0ББК 32.844 Р 58 УД К 621.372.54 Роудз Дж. Д. Теория электрических фильтров: Пер. с англ./ Под ред. А. М. Трахтмана. — М.: Сов. радио, 1980.—240 с., ил. Пер изд.: J. D. Rhodes. Theory of Electrical Filters, США, 1976. В книге рассматриваются вопросы аппроксимации характеристик и синтеза схем, реализующих аппроксимирующие функции, приме- нительно к фильтрам с сосредоточенными и распределенными пара- метрами, а также к цифровым волновым фильтрам. Такой единый подход к проектированию фильтров различных типов является новым. Книга представляет значительный интерес для исследователей, разрабатывающих вопросы теории фильтров, а также для инжене- ров-разработчиков, которые, не вдаваясь в сущность развиваемой теории, смогут найти в книге необходимые расчетные формулы и алгоритмы. Табл. 1, рис. 95, библ. 43 назв. Редакция литературы по вопросам космической 'радиоэлектроники Theory of Electrical Filters J. D. Rhodes Department of Electrical and Electronic Engineering, University of Leeds A Wiley—Inlerscience Publication John Wiley & Sons London-New York-Sydney-Toronto 30401-007 32-80 2402020000 046(01)-80 © John Wiley & Sons Ltd., 1976 © Перевод на русский язык и предисловие. Издательство «Советское радио», 1980 г, ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Проектирование электрических фильтров сводится к решению двух основных задач — аппроксимации за- данных характеристик функциями определенного вида и синтеза схем, реализующих эти функции. Эти задачи так или иначе рассматриваются почти в любой книге, посвященной фильтрам, однако книга Д. Д. Роудза отличается от них тем, что в ней развит новый и единый подход к аппроксимации характеристик аналоговых фильтров с сосредоточенными и распреде- ленными параметрами, а также характеристик цифро- вых волновых фильтров *\ Автором рассматриваются только частотно-селектив- ные фильтры, при этом задача аппроксимации сводится к получению реализуемого рационального выражения заданного вида и минимального порядка для передаточ- ных функций, аппроксимирующих требуемые амплитуд- но-частотные и фазочастотные характеристики. В книге используются аппроксимирующие функции определен- ных видов: для амплитудно-частотных характеристик'— максимально плоские, чебышевские, обратные чебышев- ские, эллиптические и для фазочастотных характеристик (при аппроксимации линейной фазы или постоянного группового времени задержки)—равноволновые функ- ции. 1 Изложение в книге опирается на методы аппрокси- мации, допускающие аналитический подход и позволяю- щие получить решение в замкнутой форме. В тех случа- ях, когда производится аппроксимация одновременно и амплитудных, и фазовых характеристик, они считаются независимыми, что возможно только в случае немини- мально-фазовых цепей. *> Цифровые волновые фильтры строятся так же, как и аналого- вые фильтры, но с «цифровой» реализацией элементов (см. [8.1]). Автор применяет новый и интересный подход к зада- че аппроксимации характеристик цифровых волновых фильтров, описание которых рассматривается как неко- торое теоретическое продолжение описания аналоговых фильтров с распределенными постоянными. Основанием для этого служит то обстоятельство, что оба типа филь- тров имеют периодически повторяющиеся полосы пропу- скания. При решении второй основной задачи проектирова- ния фильтров—синтеза схемы, автор рассматривает только реализацию в виде некоторой лестничной схемы, которая часто оказывается и практически наиболее це- лесообразной (в случае фильтров с распределенными параметрами такая реализация охватывает фильтры на встречных стержнях). При этом ему удается в ряде слу- чаев получить либо формулы для расчета элементов фильтра, либо простые алгоритмы, позволяющие свести к минимуму расчетную работу. Все рассмотрение ведет- ся в основном применительно к фильтрам нижних ча- стот. Остальные типы фильтров (верхних частот, поло- совые, режекторные) легко получают из них, соответст- венно преобразуя частотную шкалу. Благодаря указанным