6ФЗ А 67 УДК 621.382 Рецензенты: В. К- Захаров, Ю. И. Лыпарь Анисимов В. И. А 67 Топологический расчет электронных схем. Л., «Энергия», 1977. 240 с. с ил. В книге излагается методика инженерного расчета электронных схем, основанная на использовании обобщенных сигнальных графов. Приводится теория графов этого вида и на их основе устанавливается общая методика топологического расчета основных качественных показателей электронных схем. Книга предназначена для специалистов по проектированию электронных устройств различного типа и назначения, а также для студентов старших курсов электротехнических и радиотехнических специальностей. 30406-138 051 (01)-77 183-77 6ФЗ Издательство «Энергия», 1977 ПРЕДИСЛОВИЕ К топологическим методам расчета электронных схем относятся методы, позволяющие получать искомый результат на основании рассмотрения свойств некоторых топологических структур. В за- висимости от характера таких структур все топологические методы можно разделить на две группы. Исходной топологической структурой для методов первой группы является полюсный граф, определяемый выбранной системой от- счета напряжений и токов многополюсных элементов и способом их соединения в анализируемой схеме. В простейшем случае, когда схема состоит только из двухполюсников, ее полюсный граф совпа- дает со структурой самой схемы. Объектом рассмотрения в полюс- ном графе является совокупность всех его деревьев того или иного вида, перечисление которых позволяет сразу записать искомый результат. Исходной топологической структурой для методов второй группы является сигнальный граф, отображающий тем или иным способом систему уравнений, описывающих анализируемую схему. Объектом рассмотрения в такой структуре является совокупность некасаю- щихся контуров и путей, перечисление которых и позволяет найти искомый результат. Методы первой группы достаточно полно освещены в литературе [9, 12, 23, 29, 46, 53] и в настоящей работе не рассматриваются. Рассмотрению методов второй группы также посвящен ряд ра- бот [1, 17, 25, 31, 44, 45, 49]. Однако широкому распространению методов этой группы препятствует отсутствие достаточно удобной для практического применения методики прямого построения сиг- нального графа схемы, минуя этап формирования описывающих ее уравнений. Существующие способы решения такой задачи при- водят либо к неоправданно сложным^структурам сигнальных гра- фов, либо требуют задания многополюсных элементов однородными системами параметров, что приводит к очень большому числу взаимно сокращающихся слагаемых при вычислении схемных функций. В значительной степени указанная ситуация объясняется тем, что положенный в основу этих способов сигнальный граф Мэзона соответствует системе уравнений, приведенной к причинно-следст- венной форме [25, 51, 52]. Последнее обстоятельство требует либо использования для описания схемы специальных координатных базисов, приводящих к громоздкой структуре сигнального графа [25, 31 ], либо искусственного введения избыточности в сигнальный I* 3 граф, что, в свою очередь, приводит к значительному количеству взаимно-сокращающихся слагаемых [17]. Вместе с тем, следует отметить, что предложенные Мэзоном то- пологические формулы передачи позволяют исключительно эффек- тивно находить искомые схемные функции и характеризуются весьма простой процедурой определения знака слагаемых. Присущие графу Мэзона ограничения на структуру исходных уравнений снимаются при использовании графа Коутса, который соответствует системе уравнений общего вида [47, 48]. Однако граф Коутса не получил сколько-нибудь широкого распространения вследствие чрезвычайно громоздкой процедуры определения знака слагаемых. Сильные стороны графа Мэзона и графа Коутса (простая проце- дура определения знака слагаемых первого и общность исходных уравнений второго) объединяются в обобщенном сигнальном графе [5]. Использование графа этого типа позволяет установить простую методику топологического расчета электронных схем, не требующую предварительного формирования описывающих схему уравнений и позволяющую характеризовать многополюсные эле- менты произвольными системами параметров [7, 8]. Рассмотрению этой методики и посвящена настоящая книга. Все пожелания и замечания просьба направлять по адресу: 192041, Ленинград, Д-41, Марсово поле, 1. Ленинградское отделе- ние издательства «Энергия». ГЛАВА ПЕРВАЯ ОБОБЩЕННЫЙ СИГНАЛЬНЫЙ ГРАФ И ЕГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1-1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-1-1. Общая характеристика сигнальных графов Электронная схема представляет собой совокупность соединен- ных определенным образом многополюсных элементов, включаю- щую в себя как пассивные элементы (резисторы, конденсаторы, индуктивности, трансформаторы, тонкопленочные 7?С-цепи и т. д.), так и активные многополюсники (биполярные и униполярные тран- зисторы, интегральные схемы и т. д.). Несмотря на то, что многие из таких многополюсных элементов имеют нелинейные характери- стики, большинство задач, возникающих при проектировании элек- тронных схем, может быть решено в линейном приближении. Это объясняется тем, что многополюсные элементы электронных схем, как правило, работают в режиме малого сигнала, что позволяет осуществить линеаризацию их характеристик. Однако и в тех слу- чаях, когда представление о малости сигнала оказывается недопу- стимым и необходимо учитывать нелинейные свойства многополюс- ных элементов, решение соответствующей нелинейной задачи обычно сводится к линейной, путем введения итерационной про- цедуры. Таким образом, подавляющее большинство задач, возникающих при расчете электронных схем, сводится к решению систем линей- ных уравнений. Такое решение может быть осуществлено двумя принципиально различными способами. Первый способ предусматривает определение искомых перемен- ных в численном виде, в связи с чем этот способ обычно называют численным. Второй способ преследует цель определения искомых переменных в виде аналитических соотношений, устанавливающих явную зависимость этих переменных от параметров многополюс- ных элементов схемы. Такой способ решения задачи удобно назвать символьным. При проектировании электронных схем, особенно на его на- чальных этапах, наибольшее значение имеет символьный способ решения описывающих схему уравнений, поскольку только сим- вольная форма представления результата расчета позволяет оце- нить влияние тех или иных параметров на характеристики проекти- руемой схемы. Однако решение систем линейных уравнений в сим- вольной форме обычными алгебраическими методами связано со значительной затратой времени и практически может быть осу- ществлено лишь в случаях, когда число уравнений системы неве- лико. Никаких преимуществ при решении задачи в символьном виде не дает и переход от скалярной формы записи исходных урав- нений к матричной. Последнее объясняется тем, что все известные способы обращения матриц эффективны только в случае, когда матрица представлена в виде числовой таблицы. Получение результата в символьной форме значительно упро- щается при переходе к топологическим способам решения систем линейных уравнений. Такие способы основаны на построении то- пологических структур, соответствующих исходной системе урав- нений, и на введении определенных правил, позволяющих найти искомое решение непосредственно по виду этих структур. Тополо- гические структуры, отображающие системы линейных уравнений, обычно называют сигнальными графами. Впервые такой путь решения систем линейных уравнений был предложен С. Мэзоном [51, 52]. Для этой цели им был введен сиг- нальный граф, соответствующий системе линейных уравнений и включающий в себя совокупность вершин, отображающих искомые и задающие переменные, и совокупность дуг, отображающих ко- эффициенты уравнений. Для построения сигнального графа Мэзона исходная система уравнений должна быть записана в причинно-следственной форме, так, чтобы каждое уравнение системы было разрешено относительно одной из искомых переменных. Если система содержит п уравнений с п искомыми переменными х^, . . . , д:„ и г задающими перемен- ными х^, . . . , х^,^., то причинно-следственная форма записи этой системы имеет вид п+г xl = 2-' tijXj, /=1 :1,2,. . . ,п. (1-1) Согласно определению [251, соответствующий этой системе сигнальный граф Мэзона включает в себя: а) совокупность вершин [хц . . . , х^\, отображающих иско- мые переменные, и совокупность вершин-истоков !