Первачев С. В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. — М.: Радио и связь, 1982. — 296 с., ил. В пер.: 1 р. Описаны автоматические системы фазовой и частотной автоподстрой- ки, слежения за направлением прихода и временным положением сигнала, автоматической регулировки усиления, широко используемые в радиоэлек- тронике. Рассмотрены разнообразные варианты построения и применения систем, дано их математическое описание. Изложены проиллюстрирован- ные примерами методы анализа и синтеза, позволяющие оценить устой- чивость систем, точность и надежность слежения, проводить оптимизацию их параметров и структуры. Уделено вниманием современным тенденциям развития систем радиоавтоматики и методов их исследования: построению цифровых систем радиоавтоматики, синтезу систем радиоавтоматики и. входящих в них фильтров методами теории оптимальной фильтрации и др. Для студентов радиотехнических вузов. Книга будет полезна также инженерам, занимающимся вопросами радиоавтоматики. 2402020000-101 П——————————06-82 046(01)-82 ББК 32.815 6Ф6.5 РЕЦЕНЗЕНТЫ: дафедра Рязанского радиотехнического института (зав. кафедрой доц. С. А. Суслонов), кафедра Ленинградского института авиационного приборостроения (зав. кафедрой проф. В. А. Б е с е к е р- с к и и) Редакция литературы по кибернетике и вычислительной технике Издательство «Радио и связь», 1982 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая вниманию читателя книга является учебником по курсу «Радиоавтоматика», Этот курс, читаемый студентам радио- технических вузов "и факультетов, 'посвящен изучению автоматич&- ских систем, входящих в состав радиотехнических устройств. Со- держание курса- определяется программой, утвержденной MB и ССО СССР. При работе над учебником автор опирался на опыт чтения лекций на. радиотехническом факультете Московского орде- •на Ленина и ордена Октябрьской Революции энергетического ин- ститута. При подготовке учебника использован также опыт, при- обретенный автором 'при написании совместно с группой сотрудни- ков кафедры радиотехнических систем этого института учебного пособия «Статистическая динамика радиотехнических следящих систем», выпущенного издательством «Советское радио» в 1973 г. Глубина и полнота изучения отдельных р-азделов учебника мо- гут варьироваться. С этой целью, в частности, часть текста набра- на петитом. При этом в 'петит вынесены в основном некоторые ма- тематические доказательства и .материалы, которые могут быть ис- пользованы при более подробном изучении 'курса. При построении лекционного курса порядок изучения отдельных глав учебника мо- жет несколько изменяться. Так, например, изучение статистических характеристик дискриминаторов (гл. L'; может проводиться после .изложения вопросов устойчивости и анализа детерминированных процессов в линейных системах радиоавтоматики (гл. 4 и 5). Большинство глав учебника завершается задачами, которые могут быть использованы при самостоятельной работе над курсом и проведении упражнений. Автор считает своим приятным долгом 'выразить 'благодарность рецензентам: заведующему кафедрой «Электронные устройства систем управления» Ленинградского института авиационного при- боростроения проф. В. А. Бесекерскому, заведующему кафедрой радиотехнических систем Рязанского радиотехнического института доц. С. А. Суслонову, доц. Ю. Н. Гришаеву и коллективам этих кафедр за полезные замечания, способствовавшие улучшению учебника. Свою признательность за внимание и поддержку автор выража- ет заведующему кафедрой радиотехнических систем МЭИ проф. Л. С. Гуткину, лроф. А. Л. Зиновьеву, проф. Ю. П. Борисову, доц. А. А. Валуеву, доц. Г. В. Обрезкову, доц. В. М. Чяликину, с. н. с. Ю. А. Евсикову и другим товарищам, принявшим участие в обсуждении рукописи учебника. Автор надеется, что данная книга окажется полезной не толь- ко студентам,' но и инженерам, занимающимся вопросами радио- автоматики. ГЛАВА 1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ 1.1. Понятие систем радиоавтоматики В современных радиотехнических устройствах, используемых для целей радиосвязи, радиолокации, радионавигации, радио- управления и в других областях, широко применяются ав- томатические системы. Они называются системами радиоав- томатики или радиоавтоматическими системами. Наибольшее распространение среди них получили системы фазовой и частотной автоподстройки, системы слежения за временным положением и направлением прихода радиосигнала. Такие системы используются в качестве следящих измерителей, де- модуляторов,. 'фильтров, 'пространственных и временных селекто- ров, для осуществления синхронизации в телевидении и в .многока- нальных системах передачи сообщений, при когерентном суммиро- вании сигналов от нескольких источников, для стабилизации час- тоты генераторов, для стабилизации фазового набега в усилите- лях и для решения других многочисленных и разнообразных задач. К распространенным на практике системам радиоавтоматики относится также широко используемая в радиоприемных устрой- ствах система автоматической регулировки усиления. Наряду с перечисленными системами автоматического регули- рования в состав радиотехнических устройств часто включают ра- диоавтоматические системы контроля их состояния, например сис- темы контроля наличия сигнала и соответствующего изменения ре- жима работы устройства: перехода от режима поиска к слежению или от режима ожидания к режиму активной работы. Иногда к числу систем радиоавтоматики относят также конст- руктивно входящие в состав радиотехнических устройств системы автоматического регулирования температуры, давления и некото- рые другие. Такие системы могут играть 'важную роль в нормаль- ной работе радиотехнического устройства. Однако их функциониро- вание не связано непосредственно с обработкой радиосигнала, по- этому включение их в число систем радиоавтоматики в значитель- ной мере условно. Системы__дадиоавтоматики являются важным кл ассо м^ си стем автоматическогоуправлёнйя. широко используемых в технике и на- родном хозяйстве нашей страны. Теория построения систем радио- автоматики тесно смыкается с общей теорией автоматического уп- равления. Уместно отметить здесь, что в развитие теории и практи- жи автоматического регулирования и управления большой вклад 4 внесли отечественные ученые, изобретатели и инженеры. Достаточ- но напомнить, что изобретателем первого в мире промышленного регулятора стал знаменитый русский механик И. И. Ползунов. Ра- боты профессора И. А. Вышнеградского «Об общей теории регу- ляторов» (1876 г.) и «О регуляторах прямого действия» (1877 г.) явились основополагающими в теории автоматического регулирова- ния. Фундаментальные исследования aio определению устойчивости движения и состояния равновесия в произвольных динамических системах, сохранившие свою ценность до наших дней, принадле- жат великому русскому математику А. М. Ляпунову. Важную роль в становлении и развитии советской школы в те- ории и технике автоматического управления в 30—40 годах сыгра- ли работы А. А. Андронова, А. Н. Колмогорова, И. В. Вознесен- ского, Н. Н. Боголюбова, А. В. Михайлова, В.' С. Кулебакина, а в дальнейшем Б. Н. Петрова, Е. П. Попова, В. В. Солодовникова, iB. С. Пугачева, И. Е. Казакова, Л. С. Понтрягина, А. В. Солодова, А. А. Фелыдбаума, Я. 3. Цыпкина и многих других советских уче- ных и исследователей. Развитию автоматических и автоматизированных систем в на- шей стране постоянно уделяется большое внимание. В 'программ- ных документах партии и правительства: Программе КПСС, ре- шениях партийных съездов указывается, что автоматизация явля- ется одним и'з 'важнейших направлений научно-технического про- гресса, одним из мощных 'рычагов построения материально-техни- ческой 'базы коммунизма. Задача развития и совершенствования .автоматических систем в полной мере относится и к системам ра- диоавтоматики, качество построения которых в значительной сте- пени определяет возможности и характеристики создаваемой ра- диоаппаратуры. Обладая несомненным сходством с другими системами автома- тического управления, системы радиоавтоматики имеют_гакже_^яд существенных особенностей7~что~иГ определяет вътделё1шё~их в от- дельный самостоятельный класс. В системах радиоавтоматики осу- ществляется обра^отка^р^дибсигнала. Указанная обработка ведет- ся радиотехническими методами с широким использованием ра- диоэлектронных приемно-усилительных, генерирующих и преобра- зующих устройств. При этом учитываются свойства радиосигнала, обусловленные применяемым методом 'его модуляции, наличием амплитудных, фазовых и других флюктуации, а также учитывает- ся действие внутренних шумов радиоприемных устройств. Системы радиоавтоматики появились и получили значительное распространение в 30-х годах нашего столетия. Это были системы автоматической регулировки усиления радиоприемников, которые в те годы называли также системами автоматической регулировки громкости, системы автоматической подстройки частоты, системы автоматической регулировки полосы пропускания приемника' и не- которые другие. Дальнейшее развитие и широкое распространение систем радиоавтоматики было тесно связано с совершенствовани- ем радиоприемных и радиопередающих устройств, разработкой ра- б дислокационных, телевизионных и радионавигационных систем, систем радиосвязи. Большой вклад в развитие теории и техники систем радиоавто- .матики внесли советские ученые и инженеры. Начало создания теории этих систем было положено 'в 30-х годах работами В. И. Сифорова по исследованию переходных процессов в прием- никах с автоматической регулировкой усиления [I], работами Г. К. Серапина и А. А. Колосова по анализу стационарных режи- мов систем автоматической регулировки усиления [2, З], исследо- ваниями В. И. Сифорова и Г. В. Гитшова по определению устой- чивости систем автоматической подстройки частоты [4], работами Н. И. Чистякова по расчету частотных дискриминаторов и дина- мических процессов в системе автоматической подстройки частоты [5, 6] и др. Важную роль в разработке методов анализа и синтеза систем радиоавтоматики, а также в широком применении этих систем на практике сыграли книги и статьи, опубликованные Г. П. Тартаков- ским, М. Р. Каплановым, В. А. Левиным, Б. X. Кривицким, Р. Л. Стратоновичем, В. И. Тихоновым, И. А. Большаковым, В. Г. Репиным, М. В. Капрановым, Г. И. Тузовым, В. В. Шахгиль- дяном и рядом других советских ученых и специалистов. С рабо- тами многих из названных здесь ученых читатель встретится на страницах последующих глав этой книги. 