ББК 32.85 Т41 УДК 621.3.049.77 Рецензент Д. Е. Полонников Тимкин Ю. В. Т 41 Анализ электронных схем методом двунаправ- ленных графов.—М.: Энергоатомиздат, 1985— 256 с., ил. В пер.: 95 к. 6200 экз. Рассмотрен анализ электрических и электронных цепей на осно- ве аппарата двунаправленных графов, позволяющего записывать вы- ражения разных характеристик (функций) цепей в окончательном или близком к нему виде непосредственно по их электрическим схемам (без составления графов и выполнения других математиче- ских действий). Наиболее полно рассмотрены общие вопросы анали- за цепей с различными активными элементами. Дан анализ пассив- ных и активных RCL-фильтров и цепей с одним или несколькими операционными усилителями. Приведены многочисленные примеры. Для инженерно-технических работников в области электроники, автоматики, измерительной техники. 2403000000-284 Т—————————— 238-85 051(01)-85 ББК 32.85 6ФО.З © Энергоато""здат, 1985 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга посвящена методам ускоренного анализа электронных схем различного назначения с по- мощью аппарата двунаправленных графов. Излагаемые методы являются самыми общими и могут быть применены при анализе схем любых электрических и электронных цепей, как, например, схем решающих уси- лителей, многоконтурных цепей с несколькими операцион- ными усилителями, RC- и ^CL-активных и пассивных фильтров, транзисторных схем и т. п. Сущность методов ускоренного анализа заключается не в упрощении постановки задачи или получении при- ближенных выражений, а в том, что совершенно точные и полные выражения, характеризующие свойства электри- ческой или электронной цепи, могут быть получены не- посредственно по ее схеме, т. е. без составления каких- либо уравнений и выполнения математических операций по их преобразованию. Использованный для этой цели аппарат двунаправ- ленных графов, как и направленных графов других ви- дов, подменяет математические действия топологическими действиями над элементами графа — его узлами и вет- вями, отображающими переменные и коэффициенты уравнений равновесия цепи. Методы теории направленных графов, развитые за по- следние несколько десятилетий за рубежом и в нашей стране [1—4], значительно ускорили процесс анализа электрических и электронных схем. Двунаправленные гра- фы, предложенные Л. Робишо [2], в силу их топологи- ческого сходства со схемой исследуемой цепи оказались эффективным инструментом анализа благодаря тому, что схему в большинстве случаев удается отождествить с графом, что позволяет избежать процесса его построения, а также в связи с тем, что операции над двунаправленны- 3 ми графами могут быть сведены к операциям над нена- правленными графами [5] или к операциям чисто топо- логических методов анализа цепей [I], отличающихся высокой эффективностью. Однако прикладные вопросы теории двунаправленных графов развиты недостаточно [2, б], что мешает их прак- тическому использованию. Настоящая книга призвана в определенной степени восполнить этот пробел. Читатель, изучивший материал настоящей книги, смо- жет анализировать разнообразные схемы, почти не затра- чивая на это времени и энергии, если учесть к тому же, что операции над двунаправленными графами элементар- ны, однотипны, а полученные при работе с ними навыки легко закрепляются. Материалов гл. 1 книги и помещае- мых в ней примеров вполне достаточно для получения таких навыков, с помощью которых, вообще говоря, мож- но анализировать любые схемы, если дополнительно оз- накомиться с двунаправленными графами общеупотреби- тельных активных элементов (§ 3.1) и формулами схем- ных функций цепей (§ 2.3). Весь остальной материал в основном служит лишь цели рационализации процесса анализа с помощью полу- ченных в нем общих и специализированных формул, вы- полняющих роль алгоритмов анализа. Общие формулы анализа схем (§ 3.3—3.6) могут по- казаться читателю излишне громоздкими и труднодоступ- ными. Однако на деле (это показывают примеры) поль- зование ими несложно, а получаемый от них эффект в смысле экономии времени и сил оказывается очень зна- чительным. В книге нашли отражение вопросы анализа схем с ис- пользованием эквивалентных преобразований графов и путем разделения графа на отдельные части и примене- ния к ним диакоптических формул (гл. 2). Вопрос исключения в формулах избыточных (взаимно уничтожающихся) членов при анализе различных схем освещен в гл. 4. Ряд полезных специализированных формул получен для анализа схем с одним, двумя и тремя операционными усилителями (гл. 5, 6). В гл. 7 рассмотрен метод записи операторных пере- даточных функций в полиномиальном виде RC- RL- и ^CL-фильтров на основании их электрических схем. Рассмотрению ошибок смещения нулевого уровня активных цепей посвящена гл. 8. В гл. 9 рассмотрен ряд дополнительных вопросов ана- лиза схем двунаправленными графами. Для чтения книги не требуется знания специальных разделов математики. Хотя почти для каждой формулы приводится ее доказательство, занимающее порою значи- тельное место, для практического овладения методами анализа этот материал не требуется. Этой цели в доста- точной степени могут способствовать примеры, которые приводятся для иллюстрации применения подавляющего числа формул, входящих в различные разделы книги. Книга рассчитана на инженерно-технических и науч- ных работников, сталкивающихся в своей практике с анализом различных электрических и электронных цепей и желающих освоить с целью повышения эффективности своего труда одно из направлений их ускоренного анализа. Автор выражает признательность рецензенту доктору техн. наук Д. Е. Полонникову за ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению содержания и изложения книги, и канд. техн. наук В. А. Рыжикову, взявшему на себя нелегкий труд по редактированию рукописи. Не все вопросы, затронутые в книге, освещены одина- ково полно, поэтому автор будет благодарен читателям за все замечания и пожелания, которые следует направ- лять в адрес издательства: 113114, Москва, М-114, Шлю- зовая наб., 10. Автор ГЛАВА ПЕРВАЯ ДВУНАПРАВЛЕННЫЕ ГРАФЫ (ОСНОВЫ ТЕОРИИ И ПРИМЕНЕНИЯ) 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Двунаправленный граф. является разновидностью на- правленного сигнального графа С. Мэзона [1] и введен канадским исследователем Л. Робишо [2] с целью упро- щения некоторых операций при работе с графами. Остановимся на ряде понятий и определений, необхо- димых нам в дальнейшем. Направленным сигнальным графом, или просто на- правленным графом, называют используемую для графи- ческой записи системы линейных алгебраических урав- нений совокупность направленных ветвей, изображаемых отрезками прямой или дугами произвольной кривизны со стрелками, определяющими направленность ветвей, и то- чек или кружочков, называемых узлами или вершинами графа, в которых начинаются и кончаются ветви (рис. 1.1). Узлами графа представлены независимые и зависи- мые переменные, а его ветвями — коэффициенты урав- нений, при этом рядом с каждым узлом и стрелкой ветви проставляются соответствующие буквы или цифры. Буквы или цифры рядом со стрелками ветвей задают коэффициенты передачи ветвей, или просто передачи вет- вей, равные коэффициентам уравнений, отображаемых графом. Узел графа, связанный с направленными от него вет- вями, отображает независимую переменную и носит на- звание истока. Узел графа, связанный с ветвями, направленными в Рис. 1.1. Направленный сигнальный граф этот узел, отображает искомую переменную и носит на- звание стока. Однако искомые переменные могут отображаться уз- лами, связанными с ветвями, часть из которых направ- лена и от этих узлов. Говоря о связи ветвей и узлов в графе, можно, таким образом, говорить о ветвях, «исходящих» из узла, и ветвях, «заходящих» в узел. С. Мэзон, сравнивая направленный граф с .