^„i_i, . . • , xn+r\^ отображающих задающие переменные; б) совокупность дуг \Xi, х,}, i == 1, 2, . . . , n, j =-- 1, 2, . . ., (п + г), каждая из которых (л;,, х,) направлена в вершину х, из вершины х, и имеет вес, определяемый коэффициентом 1ц при /-и переменной в t-м уравнении.1 1 В целях согласования индексации весовых коэффициентов дуг графов и коэффициентов уравнений (матриц), здесь и в дальнейшем, в отличие от обозначений, принятых в (10, 19, 24], первый индекс в обозначении дуги (х{, Xj) и ее веса 1ц соответствует индексу вершины хс, в которую дуга захо- дит, а второй — индексу вершины Xj, из которой эта дуга исходит. В общем случае в правой части f-го уравнения системы (1-1) может быть слагаемое, содержащее переменную ^, представленную в левой части этого уравнения. При этом в графе будет содержаться дуга {Х{, Х[), заходящая в ту же вершину, из которой она исходит, т. е. петля при вершине Xf. Если же в правой части каждого из уравнений системы (1-1) не имеется слагаемого, содержащего переменную, представленную в левой части этого уравнения, т. е. если эта система записывается в виде п+г tax,, i==l,2, . . . , п, (1-2) то сигнальный граф Мэзона не имеет петель при вершинах. Такая структура является наиболее характерной для графов этого типа [1, 25]. Топологическое решение системы уравнений (1-1) осущест- вляется по виду соответствующего этой системе сигнального графа Мэзона на основании топологической формулы передачи [25] Т S^.A, i kl (1-3) где Д — определитель графа; P^ — вес t'-ro пути от вершины-ис- тока Х[ к вершине х^', А,— определитель части графа, не касаю- щейся 1-го пути от 1-и вершины-истока к fe-й вершине. При этом определитель графа Д находится на основании соот- ношения 125] A==1--;S^1)+:SЦ2)-2ZЛЗ>+.... (1-4) k k k где L^ — произведение fe-й возможной комбинации г некасающихся контуров. В тех случаях, когда исходная система уравнений задана в при- чинно-следственной форме (1-1) и число уравнений этой системы относительно невелико, ее топологическое решение по виду сиг- нального графа Мэзона не составляет каких-либо особых затрудне- ний. Особенно просто эта задача решается, когда среди коэффици- ентов 1ц системы (1-1) многие имеют нулевые значения. Пример 1-1. Пусть имеется система уравнений, записанная в причинно- следственной форме Ч ^ fiM ] Хд == tyiXi + t^Xs; t (1-5) Ха == tslXi + /34-^ l и требуется найти значения переменных х^ и Ху (или их отношения к задаю- щему воздействию х^). Соответствующий системе уравнений (1-5) сигнальный граф Мэзона при- веден на рис. 1-1, о. В приведенной структуре можно выделить два контура, произведение весовых коэффициентов дуг которых М'^^12' ^=t^t^. Следовательно, в соответствии с соотношением (1-4), определитель графа Д = 1 - (L а определитель Ai = 1. Аналогичные величины для пути от Хц к Xs определяются выражениями Р!= ^ дl= } —Wl2- Следовательно, согласно топологической формуле передачи (1-3), иско- мое решение записывается в виде Xl Х4 Хз '34'23'12_______. 7\4= 1 — (Wl2 + ^3lWl2) 7-34= <34(l-Wia) Х4 1 —— (<21<12 + ^iW^) Однако задача топологического решения системы линейных уравнений на основе сигнального графа Мэзона существенно ус- ложняется, если исходная система задана в наиболее общей форме п+г •^ S с1цХ,-=0, 1=1, 2, ... п. (1-6) В этом случае для построения сигнального графа Мэзона необ- ходимо предварительно привести систему (1-6) к причинно-след- ственной форме (1-1). Такое приведение можно осуществить двумя различными способами. Первый способ заключается в том, что к обеим частям каждого i-го уравнения системы (1-6) прибавляется х^, а затем все слагае- мые вида anXj переносятся в правую часть уравнения. В результате система уравнений (1-6) приводится к причинно-следственной форме (1-1), при этом коэффициенты полученной системы уравнений свя- заны с коэффициентами исходной системы соотношениями ^.=-а,, (j^i); ^,=1-я„. (1-7) Отсюда очевидно, что первый способ приведения исходной си- стемы уравнений к причинно-следственной форме обязательно свя- зан с появлением петель с весом 1ц = 1— а,, при вершинах графа, что значительно усложняет последний и приводит к появлению большого числа взаимно сокращающихся слагаемых при вычисле- нии определителя по формуле (1-4). Пример 1-2. Рассмотрим решение системы уравнений ацХ1 + OlaXa = 0; flglXi + Даа^г + 'Va = 0; egl^i + Язз^з + ^ч!-^ == О топологическим путем на основании графа Мэзона. Приводя систему уравнений (1-8) к причинно-следственной форме, по- лучим Xi = (1 — ац) Xl — ОиХд; Ха = — aal^i + (1 — ^ -^ — "23Х3; Ху = — QaiXi + (1 — "за) Хз — 034Х4. Соответствующий этой системе граф Мэзона изображен на рис. 1-1, б. В приведенной структуре можно выделить: а) пять контуров (включая петли при вершинах), произведение весов дуг которых L^l-an; L^=\-a^ L^=\-a^ L1," = a^i; ^l,1^ - Wi^w б) три системы пар некасающихся контуров с весовыми функциями "22 •)(1 11; -"зз): ^^^^('-"зз)- 9 в) одну систему некасающихся контуров, включающую в себя три кон- тура, произведение весов дуг которых L<3>: "22 "33 • Следовательно, в соответствии с соотношением (1-4) определитель графа записывается в виде А »= 1 — [(1 — оц) + (1 — "22) + (! — "за) -4- Ola^l — 031023012] + + [(1 -аи) (1 - От) + (1 - Oil) (1 - а;.з) + (1 - Ои) (1 - "зз) + + oia0ai (1 — Озз)] - [(1 — оц) (1 — а^) (1 - 033)]. После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем Д = 1 — 1 + "11 ~ 1 + 022 — 1 + Озз — Ol2"2i + Oai^sttu + ' — ^l — "m + + Оцв22 + 1 — Oil -- "33 + Oll"33 + 1 — 022 — °33 + а22"83 + '^^l — — вl2в2taЗЭ — 1 + Oil + °22 + "ЗЗ — ^l0^ — в).la33 — Я22a33 + 011022033 = = "з^гз^г — я^а^зз + °ца22°'зз. Дальнейшее решение проводится на основании топологической формулы (1-3). Так, например, если искомой переменной является х^, то i"i - ^^З0^ "зАзО^ — "Н^^ЗЗ + "li"22°33 Таким образом, из 31 слагаемого в выражении для определителя после приведения подобных членов и сокращения в окончательном результате остается только 3 слагаемых. Приведенный простой пример наглядно иллюстрирует нецеле- сообразность использования первого способа приведения исходной системы уравнений к причинно-следственной форме, положенной в основу построения графа Мэзона. Второй способ приведения системы уравнений (1-6) к требуемой форме (1-1) заключается в делении каждого г-го уравнения на ко- эффициент йц ^ 0 с последующим перенесением слагаемых вида а.