1.2. Принципы построения и классификация систем радиоавтоматики Системы радиоавтоматики весьма разнообразны и могут клас- сифицироваться по целому ряду признаков. Некоторые из этих признаков совпадают с используемыми в теории автоматического 'управления [7, 8] и в технической кибернетике, объектом изучения которой являются как автоматические (без участия человека), так я автоматизированные (с участием человека) системы управления. Одним из таких признаков, определяющим общее построение сис- темы, является используемый в ней принцип управления (регули- рования). Различают системы с управлением по рассогласованию (ошибке), с управлением по воздействию и системы с комбини- рованным управлением. Принцип управления по рассогласованию поясним применитель- но к показанной на рис. 1.1 системе управления общего вида, ко- торая может быть как автоматической, так и автоматизированной. [-————————-1 Объектом управления (ОУ) в ИР НПО у о У ^ По 1 yс опорным напряжением Uoa(t) ==[7osin Qot проводится в ам- плитудном синхронном детекторе (АСД). Формирование опорного напряжения осуществляется системой ФАП, в состав которой входят фазовый детектор (ФД), фильтр нижних частот (ФНЧ), под- страиваемый генератор (ПГ). Система ФАП играет при этом роль узкополосного фильт- ц ^,j pa, выделяющего из входной смеси сигнала -х ' и шума колебание с несущей частотой соо принимаемого амплитудно-модулированного сигнала. В режиме слежения среднее зна- чение выходного напряжения фазового де- тектора близко к нулю. При этом, как от- мечалось ранее, фаза колебаний, подстраи- ваемого генератора отличается от фазы входного сигнала на 90°. Чтобы получить опорное напряжение, син- фазное с напряжением несущей, в схему включен фазовращатель (ФВ-90), который изменяет фазу поступивших на его вход коле- баний на 90°. Рассмотрим еще несколько вариантов систем ФАП различного назначения и построим их структурные схемы. Одним из распространенных применений системь/ ФАП является демодуля- ция сигналов с частотной и фазовой модуляцией. Применяемая для этой цели система ФАП получила название синхронно-фазовый детектор с обратной связью по частоте или просто синхронно-фазовый детектор. Функциональная и структурная схемы системы ФАП указанного назначения совпадают с изоб- раженными на рис. 2.7 и 2.8. Параметры системы выбираются так, чтобы под- страиваемый генератор отслеживал изменение частоты частотно-модулирован- ного принимаемого сигнала. Напряжение на входе подстраиваемого генератора при этом отображает закон модуляции сигнала и является выходным эффектом демодулятора. Достоинством синхронно-фазового детектора по сравнению с обычным (не- следящего типа) частотным детектором является большая помехоустойчивость. В обычном частотном детекторе резкое (пороговое) ухудшение помехоустой- чивости происходит, когда выбросы шума на входе детектора достигают уров- ня сигнала. Благодаря использованию опорного напряжения, значительно пре- восходящего по амплитуде сигнал и шум, в синхронно-фазовом детекторе та- кого явления не возникает. Пороговое ухудшение помехоустойчивости в син- хронно-фазовом детекторе также имеет место, но связано с иными, чем в обыч- ном частотном детекторе, причинами и возникает при меньших уровнях вход- ного сигнала. В синхронно-фазовом детекторе оно определяется ростом ошибки слежения и срывами режима сопровождения при ухудшении отношения сиг- нал-шум на входе системы. Исследования показали, что выигрыш в пороговом отношении сигнал-шум при использовании синхронно-фазового детектора со- ставляет 5...6 дБ по .сравнению с обычным частотным детектором [II]. Для стабилизации промежуточной частоты сигнала в радиопри- емных устройствах используют систему ФАП с опорным генерато- 19 ром (рис. 2.10). В этой системе входной сигнал преобразуется в смесителе (См) 'на промежуточную частоту, проходит через усили- тель промежуточной частоты (УПЧ) и сравнивается по фазе с на- пряжением опорного генератора (ОГ) в фазовом детекторе (ФД). Рис. 2.10 При наличии фазового рассогласования на выходе фазового детек- тора появляется напряжение, изменяющее частоту и фазу колеба- ний подстраиваемого генератора (ПГ) и, 'следовательно, частоту и фазу напряжения 'промежуточной частоты 'на входе детектора так, что исходное рассогласование уменьшается. В результате ра- боты системы автоподстройки промежуточная частота сигнала поддерживается равной частоте опорного генератора, величина которой совпадает с номинальным значением промежуточной час- тоты. В рассматриваемой системе фазовой автоподстройки достига- ется не только стабилизация промежуточной частоты сигнала, но и -«привязка» ''фазы колебаний сигнала на промежуточной частоте' к фазе колебаний опорного'генератора. Это позволяет, в частности, проводить синхронное амплитудное детектирование входного сиг- нала. Необходимые для этой операции элементы: фазовращатель (ФВ-90), вносящий фазовый сдвиг на 90°, и амплитудный синхрон- ный детектор (АСД), 'показаны на рис. 2.10 штриховыми линиями. Построим структурную схему системы ФАП с опорным генера- торов. Фаза српр(0 сигнала на выходе 'смесителя, ^пр(^)=Фс(0-Фг(^ (2.18) где (рс(^), Фг(0 —фазы колебаний сигнала и подстраиваемого ге- нератора. Если полоса пропускания УПЧ значительно превышает полосу пропускания фильтра нижних частот, то УПЧ можно приближен- но считать безынерционным устройством, 'не изменяющим фазу усиливаемого сигнала.'При этом разность фаз <р колебаний, дейст- вующих на фазовый детектор, равна <Р(0==Фпр(0—Фог(0, (2.19) где (рог(0 — фаза колебаний опорного генератора. Функционирование остальной части схемы описывается уравне- ниями (2.9), (2.13) — (2.Г5). Эти уравнения вместе с (2.18), (2.19) позволяют построить структурную схему данного варианта систе- мы ФАПЧ. Она показана на рис. 2.11. 20 Система ФАП позволяет сформировать перестраиваемые по частоте колебания 'с высокой стабильностью. Функциональная схе- ма системы ФАП, применяемой для этой цели, 'показана на рис. 2.12. ТЗ 'этой схеме напряжения перестраиваемого генератора (ПГ) и высокочастотного эталонного генератора (ЭГ) преобразуются в Рис. 2.11 Рис. 2.12 смесителе (СМ) на промежуточную частоту. На фазовый детектор (ФД) поступают напряжение промежуточной частоты сигнала и напряжение генератора сдвига (ГС).'При наличии фазового рас- согласования между этими напряжениями на выходе ФД появля- ется управляющее напряжение, которое изменяет частоту под- страиваемого генератора. В результате работы системы автопод- -стройки частота преобразованного смесителем сигнала 'поддержи- вается равной частоте генератора сдвига. Частота 'подстраиваемо- го генератора (Ог при 'этом равна разности частот эталонного гене- ратора и генератора сдвига, т. е. с»г==(1)эг—(Осд. Выходным напря- жением системы является напряжение подстраиваемого генерато- ра. Перестройка его частоты осуществляется изменением частоты генератора сдвига. Величина последней выбирается значительно меньшей, чем частота эталонного генератора. Поэтому относитель- ная нестабильность частоты сформированных системой колебаний определяется в основном нестабильностью частоты эталонного ге- нератора и получается малой. Структурная схема рассмотренной системы ФАП близка к изо- браженной на рис. 2.11 и отличается от нее отсутствием флюктуа- ционного шума c,(t), а также заменой фазы сигнала фс(^) на фа- зу эталонного генератора (рэг(0 и фазы опорного генератора (рог(0 на фазу генератора сдвига <рсд- При использовании системы ФАП в качестве следящего фильтра к ней предъявляются требования высокой степени фильтрации шумов и успешной работы при первоначальном несовпадении частот сигнала и подстраиваемого генератора. Эти требования противоречивы, так как выполнение первого из них связано с уменьшением быстродействия системы, а выполнение второго — с его увеличением. Существуют различные способы удовлетворения отмеченных противоречивых требований. К их числу относятся: коммутация параметров фильтра нижних частот через некоторое время после начала работы системы, применение нелинейных фильтров, включение в состав фильтра интегратора и др. Одним из эффективных путей решения указанной задачи является приме- нение системы ФАП с дополнительным модулятором фазы [15]. Функциональная схема такой системы показана на рис. 2.13. Эта схема отличается от изобра- женной на рис. 2.7 включением дополнительного фильтра ФНЧ2 и фазового 21 модулятора ФМ. Напряжение с выхода фазового детектора в рассматриваемой системе не только управляет частотой подстраиваемого генератора, но и, прой- дя через фильтр ФНЧ2, с помощью фазового модулятора дополнительно изме- няет фазу колебаний, поступающих на фазовый детектор. Включение в систему ФАП дополнительной цепи регулирования, состоящей из фильтра и фазового модулятора, <розволяет, не изменяя быстродействия системы в целом, увели- чить инерционность фильтра ФНЧ1 и снизить тем самым флюктуации фазы подстраиваемого генератора, вызванные действием внутреннего шума приемника. Рис. 1.13 Рис. 2.14 Построим структурную схему системы ФАП с дополнительным фазовым модулятором. Разность фаз колебаний на входах фазового детектора равна (р=.<рс—<Рм. . '(2.20) срм==Фг+Дф> (2.21) где <рс, Фг—фазы сигнала и подстраиваемого генератора; срм—фаза опорного напряжения на входе фазового детектора; Д(р — сдвиг фаз, внесенный фазо- вым модулятором. Полагая, что работа происходит в пределах линейного участка характери- стики фазового модулятора, записываем Д(рй=5м/Са(/?)йд01), (2.22) где 5м—крутизна характеристики фазового модулятора; Ks.(p)—операторный коэффициент передачи фильтра ФНЧ2; йд(<)—напряжение фазового детектора, определяемое соотношением (2.14). Процессы в цепи регулирования, охватывающей подстраиваемый генератор, по-прежнему описываются выражениями (2.9), (2.13)—(2.17). Структурная схе- ма, отображающая преобразования (2.9), (2.13)—(2.17) и (2.20), (2.21), (2.22), показана на рис. 2.14. Системы ФАП используются также в фазированных антенных решетках для когерентного суммирования сигналов, 'принимаемых отдельными элементами решетки. Принцип такого суммирования по- ясняется схемой, приведенной на рис. 2.15. Сигналы Uy.(t), Uz(t), ... ..., Un{t), принятые отдельными элементами антенны, имеют суще- ственно различные фазы и непо- средственное суммирование их неэф- фективно. Один из каналов системы (верхний на рис. 2.15) выбирается в качестве опорного. Принятый им сигнал после преобразования в сме- сителе (СМ) и усиления в УНЧ слу- жит опорным напряжением и поступает на фазовые детекторы (ФД) остальных каналов. В результате работы системы ФАП фазы полезных напряжений на выходах УПЧ этих каналов под- держиваются равными и отличаются от фазы опорного напряже- ния на 90°. Сложение сигналов всех каналов проводится в сумма- торе (S). Напряжение первого канала при этом предварительно сдвигается по фазе на 90°. В качестве опорного напряжения, по- даваемого на фазовые детекторы отдельных каналов, может ис- пользоваться также суммарное напряжение всех каналов. 2.3. Системы слежения за временным положением импульсного сигнала Для выделения импульсного периодического сигнала на фоне помех в импульсных радиолиниях связи, в радиолокационных при- емниках и других устройствах применяются системы слежения за временным положением импульсов (системы слежения 'по дально- сти). Будем называть такие системы временными автоселекторами. На рис. 2.16 показана упрощенная функциональная схема радиоло- кационного приемника импульсных некогерентных сигналов и вре- менного автоселектора. В состав приемника входит ряд типовых элементов: смеситель (СМ), гетеродин (Г), усилитель 'промежу- точной частоты (УПЧ), амплитудный детектор (АД), видеоусили- тель (ВУ). Напряжение с выхода видеоусилителя снимается для последующей обработки, например для выделения информации об угловом положении 'цели. Рис. 2.16 Рис. 2.17 Для уменьшения действия помех приемное устройство откры- вается (стробируется) периодически лишь на короткие интервалы времени, определяемые длительностью стробирующих импульсов. Эти импульсы формируются генератором импульсов (ГИ), входя- щим в состав временного автоселектора. Элементы схемы, обра- зующие временной автоселектор, на рис. 2.16 обведены штриховой линией. При стробировании приемника возникают нежелательные пере- ходные процессы. Длительность их обратно пропорциональна по- лосе пропускания элементов приемного устройства, в которых про- водится стробирование. Поэтому стробирование выполняется обыч- но в широкополосных элементах приемника: входных цепях или, как показано на рис. 2.16, усилителе'промежуточной частоты. 