выше ограничениям на методы аппроксимации характеристик и структуры прототипов фильтров, автору удалось в весьма компактной форме рассмотреть широкий круг вопросов, имеющих важное теоретическое и практическое значение. В результате получилась небольшая книга, не перегруженная матема- тическими выкладками, полезная как для исследовате- лей, так и для инженеров-разработчиков. В этой книге автору удалось внести принципиально новые моменты в теорию электрических фильтров. А. М. Трахтман ПРЕДИСЛОВИЕ Первоначально теория цепей развивалась как анализ сочетаний дискретных сосредоточенных компонентов. Это, естественно, привело к внешнему описанию цепи с позиций режима на ее входе и выходе. С тех пор было разработано много методов синтеза линейных инвари- антных во времени цепей по заданным внешним харак- теристическим функциям. Эти методы охватывали, кро- ме цепей с сосредоточенными компонентами, также рас- пределенные и цифровые цепи. Вышло несколько книг, в которых рассматриваются эти аспекты теории цепей. Большинство из них содер- жит гла-ву или раздел, освещающие проблему аппрокси- мации, которая заключается в конструировании опреде- ленных классов внешних характеристических функций на основе заданных ее параметров. Для случая частот- но-избирательного фильтра хорошо известен ряд приме- ров, когда при специфических подходах к проблеме аппроксимации были получены решения задачи синтеза в замкнутой форме. Сорок лет назад это было сделано для максимально плоских фильтров, двадцать лет назад для чебышевских фильтров, а еще позже для эллипти- ческих фильтров. В итоге были получены расчетные фор- мулы для элементов цепи, играющие значительную роль при проектировании фильтров. В известном смысле можно считать, что эти результаты олицетворяют конеч- ную цель любой области знания, состоящую в сведении задачи проектирования до такого уровня, когда неспе- циалисты легко могут пользоваться ее результатами. Кроме того, специалисту эти результаты полезны в плане установления тесной взаимосвязи проблем аппроксимации и синтеза, которые не обязательно должны трактоваться независимо одна от другой. В кни- ге ставятся две цели. Для специалиста в ней приводится полная и строгая трактовка представляющих наиболь- ший интерес решений проблемы аппроксимации для со- средоточенных, распределённых и цифровых прототипов фильтров, с помощью которых может моделироваться большинство частотно-избирательных устройств. Для этих видов цепей рассматривается проблема синтеза и выводятся расчетные формулы или основные алгоритмы проектирования. Неспециалист эти расчетные формулы может использовать непосредственно без глубокого по- нимания методов, примененных для их получения, что весьма удобно для инженеров-разработчиков. В настоящей книге приводятся некоторые оригиналь- ные результаты по проблеме аппроксимации примени- тельно к сосредоточенным, распределенным и цифровым 4)нльтрам. Это относится главным образом к распреде- ленным и, следовательно, цифровым фильтрам. Та-ким образом, данная книга в основном исследовательского плана. Материал в книге строго ограничен решениями для частотно-избирательных фильтров. Это создает основу для развития смежных проблем, таких как широкополос- ное согласование, направленная фильтрация и т.д., а так- же для понимания подхода, который может быть исполь- зован для численных решений фильтровых задач с огра- ничениями, не дающими возможности получить аналити- ческое решение. В заключение я хотел бы поблагодарить всех сту- дентов, принимавших участие в исследовательской про- грамме, которая дала некоторые оригинальные резуль- таты, представленные в настоящей книге. Глава 1 ПРОБЛЕМА АППРОКСИМАЦИИ 1.1. Введение Теория пассивных цепей является, вероятно, одной из наиболее развитых областей электроники. Не говоря уже об отработанных процедурах анализа, разработаны методы синтеза различной слож- ности для реализации цепей с наперед заданными характеристиками на внешних зажимах. Для цепей с сосредоточенными параметрами характеристические функции являются ограниченными и рациональ- ными функциями комплексной частоты р, в то время как для рас- пределенных и цифровых цепей, на которые наложено ограничение «соразмерности» *>, комплексная частотная переменная приобретает вид: t = th т.