систе- мой передачи сигнала, отмечает, что узлы, отображающие независимые переменные (истоки), соответствуют точкам посылки сигнала (генераторам), а узлы, отображающие зависимые переменные,—точкам приема сигнала (прием- никам). Сигналы, распространяясь вдоль ветвей, изменя- ются по величине в соответствии с коэффициентами пере- дачи ветвей. Узлы, отображающие зависимые переменные, в которые заходят и из которых исходят несколько вет- вей, соответствуют точкам приема и ретрансляции сигна- лов в другие точки. Располагая этими сведениями, можно по графу рис. 1.1 составить соответствующую ему систему уравнений: Xi==axo-}-cx2; X2==bxo+dxi; X3=fxi+exz. Подобно тому как система уравнений может быть за- писана несколькими способами, так и граф, ее отобра- жающий, может иметь несколько отличающихся друг от друга числом узлов и ветвей и их передачами начертаний, несущих в себе тем не менее одну и ту же информацию о математической связи между искомой и независимой переменными. Видоизменив форму записи системы уравнений, но со- хранив ее причинно-следственную форму, при которой ле- вая часть каждого из уравнений представляет собой одну из зависимых переменных, можно по ней построить видо- измененный граф, полностью эквивалентный первоначаль- ному графу. Так, записав систему уравнений в виде Xi=—{b/d)xo+(l/d)x2; X2=—(a/c}xo+(l/c)xi; X3=fxi+exs, получим по ней следующий граф (рис. 1.2), отличаю- 7 Рис. 1.2. Видоизмененный направлен- ный граф щийся от графа рис. 1.1 величиной и знаком передач от- дельных ветвей. Если из системы уравнений исключить одну из зави- симых переменных, т. е. свести систему к такой, которая состоит из двух уравнений, то отвечающий ей направлен- ный граф не будет содержать узла, отображающего исключенную переменную. Однако, не меняя формы, записи уравнений, можно осуществлять преобразования графов, руководствуясь ря- дом приемов (исключение узлов, инверсия и др.), из кото- рых остановимся лишь на приеме исключения узлов, не- обходимом нам в дальнейшем. Но предварительно дадим еще ряд определений. Путем в графе называется совокупность узлов и по- следовательно расположенных ветвей, позволяющих со- вершить через них обход в направлении, указанном на ветвях. Путей в графе может быть несколько. Путь может указываться перечислением проходимых ветвей (например, путь b-c-f на рис. 1.1) или перечисле- нием узлов, встречаемых при обходе (например, хо-х^-х\-хз, для того же пути). В дальнейшем будем придерживаться последнего обо- значения, но в форме 1хо.х,.х,.х,, где буква I является символом пути, а последовательность индексов, разделен- ных точками, указывает на порядок (алгоритм) прохож- дения узлов графа. Мерой пути является передача пути, равная произве- дению передач ветвей. Ее обозначим как c=rk, i где Яг—передачи ветвей пути; г'=1, 2, 3... Так, для пути 1х,.х,.х,.х, графа (рис. 1.1) а, =Ь, а^--= =с, a^=i и Сх,.х,.х,.х, ==bcf. Путь может включать в себя несколько ветвей, одну ветвь и в вырожденном виде один узел, например путь 1х,.х, с передачей Сл.„.;г„==1. 8 Путь называется разомкнутым, если ни один из про- ходимых узлов не встречается более одного раза. Разомкнутый путь может быть прямым и обратным; в последнем случае узлы проходятся в обратном порядке. Например, если путь Ix^.x, рассматривать как прямой, то путь Ix^xi будет обратным ему. В дальнейшем будем пользоваться в основном разом- кнутыми прямыми путями, которые ради краткости будем именовать просто прямыми путями. Путь, начинающийся и заканчивающийся в одном и том же узле и не проходящий дважды через другие узлы, является замкнутым путем, или контуром. Контур, состоящий из одной ветви, называется петлей. Передача замкнутых путей также определяется произ- ведением передач входящих в пути ветвей. Рассмотрим теперь приемы исключения одного из уз- лов направленного графа. Если исключаемый узел не вхо- дит в состав контура или петли, то исключение узла про- изводится на основании элементарных представленных на рис. 1.3 (и, б) преобразований, сохраняющих передачи прямых путей между оставшимися узлами. Если при исключаемом узле имеется петля (рис. 1.4), Рис. 1.3. Примеры элементарных преобразований графов для исключе- ния узла Рис. 1.4. Пример исключения узла графа при наличии петли то перед исключением узла необходимо устранить петлю, что достигается умножением передач заходящих в узел ветвей на величину 1/(1—g), где g—передача петли (передача ветви, образующей петлю). В случае, когда исключаемый узел входит в контур или несколько контуров, предварительно контур сводят к петлям, а потом поступают, как описано выше. Сведение контуров к петлям производится путем рас- щепления путей в графе при сохранении передач от одно- го узла к другому. Так, обращаясь к графу рис. 1.5,а, за- метим, что из узла х\ в узел Хч ведет единственный путь по ветви с передачей с, который может быть продолжен че- рез ветвь с передачей Ъ, что приведет к возвращению в узел х\. Расщепив этот путь на два пути с передачами с и be, получим граф, в котором контур заменен петлей. Преобразование того же графа, показанное на рис. 1.5,6, является неправильным, так как при этом теряется воз- действие узла л-2 на узел х\. В более сложных случаях можно руководствоваться этими же соображениями пли же сведение контуров к Ха а. ^i/ с \-<г ху д ,\ч с \. ' О——*———о——>———Ъ ^. о——а-——о——»——-s«o^ 0/ Неправильно лг с е У^ахо+Ьхг Xz^cxi+dxs Хг-ехг х-1 се .XJ х^=ахд4- bcx-; + bdxs XJ=cex-i+dsxJ Рис. 1.5. Сведение контуров графа к петлям 10 петлям производить путем перехода от графа к системе алгебраических уравнений и исключения в ней одной из переменных. На рис. 1.5,в путем исключения переменной х\ из системы уравнений, характеризующих исходный граф, и обратного перехода к графу достигнуто сведение двух контуров к одной петле при узле хч, который может быть исключен вышеописанными приемами. Прямое исключение узла х^ с помощью преобразо- вания алгебраических уравнений не всегда приводит к упрощению графа (рис. 1.5,з). Составление направленных графов при анализе элек- трических и электронных схем производится на основании законов электротехники, таких как законы Ома, Кирх- гофа, и методов анализа цепей — методов узловых потен- циалов и контурных токов — обычно без составления ал- гебраических уравнений. Например, граф цепи, изображенной на рис. 1.6,а, со- ставлен (рис. 1.6,6) на основании закона Ома для участ- ка цепи и первого закона Кирхгофа. Граф этой же цепи может быть составлен и другим образом (рис. 1.6,е). 1,2. НОРМАЛИЗОВАННЫЕ ГРАФЫ И ПЕРЕХОД К ДВУНАПРАВЛЕННЫМ ГРАФАМ Нормализованные направленные графы — это графы, при построении которых используется метод узловых по- тенциалов или метод контурных токов. В первом случае узлы графа будут отображать узло- вые напряжения, во втором — контурные токи. Передачи ветвей для этих случаев соответственно будут иметь раз- мерность проводимостей и сопротивлений. 11 Рис. 1.7. Построение нормализованного направленного графа цепи методом узловых потенциалов На рис. 1.7 (а, 6} приведены схемы цепи и ее нормали- зованный направленный граф, составленный с помощью метода узловых потенциалов (см. §2.1). При составлении графа целесообразно пользоваться принципом наложения (суперпозиции), т. е., например, при рассмотрении воздействия на цепь источника электродви- жущей силы (ЭДС) Ei источник ЭДС Ei считать замкну- тым, а источник тока /i — разомкнутым. Составление гра- фа заключается в изображении его узлов, соответствую- щих узлам цепи, узлов источников сигналов и ветвей, соответствующих воздействию потенциалов одних узлов цепи на потенциалы других узлов. При этом узлы, соот- ветствующие независимым переменным Ei, Ег и /i, не мо- гут испытывать воздействий со стороны других узлов, т. е. граф не должен содержать ветвей, направленных в эти уз- лы. Передачи ветвей имеют вид дробей, числителями ко- торых являются проводимости ветвей между соседними узлами цепи (общие проводимости), а знаменателями— собственные проводимости узлов, в которые направлена ветвь. Собственные или узловые 'проводимости равны сум- мам проводимостей всех ветвей, связанных с узлом. Передачи ветвей, идущих от источников тока, имеют вид дробей, числители которых равны единице, а знамена- тели являются узловыми проводимостями узлов, в которые направлены ветви, исходящие из узлов источников тока. На рис. 1.8 приведены электрическая цепь (а) и ее нормализованный направленный граф (б), составленный с применением метода контурных токов. Граф составлен с помощью формулы, позволяющей выразить контурный ток k-то контура через входящие в контур ЕДС Ehi и контурные токи 1кз соседних контуров, замыкающихся через рассматриваемый контур: 12 (1.1) где ZK/S—собственное сопротивление контура или контур- ное сопротивление, равное