23 ристики дискриминатора. В этих случаях расчет по формуле (7.40) позволяет определить вероятность срыва слежения значи- тельно точнее, чем на основе применяемой иногда грубой оценки вероятности срыва как вероятности выхода ошибки за 'пределы линейного участка характеристики дискриминатора. Величины эквивалентных порогов и вероятность срыва слеже- ния существенно зависят, 'как следует из (7.40) и (7.41), от ско- рости a=dKldt изменения задающего воздействия 'k{t). При уве- личении а вероятность срыва повышается вследствие значитель- ного уменьшения одного из эквивалентных порогов. Выражение (7.40) можно использовать для приближенных расчетов нели- нейных следящих систем с широко применяемыми на практике фильтрами, име- ющими коэффициенты передачи (5.21) или (5.22). При этом величины /ск для этих фильтров соответственно равны /ск= /ск= Ku=Sp,ks; l==Ti/T^, kg=KoT^P; /Са=5д^ц2. а величина [3 в (7.41) для фильтра (5.22) равна нулю. Проведенный анализ показал [36, 37], что для указанных систем формула (7.40) позволяет найти значения дисперсии ошибки слежения о\ и спектраль- ной плотности No шума на выходе дискриминатора, соответствующие допусти- мой вероятности Pcp(Q, с погрешностью не более 15...20%, если протяженность линейного участка характеристики дискриминатора составляет не менее 1/3 его полной апертуры. В некоторых случаях устойчивость (надежность) режима сле- жения при наличии помех оценивают не вероятностью срыва сле- жения за время наблюдения t, а средним временем до срыва сле- жения. Эту характеристику следящей системы можно найти мето- дами теории марковских случайных процессов путем решения уравнений Понтрягина [34, 35]. 7.4. Анализ нелинейных следящих систем .; методом статистической линеаризации ; Общая характеристика метода. Метод статистической линеа- ризации, предложенный И. Е. Казаковым [38], основан на заме- не нелинейных преобразований процессов, происходящих в си- стеме, статистически эквивалентными им линейными преобразова- ниями. При этом нелинейный элемент НЭ (рис. 7.11), на выходе которого действует процесс u(t), заменяется линейным эквивален- том ЛЭ. В результате указанной замены система в целом линеа- ризуется. При этом для определения характеристик случай- ных процессов в ней становится применимым аппарат линейной теории, что резко упрощает исследование рассматриваемой си- стемы. 146 •Замена нелинейного, преобразования линейным является приб- лиженной и может быть справедливой лишь в некоторых отноше- ниях. Поэтому понятие статистической 'эквивалентности, на основе которого проводится такая замена, не является однозначным, и можно сформулировать различные критерии статистической эквивалентности нелинейного и заменяющего его линейного преобразований. В случае, когда линеаризации подвергает- ся нелинейная безынерционная зависимость вида Рис. 7.11 u=(p(Jc), (7.42) связывающая процессы v(t) и x(t), обычно применяются следую- щие критерии статистической эквивалентности. Первый из них ' требует равенства математических ожиданий и дисперсий про- цессов v(t) и u(t) на выходе нелинейного и линейного элементов. Второй требует минимизации среднего квадрата разности про- цессов на выходе указанных элементов. Рассмотрим подробнее оба эти критерия. Представим процессы x(t) и v(t) на входе и выходе нелиней- ного элемента в виде х (t) =m„ (0+^(0, и^)==от„(0+У°«), (7.43) где mx(t), m.v(t) — математические ожидания, a x°(t), u°(<) — центрированные случайные составляющие процессов x(t) и u(t). При статистической линеаризации нелинейное преобразование (7.42) обычно заменяют зависимостью вида u(t)= ^"U0+^°(0. (7.44) Входящие в (7.44) величины ko и k\ являются коэффициентами передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию и центрированной составляющей соответственно. Их значения должны быть выбраны так, чтобы выполнялись условия статисти- ческой эквивалентности процессов u(t) и u(t). Приравняем на основании первого критерия 'эквивалентности и соотношений (7.43), (7.44) математические ожидания и диспер- сии процессов v(t) и u(t): m»=kom^, o\=k\o\, (7.45) где c^.v, о2,)—дисперсии функций x(t) и u(t). Из (7.45) следует, что величины ko и k\, при которых удовлетворяется первый крите- рий эквивалентности, для однозначной функции 1/2 Ь —h • "•1 —"'ii f (p2 (x) vo (x) dx—m\\ Здесь w(x)—плотность вероятности процесса x(t). 147 Обозначение k\\ показывает, что коэффициент k\ найден по первому критерию эквивалентности. Значение того же коэффици- ента, найденное по второму критерию эквивалентности, будем обозначать kiz. Второй критерий статистической эквивалентности состоит, как следует из ранее изложенного, в выполнении условия М {[v{t}—u\W}= [и^—и^^мин. (7.48) Учитывая (7.43), (7.44) для процессов v(t) и u(t), преобразуем формулу (7.48) к виду т2» + о^ + k\ т2^ + ^1 o^ — 2^о m^ m^ —2k^vx° == мин. (7.49) Для определения величин ko и k\, при которых выражение (7.49) имеет минимум, следует приравнять нулю частные производные этого выражения по ko и k\. В результате получаем m^ko—m.v=0, k^x—их°=0. Из этих соотношений следует, что величины ko и k\, при которых выполняется второй критерий статистической эк- вивалентности u(t) и u(t), равны ko=mo/m^, (7.50) 'у^О j °° -у- 4(x—m^(p(x)w(x)dx. (7.51) о\- Сопоставление выражений (7.50) и (7.46), а также (7.51) и (7.47) показывает, что найденные обоими способами коэффициен- ты передачи ko линейного эквивалента по математическому ожи- данию совпадают, а коэффициенты передачи по центрированной составляющей различаются. Коэффициенты статистической линеаризации ko и k\, KB'K вид- но из (7.46), (7.47), (7.51), зависит не только от характеристики нелинейного элемента, но и от закона распределения процесса x(t'). Однако при анализе следящей системы закон распределения w(x) обычно неизвестен. Поэтому при использовании метода ста- тистической линеаризации приближенно полагают закон распре- деления нормальным: - ехр — 2о\ Отличие закона распределения w(x) от нормального является од- ним из источников погрешностей метода статистической линеари- зации. При нормальном распределении w(x) коэффициенты ky и k\ зависят лишь от двух параметров воздействия—математичес- кого ожидания гпх и дисперсии о2^, т. е. ko=ko(mx, о2^), k\= =k\[mx, o2^). Выражения для коэффициентов ko и k\ для типовых нелинейностей .при этом можно найти заранее, что существен- но облегчает расчеты, проводимые методом статистической лине- аризации. Зависимость коэффициентов передачи ko и k\ от параметров Шх и а2^ входного процесса отражает специфику исходного нели- 148 нейного преобразования (7.42), при котором коэффициент переда- чи зависит от мгновенных значений входного процесса x(t). Так как коэффициенты ko и k\ зависят от величин nix и ст2^, то преоб- разование (7.44), описывающее введенный статистический экви- валент, является нелинейным по отношению к математическому ожиданию тх и линейным по отношению к центрированной составляющей x°(t). Последнее обстоятельство является решаю- щим, поэтому эквивалент (7.44) будем для краткости называть линейным. Приведем результаты вычисления по формулам (7.46), (7.47), (7.51) коэф- фициентов .линеаризации для двух нелинейностей, которые часто применяются для аппроксимации характеристик дискриминаторов. Дискриминатор с синусоидальной характеристикой ср= (х) =А sin ax (7.53) Asma_m^ -..„ / _!_ „2 „2 "\ (7.52) Ry. ехр — и-а-х тх \ 2 А i 1 [l- р ^ х роя 2й/?! .]-( вх [ 2 х\ \ ky, = Лае cos а /Пж. (7.54) Приведенные формулы являются точными при периодической характеристике дискриминатора. Такой характеристикой обладает, в частности, фазовый детек- тор. Однако для реально возможных в системе регулирования величин диспер- сии ст2» эти результаты остаются приближенно справедливыми и в случае, когда I A sin ax при —л-^ах-^л, c{'(x)={ п 11-^» (7•55) [ 0 при ]а^|> п. Выражение (7.55) находит применение, например, для аппроксимации характе- ристики углового дискриминатора. Дискриминатор с релейной характеристикой вида f —1 при х<0, <р (х) = Л sign х = ' 1 при х>0. В этом случае (7.56) (7.57) где Ф (г) = • \dy. ехр }/2п о Коэффициенты статистической линеаризации для ряда иных нелинейностей можно найти в [38]. При анализе следящих систем методом статистической линеа- ризации наиболее просто удается проанализировать стационар- ный режим их работы. В стационарном режиме математическое ожидание и дисперсия процесса x(t) на входе ^нелинейного эле- мента, а также взаимная моментная функция x°v постоянны во 149 времени. В этом случае, как видно из (7.46), (7.47) и (7.51), ко- эффициенты статистической линеаризации не зависят от времени. Линеаризованная система является при этом системой с постоян- ными параметрами, и исследование ее 'может быть проведено сравнительно простым путем. В нестационарном режиме, который может быть вызван, на- пример, переходным процессом, нестационарностью воздействий или самой следящей системы, коэффициенты статистической лине- аризации изменяются во времени. Линеаризованная система ока- зывается при этом системой с переменными параметрами. Анализ такой системы является более сложной задачей. Он может быть успешно выполнен путем интегрирования на ЭВМ уравнений для моментных функций. Рис. 7.12 Анализ стационарных режимов следящих систем методом ста- тистической линеаризации. Рассмотрим применение метода стати- стической линеаризации для анализа стационарного режима ра- диотехнических следящих систем. \W Обобщенная структурная схема таких систем, учитывающая не- линейность характеристики дис- криминатора, показана на рис. 7.12. Предположим, что в резуль- тате анализа необходимо найти среднее значение т.х и дисперсию «а2^ ошибки слежения. В соответствии с 'методом статистической .линеаризации заменим нелинейный элемент F(x) линейным эк- вивалентом с коэффициентом передачи ko и k\ для 'математичес- кого ожидания и центрированной случайной составляющей соот- ветственно. В стационарном режиме величины т.х и Ьо(т.х, Ох) постоянны во времени. В линеаризованной следящей системе •связь между математическими ожиданиями задающего воздейст- вия K(t) и ошибки слежения x(t) определяется уравнением (7.58). .где Ккх (р) = 1 /[ 1 + М^, ^) K'Sp}}. Заметим, что, как следует из гл. 4, установление стационарно- го режима в следящей системе при описании математического •ожидания воздействия .полиномом вида тд/^)=ао+а^+ ... +ait1 возможно, если степень / не превосходит порядок астатизма си- стемы. Так, например, в системе с одним интегратором, обладаю- щей астатизмом первого порядка, стационарный режим устанав- ливается при m^(t) =ao+ait. Применив для решения уравнения (7.58) метод преобразова- ния Лапласа, найдем s M (s) т^ == 1 im sK^ (s) M^, (s) = 1 im к s-O s-o 1 + kn(.m», a s-o 1 +*o(ff2;»;> ax)K(s) 150 (7.59), где M^(s)—преобразованный по Лапласу процесс m^(t). Выра- жение (7.59) представляет собой первое алгебраическое уравне- ние, связывающее значения nix. Ох в стационарном режиме работы рассматриваемой следящей системы. Обратимся теперь к анализу случайной составляющей ошибки слежения. Положим, что воздействие X(i) является детерминиро- ванным процессом. Тогда единственным случайным воздействием в системе является шум ^,(t). Заменив нелинейный элемент F(x) линейным эквивалентом с коэффициентом передачи ki и исполь- зовав результаты, полученные в гл. 6 для линейной следящей си- стемы, запишем следующее выражение для дисперсии ошибки сле- жения: 2я _L Г5, (со) __WW^ _ 2л Joo |l+^i(/"»> ax)K(jm)\2 (7.60) Коэффициент k\ в (7.60) зависит от математического ожидания nix и дисперсии о^х ошибки слежения, поэтому соотношение (7.60) представляет собой второе алгебраическое уравнение, свя- зывающее ГПх И Ох- Для определения среднего значения тх и дисперсии о^х в ус- тановившемся режиме необходимо решить полученную систему алгебраических уравнений (7.59), (7.60). Иногда это удается сде- лать аналитически. Так, если в системе, изображенной на рис. 7.12,MQ=cto, K(p}==kJp, ^00=Asignx,5g((d)=Sg(0), то, нахо- дя математическое ожидание тх по формулам (7.59), (7.56), по- лучаем •-0. (7.61) s-o 1 + ky(mx, Ox)kn/s Вычисление дисперсии ошибки слежения по формуле (7.60) с уче- том (7.57), (7.61) дает следующий результат: S,(0)^i S.(0)ka~\/2nax Qi ——— ________b——————————————— == ———"————————————————————————— , x 2^i2 {тх, Ох} 4Л откуда следует, что сгж?