р или г = е-24', что приводит к периодической частотной характеристике в устано- вившемся режиме. Для цепей с сосредоточенными компонентами можно показать, например, что входное сопротивление z(p) двухполюсника (рис. 1.1) является положительной определенной функцией, т. е. Z {р)—действительна для действительного р ) Re г (/?)>() для Re^>0. f Используя одну из имеющихся процедур синтеза (например, Брюна, Ботта и Даффина, Дарлингтона и т. д.), можно также по- казать (см. например [1.1]), что условие положительной определен- ности является достаточным, т. е. Z(p) всегда можно реализовать как входное сопротивление некоторого соединения активных сопро- тивлений, емкостей, индуктивностей и трансформаторов с неотрица- тельными значениями элементов. В случае процедуры Дарлипгтона Z(p) реализуется как входное сопротивление взаимного четырехпо- люсника без потерь, нагруженного на неотрицательное сопротивле- ние, как показано на рис. 1.1.2. Важность этой формы реализации становится очевидной при рассмотрении возбуждения цепи от генератора с активным внутрен- ним сопротивлением. Для удобства и без потерн общности, благода- ря возможности масштабирования величин сопротивлений прсдпо- *> Соразмерную распределенную цепь можно представить в виде произвольного соединения однородных связанных линий или их эквивалентов той же электрической длины. В цифровых цепях вход- ной сигнал является последовательностью отсчетов, полученной в ре- зультате равномерной дискретизации аналогового сигнала или его эквивалента, а цепь содержит синхронизированные элементы за- держки. Рис. I.I.I. Двухполюсник Рис. 1.1.2. Реализация Дарлингтона ложим, что внутреннее сопротивление генератора равно 1 Ом. Кро- ме того, будем характеризовать взаимный четырехполюсник без потерь матрицей рассеяния: [^)]=[511^ ,!"^1, (1.1.2) \Sis(p) ^ss{p)\ которая нормирована к входному сопротивлению 1 Ом и выходному сопротивлению Я Ом, как показано на рис. 1.1.3. Ввиду того, что четырехполюсник, включенный между генератором и нагрузкой, не имеет потерь и пассивен, можно показать, что [5(р)] —матрица из аналитических функций в области Re^O, удовлетворяющая усло- вию унитарности: [5(/со)][5+(/й))]=[1], (1.1.3) где [1] —единичная матрица, а «•+» означает комплексно сопряжен- ную транспонированную матрицу. Коэффициент отражения 5ц (р) связан с Z(p) выражением 1 +S,, {р) z^- l-S::(p) ('•'•4) или о / . Z(p)-\ ^^(Pl^ Z(p)+\ ' и, если Z(p) положительно определена, то 5ц(р) является ограни- ченной действительной функцией, удовлетворяющей условиям: r- •S]i (р) действительна при р действительном, 1 [ |S,,(^)l0. ( Второе из этих условий можно заменить на условие: 5ц (р) аналитнчна при Re/)>0,l I5!! О") (1.1.6) Рис, 1.1.3. Нормализованный четырехполюсник без потерь 8 Из (1.1.3) имеем также выраже- ние ^„(/йЛЧЧ^Ою)!^!, (1.1.8) означающее, что, кроме аналитич- ности коэффициента передачи Sa(p) в области Re/>>0, он еще удовлетворяет условию (1,1,9) Таким образом, если задано, Wo 5i2 и циф- ровых цепей, то Л^ю)—также ограниченная рациональная функ- ция от со либо от tg (то), а т|з(со) является арктангенсом рациональ- ной функции. На рис. 1.1.4 показана характеристика идеального низкочастот- ного фильтра. При входном сигнале во временной области с ограни- ченным по полосе спектром, расположенным внутри полосы пропус- кания, выходной сигнал просто задерживается на постоянное время и фазовых или амплитудных искажений не наблюдается. Сигналы, состоящие из частотных компонент вне полосы пропускания, полно- стью не пропускаются. Для распределенных и цифровых фильтров существуют дополнительные периодически повторяющиеся полосы пропускания. Настоящая книга посвящена получению в соответствии