517 И 42 УДК 512.8 Задачник по линейной алгебре. X. Д. Икрамов. Под редакцией В. В. Воеводина. Главная редакция физико-математической литературы изд- ва «Наука», М., 1975. Настоящее пособие предназначено для сту- дентов I курса факультетов прикладной матема- тики. Основные его отличия от существующих за- дачников по линейной алгебре — изменение структуры традиционной тематики (понятие ли- нейного пространства предшествует теории опре- делителей и систем линейных уравнений) и включение вопросов, посвященных понятиям сов- ременной вычислительной а-лгебры: нормы матриц, число обусловленности, псевдорешения систем линейных уравнений и т. д. Задачник тесно свя- зан с учебным пособием В. В. Воеводина «Ли- нейная алгебра» по объединенному курсу линей- ной алгебры и аналитической геометрии для факультетов прикладной математики. ; Главная редакция 20204—139 физико-математической литературы издательства «Наука», 1975. 053(02)-75 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ........................... 5 Глава 1. Линейные пространства .............. 9 § 1.0 Терминология и общие замечания ......... 9 § 1.1. Определение линейного пространства ....... 15 § 1.2. Линейная зависимость ............... 17 § 1.3. Линейные оболочки. Ранг системы векторов. . . 20 § 1.4. Базис и размерность пространства ........ 24 § 1.5. Сумма и пересечение подпространств ....... 28 Глава 2. Евклидовы и унитарные пространства ...... 31 § 2.0. Терминология и общие замечания ......... 31 § 2.1. Определение евклидова пространства ....... 33 § 2.2. Ортогональность, ортонормированный базис, про- цесс ортогонализации ................ 36 § 2.3. Ортогональное дополнение, ортогональные суммы подпространств ................... 39 § 2.4. Длины, углы, расстояния ............. 43 § 2.5. Унитарное пространство .............. 47 Глава 3. Определители .................... 51 § 3.0. Терминология и общие замечания ......... 51 §3.1. Определение и простейшие свойства определителей 56 § 3.2. Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа ....................... 62 § 3.3. Определители и объем параллелепипеда в евкли- довом пространстве ................. 67 § 3.4. Вычисление определителей методом исключения 71 Глава 4. Системы линейных уравнений ........... 79 § 4.0. Терминология и общие замечания ......... 79 § 4.1. Ранг матрицы .................... 81 § 4.2. Плоскости в линейном пространстве ....... 84 § 4.3. Плоскости в евклидовом пространстве ...... 87 § 4.4. Однородные системы линейных уравнении .... 90 § 4.5. Неоднородные системы линейных уравнений . . 96 Глава 5. Линейные операторы и матрицы ......... 105 § 5.0. Терминология и общие замечания ......... 105 § 5.1. Определение линейного оператора, образ и ядро оператора ...................... 109 1* ОГЛАВЛЕНИЕ § 5.2. Линейные операции над операторами ...... 114 § 5.3. Умножение операторов .........•..••• 117 § 5.4. Действия с матрицами ............... 121 § 5.5. Обратная матрица .................. 135 § 5.6. Матрица линейного оператора, переход к другому базису, эквивалентные и подобные матрицы ... 143 Глава 6. Структура линейного оператора ......... 148 § 6.0. Терминология и общие замечания ......... 148 § 6.1. Собственные значения и собственные векторы . . 149 § 6.2. Характеристический многочлен .......... 152 § 6.3. Инвариантные подпространства .......... 158 § 6.4. Корневые подпространства, жорданова форма . . 163 Глава 7. Операторы в унитарном пространстве ...... 174 § 7.0. Терминология и общие замечания ......... 174 § 7.1. Сопряженный оператор, сопряженная матрица . 178 ^ 7.2. Нормальные операторы и матрицы ........ 183 § 7.3. Унитарные операторы и матрицы ......... 187 § 7.4. Эрмитовы операторы и матрицы .......... 192 § 7.5. Неотрицательные и положительно определенные операторы и матрицы ................ 198 § 7.6. Сингулярные числа и полярное разложение . . . 204 § 7.7. Эрмитово разложение ..............'.. 210 § 7.8. Псевдорешения и псевдообратный оператор . . . 212 § 7.9. Квадратичные формы ................ 217 Г л а в а 8. Метрические задачи в линейном пространстве 223 § 8.0. Терминология и общие замечания ......... 223 § 8.1. Линейное нормированное пространство ...... 226 § 8.2. Нормы операторов и матриц ........... ^ 231 §8.3. Матричные нормы и системы линейных уравнений 236 § 8.4. Матричные нормы и собственные значения . . . 241 Указания ................•.••••••••••• 249 Ответы и решения ............•..••••••••• 262 Предметный указатель ..................... 