22.161.S И 46 УДК 516 УЧЕБНИК УДОСТОЕН ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ СССР ЗА 1980 ГОД Владимир Александрович Ильин Эдуард Генрихович Позняк АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (Серия: <К.урс высшей математики и математической физики») М.. 1981 г., 232 стр. с илл. Редактор С. А. Широкова Техн. редактор Н. В. Вершинина Корректор О. П Сорокина ИБ № 11908 Печать с матриц. Подписано к печати 25.05.81 Бумага 60X90'/ip. Тип № 2. Литератур- ная гарнитура Высокая печать. Условн. печ. л. 14.5 Уч.-изд. л. 13,19 Тираж 85 000 экз. Заказ № 1202. Цена книги 70 коп. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полигра- фии и книжноП торговли. 1агИ)о2, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29 с матриц ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленин- градского производственно-технического объединения «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15 И 20203—064 053(02)-81 22-81.1702040000 ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов серии .........•••••••••••••••• Предисловие .........•••••••••••••••••••• п Введение ...........•••••••••••••••••••• Глава 1. Системы координат. Простейшие задачи аналитической геометрии ........•...•••••••••••• 1Э § 1. Декартовы координаты на прямой .............. 15 1 Направленные отрезки на оси (15). 2. Линейные операции над направленными отрезками. Основное тождество (16). 3. Декартовы координаты на прямой (17). § 2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве .... 18 1. Декартовы координаты на плоскости (18). 2. Декартовы координаты в пространстве (19). § 3. Простейшие задачи аналитической геометрии ......... 20 1 Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция направленного отрезка на ось (20). 2. Расстояние между двумя точками (21) 3. Деление отрезка в данном отношении (22). 4. Барицентрические координаты (24). § 4. Полярные, цилиндрические и сферические координаты .... 25 1. Полярные координаты (25). 2. Цилиндрические коорди- -— наты (26). 3. Сферические координаты (27). Дополнение к главе 1. Определители второго и третьего поряд- ков .....•..••••••••••••••••••••• 1. Понятие матрицы и определителя второго порядка (28). 2 Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (2»). 3 Определители третьего порядка (31). 4. Свойства определи- телей (33). 5. Алгебраические дополнения и миноры (35). 6. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными с определителем, отличным от нуля (37). 7. Однородная си- стема двух линейных уравнений с тремя неизвестными (40). 8 Однородная система трех линейных уравнении с тремя не- известными (42). 9. Неоднородная система трех линейных урав- нений с тремя неизвестными с определителем, равным нулю (43). Глава 2. Векторная алгебра .........•••••••••• ю § 1. Понятие вектора и линейные операции над векторами .... 46 1. Понятие вектора (46). 2. Линейные операции над векто- оами (W. 3. Понятие линейной зависимости векторов (М). Q ОГЛАВЛЕНИЕ 4. Линейные комбинации двух векторов (54). 5. Линейные ком- бинации трех векторов (55). 6. Линейная зависимость четырех векторов (57). 7. Понятие базиса. Аффинные координаты (59). 8. Проекция вектора на ось и ее свойства (61). 9. Декартова прямоугольная система координат как частный случай аффин- ной системы координат (62). § 2. Скалярное произведение двух векторов ........... 65 1. Определение скалярного произведения (65). 2. Геометри- ческие свойства скалярного произведения (66). 3. Алгебраи- ческие свойства скалярного произведения (67). 4. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах (68). § 3. Векторное и смешанное произведения векторов ....... 69 1. Правые и левые тройки векторов и системы координат (69). 2. Определение векторного произведения двух векторов (71). 3. Геометрические свойства векторного произведения (71). 4. Смешанное произведение трех векторов (73). 5. Алгебраи- ческие свойства векторного произведения (75). 6. Выражение векторного произведения в декартовых координатах (78). 7. Выражение смешанного произведения в декартовых коор- динатах (80). 8. Двойное векторное произведение (81). Глава 3, Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве ............. 83 § 1. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости .......................... 83 § 2. Преобразование декартовых прямоугольных координат в про- странстве .......................... 87 1. Общие формулы преобразования (87). 2. Выяснение геомет- рического смысла. Углы Эйлера (88). Глава 4. Уравнение линии на плоскости. Уравнения поверхности и линии в пространстве ................. 92 § 1. Уравнение линии на плоскости ................ 92 1. Понятие об уравнении линии (92). 2. Параметрическое пред- ставление линии (93). 3. Уравнение линии в различных си- стемах координат (96). 4. Два типа задач, связанных с анали- тическим представлением линии (97). 5. Классификация пло- ских линий (98). 6. О пересечении двух линий (99). § 2. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве . . . 100 1. Понятие об уравнении поверхности (100). -2. Уравнения ли- нии в пространстве (102). 3. Цилиндрические и конические по- верхности (103). 4. Параметрические уравнения линии и поверх- ности в пространстве (105). 5. Классификация поверхностей (107). 6. О пересечении поверхностей и линий в пространстве (108). 7. Заключительные замечания (108). ОГЛАВЛЕНИЕ 4 Глава 5. Линейные образы ................. ... 109 § 1. Различные виды уравнения прямой на плоскости ....... 109 1. Общее уравнение прямой (109). 2. Неполные уравнения пря- мой. Уравнение прямой в отрезках (111). 3. Каноническое урав- нение прямой (112). 4. Параметрические уравнения прямой (113). 5. Прямая с угловым коэффициентом (113). 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (115). 7. Нормированное уравнение прямой. Откло- нение точки от прямой (117). 8. Уравнение пучка прямых (119). § 2. Некоторые задачи на прямую линию на плоскости ...... 122 1. Нахождение прямой, проходящей через данную точку Л1) (-''"i' У\) и составляющей заданный угол q> с данной прямой y=&i.t-|-ui (122). 2. Нахождение биссектрис углов, образо- ванных данными прямыми (123). 3. Условия, при которых дан- ная прямая пересекает данный отрезок АВ (123). 4. Определение местоположения данной точки М и начала координат О отно- сительно углов, образованных двумя данными прямыми (123). 5. Условие пересечения трех прямых в одной точке (124). 6. На- хождение прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых и удовлетворяющей еще одному условию (125). § 3. Различные виды уравнения плоскости ............. 126 1. Общее уравнение плоскости (126). 2. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках (128). 3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпен- дикулярности плоскостей (130). 4. Уравнение плоскости, про- ходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой (130). 5. Нормированное уравнение плоскости. Откло- нение точки от плоскости (131). 6. Пучки и связки плоскостей (133). § 4. Прямая линия в пространстве ................ 134 1. Канонические уравнения прямой в пространстве (134). 2. Урав- нения прямой, проходящей через две различные точки M^ (А-), У(, г-i) и Ms (Хц, уа, г^) (136). 3. Параметрические уравнения прямой в пространстве (136). 4. Угол между прямыми в про- странстве. Условия параллельности и перпендикулярности пря- мых (137). 5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости (138). 6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (138). „ ,, - х—х, у—у, г—г, 7. Условия принадлежности прямой ——.—- = •-——•— = ———- к плоскости Ах-\-Ву -\-Cz -\- D =0 (139). 8. Связка пря- мых (139). § 5. Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве . . . 140 1. Условие пересечения трех плоскостей в одной и только в одной точке (140). 2. Нахождение биссектральных плоскостей двугранного угла, образованного двумя данными плоскостя- ми (140). 3. Условия, при которых данная плоскость пересекает данный отрезок АВ (141). 4. Определение местоположения двух данных точек А и В относительно двугранных углов, образо-^ ванных данными плоскостями (141). 5. Уравнения прямой, проходящей через данную точку M^ {x^, y^, г,) и перпендику- g ОГЛАВЛЕНИЕ лярной данной плоскости Ax -)- By -\- Сг -}- D = 0 (141). 6. Урав- нение плоскости, проходящей через данную точку Мц (хц, уу, гц) и параллельной заданной плоскости А^х -{- В^у -)- С\г 4- -)-0,==0 (141). 7. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Л1д (Хц, у ц, гц) и перпендикулярной заданной " х — х\ у — Vi z — z\ . . - „ прямой ——.—-==———^—=————- (141). 8. Уравнение пло- х —х\ у — у. скости, проходящей через данную прямую ——;—- = -——'— == » т =————\— и через заданную не лежащую на этой прямой точку Мц (Хц, уо, •г'о) (142). 9. Уравнение плоскости, проходящей через. х—x^ у—Vi г—г, данную прямую ——,—— == -——— = ————- и параллельном •»•»-^— Рис. 1.3. ки АВ и CD направлены в про- тивоположные стороны (рис. 1.3). В этом случае величины отрез- ков АВ и CD имеют разные знаки, и поэтому длина отрезка AD равна \AB+CD . Так как направление отрезка AD со- впадает с направлением наибольшего по длине из отрезков АВ и CD, то знак величины отрезка AD совпадает со знаком числа AB+CD, т. е. справедливо равенство AB+CD=AD. Теорема до- казана. Следствие. При любом расположении точек А, В, С на числовой оси величины направленных отрезков АВ, ВС и АС удовлетворяют соотношению АВ+ВС=АС, (1.1) которое называется основным тождеством. Операция умножения направленного отрезка на веществен- ное число а определяется следующим образом. Произведением направленного отрезка АВ на число у. назы- вается направленный отрезок, обозначаемый а-АВ, длина ко- торого равна произведению числа \а\ на длину отрезка АВ и направление которого совпадает с направлением отрезка А В при а>0 и противоположно направлению АВ при к<0. Очевидно, величина направленного отрезка а-АВ равна а.Лб. 3. Декартовы координаты на прямой. Декартовы координаты на прямой вводятся следующим образом. Выберем на прямой определенное направление *) и некоторую точку О (начало *) Напомним, что прямая с указанным на ней направлением, назы- вается осью. 18 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ (ГЛ. I координат) (рис. 1.4). Кроме того, укажем единицу масштаба.^ Рассмотрим теперь произвольную точку М на прямой. Декар- товой координатой х точки М будем называть величину напра- вленного отрезка ОМ. Тот факт, что точка М имеет координату х, символически обозначают так: М{х). Замечание. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого лю- бой точке М прямой ставится в со- 1 ответствие вполне определенное ве- О , щественное число х. Вопрос о том, ,-"•э" исчерпывается ли при этом способе все множество вещественных чисел, р j 4 т- е- будет ли указанное соответ- ствие взаимно однозначным, поло- жительно решается в Приложении в конце книги. (См. по этому поводу также Приложение к вы- пуску I). Пусть Mi{Xi) и M^(x'i)—две точки на оси. В следующем утверждении устанавливается выражение величины М^Мг на- правленного отрезка М^М^ через координаты Ху и Хч его начала и конца. Теорема 1.2. Величина M^M•i направленного отрезка M\Mz равна л'2 — Xi, т. е. М iM2=Xi—— Xi. (1.2) Доказательство. Рассмотрим на оси три точки О, Afi, My,- Согласно теореме 1.1 справедливо равенство (1.3) Так как OM^Xi, ОМч=хч, то из (1.3), вытекает нужное нам со- отношение (1.2). Теорема доказана. Следствие. Расстояние p(Mi, Мг) между точками Ati(Xi) и Mt(xz) может быть найдено по формуле p(Mi, M2)-=\X2—Xi\ (1.4) § 2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве 1. Декартовы координаты на плоскости. Две перпендикуляр- ные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштаб- ной единицей (рис. 1.5) образуют декартову прямоугольную си- стему координат на плоскости. Одну из указанных осей назы- вают осью Ох, или осью абсцисс, другую — осью Оу, или ось/о §2] КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 19 ординат. Эти оси называют также координатными осями. Обо- значим через Мх и My соответственно проекции произвольной точки М плоскости на оси Ох и Оу. Декартовыми прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины направленных отрез- ков ОМх и ОМу. Декартовы координаты х и у точки М называются соответ- ственно ее абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М(х, у). П Х<0, t/>0 х>0, у>0 --Т М Mr х 111 х<0, i/<0 X IV х>0, у<0 Рис. 1.5. Рис. 1.6. Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадран- та, нумерация которых указана на рис. 1.6. На этом же рисунке указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте. 2. Декартовы кооадинаты в пространстве. Декартовы коорди- наты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости. Рис. 1.7. Три взаимно перпендикуляр- ные оси в пространстве (коорди- натные оси) с общим началом О и одинаковой масштабной едини- цей (рис. 1.7) образуют декар- тову прямоугольную систему ко- ординат в пространстве. Одну из указанных осей называют осью Ох, или осью абсцисс, другую — осью Оу, или осью орди- нат, третью — осью Ог, или ось/о аппликат. Пусть Afi-, My и Мг — проекции произвольной точки М пространства на оси Ох, Оу и Ог соответственно. 20 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ [ГЛ. I Декартовыми прямоугольными координатами х, у и г точ- N ки М будем называть соответственно величины направленных отрезков ОМх, ОМу и ОМ^. Декартовы координаты х, у и г точки М называются соот- ветственно ее абсциссой, ординатой и аппликатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х, у и г, символически обозначают так: М(х, у, г}. Попарно взятые координатные оси располагаются в так на- зываемых координатных плоскостях хОу, уОг и гОх (рис. 1.7). Эти плоскости разбивают пространство на восемь октантов. Чи- татель без труда выяснит расстановку знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином октанте. § 3. Простейшие задачи аналитической геометрии 1. Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция направленного отрезка на ось. Отрезок в пространстве называет- ся направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом и какая — '•• концом. Как и в п. 1 § 1 этой главы символом АВ будем обозначать направленный от- резок с началом в точке А и концом в точке В. Рис. 1.8. Рассмотрим в прострап- i стве направленный отрезок M^M•i и ось Ох (рис. 1.8). При этом будем считать, что на оси Ох введены декартовы ко- ординаты точек. Проекцией прох M^M•i направленного отрезка MiM^ на ось Ох называется величина направленного отрезка .М^Л^.-с, началом - Mix которого служит проекция начала отрезка М^М^, а концом , Мчх — проекция конца отрезка MiM^. • Пусть точки Mix и Мчх имеют на оси Ох координаты Xi и х^ соответственно. Из определения прож М\Мч и теоремы 1.2 выте- кает справедливость соотношения (1.5) Установим еще одну формулу для вычисления прох MiM^. Для этого перенесем направленный отрезок MiM^ параллельно са- мому себе так, чтобы его начало совпало с какой-либо точкой оси Ох (на рис. 1.8 этой точкой является точка Mix)- Обозна- § 3] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 21 чим через (р наименьший угол между направлением оси Ох и направлением отрезка М\хМч, полученного указанным выше па- раллельным переносом отрезка MiM^. Отметим, что угол (р за- ключен между 0 и л. При этом очевидно, что угол (р острый, если направление отрезка MixM^x совпадает с направлением Ох, и тупой, если направление MixM^x противоположно направле- нию Ох. Используя это, легко убедиться в справедливости сле- дующей нужной нам формулы: прож M^M•г.= \MiM2\cos (р, (1.6) в которой \MiMz\ обозначает длину отрезка М^Мч. 2. Расстояние между двумя точками. В этом пункте мы уста- новим формулу для вычисления расстояния между двумя точ- ками по известным координатам этих точек. Эта задача уже решена для случая точек на прямой в п. 3 § 1 этой главы (см. формулу (1.4)). Ради определенности подробно остановимся на случае, когда точ- ки расположены в пространстве. Рис. 1.9. Рассмотрим в пространстве де- картову систему координат Охуг и точки Mi{xi, yi, Zi) и Мг(хг, уг, г^) (рис. 1.9). Очевидно, расстояние ^ p(Ati, Mt) между точками M^ и Мч, равное длине направленного отрез- ка MiMy., равно также длине диагонали параллелепипеда, гра- ни которого параллельны координатным плоскостям и проходят через точки М^ и М^ (на рис. 1.9 этот параллелепипед изо- бражен пунктирной линией). Длина параллельного осг Ох ребра этого параллелепипеда равна, очевидно, абсолютной величине проекции отрезка М^Мч на ось Ох, т. е., согласно фор- муле (1.5), равна \Хг—Xi\. По аналогичным соображениям длины ребер, параллельных осям Оу и Oz, равны соответ- ственно (г/г—У!\ и |2г—Zi|. Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу для p(AIi, Л1г): Р {М,, М,) = /(^2 —— ^)2 Ч- (t/2 - У,)2 + (2'а - г,)2. (1.7) Замечание. Формула расстояния между двумя точками в случае их расположения в плоскости Оху имеет следующий вид: (1-8) ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ АСсолютная геометрия 223 Абсцисса точки 19 Аксиома линейной полноты 217 — параллельности 223 Аксиомы конгруэнтности 214, 215 — непрерывности 216 — порядка 212 — — линейные 212 — принадлежности 211 Алгебраическое дополнение элемента оп- ределителя 35 Аппликата 20 Архимеда аксиома 216 — спираль 96 Аффинная система координат 70 Аффинные координаты точки 60 Базис векторный пространства 59 Базисные точки 24. 25 Барицентрические координаты точки от- носительно базисных точек 24 Вгктор 46 — нулевой 47 —, противоположный данному вектору 48 —, умножение на вещественное число 50 Векторное произведение двух векторов 71 — — — — в декартовых координатах 78 Векторов равенство 47 — разность 50 — сумма 48 Векторы коллинеарные 47 — компланарные 55 — линейно независимые 63 «- — зависимые 53 — свободные 47 — связанные 47 — скользящие 47 Вершина конуса 206 Внешние точки отрезка 212 Внутренние точки отрезка 212 — — угла 215 Вырожденного эллипса уравнение 181 Вырожденный геометрический объект 172. 188 Гипербола 144, 147 -—, сопряженная по отношению к данной гиперболе 155 Гиперболический тип линии второго по- рядка 178 ^- цилиндр 198 Гиперболоид двуполостный 195 — —, главные оси 196 Гиперболоид однополостный 195 — —, главные оси 195 Гиперболы асимптоты 155 — ветви 152 — директриса 157, 161 — оси симметрии (главные оси) 152 — полуоси 148 — фокусы 147 — центр (симметрии) 152 Главная диагональ матрицы 31 Группа старших членов уравнения 173, 189 Двойное векторное произведение 81 Декартова координата точки на прямой 18 — прямоугольная система на плоскости 18 — система координат левая 70 — — — правая 70 Декартовы прямоугольные координаты век-* тора 63 — — — точки в пространстве 20 — — — — на плоскости 19 Долгота точки 27 Евклидово пространство 67 Инвариант уравнения линии второго по- рядка 175 Инварианты уравнения поверхности вто- рого порядка 191 Инверсия (евклидовой плоскости) 228 «Карта» гиперболического параболоида 205 — двуполостного гиперболоида 203 — однвполостного гиперболоида 202 — эллипсоида 200, 201 Квадрант 19 Коллинеарность векторов 47 Компланарность векторов 55 Конгруэнтность неевклидовых отрезков 228 —. «неевклидовых углов» 228 — отрезков 225 Конус второго порядка .196 Координата точки .217, 218 Координатная поверхность 26, 27 Координатные плоскости 20 Координаты 15 ПРТ-ПМЕТНЫП УКАЗАТЕЛЬ 231 Координаты вектора относительно базиса 59 Коэффициенты группы старших членов уравнения 173. 189 — линейной части уравнения 173, 189 Крамера формулы 29, 39 Линейная зависимость векторов 53 — комбинация векторов 53 — независимость векторов 53 — часть уравнения 173, 139 Линейное пространство 67 Линейные образы 108, 109 — операции над векторами 48 Линия алгебраическая 98 . — — в пространстве 108 — — распадающаяся 99 — второго порядка распадающаяся 187 — порядка п 98 — трансцендентная 98 Луч 214 Матрица 28 — квадратная 28 Минор элемента определителя 35 Мнимые параллельные прямые 187 — плоскости 197 Мнимый геометрический объект 172, 1S8 ~- цилиндр 197 — эллипс 181 Направленный отрезок 15, 16. 17, 20 Направленных отрезков равенство 16 — — сумма 16 i Направляющая (цилиндрической поверх- ности) 104 Направляющие косинусы вектора 64 Направляющий вектор прямой 112, 134 Неевклидов угол 228 Неевклидовы прямые 227 — точки 227 Нормальный вектор плоскости 128 — — прямой 110 Нормировка уравнения плоскости 133 — — прямой 119 Нормирующий множитель П9, 133 Образующая поверхности 103. 105 .Однородная функция 104 Октант 20 Определитель второго порядка 28 — системы уравнений 29, 38 — третьего порядка 31 Оптическое свойство гиперболы 171 — — параболы 171 — — эллипса 171 Ордината точки 19 ODT вектора 72 Ортогональное преобразование 224, 225 Ось 15 — абсцисс 18 — аппликат 19 — гиперболического параболоида 20"> — ординат 18 — эллиптического параболоида 204 Отклонение точки от плоскости 132 '— — — —, правило нахождения 132 — — — прямой 118 — — — —, правило нахождения 119 Отношение, в котором точка делит дан- ный отрезок 22 Отрезок 212 Парабола 144, 148, 156 Параболический тип линии второго по- рядка 178 — цилиндр 199 Параболоид 198 — гиперболический 198 — эллиптический 198 Параболы вершина 155 — директриса 148 — ось (симметрии) 155 — параметр 15.) — фокус 148 Параметр 93 Параметрические уравнения окружности 94 — — циклоиды 95 Параметрическое представление линии в пространстве 105, 106 — — — на плоскости 93 — — поверхности 106 Паша аксиома 212 Плоскость 226 Побочная диагональ матрицы 31 Поверхность алгебраическая 107 — — распадающаяся 108 — второго порядка 188 — коническая 103 —, уравнение 104 —-порядка п 107 — трансцендентная 107 — цилиндрическая 103 — —, уравнение 103 Полнота системы аксиом 229 Полупрямая 214 Полюс 25 Полярные координаты точки (на плоско- сти) 25 Полярный радиус 25 — угол 25 Порядок следования точек на прямой 214 Правило вычисления двойного векторного произведения 81 — замыкания ломаной до многоугольника 50 — параллелограмма для векторов 49 — построения разности векторов 50 — треугольника для векторов 48 — — составления выражения для опре- делителя 32 Приведение уравнения прямой (в прост- ранстве) к каноническому виду 135 Проекция вектора на ось 61 — — — —, линейные свойства 62 — направленного'отрезка на ось 20 Прямая 223, 226 Прямые неколлинеарпые 125 Пучок плоскостей 133 — прямых 119 Разложение вектора по базису 59 — определителя по элементам строки (столбца) За Расстояние между двумя точками в про- странстве 21 — —• — — на плоскости 21 — — — — — прямой 18 — от точки до плоскости, правило нахож- дения 133 — — — — прямой, правило нахождения 119 Решение системы уравнений 29, 38 Свободный член уравнения 173, 189 Связка плоскостей 134 — прямых 139 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 232 Система уравнений 40 — — однородная 31, 42 Скалярное произведение двух векторов 65, 66 Смешанное произведение трех векторов 73 — — — — в декартовых координатах 80 Сравнение углов 216 Стандартное упрощение уравнения линии второго порядка 179 — — — поверхности 194 Сферические координаты точки (в прост- ранстве) 27 Тождество 92 Точка 223, 226 — приложения вектора 46 Тривиальное решение системы уравнений 31 Тройка векторов левая 70 — — правая 70 — — упорядоченная 69 Тройки векторов одной ориентации 70 '— — противоположной ориентации 70 Угловой коэффициент прямой 114 Угол 215 — между двумя векторами 67 —— — — плоскостями 130 — — — прямыми 115, 116, 117, 137 — — прямой и плоскостью 139 — наклона вектора к оси 61 — — прямой к оси 114 Уравнение 92 — вещественного конуса второго порядка каноническое 196 — гиперболы каноническое 148 — — полярное 169 — директрисы параболы 156 — двуполостного гиперболоида канониче- ское 196 — линии 92 — — в полярной системе координат 96 — —, разрешенное относительно одной из переменных 95 — однополостного гиперболоида канониче- ское 195 — окружности 93 — — полярное 167 — параболы каноническое 150 — — полярное 168 — плоскости в отрезках 129 — — неполное 128 — — нормированное 132 — — общее 127, 128 — — полное 128 — поверхности 100 — — второго порядка общее 188 — прямой в отрезках 111 — — каноническое 112 — — на плоскости общее 110 — — неполное 111 — — нормированное 118 — — полное 111 ^- —, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент 115 — —, — — две данные точки 113 — — с угловым коэффициентом 116 — пучка прямых 120, 122 — связки 134 ^- сфера 101, 102 —— эллипса 146 Уравнение эллипса каноническое 146 — — полярное 168 — эллипсоида каноническое 195 Уравнения асимптот гиперболы 155 — директрис гиперболы 161 — — эллипса нормированные 160 — касательных к гиперболе 170 — — — параболе 170 — — — эллипсу 170 — линии в пространстве 102 — прямой -в пространстве канонические 135, 136 — — — — параметрические 137 — — параметрические 113 — связки прямых 139 — центра линии второго порядка 178 — —поверхности второго порядка 191 Условие параллельности плоскостей 130 — — прямой и плоскости 139 — — прямых 116, 117 — — — в пространстве 137 — перпендикулярности плоскостей 130 — — прямой и плоскости 139 — — прямых 116, 117 — — — в пространстве 137 — принадлежности прямых к плоскости 138, 139 Формулы деления отрезка в данном от» ношении 23 — — — пополам 23 — преобразования координат в простран- стве 88 — — — на плоскости 84, 86 — — — при параллельном переносе сис- темы 86 — — — — повороте системы 87, 90 Фронт волны, отраженной от линии 171 — — точечного источника 171 Центр линии второго порядка 178 — поверхности второго порядка 191 — пучка плоскостей 133 — — прямых 119 — связки плоскостей 134 — — прямых 139 — тяжести системы материальных точек, координаты 23 — (симметрии) эллипса 150 Центральная линия второго порядка 179 — поверхность второго порядка 192 Цилиндрические координаты точки (в пространстве) 26 Широта точки 27 Эйлера углы 89 Эксцентриситет эллипса (гиперболы) 157 Элемент матрицы 28 — определителя 28 Эллипс 144, 145. 163 — горловой 202 Эллипса вершины 145 — директриса 157, 158, 165 — оси симметрии (главные оси) 150, 151 '—- полуоси 146 т- фокусы 145, 165 Эллипсоид 194 Эллипсоида главные оси 195 Эллиптический тип линии второго поряд- ка 178 — цилиндр 198