=г5^(0)^п/1.6Л. В общем случае система уравнений (7.59), (7.60) решается- либо методом последовательных приближений, либо графически. Пример 7.2. Рассмотрим один из возможных путей графичес- кого решения системы уравнений (7.59), (7.60) на примере ана- лиза системы углового сопровождения, структурная схема кото- рой показана на рис. 7.12. Положим, что 'k(t)=ait, ai=3 град/с, К(р)=^/р(1+рТф), ^и=2 град/(с.В), Гф=1 с, F^)—нелиней- ная характеристика дискриминатора вида F(x)=A sin ax, a—0,1 1/град, Л=4В, i(Q — белый шум со спектральной плотностью 5g (0) = 10 Вг/Гц. 151 Конкретизируем уравнения (7.59) и (7.60), решение которых определяет математическое ожидание и дисперсию ошибки сле- жения. Изображение математического ожидания воздействия в рассматриваемом случае равно A^(s)=cc,/s2. (7.62) Подставляя (7.62) в (7.59) и учитывая выражение для коэффици- ента К(р) анализируемой системы, находим, что в рассматрива- емом примере уравнение (7.59) приобретает вид mx=ai/ko(mx, Ox)kn. Для последующего решения удобно записать это уравнение в форме m^ko(m^, ст^=к^и==1,5 В. (7.63) Уравнение (7.60) в рассматриваемом примере конкретизирует- ся следующим образом: „ 1 °? k\S^(0)dw /т2 —— ____ __ . _ S (7.64) |/<в(1 +/саГф)+^(/Пж, ст«)йи]2 Вычисляя интеграл (7.64) по методике, изложенной в гл. 6, нахо- дим o\/S^O)=kJ2k,(m„o,). (7.65) Графическое 'решение полученной системы уравнений (7.63), (7.65) проведем следующим образом. Для заданного типа нели- нейности F(x) построим семейство кривых Ши=ШхЬ,о(тх, Ох) для ряда фиксированных значений Ох- При этом учтем, что для сину- соидальной характеристики F (х) коэффициент ky определяется формулой (7.52). Полученное семейство 'кривых показано на рис. 7.13. На том же рисунке проведем прямую /, соответствующую уравнению (7.63). Точки пересечения прямой / с указанным се- мейством кривых ти=ти(тх) определяют зависимостью ^-Y (/"..), (7.66) которая связывает между собой значения т,х и Ож, удовлетворяю- щие уравнению (7.63). На рис. 7.13 зависимость (7.66) показана в координатах m.,, Ox штриховой линией. Для нахождения значений т.х, Сх, одновременно удовлетворя- ющих уравнениям (7.63) и (7.65), поступим далее следующим об- разом. Введем вспомогательную переменную р и представим уравнение (7.65) в виде системы из двух уравнений P^a^/S^O), (7.67) P=^/2^(m^, 0^. (7.68) Первое отображает левую часть уравнения (7.65), второе—пра- вую. Вычислив коэффициент ki(m.x, Gx) для значений тх, dx, связан- ных соотношением (7.66), построим на основании (7.68) зависи- мость р от Сх- На рис. 7.14 эта зависимость показана кривой А. 152 На том же рисунке проведем через начало координат прямую Б, соответствующую уравнению (7.67). В точке пересечения прямой Б и 'кривой А правая 'часть уравнения (7.65) совпадает с левой. Поэтому соответствующее этой точке значение Ox=Gxi и связанное с ним соотношением (7.66) значение гПх^т^ удовлетворяют ! 10 "• т^, град Рис. 7.13 Рис. 7.14 уравнению (7.65). Так как кривая А построена для значений чт-х и Ож, удовлетворяющих уравнению (7.63), то величины m^i и Oxi удовлетворяют одновременно уравнениям (7.65) и (7.63). Най- денные значения тх\ и Стж1 являются решением рассматриваемой задачи. В нашем примере они равны m:ci=4,75 град, o^i=5,6 град. Рассмотренный метод статистической линеаризации является приближенным. Кроме отмеченного ранее допущения о нормаль- ности закона распределения процесса на входе нелинейного эле- мента, источником погрешностей этого метода является неточное воспроизведение спектральных характеристик процесса на вы- ходе нелинейного элемента. Функция корреляции случайного про- цесса на выходе линеаризованного элемента совпадает по форме с корреляционной функцией процесса на его входе. То же 'можно сказать и о спектральной плотности рассматриваемых процессов, связанной с корреляционной функцией преобразованием Фурье. В то же время физически совершенно очевидно, что при прохож- дении через нелинейный элемент спектральная плотность и функ- ция корреляции случайного процесса изменяются. Наличие ука- занных погрешностей несколько снижает точность метода стати- стической линеаризации. Однако, как показывает сопоставление результатов, полученных данным методом и методом решения уравнения Фоккера — Планка, она во многих случаях приемлема для инженерных расчетов. Применение метода статистической линеаризации для анализа условий срыва слежения. Срыв сопровождения в следящей си- стеме носит случайный характер. Поэтому наиболее полной ха- 153 рактеристикой возможности срыва является вероятность Pcp(t) его возникновения за время t. Однако теоретическое определение точного значения Pcp(t) даже для систем, описываемых диффе- ренциальным уравнением невысокого порядка, как следует из § 7.3, оказывается достаточно сложной задачей. Трудность ее ре- шения резко возрастает при повышении порядка дифференциаль- ного уравнения системы. В то же время 'многочисленные теоретические и эксперимен- тальные исследования показывают, что зависимость вероятности срыва от интенсивности помех и динамических воздействий но- сит, как правило, ярко выраженный пороговый характер. Поэтому для приближенных расчетов часто 'бывает достаточным найти кри- тические значения интенсивности помех и воздействий, превыше- ние которых делает режим слежения невозможным. Метод ста- тистической линеаризации позволяет определить эти значения. Иногда это удается сделать аналитическим путем. Однако часто аналитический путь приводит к громоздким выкладкам и тогда удобнее прибегнуть к графическому построению. Чтобы познако- миться с ним, вернемся вновь к графическому определению ста- ционарных значений математического ожидания и дисперсии ошибки слежения методом статистической линеаризации (рис. 7.13 и 7.14). При увеличении спектральной плотности Sg(0) помехи на- клон прямой Б на рис. 7.14, как следует из (7.67), уменьшается и значение дисперсии o^xi возрастает. При больших значениях S{, (0) прямая Б может не пересекаться с кривой А. Совместное решение уравнений (7.63) и (7.65) при этом отсутствует. Такое по- ложение соответствует неограниченному возрастанию Од: и nix и оз- начает срыв режима сопровождения. Условием для определения критического значения спектральной плотности помехи 5цр(0) при таком подходе является касание кривой А и прямой Б. Для того чтобы найти величину 5цр(0), достаточно построить по опи- санной ранее методике кривую А и провести через начало коор- динат касательную к ней. На рис. 7.14 касательная показана пунктиром. Тангенс угла ее наклона, как следует из (7.67), равен 1/5кр(0). Критическая величина 5цр(0) интенсивности помехи зависит от параметров системы и задающего воздействия 'k(t). При увели- чении математического ожидания ошибки слежения срыв возни- кает при меньших значениях 5кр(0). На рис. 7.14 кривая А при этом смещается вверх и наклон касательной к ней увеличивается. Если математическое ожидание гПх в установившемся режиме равно нулю, то процедура отыскания значения 5цр(0) упрощает- ся, так как значительно упрощается построение кривой А на рис. 7.14. Неограниченное увеличение дисперсии ошибки слежения при превышении спектральной плотностью помехи некоторого крити- ческого значения характерно для большинства радиотехнических следящих систем. Отличительным признаком систем, обладающих 154 таким свойством, является обращение в бесконечность дисперсии ошибки слежения, если положить дискриминационную характери- стику тождественно равной нулю. Это имеет место, в частности, при действии помехи ^(/) на выходе дискриминатора (рис. 7.12) во всех астатических следящих системах. В статических следя- щих системах дисперсия ошибки слежения остается конечной при любом конечном значении спектральной плотности Sg (0) белого шума |(t) на выходе дискриминатора. Однако если коэффици- ент передачи по контуру статической следящей системы 'боль- шой, то при увеличении спектральной плотности 5g (0) дис- персия ошибки слежения, найденная методом статистичес- кой линеаризации, при некотором значении Sg (0)==5к(0) воз- растает скачком. Величина 5к(0) в этом случае может рассмат- риваться как критическое значение интенсивности помехи. Учет зависимости спектральной плотности шума на выходе дис- криминатора от ошибки слежения. В гл. 2 и 3 отмечалось, что в радиотехнических следящих системах флюктуационное напряже- ние на выходе дискриминатора обычно можно аппроксимировать белым шумом, спектральная плотность которого 5g(0, х) зависит от ошибки слежения. При малых ошибках слежения эта зависи- мость носит параболический характер и описывается выражением: (2.34). Эквивалент дискриминатора при этом имеет вид, пока- занный на рис. 2.32. Следящая система, в которую включается та- кой эквивалент дискриминатора, оказывается линейной системой. со случайным переменным коэффициентом передачи. Анализ ее является достаточно сложной задачей. Простейший прием анализа такой системы, который был использован, в частности, в гл. 6, со- стоит в отказе от учета зависимости S^ (0, х) от ошибки х. При этом величина Sg(0, х) принимается равной 5g (0, х) =5g (0,0) == =Sg(0). Однако в некоторых случаях такой подход может вно- сить значительную погрешность. Учесть приближенно зависимость спектральной плотности Sg (0, х) от ошибки слежения х и сохранить при этом достаточ- но простой эквивалент дискриминатора можно, заменив входящий в него перемножитель (рис. 2.32) статистически эквивалентным линейным звеном с постоянным во времени коэффициентом пере- дачи. Как видно из рис. 2.32, процесс на выходе перемножителя u(t)=x(f) b(t). Опишем эквивалент перемножителя соотношением "(0=М2«), (7.69) где ks, — эквивалентный коэффициент передачи, величина которо- го зависит от выбранного критерия эквивалентности. Если величину ka определить по описанному в начале данного параграфа второму критерию статистической эквивалентности, т. е. из условия M{[v(t)—йэ^СО]2} ='мин, и учесть, что Щъ =M[^(t}~\=0, то получим ks=mx. Несколько более точный результат можно получить, если при определении величины ka использовать другой критерий эквивалентности, а именно, потребо- 155 вать совпадения спектральной плотности процесса u(t) на выходе эквивалента (7.69) со спектральной плотностью процесса v(t)=x'E,i(f) на выходе перемно- жителя, найденной путем усреднения по всем возможным фиксированным зна- чениям х. Так как спектральная плотность процесса u(t) равна k^aStW, где Sa(0) —спектральная плотность процесса ^а (t), это условие записывается в виде k\ S, (0) (7.70) где w(x) —плотность вероятности значений ошибки х. Из равенства (7.70) следует, что fe2./n2+CT2 (7.71) (7.74) При замене перемножителя эквивалентом (7.69) нижняя ветвь эквивалента дис- криминатора (рис. 2.32) заменяется источником флюктуационного напряжения kaE,2{t) со спектральной плотностью, рав- [^W ной fe^Sz^). После объединения источ- ников флюктуационных напряжений ^i(0 и ks?,2{t) эквивалент дискримина- тора принимает вид, изображенный на рис. 7.15, где в данном случае §(<) — флюктуационное напряжение со спек- Рис. 7.15 тральной плотностью 5э(0)=5,(0)+^э52(0). (7.72) Таким образом, получается достаточно простой эквивалент дискриминатора, s котором спектральная плотность шума зависит не от мгновенных значений ошибки слежения x(t), а от ее математического ожидания т.х и дисперсии ст2» В линейной системе с таким эквивалентом дискриминатора дисперсия ошибки слежения, согласно (6.29), рассчитывается по формуле о^=5э(0)2АЕэ]/<^(0)|2, (7.73) где Д.Рэ — эквивалентная полоса пропускания системы. Подставляя (7.72) и (7.71) в (7.73), находим [Si (0) + т\ S, (0)] 2 A Fa 1 К^ (0) |2 (Т2 = ———————————————————————————————————————— 1-2^(0)А^]/С^(0)|2 Как видно из (7.74), зависимость Sv(0, л-) от х приводит к тем большему увеличению дисперсии ошибки слежения, чем больше математическое ожида- ние nix ошибки слежения и чем шире полоса пропускания следящей системы. 'Описанный подход к учету зависимости спектральной плотности Se(0, х) шума на выходе дискриминатора от ошибки х может быть использован не только .