с задан- ными параметрами физически реализуемых рациональных передаточ- ных функций минимальной степени, таких что они аппроксими- руют требуемую амплитудную характеристику как в полосе про- пускания, так и в полосе непропускания, а фазовую характеристи- ку—в полосе пропускания. Это и есть задача аппроксимации. Здесь рассматриваются сосредоточенные и распределенные прототипы фильтров, позволяющие проектировать большинство частотно-изби- рательных устройств, которые малы или сравнимы по размерам с длиной волны, на которой они должны работать. Кроме того, ввиду того, что сложная фильтрация числовых последовательностей приобрела важное значение, в книгу включен материал о цифровых фильтрах, являющихся в теоретическом отношении расширением класса распределенных фильтров. Чтобы изложение сделать максимально компактным, рассматри- ваются лишь случаи, для которых к настоящему времени найдено *1 Иногда встречаются множители вида V 1—t2, но их легко можно преобразовать либо непосредственно, либо вводя переменную t ==th (тр/2) так, чтобы обеспечить рациональность рассматривае- мых функций. аналитическое решение. Хочется верить, что хорошее понимание этих аналитических методов поможет при формулировке численного решения в тех частных случаях, для которых неизвестно аналити- ческое решение. Прежде чем рассматривать совместную амплитудно-фазовую аппроксимацию, освещаются проблемы раздельной амплитудой и фа- зовой аппроксимации как для сосредоточенных, так и для распре- деленных цепей. Хорошо известно, что решение проблемы амплитуд- ной аппроксимации независимо от вида фазовой характеристики важно для передачи речи, так как человеческое ухо относительно нечувствительно к фазовым искажениям. В эту категорию попадают кроме того сигналы, для которых допустимо некоторое искажение амплитуды при фазе, мало отличающейся от линейной, а также Дру- гие специального вида сигналы. Однако для системы связи с высо- кой пропускной способностью важны селективные линейно-фазовые фильтры, что делает необходимым решение проблемы аппроксимации при комбинированных амплитудно-фазовых ограничениях. В этом случае выдвигаются на передний план различия между сосредото- ченными, распределенными и цифровыми реализациями фильтров, применительно к каждому из этих случаев рассматриваются харак- терные формы передаточных функций. Как только решена проблема аппроксимации, далее могут быть применены классические методы синтеза. Однако в большинстве случаев, когда существуют аналитические решения проблемы аппро- ксимации, становятся возможными выражения для коэффициента отражения цепи в замкнутой форме. Исходя из этого, можно попы- таться формально решить проблему синтеза, чтобы получить расчет- ные формулы для величин элементов фильтра, сведя таким обра- зом проблему проектирования фильтра к применению набора фор- мул без необходимости использовать сложные программы численно- го синтеза. В случае прототипов сосредоточенных цепей точные расчетные формулы, даны для фильтров, описываемых максимально плоской, чебышевской, обратной чебышевской и эллиптической функциями, что охватывает все наиболее важные решения проблемы амплитуд- ной аппроксимации. Для основного прототипа распределенной цепи, состоящего из каскадно соединенных линий передачи, точные форму- лы получены для максимально плоского и чебышевского случаев, которые затем распространяются на важный в инженерном плане фильтр встречно-стержневого типа. Эти результаты модифицируются также для цифрового фильтра, отличающегося низкой чувствитель- ностью к изменениям величин коэффициентов. Для фазовых и комбинированных амплитудно-фазовых решений проблем аппроксимации в ряде случаев получены расчетные форму- лы для величин элементов отражающих фильтров. Для реализации фильтров тина передающих линий расчетных формул не существует, но зато приводятся простые алгоритмы проектирования, которые сво- дят к минимуму работу по определению величин элементов. В области распределенных цепей