сумме всех сопротивлений, вхо- дящих в контур; ZK/ — общее сопротивление k-то и /-го контуров, т. е. сопротивление, входящее как в k-v., так и в J-Й КОНТур. Рис. 1.8. Построение нормализованного направленного графа цепи ме- тодом контурных токов Достоинством нормализованных графов томимо форма- лизации процесса их составления является однозначное со- ответствие между цепью и графом, а недостатком — нали- чие избыточных (взаимно уничтожающихся) членов в по- лучаемых с помощью графов выражениях схемных функций цепей (при использовании формулы Мэзона [1]). Рассмотрим теперь неопределенные нормализованные графы, которые называются также «плавающими» графа- ми, поскольку они отображают цепь, узел присоединения которой к общему узлу (земле) системы еще не опреде- лен. Можно также сказать, что неопределенные графы— это графы, соответствующие неопределенным матрицам цепей (см. § 1.3). Для построения неопределенного графа цепи необхо- димо исключить все входящие в схему цепи независимые источники ЭДС и тока. Зависимые (управляемые) ис- точники, если они входят в состав схемы, при этом необ- ходимо отобразить узлами и ветвями с передачами, соот- ветствующими так называемому управляющему параметру зависимых источников (этот вопрос подробно рассмотрен в §3.1.). При этом следует считать, что все внешние узлы цепи имеют по отношению к некоторому не входящему в ее состав узлу 0, называемому общим или базовым узлом, некоторую разность потенциалов, а сам общий узел имеет потенциал, равный нулю (рис. 1.9, а). Если построить направленный граф такой цепи, исполь- зуя метод узловых потенциалов, то все узлы графа будут связаны с соседними узлами парой ветвей с взаимно про- 13 Ys/1'44 5) Рис. 1.9. Электрическая цепь (а) и ее неопределенный нормализован- ный граф (б) тивоположными направлениями передачи, в том числе и внешние узлы, так как ни один из них не считается неза- висимым узлом. Эти пары ветвей образуют контуры, COOT- . ветствующие каждой пассивной ветви цепи (рис. 1.9, б). Числители передач этих пар ветвей равны общей проводи- мости между узлами, а знаменатели представляют собой собственные, или узловые, проводимости, причем проводи- мости узлов /, 3, 4, 5, принятых в качестве внешних узлов, ,-, обозначены с помощью двойных индексов и конкретно не известны, так как в них входят проводимости ветвей общей цепи, образующей на зажимах рассматриваемой це- пи напряжения Ui, Пз, t/4 и Us. Рассматривая рис. 1.9, нетрудно установить определен- ное геометрическое сходство схемы цепи и ее нормализо- ванного направленного графа, составленного с применени- ем метода узловых потенциалов. Это сходство усиливается еще в большей степени, если каждую пару ветвей соединить в одну ветвь с двумя стрелками, указывающими направления передач, а вели- чины передач принять равными числителям передач на- правленного графа, отбросив их знаменатели (рис. 1.10). Полученный граф представляет собой неопределенный двунаправленный граф, являющийся топологическим пред- ставлением неопределенного нормализованного направлен- ного графа. Пассивная электрическая цепь и ее двунаправленный граф топологически подобны друг другу: узлы и ветви гра- 14 фа соответствуют узлам и ветвям цепи, а передачи ветвей графа равны просто проводимостям этих ветвей. Отброшенные знаменатели передач ветвей направлен- ного графа, или так называемые «нормализующие множи- тели» [2], в неявном виде присутствуют в двунаправлен- ном графе. Для их получения необходимо просуммиро- вать отдельно передачи ветвей, заходящих в каждый узел цепи. Особенностью неопределенного двунаправленного гра- фа является равенство сумм передач заходящих и исходя- щих ветвей при каждом узле графа. > Подобным же образом из нормализованного направлен- ного графа, составленного с использованием метода кон- турных токов, можно 'получить двунаправленный граф, узлами которого будут контурные токи, а передачами вет- вей — сопротивления. Одним, из достоинств двунаправленных графов являет- ся то, что из неопределенных графов участков цепи мож- но простым их объединением получить неопределенный граф всей цепи, в то время как при объединении неопре- деленных направленных нормализованных графов участ- ков цепи приходится изменять 'нормализующие множители передач ветвей, поскольку при объединении графов меня- ется собственная 'проводимость ряда узлов. Другое достоинство двунаправленных графов по срав- нению с нормализованными направленными графами за- ключается в том, что выражения схемных функций цепей, получаемые с их помощью, в большинстве случаев имеют окончательный вид и свободны от избыточных членов, в то время как анализ схем цепей с помощью нормализован- ных направленных графов приводит к выражениям, содер- жащим избыточные члены, которые 'приходится выявлять и взаимно уничтожать алгебраическим путем. Кроме того, Рис. 1.10. Двунаправленный граф цепи рис. 1.9,а Рис. 1.11. Определенный дву- направленный граф цепи рис. 1.9,а (первый вариант) 15 как будет показано ниже, получение выражений схемных функций с помощью двунаправленных графов в большин- стве случаев может производиться по электрической схеме цепи без построения графов, не требует учета знака сла- гаемых и строится на основе учета прямых путей (§ 1.6) в графе. Это проще, чем выявление и учет некасающихся контуров при работе с направленными графами. Неопределенные двунаправленные графы будут нами использоваться для того, чтобы с их помощью отображать свойства активных элементов цепей (§3.1), схема включе- ния которых еще не определена, а также для облегчения получения схемных функций активно-пассивных цепей (§3.2). Определенный двунаправленный граф может быть по- лучен при объединении одного из узлов неопределенного графа с базовым узлом, соответствующим общему узлу (земле) цепи, и выделении независимых узлов цепи (исто- ков). При этом стрелки ветвей, 'направленные в базовый узел или независимые узлы и соответствующие им переда- чи, опускаются. На рис. 1.11 'представлен определенный граф, получен- ный из неопределенного графа (рис. 1.10) при замене за- висимого узла Ui на независимый узел Е\ и объединении узла Us с базовым узлом, обозначенным цифрой 0 и допол- нительно для лучшего его выделения, значком -L. Теперь следует считать, что узел Ei отображает единст- венный источник возбуждения цепи, а напряжения Ui,Un, Us, отсчитываемые относительно узла 0, являются напря- жениями, вызванными действием этого источника. Если считать, что цепь возбуждается большим числом независимых источников напряжения, например двумя, то определенный граф цепи следует видоизменить так, как показано на рис. 1.12. При возбуждении цепи источником тока в определен- ный двунаправленный граф следует ввести ветвь с единич- ^i о- ^——^-42 д у, ,, у, Ег < ^ Ys Гk ^о Рис. 1.12. Определенный двуна- правленный граф цепи рис, !.9,а (второй вариант) 16 Рис. 1,13. Определенный дву- направленный граф цепи рис. 1.9,а (третий вариант) ной передачей, исходящую из узла источника тока и на- правленную в узел графа, соответствующий тому узлу це- пи, в который вводится ток источника (рис. 1.13). Введение единичной ветви обусловлено тем, что в нор- мализованном направленном графе источник тока вводит- ся через ветвь с передачей в виде дроби, числителем ко- торой является единица, а знаменателем—отбрасываемая при переходе к двунаправленным графам собственная про- водимость. Для определения передаточной функции цепи использу- ют формулы коэффициента передачи двунаправленного графа (§ 1.6), которые позволяют, не прибегая к составле- нию уравнений, 'получать на основании двунаправленного графа (или электрической схемы цепи) выражение переда- точной функции без всяких промежуточных преобразова- ний. Для получения других схемных функций цепи ис- пользуются соответствующие формулы (§ 2.3), в своей основе сходные с формулами передачи двунаправленного графа. В основу всех этих формул положены рассмотренное выше понятие прямого разомкнутого пути от истока до стока и понятие подграфа к прямым путям, который в рам- ках настоящего изложения будет 'называться также допол- нением к прямым путям. Подграф — это некоторая часть графа, иными словами, граф, состоящий из части узлов и ветвей исходного графа, Чаще всего нас будет интересовать подграф (дополне- ние) к .