цХ//ац при j ^ i в правую часть уравнения. В результате полу- чаем систему вида (1-1), где —а„1ац. (1-9) Пример 1-3. Система уравнений, рассмотренная в примере 1-2, в резуль- тате приведения к причинно-следственной форме по этому способу примет вид "12 ' -^а» "11 «21 ^ «23 ^ . °2з 1 °22 3' Ху: "33 Соответствующий такой системе уравнений граф Мэзона приведен на рис. 1-1, в. 10 В приведенной структуре можно выделить только два контура с весо- выми функциями Поскольку систем некасающихся контуров в графе не существует, то его определитель, согласно (1-4), имеет вид Д=1— 021 gl2 "22 "11 Д31 ^23 "12 Если, например, искомой переменной является x-i, то, согласно соотно- шению (1-3), получаем _ ^•М ^23 ^l ^ = ZL ^ Л'1^1. ^ _______"83 Даа ^а_____ . x^ Д 1 _ ^i Qia i Дз! Я23 ^la "2Э ^l ОЗЗ «32 "11 Обращает на себя внимание значительная простота решения этого при- мера по сравнению с примером 1-2. Однако полученный здесь результат пред- ставлен в форме, неудобной для анализа влияния исходных коэффициентов системы (1-6) на ее решение. Хотя второй способ приведения исходных уравнений к причинно- следственной форме и не связан с введением избыточности в сиг- нальный граф, этот способ также не свободен от недостатков. Во-первых, очевидно, что преобразование исходных уравнений (1-6) к требуемому виду (1-1) возможно лишь в случае, если урав- нения исходной системы записаны в такой последовательности, что все коэффициенты ац, на которые осуществляется деление сла- гаемых каждого уравнения, отличны от нуля. Хотя для любой системы уравнений, определитель которой отличен от нуля, указан- ная последовательность существует, ее отыскание для систем с большим числом уравнений и значительным количеством нулевых коэффициентов связано с известными затруднениями и дополни- тельной затратой времени. Во-вторых, при таком способе приведения весовые коэффици- енты дуг сигнального графа связаны с коэффициентами исходных уравнений дробно-линейными функциями вида (1-9), что сущест- венно затрудняет анализ чувствительности передаточных функций к вариации параметров исследуемых систем. Отсюда очевидно, что необходимость приведения исходных урав- нений к причинно-следственной форме ограничивает практические возможности применения гра4)а Мэзона. Вместе с тем, достоинст- вом графа этого типа следует считать предельно^ростую процедуру вычисления знака слагаемых, который зависит только от четности числа некасающихся контуров. Число последних в случае отсутст- вия петель при вершинах, как правило, невелико. Ограничения на способ записи исходной системы уравнений снимаются при использовании для решения этой системы топологи- ческой структуры иного типа, которая была введена Коутсом [47]. 11 Граф Коутса непосредственно соответствует системе линейных урав- нений, записанной в наиболее общем виде- п+г S с1цХ„ = О, /=1 1=1,2, (1-10) и включает в себя: а) совокупность вершин, отображающих переменные х,; б) совокупность дуг, отображающих коэффициенты ац, при этом дуга (х,, Xj) направлена в i-ю вершину из /-и и имеет вес а,,. Отметим, что, согласно определению, в графе Коутса имеются петли при вершинах с весом а,,, при этом во избежание недоразу- мений даже при а.ц = 0 следует вводить в граф соответствующие петли с нулевым весом. Решение системы уравнений (1-10) топологическим путем по виду графа Коутса находится на основании соотношения [47, 48] ^(-1)"+S;,(G'; т' ^ х^ _ _о________ '/ ^(-ir^p^ р " ^ - V/ ,^+^ (1-11) где Ср (Go) — произведение весов дуг, проходящих через все вер- шины графа и образующих совокупность некасающихся контуров; Сд (G') — произведение весов дуг, проходящих через все вершины графа и образующих структуру, содержащую путь из l-fi вершины в k-ю и совокупность некасающихся этого пути и друг друга кон- туров; Lp — общее число некасающихся контуров в р-й совокуп- ности таких контуров; Lg — общее число некасающихся контуров в ст-й совокупности некасающихся контуров и пути из 1-и вершины в k-ю; п — общее число уравнений в исходной системе. Следует обратить внимание, что знак слагаемых в искомых функ- циях теперь зависит как от числа контуров графа, так и от числа исходных уравнений. Очевидным достоинством графа Коутса является то обстоятель- ство, что граф этого типа непосредственно соответствует системе уравнений в наиболее общей форме (1-10). Недостатком такого графа следует считать сложную процедуру определения знака сла- гаемых в искомых функциях, требующую пересчета всех контуров, общее количество которых вследствие наличия петель при верши- нах значительно превышает число контуров графа Мэзона (послед- ний, как правило, не содержит петель при вершинах). Пример 1-4. Пусть требуется найти решение системы уравнений (1-8) на основе графа Коутса. Соответствующий рассматриваемой системе граф этого типа приведен на рис. 1-1, г. В графе можно выделить одну систему, включающую в себя три контура, для которой Li == 3, Ci (Go) "= а-^а^а^, одну систему, включающую в себя два контура, для которой L^ ---- 2, Сд (Оц) -= а^а^а^, и одну систему, 12 включающую в себя один контур, для которой Lg = 1, Сз (Go) = а^а^а^. Следовательно, определитель системы Д = ^ ( ~ ^n+Le Ср (Go) = ( - Ц^п^зз + р + ( — O^ai^ai^s + (— ^^siWu- Таким образом, если, например, искомой является переменная х^, то, согласно (1-11), получаем ( — l)!iaз4g2зQl2 . О^аца^зз + ( - О^а^г^зз + ( - l)34"1^!6^ — aз^a23al2 "п^а^з — o^ai^s + "аАз0'^ Сравнивая рассмотренные топологические структуры, можно сделать вывод, что каждая из них имеет свои слабые стороны. Для графа Мэзона таковой является необходимость приведения исход- ных уравнений к причинно-следственной форме, а для графа Коутса — сложность определения знака слагаемых. Вместе с тем, каждая из рассмотренных структур имеет и свои достоинства. Для графа Мэзона в случае отсутствия петель таким достоинством яв- ляется предельная простота определения знака слагаемых, а для графа Коутса — возможность представления исходной системы уравнений в наиболее общей форме. Поэтому естественной представляется попытка введения топо- логической структуры, которая объединяла бы в себе достоинства рассмотренных структур и вместе с тем была бы свободна от свойст- венных им недостатков. Рассмотрению такой структуры посвящены последующие раз- делы настоящей главы. 1-1-2. Обобщенный сигнальный граф Предположим, что имеется некоторая система линейных уравне- ний, содержащая п уравнений с п искомыми и г задающими пере- менными и записанная в виде п+г ^^ixi= 2-i Ч^п (Ж) .1,2... , п. (1-12) Такую форму представления системы линейных уравнений в дальнейшем будем называть обобщенной причинно-следственной формой. Отобразим систему уравнений (1-12) топологической струк- турой, включающей в себя: а) совокупность взвешенных вершин {х^, . . . , х,, . . . , х^}, каждая из которых л-, соответствует искомой переменной х, и имеет вес ta, определяемый коэффициентом при i-й переменной в левой части t'-ro уравнения системы (1-12); 13 б) совокупность вершин-истоков {^„,i, . . . , х^ . . . , .^,,1, каждая из которых л'; соответствует задающей переменной х^, в) совокупность дуг [Х[, х,\, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , п + г, каждая из которых (л:„ лгу) направлена в вершину ^ из вер- шины х, и имеет вес 1ц, определяемый коэффициентом при /-и пе- ременной в правой части г-го уравнения системы (1-12). Введенную топологическую структуру назовем обобщенным сигнальным графом G [5]. Если выделить в системе (1-12) искомые переменные х^ и л-,„ и за- дающую переменную Xi, то k-e и т-е уравнения этой системы можно записать в виде tkh^k — • '-kk-^k — •+^А+- • •+^+ ... ; •mm Рис. 1-2 Выделенным уравнениям, согласно определению, будет соот- ветствовать обобщенный сигнальный граф, изображенный на рис. 1-2. В целях большей компактности встречно направленные дуги (х^, Хщ) и (х^, Xk) могут быть совмещены, как указано на этом рисунке. Отметим также, что изображение взвешенных вершин принято отличным от изображения вершин-истоков. Пример 1-5. Пусть имеется система уравнений, записанная в обобщен- ной причинно-следственной форме ^ii^i == Ч^г 'т ^з-^з! f^x^ — ^ai^ii tзaxs = ^ux^ + ty^x^, t^Xt = t^ 4- tuXs + <45Л-5. (1-13) Построим соответствующий этой системе обобщенный сигнальный граф. Согласно определению, такой граф будет иметь структуру, приведенную на рис. 1-3, где взвешенные вершины х^, х^, Ху и x^ соответствуют искомым переменным, а вершина-исток х^ — задающей переменной. В частном случае, когда для каждого из уравнений системы (1-12) выполняется условие ta = 1, эта система принимает обыч- ную причинно-следственную форму (1-1). При этом в соответствую- щем обобщенном сигнальном графе вес всех взвешенных вершин оказывается равным единице и может быть опущен. Следовательно, 14 в частном случае <„ ---= 1, i = 1, 2 ... . n, обобщенный сигнальный граф совпадает с графом Мэзона без петель. Рассмотрим теперь случай, когда исходная система уравнений записана не в обобщенной причинно-следственной форме (1-12), а имеет наиболее общий вид (1-6). Предположим вначале, что имеется однородная система урав- нений п S а.^-О, 1=1,2,. ... п. (1-На) fe^i В матричной форме эта система записывается в виде ЛХ=0, * (1-146) где А = 1а^}, i = 1, 2, . . . , п, k -= 1, 2, . . . , п, — квадратная матрица коэффициентов /г-го порядка; Х = [х^, . . . , х^, . . . , х^ — /г-мерный вектор-столбец переменных.1 Запишем систему (1-Иа) в обобщенной причинно-следствен- ной форме. С этой целью сохра- ним в каждом t-ом уравнении в левой части слагаемое йц-х,, а остальные слагаемые перене- сем в правую часть. В резуль- тате получим систему вида -^ 1, ft=i {k+i) -1,2, . . . п, (1-15) где Рис. 1-3 tu-au, t^-a^ (k^i). (1-16) Учитывая соотношения (1-15) и (1-16), нетрудно дать определе- ние обобщенного сигнального графа, соответствующего матрич- ному уравнению (1-146). Очевидно, что обобщенный сигнальный граф, отображающий уравнение АХ = 0, будет включать в себя: а) совокупность взвешенных вершин (Хц . . . , л',, . . . , х^\, каждая из которых х^ соответствует i-й составляющей вектора переменных Х и имеет вес 1ц == йц, определяемый t-м диагональ- ным коэффициентом матрицы А; будет записы- 1 Здесь и далее га-мерный вектор-столбец Х == Хп ваться в виде вектора-строки Х транспонирования. [XT,. . . . , х,,, . . . , Хп]1, где t -символ 15 б) совокупность дуг j-f,, х/г}, каждая из которых (л-;, л"д.) на- правлена в вершину А-,, из вершины х<, и имеет вес t^ = — Я(*. равный взятому с обратным знаком коэффициенту матрицы Л, рас- положенному на пересечении ее t-й строки и k-ro столбца. Обобщенный сигнальный граф, соответствующий матричному уравнению (1-146), т. е. однородной системе уравнений, в дальней- шем будем называть однородным. Очевидно, что в однородном графе отсутствуют вершины-истоки и все его вершины являются взвешенными. Следует отметить, что в случае, когда среди диагональных ко- эффициентов матрицы Л имеются коэффициенты, равные нулю, S) т. е. а„ ==- 0, то соответствующие вершины однородного графа имеют нулевой вес. Это обстоятельство обязательно должно быть отме- чено на графе присвоением г-й вершине нулевого веса 1ц = 0. Пример 1-6. Пусть имеется однородная система уравнений, записанная в матричной форме, "11 °12 "14 Яз! 024 °31 Ищ "43 f= 1, 2, . . . тг. ft=l l=n+l В матричной форме эта система имеет вид АХ+А'Х'=0, (1-18 а) (1-186) . (1-19) где Л = [а^\, i == 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, . . . , п, — квадратная матрица коэффициентов п-го порядка; Л' = [а,;], i = 1, 2, . . . , п, <=«+!,..., «+/", — матрица коэффициентов размера п Х г; Х = [xi, . . . , ^» • • • ^— п-мерный вектор-столбец искомых переменных, X' == [•"'„i.i. • • • , х^, . . . , x^^V— г-мерный век- тор-столбец задающих переменных. Запишем систему (1-186) в обобщенной причинно-следственной форме. С этой целью сохраним в каждом f-м уравнении в левой ча- сти слагаемое а^Хц а остальные слагаемые перенесем в правую часть, что приводит к системе вида п п+г ^lixl~= 2^ tii^k + 2J tuXi, t== 1, 2, . . . , n, (1-20) fc=l ;=n+l (fe+t) где dik, t -a,i. (1-21) Учитывая (1-20) и (1-21), нетрудно установить определение обоб- щенного сигнального графа, соответствующего матричному урав- нению (1-19). Очевидно, что граф, отображающий уравнение ЛХ + А'Х' = О будет включать в себя: а) однородный граф, соответствующий уравнению ЛХ == 0; б) совокупность вершин-истоков [х^^, . . . , х^, . . . , х^}, каждая из которых Х[ соответствует 1-и. составляющей вектора задающих переменных X'; в) совокупность дуг [х^, Х[\, каждая из которых (Х[, Xi) на- правлена в вершину Х[ однородного графа из вершины-истока Х[ и имеет вес tn == — йц, равный взятому с обратным знаком коэф- фициенту матрицы Л', расположенному на пересечении ее t-й строки и /-го столбца. В частном случае, когда вектор задающих переменных X' со- держит единственную 1-ю составляющую, соответствующий граф будет включать в себя единственную вершину-исток х,, из которой во взвешенные вершины х^ направлены дуги с весом 1ц = — ац. 17 Пример 1-7. Пусть имеется система линейных уравнений, записанная в матричной форме, вц "12 ffl4 "21 "21 "si "34 "43 "41 Л-1 •^2 ^3 ^4 + "35 ==0. (1-22) Построим обобщенный сигнальный граф, соответствующий системе уравнений (1-22). Такой граф приведен на рис. 1-4, б. Видно, что граф вклю- чает в себя однородный граф, построенный в примере 1-6 и приведенный на рис. 1-4, а, а также вершины-истоки х^, и х,, связанные с однородным графом соответствующими дугами. Х Рис. 1-5 Для дальнейшего изложения удобно вести символическое изо- бражение обобщенного сигнального графа, соответствующего мат- ричному уравнению АХ+А'Х'--=0, (1-23) а также символическое изображение обобщенного сигнального графа, отображающего это уравнение в случае разбиения входящих в него матриц на матрицы-блоки АН А 12 ^<1 -4'n ^12 ^i "21 "22 ^ + A2l ^22 ^2 =0. (1-24) Соответствующие уравнениям (1-23) и (1-24) символические структуры изображены на рис. 1-5. В частном случае, когда вхо- 18 дящие в уравнения (1-23) матрицы имеют размер 1 Х 1, а векторы переменных являются одномерными, введенное символическое изо- бражение совпадает с принятым выше изображением обобщенного сигнального графа. В структуре, соответствующей матричному уравнению (1-24), можно выделить два подграфа Gi и Gg, первый из которых соот- ветствует матричному уравнению AiiXi+AnXi^O, а второй — матричному уравнению Л 22Х2 -I" Л 22Х2 == 0. Очевидно, что подграф Gi может быть образован из исходного графа G удалением совокупности взвешенных вершин Х^ и сово^- купности вершин-истоков Хг. Операцию удаления вершин будем обозначать совокупностью их индексов с чертой наверху.1 Таким образом, если обозначить через (к) множество индексов вершин, входящих в совокупности Х.д и Х2, то можно записать Gi ~ G,-, , где G,-, — структура, образующаяся из исходного графа G уда- -ai I 1 лением всех вершин, индексы которых входят в множество [а\. В частном случае, когда подграф Gi образуется удалением из исходного графа G единственной вершины х^, имеем Gi ~ G^. Введенное символическое изображение подграфов, соответст- вующих блочным матрицам, естественно, может быть распростра- нено на любое количество таких блоков. В заключение отметим значительное сходство в процедуре по- строения обобщенного сигнального графа и графа Коутса, поскольку обе топологические структуры могут быть легко по- строены непосредственно по виду системы уравнений, записанной в. наиболее общей форме. Различие в структуре этих графов заклю- чается лишь в противоположном знаке весовых коэффициентов дуг и в том, что петлям при вершинах графа Коутса соответствует вес вершин обобщенного сигнального графа. Однако, как будет видно из дальнейшего изложения, вследствие этого различия обоб- щенный сигнальный граф выгодно отличается от графа Коутса более простым способом определения знака слагаемых. 1-1-3. Определитель и алгебраические дополнения графа Пусть имеется квадратная матрица п-то порядка Л и построен- ная на основе этой матрицы однородная система линейных уравне- ний, записанная в матричной форме ЛХ=0, (1-25) где Х—п-мерный вектор переменных. 1 Здесь и в дальнейшем подразумевается, что при удалении вершины одновременно удаляются и все связанные с ней дуги. 10 Уравнению (1-25) соответствует однородный граф Gen взвешен- ными вершинами, не содержащий вершин-истоков. Поставим задачу вычисления определителя матрицы Л тополо- гическим путем по виду графа G. Предварительно введем следующие определения. 1. Путь (л^, Xi)—направленная последовательность дуг, для которой вершина JC^ конечная, а вершина л"; — начальная, причем каждая вершина проходится только один раз. Рис. 1-6 2. Контур (х^, . . . , х^) — замкнутый путь, для которого на- чальная вершина совпадает с конечной. 3. Вес s-го пути Р^ — произведение весов дуг, входящих в s-й путь. 4. Вес s-го контура L^ — взятое с обратным знаком произве- дение весов дуг, входящих в s-й контур. 5. Элементарный граф §, — совокупность т (т == 0, 1,2,...) некасающихся контуров и всех взвешенных вершин графа, через которые не проходят эти контуры. 6. Определитель элементарного графа б; — произведение ве- сов входящих в него контуров и взвешенных вершин. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что вес кон- тура L, принят равным взятому с обратным знаком произведению весов дуг, входящих в него. Такой выбор, как будет видно из даль- нейшего, полностью снимает проблему определения знака слагае- мых. 20 Пример l-'S. Пусть имеется однородный граф, изображенный на рис. 1-6. В рассматриваемом графе можно выделить пять элементарных графов Si, Ё2' ёз' 8^ и и» которые изображены также на рис. 1-6, при этом первый граф не содержит контуров (число некасающихся контуров равно нулю), второй, третий и четвертый содержат по одному контуру, а пятый — два некасающихся контура. Определители этих элементарных графов равны со- ответственно °1 = ^llWs3^44^6B'' [ ^ = ( —ha^^st) Wa2'. | 63=(-W2!>)/llW55; [ (1-26) 64 = ( —^В4^4б) ^llWas! 65 ^ (—ta^sa) ( — ^4^-te) hi • Поскольку однородный граф однозначно соответствует неко- торой квадратной матрице и некоторой системе однородных уравне- ний, то можно ввести понятие определителя однородного графа, тождественное понятиям определителя квадратной матрицы и оп- ределителя однородной системы уравнений. С учетом введенных определений можно установить следующее правило топологического расчета определителя однородного графа (или, для краткости, просто определителя графа). Определитель графа равен сумме определителей всех его элемен- тарных графов, т. е. A-SS», (1-27) i где суммирование осуществляется по всем возможным элементарным графам исходного графа. det A = det Для доказательства (1-27) воспользуемся общим выражением для опре- делителя матрицы [22] "и в12 "in Oil "22 °2ге ^i Яп2 апп '^(-l)'"0'!/!01^ • • • ^nin' дексов коэффициентов 'We где суммирование осуществляется по всем различным подстановкам из ин- i1! ^a • • • ^п \ иг — четность каждой из таких под- \/i /а • • • In I становок. Так как каждая подстановка единственным образом может быть пред- ставлена в виде произведения независимых циклов [12], а четность подста- новки определяется ее декрементом d == п—q, где п — порядок определи- 21 теля, q — число независимых циклов подстановки, включая циклы длины 1, то выражение (1-28) можно записать в виде detA^^-l^nfa; , а, , . . . а, , \, (1-29) \ ^'ч ^'^ ч^и где I — длина цикла, /^ = t's^, js^ == 'sfc_i, (* = 2, . . . , I), и под зна- ком произведения стоят все возможные группировки коэффициентов (а. ,. а, • ... а,- . ^, индексы которых образуют независимый цикл. ^ 'si/si 'sa/sz s^J Если I == 1, т. е. имеется цикл единичной длины, то группировка коэффи- циентов (а. ,. а. ,. ... а. ,. } содержит единственный коэффициент а. ,. \ Sl' 2, то с точностью до знака группировке коэффициентов fa, у а, у ... а, ,. \ при /^==»sft_i и /s;==(s^, в графе G соответствует вес контура. Так как все циклы независимые, то отсюда следует, что с точ- ностью до знака каждому слагаемому в (1-28) соответствует определитель элементарного графа, поскольку последний включает в себя только нека- сающиеся контуры и изолированные вершины. Переходя к вопросу о знаке, отметим, что в случае, когда все циклы имеют длину I == 1, число таких циклов q = п и, следовательно, декремент подстановки обращается в нуль (а = q—п = 0). С другой стороны, в рас- сматриваемом случае элементарный граф не содержит контуров и, следова- тельно, его определитель равен произведению весов всех вершин графа. Появление каждого цикла длиной / > 2 приводит к появлению в графе контура, содержащего / дуг. При этом декремент а изменяется на величину I—1, т. е. на нечетное (четное) число при четном (нечетном) числе дуг кон- тура. С другой стороны, поскольку все дуги графа имеют вес 1ц = — ау, противоположный по знаку коэффициентам определителя, то произведение группировки коэффициентов (а, , а, 1 . . . а; • \ и соответствующий ей \ si"4 V's П'Ч/ вес контура элементарного графа будут иметь одинаковый (противополож-. ный) знак при нечетном (четном) числе дуг контура. Отсюда вытекает, что каждому слагаемому определителя в (1-28) и (1-29) соответствует определитель элементарного графа. И наконец, поскольку /и t'a • • • in\ суммированию по всем возможным подстановкам соответствует VI /2 • • • In/ суммирование по всем возможным способам разбиения совокупности индек- сов (;1, /а, . . . , in, /i, /2. • • • > In) ча независимые циклы, которым, в свою очередь, соответствуют элементарные графы, то справедливость (1-27) до- казана. Если в выражении (1-27) выделить слагаемое, соответствующее определителю элементарного графа, включающего в себя только изолированные вершины, и сгруппировать слагаемые, соответст- вующие определителям элементарных графов, содержащих только • один контур, только два контура, и т. д., то топологическую формулу для вычисления определителя графа можно записать в виде А = 6 + S ^'W + S L^L^'' k) + . . . + S ^(^(s), (1-30) где 6 = Шц — определитель элементарного графа, включающего в себя только изолированные вершины, и равный произведению весов всех взвешенных вершин графа; б*" — произведение весов всех взвешенных вершин графа, кроме вершин, входящих в /-и 22 контур с весом L^; б*''^ — произведение весов всех взвешенных вершин графа, кроме вершин, входящих в ;'-й и й-й некасающиеся контуры с весом L0* и L^ соответственно, и т. д. Пример 1-9. Найдем определитель графа, изображенного на рис. 1-6. Все возможные элементарные графы этого графа приведены на рис. 1-6. Сле- довательно, в соответствии с выражением (1-27) и полученными ранее выра- жениями (1-26) для определителей этих графов б,, можно записать 5 А =-- ^ б, = ^u^a^Wns + ( — hst^w) ^li^l + (-— ^за^гз) Wv^bb + г=1 + ( — ^45) Wi-sfs-s + ( — W2s) ( — W4&) hi- Аналогичный результат, очевидно, получается и при использовании соотношения (1-30) Д = 6 + L0^ + L^St2) + L*3^3' + L^L^o12- 3). где 6 = W22W4A5; L<1) = - t^»t^ 60' == fi^a; ^)= -^ ^^и^в-, ^)= -W«: o^^Wea; ^^i. Следует подчеркнуть, что при наличии в исходном графе вер- шин с нулевым весом вычисление определителя графа сильно упро- щается. Это объясняется тем, что определители всех элементарных графов, содержащих изолированные вершины с нулевым весом равны нулю и вычислять их нет необходимости. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением только тех элементарных графов-, контуры которых касаются всех вершин с нулевым весом, так как только такие элементарные графы не будут содержать взвешенных вершин с нулевым весом. Пример 1-10. Если в графе, изображенном на рис. 1-6, положить ^и == 0> то' не производя вычислений, можно сразу записать, что Д == О, так как граф не содержит ни одного контура, проходящего через вершину х-^ с нулевым весом, и, следовательно, определители всех элементарных графов будут равны нулю. Если положить в этом графе t^ = 0, то нетрудно убедиться, что имеются только два элементарных графа, содержащих контур (л-д, л-з, х^), проходящий через вершину х^ и, следовательно, Д = I.W&W + L^L^ot2'31 = -= ( — Was) ^bs^lt + ( — ^гз) ( — <м^ь) hi- Рассмотрим теперь методику топологического расчета алгебраи- ческого дополнения Д^ элемента а^ квадратной матрицы Л (в даль- нейшем — просто алгебраического дополнения Д^). С учетом введенных выше определений можно сформулировать следующее правило для топологического расчета алгебраического дополнения А/^ матрицы А по виду соответствующего этой матрице обобщенного сигнального графа G. Несимметричное алгебраическое дополнение Ад, равно сумме всех возможных произведений весов путей в k-ю вершину из 1-й на определители частей графа, не касающихся этих путей, т. е. (1-31) где РЫ — вес s-го пути в k-ю вершину из 1-й; Л^ — определитель части графа, не касающейся этого пути, и суммирование осущест- вляется по всем возможным путям в k-ю вершину из 1-й. Симметричное алгебраическое до- полнение А;; равно определителю исходного графа графа GJ, образуемого из удалением вершины х^, т. е. Рис. 1-7 Л„ = Аг, (1-32) "и — "г' где Л^—определитель графа GJ, обра- зуемого из исходного графа удалением 1-й вершины. Для доказательства соотношения (1-31) положим в матрице элемент а^ == 1, а все остальные элементы 1-и. строки примем равными нулю. Тогда получим матрицу: А' =1 "11 "1/г an "in 0 0 1 о 0 0 о "ni Ink "л г Япп Вычисляя определитель этой матрицы разложением по 1-и. строке, по- лучим: detЛ=(-l)и-ftdetЛ^=Д^. . (1-33) Введенной матрице А' соответствует граф G', который может быть об- разован из графа G, если в последнем положить tu = 0 (г ^ К), tik == —1, т. е. исключить все дуги, заходящие в 1-ю вершину, кроме дуги, заходящей из k-v. вершины, вес которой принимается равным 1ц: == —1 (рис. 1-7). Поскольку 1-я вершина имеет нулевой вес, то среди слагаемых определи- теля графа G' не равны нулю только те, которым соответствуют элементар- ные графы, включающие в себя контур, проходящий через /-ю вершину. 24 Каждый такой контур содержит дугу (xi, Xf,} с весом =^32. Л0'^^- Следовательно, согласно соотношению (1-31), искомое алгебраическое Дополнение записывается в виде ^3 - S p^^ = ^32 (^Аб - W45) + ^31 (W44^55 - WsAs) • s=l 25 п + г), записанная (1-35) п, — квадратная [a,;], t == 1, 2, . . . , п; В заключение следует отметить, что если в s-й путь входят все вершины графа, то определитель части графа, не касающейся этого пути, следует полагать равным единице, т. е. А15* == 1. 1-1-4. Топологические формулы передачи Перейдем теперь к задаче определения искомых переменных системы линейных уравнений по виду соответствующего этой си- стеме обобщенного сигнального графа. Пусть имеется система линейных уравнений, включающая в себя п. уравнений с п искомыми переменными л-д, (k -=-- 1, 2, . . . , п) и г задающими переменными Xi (I == п + 1, . в виде АХ+А'Х'=0, где А = [а^\, i = 1, 2, . . . , /г, k = 1, 2 матрица коэффициентов /г-го порядка; А' /=/г+1,...,/г+ г,— матрица коэффициентов размера п Х г, Х = [л;1, . . . , Xk, . . . , х^}1— /г-мерный вектор-столбец иско- мых переменных; X' = [х^, • . . , х^, . . . , х V— г-мерный вектор-столбец задающих переменных. Поскольку система (1-35) линейная, то ее решение может быть записано в виде п+г ^=S TuXi, (1-36) l=n+l где Ты = x^/X[— передаточная функция, определяющая передачу к k-и искомой переменной от 1-тл задающей переменной. Применительно к электронным схемам введенная передаточная функция обычно называется схемной функцией [33—35, 391 и та- кое название для этой функции будет принято в дальнейшем. Для определения схемной функции 7\; топологическим путем отобразим систему (1-35) обобщенным сигнальным графтам G, ко- торый будет включать в себя совокупность взвешенных вершин \Xk\, k = 1, 2, . . . , /г, соответствующих искомым переменным, и совокупность вершин-истоков [xi\, I = п + 1, . . . , п + г, со- ответствующих задающим переменным. Учитывая полученные в предыдущем разделе соотношения (1-27) и (1-31) для топологического расчета определителя и алгебраиче- ских дополнений, нетрудно записать топологическую формулу передачи для расчета схемной функции Т,» по виду графа G 2 Р^ Т.,=^ м- Здесь А — определитель однородного графа, образуемого из графа G удалением всех вершин-истоков (в дальнейшем будем на- зывать величину Л просто определителем графа G); Р^ — вес s-ro 26 (1-37) пути в вершину ^ из вершины-истока Xi; A'5' — определитель части графа, не касающейся s-ro пути. Для доказательства (1-37) запишем систему уравнений (1-35) в скаляр- ной форме, полагая, что вектор X' содержит единственную ненулевую со- ставляющую Xi п ^ WkA-bi^O. (=1, 2, .... п, fe=l где bj, == di'iXi. Согласно теореме Крамера [12], решение системы (1-38) имеет вид Xk =—• S ^&. i-l____ Д tft"t7 A - xi, (1-39) где А—определитель матрицы Л; Л ^ — алгебраическое дополнение этой матрицы. Учитывая соотношение (1-31), выражение (1-39) можно записать в виде S fS р^} °« t==i L; J Xk= —• xi. Отсюда схемная функция T^i записывается в виде Tkl S [S W\ -и i-i L s J (1-40) Рассмотрим числитель этого выражения. На основании (1-16) очевидно, что ац = —tn. Следовательно, изменяя порядок суммирования, можно записать ^ [V Р^^} а„ = - ^ ^ Р^ц\ Л^. Очевидно, что каждое i=i I J Li-i J из произведений P^tu определяет вес проходящего через г'-ю вершину пути в k-ю вершину из /-и. Суммирование по всем таким г'-м вершинам дает, оче- п видно, величину веса s-ro пути в k-ю вершину из /-и, т. е. ^ Р^ц = pk!) l=\ Таким образом, соотношение (1-40) можно записать в виде 1W» т ^ ^t_ ^ ;_____ k1 xl Л ' Поскольку определитель матрицы А совпадает с определителем графа G, то отсюда вытекает справедливость топологической формулы (1-37). Топологическая формула передачи (1-37) по форме совпадает с аналогичной формулой Мэзона (1-3) (изменение индексации в обо- значении веса пути, очевидно, не имеет принципиального значе- ния). Поэтому, в основном, совпадает и методика топологического решения системы линейных уравнений по виду сигнального графа Мэзона и обобщенного сигнального графа. Различие этих методик заключается лишь в способе нахождения определителя графа А (определителя части графа А*5*). Если в первом случае для этой цели необходимо использовать соотношение (1-4), то во втором слу- чае расчет определителя осуществляется на основании соотноше- ний (1-27) или (1-30). Пример 1-12. Найдем топологическим путем решение системы уравне- ний (1-13), соответствующий которой граф О приведен на рис. 1-3. Пусть искомой переменной является х^. Тогда х^= Т^х,,. Значение схемной функ- ции Г45 определяется по графу О, согласно топологической формуле передачи (1-37), и имеет вид 45' V р(5)л<5) - ^ ^ 45 Р^+Р^^2 ' 45 где •t5 А Д ^-/з^з. ^'^n^-V^ P^-W^ ^=1: ^-^.^'-^(V^-^)- Определитель графа, согласно соотношению (1-27), имеет вид Д = <и^22^33^4 — ^21^12^33^44 — 43^34^11^22 — ^13^21^42^34 4- Wl2^43^34- (1-41) Аналогично находятся и другие переменные. Так, например, если тре- буется найти переменную х^ то получаем SP^ • 25' Г 25 Значение определителя Д, очевидно, при этом остается неизменным и оп- ределяется соотношением (1-41). Пример 1-13. Найдем решение системы уравнений (1-22). Соответствую- щий этой системе обобщенный сигнальный граф приведен на рис. 1-4, б. Пусть требуется найти значение переменной л-i. Согласно (1-36), имеем Ч = TiE,X5 + TieXe. Схемные функции Т^ и Т^ находятся по виду графа рис. 1-4, б на осно- вании топологической формулы передачи (1-37) ДзбО^з^о^ . X',Xi Ss ДР^ ДР^'Д<1' Д'^Зб^З'^0'^ Ч Д Д Д Определитель графа Д, согласно (1-27), Д == — а^а^а^а^ -I- Ля^а^ц. Рассмотрим теперь случай, когда в качестве исходной задана однородная система линейных уравнений, число которых равно числу переменных. Итак, пусть имеется однородная система уравнений, содержа- щая v уравнений с и переменными, т. е. ЛХ=0, (1-42) 28 v, j == 1, 2, . . . , v,— квадратная ;cJ', — у-мерный i> <•;, где Л = [ayl, i == 1, 2, матрица о-го порядка; X = [х вектор переменных. Уравнению (1-42) соответствует однородный граф G, включаю- щий в себя v взвешенных вершин xi, . . . , х^, . . . , Хц и не содер- жащий вершин-истоков. Чтобы система (1-42) обладала ненулевыми решениями при лю- бых значениях коэффициентов матрицы Л, необходимо, чтобы число неизвестных было меньше числа уравнений, т. е. часть пере- менных должна быть выбрана в качестве задающих воздействий. С этой целью из компонент вектора переменных Х образуем га-мер- ный вектор неизвестных Xi и /--мерный вектор задающих воздейст- вий Х2, что позволяет записать систему (1-42) в виде An Л 12 А 21 А 22 X, X, =0, (1-43) где Л ii, Л i2, Л ai и Л 22—матрицы-блоки исходной матрицы Л размера пХп,пХг,гХппгХг соответственно. Последние г уравнений системы (1-43) можно опустить, что при- водит к системе вида AiiXi+Ai2X2=0. (1-44) Отображающий эту систему граф G может быть получен из од- нородного графа G, если в последнем устранить все дуги, заходя- щие в вершины, соответствующие компонентам вектора задаю- щих воздействий Х2, и устранить вес этих вершин. В результате указанных операций вершины совокупности Х2 превращаются в вершины-истоки и по виду полученного графа G на основании топологической формулы (1-37) можно найти любую искомую пе- ременную из совокупности Xi. Поскольку выбор совокупности задающих воздействий Х2 про- изволен, то такой подход позволяет находить отношение любых составляющих х^ и х; вектора Х системы однородных линейных Уравнений (1-42) по виду соответствующего этой системе однород- ного графа G. При этом нет необходимости в преобразовании однородного графа G в граф G с вершинами-истоками, так как все необходимые для расчета топологические структуры легко можно найти непо- средственно по виду исходного графа G. Действительно, пусть в исходной системе уравнений (1-42) пе- ременная Xi принимается в качестве задающей. Очевидно, что устра- нение в исходном графе G веса вершины Xi и заходящих в нее дуг 29 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Абрагамс Дж., Каверли Дж. Анализ электрических цепей методом графов. Пер. с англ. под ред. А. А. Соколова. М., «Мир», 1967. 173 с. с ил. 2. Анисимов В. И. Обобщенный анализ нестабильности^режима работы транзисторов.— «Радиотехника», 1964, т. 19, № 7, с. 61—68^с ил. 3. Анисимов В. И. К расчету нестабильности (дрейфа) нулевого уровня усилителей постоянного тока.— «Автоматика и телемеханика», 1965, т. XXVI, № 5, с. 876—881 с ил. 4. Анисимов В. И. Обобщенные уравнения электронных схем.— «Ра- диотехника и электроника», 1967, т. XII, № 9, с. 1663—1666. 5. Анисимов В. И. Некоторые вопросы теории линейных графов. — «Автоматика и телемеханика», 1967, т. XXVIII, № 8, с. 56—63 с ил. 6. Анисимов В. И. К расчету точности электронных схем.— «Изв. ву- зов. Приборостроение», 1968, т. XI, № 4, с. 5—10 с ил. 7. Анисимов В. И. К анализу схем с идеальными усилительными и пре- образовательными элементами.— «Автоматика и телемеханика», 1968, т. XXIX, № 9, с. 175—183 с ил. 8. Анисимов В. И. Анализ транзисторных схем методов графов.— «Ра- диотехника», 1968, т. 23, № 10, с. 23—27 с ил. 9. Беллерт С., Возняцки Г. Анализ и синтез электрических цепей ме- тодом структурных чисел. Пер. с польского под ред. П. А. Ионкина. М., «Мир», 1972. 330 с. с ил. 10. Берж К. Теория графов и ее применение. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1962. 11. Блажкевич Б. И. Основн! методи анал!зу липйних електричних к!л. Киев, Изд. АН УССР, 1961. 275 с. с ил. 12. Блажкевич Б. И. Тополопчш методи анал;зу електричних кш. Киев, «Наукова думка», 1971. 313 с. с ил. 13. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. Пер. с англ. под ред. А. А. Колосова и Л. А. Мееровича. М., Изд-во иностр. лит., 1948. 633 с. с ил. 14. Быховский М. Л. Основы динамической точности электрических и механических цепей. М., Изд-во АН СССР, 1958. 156 с. с ил. 15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967. 570 с. с ил. 16. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. Пер. с англ. под ред. [О. Л. Хотунского. М., «Советское радио», 1973. 200 с. с ил. 17. Заездный А. М., Гуревич И. В. Основы расчетов радиотехнических цепей. М., «Связь», 1968. 437 с. с ил. 18. Зелях Э. В. Основы общей теории линейных электрических схем. М., Изд-во АН СССР, 1951, 334 с. с ил. 19. Зыков А. А. Теория конечных графов. Новосибирск, «Наука», 1969. 543 с. с ил. 20. Кёниг Г., Блекуэлл В. Теория электромеханических систем. Пер. с англ. М., «Энергия», 1965. 423 с. с ил. 21. Куликовский А. А. Устойчивость активных линеаризованных цепей с усилительными приборами новых типов. М.—Л., Госэнергоиздат, 1962. 192 с. с ил. 236 22. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Изд. 7-е. М., Физматгиз, 1962. 430 с. с ил. 23. Максимович Н. Г. Методы топологического анализа электрических цепей. Львов, Изд. Львовского ун-та, 1970. 258 с. с ил. 24. Мелихов А. Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. М., «Наука», 1971. 416 с. с ил. 25. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. Пер. с англ. под ред. А. А. Соколова. М., Изд-во иностр. лит., 1963. 619 с. с ил. 26. Нагорный Л. Я. Анализ и расчет усилительных схем. Киев, Гос- технздат УССР, 1963. 243 с. с ил. 27. Нагорный Л. Я. Моделирование электронных цепей на ЦВМ. Киев, «Техника», 1974. 360 с. с ил. 28. Основы инженерной электрофизики, ч. II. Основы анализа элек- трических цепей. Под. ред. П. А. Ионкина. М., «Высшая школа», 1972. 623 с. с ил. 29. Паллен К. А. Топологические и матричные методы. Пер. с англ. М., «Энергия», 1966. 95 с. с ил. 30. Пухов Г. Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электриче- ских цепей. Киев, «Наукова думка», 1967. 564 с. с ил. 31. Робишо Л., Буавер М., Робер Ж. Направленные графы и их прило- жение к электрическим цепям и машинам. Пер. с франц. под ред. Э. М. Пей- саховича. М., «Энергия», 1964. 245 с. с ил. 32. Сешу С., Рид М. Б. Линейные графы и электрические цепи. Пер. с англ. под ред. П. А. Ионкина. М., «Высшая школа», 1971. 446 с. с ил. 33. Сигорский В. П. Методы анализа электрических схем с многополюс- ными элементами. Киев, Изд-во АН УССР, 1958, 402 с. с ил. 34. Сигорский В. П., Петренко А. И. Основы теории электронных схем. Киев, «Техника», 1967, 609 с. с ил. 35. Сигорский В. П., Петренко А. И. Алгоритмы анализа электронных схем. Киев, «Техника», 1970. 394 с. с ил. 36. Степаненко И. П. Основы теории транзисторов и транзисторных схем. Изд. 3-е. М., «Энергия», 1973. 608 с. с ил. 37. Сучилин А. М. Применение направленных графов к задачам электро- техники. Л., «Энергия», 1971. 103 с. с ил. 38. Траксел Д. Синтез систем автоматического регулирования. Пер. с англ. М., Машгиз, 1959. 614 с. с ил. 39. Трохименко Я. К. Метод обобщенных чисел и анализ линейных це- пей. М., «Советское радио», 1972. 311 с. с ил. 40. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 1963. 734 с. с ил. 41. Черне X. И. Взаимосвязь между параметрами полупроводникового триода в различных схемах его включения.— «Радиотехника», 1958, т. 13, № 2, с. 69—78 с ил. 42. Bashkow Т. R. The A matrix the new network description.— «IRE Trans. on Circuit Theory», 1957, v. CT-4, September, p. 117—119. 43. Bryant P. R. The explicit form of Bashkow's A matrix.— «IRE Trans. on Circuit Theory», 1962, v. CT-9, September, p. 303—306. 44. Chen К. W. The Inversion of matrix by flow-graphs.— «I. Soc. In- dust». Appl. Math., 1964, v. 12, SeptemBer, p. 676—685. 45. Chow 1., Cassaignol E. Linear signal flow graphs and applications. New-York, Willey, 1962, 143 p. 46. Coates С. L. General topological formulas for linear networks.— «IRE Trans. on Circuit Theory», 1958, v. CT-5, June, p. 42—50. 47. Coates С. L. Flow-graph solution of linear algebraic equations.— «IRE Trans. on Circuit Theory», 1959, v. CT-6, June, p. 170—187. 48. Desoer С. A. The optimum formula for the gain of a flow-graph or a simple derivation of Coates formula.— «Proc. IRE», 1960, v. 48, May, p. 883— 889. 237 49. Hoskins R. F. Signa 1 flow-grafh analysis and feedback theory. «Proc IEE», 1960, Monograph No. 388 E, July, p. 12—19. 50. Lynch W. A. A formulation of the sensitivity function.— «IRE Trans on Circuit Theory», 1957, v. CT-4, September, p. 289. 51. Mason S. I. Feedback theory —Some properties of signal flow-graphs.— «Proc. of the Institute of Radio Engineers», 1953, v. 41, September, p. 1144— 1156. 52. Mason S. I. Feedback theory — further properties of signal flow- graphs.— «Proc. of the Institute of Radio Engineers», 1956, v. 44, July, p. 920— Уоо. 53. Weinberg L. Kirchhoffs third and fourth laws.—«IRE Trans. on Circuit Theory», 1958, v. CT-5, N 1, p. 8—15. ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Предисловие .......................... 3 ГЛАВА ПЕРВАЯ Обобщенный сигнальный граф и его преобразования ......... 5 1-1. Топологические методы решения систем линейных уравнений . — 1-1-1. Общая характеристика сигнальных графов ....... — 1-1-2. Обобщенный сигнальный граф ............. 13 1-1-3. Определитель и алгебраические дополнения графа .... 19 1-1-4. Топологические формулы передачи ........... 26 1-2. Типовые структуры и преобразования обобщенных сигнальных графов .......................... 33 1-2-1. Типовые структуры обобщенных сигнальных графов ... — 1-2-2. Разложение обобщенных сигнальных графов ....... 46 1-2-3. Исключение вершин ................. 53 ГЛАВА ВТОРАЯ Топологическое описание электронных схем ............. 58 2-1. Косвенные методы топологического описания ........ — 2-1-1. Многополюсные элементы электронных схем ....... — 2-1-2. Полные графы электронных схем ............ 64 2-1-3. Исключение второстепенных переменных ........ 75 2-2. Прямые методы топологические описания .......... 83 2-2-1. Топологическое описание в базисе основных переменных . — 2-2-2. Сокращение числа базисных переменных ........ 93 2-2-3. Топологическое описание схем с зависимыми источниками . 100 2-3. Избыточность топологического описания электронных схем . . 106 2-3-1. Общая характеристика избыточности и ее связь с коорди- натным базисом ................... — 2-3-2. Способы устранения избыточности ........... 113 2-3-3. Стандартный базис ................... 117 ГЛАВА ТРЕТЬЯ Схемные функции электронных схем ................. 123 3-1. Топологический расчет схемных функций и их чувствительности — 3-1-1. Основные способы расчета схемных функций ....... — 3-1-2. Приближенный расчет схемных функций ........ 129 3-1-3. Чувствительность схемных функций .......... 135 3-1-4. Определение полиномиальных коэффициентов ...... 141 3-2. Топологический расчет параметров подсхем ......... 148 3-2-1. Прямой метод приведения подсхем к многополюснику ... — 3-2-2. Инверсный метод ................... 153 3-2-3. Преобразование систем параметров многополюсника . . .159 3-3. Особенности топологического расчета схем с обратными связями 162 3-3-1. Возвратная разность и возвратное отношение ......— 3-3-2. Схемы с типовыми обратными связями .......... 167 239 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ Нулевой уровень электронных схем и его нестабильность ....... l7g 4-1. Автономные параметры многополюсных элементов ...... — 4-1-1. Приведение электронных приборов к автономному много- полюснику ..................... — 4-1-2. Топологическое описание схем с автономными многополюс- никами ....................... 185 4-1-3. Топологический расчет автономных параметров ..... 190 4-2. Топологический расчет статического режима и его нестабильно- сти .......................... 196 4-2-1. Статический режим электронных схем .......... — 4-2-2. Нестабильность нулевого уровня электронных схем . . . 202 4-2-3. Приближенный расчет нулевого уровня и его нестабильно- сти .......................... 207 4-3. Топологический расчет усилителей постоянного тока ..... 214 4-3-1. Приведение усилителя постоянного тока к автономному многополюснику ................... — 4-3-2. Топологический расчет приведенного нулевого уровня . . 221 4-3-3. Особенности расчета приведенного нулевого уровня схем с обратными связями ................. 230 Список литературы ........................ 236 ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ АНИСИМОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ Редактор Б. И. Леонова Художественный редактор Г. А. Гудков Технический редактор Н. Ф. Грачева Корректор В. В. Румянцев Переплет художника С. С. Венидиктова ИБ № 723 Сдано в набор 24/1V 1977 г. Подписано к печати 8/IX 1977 г. М-21758. формат 60x9U'/]6. Бумага типографская № 2. Печ. л. 15.. Уч.-изд. л. 15,24. Тираж 15000 экз. Заказ № 1195. Цена 1 р. 10 к. Ленинградское отделение издательства «Энергия» 192041, Ленинград, Д-41, Марсово поле, дом 1. Ленинградская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном ко- митете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 196126, Ленинград, Ф-126, Социалистическая ул., 14. 240 В. И. АНИМСИМОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ „ЭНЕРГИЯ" ЛЕНИНГРАД 1977