подробно рассматривается важный класс обобщенных фильтров встречно-стержневого типа. Раз получены такие расчетные формулы или простые алгоритмы проектирования для прототипов фильтров, то, конечно, можно использовать эти результаты для проектирования любых фильтров без глубокого знания методов решения проблемы аппроксимации и методов, использованных при получении этих результатов. В книге дана детальная трактовка проблемы аппроксимации и процедур син- теза необходимых для получения расчетных формул, для тех, кто пожелает обстоятельно изучить эти вопросы и распространить по возможности полученные результаты на более сложные случаи. Инженеры-разработчики могут применять расчетные формулы непо- средственно при проектировании фильтров без глубокого понимания методов, использованных для их получения. Чтобы помочь этой последней категории читателей, в соответствующих местах текста приведены сводки формул для проектирования. В оставшихся разделах настоящей главы рассмотрены основные вопросы проблемы аппроксимации. Показано, что ограничения, свя- занные с использованием минимально-фазовых функций, приводят в задаче одновременной амплитудной и фазовой аппроксимации к применению неминимально-фазовых передаточных функций. Уста- новлена оптимальность равноволновых решений для амплитудной характеристики при аппроксимации в ограниченной полосе, что при- водит к максимально плоскому решению как к предельному случаю. Показано, что равноволновое решение для получения постоянного группового запаздывания неоптимально, хотя соответствующее реше- ние для получения линейно-фазовой характеристики оптимально. Кроме того, установлена важность интерполяции требуемой фазовой характеристики для получения аналитических решений. В гл. 2—4 представлен материал для прототипов сосредоточен- ных цепей при аппроксимации их амплитудных, фазовых или одно- временно амплитудных и фазовых характеристик. В г.ч. 5 содержится современная трактовка проблемы амплитудной аппроксимации рас- пределенных фильтров, которые не имеют прямых сосредоточенных аналогов. В гл. 6 установлено различие фазовой аппроксимации для распределенных и сосредоточенных цепей, что делает возможным переход к гл. 7, в которой освещаются вопросы комбинированной амплитудно-фазовой аппроксимации для распределенных фильтров и уделяется особое внимание реализации таких фильтров в виде обобщенных фильтров встречно-стержневого типа. В гл. 8 рассмат- риваются незначительные различия между цифровыми и распреде- ленными вариантами решения проблемы аппроксимации и приводит- ся относящийся к этому вопросу дополнительный материал. И, на- конец, в приложении дано краткое изложение некоторых известных аналитических решений проблемы аппроксимации, важных с практи- ческой точки зрения. 1.2. Минимально-фазовые передаточные функции Передаточная функция стабильной минимально-фа- зовой системы определяется как функция, не имеющая полюсов или нулей в области Rep>0, т. е. S„(p)=N(p)/D(p), и N(p} и D(p) —полиномы Гурвица, N(p)^0, D{p)=^Q при Rep>0. (1.2.1) (1.2.2) 11 Термин «минимально-фазо- вый» в сущности связан с тем, что при ограничении (1.2.2) фазовый сдвиг arg5i2(/(u) минимален в диапазоне —оо^со^+оо Рис. 1.2.1 Лестничное представ- nУ\зawннoм__ 1512^) I 2 ление минимально-фазовых це- пей Любая конечная, линей- ная, физически реализуемая и устойчивая система, в ко- торой энергия может перено- ситься только от входа к выходу вдоль одного-единст- венного пути, обычно минимально-фазовая. Примерами могут служить лестничные схемы, волноводы, кабели и т. д. Хотя может оказаться, что в общем виде приве- денное утверждение невозможно проверить, однако это легко сделать для систем или цепей, которые локально устойчивы и могут быть представлены в виде лестнич- ной схемы, покачанной на рис. 1.2.1. Если цепь локально стабильна, то Z(p) не должна иметь полюсов и нулей в полуплоскости Re/?