прямым путям, образующийся из исходного графа путем соединения всех узлов прямого пути с базовым уз- лом, закорачивания ветвей, соединяющих узлы прямого пути с базовым узлом, и закорачивания всех ветвей пря- мого пути. Так пути /1.з.5 графа (ри. 1.14,а) соответствует под- граф, изображенный на рис. 1.14,6. В этом подграфе ряд параллельно соединенных ветвей, образовавшихся при за- корачивании ветвей прямого пути и соединении узлов пря- мого пути с базовым, заменен ветвями с эквивалентной пе- редачей, равной сумме передач всех параллельно включен- ных ветвей (имеющих размерность проводимости). Важной характеристикой графа (подграфа) является его определитель, соответствующий определителю системы линейных уравнений равновесия электрической цепи или определителю матрицы проводимостей цепи. Говоря об определителе подграфа, соответствующем определителю матрицы проводимостей цепи при вычерки- 2—272 IT Рис. 1.14. Двунаправленный граф (а) и его подграф (б) к пути li.s.s графа вании строк и столбцов, номера которых соответствуют но- мерам узлов прямого пути, в ряде случаев ради краткости будем говорить о. нем как об определителе дополнения к прямому пути. 1,3. СВЯЗЬ ДВУНАПРАВЛЕННОГО ГРАФА С СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И МАТРИЦАМИ Связь двунаправленного графа с системой линейных алгебраических уравнений проследим на примере схемы цепи, состоящей из элементов с одинаковой двусторонней проводимостью (рис. 1.15,а). Неопределенный двунаправленный граф этой цепи (рис. 1.15,6) топологически соответствует схеме цепи. Составим по методу узловых потенциалов систему урав- нений равновесия цепи в следующем виде: '1Z ггз 'га 'за Рис. !.15. Произвольная электрическая цепь (о) и ее неопределенный двунаправленный граф (б) 38 Уоо^о=УюС/1+У2о^2+УзоС/з; УпС/1=У10^0+У12^2+У1зУз; Y^U^Y^oUo+Y^Ui+Y^Us; УЗЗ^З=УЗО^О+^13^1+У23<-/2, где проводимости Уоо, Уц, У22, Узз — собственные проводи- мости узлов. Перенеся все члены уравнений в левую часть и расположив переменные уравнений (напряжения) в по- рядке возрастания их номеров, .получим следующую систе- му однородных уравнений: УОО^О—— YloUl——У20^-/2——У 30 U 3=0', -УюС/0+Уи^1-У12^2-У13^3=0; -У2оС/о-У12^1+У22^2-У23^3=0; -Y.oUo - У12С/1+У22^-У23^3==0. Матрица коэффициентов этой системы уравнений, на- зываемая неопределенной матрицей проводимостей цепи, будет иметь вид О 1 2 3 УОО -УЮ у——' 20 -УЗО -УЮ УП -Yl2 -У!З у• 20 -^12 ^22 -У23 -УЭО -У» ——^23 УЗЭ Ее особенностью является то, что сумма элементов лю- бой ее строки или столбца равна 'нулю- Это легко увидеть, если учесть, что Уоо^^ю+^о+Узо, Уц=Ую+^12+У!З и т. д. Неопределенную матрицу проводимостей легко постро- ить непосредственно по схеме цепи и, наоборот, по матри- це можно начертить схему цепи, которой соответствует матрица. Отождествляя строки матрицы с узлами цепи, располо- женными в том или ином порядке (например, по возраста- нию номеров), а столбцы—с соседними с ними узлами, расположенными в том же порядке, будем записывать в ячейки матрицы проводимости между соседними узлами Ч* 19 <(общие проводимости), взятые с отрицательным знаком; в случае отсутствия общей проводимости в ячейке будем проставлять нуль. В ячейки главной диагонали запишем собственные проводимости, номера которых определяются номером соответствующего столбца или строки. Обратный переход заключается в нанесении узлов цепи и соединении их ветвями, имеющими проводимости, равные взятым с обратным знаком проводимостям на'пересечении строки, соответствующей выбранному узлу, со столбцами, соответствующими соседним узлам. Наличие нулевой про- водимости говорит об отсутствии соответствующей ветви. Прямой и обратный переходы, изложенные выше, мо- гут рассматриваться и как переходы от неопределенного двунаправленного графа к неопределенной матрице и от неопределенной матрицы к неопределенному графу. Рассмотрим теперь связь определенной матрицы с оп- ределенным двунаправленным графом. Определенная матрица 'получается зачеркиванием стро- ки и столбца, номера которых соответствуют номеру узла, выбранного в качестве общего. Так, если в качестве обще- го (базового) узла цепи (см. рис. 1.15) выбрать узел 0, то составленная выше матрица станет определенной и с уче- том значений собственных проводимостей узлов приобре- тет следующий вид: ^10+^12+^13 -^12 -У» у——' 12 '12+J20+•23 ——^23 -У!З -У23 ^13+^23+^30 Сумма элементов отдельных строк или столбцов такой матрицы уже равна не нулю, а некоторой величине, на- зываемой избытком относительно строк и столбцов. Избыт- ки относительно строк и столбцов для 'пассивной цепи рав- ны друг другу. В общем случае избытки относительно строк равны передачам ветвей, исходящих из базового уз- ла, а избытки относительно столбцов равны передачам ветвей, заходящих в базовый узел и отбрасываемых при построении определенного двунаправленного графа. Для лриведенной выше матрицы Ую — избыток относительно первого столбца или первой строки, Уго — избыток относи- тельно второго столбца или второй строки и т. д. 20 < Раскрытие определителя матрицы может быть произве- дено по избыткам строк или столбцов, что будет соответ- ствовать определенным действиям над графом, которые по- ложены в основу методики раскрытия определителей гра- фа по его виду при пользовании формулой Л. Робишо (§1.6). Раскрытие по избыткам в отличие от раскрытия опре- делителя с помощью разложения Лапласа (вычеркивани- ем строк и столбцов) не 'приводит к выражениям, содержа- щим избыточные члены, что распространяется и на методи- ку раскрытия определителя по двунаправленному графу (§1.6). 1.4. ВВЕДЕНИЕ В ДВУНАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ ЗАВИСИМЫХ ИСТОЧНИКОВ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ Зависимые источники тока, входящие в эквивалентные схемы активных элементов, могут быть введены в направ- ленный нормализованный граф с последующим его преоб- разованием в двунаправленный граф или же путем учета параметров управляемого источника в матрице и последую- щего перехода от матрицы к двунаправленному графу. Оба эти пути подробно рассмотрены в §3.1. Зависимые источники напряжения с конечной величи- ной внутренней проводимости могут быть введены в двуна- правленный граф путем замены этих источников эквива- лентными источниками тока с последующим их учетом в двунаправленном графе. 1.5. ВИДЫ ДВУНАПРАВЛЕННЫХ ГРАФОВ Двунаправленные графы могут основываться на методе узловых потенциалов (У-графы) и на методе контурных токов (/(-графы) и дополнительно различаться между со- бой в зависимости от того, чем (проводимостью У или со- противлением Z) выражены передачи их ветвей. Соответ- ственно с этим двунаправленные графы можно подразде- лить на Уу-, Уг-, Кг- и Я^-графы, а также смешанные гра- фы. Уу-двунаправленные графы. Двунаправленные графы, основанные на использовании метода узловых потенциа- лов, передачи ветвей которых выражены проводимостями, а узлы отображают узловые напряжения цепи (см. рис. 1.11), будем в дальнейшем 'называть Уу-двунаправленными графами. 21 Достоинством графов этого вида является то, что топо- логически они соответствуют пассивной цепи, параметры элементов которой выражены проводимостями. Предыдущее и последующее изложение материала по- строено в основном на использовании этого вида двуна- правленных графов. Уг-двунаправленные графы. Двунаправленные графы,. основаннные на использовании метода узловых потенциа- лов, передачи ветвей которых выражены сопротивлениями, а узлы отображают узловые напряжения цепи (рис. 1.16),. будем называть Vz-двунаправленными графами. Достоинством графов этого вида является то, что то- пологически они соответствуют пассивной цепи, параметры элементов которой выражены сопротивлениями. Переход от Уу- к Уг-графам и наоборот может быть осуществлен простой заменой проводимостей на сопротив- ления в передачах ветвей графа или сопротивлений на проводимости с сохранением их позиционных обозначений. Так, графы рис. 1.16 и 1.17 соответствуют одной и той же цепи и позволяют получить одни и те же функции цепи, выраженные в одном случае через сопротивления, а в дру- гом — через проводимости. Vz-графы отличаются от Уу-графов также и методом образования передач прямых путей. Лу-двунаправленные графы. Двунаправленные графы, основанные на использовании