при параболической зависимости 5, (0 х) от х, но и в более общем случае. Задачи 7.1. Определите математическое ожидание и дисперсию ошибки слежения в установившемся режиме в следящей системе (рис. 7.12), если 'h(t)=ct, S^(tt>)= »S^(0), K(p)=k»2(l+pT,)lp\ F(x)=As\gnx. 7.2. Решите задачу 7.1, изменив и конкретизировав ее условия следующим образом: F(x) =Л sinax, А=\ В, а=1 рад-', &иг=50 рад/Вс2, Ti=l с, Sg (0) = =0,015 Вг/Гц, с=10 рад/с. 7.3. Для условий задачи 7.2 найдите критическое значение спектральной плот- ности шума 6(0. превышение которого делает режим слежения невозможным. 7.4. Найдите дисперсию ошибки слежения в системе, изображенной на рис. 7.12, если K(p) =ka/p, F(x) =Л sign х, ^(1)—белый шум со спектральной плот- ностью St(0), \(t)—случайный процесс со спектральной плотностью S, (-«в)" ^оУсог. 156 ГЛАВА 8 СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 8.1. Постановка задачи В гл. 6 были рассмотрены методы оптимизации параметров следящей системы. При проектировании радиотехнических следя- щих систем естественным является стремление не только наилуч- шим образом выбрать их параметры, но и оптимизировать струк- "^РУ- Как уже отмечалось в гл. 6, существуют различные критерии оптимизации, связанные с достижением максимальной точности работы следящей системы, ее простотой, надежностью, экономич- ностью. Ограничимся здесь рассмотрением оптимизации, проводи- мой для получения максимальной точности следящей системы. Параметр K(t), за которым ведется слежение (частота, фаза, временное положение), нелинейно связан с радиосигналом u.c(t, К), действующим на входе радиотехнической следящей системы (рис. 2.28). Поэтому следящая система должна содержать эле- менты, осуществляющие нелинейное преобразование радиосигна- ла. Задача оптимизации структуры всей системы по критерию минимума ошибки слежения должна решаться при этом на основе теории оптимальной нелинейной фильтрации. Такой подход к син- тезу радиотехнических следящих систем рассматривается в гл. 9. Нелинейную операцию выделения из сигнала информации о ве- личине рассогласования в радиотехнической следящей системе (рис. 2.28) выполняет дискриминатор (Дис). Если дискриминатор и генератор опорного сигнала (ГОС) уже выбраны или заданы, что нередко имеет место на практике, то задача синтеза сужается и сводится к нахождению оптимальной структуры фильтра (Ф). Рассмотрим возможный путь решения этой задачи. Положим, что ошибка слежения не выходит за пределы линей- ного участка характеристики дискриминатора, а спектральная плотность шума на его выходе не зависит от ошибки слежения. Обобщенная структурная схема радиотехнической следящей си- стемы принимает при этом вид, показанный на рис. 8.1, где К(р, t} — операторный коэффициент передачи оптимизируемого фильтра, который в общем случае может иметь переменные пара- метры. С точки зрения формирования процесса y(t) следящую систе- му, показанную на рис. 8.1, можно заменить эквивалентным фильтром (рис. 8.2) с операторным коэффициентом передачи ylt) Рис. 8.1 Рис. 8.2 157 Ф(р, t), на входе которого действует смесь r(t) задающего воз- действия (параметра радиосигнала) K(t) и помехи n(t), приве- денной ко входу дискриминатора: г (0 = К (t) +1 «)/5д = К (0 + п (0. (8.1) Ошибка слежения в исходной системе (рис. 8.1) равна x(t)== =Х(0—y{t)- Поэтому требование минимизации ошибки слежения совпадает с требованием формирования на выходе эквивалентного фильтра (рис. 8.2) процесса y(t), минимально отличающегося от K{t), или, иными словами, с требованием наилучшего выделения задающего воздействия из аддитивной смеси его с шумом n(t). Задача синтеза фильтра, удовлетворяющего этому требований, успешно решается на основе теории оптимальной линейной фильт- рации. После того как оптимальный эквивалентный фильтр найден, можно найти и оптимальный фильтр в контуре следящей системы. Связь между характеристиками указанных фильтров оказывается весьма простой, если эти фильтры стационарны, и их операторные коэффициенты передачи не зависят от времени, т. е. К(р, t) =К(р), Ф(р, 0=Ф(р). В этом случае фильтры удобно описать также пе- редаточными функциями или комплексными коэффициентами пе- редачи. Связь между комплексным коэффициентом передачи Ф(/со) эквивалентного фильтра и коэффициентом передачи /С(/(й) фильтра в контуре, как следует из рис. 8.1, устанавливается соот- ношением Ф (/' со). (8.2) 1+5д/<(/ш) По найденному коэффициенту передачи Ф(/со) оптимального экви- валентного фильтра оптимальный коэффициент передачи /((/'(о) определяется вытекающим из (8.2) равенством 1 ' Ф (/ со) (8.3) 5д 1 — Ф (/ со) В том случае, когда эквивалентный фильтр и фильтр в контуре следящей системы являются нестационарными, связь между их характеристиками услож- няется. Импульсные переходные функции таких фильтров g{t, 8) и gi^(t, 8) свя- заны между собой [20] интегральным уравнением t 5д^ф(<, Q)=g(t, Q)+Sp,\g(v, Q)gф(f, v)dv. (8.4) ё Как уже отмечалось, задача синтеза линейного фильтра, наи- лучшим образом выделяющего процесс K(t) из смеси с помехой n(t), рассматривается в теории оптимальной линейной фильтра- ции. Она возникает не только при синтезе оптимальных фильтров в контуре следящей системы, но и при синтезе фильтров измери- тельных систем, систем передачи сообщений и во многих других приложениях. В несколько более общем виде, чем об этом упоминалось вы- ше, задача оптимальной линейной фильтрации формулируется сле- 158 дующим образом. Из аддитивной смеси r(t) случайного процесса ^(t) и помехи n(t) необходимо линейным устройством выделить с минимальной среднеквадратической погрешностью процесс ^пр (0, -связанный с K{t) некоторой линейной операцией, например операцией дифференцирования, сдвига по времени. В простейшем случае процесс ^пр(0 совпадает с МО- Первоначально теория оптимальной линейной фильтрации бы- ла разработана А. Н. Колмогоровым и Н. Винером для случая, когда процессы K{t) и n{t) являются стационарными, стационар- но связанными случайными процессами и имеют нулевое матема- тическое ожидание [39]. Фильтр полагался стационарным и пред- назначенным для выделения процесса K(t) с минимальной ошиб- кой в установившемся режиме. В дальнейшем теория оптимальной линейной фильтрации была существенно развита и рассматривает теперь выделяемые процессы ^(t) и помехи, описываемые как ста- ционарными, так и нестационарными случайными процессами, учитывает требование конечной длительности переходного про- цесса в фильтре, требование получения минимума среднего квад- рата ошибки в любой момент времени после начала фильтрации и ряд других факторов. В настоящее время в этой теории сложи- лись два основных подхода. Один из них основан на выводе и по- следующем решении интегральных уравнений для импульсной переходной функции оптимального фильтра. Этот подход рас- сматривается в § 8.2, 8.3 данной главы. Второй подход, связанный с использованием метода пространства состояний, обсуждается в § 8.4, 8.5. В связи с тем, что при использовании теории оптимальной линейной филь- трации оптимальный фильтр в контуре следящей системы ищется в классе линей- ных устройств, отметим следующее. Если процессы ?»(<) и n(t) имеют нормаль- ный закон распределения, то, как показаяо в [40], оптимальный фильтр, выде- ляющий процесс А, (0 из смеси r(t) с минимальной среднеквадратической ошиб- кой, является линейным. Для его нахождения достаточно знать корреляционные функции и математические ожидания процессов K(t) и n(t). Если законы распределения процессов K(t) и n(t) отличаются от нормаль- ного, то оптимальный фильтр может быть нелинейным. Однако для его синтеза необходимо знать моментные функции процессов K(t) и n(t} третьего и более высоких порядков. Часто при проектировании известны лишь корреляционные функции и математические ожидания выделяемого процесса K(t) и помехи n(t). При такой ограниченной информации о статистических характеристиках процес- сов ^(t) и n(f] синтез оптимального фильтра может быть проведен только в рамках теории оптимальной линейной фильтрации. 8.2. Интегральные уравнения оптимальных фильтров Познакомимся с выводом интегрального уравнения для импульс- ной переходной функции оптимального фильтра, приняв следую- щие условия его работы. Пусть на вход фильтра поступает адди- тивная смесь г (0, описываемая выражением (8.1). Процесс 'k(t) и помеха n(t) являются стационарными и стационарно связанны- ми случайными процессами с нулевыми математическими ожида- ниями и известными корреляционными функциями. Рассмотрим 159 случай, когда оптимальный фильтр должен выделять из смеси r(t) с минимальной среднеквадратической ошибкой в установив- шемся режиме сам процесс K(t}. В рассматриваемых условиях оп- тимальный фильтр оказывается стационарным и может быть опи- сан импульсной переходной функцией go (т), которая для физи- чески реализуемого фильтра удовлетворяет условию go(r)=0 при т<0. Выведем уравнение, определяющее функцию go (т). В установившемся режиме процесс y(t) на выходе произволь- ного, физически реализуемого фильтра с импульсной переходной функцией g(T), вызванный воздействием r(t), определяется соот- ношением (8.5) Так как математические ожидания процессов K(t) и y{t) равны нулю, то дисперсия ошибки фильтрации «^-^{ИО-МОП. (8.6) Подставляя (8.5) в (8.6), получаем o\^M{^(t)}-2M[K(t)^r(t--c)g(f)dt\+ [ о 1 +M^r{t-r)g(f)d^r(t-Q)g(Q)dQ\. [о о J Внося функцию K{t) под знак интеграла, меняя местами операции интегрирования и вычисления математического ожидания и учи- тывая стационарность процессов ^(t), r(t) и равенство нулю их математических ожиданий, находим выражение для дисперсии о2^ ошибки фильтрации (Д^ст\-2 f^,(T)g(T)dT+]°g(T)f^(T-9)gI(8)d9dT, (8.7) о о о где o2x=R}.(0)=M{K2(t)} — дисперсия процесса K(t); ^ (т) =М {г (<-т) ЦО}; R, (т-9) =М {r(t--c) r(t-Q}}; ^ь (т). •Rr(t), ^гд(т) — соответственно корреляционные и взаимно- корреляционные функции процессов ^(<) иг(<). . Для определения импульсной переходной функции go (т) опти- мального фильтра, которая минимизирует величину ст2^, обратим- ся к методам вариационного исчисления. Введем вариацию им- пульсной переходной функции g(z) и представим ее в виде gM-goM+YMO, (8.8) где Хп(0 — произвольная функция того же класса, что и go (т); у — множитель Лагранжа, не зависящий от Хц(т). Подставив (8.8) в (8.7), получим o\=D=Do—2yD^+^D^, (8.9) 160 где Di=]^)\Rr^)-]Rr^-6)g.(Q)dQ]dT, (8.10) о L о J D,=]^(x)JR,^-Q)K,(Q)dQd^ (8.11) о о ^>o=o2xмин — значение а^х при у=0, т. е. при импульсной переход- ной функции фильтра, равной go (т). Оптимальная импульсная переходная функция go (т), которой соответствует минимум дисперсии а2^, должна удовлетворять при произвольной, функции 5<п(т) следующим условиям, вытекающим из правил вариационного исчисления: dD/dy\^o-=.0, (8.12) d^D/d^^X). (8.13) Продифференцировав (8.9) по у и положив у=0, представим (8.12) и (8.13) в форме Di=0, (8.14) Г»г>0. (8.15) Записывая выражение (8.11) для Dy, в виде ИпМг(/—т)йт , убеждаемся, что соотношение (8.15) выполняется при любой функ- ции Ип(т) и не предъявляет каких-либо требований к импульсной переходной функции go (т) оптимального фильтра. Из (8.10) следует, что равенство (8.14) имеет место при про- извольной функции Ип(т), если выполняется условие ^(T)=r^(T-9)go(6)dO при т > 0. (8.16) о Выражение (8.16) является интегральным уравнением, полу- чившим название уравнения Винера. Его решение определяет им- пульсную переходную функцию оптимального фильтра. При изменении требований к фильтру и при изменении статистических свойств процесса K(t} и помехи n{t) интегральное уравнение для импульсной пе- реходной функции оптимального фильтра также изменяется. В некоторых слу- чаях требуют, чтобы длительность переходного процесса в оптимальном фильтре не превышала время <у. Импульсная переходная функция такого фильтра должна удовлетворять соотношению go(t)=0 при тХу. Интегральное уравнение для импульсной переходной функции оптимального фильтра с ограниченной длитель- ностью переходного процесса выводится аналогично (8.16) и в случае отсутст- вия корреляции между сообщением и помехой имеет вид 6—18 ^(T)=^r(T-e)^o(9)d(9), о <у > т > 0. 