>0, хотя величина ReZ(/0. Выпол- няя интегрирование вдоль контура, охватывающего пра- вую полуплоскость, можно показать, что [1.2] +30 1 / \ • ^О Г а ((d) J — ф (се ) =- — \ • ' dw ' ' °' - Д t02 ——(0% . (0„ С а (м) (1.2.4) +00 д(со„)=а(0)+^ \ J Ф(<0) ^ 0^__^) ^ (1.2.5) -СО 12 где (1.2.6) т.е.образуют пару преобразований Гильберта. Для распределенных и цифровых фильтров, где 5iz(0 является рациональной функцией от f==thtp, прямое соотношение приобретает вид преобразования Винера—Ли [1.2] оо а (м) == а. + ^ я* cos (2kw) *=i И (1.2.7) —ф(<о)==3 ^sin(2fet®). ft=i (1.2.8) Для рассмотрения фазовой характеристики в тех случаях, когда минимально-фазовые фильтры имеют амплитудные характеристики, близкие к идеальным, об- ратимся к двум примерам. Пусть №.(,.)|={1 "г" НО. (Л при |ч>|> 1. . , 0 •2.9) (А При |ов| ;> 1. где Л<1. Из (1.2.4) и (1.2.6) ввиду четности функции а (со) имеем оо , , , 2(0 С In A , —ф((о)=—— \ —г———ау== ' \ •' 71 j у2 — СО2 - __l?Ld?^_!_ -_!—'\d« — n J \у—<л ~ У+w ) у 2(0 С In A . -п-}-^^-^- (1.2.10) или i / \ 1пЛ , 1 —<й I u (а)) == — —— In —.—— . ''/ п 1+<о (1.2.11) Связанная с этим групповая задержка Tg имеет вид т ^_rf'K»)__2 In Л _ 1 /i 9 j9\ ' d0, так как К, различны и чередуются. Следовательно, Z{z)—положительная функция, и нули функции l+Z(z) должны лежать в левой полуплоскости, откуда вытекает, что Л1(г) является строго полиномом Гурвица П.З. Четные полиномы и функции, равноволновые в двух полосах Рассмотрим задачу получения четного полинома или функции Гцп(х), являющейся равноволновой в пределах :Ь1 в двух диапа- зонах —1<х<—Хц и Хо<х<1. В полиномиальном случае сразу полу- чаем Fan W == ^2га (,/ ^-х\ \ \У l-^o )' (П.3.1) являющуюся требуемым четным полиномом степени In, где Тчп (х) — полином Чебышева. Подобное же преобразование аргу- мента также применимо в случае обобщенной рациональной че- бышевской функции. Если требуется аппроксимировать постоянную величину, то можно прибавить к (П.3.1) соответствующую констан- ту для достижения желаемого результата. Таким образом, для чет- ных функций переход к аппроксимации в двух диапазонах указан- ного типа тривиален. Однако во многих задачах проектирования цепей может ока- заться желательным сохранить какой-либо нуль коэффициента передачи или полный коэффициент передачи в начале координат. В большинстве задач это сводится к получению нечетного поли- нома или функции, которые аппроксимировали бы некоторую по- стоянную величину в конечной полосе. Решения этой задачи по- священы оставшиеся разделы. П.4. Максимально плоский нечетный полином, аппроксимирующий константу Рассмотрим нечетный полином Ргп-ц(х) степени 2/г-)-1, кото- рый должен аппроксимировать единицу максимально плоским об- разом вблизи точки ^==1. Тогда dP^n+Ax) dx 'К (1-х2)", (П.4 1) 231 так как P^n{x} является четным полиномом степени In. Непосред- ственное интегрирование дает х I ' ^n+>W= ("(l-i/2)"^/ [(l-y2)"^, «/ I J О / О / ' Vdy П(1-{/2)"^, (П.4.2) (П.4.3) ВВИДУ ТОГО, ЧТО P2n+l(l)=l. Пусть х Л>(х)= [ (l-y2)"^. 5 Интегрируя по частям, получаем /" (х) = 2^FT /"-' W + (1 —х^х. (П.4.4) и поэтому /n(l)=22»(n!)2/(2n)! (П.4.5) Таким образом, из (П.4.2), (П.4.4), и (П.4.5) имеет формулу (П.4.6) (П.4.7) которая приводит к законченному решению вида п Л/.+1 (X) == Х \, -у^ ( ^ } (1 - X2)'". т=0 К сожалению, в настоящее время еще не имеется аналитического ре- шения для соответствующего равноволнового полинома. П.5. Максимально плоская нечетная функция, аппроксимирующая константу Рассмотрим нечетную функцию Fn(x) степени п, которая долж- на аппроксимировать единицу максимально плоским образом вбли- зи х=={. Покажем, что решение можно выразить как FnW=th(nArthJc). Дифференцируя, имеем: dFn (х) п[1-^„(х)] „(1-х2)'1-' 1 „а == А - dx, D2 (х) (П.5.1) (П.5.2) где D(x) —знаменатель Fn(x), откуда вытекает, что Fn{x) являет- ся оптимальным максимально плоским решением. 232 П.6. Равноволновая нечетная функция, аппроксимирующая константу Требуемая в данном случае нечетная функция Fn(x) должна быть оптимально равноволновой в пределах от 1 до то~1/2 для х, лежащих в диапазоне 1^-<: