ББК 31.211 М 34 УДК 621.3.01 Рецензент — кафедра ТОЭ Новосибирского электротехниче- ского института (зав. кафедрой — д-р техн. наук, проф. В. М. Ка- занский) Матханов П. Н. М34 Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для студентов электротехн. спец. ву- зов. — 2-е изд., перераб. и доп.—М.: Высш. шк., 1986. — 352 с.: ил. В пер.: 1 р. 10 к. В книге приведены основные сведения по анализу нелинейных элект- рических цепей, применяемых в радиоэлектронике, электротехнике и т. д., рассматривается применение рсзистнвных и динамических цепей и цепей с переменными параметрами, описываются простые алгоритмы числен- ного анализа резистнвных и динамических цепей, рассчитанные на при- менение ЭВМ. Во второе издание (первое—в 1977 г.) добавлен мате- риал о процессах в автоколебательных системах, по численным мето- дам, преобразователям характеристик и т. д. М 2302010000—lfi3 001(01)—86 121-86 ББК 31.211 6П2.» Платон Николаевич Матханов ОСНОВЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ Зав. редакцией Л. А. Романова. Редактор Е. А. Орехова. Худ. редак- тор Т. М. Скворцова. Переплет художника Л. И. Шаварда. Мл. редак- тор И. А. Титова. Техн. редактор 10. А. Хорева. Корректор В. В. Ко- жуткина ИБ № 5406 Изд. № ЭР-393. Сдано в набор 15.10.85. Подп. в печать 30.01.86. Формат 84Х 1081/з2. Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 18,48 усл. печ. л. 18,48 усл. кр.-отт. 18.67 уч.-изд. л. Тираж 17000 экз. Зак. .М» 1 108 Цена 1 р. 10 к. Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул,, д. 29/14. Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии ч книжной торговли 129041, Москва, Б. Переяславская ул.. 46 © Издательство «Высшая школа», 1977 © Издательство «Высшая школа», 1986, с изменениями ПРЕДИСЛОВИЕ Нелинейные цепи и приборы находят широкое применение в электротехнике, радиоэлектронике, автоматике и других об- ластях, интенсивное развитие которых предусмотрено в две- надцатой пятилетке. Работа большого числа многих важных устройств основана на использовании свойств и явлений, при- сущих только нелинейным цепям. В ближайшем будущем мож- но ожидать дальнейшего расширения сферы применений новых нелинейных приборов с новыми характеристиками и свойства- ми. Поэтому значение теории нелинейных цепей и систем для будущего инженера-электрика очень велико. При составлении учебного пособия по нелинейным цепям приходится сталкиваться со значительными трудностями. Это связано с тем, что, с одной стороны, время, отводимое на курс, и объем книги ограничены. С другой стороны, явления в нели- нейных устройствах весьма сложны, отсутствуют общие мето- ды анализа и объем материала велик. Хотя этот материал не- возможно охватить в одной книге, все же желательно дать до- статочно полное представление о процессах и важнейших мето- дах анализа. Деловтом, что, как правило, любую конкретную задачу нелинейной цепи можно решить лишь с помощью ряда методов. При этом важно уметь выбрать наиболее эффективные методы. Необходимо, чтобы студент наряду с нужными сведе- ниями по количественным и численным методам с применением ЦВМ получил представления о качественных методах иссле- дования. Изложение материала книги начинается с анализа цепей, содержащих один вид элемента: резистивных, индуктивных и емкостных цепей, описываемых функциональными уравнения- ми. Затем рассматриваются цепи с различными видами эле- ментов, описываемые дифференциальными уравнениями. Крат- ко изложены метод фазовых траекторий, кусочно-линейный метод и простейшие алгоритмы численного анализа. Примеры применений приводятся по возможности отдельно от методов янализа. Второе издание книги при сохранении общей структуры первого издания (1977) выходит в переработанном и дополнен- ном виде: изменен порядок изложения некоторых глав; при- ведены описание преобразователей характеристик, численный анализ резистивных и динамических цепей по дискретным схе- мам замещения, расширено изложение алгоритмов численного анализа нелинейных динамических цепей. Более подробно из- лагаются процессы в автоколебательных цепях и системах, ко- торые имеют не только большое практическое значение, но также служат хорошей иллюстрацией теории нелинейных яв- лений. С целью учета современного состояния элементной ба- зы введены параграфы по функциональным модулям. Автор выражает глубокую благодарность проф. В. Е. Бо- голюбову, чл.-кор. АН УССР, проф. И. М. Чиженко и доц. О. Б. Толпыго, советы и замечания которых были использова- ны автором, рецензентам настоящего издания коллективу кафедры ТОЭ Новосибирского электротехнического институ- та: зав. кафедрой, проф. В. М. Казанскому, доц. В. И. Кле- сову и доц. Л. И. Малинину за ценные замечания, учтенные автором. Отзывы и пожелания по книге направлять по адресу: 101430, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14, издательство «Высшая школа». Автор ВВЕДЕНИЕ § B.I. Общие сведения о нелинейных элементах В теории линейных цепей предполагается, что параметры всех сосредоточенных элементов — резистивных, емкостных и индуктивных — являются постоянными величинами, не за- висящими от токов и напряжений, а также от времени. Каждо- му из этих элементов можно приписать определенное значение параметра: резистивному — сопротивление R, емкостному элементу — емкость С, индуктивному — индуктивность L. Предположение постоянства параметров является идеали- зацией. В действительности параметры элементов в какой-то степени зависят от тока или напряжения, а также от време- ни. Поэтому постоянство параметров допустимо принимать лишь в пределах ограниченного изменения токов и напряже- ний. Имеется широкий класс реальных элементов, у которых в довольно большом диапазоне изменения значений переменных цепей — токов и напряжений — допустимо принимать посто- янство параметров. Цепи из таких элементов изучаются в тео- рии линейных цепей. Существует также обширный класс очень важных элемен- тов и устройств, параметры которых существенно зависят от токов или напряжений Такие элементы называют нели- нейными. Им нельзя приписать какие-то определенные параметры при изменении переменных цепей в конечном ди- апазоне. Для количественного описания свойств не- линейных элементов необходимо задавать зависимости, называ- емые характеристиками. Обычно эти зависимости определяют экспериментально и представляют в виде графиков. Рассмотрим в общем виде характеристики основных нели- нейных идеализированных двухполюсных элементов. Резистивный элемент. Условное обозначение элемента пока- зано на рис. B.I, а. Резистивный элемент полностью определя- ется зависимостью между током i и напряжением и, называе- мой вольт-амперной характеристикой: i == t («); и = и (('). (B.I) Рис. B.I щения напряжения т е величину, обратную угловому На рис. B.I, г показана характеристика нелинейного элемента (кривые 7, 3); здесь же пунктирной прямой 2 изоб- ражена характеристика линейного элемента — постоянного сопротивления, уравнение которой имеет вид i == ulR, где MR — угловой коэффициент прямой. В отличие от линейного элемента для нелинейного элемента понятие величины сопро- тивления не имеет большого значения. Только задание всей зависимости в пределах ожидаемых изменений переменных ха- рактеризует элемент. Для каждой ее точки можно ввести поня- тия статического и динами-. ческогосопротивлений. Под статическим сопро- тивлением понимают отно- шение абсциссы выбранной точки характеристики к ее ординате или отношение по- стоянного напряжения на элементе к установившему- ся значению постоянного тока, а под динамиче- ским сопротивлением — отношение малого прира- к соответствующему приращению тока, коэффициенту прямой: R^ --u!i; гз= duldi. (В.2) Характеристики на рис B.I, г расположены только в пер- вом и третьем квадрантах, в которых знаки напряжения и тока совпадают Следовательно, мощность, потребляемая эле- ментами, положительна: р == ui^O. Резнстивные элементы, в которых потребляемая мощность не принимает отрицательных значений, называют п а с с и в- н ы м и. Как видно из (В. 2), статическое сопротивление пассивного резистивного элемента всегда положительно. Что касается ди- намического сопротивления, то оно может принимать отрица- тельные значения в местах, где характеристика падает и нак- лон ее отрицателен (кривая 3) Если некоторые участки характеристики попадают во вто- рой или четвертый квадрант, то на этих участках знаки напря- жения и тока противоположны и, следовательно, статическое сопротивление, а также потребляемая мощность отрицатель- ны. Последнее означает генерацию энергии. Резистивные эле- менты, обладающие указанным видом характеристики, назы- вают активными Емкостный элемент. Условное обозначение емкостного эле- мента показано на рис. B.I, б. Емкостный элемент полностью определяется зависимостью между зарядом q и напряжением, называемой кулон-вольтной характеристикой: q=q (ы); и = и (q). (В.З) где '=- J idt\ l=dqfdt. Характеристики линейного и нелинейного элементов, пока- занные на рис. B.I, г, можно отнести также к емкостному эле- менту, если по оси абсцисс откладывать напряжение, а по оси ординат — заряд. Характеристика линейного элемента — по- стоянной емкости — полностью определяется величиной емко- сти С, которая является угловым коэффициентом прямой q = = Си. Для нелинейной емкости необходимо задавать всю ха- рактеристику в пределах ожидаемых изменений напряжений и токов. Для каждой точки характеристики можно ввести поня- тие статической и динамической емкостей. Статическая емкость представляет отношение ординаты выбранной точки характеристики к ее абсциссе, а динамическая ем- кость — отношение малого приращения заряда к соответст- вующему приращению напряжения: С„ == qlu; Cg = dqldu. (В.4) Для характеристики в системе координат м — q (см. рис. B.I, г), расположенной в первом и третьем квадрантах, знаки заряда и напряжения одинаковы, так что энергия, по- требляемая элементом, положительна для любого момента вре- мени: ; W ((')=•• С qdu'^0, —— 00 и рассматриваемый емкостный элемент является п а с с и в- н ы м. Если некоторые участки кулон-вольтной характеристики окажутся во втором и четвертом квадрантах, то емкостный элемент будет активным. Индуктивный элемент. Условное обозначение индуктивного элемента приведено на рис. B.I, в. Индуктивный элемент пол- ностью определяется зависимостью между потокосцеплением V и током i, которую называют в е б е р-а м п е р н о и ха- рактеристикой: У=У(1); ;=1(У),. (В.5) где Jud<- Характеристики, приведенные на рис. B.I, г, могут быть от- несены к индуктивному элементу, если по оси абсцисс откла- дывать ток, а по оси ординат —потокосцепление. Характерис- тика линейного элемента — постоянной индуктивности — полностью определяется величиной индуктивности L, пред- ставляющей угловой коэффициент прямой Y = Li. Для не- линейной индуктивности должна быть задана вся характерис- тика в пределах изменения переменных. Для каждой ее точ- ки можно ввести статическую и динамическую индуктивно- сти: L,„ == ?/t; La = d^ldl. (В .6) Характеристики в системе координат г — У (см. рис. B.I, 6") относят к пассивным индуктивным элементам — они располо- жены в первом и третьем квадрантах. Соответственно энергия, потребляемая элементом, положительна для любого значения i: i W(t}-^ f idV^O. —— 00 Индуктивный элемент, не являющийся пассивным, отно- сится к активному элементу — некоторые участки его характеристики располагаются во втором и четвертом квад- рантах. Наряду с рассмотренными двухполюсными элементами мож- но ввести нелинейные четырех- и многополюсные элементы. Электрическая цепь состоит из взаимного соединения от- дельных элементов. Цепь называется нелинейной, если она со- держит хотя бы один нелинейный элемент. Задача анализа, со- стоящая в определении реакций — напряжений и токов задан- ной цепи при заданном воздействии, — сводится к составлению и решению дифференциальных уравнений цепи. Нелинейные цепи описываются нелинейными дифференциальными уравне- ниями, в которые неизвестные переменные — напряжение или ток и ее производные — входят нелинейно, т. е. не в первой сте- пени, как в линейных уравнениях, а произвольно: в любой степени, в виде произведений, трансцендентных функций и т. д. Общих методов аналитического решения таких уравнений не существует. § В.2. О некоторых особенностях нелинейных цепей Одна из главных с точки зрения анализа особенностей нели- нейных цепей состоит в том, что к ним неприменим принцип на- ложения. Покажем это на простейшем примере резистивного элемента с нелинейной вольт-амперной характеристикой в виде квадратичной зависимости: i = аи2. Если приложенное к элементу напряжение представить в виде суммы двух составляющих: то ток и — и, + ид, i -: а (щ + ^)2 == а (и\ + 2Ui ^ + «!). Если же взять сумму токов, получающихся при действии каждой из составляющих порознь: is == 'i + t'a = " ("? + "1)> то получим другое значение, т. е. в данном случае нельзя при- менять принцип наложения. Широко используется принцип наложения для линейных цепей. Хорошая разработанность теории линейных цепей объ- ясняется именно использованием методов, основанных на прин- ципе наложения. Достаточно знать реакцию цепи на действие сигнала одной формы, например единичной импульсной или синусоидальной функции, чтобы найти реакцию на действие сигнала произвольной формы с помощью интеграла наложе- ния или частотного метода. Иное положение получается с теорией нелинейных цепей, в которых не соблюдается принцип наложения. Следствием не- применимости принципа наложения является то, что не суще- ствует сколько-нибудь общих приемов аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений, даже уравнений пер- вого порядка. Здесь можно говорить лишь о приближенных методах решения, пригодных для ограниченного класса урав- нений, или о численных методах решения. Это распространя- ется и на теорию нелинейных цепей, описываемых нелинейны- ми уравнениями. В отличие от линейных цепей всякое измене- ние формы или амплитуды действующего сигнала приводит к новой задаче с новым часто совершенно иным решением. В настоящее время очень многие вопросы анализа нелиней- ных цепей остаются нерешенными, и вряд ли вообще возможно разработать единый метод их анализа. Если ставится задача анализа определенной нелинейной цепи, то ввиду сложности процессов и отсутствия общих способов выявления их особенно- стей, как правило, невозможно обойтись одним методом. Для получения решения требуется ряд методов, каждый из которых позволяет более четко выяснить одну из сторон процесса. По- этому необходимо иметь представление о наиболее важных ме- тодах анализа нелинейных цепей, а также о характере возмож- ных процессов в различных цепях. Следует также учитывать инженерные требования, предъяв- ляемые к анализу. При анализе недостаточно ограничиваться только определением реакции заданной цепи. Анализ должен дать возможность выявить степень влияния на процессы от- дельных элементов и их характеристик, структуры цепи, а так- же указать пути изменения реакции в нужном направлении. Следовательно, анализ должен служить в первую очередь це- лям проектирования. С этой точки зрения очень ценны ка- чественные и приближенные методы. Необходимо отметить следующее: в линейных цепях, кото- рые легко анализируются, явления и процессы относительно просты — они предсказуемы, и здесь нельзя ожидать новых не- известных процессов. Причиной трудности анализа нелиней- ных цепей являются сложность и разнообразие явлений и про- цессов в них. Далеко не всегда возможно предсказание ожидае- мых изменений напряжений и токов даже в относительно прос- той цепи. Многообразием процессов объясняется очень широ- кое применение нелинейных устройств и цепей в электротех- нике и радиоэлектронике. Работа большого числа устройств и приборов базируется на явлениях и процессах, происходящих только в нелинейных цепях. Перечислим некоторые из наиболее известных явлений, име- ющих место только в нелинейных цепях и принципиально не- возможных в линейных цепях. 1. При действии на входе цепи синусоидального сигнала форма выходного сигнала всегда получается искаженной и со- держит высшие гармоники, так что в спектре выходного сигнала имеются линии, не существующие во входном сигнале. 2. При некоторых условиях в нелинейной цепи могут уста- новиться так называемые субгармонические колебания, частоты которых в целое число раз ниже частоты приложенного к цепи синусоидального сигнала. 3. При действии на входе сигнала, состоящего из наложе- ния (суммы) двух или более синусоидальных колебаний, выход- ная реакция наряду с отмеченными колебаниями кратных частот содержит колебания с комбинационными частотами, которые равны суммам и разностям частот, кратных частотам слагаемых 10 входного сигнала. В общем случае комбинационные частоты не- кратны частотам составляющих входного сигнала. 4. В нелинейных цепях амплитуда выходной реакции непро- порциональна амплитуде входного сигнала; в цепях, используе- мых в качестве стабилизаторов, в некотором диапазоне измене- ния входного напряжения (тока) амплитуда выходного напря- жения (тока) может оставаться постоянной. - 5. Если отсутствует внешнее воздействие, то при больших значениях времени в цепи устанавливается определенный ре- жим с неизменными значениями напряжения и тока, называе- мый состоянием равновесия Нелинейные цепи часто имеют несколько состояний равновесия. Некоторые из этих состояний могут оказаться неустойчивыми — со- ответствующие им установившиеся режимы не могут сущест- вовать.в цепи. В зависимости от начальных условий процесс будет стремиться к одному из устойчивых состояний равнове- сия, определяющему установившийся режим. Таким образом, процесс в нелинейной цепи может быть не единственным. 6. Существует очень важный класс автоколеба- тельных нелинейных цепей, в которых, несмотря на поте- ри энергии, возникают незатухающие колебания при отсутст- вии внешнего периодического воздействия. Автоколебания могут возникать и в цепях, описываемых уравнениями первого по- рядка. Амплитуды колебаний определяются только характе- ристиками нелинейных элементов и не зависят от начальных условий. В сложных цепях может быть несколько автоколеба- тельных режимов с различными частотами и амплитудами ко- лебаний. 7. При плавном изменении амплитуды входного сигнала или частоты (если действует периодический сигнал) в нелиней- ных цепях могут иметь место скачкообразные изменения на- пряжений- и токов или фаз и частоты в случае периодического режима. 8. В сложной нелинейной цепи со многими элементами, име- ющими произвольные характеристики, при различных внеш- них воздействиях, а также различных начальных условиях можно получить сочетание всех перечисленных особенностей Изменяя начальные условия или внешнее воздействие, можно выявить весь набор явлений. Поведение произвольной нелиней- ной цепи является практически бесконечно разнообразным И ГЛАВА 1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ И УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ § 1.1. Общие сведения Нелинейные цепи, составленные из элементов одного вида, например из резистивных элементов, являются более простыми чем нелинейные цепи, составленные из элементов различных видов. Нелинейные резистивные цепи описываются системами функциональных — алгебраических или трансцендентных — уравнений. Решения этих уравнений хотя и связаны с трудно- стями, но все же намного проще, чем решения систем диффе- ренциальных уравнений, которыми описываются цепи с двумя или тремя видами элементов. Анализ резистивных цепей является необходимой частью анализа цепей общего вида. Поэтому, прежде чем перейти к об- щему случаю цепей с тремя видами элементов, следует изу- чить основы анализа цепей, составленных только из резистив- ных элементов. Изучение теории резистивных цепей, естественно, должно начинаться с изложения основных свойств элементов. Свойства идеального резистивного элемента, как указывалось, полно- стью определяются связью между напряжением и током, т. е. вольт-амперной характеристикой. Вольт-амперная характерис- тика двухполюсного резистивного элемента представляет зави- симость между напряжением на его выводах и током: г'= t (и). Обычно характеристику снимают экспериментально и изобра- жают в виде графика на плоскости и — I. Для однотипности и наглядного сравнения различных характеристик их принято изображать в системе координат с осью абсцисс — напряжени- ем и осью ординат — током. Вольт-амперную характеристику обычно снимают путем из- мерения приложенных к элементу постоянного напряжения и тока, значения которых регулируют так, чтобы получить все точки кривой. Процесс снятия характеристик можно ускорить, 1'2 если прикладывать к элементу переменные напряжение и ток низкой частоты и использовать экран электронно-лучевой трубки: к взаимно перпендикулярным пластинам подводят сигналы, пропорциональные напряжению и току элемента. Полученные указанными способами характеристики являются статическими. Статическая вольт-амперная характе- ристика полностью определяет поведение двухполюсного эле- мента относительно его выводов, если частота напряжения или тока в нем не превышает некоторого значения. Для каждого прибора или элемента имеется своя предельная частота, зави- Рис. 1.1 Рис. 1.2 сящая от физических процессов в элементе, при превышении ко- торой статическими характеристиками нельзя пользоваться без соответствующей коррекции. Учет влияния частоты на физические процессы в элементе и его характеристики является затруднительным. Поэтому бу- дем полагать, что частоты напряжений и токов в элементе не превышают предельно допустимых значений и, следовательно, статические характеристики полностью определяют электри- ческие свойства двухполюсника. Дадим общую классификацию видов характеристик рези- стивных двухполюсников при указанных на рис. 1.1 положи- тельных направлениях тока и напряжения.-Прежде всего ха- рактеристика может располагаться в различных квадрантах плоскости и — i. Если характеристика располагается только в первом и третьем квадрантах (кривые / на рис. 1.1 и 1.2), то она от- носится к пассивному элементу: мощность р = ui, потребляе- мая элементам, не принимает отрицательного значения, так как знаки напряжения и тока совпадают. Очевидно, характе- ристика пассивного элемента проходит через начало коорди- нат. 13 Если же некоторый участок характеристики попадает во второй или четвертый квадрант (кривые 2 на рис. 1.1 и 1.2), то характеристика относится к активному элементу: в указан- ных квадрантах знаки напряжения и тока противоположны, их произведение отрицательно, что означает генерирование мощ- ности. По определению, любой непассивный элемент является активным. Характеристика пассивного элемента может быть симмет- ричной (кривая / на рис. 1.1) относительно начала координат, когда она является нечетной функцией: i («)='— t(— «). и несимметричной (кривая 2 на рис. 1.1), если это условие не выполняется. Элемент с симметричной характеристикой обла- дает тем свойством, что при перемене его выводов характерис- тика не изменяется. Указанный тип элемента, обладающий свойством инвариантности характеристики при взаимной пере- мене выводов, называют двусторонним. Различают далее монотонную и немонотонную характерис- стики. В случае монотонной характеристики при — оо < и <; оо наклон кривой, т. е. производная di/du, не меняет своего зна- ка — остается положительной (отрицательной) и не принимает отрицательного (положительного) значения (кривые на рис. 1.1). Если производная не принимает нулевого значения, т. е. кри- вая не имеет горизонтальных участков, то говорят о строго мо- нотонной характеристике. Если при —оо-< и <, оо наклон кривой, т. е. производная, меняет свой знак, то получается немонотонная характеристика или характеристика с падающими участками (кривые на рис. 1.2). На таких участках динамическое сопротивление от- рицательно. В большинстве случаев элемент с немонотонной ха- рактеристикой имеет один участок с отрицательным наклоном. Различают два вида характеристик с падающими участками: характеристику типа N и характеристику типа 5. Характеристика типа N (кривая / на рис. 1.2) имеет участок, где га-<0. Здесь зависимость между напряжением и током такова, что каждому значению напряжения соответст- вует единственное значение тока — ток является однозначной функцией напряжения. Немонотонную характеристику типа N с током, однозначно определяемым напряжением, называют характеристикой, управляемой напряжением. В зависимости от тока характеристика типа N неоднозначна — заданному значению тока могут соответствовать три значения напряже- ния. 14 Характеристика типа S (кривая 2 на рис. 1 2) также име- ет участок с отрицательным наклоном. Но здесь каждому зна- чению тока соответствует определенное значение напряже- ния - напряжение является однозначной функцией тока Ха- рактеристику типа 5 с напряжением, однозначно определяе- мым током, называют характеристикой, управляемой током. В зависимости от напряжения рассматриваемая характеристи- ка неоднозначна - заданному значению напряжения могут со- ответствовать три значения тока. Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рассмотрим получение характеристики при взаимной пере- мене выводов двухполюсного элемента (рис. 1.3). Взаимная пе- ремена выводов изменяет одновременно направления как тока, так и напряжения на обратные. Это означает, что должны вза- имно поменяться положительные и отрицательные направле- ния осей координатной системы, в которой изображена исход- ная характеристика. Характеристику элемента при перемене выводов можно, следовательно, получить вращением осей ко- ординат на 180° вокруг начала координат. Соответствующие точки искомой /' и исходной 1 характеристик лежат на прямой, проходящей через начало координат на одинаковом удалении от начала. Как было сказано, только симметричная характе- ристика остается неизменной при взаимной перемене выводов и знаков осей координат. Остановимся на вопросе обращения характеристик. Если задана характеристика i = i (и), то обращение характеристи- ки означает представление ее в виде u=u(i), т. е. решение исходного соотношения относительно напряжения. Проще всего получить обращение заданной характеристи- ки графически — достаточно взаимно поменять местами коор- 1S динатньи оси: по оси абсцисс откладывать ток, а по оси-орди- нат —: напряжение. Соответствующую обращенную характе- ристику в этой системе координат можно получить, если гра- фик исходной характеристики i =-= t (и) изобразить на прозрач- ной бумаге, повернуть на 90° против часовой стрелки и посмо- треть на чертеж с обратной стороны. • ; Легко убедиться, что исходная и обращенная характерис- тики располагаются симметрично относительно прямой, про- ходящей через начало координат под углом 45°. Отсюда следу- ет другой прием построения обращенной характеристики пу- тем отображения исходной характеристики относительно пря- мой, проходящей через начало координат под углом 45°. На рис. 1.4 показаны характеристика / в координатной системе и — i и обращенная характеристика /' в системе координат t — и. Сопоставление участков исходной и обращенной характе- ристик позволяет сделать вывод о том, что монотонная и, сле- довательно, однозначная характеристика переходит также в монотонную однозначную обращенную характеристику. Немо- нотонная однозначная характеристика, управляемая напря- жением, переходит также в немонотонную, но многозначную характеристику. В заключение дадим определение дуальных характеристик и дуальных резистивных элементов. Здесь речь пойдет о сопо- ставлении характеристик двух различных элементов. Характе- ристики двух резистивных элементов называются дуаль- ными, если замена напряжения на ток и тока на напряжение у характеристики одного элемента дает характеристику второго элемента. Зависимости i"i =-f (»i) для первого элемента и и^== =f (t'g) Для второго одинаковы. Соответствующие два элемен- та, характеристики которых дуальны, являются взаимно дуальными. Отметим, что среди реальных нелинейных элемен- тов, обладающих только свойственными им характеристика- ми, имеется немного дуальных элементов. С практической точки зрения предположение произвольно- го вида характеристик, которое принималось до сих пор, не представляет, конечно, большого интереса. Поэтому при зада- нии характеристик необходимо ориентироваться на существую- щие нелинейные резистивные элементы и приборы. В настоящее время имеется большое число различных уст- ройств и приборов, имеющих нелинейные зависимости между напряжением и током. Большинство из них появилось в по- следние десятилетия в связи с развитием полупроводниковой техники. Можно ожидать появления новых типов приборов с более разнообразными свойствами и характеристиками. 16 Можно, дать следующую общую классификацию существую- щих нелинейных резистивных элементов: 1) двухполюсные; 2) двухполюсные управляемые; 3) трех- и многополюеные. Вначале рассмотрим характеристики некоторых видов не- линейных резистивных элементов, получивших наиболее ши- рокое практическое применение. Будем полагать, что пред- ставляющие главный интерес характеристики элементов полу- одены экспериментально с помощью соответствующих измере- 'ний. • Физические процессы, обусловливающие тот или иной вид характеристики элемента, могут быть очень сложными и раз- нообразными. В нашу задачу не входит обоснование видов характеристик исходя из физической картины процессов. Предполагается, что в общих чертах они известны из курса физики и более подробно изучаются в специальных курсах. Поэтому ограничимся краткими замечаниями о процессах в элементах, характеристики которых рассматриваются далее. С точки зрения теории цепей, которая интересуется поведе- нием элементов только по отношению к их выводам, достаточ- но знать характеристики, полученные экспериментально. После ознакомления с характеристиками некоторых реаль- ных элементов, задаваемыми в виде графиков, рассмотрим их приближенное аналитическое представление. Такое представ- ление необходимо, если используются аналитические методы расчета. Далее введем некоторые идеальные элементы—ис- точники постоянного напряжения и тока, идеальные диоды и управляемые источники. Затем рассмотрим схемы замещения наиболее важных элементов для низких частот, которые со- ставляются с помощью идеальных диодов и управляемых ис- точников. § 1.2. Характеристики резистивных двухполюсных элементов Подавляющее большинство нелинейных резистивных эле- ментов представляется электронными или полупроводниковыми приборами. За редким исключением характеристики указан- ных приборов являются несимметричными. Большой класс двухполюсных элементов составляют диоды, 'имеющие резко выраженные несимметричные характеристики. Рассмотрим характеристики резистивных двухполюсных элементов, относящихся к определенным типам приборов. Каждый из приборов имеет собственное условное обозначение и обычно выпускается серией типов на различные номиналь- ные данные. Далее приведены приближенные характеристи- 17 ки, относящиеся к средним номинальным данным. Некоторые из них начерчены без соблюдения масштабов. Более полные све- дения о типах, номинальных данных и характеристиках эле- ментов можно найти в каталогах электронно-ионных и полупро- водниковых приборов, 1,1^А 15 Варистор. Варистор представляет собой нелинейный ре- зистивный элемент, изготовляемый из карбида кремния с до- бавлением железа и фосфора. Сопротивление такого материала зависит от напряженности элек- трического поля — падает с воз- растанием градиента. 10 5 10 W и,В О Ю 20 30 U.B Рис. 1.5 Рис. 1.6 Вольт-амперная характеристика варистора, изображенная на рис. 1.5, является симметричной, строго монотонной. Выпус- каются варисторы на номинальные напряжения 5—1500 В и токи 2 мА — 1,5 А. Электровакуумный диод. Электровакуумный диод явля- ется прибором с двумя электродами— анодом и подогревае- мым катодом, эмиттирующим электроны. На рис. 1.6 пока- зана вольт-амперная характеристика, имеющая резко не- симметричный, монотонный вид. Там же дано условное обозначение диода. В случае приложения положительного напряжения диод пропускает ток — электроны попадают на анод. Соответствую- щая прямая ветвь характеристики определяется влиянием от- рицательного объемного заряда. Обратный ток диода в случае приложения отрицательного напряжения практически равен нулю — обратная ветвь характеристики совпадает с отрица- тельной полуосью абсцисс. Газоразрядный промежуток. В различных газоразрядных приборах используется явление прохождения тока между элек- тродами, помещенными в газе с пониженным давлением. 13 На рис. 1.7, а показана вольт-амперная характеристика га- зоразрядного промежутка. Нижняя ветвь характеристики с очень малыми токами соответствует несамостоятельному раз- ряду — прохождение тока здесь обусловлено движением за- рядов, образованных действием внешних ионизирующих фак- торов. В конце ветви ток быстро нарастает в результате ударной ионизации и образования электронных лавин. Точка а с на- пряжением зажигания Uд соответствует пробою газоразряд- ного промежутка, означающему переход к самостоятельному U, и а) 6) Рис. 1.7 разряду, при котором необходимые для разряда электроны об- разуются в процессе самого разряда. После пробоя, представ- ляющего неустойчивую форму разряда, устанавливается нор- мальный тлеющий разряд; для поддержания этого вида разря- да требуется меньшее напряжение, которое мало зависит от значения тока; увеличение тока происходит за счет постепен- ного охвата разрядом большей площади катода при почти по- стоянной плотности тока. В точке с наступает аномальный тлеющий разряд, охватыва- ющий всю площадь катода. Напряжение здесь повышается с увеличением тока; с ростом рассеиваемой мощности происхо- дит разогрев катода. В точке d снова получается неустойчивая форма разряда, после которого устанавливается дуговой раз- ряд с падающей вольт-амперной характеристикой. Основным механизмом создания зарядов в дуге является термоиониза- ция. Для поддержания дугового разряда требуется меньшее напряжение, тем меньшее, чем больше ток. Характеристика га- зоразрядного промежутка, как видно, имеет падающие участки. Неоновая лампа. Простейшим прибором, использующим тлеющий разряд, является неоновая лампа, вольт-амперная 19 характеристика которой с одинаковыми электродами показана на рис. 1.7, б. Характеристика является симметричной, имеет падающий участок. Следует иметь в виду, что при уменьшении тока тлеющий разряд прекращается в точке Ь, когда ток стано- вится меньше тока зажигания. Следовательно, напряжение по- гасания разряда меньше напряжения зажигания — при об- ратном движении рабочей точки пика характеристики не бу- дет. Газовый стабилитрон. В газовом стабилитроне использует- ся область нормального тлеющего разряда, которая характе- ризуется тем, что напряжение очень мало меняется при изме- нении тока в широких пределах. Участок ОаЬе- характерис- тики газоразрядного промежутка (см. рис. 1.7, а) представляет вольт-амперную характеристику стабилитрона. Начальный пик характеристики определяется напряжением зажигания. К основным параметрам газового стабилитрона относятся допустимые минимальное и максимальное значения тока, по- вышение напряжения между крайними значениями тока и на- пряжение стабилизации, соответствующее минимальному току. Полупроводниковый диод. Полупроводниковый диод явля- ется прибором с одним р-п-переходом. Он имеет также рез- ко выраженную несимметричную, строго монотонную характе- ристику, которая изображена на рис. 1.8. Там же показано ус- ловное обозначение диода. При положительном напряжении ток на прямой ветви ха- рактеристики быстро нарастает по экспоненциальному зако- ну, при отрицательном на обратной ветви характеристики име- ется небольшой обратный ток. Этот ток, обусловленный неос- новными носителями заряда, в сильной степени зависит от тем- пературы. Температура влияет также на значение прямого то- ка. Промышленность выпускает большое число типов полупро- водниковых диодов на разные номинальные напряжения и то- ки для различного назначения. Наряду с обычными выпрями- тельными диодами выпускаются диоды, предназначенные для ра- боты в области высоких частот, импульсном или ключевом ре- жиме. Полупроводниковый стабилитрон. Стабилитрон представ- ляет собой полупроводниковый диод с одним р-п-переходом, у которого обратный ток при некотором значении напряжения, называемого пробивным, скачкообразно возрастает. Это обус- ловлено явлением лавинного пробоя перехода, после которого очень незначительное повышение напряжения приводит к большому нарастанию тока. В результате ветвь обратного то- ка характеристики при и == Удр имеет излом и очень крутой линейно изменяющийся участок (рис. 1.9). Этот участок харак- 20 теристики представляет наибольший практический интерес для стабилизации постоянных напряжений, а также для ограниче- ния значения напряжений. На этом же рисунке дано условное обозначение стабилитрона. Туннельный диод. Туннельный диод является двухполюс- ным элементом с падающим участком характеристики, обуслов- ливающим отрицательное динамическое сопротивление. В нем также используется один уО-п-переход, но с очень высокой кон- центрацией примесей. Из-за высо- кой концентрации носителей заря- да толщина запирающего слоя с потенциальным барьером получает- ся очень малой, что приводит к воз- ь,А 0,3 -300 -200 -WO 0,5 ',0 и,В -10- -20- i,MKA Рис. 1.8 Рис. 1.9 никновению квантово-механического туннельного эффекта, в результате при небольшом прямом напряжении ток резко воз- растает — на характеристике появляется «горб» тока. На рис. 1.10, а приведены условное обозначение туннель- ного диода и его вольт-амперная характеристика. Для описа- ния основных свойств характеристики туннельного диода слу- жат следующие параметры: пиковый ток /пИ пиковое напряже- ние U ц; ток /в и напряжение [/„ впадины, относящиеся соот- ветственно к максимуму и минимуму кривой; отрицательное динамическое сопротивление—/"д; напряжение раствора Up, равное напряжению второй восходящей ветви характеристики при t'=/n и определяющее «ширину» наиболее важной области. В зависимости от типа туннельного диода отношение пико- вого тока к току впадины составляет примерно 5—10. Значе- ние пикового тока колеблется в пределах от долей и единиц до десятков и сотен миллиампер. Напряжение раствора равно 0,5-1,0 В. 21 Рис. 1.11 ^. о,г o,'t о,в и,в б) Рис. 1.10 Важное свойство тун- нельного диода состоит в том, что его характеристи- ка сохраняется до очень высоких частот. Обратный ток диода получается зна- чительным и быстро увели- чивается с ростом обратно- го напряжения, что также обусловлено высокой кон- центрацией носителей за- ряда. Обращенный диод. Туннельный диод с очень малым пико- вым током, не превышающим долей миллиампера, называют обращенным диодом. В обращенном диоде часто ис- пользуется обратный ток, который, как у любого туннельного диода, быстро нарастает с повышением обратного напряжения. При использовании обратной ветви характеристики участок в пределах 0< м < Up можно принять горизонтальным с ну- левой ординатой, который затем переходит в быстро нарастаю- щую прямую ветвь. Условное обозначение и вольт-амперная характеристика обращенного диода показаны на рис. 1.10, б. Динистор. Динистор представляет собой четырехслойный полупроводниковый диод с тремя/з-п-переходами. Выводами прибора являются электроды двух крайних слоев. Условное обозначение и вольт-амперная характеристика динистора по- казаны на рис. 1.11. На начальной части прямой ветви, соот- ветствующей отключенному состоянию прибора, очень неболь- шой ток медленно растет с повышением напряжения. С прибли- жением напряжения к L/вкл ток быстро нарастает. При и = = ^внл происходит включение прибора — напряжение при неизменном значении тока, называемого током включе- ния, скачком падает до участка характеристики, соответст- вующего включенному состоянию прибора. На этом участке 22 незначительное по значению напряжение на приборе медлен- но нарастает с увеличением тока. Напряжение на диоде, соот- ветствующее максимально допустимому току, называют оста- точным. Для выключения динистора необходимо снизить ток до ' ^: 'вы к' § 1.3. Управляемые двух- и трехполюсные резистивные элементы Управляемые двух- и трехполюсные резистивные элементы представляют также большой класс. Управляемым резистивным двухполюсником называют эле- мент, вольт-амперная характеристика которого зависит от не- которой величины. Эта величина, называемая управляю- щей, не является переменной цепи, в которую включен эле- мент. Управляющими переменными могут быть любые физичес- кие величины: температура, давление, освещенность, напря- женность магнитного поля и т. п. Управляемые двухполюсные устройства, называемые так- же датчиками, преобразуют неэлектрические величины в электрические (напряжение или ток). Они широко применяют- ся в качестве измерительных элементов в автоматике и других областях. В отличие от обычных неуправляемых двухполюс- ных элементов, рассмотренных в предыдущем параграфе, уп- равляемые двухполюсные элементы имеют не одну характерис- тику, а семейство характеристик, каждая из которых снимает- ся при некотором заданном постоянном значении управляю- щей величины. К управляемым трехполюсным резистивным элементам от- носятся такие важные устройства с тремя выводами, как тран- зисторы, электровакуумные триоды и т. д. Прежде чем приво- дить данные, определяющие трехполюсные элементы, необхо- димо предварительно дать пояснения к ним, так как определе- ние характеристик здесь усложняется. Т' рехполюсник (рис. 1.12) представляет собой частный слу- чай четырехполюсника, у которого один вывод является об- щим для входа и выхода. Из шести величин — напряжений и токов трех выводов (рис. 1.12, а) — независимыми являются четыре: два соотношения, связывающие переменные, можно по- лучить с помощью законов Кирхгофа. Из равенства нулю суммы токов трех выводов можно выра- зить ток общего вывода (вывода 5) через токи входа и выхода: t'l + t'2 + t'3 == 0; t'3 ('1 + t"2). 23 Из равенства нулю суммы напряжений между тремя выво- дами можно выразить напряжение и^ через напряжения входа и выхода по отношению к общему выводу: «12 == "13—— "23 == ("I—— "з)—— ("2—— "з) = "Г Uo. Напряжение Ug можно принять равным нулю, т. е. зазем- лить вывод 3. Поведение трехполюсного элемента (рис. 1.12, б) будет оп- ределяться соотношениями между четырьмя величинами — на- пряжениями и токами на входе и^, t\ и выходе и^, t'a. Эти соот- Рис. 1.12 ношения можно представить в виде системы двух уравнений, связывающих одну из пар указанных переменных с другой па- рой, выбранной в качестве независимых переменных. Число систем таких уравнений, как известно, равно шести— числу сочетаний четырех элементов по два. В отличие от известных уравнений линейных четырехпо- люсников, коэффициенты или параметры которых постоянны, в случае нелинейных трехполюсников имеем систему нелиней- ных уравнений. Так как число уравнений равно двум, то пове- дение трехполюсного элемента можно описать двумя характе- ристиками. Каждое из уравнений любой системы выражает за- висимость одной переменной от двух независимых переменных Геометрически эту зависимость можно представить поверхно- стью в трехмерном пространстве. Следовательно, две характе- ристики трехполюсника представляются двумя поверхностями в трехмерном пространстве. Чтобы иметь возможность изображать характеристики в виде обычных двухмерных графиков на плоскости, одну из не- зависимых переменных принимают за фиксированный управ- ляющий параметр. Придавая различные значения этому пара- 24 метру, получают семейство характеристик. Каждая из них представляет след пересечения упомянутой выше поверхности в трехмерном пространстве с плоскостью, перпендикулярной координатной оси переменной, принятой за управляющий па- раметр . Для нелинейных трехполюсников удобно применять сле- дующие два вида уравнений: 1) уравнение, выражающее од- ну из входных величин (ток или напряжение) через другую входную величину (напряжение или ток) и одну из выходных величин (ток или напряжение); 2) уравнение, выражающее од- ну из выходных величин (напряжение или ток) через другую выходную величину (ток или напряжение) и одну из входных величин (напряжение или ток). Принимая за входную или выходную величину напряже- ние или ток, получим четыре системы уравнений трехполюс- ника: «I = fi (i'i, u.i); iii == Fy (i'i, 4); (1.1) '2 = ^2 (t'l, "z); "2 = Ft (ti, ta); h=Fb^ "2); ii^=F-!(Ui, 4); '2 == Fe ("I, "2); "2 = FS ("Г У- Каждая система уравнений описывает свойства одного и того же трехполюсника, поэтому достаточно рассмотреть од- ну из них, например первую. Если в первом уравнении поло- жить иг = const, то получим входную характеристику — за- висимость между входными величинами: г\ = У] (и,) при по- стоянстве одной из выходных величин — напряжения и^. Если во втором уравнении положить г, == const, то получим выходную характеристику — зависимость между выходными величинами: /д =• г'д (и^) при постоянстве одной из входных ве- личин—тока ;'i. Входная и выходная характеристики полно- стью определяют свойства нелинейного трехполюсника. Рассмотрим характеристики некоторых конкретных управ- ляемых двух- и трехполюсных резистивных элементов. Фотодиод. Фотодиод представляет собой полупроводнико- вый диод с одним/5-п-переходом, обратный ток которого уве- личивается при действии внешнего излучения на область /?-п-перехода в результате создания дополнительных носителей заряда из-за фотоэффекта. На рис. 1.13 представлено семейство вольт-амперных харак- теристик фотодиода в зависимости от светового потока Ф оп- ределенной длины волны. При Ф = 0 имеем обычный обрат- ный ток диода; световой поток Ф является управляющим пара- метром. 25 Терморезистор (термистор).Термистор представляет собой полупроводниковый резистивный элемент, изготовляемый из смеси окислов различных металлов и имеющий очень высокий отрицательный температурный коэффициент сопротивления — при повышении температуры на 100° С сопротивление снижа- ется в сотни раз. Температура материала при постоянстве тем- пературы внешней среды зависит от тока. Очень сильная температурная зависимость сопротивления приводит к тому, что вольт-амперная характеристика терми- стора, начиная с некоторого значения тока, имеет падающий -Ф=0 Рис. 1.13 Рис. 1.14 участок — напряжение на элементе падает, несмотря на увели- чение тока. На рис. 1.14 дано условное обозначение и семейство вольт-амперных характеристик термистора при различных зна- чениях температуры внешней среды, которая играет роль уп- равляющего параметра. Так как характеристика термистора определяется тепловы- ми процессами, постоянная времени элемента составляет де- сятки секунд. Термистор является инерционным элементом — его нелинейные свойства проявляются только при очень мед- ленных изменениях тока. Существуют также термисторы с по- ложительным температурным коэффициентом сопротивления, называемые позисторами. Тиристоры.Тиристор, так же как и динистор, представля- ет собой четырехслойный полупроводниковый диод с тремя р-п-переходами, но в отличие от динистора тиристор кроме двух главных выходов электродов крайних слоев (анода и като- да) имеет третий управляющий вывод— затвор, присоединен- ный к электроду одного из средних слоев. При отсутствии управляющего тока (iy = 0) характерис- тики тиристора и динистора получаются одинаковыми (рис. 1.15, а). Но при 1'з>0 происходит уменьшение напря- жения включения. Поэтому с помощью управляющего тока 26 можно управлять моментом включения тиристора. На этом роль управляющего электрода заканчивается — ток во вклю- ченном состоянии тиристора протекает и после прекращения тока затвора. Прекратить анодный ток и восстановить выклю- ченное состояние тиристора можно только путем снижения то- ка в приборе ниже критического значения, определяемого точ- кой Ь. Так как управляется в тиристоре только момент включе- ния, его называют полууправляемым прибором. at 5} Рис. 15 Рис 16 На рис. 1 15, б приведена входная характеристика тиристо- ра — зависимость тока затвора от напряжения Как вид- но, входная характеристика не зависит от выходных ве- личин. Электровакуумный триод. Электровакуумный триод име- ет три электрода: подогреваемый прямо или косвенно катод, эмиттирующий электроны; сетку, управляющую электронным потоком; анод, на который попадают электроны Выходные (анодные) характеристики триода зависимо- сти между напряжением и током анодной цепи, снятые при не- скольких неизменных значениях напряжения между сеткой и катодом, изображены на рис. 1.16, а, а входные характеристи- ки триода — зависимости между напряжением и током сетки, снятые при нескольких неизменных значениях анодного на- пряжения, на рис 1 16, б. Здесь же показано условное обо- значение триода. Электронная лампа — пентод. Пентод представляет собой 27 электронную лампу, которая кроме анода, катода и управляю- щей сетки имеет две дополнительные сетки — экранирующую и защитную. Наличие дополнительных сеток заметно влияет на выходные (анодные) характеристики, которые вместе с услов- ным обозначением пентода изображены на рис. 1.16,б. Входные характеристики пентода практически не отличаются от вход- ных характеристик триода. Биполярный транзистор. Транзистор типа р-п-р или п-р-п, который состоит из двух встречных /?-/г-переходов, полученных Рис. 1.17 в монолите полупроводника методами диффузии или вплавле- ния, называют биполярным. Вывод среднего слоя назы- вают базой, а выводы крайних слоев с одинаковым типом электропроводности — эмиттером и коллекто- ром. Характеристики транзистора зависят от схемы его вклю- чения. Наиболее часто применяется включение с общим эмит- тером, когда входом является база, а выходом — коллектор. На рис. 1.17, а приведены выходные характеристики—зави- симости коллекторного тока от напряжения между коллекто- ром и эмиттером, снятые при ряде неизменных значений тока базы. Входные характеристики для этой же схемы включения— зависимости тока базы от напряжения между базой и эмитте- ром при неизменных значениях напряжения на коллекторе по- казаны на рис. 1.17, б. Как видно из кривых, выходное напря- жение между коллектором и эмиттером слабо влияет на вход- ные характеристики. Полевой (униполярный) транзистор. Главной частью поле- вого транзистора является проводящий канал в виде пластины из полупроводникового /i-материала, охватываемого с двух противоположных плоских сторон /^-материалом. Электроды с 28 двух торцов п-канала называются истоком и стоком, а элек- трод /^-материала — затвором. Ток, проходящий вдоль канала от стока к истоку, является выходным. Управление выходным током производится пода- чей между затвором и стоком отрицательного напряжения смещающего /?-п-переход в обратном направлении и сужающей го канал из-за действия отрицательного объемного заряда в п- области. Так как управляющий р-п-переход. смещен в ОбраТ- !В и с 1 10 20 зо ^ в а) 5) Рис. 1.18 ном направлении, входной ток (ток затвора) получается очень малым, а входное сопротивление — большим. На рис. 1.18, а показаны выходные характеристики полево- го транзистора — зависимость тока стока от напряжения сто- ка при нескольких неизменных значениях напряжения зат- вора. Скачок тока при больших напряжениях вызывается ла- винным пробоем канала. Входная характеристика полевого транзистора (рис. 1.18, б) не зависит от выходных величин. Существует другой тип полевого транзистора—МОП-тран- зистор со структурой металл—окисел (диэлектрик)— полупро- водник, в котором затвор изолирован от канала. Изменение напряжения затвора приводит также к изменению концентра- ции заряда и тока в канале. § 1.4. Некоторые виды идеализированных нелинейных элементов Рассмотрим в дополнение к приведенным характеристикам реальных элементов характеристики и свойства следующих ви- дов идеализированных нелинейных элементов: источники по- стоянного напряжения и тока, идеальный диод и идеальный уп- равляемый источник Эти элементы понадобятся для составле- 29 ния схем замещения ряда нелинейных резистивных элемен- тов. Источники постоянного напряжения и тока. В теории це- пей источники напряжения и тока принято рассматривать как источники приложенных к цепи сигналов, которые входят в правые части уравнений в виде заданных независимых пере- менных, возбуждающих цепь. В теории нелинейных цепей часто удобно источники постоянного напряжения и тока рассматривать как нелиней- ные резистивные элементы. Свойства источников постоянного напряжения и тока определяются зависимостями между напря- жением и током, т. е. вольт-ампер- ными характеристиками. Поэтому указанные источники можно отнести + \\1 к классу двухполюсных резистивных элементов. а) + |^ Uy и a) S) Рис. 1.19 6) Рис. 1.20 Источник напряжения имеет единственный параметр — напряжение на выводах Uo, которое не зависит от тока и вре- мени. Вольт-амперная характеристика изображается прямой, проведенной параллельно оси ординат на расстоянии С/о (рис. 1.19, а). В режиме генерирования энергии, когда ток в источнике направлен в сторону повышения напряжения, ха- рактеристика располагается во втором или четвертом (при перемене полярности) квадранте. Следовательно, источник на- пряжения является активным элементом. Источник тока также определяется одним параметром — током в выводах /о, который не зависит от напряжения и вре- мени. Вольт-амперная характеристика изображается прямой, проведенной параллельно оси абсцисс на расстоянии /о (рис. 1.19, б). В режиме генерирования энергии, когда положи- тельную полярность имеет вывод, из которого ток вытекает. характеристика будет располагаться во втором или четвертом 30 Источник тока также является активным элемен- квадранте том. Прямые, которые изображают характеристики источников постоянного напряжения и тока, не проходят через начало ко- ординат, поэтому они должны быть отнесены к нелиней- ным характеристикам. Идеальный диод. Очень важным идеализированным нели- нейным элементом является идеальный диод, символическое изображение.которого приведено на рис. 1.20. Идеальный диод можно получить идеализацией реального диода, если прене- бречь падением напряжения на диоде в прямом направлении и током диода в обратном направлении. Отсутствие обратного тока в случае приложения обратного или отрицательного напряжения означает, что при и •< О обратная ветвь характеристики направлена по оси абсцисс. От- сутствие падения напряжения при протекании прямого тока означает, что при ('>• 0 прямая ветвь характеристики направ- лена по оси ординат. Следовательно, характеристика идеаль- ного диода состоит из двух перпендикулярных линейных уча- стков, совпадающих с полуосями координат; точка излома рас- полагается в начале координат (рис. 1.20, а). Аналитически характеристику идеального диода можно за- писать таким образом: и==0 при t>0; i= 0 при и«<0. (1.2) В первом случае идеальный диод соответствует короткому замыканию в проводящем состоянии, во втором — холостому ходу в непроводящем состоянии, Мощность, потребляемая элементом, очевидно, равна нулю при любых значениях напряжения и тока: р == ui == 0. Так как характеристика диода несимметрична, при переме- не выводов, т. е. при встречном включении, получим другую характеристику (рис. 1.20, б). Нетрудно убедиться, что она ду- альна исходной характеристике (рис. 1.20, а) диода, включен- ного в прямом направлении. Отсюда следует вывод: элементом, дуальным идеальному диоду, является также идеальный диод, но со встречно включен- ными выводами. Идеальный управляемый источник. Управляемый источ- ник представляет четырехполюсный резистивный элемент, со- стоящий из двух ветвей и двух пар выводов: входной и выход- 31 ной. Выходом элемента является управляемый или зависимый источник напряжения или тока. Напряжение или ток выход- ного управляемого источника не является заданной величиной, не зависящей от режима цепи, как при обычном независимом источнике, а зависит от действующего на входе управляющего сигнала. Управляющий сигнал может быть напряжением лю- бой пары узлов или током любой ветви цепи. Рис. 1.21 Для линейного управляемого источника, наиболее часто ис- пользуемого в различных схемах замещения, значение напря- жения или тока выходного источника пропорционально управ- ляющему сигналу. По- тери, а также накопле- ние энергии во входной цепи идеального управ- ляемого источника дол- жны отсутствовать. По- этому если управляющим сигналом является на- пряжение, то на входе должен быть холостой ход (разрыв); если ток— то короткое замыкание. На рис. 1.21 управляе- мые источники обозначе- ны ромбом в отличие от обычных источников. Свойство зави- симости источника отражает запись рядом с ромбом величи- ны напряжения или тока, пропорциональной управляющему сигналу. В зависимости от того, каким источником (напряжения или тока) является выход и какой переменной (напряжением или током) является управляющий сигнал, различают следующие четыре типа управляемых источников: 1) источник напряжения, управляемый напряжением (рис. 1.21, а}: k„u, (1.3) 2) источник напряжения, управляемый током (рис. 1.21,б): «2=^<1; (I-4) 3) источник тока, управляемый напряжением (рис. 1.21, б): г"2 = kyiii; (1.5) 4) источник тока, управляемый током (рис. 1.21, г): i,=k.i,. .(1.6) 32 Коэффициенты k, входящие в основные соотношения управ- ляемых источников, называются управляющими параметрами. Они либо безразмерны (fe„ и k,), либо имеют размерности со- противления (k^) и проводимости (ky}. Для линейных управляемых источников управляющи- параметры являются постоянными, для нелинейных источние ков они зависят от управляющего сигнала. Очень полезно обобщить понятие управляемых источников на случай, когда управляющим сигналом является неэлект- рическая величина х, например температура, освещенность, давление, ускорение и т. п. При этом напряжение и ток управ- ляемого источника будут зависеть не от переменных цепи, а от внешних факторов. Указанное обобщение позволяет составить схемы замещения резистивных элементов типа датчиков, уп- равляемых воздействиями неэлектрической природы. § 1.5. Функциональные блоки В состав огромного числа применяемых на практике элект- ронных схем и систем входят некоторые типовые узлы или эле- менты, выполняющие одинаковые функции над поступающими сигналами, т. е. вполне определенные преобразования сигна- лов. Нет необходимости в каждом случае собирать или изго- товлять схемы соответствующих преобразователей — целесо- образно иметь готовые функциональные или преобразователь- ные блоки. Промышленностью серийно выпускаются различные функ- циональные модули или блоки, предназначенные для выполне- ния определенных функций (операций) или преобразования сигналов и рассчитанные для массового применения. Совре- менная интегральная технология позволяет получать модули или микросхемы со сложной структурой в виде отдельных бло- ков в монолитном микроминиатюрном исполнении, которые имеют высокую надежность и низкую стоимость. Характерис- тики готовых функциональных блоков задаются по отношению в выводам входов и выходов — для применения схема и ее внутренняя структура не имеют значения. Поэтому функцио- нальный блок, в принципе, может рассматриваться, как и лю- бой другой известный нам элемент цепи: двухполюсный — ин- Дуктивный, емкостный, резистивный или многополюсный — зависимый источник, трансформатор. Рассмотрим некоторые из широко используемых аналого- вых функциональных блоков: операционный усилитель, ком- паратор, умножитель. о ™ Д л и t 1 Л о Зап. 1108 33 Операционный усилитель. Операционный усилитель (ОУ является особым видом усилителя напряжения, т. е. управля- емого напряжением источника напряжения, имеющего следу- ющие особенности: а) очень высокий коэффициент усиления, до- стигающий значений /<ц = (0,2 — 1,0)-106; б) очень высокое входное сопротивление; в) малое выходное сопротивление. Устойчивая работа усилителя со столь высоким усилением обеспечивается соответствующими цепями обратной связи. Ра- Рис. 1.22 бочий диапазон частот включает в себя нулевую частоту, т. е. постоянное напряжение, и простирается до частот порядка мегагерца. Уровень выходного сигнала при обычном напряже- нии питания около 15 В составляет примерно 10 В. Наиболее распространен ОУ с дифференциальным входом, условное обозначение которого приведено на рис. 1.22, а. ОУ имеет четыре вывода для переменной составляющей сигнала: входные — / (инвертирующий) и 2 (неинвертирующий), вы- ходной — 3 и общий — 0. Выходное напряжение определяет- ся разностью напряжений и^ == "i — "2 входных выводов. Поведение идеализированного ОУ, как и любого электронного устройства, в общем случае нелинейно. Но обычный ОУ ис- пользуется для работы в линейном режиме. Свойства ОУ получаются близкими к идеальному ОУ, ко- торому приписывают бесконечное усиление, нулевой входной ток и нулевое выходное сопротивление. Уравнения такого усили- теля можно записать так: '1 = i-г == 0; "з == k (и^ — и^, k -> oo (1.7) 34 ОУ выпускается по интегральной технологии серийно в мо- нолитном исполнении и имеют низкую стоимость. Поэтому ОУ широко применяются на практике, являясь основным элемен- том почти любых аналоговых электронных схем, в частности схем преобразователей сопротивлений и характеристик нели- нейных элементов. Компараторы. Компаратор представляет собой операцион- ный усилитель, специально рассчитанный для работы в нели- нейном режиме — характеристика выходного напряжения имеет участок резкого насыщения, на котором напряжение ос- тается почти постоянным. Так же как дифференциальный ОУ, компаратор, символическое изображение которого приведено на рис. 1.22, б, имеет два входных вывода с напряжениями Mi и «г и один выходной вывод с напряжением из. Коэффициент усиления в линейной области достигает значений 106 и выше. Поэтому при очень малом напряжении на входе и^ = «i — —УЗ достигается насыщение и зависимость Ug = f (и^ — и^) получается близкой к характеристике идеального компарато- ра (рис. 1.22, в), которая при «i <; и^ имеет низкий уровень U~, а при Ui > и^ — скачком принимает высокий уровень U*. Следовательно, кусочно-линейная характеристика идеаль- ного компаратора может быть записана в виде U- "1 < "2; U+ и^ < Mi. (1.8) У реальных компараторов крутизна нарастания характе- ристики конечна — имеется очень небольшой участок линей- ного нарастания напряжения от U~ до [/+ шириной порядка милливольта (пунктирная линия на рис. 1.22, в). Очень важной для практических применений динамической характеристикой является время перехода выходного напряже- ния от низкого к высокому уровню от момента приложения ко входу ступенчатого напряжения — это время очень мало — порядка нескольких сотых долей микросекунды. Компараторы широко применяются в различных устройст- вах нелинейного преобразования сигналов в импульсных уст- ройствах. Аналоговый умножитель. Идельный аналоговый умножи- тель представляет собой усилитель с двумя входными вывода- ми с напряжениями Ыц и.ч и одним выходным выводом, напряже- ние которого пропорционально произведению входных напря- жений: «з= Ки^и,. (1.9) 2* 35 Символическое изображение умножителя приведено на рис. 1.22, г. Дополнительный ввод 4 служит для подвода посто- янного напряжения смещения для установки нужной величи- ны коэффициента К. с таким расчетом, чтобы амплитуда выход- ного напряжения не вышла за допустимые границы. Умножители выполняются на усилителях напряжения с переменным коэффициентом усиления, изменяющимся пропор- ционально напряжению iiy — это обстоятельство и приводит к основной характеристике (1.9). У реальных умножителей всегда имеется погрешность в вы- полнении операции умножения (1.9), зависящая от частоты или быстроты изменения, а также уровня подведенных сигналов, температуры и т. п. Кроме того, диапазон частот перемножае- мых сигналов не превышает нескольких килогерц, а входное сопротивление конечно. С помощью модуля-умножителя легко получить устройства возведения функций сигналов в целые степени. Устройство воз- ведения функции в квадрат получается с помощью одного ум- ножителя при параллельном соединении обоих выводов входа и подведении к ним напряжения щ ==Uy, когда на выходе умно- жителя имеем и у == и{1К,- Каскадное соединение таких уст- ройств позволяет получить устройства возведения в четные степени 2/г, где п — число умножителей с параллельно соеди- ненными входами: на выходе последнего каскада иу = К.~" и^". Для получения устройства возведения в нечетные степени следует подвести ко входу 1 выходного умножителя сигнал и^, а ко входу 2 — напряжение «а == К~" и^ от выхода п каска- дов возведения в четные степени. На выходе такого устройст- ва . получим напряжение и у= К^^^ и^1. Пркиеняя обрат- ные связи, можно получить устройства возведения функции в дробные степени. Устройства возведения функций в степени применяются в схемах умножения частоты, преобразования спектров сигна- лов и т. д. § 1.6. Аналитическое представление характеристик Как указывалось, характеристики нелинейных элементов задаются в виде кривых или графиков, построенных по экспе- риментальным данным. Но для аналитических методов расчета нелинейных цепей характеристики элементов должны быть представлены аналитическими выражениями. Аналитическое представление функций, заданных в виде графиков или таблиц, возможно только приближенно. Как правило, чем выше требования к точности представления, тем 36 сложнее получается нужное аналитическое выражение харак- теристики и тем труднее решение уравнений, полученных на ос- нове этого выражения. Поэтому необходим компромиссный выбор между усложнением функции и точностью приближе- ния. Точность приближения, которая может быть достигнута с помощью выбранной функции, существенно зависит от величи- ны промежутка, в пределах которого производится прибли- жение или аппроксимация. Чем шире промежуток, тем мень- ше точность. Поэтому следует предварительно оценить грани- цы промежутка и производить приближение только в пределах ожидаемого изменения переменных. Не имеет смысла, конеч- но, стремится к точности приближения, превышающей преде- лы разброса и нестабильности характеристик, а также точно- сти их снятия. Следующий важный вопрос — это выбор аппроксимирую- щей функции. В качестве аппроксимирующих принимают раз- личные функции: степенные полиномы, кусочно-линейные функции, экспоненциальные полиномы, рациональные дроби, некоторые трансцендентные функции. На выбор той или иной функции влияет вид конкретной характеристики. Например, прямой ток полупроводникового диода с электронно-дырочным переходом очень хорошо передается простейшим экспонен- циальным полиномом i=---A texp (au)—I}, поскольку к такому закону приводит количественный анализ физических процес- сов в переходе. Из трансцендентных функций находят приме- нение гиперболический синус и гиперболический тангенс. Од- нако для трансцендентных функций трудно находить их коэф- фициенты или параметры из условия приближения. Более подробно остановимся на приближении заданных гра- фически или таблично характеристик с помощью степенных по- линомов и кусочно-линейных функций. Достоинствами ука- занных функций являются возможность представления почти любых видов характеристик и относительная простота нахож- дения коэффициентов. Степенное приближение. Алгебраический полином степе- I ни п y^a^\-a^x^a._xtA-...+a^xn^^a^,xk (1.10) *«о имеет п + 1 коэффициентов. Эти коэффициенты должны быть определены из условия приближения, которое состоит в том, чтобы ошибка, равная отклонению полинома от подлежащей аппроксимации характеристики g (х), не превышала некото- рого заданного значения. Предельно допустимая ошибка долж- на задаваться с учетом требования точности, предъявляемой к расчету, а также точности снятия, возможного разброса и не- стабильности характеристики В теории приближения функций существуют различные критерии определения ошибок и соответственно различные ме- тоды нахождения коэффициентов искомого полинома из усло- вия минимизации ошибки В данном случае, когда требуется аппроксимировать функцию, заданную в виде графика или таблицы, и, кроме того, необходимо по возможности упростить процесс вычислений, заслуживают более подробного рассмот- рения два метода приближения: интерполяция и дискретное среднеквадратичное приближение. 1 Интерполяция. При интерполяции искомые ко- эффициенты определяют из условия совпадения аппроксими- рующего полинома и аппроксимируемой характеристики в за- ранее выбранных различных точках (узлах) промежутка при- ближения. Условие совпадения значений обеих функций в п + 1 узлах Xi дает систему п + 1 линейных уравнений, не- обходимых для однозначного определения всех искомых ко- эффициентов полинома; у- ^ а,х'^§(х.) (f=0, 1,2,..../i). (1.11) k=0 Следовательно, число узлов равно числу коэффициентов, т. е. определяется степенью полинома. Рассмотрим в качестве примера интерполяцию полиномом второй степени у =-. QO + OtX 4- а^х2 характеристики варистора (см.рис 1 5) в промежутке приближения О ^ х =• и а$ 40 В. Задавшись тремя узлами, имеем для них следую- щие значения токов в миллиамперах х» •= О: go "О; Xt = 20, gi = 1,5; JC, •= 40; g„ = 9,0. Узел Ху == 0 дает йо =• 0 Два остальных узла дают систему из двух уравнений: 20 Oi+400a2= 1,5; 40 ai+1600 a; =9,0. В результате решения системы имеем а, == —3/40 и a, = 3/400, так что аппроксимирующий полином окончательно запишется в виде у = —Зх'40 + 3^/400. Можно избежать решения системы линейных уравнений, если воспользоваться интерполяционной формулой Лагранжа: (л—л-о). (х—Хт-\)\Х --tm+l).-. {х—Хп) У (X) -2^ (.'•m—- t'n) точки, зада- ваемые на начальном и конечном участках, не являются точ- ками излома. Найденное приближение может быть записано в виде таб- лицы, содержащей координаты точек излома, которые распола- гаются в определенном порядке при непрерывном перемеще- нии по кривой, например, слева направо. Для приближе- ния, показанного на рис. 1.23, имеет следующие координаты точек излома, включая начальные и конечные точки: («i, t'i), («a, t'z),..., (u„, in). Уравнение отрезка прямой k-го линейного участка между двумя соседними точками излома (ид, t^) и ("д+i, ik+i) можно записать в виде '—'ft (1.16) 'h+l—'ft "й+l—Ufi После несложных преобразований имеем 'ft+Г "h+l—"ft (1.17) Здесь коэффициент k при напряжении является угловым коэф- фициентом прямой, а слагаемое //; — ординатой точки пересе- чения прямой с осью t. Решение (1.17) относительно напряжения дает соотноше- ние 1 • l./,=^'t•+^, (1.18) где k' = \lk — угловой коэффициент прямой; слагаемое U^ — абсцисса точки пересечения прямой с осью и. Преимуществом кусочно-линейного приближения является то, что на каждом интервале нелинейный элемент можно рас- сматривать как линейный. Для анализа такой линеаризован- ной цепи можно применять весь аппарат теории линейных це- пей. Поэтому кусочно-линейное приближение широко исполь- зуется при анализе нелинейных цепей. Преимущество кусочно- линейного представления характеристик состоит также в том, что на его основе можно составить относительно простые при- ближенные схемы замещения различных элементов с нелиней- ными характеристиками. 42 § 1.7. Получение схем с заданными вольт-амперными характеристиками Как было показано, число различных нелинейных резнстив- ных элементов велико и вид их характеристик многообразен. Но для решения некоторых практических задач желательно по- лучить любые заданные характеристики с помощью комбина- ции, т. е. соединения существующих элементов. Здесь речь идет о конструировании из составных элементов или блоков сложной цепи с характеристикой, близкой к заданной характе- ристике, которую желательно иметь. Подобная задача может быть названа задачей синтеза нелинейного резистивиого двухполюсника. Достаточно общее решение указанной задачи можно получить, если исполь- зовать кусочно-линейную аппроксимацию заданной характе- ристики. Каждый линейный участок кусочной характеристи- ки может быть реализован двухполюсным блоком, составлен- ным из простейших элементов и имеющим кусочно-линейную характеристику Элементарный блок, реализующий любой кусочно-линей- ный участок характеристики, должен иметь простейшую кусоч- но-линейную характеристику с двумя линейными участками и регулируемыми параметрами — места расположения точки излома и угла между линейными отрезками Требования к элементам, входящим в блок: 1) характеристики элементов должны быть близкими к иде- ализированным (с прямолинейными участками), чтобы их ком- бинация могла дать простейшую кусочно-линейную характе- ристику, 2) элементы должны быть простыми и серийно выпускать- ся промышленностью; 3) параметры характеристик должны легко регулировать- ся Указанным требованиям удовлетворяют три элемента: по- лупроводниковый диод, характеристика которого близка к ха- рактеристике идеального диода, линейный резистивный эле- мент и источник постоянного напряжения или тока. Парамет- ры последних двух элементов можно легко регулировать в ши- роких пределах Рассмотрим характеристики элементарных блоков, состоящих из последовательного и параллельного сое- динений перечисленных трех элементов Последовательное соединение (рис 1 24, а). На рис. 1.24,6 "оказаны в совмещенных координатах характеристики иде- ального днодя (/'), линейного резистора (2) и источника напря- жения (,'?) Так клк при последовательном соединении через все 43 элементы протекает один и тот же ток и напряжения элемен- тов складываются, для получения вольт-амперной характерис- тики всей цепи следует просуммировать абсциссы графиков /, 2 и 3. Ломаная линия /—2 (рис. 1.24, г) получена суммировани- ем абсцисс графиков 1 и 2 — характеристик идеального диода и линейного резистора. Отрицательная ветвь R элемента сре- зается полностью диодом, который не пропускает обратного тока. Добавив к графику /—2 постоянное напряжение U ис- точника, получим искомую ха- рактеристику, которая состоит из горизонтального участка, на- правленного по оси и, и наклон- ного участка, направленного под углом, тангенс которого равен \lR. Точка излома определяется напряжением источника и мо- жет перемещаться по оси и регу- лированием напряжения U с по- мощью потенциометра, подклю- ченного к источнику, а также изменением полярности источни- ка. Угол наклонного участка также легко регулируется изме- нением сопротивления резистора. Полученная характеристика является вогнутой — ее произ- водная растет с повышением м. Вид характеристики обусловли- вается тем, что прямое напряжение на диоде равно разности и — U. При и <. U напряжение на диоде отрицательно и ток диода и схемы равен нулю. При и ~^ U диод открывается и в схему включается резистор. Источник постоянного напряже- ния в рассматриваемом блоке (если его применение нежела- тельно) может быть заменен пассивным элементом в виде ла- винного диода или стабилитрона, характеристика которого имеет вертикальный участок (см. рис. 1.9) — положительный, когда стабилитрон включен в обратном направлении. Схема блока со стабилитроном приведена на рис. 1.24, в. Параллельное соединение (рис. 1.25, а). На рис. 1.25, а показана схема, дуальная предыдущей и состоящая из парал- лельно соединенных идеального диода, линейного резистора и источника тока. Как указывалось, элементом, дуальным идеальному диоду, является также идеальный диод, но со встречно включенными выводами. Характеристика такого дио- да, полученная поворотом обычной характеристики на 180'' i4 показана на рис. 1.25, б (график /). Там же приведены харак- теристики линейного резистора 2 и источника тока 3. При параллельном соединении напряжения на всех эле- ментах одинаковы, а общий ток равен сумме токов всех эле- ментов. Просуммировав ординаты трех графиков, получим график искомой характеристики блока в виде ломаной линии (рис. 1.25, б), состоящей из вертикального участка, совпадаю- щего с осью i и наклонного участка, направленного под углом, тангенс которого равен G. Точка излома определяется током источника. Точку излома характеристики можно регулировать делителем тока, подключенным к источнику, и переключени- ем его выводов, а регулировку угла наклонного участка — изменением сопротивления резистора. Полученную характе- ристику, производная которой уменьшается с ростом и, назы- вают выпуклой. Вид характеристики обусловливается тем, что прямой ток диода равен разности / — i тока источника и внеш- него тока. При t' I диод размыкается и в схе- му включается резистор. Источник постоянного тока при не- обходимости может быть заменен пассивным нелинейным эле- ментом, имеющим характеристику с горизонтальным участком. Если переключить выводы блока или изменить на обрат- ные выводы диода и источника, то характеристика получится поворотом исходной характеристики на 180° вокруг начала ко- ординат. Для последовательного и параллельного блоков с переключенными выводами, как легко убедиться, получим ха- рактеристики соответственно выпуклую и вогнутую. Перейдем теперь к построению искомой цепи с заданной ха- рактеристикой из рассмотренных однотипных блоков, соеди- ненных между собой соответствующим образом. Прежде всего заданная характеристика, как говорилось, подвергается кусочно-линейной аппроксимации. Далее кусоч- 45 ключается: накачка не влияет на входной сигнал. Но неиз- бежное чрезмерное повышение частоты входного сигнала не всегда бывает желательным, что является недостатком преоб- разования «вверх». 2. Преобразование «вниз» с понижением частоты и усиле- нием входного сигнала. Для получения усиления мощности необходимо иметь п •< 0, в частности ч = —1. Тогда частота колебаний на выходе к»з ^ tt>i + "иг = ci»i — сод <: 0. (10.29) Частота накачки в этом случае со^ > Юг Абсолютное зна- чение ь)з. являющееся частотой колебания на выходе, |йз1 == = /1|СО, (О,. При учете знаков из < 0, nog •< 0 согласно (10.16) должен измениться знак мощности входного сигнала: Р^ <: 0. Это означает, что при преобразовании «вниз» энергия источника накачки преобразуется не только в энергию выходного сигна- ла, но также в энергию входного сигнала. Подобный режим, называемый регенеративным, можно учесть введением в ветви / и 3 отрицательных сопротивлений. В рассматриваемом спо- собе усиление мощности не связано жестко с отношением час- тот, а зависит от интенсивности процесса преобразования энергии источника накачки в энергию выходного сигнала. Но при некоторой критической интенсивности может нарушить- ся устойчивость: цепь перейдет в автоколебательный режим самовозбуждения колебаний. В этом состоит недостаток рас- смотренного вида преобразования. Двухконтурные схемы параметрического усиления приме- няются в тех случаях, когда частоты входного и выходного (комбинационного) колебаний различны и, следовательно, тре- буются два фильтра. Если в качестве выходной выбрана ком- бинационная частота <»з == "а — ^ii TO ее величина может быть принята близкой к входной частоте (ид — MI w ioi, когда частота накачки (Og w 2(0i. При этом отпадает необходимость в специальном выходном контуре, достаточно иметь один входной контур, в котором существуют два колебания, уси- ленные за счет энергии источника накачки («регенеративного» эффекта). При частоте накачки Og w 2<»i получим синхронный режим с одним колебанием. Следует отметить, что рассмотренные параметрические устройства применяются в основном на сверхвысоких часто- тах. В качестве контуров узкополосных фильтров в них ис- пользуются обычно отрезки кабелей или волноводов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной книге изложены начальные сведения по теории нелинейных электрических цепей, необходимые для будущей инженерной деятельности, изучения специальных дисциплин и чтения литературы с целью углубления знаний и овладения новыми вопросами, что совершенно необходимо в век быстрого развития всех областей радиоэлектроники и электротехники. Отсутствие в математике достаточно общих методов реше- ния нелинейных уравнений, а также уравнений с переменными коэффициентами существенно затрудняет исследование свойств и анализ процессов в нелинейных цепях и цепях с переменны- ми параметрами. Только с помощью численных методов уда- ется определять реакции конкретных цепей с численно задан- ными параметрами и воздействиями. Трудность выявления разнообразных свойств нелинейных цепей связана с богатством и непредсказуемостью явлений, которые могут наблюдаться в них. Этим же объясняется факт очень широкого применения на практике нелинейных уст- ройств. Для приближенного анализа и исследования процессов в нелинейной цепи необходимо из-за отсутствия общего подхо- да привлекать по возможности ряд приемов. Для этого очень важно знать и уметь применять как изложенные в книге, так и другие методы, имеющиеся в современной литературе, часть из которой приведена в списке литературы. ЛИТЕРАТУРА Учебники 1.Атабеков Г. И. и др. Теоретические основы электротех- ники. Ч. 2.—М.: Энергия, 1979. 2. Б а с к а к о в С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Высш. школа, 1983. 3. Б е с с о н о в Л. А. Теоретические основы электротехники. Ч. 1, 2.—М.: Высш. школа, 1978. 4. И о н к и н П. А. и др. Теоретические основы электротех- ники. Т. II. — М.: Высш. школа, 1976. 5. К у ш н и р В. ф., Ферсман Б. А. Теория нелинейных электрических цепей. — М.: Связь, 1974. 6. Н е и м а н Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические ос- новы электротехники. Т. 2. — Л.: Энергия, 1981. Учебные пособия и монографии 1. Андронов А. А. и др. Теория колебаний. — М.: Физмат- гиз, 1959. 2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории колебаний.—М.: Наука, 1974. 3. Д а н и л о в Л. В. Электрические цепи с нелинейными R- элементами. — М.: Связь, 1974. 4. И о н к и н П. А. и др. Основы инженерной электрофизики. М.: Высш. школа, 1972. б.Каннингхем В. Введение в теорию нелинейных систем/ Пер. с англ. •— М.: Госэнергоиздат, 1962. 6. Колосов С. П., Сидоров Ю. А. Нелинейные двух- полюсники и четырехполюсники. — М.: Высш. школа, 1981. 7. К о н т о р о в и ч М. И. Нелинейные колебания в радиотех- нике. — М.: Сов. радио, 1973. 8. М и г у л и н В. В. и др. Основы теории колебаний. — М.: Наука, 1978. 9. С а м о и л о К. А. Метод анализа колебательных систем второго порядка.—М.: Наука, 1978. 10. С и н и ц к и и" Л. А. Элементы качественной теории нели- нейных электрических цепей. — Львов: Вища школа, 1975. 11. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах/Пер, с англ. •—М.: ИЛ, 1952. 12. Ф и л и п п о в Е. Нелинейная электротехника/Пер.с нем.—М.: Энергия, 1968. 13. X а р к е в и ч А. А. Нелинейные и параметрические яв- ления в радиотехнике. — М.: Гостехиздат, 1956. 14. X а я с и Т. Нелинейные колебания в физических системах/ Пер. с англ. — М.: Мир, 1969. 15. X ь ю з В. Л. Нелинейные электрические цепи/Пер, с англ. — М.: Энергия, 1967. 16. Ч у а Л. О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ элек- тронных схем/Пер, с англ.—М.: Энергия, 1980. 348 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автономная цепь 174 .Алгоритмы Ньютона—Рафсона 93 — Рунгс Кутта 245 — Эйлера 243, 246 Алгоритмы многошаговые 245 — одношаговыс 24'3 Анализ графический 68 — динамических цепей 148 — кусочно-линейный 73 — резистивных цепей '59 — численный 93, 241 Аппроксимация 36 — интерполяцией 38 — кусочно-линейная 41 — срсднсквадратическая 39 — степенная W Ван-дер-Поля уравнение '173 Варикал 146 Вариконд 146 Варистор 18 Вольтметр амплитудный '289 Выпрямление двухполупериодное 115 — переменного тока 113 — полупсриоднос 113 Гармоническая линеаризация 276 Генератор гармонических колеба- ний 310 — резистивно-емкостный 322 — трсхточечный 321 Главный контур 85 Главное сечение 85 Граф цепи 82 Графический метод 68, 224 Демодуляция 291 Детектор модулированных колеба- ний 291 Динамическая цепь 148 Динистор 22 Диод 20, 49 — идеальный 31 — лавинный 20 — обращенный 22 — полупроводниковый 20 — туннельный 21 — электровакуумный 18 Дискретизация 128 Дискретные схемы 98, 254 Дуфинга уравнение 174 Емкостный элемент 7 — — нелинейный 7 — — параметрический 326 Емкость динамическая 7 Изоклина '225 Индуктивность динамическая 8 Индуктивный элемент 7 — — нелинейный 8 — — параметрический 328 Источник напряжения 30 — тока 30 — управляемый 31 Итерации метод 96 Кирхгофа закон напряжений 83 — закон токов 83 Ключ диодный 125 — идеальный il'24 — тнрпсторный 1127 — транзисторный 126 Колебания параметрические 341 Колебательный контур линейный 201 — — нелинейный 173 Компаратор 35 Контур емкостный 150 Крутизна триода 171 Лампа неоновая 19 — электровакуумная 27 Линеаризация 183 Логические схемы 129 Метод возмущений 259 — гармонической линеаризации 272 — изоклин 216, 224 — Льенара 219 — усреднения 266 Модуляция амплитудная 122 Мультивибратор на двухполюсни- ке 299 — на усилителе 305 Мутатор 58 Мэнли—Роу теорема 335 Накачка 334, 341 Намагничивание 133 Начальные условия 189 Независимость уравнений 84 Нормальная форма уравнений 153 Ньютона-Рафсона алгоритм 93 349 Обратная связь 298 Ограничения схемы 116 Особенности нелинейных цепей 9 Параллельное соединение 70 Параметрическое усиление 345 Переключаемая цепь 238 Переменная состояния 152 Порядок цепи 149 Последовательное соединение 68 Предельный цикл Преобразование спектров 107 — схем 67 — характеристик 54 — частоты 122 Пространство состояния 157 Рабочая точка 102 Резистивный элемент 5 Рефлектор 57 Ротатор 56 Рунге—Кутта алгоритм 245 Самовозбуждение колебаний 316 Седловая точка 211 Сечение 83 — индуктивное 150 Скалор 55 Смещение 102 Сопротивление динамическое 6 — статическое 6 Состояние равновесия 178, 181 Стабилизация напряжения 119 Стабилитрон газовый 20 — полупроводниковый 20 Схемы замещения 49 — кусочно-линейные 49 — ограничения 116 Термистор 26 Тиристор 26 Траектория 185 — цепи 1-го порядка 187 — цепи 2-го порядка 200 Термистор биполярный 28 — полевой 28 Триггер 292 Триод электровакуумный 27 Узел неустойчивый 211 — устойчивый 211 Умножитель частоты 122 — параметрический 345 — операционный 34 Уравнения динамических ц&пей 148 — резястивных цепей 87, 90 — состояния 152 Условие стационарности колеба- ний Устойчивость асимптотическая 182 — — по Ляпунову 180 — — состояния равновесия 180 — — численная 248 Фазовая плоскость 200 Фиксатор амплитуды 289 Фокус неустойчивый 212 — устойчивый 212 Фтотдиод 25 Функциональное уравнение 59 Характеристика вебер-амперная 7 — вольт-амперная 5 — входная 62, 68 Характеристика кулон-вольтная 7 — передаточная 62, 72 — типа 14 — типа 15 Центр 212 Цепь автономная 174 — динамическая 148 — емкостная 146 — индуктивная 136, 142 — магнитная 139 — резистивная 59 Частота комбинационная 110 Частотно-энергетические соотноше- ния 333 Численное решение — — динамических цепей 241, 243 — — р.езистивных цепей 93, 98 — функциональных уравнений 93 Элемент активный 6 — двухполюсный 7 — емкостный 7 — индуктивный 7 — пассивный 6 Элемент с переменным парамет- ром 325, 326, 328 — трехполюсный 23 — управляемый 23 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ........................ 3 Введение ......................... 5 § B.I. Общие сведения о нелинейных элементах ..... 5 § В.2. О некоторых особенностях нелинейных цепей ... 9 Глава 1. Характеристики элементов и уравнения нелинейных резистивных цепей .................... 12 § 1.1. Общие сведения ................. 12 § 1.2. Характеристики резистивных двухполюсных элементов 17 § 1.3. Управляемые двух- и трехполюсные резистивные элементы .................... 23 § 1.4. Некоторые виды идеализированных нелинейных элементов .................... 29 § 1.5. Функциональные блоки ............. 33 § 1.6. Аналитическое представление характеристик ... 36 § 1.7. Получение схем с заданными вольт-амперными ха- рактеристиками . . . ............. 43 § 1.8. Кусочно-линейные схемы замещения нелинейных элементов .................... 49 § 1.9. Преобразование нелинейных характеристик .... 54 Глава 2. Методы анализа нелинейных резистивных цепей 59 § 2.1. Задача анализа нелинейных реэистивных цепей . . 59 § 2.2. Определение реакции по заданному входному сиг- налу и характеристике цели .......... 64 § 2.3. Метод преобразования схем ........... 67 § 2.4. Анализ нелинейных резистивных цепей методом по- следовательных кусочно-линейных схем ...... 73 § 2.5. Уравнения нелинейных резистивных цепей .... 80 § 2.6. Узловые уравнения нелинейных резистивных цепей 90 § 2.7. Численные методы решения функциональных урав- нений ...................... 93 § 2.8. Численный анализ по дискретным линеаризованным схемам ..................... 98 § 2.9. Определение рабочих точек нелинейных элементов 102 § 2.10. Преобразование спектров сигналов нелинейной це- пью ....................... 107 Глава 3. Применение нелинейных резистивных цепей . . .111 § 3.1. Общие замечания ................ 111 § 3.2. Выпрямление переменного тока .......... 113 § 3.3. Схемы ограничения ............... 1 !6 § 3.4. Стабилизация постоянного напряжения ... . . . . .119 § 3.5. Схемы преобразования спектров ......... 122 § 3.6. Электронные ключи ............... 124 § 3.7. Логические схемы ................ 129 Глава 4. Нелинейные индуктивные и емкостные цепи ... 131 § 4.1. Нелинейные индуктивные элементы ....... 131 § 4.2. Расчет нелинейных цепей, составленных из индук- тивных элементов ................ 136 § 4.3. О расчете магнитных цепей .......... 139 § 4.4. Некоторые применения нелинейных индуктивных цепей ...................... 142 § 4.5. Нелинейные емкостные элементы и емкостные цепи 146 Глава 5. Уравнения нелинейных динамических цепей ... 148 § 5.1. О порядке цепи и выборе переменных уравнений . . . 148 § 5.2. Уравнения состояния электрической цепи ..... 152 351 § 5.3. Составление уравнений состояния электрической цепи ....................... (58 § 5.4. Примеры составления уравнений состояния . 167 § 5.5. О решении уравнений состояния. Состояния равно- весия автономных цепей ............. 174 § 5.6. Об устойчивости состояний равновесия ...... 180 Глава 6. Метод траекторий в пространстве состояния . . .- 185 § 6.1. Общие замечания . . ............. 185 § 6.2. Траектории в одномерном пространстве ...... 187 § 6.3. Процессы и траектории автономных цепей первого порядка с многозначными характеристиками . . . 193 § 6.4. Понятие о траекториях на плоскости состояния . . . 200 § 6.5. Точки равновесия и предельные циклы на плоскости состояния ..... ................ 210 § 6.6. Построение траекторий на плоскости состояния . . . 214 Глава 7. Методы анализа нелинейных динамических цепей 223 § 7.1. Общие замечания ................ 223 § 7.2. Графический метод анализа цепи первого порядка 224 § 7.3. Кусочно-линейный метод анализа нелинейных ди- намических цепей ................. 228 § 7.4. Расчет переключаемых цепей первого порядка . . . 238 § 7.5. О численных методах решения уравнений состояния 241 § 7.6. Алгоритмы решения уравнений состояния .... 243 § 7.7. Понятие о численной устойчивости. Дискретные мо- дели цепи ... ................. 248 Глава 8. Приближенные аналитические методы исследования периодических режимов . . ................ 256 § 8.1. Общие замечания . . ............. 256 § 8.2. Метод возмущений . . ............. 259 § 8.3. Метод усреднения ................ 266 § 8.4. Метод гармонической линеаризации (частотный метод) 272 § 8.5. Комплексные эквивалентные функции нелинейных элементов цепи ................. 280 § 8.6. Нелинейный колебательный контур ........ 282 Глава 9. Применения нелинейных динамических цепей . . . 288 § 9.1. Общие замечания ................ 286 § 9.2. Диодная /?С-схема ............... 287 § 9.3. Триггеры .... ............... 292 § 9.4. Общая характеристика автоколебательных цепей 297 § 9.5. Мультивибраторы на двухполюсных резисторах 299 § 9.6, Мультивибраторы на усилителях ......... 305 § 9.7. LC-генераторы гармонических колебаний .... 310 § 9.8. Условия стационарности. Режимы самовозбуждения 316 § 9.9. Трехточечные LC-генераторы. Д?С-генераторы .... 321 Глава 10. Электрические цепи с переменными параметрами 324 § 10.1. Элементы электрических цепей с переменными пара- метрами .................... 324 § 10.2. Преобразование частоты в параметрической цепи 331 § 10.3. Об анализе цепей с переменными параметрами . . . 335 § 10.4. О параметрическом возбуждении колебаний . . . • 3^ § 10.5. О параметрическом усилении колебаний . . . . • alt) Заключение . . . ..................... "'" Литература ......................... U4U Предметный указатель .................... " П.Н.МАТХАНОВ ОСНОВЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Нелинейные цепи Издание второе, переработанное и дополненное Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов электротехнических специальностей вузов МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА" 1986