161 (8.17) Если процесс (t) и помеха n{t) являются нестационарными случайными процессами или требуется обеспечить минимум среднего квадрата ошибки выде- ления процесса 7,(<) в любой момент времени после подачи смеси r(t) на вход фильтра, то оптимальный фильтр оказывается нестационарным. Процесс на вы- ходе линейного нестационарного фильтра описывается соотношением '/(0=J r(Q)g(t, Q}dQ, (8.18) где g(t, 9) — импульсная переходная функция нестационарного фильтра. Заме- нив выражение (8.5) на (8.18) и проведя выкладки, аналогичные выполненным ранее, получим интегральное уравнение t R^(v, f)=^go(t, Q)Rr(v. Q)d0, 00 и go(T)=0 при Т<0. Учитывая это, представим оптимальный фильтр в виде последовательного со- единения двух фильтров (рис. 8.3). Первый преобразует смесь r(t) в белый шум ?"i(<) со спектральной плотностью Sri(tt))=l, вто- рой оптимальным образом выделяет процесс K{t) - I i\ Т/" „. .„ „^.,.„,,, т1"т т//^^/4л/4лттттт»оит1 ТТОП^ЛЯ» _____ г.л Run UUlrilvla^m-lull" w/^u^v/.-i ^^^—...-- .-д-__,,__ . ^.^ (ру д_ из смеси ri(t). Комплексный коэффициент переда- 2 1 чи Ф(/<о) оптимального фильтра при этом равен чи -„_, --- произведению коэффициентов передачи первого и второго фильтров: Рис. 8.3 ф (/• со) = (Di (/ со) Фг (/• со). (8.28) Коэффициент передачи Oi(;(o) первого фильтра примем равным Oi(/co)=l/?(/co). (8.29) Из определения функции ^(/(о) следует, что фильтр с таким коэффициентом передачи устойчив и физически реализуем. Спектральная плотность процесса r\{t) на его выходе равна 5,i(co)= lOiO-co^S^co)^. Импульсная переходная функция g2o(t) фильтра Фа описывается уравнением, аналогичным (8.16): 00 ^1^)= {Rri(t-Q)g2»(Q)dQ при т>0. о Так как смесь г^(1) является белым шумом с функцией корреляции .Rri(T—6)= =б(т—9), то g2o(T:)=R^(t} "Р" г^0 и ^2о(т)=0 при Т<0. Следовательно, коэффициент передачи оптимального фильтра Фд равен Фг (/•")== I R^ (T)e-JOT d r • (8-30) 0_ Представим взаимную корреляционную функцию Rri^{t) в виде ^(т)=М{^(ОМ<+т)}= =^([[r(<-v)^(v)dvL(f+T)l ^L'o J j где gi(v) — импульсная переходная функция фильтра Ф). Внеся функцию \{t+t) под знак интеграла и поменяв местами операции интегрирования и вычисления математического ожидания, получим ^(T)=J/?^(v+T)gi(v)dv. 164 (8.31) I Выразим функцию R iiM через спектральную плотность S_,((i)). Преобразуем для этого обе части равенства (8.31) по Фурье: GO GO ^i л (ю) = J J ^ (v +т) ^i (v)d v е-усот dT = —00 О 00 00 = ,f gi (v) e^" d v J /?^ (v + т) e-^+^d т = Фх ( - /- со) S^ (а). (8.32) Взаимная корреляционная функция R iiMi связанная с Si (со) преобразова- нием Фурье, с учетом (8.32) и (8.29) записывается в виде 1 °° s 1 (ш) R -^^Jo^6"^- ^ Подстановка в (8.28) соотношений (8.29), (8.30), (8.33) приводит к выра- жению (8.26). Если сообщение K(f) и помеха n(f) не коррелированы, то фор- мула (8.26) с учетом (8.24) принимает вид 1е0 1 °° S, (со) Ф(/(о)=—— Г е-/0"— f —^——e/^dcociT, ?(/•(0)0^ 2я_^ЧГ(-^•co) (8.34) Для проведения практических расчетов формулу (8.34) удоб- но дополнительно преобразовать. Если отношение 5^((о)/У(—/со) не имеет кратных полюсов, то его можно разложить на простые дроби Si (со) vi сц iV bi • , , /о ок\ ————=2-)———+ Zs———+к, (8.35) У (—/СО) f CO—V, t Ю—Т], где Vi — полюсы отношения S^u))/^—/со), расположенные в верхней полуплоскости комплексной переменной со; т), — полюсы, расположенные в нижней полуплоскости; k — це- лая часть отношения ^(со)/^—/со). Коэффициенты Яг в разложении (8.35) вычисляются по фор- муле а, = [(co-v,) 5, (co)/? (-/• со)] |^. (8.36) Рассмотрим результат вычисления внутреннего интеграла в формуле (8.34) для каждого слагаемого разложения (8.35). Пер- вая сумма простых дробей представляет собой функцию комплекс- ной переменной, все полюсы которой расположены в верхней по- луплоскости. Преобразование Фурье такой функции дает [41] вре- менную функцию pi('r), удовлетворяющую условию pi(t)=0 при т<0. Аналогично преобразование второй суммы 22 дает функцию (За (т), которая равна нулю при т>0. Преобразование целой ча- сти k формирует дельта-функцию. Если бы пределы внешнего интеграла в (8.34) были равны —оо, оо, то он являлся бы преобразованием Фурье, обратным по отношению к внутреннему интегралу, и результат интегрирования 165 был бы равен S^((u)/~V(—/ю). Так как в действительности внеш- ний интеграл вычисляется в пределах О^т^оо, то функция р2(т) не подвергается интегрированию и результат интегрирования определяется только преобразованием функции pi (т) и дельта- функции. В итоге °° . 1 сс ^(^ I ^—КИТ 1 Л ' ' П—/СОТ Х oi. 2я_^у(-/о)) xei^dwd-c^^+k^} ^(ш) 1 (8.37) ^I LY(-/»)J+, • где операция [ ]+ означает, что в разложении 5^ {(й}/\У(—/со) на простые дроби необходимо удержать целую часть и дроби, соот- ветствующие полюсам, расположенным в верхней полуплоскости комплексной переменной ю. С учетом (8.37) выражение для комплексного коэффициента передачи оптимального фильтра примет вид Ф(,й)= —'—[ ^(со) ] . (8.38) " ' У(/(о)[т(-/со)]+ Процедура вычисления Ф(/е>) по формуле (8.38), как следует из предыдущего изложения, складывается из следующих операций: 1. Записывается спектральная плотность Sr(a») смеси полезного сообщения и помехи. Функция 5г((о) представляется в виде 5,(й))=У(/(й)У(-/(о). 2. Образуется отношение S,,(co)AF(—/со). Оно разлагается на простые дроби. В полученном разложении удерживается целая часть и дроби, соответствующие полюсам, находящимся в верх- ней полуплоскости комплексной переменной со. Дроби, соответ- ствующие полюсам, расположенным в нижней полуплоскости, отбрасываются. Выделенная часть обозначается символом [ ]+. 3. Записывается отношение [ ]+/~V{j(u), которое и представляет собой искомый комплексный коэффициент передачи оптимального фильтра. Заметим, что если отношение S^o))/^—jd>) имеет кратные полюсы, то формула (8.38) остается справедливой. Необходимо только учесть, что каждо- му полюсу кратности х в разложении S, (fй)!\У(—jw) на простые дроби со- ответствует сумма вида ,х-/+1 ^=l (co—v;) где ^•-l 5. (оэ)' ————(——^\ ' dm1 ац: ^(-/0))] 0)=V, Рассмотрим пример нахождения оптимальных фильтров. Пример 8.1. Для системы, структурная схема которой пока- зана на рис. 8.4, найдем коэффициент передачи /((/(о) оптималь- 166 ного фильтра, обеспечивающего минимум дисперсии ошибки сле- жения в установившемся режиме, при выполнении следующих условий: .1) крутизна характеристики дискриминатора 5д извест- на, 2) спектральная плотность задающего воздействия K(t) равна 5^ (со) =2^гa2A,/((l)2+^^2), 3) помеха 1^(t) не коррелирована с воз- действием K(f} и аппроксимируется белым шумом со спектраль- ной плотностью 5g(0). В § 8.1 показано, что первым шагом ре- шения рассматриваемой задачи является определение оптималь- ного коэффициента передачи Ф(/(й) . , эквивалентного фильтра, выделяю- ___ v;(__ щего процесс K(t) с минимальной ^-^)JU 5, М$^Ч ^ среднеквадратической ошибкой из ^т 1———' '—i— смеси: "I____________I, г (t)==\ (t) + S (0/5д = ^ (t) + п (t). Р^- 8.4 В данной задаче спектральная плотность смеси r(t) равна <-, , , - . , - . , 2 цст2 S, (0) (и2 с2 + Р 5rи=s^ю)+5»^=^+^-=^т^' где c2=Sn(0) =Sg (0)/52д — спектральная плотность помехи, при- веденной ко входу дискриминатора; ^2=^г2c2+2^гст2^. В соответ- ствии с общей методикой нахождения комплексного коэффициента передачи оптимального фильтра представим 5г((й) в виде произ- ведения функций Ч^/со) и V(—/а) /те-)- I —/' со с 4- I (8.39) 5,(со)= /CO-1-IJ, — / СО + }1 Из (8.39) и определения функций Vf/co) и У (—/со) вытекает, что У(/со)= l^+L^^j^^ -i^c+i 1 а + ^ — / со + ^ Запишем отношение ^(т)_ 2^\ (-/со 4-^) _ 2^а\/с ^(-/ш) — (ш2 + р.2) ( — / со с + /) — ((о — / у,) (со + jl/c) и разложим его на простые дроби ^(й))/^-/^-01——^-?———. (и—/JJ, Й-Ь/^/С Отбрасывая второе слагаемое, соответствующее полюсу, располо- женному в нижней полуплоскости, и определяя по формуле (8.36), что коэффициент а;1=2(лстд /j(^c+l), получаем Г •Vм) 1 ^J1^.^ LЧf(-/•co)J+ fJtC+ljw+y, ' Следовательно, ф (/ со) = [ 4/-У (/ (о) = 2 ^ ^ —fe3—— , (841) + • (^+;)(/coc+0 1+/®т'э \ ' 167 гут быть найдены усреднением зависимостей (12.20) по всей воз- можным значениям амплитуды сигнала. < Знание характеристик обнаружения позволяет рассчитать время поиска и провести оптимизацию таких параметров поисковой сис- темы, как скорость поиска, порог срабатывания индикатора, чис- ло этапов обнаружения. Как видно из рис. 12.2, структура индикатора захвата ампли- тудного типа совпадает со структурой,одного канала параллель- ного анализатора, показанного на рис. 12.1. Поэтому характерис- тики обнаружения этого индикатора могут быть использованы для оценки достоверности работы системы поиска, использующей па- раллельный анализатор. Правильное определение частоты сигнала, находящегося в k-и ячейке, происходит в ней, если порог превы- шен только в одном k-м канале. Вероятность Рпр этого события D —D П __D W—1 'DP —— • ПО \ •• - ЛТ/ > где вероятности .правильного обнаружения Рпо и ложной тревоги Рлт определяются формулами (12.20), (12.21). 12.4. Построение'следящих систем при априорной неопределенности условий их работы В ряде практических применений характеристики задающего воздействия, амплитуда .сигнала и соотношение сигнал-шум на вхо- де системы существенно изменяются в процессе ее работы. Так, в радиолокационных системах слежения за координатами подвижно- го объекта амплитуда сигнала и соотношение сигнал-шум изменя- ются на несколько порядков в зависимости от расстояния до объ- екта. Статистические характеристики задающего воздействия зави- сят от того, движется ли объект равномерно и прямолинейно или маневрирует. Изменение в широких пределах характеристик за- дающего воздействия, .амплитуды сигнала и уровня шумов создает априорную, т. е. существующую до начала работы системы, неоп- ределенность условий ее работы. Это затрудняет оптимизацию па- раметров и структуры системы. Минимаксные системы. Существуют различные подходы к по- строению следящих систем при неполной информации об условиях их работы. Один из них состоит в том, чтобы оптимизировать па- раметры и структуру системы для наиболее трудных условий, ког- да интенсивность задающего воздействия наибольшая, а соотноше- ние сигнал-шум на входе системы минимальное. При таком подхо- де путем оптимизации системы достигается минимум ошибок сле- жения для тех условий работы, при которых они максимальны. Поэтому его называют минимаксным. Построенные на его основе- минимаксные системы при более благоприятных условиях оказы- ваются неоптимальными. Но это может быть приемлемым, так как сами ошибки при более легких условиях работы уменьшаются. Минимаксный подход прост, он позволяет ограничить величину максимальных ошибок слежения и поэтому получил значительное- 282 распространение на практике. Однако с учетом растущих требова- ний к точности слежения он может оказаться недостаточным, так как не обеспечивает минимизацию ошибок для всех условий рабо- ты системы. Инвариантные системы. Еще один способ преодоления неоп- 1 ределенности условий работы следящей системы состоит в построе- J нии системы, инвариантной (нечувствительной) к изменению этих ; . условий. Примером таких систем может служить система ФАП с j нормировкой входного сигнала ограничителем. При отсутствии j шумов она инвариантна к амплитуде входного сигнала. I Обеспечить инвариантность к задающему воздействию радио- ; технической следящей системы, установленной на подвижном объ- J екте, можно путем комплексирования ее с автономным измерите- лем этого воздействия. На рис. 12.4 показана структурная схема Рис. 13.4 комплексной следящей системы, 'в которой выходное напряжение Ua(t) автономного измерителя (например, датчика ускорения или скорости движения объекта) вводится в контур радиотехнической следящей системы через звено с операторным коэффициентом пе- редачи Кз(р). Напряжение Ua(t) связано с задающим воздействи- ем }.(t) соотношением "a(0=^(/W)+"a(0, где Да (0—погрешность автономного измерителя; Н(р)—линей- ный оператор. При автономном измерении первой производной за- дающего воздействия H(p}==kp, где pssd/dt, k—коэффициент пропорциональности. При измерении второй производной воздей- ствия ^,(/) оператор Н(р)=р2. Процесс y(t) на выходе комплексной системы (рис. 12.4) опи- сывается выражением y(t)=(S,(p)[^{t)+n,(t)]+(I>,(p)[K(t)+n,(f)], (12.26) где Ф(Р)^ S^(p)K,(p) ф H(p)K.(p)W ^.27) lw 1+5дЛ\(р)^(р) 1+5д/<1(р)^(,о) "i(0, "2(0 —помехи, приведенные ко входам радиотехнической следящей системы и автономного измерителя, равные ^(0=^(0/S„ n, (t) =n,(t)!H (p). Если операторы Ф\(р) и Ф2(р) удовлетворяют условию Ф,{Р)+Ф,(Р)=\, (12.28) 283 . то ошибка слежения x(f)==K(f)—y(t) не зависит от задающего воздействия ^(0 и, следовательно^система является инвариантной по отношению к >.(t). Условие (12.28), как следует из (12.27), можно записать также в виде K,(p)Ks(p)H(p)==\. > (12.29) Для обеспечения условия инвариантности (12.29) можно варьиро- вать точку ввода информации от автономного измерителя в контур следящей системы и вид оператора Кз(р)- Положим, например, TCi (р) = k„ к, (р) = k^ (1 + рт,)/р2, н (р) = kp\ В этом случае условие (12.29) 'выполняется, если Кз (р)= \IH (р) к, (р) = №12 (1 +рт^). При выполнении условия инвариантности дисперсия ошибки слежения в рассматриваемой системе определяется выражением о\ = — °° [S„, (и)) Ф, 0- а) |2 + 5„, (а) 11 - Ф, (J и) |2] d (u, (12.30) •in —CO где Sni((u), 5n2(a) —спектральные плотности помех ni(t) и пч(1,}. Величину а2^ можно уменьшить путем оптимизации коэффици- ента передачи Ф\(р). Чтобы свести задачу синтеза оптимального коэффициента передачи Фу(р) к рассмотренным в гл. 8, предста- вим выражение (12.26) с учетом (12.28) в виде' у (t) == ^ (t)+n, (0+Ф, (р) [п, (t)—n., (t)]. (12.31)' Соотношению (12.31) соответствует структурная схема, изобра- женная на рис. 12.5. Как 'видно, выходной процесс y(t) воспроиз- водит задающее воздействие K(t) с тем меньшей ошибкой, чем ближе процесс ns(t) ==0i (p) [ni (t)—ns(t)] к процессу —fiy(t}. Если "э(0==—"г(^), то при суммировании процессов ^(/)+»2(0 и пз(1) происходит полная компенсация помехи «г (0 и i/(t)==K(f). Задачей фильтра с коэффициен- п,И}-пгЮ том передачи Oi(/?) в рассматри- ваемой системе является, сле- довательно, выделение процесса —ri2(t) с минимальной ошибкой из аддитивной смеси n\(t}—«2 (О. Рис. 12.5 Оптимальный комплексный коэф- фициент передачи такого фильтра определяется соотношением (8.34) при замене в нем Ф(/(й) на ), S^ ((о) на 5„2((й) и 5п((о) на Sni(co). При использовании оптимального фильтра дисперсия ст2^ тем меньше, чем меньше пе- рекрываются спектры помех tii(t) и fiz(t). В рассмотренной инвариантной системе динамические ошибки, вызванные искажением задающего воздействия при его прохожде- нии через систему, отсутствуют. Оценивая это положительное свой- ство инвариантных систем, необходимо иметь 'в виду следующее. При известных статистических характеристиках задающего воздей- 284 ствия и помех можно методом пространства состояний, описанным в гл. 8, синтезировать оптимальную комплексную систему, осу- ществляющую совместную фильтрацию процессов 'k(t)-}-fii(t) и ^(^)+П2(0. К такой системе не предъявляется дополнительное требование инвариантности, поэтому дисперсия ошибки фильтра- ции получается в ней меньше, чем в инвариантной системе. Следо- вательно, платой за инвариантность следящей системы по отноше- нию к ^(0 является увеличение 'в ней дисперсии ошибки слежения при известных характеристиках воздействия K{t). Это возрастание ошибок в инвариантной системе проявляется тем сильнее, чем больше уровень помех n^{t} и «а (0 и чем ближе их статистиче- ские характеристики. При совпадении спектральных плотностей помех n\{t) и «2(0 в инвариантной системе оптимальные комплек- сные коэффициенты передачи Oi(Jco) =Ф20'(й) ==0,5 и фильтрация помех оказывается слабой. Как следует из (12.30), дисперсия ошибки слежения при этом равна G2ж;==o2,гl/2='o2n2/2, где • c^ni,. o^ni—дисперсии помех ni{t} и п'г(1). Если характеристики воздействия K{t) изменяются, то система, синтезированная при фиксированных характеристиках воздействия' Ц<), становится неоптимальной. Ошибки в ней могут оказаться большими, чем 'в инвариантной системе, где они не зависят от K{t). В практических задачах при решении вопроса о том, какой системе: инвариантной или оптимальной, синтезированной при фиксированных характеристиках процесса K(t}, следует отдать. предпочтение, необходимо учитывать уровень помех n\(t) и fiz(t),. вид их спектральных плотностей, возможное изменение характерис- тик задающего воздействия K{t). Заметим, что инвариантные по- отношению к А,(<) системы, так же как и минимаксные, не явля- ются оптимальными по точности при всех возможных характерис- тиках воздействия K(t). Адаптивные системы. В адаптивных (приспосабливающихся) системах априорная неопределенность характеристик сигналов и помех преодолевается путем оценивания их в процессе работы системы и использования полученной информации для оптимизации- системы. При адаптации 'может определяться тип задающего воз- действия или помех, действующих на систему, и проводиться соот- ветствующее изменение ее структуры. В .ряде случаев неопреде- ленность характеристик воздействий и помех сводится к неопреде- ленности некоторых их параметров, например дисперсии задающе- го воздействия, ширины его спектра или величины спектральной плотности 5g (0) шума на выходе дискриминатора. В процессе адаптации при этом проводится оценка указанных параметров. Сформированные оценки используются для оптимизации парамет- ров системы: полосы ее пропускания, коэффициента передачи по контуру регулирования и др. Существуют различные методы синтеза адаптивных систем. Ряд методов,. предназначенных для синтеза систем, адаптирующихся к неопределенности ста- - тистических характеристик задающего воздействия, использует результаты тео- рии оптимальной нелинейной фильтрации. Одним из них является метод, полу- 285 •чивший название негауссова скользящего адаптивного приема. Поясним его и -некоторые особенности адаптивных следящих систем на конкретном примере. В примерах 8.1 и 8.2 проведен синтез оптимального фильтра в контуре следя- щей системы в предположении, что спектральная плотность задающего воздей- ствия A, (t) известна и равна S^(co)=2^lo2^/((o2+^2)• Если дисперсия о2, и ширина спектра воздействия ^.(<), характеризуемая пара- метром и, неизвестны, то задача синтеза фильтрации, минимизирующего диспер- сию ошибки слежения, усложняется. Положим, что неизвестной является шири- на спектра воздействия МО- Формирование процесса \(t) можно описать при этом уравнением d\ldt= —^)+Р<(<), (12.32) где ц — неизвестный параметр; K(t) — формирующий белый шум со спектраль- ной плотностью 5 (0) =N^/2. Если неизвестный параметр [J, постоянен во вре- мени, то dy,/dt=0. (12.33) dw(K, ц) д 1 "^г-^^^-^+т Наблюдаемый процесс йвх(^) ==/•(<), так же как и в примере 8.2, описывается выражением (.8.89). Поставим задачу получения в результате обработки про- цесса r(t} оптимальной оценки (lo неизвестного параметра (1. Образуем для этого вектор х(/) с компонентами Xi(t) -=K(t) и x^{t)==\i. На основании (9.4), (12.32), (12.33) и (8.89) запишем уравнение для апостериорной плотности ве- роятности w (К, у.) д •^N^(K, ;,)+ (12.34) (12.35) + \QW-^QWw(K. ^d\d^\w{\. (x). где QW= -[r(t)-K(WIN,. V-.""/ Рассмотрим условную апостериорную плотность вероятности т(К\\и} и за- пишем для нее уравнение, аналогичное (12.34): dt 11 =^[^(^+т^2л?', i in) d К \ w(K\\i). Плотности вероятности w(K, у) и w(K\y.) связаны соотношением wCk, ^)=а>(^1 ti)asi(^). 'Подставляя (12.37) в (12.34) и учитывая (12.36), получаем уравнение dsa(y.) dt (12.36) (12.37) - <ч ч J (3(Я)а;)(1Ч ^}d\— j'J'QWwtX, y.)dKdy. \w(^}. (12.38) ——00 ——CO J Аппроксимируем плотность вероятности w(K\^) гауссовской зависимостью 1 (12.39) Y^D^) 00 'где ^ — оценка X, равная Кц= [\vii(K\y,}d'k; D. (ц) — дисперсия ошибки при ——00 оценке К, зависящая от величины у,. Подстановка (12.39) и (12.35) в (12.36) 286 позволяет записать уравнения оптимальной в гауссовом приближении системы фильтрации процесса K(t) при фиксированном значении р.: tOp dt (12.40) dD, (12.41) -dT=V---2~-^^l --fT, Подставив (12.35), (12.39) в (12.38) и выполнив интегрирование, получим также уравнение для vo(y,) dw(vi)ldt=w(v.)f(y.), где Ж= ^-i^Wr(t)- Y^(f)~ у0ц^)-^} . (12.42) (12.43) С2 — постоянная, не зависящая от [г. Аппроксимируем распределение ча(\1) гауссовским: 1 Г (,1_м)2 ^W== ,———ехр \-\в V2nD„ L -"ц (12.44) Заметим, что совместная плотность вероятности w(\, (А) при аппроксимациях (12.39) и (12.44) является негауссовской, так как дисперсия D ,(у,} зависит от величины р,. Разложим функцию f(\i) в ряд (И-|1„)2. (12.45) fW^f^+J^ ^-^)+-~^| ду, Ц=Ц. i О [А- [|1==^. Подставляя (12.44) и (12.45) в (12.42), приравнивая коэффициенты при оди- наковых степенях разности у,—Цо и учитывая (12.43), получаем следующие- уравнения для оценки р,о и D„: 1 dD, 2 f .Выведенная система уравнений (12.46)—(12.51) описывает систему адаптивной фильтрации процесса K{t) с неизвестной шириной спектра. Эта система состоит из двух блоков. Первый из них, описываемый уравнениями (12.50), (12.51), •соответствует обычной системе фильтрации, рассчитанной на выделение про- цесса K{t} с параметром у.=\\,о. Второй блок, описываемый уравнениями (12.46)—(12.49), формирует оценку цо неизвестного параметра ц. Адаптивная система фильтрации получается, конечно, более сложной, чем неадаптивная. Адаптивная система фильтрации может работать успешно толь- ко в том случае, когда формируемая в процессе адаптации оценка неизвестного 'параметра сходится к его истинному значению. Не- обходимо поэтому проверять, обладает ли синтезированный алго- ритм адаптивной фильтрации этим свойством. В системе, описывае- мой уравнениями (12.46) — (12.51), оценка ;io сходится к истинно- му значению |LI. Сходимость этого алгоритма нарушается, если, приняв гауссовскую аппроксимацию совместной плотности вероят- ности и)(К, ц), не учитывать зависимость дисперсии D), от ц и по- ложить dD^/dfi ==0. Важной характеристикой адаптивных систем является время, по истечении которого разность 'между оценкой и истинным значе- нием неизвестного параметра становится малой. Если статистиче- ские свойства воздействия быстро изменяются во времени, то тре- буется малое время адаптации. Выигрыш в точности слежения при переходе к адаптивной сис- теме зависит от того, насколько существенно изменяются характе- ристики задающего воздействия, сигнала и помех. Так как адап- тивные системы являются 'более сложными, использование их це- лесообразно в тех случаях, когда указанные характеристики изме- няются в широких пределах, а требования к точности фильтрации высокие. ПРИЛОЖЕНИЕ г ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА И г-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ d^e-"7 x(t) X(s) Х(г) 6(t) 1 He существует 1(0 1s z z—1 t 1.s3 Tz (Z-l)2 Р/2 1 7^(2+1) s3 2 (г -1)з 1 s+a г е-"< г—а a (l-d)z 1 е-^ s (s + a) (г—1)(г-а) a zT (1—d)2 -!- {at 1 + е-0') а s^s+a) (г-I)2 a(z-l)(z-d) 1 Tzd fe-"1 (s+a)2 (z-d)2 s ?2zd(l +aT) е "'(I at)-в.- (s + a)2 (z-d)2 .. a2 г zd(l—ar)—z2 1 e-^l+aO s(s+a)2 z—1 (z—d)2 V—a г (d — c) d == e-"7' e-°'e-v< (s + a) (s + y) (z — d) (г—с) с = e-77' sin.p t P г sin p Г s^+p3 г2 — 2z cos p Г + 1 cos p t s г2 — г cos p T S^+P2 z2 — 2z cos p T + 1 1 г d sin со Г s2 + 2as + (o2 со2,, = a2 + со2 — e^sinfutCO со z2 — 2zd cos со Г + d2 289 5. Чистяков Н. И. К расчету одной схемы дискриминатора. — Известия электропромышленности слабого тока, 1941, № 2. 