optimal quadrature formulae // Bend. mat.— 1972.— 5, № З,— Р. 567—577. 42. Kautsky J. Optimal quadrature formulae and minimal monospli- nes in Ly II J. Austr. Math. Soc.—1970.— 21, № 1.— Р. 48—56. 43. Schoenberg I. J. Spline interpolation and best quadrature for mulae // Bull. Amer. Math. Soc.—1964.—70.—P. 143—148. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ 44. Бабенко В. Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилуч- ших для некоторых классов функций кубатурных формул //' Мат. заметки.— 1976.— 19, № 3.— С. 313—322. 45. Бабенко В. Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Мат. заметки.— 1976.— 20, № 4.— С. 589—595. 46. Бабенко В. Ф. Об оптимальной оценке погрешности кубатур- ных формул на некоторых классах непрерывных функций // Anal. Math.— 1977.— 3, № 1.— С. 3—9. 47. Бабенко В. Ф. Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций // Укр. мат. журн.— 1982.— 34, № 4.— С. 409—416. 48. Бабенко В. Ф. Неравенства для перестановок дифференцируе- мых периодических функций, задачи приближения и прибли- женного интегрирования // ДАН СССР.—1983.— 272, № 5.— С. 1038—1041. 49. Бабенко В. Ф. Об одной задаче оптимизации приближенного интегрирования // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям.— Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского ун-та, 1984.— С. 3— 13. 250 50. Бабенко В. Ф. Интерполяция сплайнами минимального дефек- та и наилучшие квадратурные формулы с фиксированными уз- лами II Исследования но современным проблемам суммирова- ния и приближения функций и их приложениям.— Днепропет- ровск; Изд-во Днепропетровского ун-та, 1985.—С. 3—11. 51. Бабенко В. Ф. Точные неравенства для перестановок периоди- ческих мопосплайнов и наилучшие квадратурные формулы Ц Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям.— Днепропетровск; Изд-во Днепропетровского ун-та, 1986.— С. 4—16. 52. Бабенко В. Ф. Наилучшие квадратурные формулы для некото- рых классов сверток // Исследования но теоретическим и при- кладным вопросам математики.— Киев; Ип-т математики АН УССР, 1986.— С. 7—10. 53. Бабенко В. Ф. Приближения, поперечники и наилучшие квад- ратурные формулы для классов периодических функций с пе- рестановочно инвариантными множествами производных // Anal. Math.— 1987.— 13, № 4.— С. 15—28. 54. Бабенко В. Ф., Назло Г. В. Сравнение квадратурных формул, использующих значения производных, с простыми форму- лами II Исследования по современным проблемам суммирова- ния и приближения функций и их приложениям.— Днепропет- ровск: Изд-во Днепропетровского ун-та, 1980.— С. 7—10. 55. Боянов Б. Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций II ДАН СССР.— 1977.— 232, № 6.— С. 1233—1236. 56. Боянов Б. Д. Существование оптимальных квадратурных фор- мул с заданными кратностями узлов // Мат. сб.— 1978.— 105 (147), № З.—С. 342—370. 57. Боянов Б. Д. Единственность оптимальных квадратурных фор- мул И ДАН СССР.— 1979.— 248, № 2.— С. 272—274. 58. Великий В. Л. Эрмитовы сплайны и связанные с ними ква- дратурные формулы для некоторых классов дифференци- руемых функций II Изв. вузов. Математика.—1976.— № 5.— С. 15-28. 59. Гранкина Т. А. О наилучших квадратурных формулах для некоторых классов функций, представимых в виде свер- ток II Рукопись депонирована в ВИНИТИ 22 дек. 1981 г., № 5782-81. 60. Женсыкбаев А. А. О наилучшей квадратурной формуле на классе WLp Ц ДАН СССР.— 1976.— 227, № 2.— С. 277—279. 61. Женсыкбаев А. А. Наилучшая квадратурная формула для не- которых классов периодических дифференцируемых функ- ций II Изв. АН СССР. Сер. мат.—1977.—41, № 5.—С. 1110— 1124. 62. Женсыкбаев А. А. О наилучших квадратурных формулах для некоторых классов непериодических функций // ДАН СССР.— 1977.— 236, № 3.— С. 531—534. 63. Женсыкбаев А. А. Об одном свойстве наилучших квадратур- ных формул II Мат. заметки.— 1978.— 23, № 4.— С. 551—562. 64. Женсыкбаев А. А. Характеристические свойства наилучших квадратурных формул // Сиб. мат. журн.—1979.— 20, № 1.— С. 49—68. 65. Женсыкбаев А. А. Моносплайны и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов непериодических функций // Anal. Math.— 1979.— 4, № 5.— С. 301—331. 251 66. Женсыкбаев А. А. Мопосплайны минимальной нормы и наи- лучшие квадратурные формулы // УМП.