317 ПРЕДИСЛОВИЕ Объединенный курс линейной алгебры и аналитической геомет- рии читается студентам факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ в течение первых двух семестров обучения (по 2 лекции в неделю). Перед лектором, читающим этот предмет, встают тяжелые проблемы. Чтобы пояснить их, приведем некоторые сопоставления с программой аналогичных курсов математических факуль- тетов и, в частности, механико-математического факультета МГУ. В программу факультета ВМК входит большая часть курса анали- тической геометрии, изучаемого на механико-математическом факуль- тете МГУ (исключены лишь аффинная классификация линий и поверх- ностей 2-го порядка и элементы проективной геометрии) и полный курс линейной алгебры. Этот последний включает и вопросы, обычно на механико-математическом факультете опускаемые, такие, например, как сингулярные числа оператора, псевдорешения систем линейных уравнений и др. Специфика факультета обязывает лектора обращать внимание студентов на неустойчивость большинства понятий класси- ческой линейной алгебры (линейная зависимость, вырожденность, жорданова структура и т. д.) и ее методов, а также указать пути к устойчивому решению алгебраических задач. Реализация этой прог- раммы требует введения в курс элементов теории линейных нормиро- ванных пространств с тем, чтобы в дальнейшем получить конкретные метрические результаты — оценки возмущений решения системы урав- нений, собственных значений матрицы и т. д. И все это нужно сделать за существенно меньшее время, чем то, которым суммарно располагают курсы алгебры и геометрии на математических факуль- тетах, и притом не потерять в уровне математической строгости! Ясно, что без существенной перестройки традиционного курса этого нельзя добиться. Попытка такой перестройки и была предпри- нята в книге: В. В. Воеводин, Линейная алгебра, М. «Наука», 1974. В этой книге зафиксирован опыт автора, в течение ряда лет читавшего курс лекций на факультете ВМК. Укажем некоторые особенности курса, построенного В. В. Воево- диным, которые позволяют экономить лекторское время. Понятие линейного пространства, достаточно подготовленное примером векторной алгебры, дается в самом начале курса. Этим 6 ПРЕДИСЛОВИЕ устраняется традиционный параллелизм, когда теория линейного пространства фактически излагается трижды — сначала в аналитичес- кой геометрии в применении к множествам геометрических векторов, потом для арифметического пространства с тем, чтобы описать струк- туру множества решений системы линейных алгебраических уравне- ний, а затем уже в общем случае. И в последующих главах развитие геометрии и алгебры происхо- дит одновременно; при этом каждое новое геометрическое понятие мотивирует я-мерное обобщение. Так, скалярное произведение гео- метрических векторов служит основанием для введения евклидовых и унитарных пространств; формула дл'я объема трехмерного паралле- лепипеда является толчком для построения теории /г-мерных объемов, откуда возникает и теория определителя, рассматриваемого как ориентированный объем параллелепипеда в арифметическом простран- стве; прямые и плоскости в трехмерном пространстве дают повод для того, чтобы ввести понятие плоскости в произвольном линейном пространстве, а геометрическая задача о пересечении гиперплоскостей позволяет выявить устройство множества решений системы линейных уравнений. Есть примеры и обратного рода, когда геометрические результаты выводятся как простые следствия общих алгебраических теорем; так обстоит, например, дело при декартовой классификации линий и поверхностей 2-го порядка. Перестройка лекционного курса повлекла за собой и значитель- ную перестройку семинарских занятий. При этом оказалось, что существующими задачниками по линейной алгебре—Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский, «Сборник задач по высшей алгебре»; И. В. Проску- ряков, «Сборник задач по линейной алгебре»,— можно пользоваться лишь в очень ограниченной степени. В-обеих указанных книгах предполагается, что при решении задач на линейные и евклидовы пространства студенты располагают аппаратом матричной алгебры и систем линейных уравнений. Это условие, как показано выше, в нашем случае не выполнено. Кроме того, были нужны задачи для нетрадиционных тем курса. Все это и обусловило необходимость создания нового задачника, сопровождающего курс В. В. Воеводина, который сейчас и предлагается читателю. Структура задачника полностью определяется структурой книги В. В. Воеводина. Незначительные отклонения обусловлены особеннос- тями учебного процесса. Так, параграф, посвященный метрическим пространствам, отнесен в главу 8, поскольку соответствующая тема лекционного курса приходится на самый конец 1-го семестра, и семи- нарские занятия уже не успевают своевременно ее «подкрепить». Последовательность тем, выбранная в курсе В. В. Воеводина, создает определенные проблемы для составителя задачника. К при- меру, при решении вычислительных задач первых двух глав нельзя пользоваться аппаратом матриц и большей частью результатов, отно- сящихся к системам линейных уравнений. Но чем же тогда можно ПРЕДИСЛОВИЕ 7 пользоваться? Оказывается, однако, что для решения типичных вычис- лительных задач линейного и евклидова пространства достаточно комбинировать элементарные преобразования систем векторов и метод Гаусса как метод проверки совместности, определенности и нахождения какого-либо решения системы линейных уравнений (под- робнее об этом см. в § 1.0 и 2.0). В связи с этим в книге В. В. Вое- водина метод Гаусса описан в главе 2, именно тогда, когда он нужен для семинарских занятий. Задачи, использующие все решения системы линейных уравнений, даются в задачнике лишь начиная с главы 4. Заметим, что здесь реализован тот же принцип, что и в книге А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры», открывающейся описанием метода последовательного исключения неизвестных. Читатель заметит, что первые шесть глав задачника и некоторые параграфы главы 7 посвящены вполне традиционным темам. Но и здесь автор, отражая специфику факультета ВМК, стремился подчер- кнуть вычислительные аспекты рассматриваемых вопросов. Поэтому в § 3.4 большое внимание уделяется многочисленным вопросам, воз- никающим при численной реализации метода Гаусса. Поэтому в ряде случаев в виде последовательности задач сформулированы вычисли- тельные алгоритмы, эффективно используемые в практике. Ряд параграфов двух последних глав соответствует новым раз- делам курса. В. В. Воеводина и в задачниках по линейной алгебре появляется впервые. Необходимое требование ко всякому задачнику состоит в том, чтобы он содержал достаточное количество полезных и содержатель- ных задач для обеспечения семинаров, домашних заданий, контроль- ных и зачетов. Автор надеется, что это требование им выполнено. Вместе с тем он рассматривал свою задачу более широко, стремясь предоставить наиболее сильным студентам материал для самостоятель- ной работы и в некоторых случаях подвести их к современным проблемам вычислительной алгебры. Так, в книгу включены гипотеза Уилкинсона относительно скорости роста элементов в методе Гаусса (§ 3.4), описание алгоритма Штрассена для экономного перемноже- ния матриц (§ 5.4), результаты Уилкинсона относительно плохо обусловленных собственных значений (§ 8.4) и т. д. Еще несколько замечаний относительно пользования задачником. Номер каждой задачи содержит три числа: первое указывает номер главы, второе—номер параграфа, третье—номер задачи в этом параграфе. Аналогичным образом нумеруются формулы, на которые в дальнейшем возможна ссылка. При этом нумерация фор- мул не связана с нумерацией задач. Для удобства читателя каждая глава предваряется «нулевым» параграфом, в котором определяются используемые в этой главе понятия и, в некоторых случаях, методы. Ряд терминов определяется в тексте задач. Чтобы облегчить читателю нахождение «первоисточника» того или иного термина, в конце книги помещен предметный указатель. 8 ПРЕДИСЛОВИЕ Звездочки, которыми отмечены некоторые задачи, следует воспри- нимать как знак «Внимание!» Для задачи на доказательство это означает, что она либо формулирует важный факт (независимо от сложности доказательства), либо требует некоторых нестандартных рассуждении. Вычислительная задача, отмеченная звездочкой, допус- кает нестандартное решение, в типичном случае использующее какое- либо теоретическое утверждение. Ко многим задачам со звездочкой даны указания либо полные решения, и во всяком случае, ключ к решению каждой такой задачи содержится либо в задачнике, либо в учебнике В. В. Воеводина. Вместе с тем даны указания или реше- ния и ко многим задачам, не имеющим звездочки, с тем, чтобы продемонстрировать наиболее рациональный, с точки зрения автора, подход к таким задачам. К этому нужно добавить, что, как правило, задачи естественным образом объединяются в группы; в каждой такой группе «лидером» является задача со звездочкой, а прочие являются из нее простыми следствиями. Поэтому расположение задачи тоже содержит информацию о ней. При составлении задачника автор пользовался многочисленными источниками; упомянуть их все здесь нет никакой возможности. Работа автора в огромной степени упрощалась наличием в советской математической литературе ряда прекрасных книг по линейной алгебре и, в частности, упомянутых выше задачников. В ряде слу- чаев в виде задач были сформулированы утверждения, почерпнутые из текущей специальной литературы. Инициатива написания этой книги принадлежит профессорам В. В. Воеводину и И. С. Березину. Автор рад случаю выразить им свою глубокую признательность. Своим приятным долгом автор счи- тает поблагодарить преподавателей алгебры факультета ВМК, в сот- рудничестве с которыми создавался задачник. X. Д. Икрамоа ГЛАВА 1 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 1.0. Терминология и общие замечания Множество V называется линейным пространством над число- вым полем Р, если: А. Для элементов этого множества определена операция сложе- ния, относительно которой V является' коммутативной (абелевой) группой. Это означает выполнение следующих свойств: 1. Сложение коммутативно, х-\-у=-^у-\- х. 2. Сложение ассоциативно, (л; 4- .У) + z =- х + (у + z). 3. В V существует (причем единственный) нулевой элемент О, удовлетворяющий условию: х-}-0==х, для всех х из V. 4. Для всякого элемента х в V существует (причем единствен- ный) противоположный элемент —х такой, что -v-i-(—-v)==0. Б. Для элементов множества V определена операция умножения на число из поля Р. При этом для любых элементов х, у из V и любых чисел а, Р из Р должны выполняться свойства: 1. «(л- -\-у) = v,x + ау. 2. (а+^х^ах+^х. 3. (оф)л-=«(рл-). 