6. Чистяков Н. И. Расчет и экспериментальная проверка автоматической подстройки. — Электросвязь, 1941, вып. 4. * 7. Основы автоматического регулирования и управления/Под ред. Понома- рева В. М. и Литвинова А. И. — М.: Высшая школа, 1974. 8. Воронов А. А., Титов В. К., Новогранов Б. Н. Основы теории автома- тического регулирования и управления. — М.: Высшая школа, 1977. 9. Радиоприемные устройства/Под ред. В. И. Сифорова. — М.: Сов. ра- дио, 1974. 10. Тузов Г. И. Выделение и обработка информации в допплеровских си- •стема». — М.: Сов. радио, 1967. 11. Кантор Л. Я., Дорофеев В. М. Помехоустойчивость приема ЧМ сигна- .лов. — М.: Связь, 1977. 12. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Сов. ра- дио, 1977. 13. Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки частоты. — М.: Связь, 1972. 14. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ./ Под ред. Ю. Н. Бакаева, М. В. Капранова. — М.: Сов. радио, 1978. 15. Сизов В. П. Система фазовой автоподстройки частоты с фазовраща- телем в цепи обратной связи. — Радиотехника, 1967, № 1. 16. Вопросы статистической теории радиолокации/Под ред. Тартаковского Г. П. — М.: Сов, радио, 1963—1964. Т. 1 — 1963; Т. 2 — 1964. 17. Тузов Г. И. Статистическая теория приема сложных сигналов. — М.: Сов. радио, 1977. 18. Кривицкий Б. X. Автоматические системы радиотехнических устройств.— М.: Госэнергоиздат, 1962. 19. Леонов А. И., Фомичев К. И. Моноимпульсная радиолокация. — М.: Сов. радио, 1970. 20. Первачев С. В., Валуев А. А., Чиликин В. М. Статистическая динамика радиотехнических следящих систем. — М.: Сов. радио, 1973. 21. Теория автоматического управления/Под ред. А. В. Нетушила. Ч. 1. — М.: Высшая школа, 1967. 22. Гребен А. Б. Проектирование аналоговых интегральных схем: Пер. с англ./Под ред. Е. X. Караерова. — М.: Энергия, 1974. 23. Евсиков Ю. А., Чапурский В. В. Преобразование случайных процессов в радиотехнических устройствах. — М.: Высшая школа, 1977. 24. Вакин С. А., Шустов Л. Н. Основы радиопротиводействия и радиотех- нической разведки. — М.: Сов. радио, 1968. 25. Митяшев Б. Н. Определение временного положения импульсов при на- личии помех. — М.: Сов. радио, 1962. 26. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчис- лению. — М.: Высшая школа, 1965. 27. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехни- ке. — М.: Сов. радио, 1971. 28. Борисов Ю. П. Математическое моделирование радиосистем. — М.: Сов. радио, 1976. 29. Лебедев В. Л. Случайные процессы в электрических и механических системах. — М.: Физматгиз, 1958. 30. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. — М.: Физматгиз, 1960. 31. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автома- тического управления. — М.: Физматгиз, 1960. 32. Солодов А. В. Линейные системы автоматического управления с пере- менными параметрами. — М.: Физматгиз, 1962. 33. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотех- нике. — М.: Сов. радио, 1961. 34. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. — М.: Сов. ра- дио, 1977. 292 . 35. Обрезков Г. В., Разевиг В. Д. Методы анализа срыва слежения. — М.: Сов. радио, 1972. 36. Первачев С. В. Срыв слежения во временном автоселекторе. — Радио- техника и электроника, 1965, № 8. 37. Обрезков Г. В., Первачев С. В. Срыв слежения в системе с астатизмом второго порядка. — Автоматика и телемеханика, 1966, № 3. 38. Казаков И. Е., Доступов Б. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. — М.: Физматгиз, 1962. 39. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационар- ных случайных последовательностей. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1941, № 1. 40. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. — М.: Физматгиз, 1960. 41. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Физматгнз, 1965. 42. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции: Пер. с англ./ Под ред. В. И. Тихонова. Т. 1. — М.: Сов. радио, 1972. 43. Стратонович Р. Л. К теории оптимальней нелинейной фильтрации слу- чайных функций. — Теория вероятностей и ее применения, 1959, № 2. 44. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. — М.: МГУ, 1966. 45. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении: Пер. с англ./Под ред. Б. Р. Левина. — М.: Связь, 1976. 46. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерент- ный прием сигналов. — М.: Сов. радио, 1975. 47. Большаков И. А., Репин В. Г. Вопросы нелинейной фильтрации. — Ав- томатика и телемеханика, 1961, № 4. 48. Кузин Л. Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. — М.: Машгиз, 1962. 49. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования: Пер. с англ./Под ред. Я. 3. Цыпкина. — М.: Физматгиз, 1963. '50. Балакай В. Г., Крюк И. П., Лукьянов Л. М. Интегральные схемы аяа- лого-цифровых и цифроаналоговых преобразователей/Под ред. Л. М. Лукья- нова.—М.: Энергия, 1978. 51. Теоретические основы радиолокации/Под ред. В. Е. Дулевича. — М.: Сов. радио, 1978. 52. Цифровые системы фазовой синхронизации./Под ред. М. И. Жодзишско- го. — М.: Сов. радио, 1980. 53. Лихарев В. А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. — М.; Сов. радио, 1973. 54. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сиг- налов: Пер. с англ./Под ред. Ю. Н. Александрова. — М.: Мир, 1978. 55. Губернаторов О. И., Соколов Ю. Н. Цифровые синтезаторы частот ра- диотехнических систем. — М.: Энергия, 1973. 56. Системы фазовой автоподстройки частоты с элементами дискретизации/ Под ред. В. В. Шахгильдяна. — М.: Связь, 1979. 57. Башаринов А. Е., Флейшман Б. С. Методы статистического последо- вательного анализа и их приложения. — М.: Сов. радио, 1962. 58. Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флюктуа- ционных помехах. — М.: Сов. радио, 1972. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ................. з Глава 1. Общая характеристика систем радиоавтоматики .... 4 1.1. Понятие систем радиоавтоматики .......... 4 1.2. Принципы построения и классификация систем радиоавтоматики . 6 Глава 2. Описание систем радиоавтоматики ....... 9 2.1. Системы частотной автоподстройки ......... 9 2.2. Системы фазовой автоподстройки .......... 16 2.3. Системы слежения за временным положением импульсного сигнала 23 2.4. Угломерные следящие системы ........... 2о 2.5. Обобщенные функциональная и структурные схемы радиотехнической следящей системы .............. 34 2.6. Системы автоматической регулировки усиления ...... 39 2.7. Математическое описание линейных стационарных систем радиоавто- матики. Определение операторного коэффициента передачи ... 44 Задачи . . . ............... 49 Глава 3. Характеристики дискриминаторов радиотехнических следя- щих систем ............. 49 3.1. Фазовые детекторы . . ........... 49 3.2. Частотные дискриминаторы ............ 56 3.3. Угловые дискриминаторы ...........". 67 3.4. Временные дискриминаторы ............' 75 Задачи ................. '. ." 79 Глава 4. Анализ устойчивости линейных непрерывных систем радио- автоматики .............. 79 4.1. Понятие устойчивости ............. 79 4.2. Анализ устойчивости с помощью алгебраических критериев ... 81 4.3. Анализ устойчивости с помощью частотных критериев .... 83 Задачи ................ 91 Глава 5. Анализ детерминированных процессов в линейных стационар- ных системах радиоавтоматики . ....... 91 5.1. Методы анализа детерминированных процессов в линейных стационар- ных системах радиоавтоматики . . ........ 9t 5.2. Исследование переходного и установившегося режимов .в системах радиоавтоматики ............... 94 5.3. Динамические ошибки некоторых типичных радиотехнических следя- щих систем ................. 99 Задачи ........ ...........] 04 Глава 6. Анализ случайных процессов в линейных системах радио- автоматики ............. ]05 6.1. Определение характеристик случайных процессов в установившемся режиме . . . . .............. Ю5 6.^,. Оптимизация параметров радиотехнической следящей системы . . 112 6.3. Определение характеристик случайных процессов B| переходном ре- жиме . . . . •••...........116 6.4. Память следящей системы . . . ......... 118 6.5. Анализ линейных нестационарных систем радиоавтоматики . . . 125 Задачи ................... 128 Глава 7. Анализ нелинейных систем радиоавтоматики ..... 129 7.1. Нелинейные режимы радиотехнических следящих систем и методы их анализа . . . . ............. 129 7.2. Метод фазовой плоскости ............ 133 7.3. Анализ нелинейных систем на основе теории марковских случайных 294 процессов . . . . . ............ 138 7.4. Анализ нелинейных следящих систем методом статистической линеа- ризации . . ... ............. 146 Задачи . . . ...........'.... 156 Глава 8. Синтез фильтров следящих систем методами оптимальной линейной фильтрации . . ......... 157 8.1. Постановка задачи . . . ............ 157 8.2. Интегральные уравнения оптимальных фильтров . . .... 159 8.3. Синтез оптимальных линейных фильтров на основе решения инте- гральных уравнений .............. 162 8.4. Синтез оптимальных линейных фильтров методом пространства со- стояний . . . . ............. 171 8.5. Примеры синтеза оптимальных фильтров систем радиоавтоматики ме- тодом пространства состояний . . . ....... 177 Задачи ............••••••• 188 Глава 9. Синтез радиотехнических следящих систем методами теории оптимальной нелинейной .фильтрации . . ..... 189 9.1. Основные соотношения в теории оптимальной нелинейной фильтрации 189 9.2. Примеры синтеза радиотехнических следящих систем . ... . 196 Задачи . . . . .............. 202 Глава 10. Дискретные системы радиоавтоматики ...... 202 10.1. Системы с прерывистым входным сигналом ....... 202 10.2 Математическое описание дискретных систем . ..... 209 10.3. Устойчивость дискретных следящих систем . . . . ... • 217 10.4. Анализ детерминированных процессов в дискретных системах . . 219 10.5. Анализ случайных процессов в дискретных системах .... 223 Задачи . . . . . ..."........... 230 Глава 11. Цифровые системы радиоавтоматики . ...... 231 11.1. Общая характеристика цифровых следящих систем ..... 231 11.2. Цифровые дискриминаторы . . .........' 236 11.3. Цифровые фильтры . . . .......... 246 ,11.4. Цифровые генераторы опорного сигнала ........ 251 11.5. Примеры построения цифровых следящих систем ..... 255 11.6. Анализ цифровых следящих систем . ........ 259 11.7. Синтез оптимальных фильтров цифровых следящих систем . . . 268 Задачи . . . .............'.• 270 Глава 12. Поиск сигнала. Построение систем при неполной информации о характеристиках сигналов и помех . ... . . . . 271 12.1. Задачи и методы поиска сигнала . . ........ 271 12.2. Показатели качества работы двухэтапной поисковой системы . . 275 12.3. Индикаторы захвата и их характеристики ....... 278 12.4. Построение следящих систем при априорной неопределенности ус- ловий их работы . . . ........... 282 Приложение 1. Таблица преобразований Лапласа и z-преобразований . 289 Приложение 2. Ответы к задачам ........... 290 Список литературы . . . ............ 291 СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ ПЕРВАЧЕВ РАДИОАВТОМАТИКА Научный редактор Г. В. Обрезков Редактор Ю. И. Суханов Художник Г. Н. К о в а н о в Художественный редактор Р. А. Клочков Технический редактор Г. И. Колосова Корректор Н. В. Козлова ИБ № 68 Сдано в набор 25.01.82 г. Подписано в печать 27.04.82 г. Т-10011 ' Формат 60Х90/Ц Бумага кн.-журн. Гарнитура литературная Печать высокая Усл. печ. л. 18,5 Усл. кр.-отт. 18,5 Уч.-изд. л. 19,89 Тираж 28000 экз. Изд. № 19621 Зак. № 18 Цена .1 р. Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Главпочтамт, а/я 693 Типография издательства «Радио и связь» Госкомиздата СССР 101000 Москва, ул. Кирова, д. 40 С. В. ПЕРВАЧЕВ РАДИОАВТОМАТИКА Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальности «Радиотехника» МОСКВА «РАДИО И СВЯЗЬ» 1982