— 1981.— 3(1, № 4 (220).—С. 107—159. 67. Женсыкбаев А. А. Об экстремальности моносплайпов мини- мального дефекта // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1982.— 46, № 6.—С. 1175—1198. 68. Корнейчук, Н. П. Экстремальные задачи теории приближения.— М.: Наука, 1976. 69. Левин М. И., Гиршович Ю. М. Экстремальные задачи для ку- батурных формул II ДАН СССР.— 1977.— 236, № 6. 70. Левин М. И., Гиршович Ю. М. Наилучшие кубатурные форму- лы на множествах периодических функций // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат.— 1977.— 26, № 2.—С. 114—122. 71. Лигун А. А. Точные неравенства для сплайн-функций и наи- лучшие квадратурные формулы для некоторых классов функ- ций II Мат. заметки.— 1976.— 19, № 6.— С. 913—926. 72. Лигун А. А. О наилучших квадратурных формулах для неко- торых классов периодических функций // Мат. заметки.— 1978.— 24, № 5.— С. 661—669. 73. Лушпай Н. Е. Наилучшая квадратурная формула на классе ТУ'7.2 периодических функций // Мат. заметки.— 1974.—16, № 2.- С. 193-204. 74. Лушпай Н. Е. Наилучшие квадратурные формулы для некото- рых классов функций с интегрируемой г-й производной // Изв. вузов. Математика. —1975.— № 3.— С. 59—71. 75. Лушпай Н. Е., Переверзев С. В. О наилучших кубатурных фор- мулах для классов дифференцируемых функций двух перемен- ных II Исследования по современным проблемам суммирова- ния и приближения функций и их приложениям.— Днепропет- ровск; Изд-во Днепропетровского ун-та, 1976.— С. 38—45. 76. Моторный В. Л. О наилучшей квадратурной формуле вида та 2 Pif (x^) для некоторых классов периодических дифферон- i=i цируемых функций // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1974.— 38, № 3.— С. 583—614. 77. Мырзанов Ж. Е. О приближенном интегрировании функций двух переменных // Укр. мат. журн.—1986.— 38, № 4.— С. 509—514. 78. Нгуен Тхи Тхьеу Хоа. О наилучших методах интегрирования и восстановления функций на классах, задаваемых свертками, не увеличивающими осцилляцию // УМН.— 1984.— 39, № 2.— С. 177—178. 79. Нгуен Тхи Тхьеу Хоа. Наилучшие квадратурные формулы и методы восстановления функций, определяемых ядрами, не увеличивающими осцилляцию // Мат. сб.— 1986.— 130, № 1.— С. 105—119. 80. Осколков К. И. Об оптимальности квадратурной формулы с равноотстоящими узлами на классах периодических функ- ций Н ДАН СССР.- 1979.- 249, № 1.- С. 49-52. 81. Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР.— 1963.— 148, № 5— С. 1042—1045. 82. Темляков В. Н. Приближенное восстановление периодических функций нескольких переменных // Мат. сб.— 1985.— 128, № 2.— С. 256—268. 252 83. Тот Д. Фейеш. Расположения на плоскости, на сфере и в про- странстве.— М.: Физматгиз, 1958. 84. Трауб Дж., Вожьняковский X. Общая теория оптимальных ал- горитмов.— М.: Мир, 1983. 85. Чахкиев М. А. Об оптимальности равноотстоящих узлов // ДАН СССР.— 1982.— 264, № 4.— С. 836—839. 86. Чахкиев М. А. Линейные дифференциальные операторы с ве- щественным спектром и оптимальные квадратурные форму- лы Н Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1984.— 48, № 5.— С. 1078— 1108. 87. Шарипов Р. Н. Наилучшие интервальные квадратурные фор- мулы для классов Липшица // Конструктивная теория функ- ций и функциональный анализ.— Казань; Изд-во Казанского ун-та, 1983. 88. Barrar R., Loeb H. On a nonlinear characterization problem for monosplines // J. Approx. Th.— 1976.—18, № 3.— Р. 220—240. 89. Bojanov В. D. Uniqueness of the Optimal Notes of Quadrature Formulae // Math. Сотр.— 1981.— 36, № 154.— Р. 525—546. 90. Girschovich J. Extremal properties of Euler—Maclaurin and Gregory quadrature formulas // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат.— 1978.— 27, № 3.— S. 259—265. 91. Jetter К., Lange G. Die Eindeutigkeit T^-optimaler polinomialer Monosplines // Math. Zeith.—1978.—158.—S. 23—34. 92. Johnson в. S. On monosphlines of least deviation // Trans. Amer. Math. Soc.— I960,— 96.— P. 458—477. 93. Karlin S. Total positivity.— Stanford University Press, 1968. 94. Karlin S. The fundamental theorem of algebra for monosplines satisfyingcertain boundary conditions and applications to opti- mal quadrature formulas // Approximation with special empha- sis on spline functions.— N.-Y.: Acad. Press, 1969.— P. 467—484. 95. Levin M. On the evaluation of double integrals // Constructive function theory'81.— Sofia, 1983.— P. 414—418. 96. Mairhuber J. C., Schoenberg I. J., Williamson R. E. On variation diminishing transformations on the Circle // Rend Circ. Mat. Palermo.— 1959.— № 8.— P. 241—270. 97. Oskolkov К. I. On Optimal Quadrature Formulae on Certain Classes of Periodic Functions // Appl. Math. Optim.— 1982.— 8.— P. 245-263. 98. Rice J. R. The approximation of functions. V. II // Nonlinear and mullivariate theory.— Reading: Addison-Wesley, 1969. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор информации 220 Интерполяционная формула Лагранжа 8 Интерполяционные сплайны 199 Квадратурная формула Гаусса — — Котеса 29 — — наилучшая (оптимальная) 66,129 — — прямоугольников 5, 28 — — Симпсона 6, 29. — — типа Эйлера — Маклорена 215 .— — точная для многочленов данной степени 9 — — трапеций 6, 28 — — усложненная 37 — — Чебышева 12, 32 Класс функций K-s-F 230 — - Я"(Д) 177 эа (Д) 176 Я"^ (Д) 176 Н®. 236 W^ (или WLp) 17, 129 WLp 159 Ту(г)я(») 15 Класс функций ТУ('')Ящ 16 W 224 И^Ьр 229 — — WF 226 Константа Сг 27 — К, 189 — к 46 Многочлен Лежандра 123 — Ягд(а, h, x) 138 Многочлены Чебышева Т„(х} и Qn(x) 113 Множество П-инвариантное 221; Модуль непрерывности 15 Моносплайп 210 Оптимальное восстановление интеграла 220 Убывающая перестановка 226 Фундаментальные сплайны 206 Функция Бернулли 210 — В*, (t) 160 — Dr(t) 159 — Fr(t) 23 — Kr{t) 21 t^ 131 (pn,r(ct, p; t) 224 254 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к четвертому изданию ....... 3 Из предисловия ко второму изданию ....... ч § 1. Простейшие квадратурные формулы ..... 5 § 2. Классы функций ........... 10 § 3. Формула Тейлора ........... "" § 4. Точная оценка приближения квадратурной формулы ^ § 5. Численные константы для частных квадратурных формул ......•••••••• ' § 6. Усложненные квадратурные формулы. Оценки прибли- жений сверху для классов функций ...... * § 7. Оценки для индивидуальных функций. Выбор квадра- турной формулы ........... гы § 8. Константа к. Уточнение квадратурной формулы . . 53 § 9. Оценки для многомерных квадратурных формул . . •i6 § 10. Экстремальные задачи ......... 65 § 11. Наилучшая квадратурная формула для класса tV"+l(Af; 0,m) с равноотстоящими узлами ... 81 § 12. Квадратурные формулы, в которые входят значения производных функции .......... 87 § 13. Интерполяционная формула Эрмита ..... 90 § 14. Общая экстремальная задача ....... 93 § 15. Многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля .............. 113 § 16. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля в мет- рике Lp .............. 118 § 17. Многочлены Лежандра. Квадратурная формула Гаусса 123 Список литературы ............ 126 Добавление. О новых результатах по экстремальным за- дачам теории квадратур (Я. Я. Корнейчук) . . . 127 § Д.1. Минимизация нормы кусочно полиномиальной функ- ции ............... 129 § Д.2. Результаты, полученные путем оценки остатка на функциях, обращающих в нуль квадратурную сумму 172 § Д.З. Оптимальные квадратурные формулы с фиксирован- ными узлами для класса WLy. ....... 197 § Д.4. О некоторых дальнейших результатах по экстремаль- ным задачам теории квадратур ...... 209 Список литературы к добавлению ........ 248 Дополнительный список литературы к четвертому изданию 250 Предметный указатель ........... 254 Сергей Михайлович Никольский КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ Издание четвертое, дополненное с Добавлением Н. П. Корнейчука Редактор И. В. Викторенкова Художественный редактор Г. Н. Кольченко Технический редактор Л. В. Лихачева ~ Корректоры Л. И. Назарова, Н. Д. Дорохова ИБ Ns 32556 Сдано в набор 25.06.87. Подписано к печати 15.01.88. формат 84х108'/з2. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 13,44. Усл. кр.-отт. 13,44. Уч.-изд. л. 13,53. Тираж 6000 экз. Заказ № 899. Цена 2 р. 10 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства «Наука» 630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25 С. М. НИКОЛЬСКИЙ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ Издание четвертое, дополненное С Добавлением Н. П. КОРНЕЙЧУКА МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1988