4. 1 • х == х. Элементы линейного пространства принято называть векторами, а само линейное пространство называют также векторным про- странством. Если Р есть поле действительных или комплексных чисел, то линейное пространство над Р называется соответственно действи- тельным или комплексным. В этой книге, за исключением нескольких задач главы 1, рас- сматриваются только действительные и комплексные линейные пространства. . В частном случае пространство V может состоять только из одного элемента (см. задачу 1.1.1). Такое линейное пространство называется нулевым (или тривиальным) и обозначается в дальней- шем О. Все прочие действительные и комплексные пространства содержат бесконечно много элементов. 10 ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Говорят, что вектор у, у = (Xi^i + Стз^г +. • • + «-kXk, есть линейная комбинация векторов х^, х^, ... , х^, или что он линейно выражается через эти векторы. Множество всех линей- ных комбинаций фиксированной системы векторов х^, ..., х^ назы- вается линейной оболочкой этой системы и обозначается L (х^,..., х^. Система векторов х^, ..., л-д, называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов -у; линейно выражается через про- чие векторы системы, и линейно независимой—в противном слу- чае. Этому определению эквивалентно следующее: система векторов л"1, ..., -У/, линейно зависима, если существуют числа tti, ..., схд, хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие, что «1^1+...+»*.Уй=0, и линейно независима, если указанное равенство возможно лишь при всех нулевых щ. В частности, линейная зависимость системы из двух векторов х, у означает, что либо у=ах, либо х=^у. Такие векторы х и у называют коллинеарными. Имеет место следующая основная теорема о линейной зависи- мости: если кажлый из векторов линейно независимой системы Yi, •••> Vi линейно выражается через систему х^ ..., х^, то Iss^k. Линейно независимая система векторов е^, ..., е„> через которую линейно выражается любой вектор пространства V, называется базисом этого пространства. Линейное пространство называется конечномерным, если оно имеет базис, и бесконечномерным — в про- . тивном случае. Начиная с § 1.4, мы рассматриваем только конечномерные линейные пространства. Все базисы конечномерного пространства V состоят из одинако- вого числа п векторов; число п называется размерностью простран- ства V и обозначается dim V. Само V при этом называется п-мер- ным пространством. По определению, dim0==0.- Коэффициенты oii, ..., Кд в разложении вектора х по базису е1' "" еп' -v=ctiei+...+«„e„ называются координатами вектора х. Два линейных пространства, заданных над одним полем, назы- ваются изоморфными, если между их векторами установлено взаимно однозначное соответствие, причем образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов, а образом произведения век- тора на число служит произведение образа этого вектора на то же число. Необходимым и достаточным условием изоморфного соот- ветствия между двумя линейными пространствами является совпаде- ние их размерностей. § 1.0. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 11 Подмножество L линейного пространства V называется линей- ным подпространством этого пространства, если оно само является линейным пространством по отношению к введенным в V операциям. Если Li и La— линейные подпространства пространства V, то множество векторов, принадлежащих как Z.i, так и Lg, называется пересечением подпространств L] и Lg и обозначается /-iQZ-z. Сум- мой подпространств Li и Z-г называется множество всех сумм Xi-\-x^, где x^e.L-i, д-з s La- Обозначение суммы подпространств: LI+^-Z- Если для каждого вектора х из L=L^-\-L^ представление Х === Xi ~|~ Х^, Х^ ^— L 1, X.v t— ^-2, единственно, то L называется прямой суммой подпространств Z.i и Z.2 и обозначается L^-\-L^. Большинство вычислительных задач этой книги сформулировано для двух конкретных линейных пространств. Опишем их подробнее. 1. п-мерное арифметическое пространство. Элементами такого пространства являются упорядоченные наборы по п чисел, действи- тельных или комплексных, называемые п-мерными векторами. Соот- ветственно этому говорят о действительном или комплексном ариф- метическом пространстве и обозначают их Rn и Сд. Если /г-мерные векторы записывать в виде ^=(сх1,й2, ..., а„), J/=(Pi, p2, •••, Р„), то операции над ними определяются равенствами .V+.V==(«l+Pl,"2+P2. ..., ССл+Рт,). ^х==(Ка,^, \а^, ..., ?ittn). Среди базисов арифметического пространства есть такой, который самой природой этого пространства поставлен в привилегирован- ное положение. Этот базис, образованный единичными векторами ei==(l, О, О, ..., 0), е,-(0, 1, 0, ..., 0), ^^ ^==(0, 0, 0, .... 1), мы называем естественным базисом арифметического пространства. «Привилегированность» заключается в том, что координаты вектора -v==(oti, иг, ... , <х„) в таком базисе вычислять не нужно—ими бу- дут сами числа а^, «g, ... , (Хп. 2. Пространство многочленов степени as; п. Многочлен степени k Г(()=ао+а^+а^+...+а^, а„ Ф О, (1.0.2) мы понимаем как объект, вполне определяемый упорядоченным набо- ром Од, ai, ...; йд, коэффициентов, а равенство двух многочленов— 12 ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА как совпадение одноименных их коэффициентов. При этом коэффи- циенты многочлена могут быть действительными или комплексными числами; как правило, в задачах рассматривается первый случай и пространство многочленов степени s^n с действительными коэффи- циентами обозначается в этой книге Л1д. Сами действительные или комплексные числа считаются многочленами нулевой степени, за исклю- чением числа нуль, степень которого не определяется. Это число играет роль нулевого элемента в пространстве многочленов. Опера- ции над многочленами сводятся к одноименным операциям, выполня- емым над их коэффициентами. На многочлен (1.0.2) возможен взгляд и как на функцию перемен- ного t, действительного или комплексного. Однако определение ра- венства двух функций отличается от принятого выше «алгебраичес- кого» определения равенства многочленов; именно, функции считаются равными, если равны их значения при всех значениях переменного. Конечно, два многочлена, равные в смысле «алгебраического» опреде- ления, будут равны и как функции от t. Обратное, однако, устанав- ливается лишь в конце главы 4. Поэтому в первых четырех главах выражение f(c) следует понимать как краткую запись числа До + + а-^с + а^с2 +... + а^с11, равенство /(с)=й—как краткую запись условия, наложенного на коэффициенты рассматриваемых многочленов; /(—О—как краткое обозначение многочлена До— a^^+a2^2+• • •+ +(—1)*a^*! равенство f(t)=f(—О—как краткую запись условий ai==0, аз==°> •• • > и т. д. Следующие вычислительные задачи, поставленные в арифметиче- ском пространстве, являются типичными для настоящей главы: 1. Определить, будет заданная система векторов линейно зави- сима или линейно независима? 2. Найти максимальное число линейно независимых векторов, содержащихся в данной системе, которое называется ее рангом. 3. Установить, выражается ли вектор х через- систему векторов YI, • •. > Vki и в случае положительного ответа вычислить коэффици- енты этого разложения X-- Для решения задач 1 и 2 развивается «метод элементарных преобразований» (см. 1.2.17, 1.2.18). Суть метода в том, чтобы, не меняя ранга, привести данную систему к системе векторов, линейная неза- висимость или ранг которой непосредственно очевидны. Задача 3 сводится к решению системы линейных уравнений, для которого используется метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных. Идея метода состоит в том, чтобы, не меняя множества решений системы, привести ее к наиболее простому виду. Опишем метод Гаусса подробно, имея в виду его многочисленные при- менения и в последующих главах. § 1.0. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 13 Пусть дана система линейных уравнений "Ti'A-i + а^х, + а,»з'л-з +... + a'^Xn = &i°', a2°i'-Vi + 022'-^ + а'2°зХз +...+ а'2°пХ„ == V§, a^Xi+a'^Xs +aзoзXз+...+a^Xn^b'зol, О-О-З) /,'01 .- I „'О1 v 1/^il1 ^- ) I /, <1' у __h<0' а,п1Х^-\-ат2Х^-[-0^3Х3-]-. • • + O-mnXn == От • Предположим, что an' 9^ 0. Этого всегда можно добиться, если среди коэффициентов а'^' есть отличные от нуля, переставляя, в случае необ- ходимости, уравнения системы и (или) изменяя нумерацию неизвестных. Вычтем теперь из обеих частей второго уравнения соответствующие части первого, умноженные предварительно на a'a'i/a'n', затем из обеих частей третьего уравнения соответствующие части первого, умножен- ные на a'3'i'/a'i'i', и т. д. В результате придем к системе следующего вида: ап'л-i + a'l's-^ + аУз-Уз + •.. + а'ыХп == b'i1', а'22^2 + а'23Хз +•••+ а'2пХп = Ь'2', а'з2Х2 + "'ззХц +...+ а^пХп = Ь'з', ат2Х2 + атзХз +...+ а'тпХ„ = Ь'т. Здесь aij-^ai0/, у=1, .,., п; 6'i"==&'i°'; прочие элементы меняются по формулам „'.1.1 —— д'.».' __ a^^_ „,0; ЬШ __ UOI Д»Т ^0) ">/ —"1; —д73~"1;> <7» —о» —a'0" ' „(О) "11 (1.0.4) I, j 5; 2. Первый шаг метода Гаусса закончен. Коэффициент a'n' назы- вается ведущим элементом первого шага. Предположим теперь, что среди коэффициентов а^', I, j ^s 2, есть отличные от нуля и, в частности, a'g'z ф 0. Вычтем из обеих частей третьего и последующих уравнений обе части второго, умноженные соответственно на числа Тогда получим систему a'n'-Vi + а'Г2'-У2 + ^'-УЗ +.. • + а^Хп == ЬТ, айл^ + a'23-Уз + •. • + afnXn == Vi', а'з4хз + • • • + a'^nX,, == &з2 '> ОтЗХз -г- • • • "г" ^n-^i = b'm • Коэффициент а'22 называется ведущим элементом второго шага. 14 ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Продолжая таким образом, в конечном счете приведем систему уравнений к виду «Гг^х+^Г1^- ••+<7^г-г 4<-^ +.. ^г.-1' ^ь'г\ <-"^+- ••+<^-i +»г1^ +- ••+°й-l)^^rl). й^lЛ-^-l+^--l!)^+. •^--i!^^, а^-\+.. ^-'Ч,-^-0, 0.^ +.. .+0.х„ =Ь^'», 0.^ +.. .+0.х„ =^-1'. (1.0.5) Здесь a(^-U^O, a^-'^O, ..., a<;_-,'i, _ 1 ^ 0, a^-"^0. Если среди чисел ^Ti0, •.., ^-1) ^'ь не равные нулю, то система (1.0.5), очевидно, не имеет решений или, как принято гово- рить, несовместна. Несовместна, следовательно, и эквивалентная ей' система (1.0.3). Несовместность системы могла обнаружиться и раньше, если после очередного этапа исключения или даже в исход- ной системе содержится уравнение 0.^+0-^2+...+0-^=&, Ь=^0. Разумеется, получив такое уравнение, мы заканчиваем процесс. Если ^''„^ === ... == Ь^ ~1) == 0, то система (1.0.5) совместна и для отыскания ее решений достаточно рассмотреть первые г уравне- ний. В случае г==я эти п уравнений образуют систему треуголь- ного вида <-l^+4rl)x2+•••+a№,,-l +<~\\ ^Г", i„(i-i)i: —h(i-1) • '"ill ^n —"2 > „<"-!) v J-/)(11-1) r —hi"""1* "п-!,»!-!^-!'0»-!,»^—0»!-! > 0"-1у —М"-1' "nn "n —"" • Решение такой системы единственно: из последнего уравнения одно- значно находим л-п, подставляя его в предпоследнее уравнение, одно- значно определяем х^-г, и т. д. Система линейных уравнений, имеющая единственное решение, называется определенной. Таким образом, если систему (1.0.3) удается привести к треугольному виду, то она определена. Этот случай заведомо будет иметь место, если ищется разложение вектора по базису пространства. При г <д первые г уравнений системы (1.0.5) образуют систему трапецеидального вида, имеющую бесконечно много решений. Давая произвольные числовые значения свободным неизвестным x^i,..., Хц, § 1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА 15 мы указанным выше способом найдем вполне определенные зна- чения для неизвестных х-^, ... , Хг. Этим способом могут быть найдены все решения системы (1.0.5), следовательно, и системы (1.0.3). Система линейных уравнений, имеющая бесконечно много решений, называется неопределенной. Итак, трапецеидальный вид конечной системы метода Гаусса свидетельствует о неопределенности исходной системы (1.0.3). Так будет, например, если ищется разложение вектора х по линейно зависимой системе у^, ... , у^, при условии, что х принадле- жит L (yi, ..., у,,). Отметим в заключение, что все преобразования метода Гаусса можно выполнять над элементами расширенной матрицы, составлен- ной из коэффициентов системы (1.0.3): aiT ай' ай' . a'n . . а\°п .. a'fn ЬТЪТ a'U a!n-i • amn Ь?п Переход к последующим матрицам Л^, Ag,.,., A,._i производится по формулам типа (1.0.4). Метод элементарных преобразований, пред- лагаемый для решения задач 1 и 2, по существу, и является методом Гаусса для матрицы, составленной из векторов заданной системы. § 1.1. Определение линейного пространства О задачах параграфа. В этом параграфе приведен ряд примеров линейных пространств, а также множеств, не являющихся линейными пространствами. Мы касаемся также (задачи 1.1.17, 1.1.18) вопроса об аксиоматике линейного пространства. 1.1.1. Множество Vn состоит из одного элемента 9. Операции в Vy определены следующим образом: а) б +Q ==Q; б) Х8==6 для любого числа \ из поля Р. Проверить, что Vy является линейным пространством над полем Р. Для каждого из следующих множеств векторов на плоскости определить, является ли это множество линейным пространством относительно обычных операций сложения векторов и умножения вектора на- число. В случае отрицательного ответа указать, какие именно свойства линейного пространства не выполнены. Предпола- гается, что начало каждого вектора находится в фиксированной точке О плоскости, являющейся началом прямоугольной системы координат. 1.1.2. Все векторы, концы которых лежат на данной прямой. 1.1.3. Все векторы, концы которых лежат: а) в первой четверти системы координат; б) в первой или третьей четверти; в) в первой или второй четверти. 316 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Для доказательства б) рассмотрим матрицу Л как возмущение квазидиаго- нальной матрицы D с диагональными клетками D, 1 О О О 1 О О 0 1 D, 2 0| 02' D, -0,5 0,1 -0,2 0,1 —1 0 —0,2] 0 2 Для матрицы возмущения B=A—D |] В ^ <|| В ||ос = 3/N. Поэтому в интервале -3/^й;^-1й=3/Л? (а) содержатся по крайней мере три собственных значения матрицы Л. Чтобы показать, что их ровно три, докажем, что при Л^-а-Ю интервал (а) не пере- секается с другими интервалами системы \x—Ki\-^3/N, i==l, ..., п; ?i;—соб- ственные значения матрицы D. Это ясно для интервала | л-—2 | •< 3/N -s? 0,3. Заметим теперь, что со- гласно теореме Гершгорина собственные значения ^i ^71 ^s матрицы Dgg лежат в интервалах [-1,3; —0,7], [-0,8; —0,2], [1,7; 2,3]. Поэтому при N >- 10 интервалы A•—?^i]<,3/ЛГ-?;0,3, (==6, 7, 8, остаются отделенными от интер- вала (а). 8.4.36. Вектор г (х) х есть проекция вектора Ах на L (х). 8.4.38. Так как i » ^И z !;;== 1, то ^о=1^о ! « , ^Holi г||;. С другой сто- роны, |-1о=(Лл-, ^)='?ч!К г+^Лг, z). Отсюда вытекает, что | ^— ^[^ |з= ='\(Аг, г) — ^о || г ^ | ей e^'a. Так как | CTI 5s •/1 — s^a2, то отсюда получает! нужная оценка. 8.4.39. а) Например, ^==1, \.=1, "?i3=3,^=4; б) единичные вектор- столбцы. 8.4.42. а) Если Z==X~.1 и Zi—i-я строка матрицы Z, то г? =^г — собствен- ный вектор матрицы Л*, относящийся к собственному значению X;. При этом из матричного равенства KZ--=E следует, что (Х{, у,}==1 и s, !-l=|i -(; ЫУ1 На- \\XiU,yi\2='i/ Si\; Теперь из 7.6.28 выводим: concL {Х)=\\Х У Х 1 б) выберем векторы х, так, чтобы ==\lY'\ s;[. Тогда для строк г, мат- рицы Х~1 также получим Цг,!^!// s, ]. Поэтому condg т = II ^ Ид 11 ^-1 Иг = li х "Ь = 2 8.4.44. Без ограничения общности можно считать, что векторы х и у — нормированные. Пусть С ==Q*AQ—верхняя форма Шура матрицы Л, выбран- ная так, что Сц=^1. Согласно 7.1.47 такую форму можно построить, причем в качестве первого столбца матрицы Q можно взять вектор х. Тогда вектор г=0.*у будет собственным для С* и (ei, z)=(Q*x, Q*y)=(x, y)=0. Таким образом, первая компонента вектора г равна нулю, и нужное утверждение вытекает из 8.4.43. 8.4.45. Из условия С*у==^у получаем ед*+С^. ^z=?iiZ, или г*г е|3 <"* с"- !+• Отсюда следует утверждение задачи. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Адамара неравенство 51, 67 Алгебраическое дополнение минора 53 Аннулирующий многочлен 118 Арифметическое пространство 11 База системы векторов 21 Базис 10 — ортогональный 31 — ортонормироваиный 32 Базисный минор 53 —Бендиксона теорема 211 Бине — Коши формула 107 Биортогональиые системы векторов 42 Ведущий главный минор 72 — элемент (в методе Гаусса) 13 Вейля неравенство 207 Вектор 9 Вектор-столбец 108 Вектор-строка 108 Векторное пространство 9 Векторы коллинеарные 10 — ортогональные 31 Высота корневого вектора 165 Гельдера неравенство 225 Гершгорина теорема 244 Гиперплоскость 80 Главный минор 62 Двойственная норма 230 Декомплексификация 49 Длина вектора 31 Дополнение множества 223 Дополнительное подпространство 30 Дополнительный минор 53 Евклидова норма 233 Евклидово пространство 31 Единичная сфера нормированного про- странства 224 Единичные векторы арифметического про- странства 11 Единичный шар нормированного прост- ранства 224 Естественный базис арифметического про- странства 11 Жорданова клетка 127 Закон инерции 177 Инверсия 52 Индекс нильпотентности 118 Квадратичная форма 176 — — положительно определенная 177 Квадратичной формы индексы инерции 177 — — канонический вид 177 — — матрица 176 — — нормальный вид 177 — — ранг 177 — — сигнатура 177 Квадратный корень из оператора 202 Клетка 130 Комплексификация 48 Координаты вектора 10 Корневое подпространство 165 Корневой вектор 165 Коши — Буняковского неравенство 31 Крамера формулы 80 Кронекерово произведение матриц 132 — — определителей 77 Куранта — Фишера теорема 195 Кзли — Гамильтона теорема 165 «Лапласа теорема 53 Линейная комбинация 10 — оболочка 10 Линейное подпространство !1 — пространство (действительное) 9 — — бесконечномерное 10 — — комплексное 9 — — конечномерное 10 — — нулевое 9 Линейные пространства изоморфные 10 Линейный оператор 105 — функционал МО Линейных подпространств пересечение 11 — — сумма 11 Ляпунова матричное уравнение 200 Матриц произведение 107 — сумма 106 Матрица ассоциированная 142 — верхняя (правая) треугольная 128 — вполне неотрицательная 142 — вполне положительная 142 — вырожденная 52 — Грама 69 — дважды стохастическая 129 — диагональная 52 — диагонально доминирующая 237 — единичная 52 — квадратная 52 — квазидиагональная 130 — квазитреугольная 130 — клеточная 130 — кососимметричная 81 — ленточная 129 — невырожденная 52 — неотрицательная 175 —— неположительная 200 318 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Матрица нижняя (левая) треугольная 128 — нормальная 175 — нулевая 79 — обратная 107 — окаймленная 140 — ортогональная 175 — отражения 191 — отрицательно определенная 200 — прямоугольная 79 — перестановок 126 — перехода 108 — плохо обусловленная 226 — положительно определенная 175 ~ почти треугольная 192 — простой структуры 151 — симметричная 81 — скалярная 106, 127 — сопряженная 174 — стохастическая 129 — строго треугольная 128 — теплицева 128 — транспонированная 53,.79 — трехдиагональная 196 — — неприводимая 196 — турнирная 211 — устойчивая 200 — Фробениуса 154 — элементарная унитарная 190 — элементарного преобразования 124 — эрмитова (самосопряженная) 81 — якобиева 197 Матрицы внедиагональные элементы 52 — главная диагональ 52 — конгруэнтные 218 — определитель 52 — побочная диагональ 52 — подобные 146 — — унитарно 190 — произведение на число 106 — производная 134 — ранг 79 — сингулярное разложение 205 — сингулярные числа 175 — скелетное разложение 130 — след 123 — унитарно эквивалентные 205 — число обусловленности 226 Метод бисекции 197 — Гаусса 12 — квадратных корней 221 — рекуррентных соотношений 54 Метрическое пространство 223 — — полное 224 Минимальный многочлен 118 Минковского неравенство 225 Минор 53 Множеств объединение 223 — пересечение 223 Множества замыкание 223 — предельная точка 223 Множество выпуклое 224 — замкнутое 223 — ограниченное 224 — открытое 223 Непрерывный функционал 229 Норма вектора 224 Нормированное пространство 224 Окаймляющий минор 69 Окрестность элемента 223 Оператор дифференцирования 110 — — ft-кратного 110 — индуцированный 148 — кососимметричный 175 — косоэрмитов 174 — невырожденный 106 — неотрицательный 175 — неположительный 200 — нильпотентный 118 — нормальный 174 — нулевой 105 — обратный 106 — одноклеточный 166 — ортогональный 175 — отражения 110 — — ортогонального 185 — отрицательно определенный 200 — положительно определенный 175 — проектирования 110 — — ортогонального 185 — простой структуры 151 — псевдообратный 176 — разностный 114 — симметричный 175 — скалярный 119 — тождественный (единичный) 106 — унитарный 174 — эрмитов 174 Оператора дефект 105 — жорданова форма 149 — инвариантное подпространство 148 — канонический базис Жордана 149 — матрица 107, 108 — область значений (образ) 105 — полярное разложение 176 — произведение на число 105 — ранг 105 — сингулярные базисы 176 — — числа 175 — собственное значение 148 — — подпространство 151 — собственный вектор 148 — характеристический многочлен 148 — эрмитово разложение 175 — ядро 105 Операторов произведение 105 — сумма 105 Операторы перестановочные 119 Определитель ассоциированный 63 — взаимный (присоединенный) 63 — Грама 68 — квазитреугольный 63 — кососимметричный 59 — ортогональный 71 — почти треугольный 62 — симметричный 63 — трехдиагональныи 54 Определителя разложение по строке (столбцу) 53 Ортогональная проекция вектора на под- пространство 41 — сумма подпространств 42 Ортогональное дополнение 40 Ортогональные подпространства 42 Основная теорема алгебры 148 — — о линейной зависимости 10 Образ подпространства 111 Общее решение системы линейных урав нений 92. 98 Объем параллелепипеда 51 — — ориентированный 51 Пенроуза уравнения 217 Перманент матрицы 61 Перпендикуляр из вектора на подпро- странство 41 Плоскостей сумма 85 Плоскости вектор-сдвига 79 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 319 Плоскости направляющее подпространст- во 79 — нормальный вектор 80, 88 — параллельные 80 — параметрическое уравнение 80 — произведение на число 85 — размерность 156 Плоскость 79 Подчиненная норма 225 Полный прообраз множества 232 — -— подпространства 113 Полунорма 227 Последовательность сходящаяся 224 — фундаментальная 224 Предел последовательности 224 Преобразование переменных невырож- денное 177 — — ортогональное 177 — — треугольное 219 Прямая в линейном пространстве 80 — сумма операторов 148 Ранг системы векторов 21 Расстояние между векторами 223 — — — евклидова пространства 44 — — вектором и множеством 228 — — — — плоскостью 89 — — — — подпространством 45 — — множествами 229 — — плоскостями 89 Рэлея отношение 247 Серия 166 Сильвестра критерий 201 Система векторов линейно зависимая 10 — — — независимая 10 — — ортогональная 31 — линейных уравнений неоднородная 80 — — — неопределенная 15 — — — несовместная 14 — — — однородная 80 — — — определенная 14 — — — приведенная 97 — — — совместная 14 — — — трапецеидального вида 14 — — — треугольного вида 14 Системы линейных уравнений матрица 80 — — — — расширенная 15, 80 — — — нормальное решение 79 — — — свободные неизвестные 14 Скалярное произведение 31, 32 Собственного значения алгебраическая кратность 148 — — геометрическая кратность 151 Согласованная норма 225 Сопровождающая матрица многочлена 154 Сопряженное пространство 114 Спектральная норма 233 Спектральный радиус 186 Треугольное разложение положительно определенной матрицы 219 Угол между вектором и подпростран- ством ,46 Унитарное пространство 32 z-уравнение пары квадратичных форм 222 Фактор-пространство 85 фредгольма альтернатива 181 — теорема 97, 181 Фробениуса неравенство 117 — формулы 140 Фундаментальная система решений 93 Циркулянт 129 Шар метрического пространства 223 — — — замкнутый 223 Шара радиус 223 — центр 223 Ширина ленты 129 Шура лемма 119, 127 — неравенство 243 — произведение 201 — теорема 174 Эквивалентные матрицы 146 — системы векторов 21 — — линейных уравнений 91, 98 Элементарные преобразования системы векторов 19 Якоби правило 2[8 Икрамов Хаким Дададжанович ЗАДАЧНИК ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ М., 1975 г., 320 стр. Редактор И. М. Овчинникова^ Техн. редактор С. У. Шкляр. Корректор Н. Б. Румянцева. Сдано в набор 12/V 1975 г. Подписано к печати 1/Х 1975 г. Бумага 60Х90'Лс тип. № 2. Физ. печ. л. 20. Условн. печ. л. 20. Уч.-изд. л. 21,97. Ти- раж 34000 экз. Т-17312. Цена книги 91 коп. Заказ № 20. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград- ское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союз- полиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленин- град,'П-136, Гатчинская ул.. 26 Х.Д.ИКРАМОВ ЗАДАЧНИК по ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ ПОД РЕДАКЦИЕЙ В. В. ВОЕВОДИНА Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности ^Прикладная математика^ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1975