метода контурных токов, пе- редачи ветвей которых выражены проводимостями, а узлы отображают контурные токи (рис. 1.18), назовем /(у-дву- направленными графами. Графы этого вида топологически отличаются от схемы Рис. 1.16. Двунаправлен- ный У z-граф произвольной цепи Рис. 1.17. Двунаправленный Уу-граф, соответствующий Уг-графу рис. 1.16 22 Esx 1 Ii Уг Iz о—»——о—<—>—о .,^=7/(ЗД; О I 1° Рис. 1.18. Двунаправленный KY-граф произвольной цепи Рис. 1.19. Двунаправленный Kz-траф цепи, соответствую- щий /<у-графу рис. 1.18 цепи, и для их построения по электрической схеме цепи может быть использован принцип дуальности. Метод образования передач прямых путей /Су-графов совпадает с методом образования передач 'путей Уг-гра- фов. Лг-двунаправленные графы. Двунаправленные графы, основанные на использовании метода 'контурных токов, пе- редачи ветвей которых выражены сопротивлениями, а узлы отображают контурные токи (рис. 1.19), назовем Kz-Дву- направленными графами. Графы этого вида топологически отличаются от схемы цепи, и для их построения по схеме цепи может быть ис- пользован принцип дуальности или же они могут быть 'по- лучены путем простой замены передач ветей A'y-графов на передачи в виде сопротивлений. Метод образования передач прямых путей Яг-графов идентичен методу образования передач прямых путей Уу- графов. Смешаннпе двунаправленные графы. Двунаправлен- ные графы, полученные комбинированием двух и более ви- дов двунаправленных графов, будем относить к смешан- ным двунаправленным графам. На рис. 1.20 представлен смешанный Ууг-граф, соот- ветствующий той же цепи, что и графы рис. 1.16 и 1.17. Сравнение видов двунаправленных графов (рекомен- дации по применению). Все виды двунаправленных гра- фов позволяют с помощью формулы коэффициента переда- чи и формул других схемных функций цепей получать го- товые решения, которые в большинстве случаев имеют окончательный вид и не содержат избыточных членов. Однако только Уу- и Уг-двунаправленные графы топо- логически подобны схеме цепи, что в большинстве случаев позволяет проводить анализ без построения графов (вести его на основании электрической схемы цепи). Ку- и К.г- 23 EexZ1_J1,^uз двунаправленные графы требуют для п"°^ т /! проведения анализа построения гра- ^ фов цепи, что связано с дополнитель- оЗ ными затратами сил и времени иссле- _L дователя. Имея в виду простоту и до- Рис. 1.20. Смешан- ный У г z-граф цепи, соответствующий гра- фам рис. 1.16 и 1.17. ступность методов перехода от напря- жений к токам в ветвях цепи (см. § 2.2), позволяющих на основании схе- мы цепи получать выражения токов в ветвях цепи, воздержимся от реко- мендации применения в инженерной практике Ку- и /Cz-двунаправленных графов и рекомендуем для анализа цепей использовать У у и У^-графы. Если провести теперь сравнение Уу- и Уг-графов, то, отмечая их равноценность и одинаковую эффективность при анализе цепей, заметим, что порядок членов в полу- чаемых выражениях при анализе одной и той же цепи час- то оказывается неодинаковым. Это определяется тем, что порядок членов выражений коэффицента передачи и неко- торых других функций цепи при анализе Уу-графами опре- деляется числом зависимых узлов графа, а при анализе Уг-графами—числом независимых контуров планар- ной цепи. Хотя Уг-графы и основаны также на методе узловых потенциалов, получаемые с их помощью выраже- ния имеют тот же вид и ту же размерность, что и при ана- лизе методом контурных токов, т. е. их применение тем эффективнее, чем меньше цепь имеет независимых конту- ров. Сравнение Уу- и Vz-графов может производиться еще и в психологическом аспекте, поскольку значительная часть научно-технических и инженерных работников в большей степени привержена к выражению параметров элементов цепи через сопротивления, чем через проводи- мости. Из смешанных графов наибольший интерес представля- ют смешанные Уу^-графы, позволяющие получать безраз- мерные выражения числителей и знаменателей схемных функций цепей. 1,6. ФОРМУЛЫ КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕДАЧИ ДВУНАПРАВЛЕННОГО ГРАФА 1.6.1. ФОРМУЛА РОБИШО Коэффициент передачи двунаправленного графа и соответственно передаточная функция цепи, соответствую- 24 щей графу, могут быть найдены по следующей предло^- женной Л. Робншо [2] формуле, сходной с топологической формулой коэффициента передачи цепи [1]: (1.2) или в сокращенной форме записи Xm/Xu=Qf&., где Q=]^C,.A,.; С,. — передача прямого пути из узла Ху г (истока) в узел Хгп. (сток), равная произведению передач ветвей, входящих в прямой путь графа; Дг—определитель дополнения к прямому пути, т. е. определитель подграфа, образующегося из исходного графа при объединении с базовым узлом всех узлов прямого пути графа; г= 1, 2, 3 ...; А — определитель графа, вычисляемый по формуле Д=]?ДгД; +^а^.Д^.+^о,;а^Д^+... (1.3) i ч 'ik Здесь Qi, а.1, ..., a.i, ...—передачи ветвей, исходящих из базового узла и направленных к узлам 1, 2, .... i, ... графа; a,i dj dk, ...—произведения, образованные переда- чами ветвей, взятыми во всех возможных сочетаниях; Агз-ft—определители подграфов, образующихся из исход- ного графа путем удаления ветвей с передачами иг, а.;, dh, . •. и объединения узлов i, /, k, ... в один узел, прини- маемый за базовый узел подграфа. Для нахождения определителей А;,/г повторно применя- ется формула (1.3), причем входящие в нее определители находятся снова с использованием (1.3) и т. д. Определители Лг, входящие в формулу передачи двунаправленного графа (1.2), также находятся по (1.3). При нахождении определителей А все входящие в цепь источники ЭДС замыкаются накоротко, а источники токов размыкаются, что отображается в графе объединением узлов источников ЭДС с базовым узлом. Узлы источников токов могут быть при этом устранены, однако ввиду отсутствия ветвей, направленных в эти узлы, они не влияют на раскрытие определителя графа. Нахождение определителей Лг производится по подгра- фам, которые уже не содержат ни узлов источников ЭДС, ни узлов источников тока, так как при образовании прямых 25 путей все узлы, включая исток, объединяются с базовым узлом. Другие же внешние источники ЭДС по принципу наложения закорачиваются, а источники тока размыка- ются. Пример 1.1. Найти, используя формулу (1.2), коэффициент пе- редачи графа, изображенного на рис. 1.21,а. Узлы графа отображают независимые и зависимые переменные, выраженные в данном случае узловыми напряжениями. Однако на ри- сунке ради простоты узлы обозначены сокращенными словами Вх (вход), Вых (выход) или арабскими цифрами. Из рассмотрения графа следует, что имеется два прямых пути ^вх.2.1.з.вы! и/аховых, образующие следующие произведения передач (проводимостей) ветвей: Ct=YiY^Ye и C^YlYs. При соединении всех узлов первого пути с базовым узлом, обозна- ченным цифрой 0, подграфа не образуется, так как этот путь затронул все узлы графа, и ветви, не вошедшие в прямой путь, оказались зако- роченными. В этом случае условно считают, что определитель дополне- ния к пути равен единице, т. е. Д,=1. При соединении всех узлов второго пути с базовым узлом обра- зуется подграф, изображенный на рис. 1.21,6, в котором базовый узел образован объединением узлов 2 и Вых с базовым узлом графа. Нахождение определителя этого подграфа, т. е. Ад, производится по 1 ^ 3с—•——•—" Уг' i V-'S Вх п— У1 г , Л, , 1,9/,/у ^ ^ 3 —о 1о— Yf 0(3) къ\ ^ ^Г————\, < г/ /. А \о , 1 ^ 1, 1°.; Рис. 1.21. Двунаправленный граф (а) и его подграфы (б, е, г, д) к примеру 1.1 нахождения коэффициента передачи графа 26 <1.3). Для этого передачи ветвей, исходящие из базового узла, следует согласно формуле взять во всех возможных сочетаниях (по одной, по две), отобразить эти сочетания в подграфе отбрасыванием ветвей, не входящих в это сочетание, и объединением узлов, куда направлены передачи ветвей, входящих в сочетание, с базовым узлом (рис. 1.21,в, г, д). На этих рисунках ветви, входящие в сочетания, изображены штриховой линией, а ветви, изображенные сплошной линией, состав- ляют вместе с относящимися к ним узлами подграфы подграфов. Пе- редачи ветвей, направленные в базовый узел, являющийся независимым узлом, при этом опускаются. В первых двух случаях подграф подграфа состоит из единственной ветви и его определитель согласно (1.3) равен передаче этой ветви, в третьем же случае подграф подграфа отсут- ствует. Приведенных пояснений достаточно, чтобы записать: Д2=У2У4+УбУ4+У2Уб. Таким образом, числитель коэффициента передачи равен ^ ^,Д,= YI У^Уб+У. Уб ( ВД+УбМ-^Уб) . г Знаменатель коэффициента передачи (определитель графа) нахо- дится из графа, получаемого из исходного (см. рис. 1.21,а) объедине- нием узла ВХ с базовым узлом (рис. 1.22), если считать, что напря- Рис. 1.22. Двунаправленный граф с исклю- ченным источником ЭДС для нахождения определителя графа к примеру 1.1 Рис. 1.23. Подграфы, поясняющие этапы нахождения первой составляющей опреде- лителя графа рис. 1.22 ^ J 0 Yu 3 1 Yw: г + ^>УVs/C^-Vs) -У;/(У, ^WT^z^2 + Y3+ Yr! Рис. 2.2. Направленный граф цепи рис. 2.1 Полученной системе уравнений соответствует направ- ленный граф (рис. 2.2), который может быть преобразо- ван к виду, изображенному на рис. 2.3. Отбрасывая в графе рис. 2.3 нормализующие множите. ли (знаменатели передач ветвей), объединяя ветви, свя- зывающие одинаковые узлы, и вводя ветви, соответствую- щие связанным с базовым узлом элементам проводимости с передачами, равными проводимостям этих элементов, получим двунаправленный граф цепи (рис 2.4), в котором узлы ЭДС оказались замененными узлами токов: //==?174; I,"=—E,Yt, //=^У2 и }^'=-E,Y2. Как видно из рис. 2.4, учет незаземленных источников ЭДС свелся к введению в граф узлов источников разнона- -правленных токов, равных по величине произведению ^(Yf+Wr^y ^1/(W+Ys) -t^ Y^ tg 'г "Рис. 2.3. .Преобразованный направленный граф цепи рис. 2.1 50 Рис. 2.4. Двунаправленный граф> ЭДС на проводимость вет- ви, в которой находится ис- точник ЭДС, и исходящих из этих узлов ветвей с еди- ничными передачами, на- правленных в узлы графа, и. соответствующие узлам це- пи, между которыми были ^ включены ветви, содержа- щие незаземленные источ- ники ЭДС. Общность рассуждении, цепи Р"0- 2Л проведенных на данном при- мере, очевидна, так как введение в цепь новых ЭДС и ветвей приведет только к росту числа источников тока в графе, величина тока которых определяется лишь ЭДС и проводимостью введенных ветвей, и не повлияет на вели- чину токов остальных источников и тем более на передачи исходящих из них ветвей, которые всегда являются еди- ничными. Во многих случаях можно отказаться от необходимости: построения графа и анализ прозиводить только на осно- вании электрической схемы цепи. Достоинство рассмотренного подхода заключается в том, что анализ схем производится стандартным мето- дом — с помощью формулы коэффициента передачи дву- направленного графа, а недостаток—в том, что в цепи последовательно с источником ЭДС должен быть обяза- тельно включен элемент проводимости. Это ограничение свойственно методу узловых потенциалов. Пример 2.1. Найти напряжение Uy, обусловленное действием источников ЭДС Ei и Еч (см. рис. 2.1). На основании графа рис. 2.4 или непосредственно по схеме цеп»» записываем U,={E,Y,[Y,(Y^Y^Y,)+Y^]-E^[(Y^Y,)Y,+ -г(Уз-^5) (M-^^n+^W^i+yd-^+W]- -E2Y,[Y^+Ys+Ys)+Y^]]/A= ={-А,У4[У1(У2-Уз+У5)+У2Уз]+ад(У1У5-УзУ4)}/Д, где Д= У,У,(У<+У,+У,)+У1У,У5+Уз[(У,+У2)У4+(Г5+У.) (У,+У2+ +У4)]+УбУ5(У1+У2-г-У4)+УбУ4У2—определитель цепи, вычисляемый по схеме цепи при закороченных ЭДС или по графу при токах источ- ников, равных нулю. Как показывает пример 2.1, полученное выражение со- 4* 51 держит ряд подобных членов с противоположными знака- ми, взаимное уничтожение которых приходится произво- дить алгебраическим путем. В качестве иллюстрации ко второму направлению ана- лиза приведем два примера по анализу конкретных схем с помощью обобщенной формулы коэффициента передачи двунаправленного графа, напомнив, что при использова- нии этой формулы можно анализировать также цепи, со- держащие незаземленные источники ЭДС, последователь- но с которыми не включен элемент проводимости, т. е. це- ли с «идеальными» источниками ЭДС. Пример 2.2. Решить задачу, поставленную в примере 2.1, с по- мощью обобщенной формулы коэффициента передачи двунаправленного .графа. Используя (1.13) и принцип суперпозиции, найдем напряжение в узле 3 в виде суммы двух составляющих: Уз=г1{У2У5У4-У4[(Уз+Ув) УН-У, (У^т-Уз+У5)]}/Д+ +^[У5(У1+У4) У2-У2У4(Уз+У5)]/Д= ={-Я1У4[У1(У^-Уз+У5)+У2Уз]+^У2(У1У5-УзУ4)}/Д. В этом примере, закоротив источник ЭДС Е^ и изъяв из цепи источник ЭДС Et, мы осуществили прохождение в узел 3 от узла цепи, который был соединен с положительным полюсом источника ЭДС Е, (узла 1), а затем прохождение в узел 3 от узла, который был соеди- яен с отрицательным полюсом источника. Произведение передач (про- водимостей) ветвей на определители дополнения в первом случае было взято с положительным знаком, во втором — с отрицательным. Отсоеди- нение источника ЭДС Ei от узлов цепи производилось для создания режима холостого хода в узле цепи, к которому присоединен противо- положный полюс источника ЭДС. Составляющие от источника ЭДС Е-г были найдены аналогичным образом. Определитель А находится так же, как и в примере 1.2. Пример 2.3. Найти напряжение Us, вызванное действием «иде- ального» источника ЭДС Е (рис. 2.5). Используя (1.13), получим С/3=г[У4(У1+У2)-У2(Уз+У4)]/[(У1+Уз)(У24У4)- +У5(У1+У2+УЗ+У4)] =г(У,У4-У2Уз)/[(У.+Уз) (У2+У4)+ +У5(У1+У2+Уз+У4)]. Как видно из приведенных примеров, пользование формулой (1.13) значительно проще, чем пользование при- емом замены источников ЭДС эквивалентными источни- ками токов, и получаемые выражения, хотя и содержат избыточные члены, значительно проще. 52 С помощью методов так назы- ваемого топологического или алго- ритмического исключения избыточ- ных членов (см. гл. 4) можно, ис- пользуя формулу (1.13), получать выражения напряжений сразу в окончательном виде (без избыточ- ных членов). Это иллюстрируют, в частности, примеры 1.7, 4.1 и 4.2. Рис. 2.5. Схема с источником к примеру 2.3 2.2. НАХОЖДЕНИЕ ТОКОВ В ВЕТВЯХ ЦЕПИ Естественным способом для нахождения токов в вет- вях электрической цепи является такой, при котором най- денная вначале разность потенциалов на зажимах ветви умножается на проводимость этой ветви. Однако способ даже для относительно простых цепей приводит к выражениям, усложненным значительным чис- лом содержащихся в них избыточных членов. Так, для цепи, изображенной на рис. 2.6,а, выражение разности потенциалов узлов 1 и 2 имеет вид ^=[/^{УзУ,(У,4-У5+Уб+У8)+УзУ5У8+ +(У4+Уб)У5У7+(У4+Уб)У8(Уз+У5+У7)+ -НУ9[(У4+Уб+У8)У5+(Уз+У7)(У4+У5+Уб+У8)]}/А+ +С/вх[УзУ5У4(У7+У8+Уэ)+УзУ7У8У4]/А- -^/вх{У1У41(Уз+У5)У7+(У8+У9)(Уз+У5+У7)]+ +УзУб(У1+У2+У4)(У7+У8+У9)+ +УзУ7У8(У1+У2+У4)}/Л, где А—определитель графа цепи. Числитель этого выражения содержит 48 членов, из ко- торых 32 избыточных. 5 v Уе 5 Рис. 2.6. Схема цепи к примеру 2.4 (а) и схема той же цепи с перене- сенным в узел ./ общим узлом цепи (б) 53 Дополнительный метод при решении таких задач за- ключается в использовании обобщенной формулы коэффи- циента передачи двунаправленного графа (1.13). Его так- же проиллюстрируем на примере анализа схемы конкрет- ной цепи. Пример 2.4. Найти ток в ветви с проводимостью У4 цепи, изо- браженной на рис. 2.6,0. Обратимся к схеме цепи и перенесем общий (базовый) узел в один из узлов, связанных с ветвью Y^, например в узел 1 ((рис. 2.6,6). Тогда источник входного напряжения можно рассматривать как источник, не- посредственно не связанный с новым базовым узлом. Если по (1.13) найдем потенциал узла 2 и умножим его на проводимость У<, то по- лучим ток в ветви с проводимостью У4: 1у4=^вхУ4{УзУ5[(У7+У8)У9+(У2+Уб)(У7+У8+У9)]+ 4-УзУ7У8(У2+Уб+У9)+УзУ7^6-Уб[У1Уз(У7+У8+У9)+ +У5(У,+Уз)(У7+Уа+У9)+(У8+У9)У7(У1+Уз)]- -УдМ^+^З+У^З+Уб+^Л-^Уб^+УзЦ/А. Числитель выражения содержит 32 члена, из них 16 избыточных. Для повышения эффективности рассмотренных методов необходимо применять правило топологического или алго- ритмического исключения избыточных членов (см. гл. 4), что позволит непосредственно по схеме получать выраже- ния токов, не содержащие избыточных членов. 2.3. СХЕМНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕПЕЙ 2.3.1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ Основной функцией цепи, характеризующей передачу входной величины цепи на ее выход, является передаточная функция цепи, которая представляет собой отношение вы- ходной и входной величин, выраженных в комплексной или операторной форме. Передаточная функция цепи, определенная таким обра- зом, является обобщающим понятием, и в зависимости от того, является ли входной или выходной величиной напря- жение или ток, это понятие может быть конкретизировано. Конкретизация понятия передаточной функции помимо внесения определенности необходима в связи с тем, что пе- редаточные функции в зависимости от характера входных и выходных величин выражаются различными формулами. Передаточная функция цепи по напряжению, когда входной и выходной величинами цепи является напряже- ние, определяется на основании формулы коэффициента передачи двунаправленного графа (1.2): 54 ./Спер17=Увых/^вх=<3/Авх.к. :(2.2) Здесь Q — числитель коэф- фициента передачи двунаправ- ленного графа от входного до выходного узла цепи в опера- торной или комплексной форме; Рис. 2.7. Произвольная элект- рическая цепь, возбуждаемая источником тока Двх.к—определитель графа, на- ходимый в режиме короткого замыкания входного узла, вы- раженный в операторной или комплексной форме. Когда входной и выходной величинами цепи являются токи, передаточная функция це- пи по току, определяемая в режиме короткого замыкания выходного узла, может быть получена на основании (1.2). Для этого представим себе в общем виде некоторую цепь (рис. 2.7), к входным зажимам которой подводится ток от источника тока, а ее выходной узел нагружен про- водимостью нагрузки УН. Напряжение на выходе такой цепи может быть найдено по формуле коэффициента передачи двунаправленного гра- фа (1.2) как U^=I^Q'^ а ток через проводимость нагрузки — как f^=I„QY„!&. В этих формулах А^;^—определитель цепи с учетом проводимости нагрузки, определяемый в режиме холостого хода входного узла. Заметим, что в числитель Q проводи- мость Ун войти не может, так как при образовании прямых путей в выходной узел она закорачивается. (У \ Раскроем определитель Дв^° по ветви Ун с помощью <1.6): вх- х — "вх. вых. х Н—ВХ. X. ВЫХ. К" Тогда Кпер7=/вых//вх=(ЗУн/ (Авх.вых.х+^нДвх.х.вых.к) . (2.3) Устремляя Ун к бесконечности, получаем ^\пepI=:Q/Двx.x,выx.к• Формула (2.3), записанная в операторной или ком- плексной форме, позволяет определить передаточную функ- цию цепи по току. 55 Рассмотрим теперь случай, когда входной величиной цепи является ток, а выходной — напряжение. Передаточная функция цепи в этом случае имеет раз- мерный характер и заменяется понятием «взаимное элек- трическое сопротивление», представляющим собой отноше- ние выходного напряжения к входному току, выраженных в операторной или комплексной форме. Взаимное электрическое сопротивление, называемое еще сопротивлением передачи, может быть найдено по форму- лам коэффициента передачи двунаправленного графа в ре- жиме холостого хода входного узла и записано в оператор- ной или комплексной форме: 2вз=0/Двх.х. (2.4) Теперь остановимся на случае, когда входной величиной цепи является напряжение, а выходной — ток. В этом слу- чае передаточные свойства цепи можно характеризовать взаимной электрической проводимостью, представляющей собой отношение выходного тока к входному напряжению, выраженных в операторной или комплексной форме. Взаимная электрическая проводимость, называемая еще проводимостью передачи, находится в режиме короткого замыкания выходного узла и определяется по формуле (2.5), получаемой аналогично (2.2) и записываемой в опе- раторной или комплексной форме: ^вз^^У/Двх.вых.к. (2.5) Отметим, что формулы для определения передаточной функции по напряжению и току и взаимных сопротивления и проводимости отличаются только определителями, кото- рые находятся при различных режимах входного и выход- ного узлов. Пример 2.5. Найти передаточные функции цепи, схема которой приведена на рис. 2.8. По (2.2)—(2.5) имеем Я,„pu=[УlУ5(У2+У4+У6)+'У2У6(Уl+Уз4-y5)]/[(У2+У4)У«(Yl+ -Г^+У5)+(У1+Уз)У5(У2+У4+Уб)]; /<пер/=[У1У5(Уг}-У4+Уб)+У2Уб(У1+Уз+ W ] /[ (Уз+Уб) YI (У2+У<+Уб)+ (У4+Уб) У2 (У1+Уз+У5)] ; 2.з=[У,У5(У2+У4+Уб)+У2Уб(У1+Уз+ +У5)]/{УзУ5[У1У^(У4+Уб)(У,+У2)]+УзУ|У2Уе+ +y4y6[У2УI+(Уз+У5)(Уl+У2)]4-У^У2У^У5}; У.э-[УlУ5(У2+У4-т-y6)+У2У6(У^+yз4- Ч-У5)]/(У-.+Уз+У5) (У2+У<+У5). 56 Нахождение передаточных функций с помощью Уг-графов может производиться по тем же формулам. В ряде случаев вы- ражения передаточных функций, полученные с помощью Уг-гра- фов (§ 1.5), более компактны. Пример 2.6. Найти взаимное со- противление цепи (рис. 2.8), параметры элементов которой выражены сопро- тивлениями рис- 2'8- схема ВД"и к "РЧ- тивлениями. мерам 2.5 и 2.6 Пользуясь формулой (2.4) и ме- тодологией записи передач путей Уг -графа, получим 7ва= [Zs (Z,Z^Z,Zs+Z^Z,)+Z, (ZaZs+ZiZs+.Z^) ] 1[Z^ -)-Ze (Za+Zi) -|-Z4 (Zs+Z,) -(^Zs+ZaZs+Zs (Zz+Zi) -|- +Z, (Z^-I-Z,) +Z3Ze] = {Z3 [Z2 (Z4+Ze) +Z•<—прямой путь из узла т в узел s, проходящий через любые узлы графа (схемы), за исключением специально огово- ренных, узлов р, ..., г, и заходящий в узел п с последующим скачком из него в узел s lmsi.lm.si, Im.n.sl, 1т.п—-si—t-Й ПуТЬ ВИДЯ Ims И СООТВСТСТВеННО ВИ- ДОВ lm. s» i-m.n.s И 1т. п—> s Стг и ,Qms — передача прямого пути Imi и соответствующий сово- купности путей этого вида числитель коэффициента передачи графа из узла те в узел s Cm.s и Qm.s — передача прямого пути Im.s и соответствующая сово- купности путей этого вида составляющая (компонента) числите- ля коэффициента передачи графа из узла /га в узел s Cm.п.в и Qm.n.a—передача прямого пути Im.n.s и соответствующая совокупности путей этого вида составляющая числителя коэффи- циента передачи графа из узла т в узел s Сщ.т»—>а и Qm.n—>s—передача прямого пути Im.n—«•s и соответ- ствующая совокупности путей этого вида составляющая числите- ля коэффициента передачи графа из узла т в узел s (передача пути на участке n'->-s принимается равной единице) Q^ms, Q'^m.s, Q.'^'tm.n.s, Q^m.n—>s—числитель коэффициента пе- редачи графа из узла т в узел s и его составляющие, найден- ные при условии, что узел q графа (схемы) находится в режиме холостого хода O^ms, Q^m.s, (^''"m.n.s, Q^m.n——>s—ЧИСЛИТёЛЬ КОЭффИЦИеНТВ Пе- 250 родачи графа из узла т в узел s и его составляющие, найденные при условии, что узел q графа (схемы) находится в режиме ко- роткого замыкания с базовым узлом Q'r.-s, Q^m.s, Q^m.n.s, Q^m.n—^s— числитель коэффициента пе- редачи графа из узла т в узел s и его составляющие при усло- вии, что определители дополнений раскрыты по узлу q. Q'^vа.з, Q'lкl).n.s, О9"!).»»—-»—числители составляющих коэффициен- та передачи графа из базового узла О в узел s при условии, что определители дополнений находятся в режиме короткого за- мыкания узла q с базовым узлом О; отождествление узла Ч с базовым узлом О при образовании прямых путей с порядком прохождения узлов, указанным в нижних индексах, не допус- кается Qo.s.^K, Qo.n.s.qK, Qo.n—>s,qK—числители составляющих коэффици- ента передачи графа из базового узла О в узел s при условии, что при образовании прямых путей узел q короткозамкнут с ба- зовым узлом О Qm-s — числитель коэффициента передачи графа цепи из узла т в узел s, совпадающий с числителем передаточной функции цепи, в которой узел т используется в качестве входного, а узел s — в качестве выходного узла Д — определитель графа цепи, т. е. знаменатель коэффициента пе- редачи графа или передаточной функции цепи Дтп, Am.n, Am.n.s, Am.re—>• s—определители дополнений к путям lm п, Im.n, Im.n.s, Im.n—г s СООТВеТСТВёННО Aqv или Д1'1' — определитель графа, при нахождении которого узел q считается короткозамкнутым с базовым узлом Д'г — определитель графа, раскрываемый по узлу q ^^тл — определитель дополнения, раскрываемый по узлу q д' н' — определитель дополнения с учетом проводимости нагруз- ил?г ки У„ QO——г<Г=ДвК У 0 ——> m.s.===Уffг.s О SK — О ^т.п ~чт.п.—>s СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы, системы: Пер. с англ./ Под ред. П. А. Ионкина.—М.: Изд-во иностр. лит., 1963.—620 с. 2. Робишо Л., Буавер М., Робер М. Направленные графы и их приложение к электрическим цепям и машинам: Пер. с фр./ Под ред. Э. М. Пейсаховича. —М.—Л.: Энергия, 1964.—248 с. 3. Абрагамс Дж., Каверли Дж. Анализ электрических цепей ме- тодом графов: Пер с англ./ Под ред. А. А. Соколова.—М.: Мир, 1967.—176 с. 4. Анисимов В. И. Топологический расчет электронных схем. —Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1977.—240 с. 5. Бессонов Л. А. Линейные электрические цепи.—М.: Высшая школа, 1968.—256 с. 6. Тимкин Ю. В. О применении двунаправленных графов при ана- лизе линейных операционных цепей. — В кн.: Аналоговая и ака.того- цифровая вычислительная техника/ Под ред. В. Б. Ушакова, вып. 3. М.: Советское радио, 1969, с. 161—178. 7. Основы теории цепей/ Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нету- шил, С. В. Страхов.—4-е изд.—М.: Энергия, 1975.—752 с. 8. Хэпп X. Диакоптика и электрические цепи: Пер с англ./ Под ред. В. Г. Миронова.—М.: Мир, 1974.—344 с. 9. Сигорский В. П. Матрицы и графы в электронике.—М.: Энер- .•ия, 1968.—176 с. 10. Федотов Я. А. Основы физики полупроводниковых приборов.— М.: Советское радио, 1969.—592 с. 11. ОСТ 4 ГО.070.216, ред 1—79. Система автоматизированного проектирования. Информационная база. 12. Гребен А. Б. Проектирование аналоговых интегральных схем: Пер с англ./ Под ред. Е. X. Караерова. — М.: Энергия, 1976.—256 с. 13. Шило В. Л. Линейные интегральные схемы в радиоэлектрон- ной аппаратуре.—2-е изд.—М.: Советское радио, 1979.—368 с. 14. Основы полупроводниковой электроники/ Лоу, Эндрес, Зевелс и др.: Пер с англ.; Под ред. Е. И. Гальперина.—М.: Советское радио, 1958.—580 с. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ............... Глава первая. Двунаправленные графы (основы теории и применения) . . ............ ® 1.1. Основные понятия и определения ....... ^ 1.2. Нормализованные графы и переход к двунаправленным графам .............. 11 1.3. Связь двунаправленного графа с системой линейных алгебраических уравнений и матрицами ..... I® 1.4. Введение в двунаправленный граф зависимых источни- ков тока и напряжения ......... 2t 1.5. Виды двунаправленных графов ....... 21 1.6. Формулы коэффициента передачи двунаправленного графа .............. 24 1.6.1. Формула Робишо ......... 24 1.6.2. Формула коэффициента передачи, основанная на раскрытии определителей по прямым путям между двумя узлами графа .......... 28 1.6.3. Формула коэффициента передачи, основанная на раскрытии определителей по совокупности передач пас- сивных ветвей ............. 32 1.6.4. Формула коэффициента передачи с безразмерной формой записи числителя и знаменателя ..... 36 1.6.5. Обобщенная формула коэффициента передачи двунаправленного графа ......... 37 1.7. Формулы коэффициента передачи других видов дву- направленного графа .......... 42 1.8. Рекомендации по использованию формул коэффициента передачи двунаправленного графа ...... 47 Глава вторая. Общие методы анализа схем двунаправлен- ными графами ............. 48 2.1. Анализ схем, содержащих незаземленные источники 48 напряжения ............. 53 2.2. Нахождение токов в ветвях цепи ...,,.. 54 2.3. Схемные функции цепей ......... 54 2.3.1. Передаточные функции . . . ..... 2.3.2. Входные и выходные функции ...... 57 2.3.3. Чувствительность схемных функций к изменению параметров элементов цепи ........ 58 2.4. Эквивалентные преобразования двунаправленных графов 61 2.4.1. Вводные замечания ......... 61 2.4.2. Эквивалентное преобразование с исключением ; узлов .............. 62 253 2.4.3. Эквивалентное преобразование с введением узлов 70 2.5. Диакоптические методы при анализе схем двунаправ- ленными графами ........... 72 2.5.1. Вводные замечания ......... ^2 2.5.2. Диакоптические формулы при одном узле связи 74 2.5.3. Диакоптические формулы при двух узлах связи 77 2.5.4. Диакоптические формулы при трех узлах связи 83 Глава третья. Анализ электронных схем ...... 86 3.1. Двунаправленные графы активных элементов ... 86 3.1.1. Двунаправленный граф электровакуумного трио- да и полевого транзистора ...'..... 86 3.1.2. Двунаправленный граф биполярного транзистора 90 3.1.3. Двунаправленный граф биполярного транзистора, соответствующий эквивалентной схеме Джиаколлетто 92 3.1.4. Двунаправленный граф, соответствующий линей- ной модели биполярного транзистора Эберса — Молла 94 3.1.5. Двунаправленный граф биполярного микроэлек- тронного интегрального транзистора ...... 96 3.1.6. Двунаправленный граф усилителя напряжения 99 3.1.7. Двунаправленный граф усилителя тока ... 99 3.1.8. Двунаправленный граф дифференциального усили- теля напряжения . . . ........ 100 3.1.9. Двунаправленный граф дифференциального усили- теля тока . . .......... 105 3.1.10. Двунаправленный граф активного четырехполюс- ника по П-образной схеме замещения . . ... 106 3.1.11. Двунаправленный граф обобщенного трехполюс- ного усилительного элемента . . . ..... 107 3.1.12. Двунаправленный граф гиратора ..... 108 3.2. Приемы анализа схем с активными элементами ... 109 3.3. Передаточная функция линейной пассивной цепи про- извольного вида с обобщенным активным трехполюсни- ком . . . ............ 110 3.4. Формулы передаточной функции линейной пассивной цепи произвольного вида с обобщенным усилительным элементом для одного из узлов элемента . . . . 127 3.5. Передаточная функция для узла линейной пассивной цепи произвольного вида с обобщенным активным трех- полюсником . ...<........ 134 3.6. Формулы передаточной функции для узла линейной пас- сивной цепи произвольного вида с обобщенным усили- тельным элементом ........... 144 3.7. Некоторые схемные функции цепей с активными эле- ментами .............. 149 3.7.1. Входные и выходные функции ...... 149 3.7.2. Чувствительность схемных функций к изменению параметров цепи . . ......... 149 3.8. Методические указания по анализу схем с активными элементами . . ........... 150 Глава четвертая. Топологический и алгоритмический ме- тоды исключения избыточных членов при анализе схем дву- направленными графами .......... 155 4.1. Исключение, избыточных членов при пользовании обоб- щенной формулой коэффициента передачи двунаправ- ленного графа . . .......... 155 254 4.2. Исключение избыточных членов при нахождении разно- сти потенциалов между узлами электрической цепи . 162 4.3. Исключение избыточных "ленов при анализе схем с опе- рационными усилителями . . ....... 164 Глава пятая. Анализ схем с операционными усилителями (решающих усилителей) ........... 165 5.1. Передаточная функция решающего усилителя с ре- шающей цепью общего вида . . .'..... 165 5.2. Передаточная функция решающего усилителя с учетом конечного значения коэффициента усиления операцион- ного усилителя ............ 170> 5.3. Передаточная функция решающего усилителя с учетом параметров реального операционного усилителя . . . 171 5.4. Передаточная функция решающего усилителя от входа до произвольного узла решающей цепи ..... 175 5.5. Чувствительность передаточной функции решающего усилителя к изменению параметров элементов решаю- щей цепи и коэффициента усиления операционного уси- лителя .............'. 177 5.6. Взаимные сопротивление и проводимость решающего усилителя и их чувствительность к изменению парамет- ров элементов решающей цепи . . ..... igg- 5.7. Входные функции решающего усилителя и их чувстви- тельность к изменению параметров элементов решающей jg^- цепи . . ............. 5.8. Внутренняя проводимость произвольного узла решаю- )g^ щей цепи . . . .......... 5.9. Выходная проводимость решающего усилителя с учетом параметров реального операционного усилителя . Глава шестая. Анализ схем, содержащих несколько опера- [QJ ционных усилителей . . ......... [QJ 6.1. Решение задачи в общем виде ...... 6.2. Передаточная функция цепи с двумя операционными що, усилителями ............. 6.3. Передаточная функция цепи с двумя операционными goi усилителями для одного из узлов цепи ..... 6.4. Передаточная функция цепи с тремя операционными 907 усилителями ............."' 6.5. Некоторые схемные функции цепей, содержащих не- gio сколько операционных усилителей ...... Глава седьмая. Анализ двунаправленными графами RC-. mi RL- и ^CZ.-пассивных и активных фильтров . . . . . mi 7.1. Вводные замечания . . . ....... о, п, 7.2. Передаточная функция /?С-цепн . . . . . . . g.e 7.3. Передаточная функция RL-цепи . . • • • • • 916 7.4. Передаточная функция RCL-wm ....... nio, 7.5. Передаточная функция решающего усилителя ... 7.6. Некоторые схемные функции цепей в полиномиальном „„. операторном виде . . . ........ „„„ 7.7. Комплексная передаточная функция цепи ..... 7.8. Разделение вещественной и мнимой частей комплексной передаточной функции цепи . ....... 7.9. Чувствительность модуля и аргумента комплексной пере- даточной функции цепи к изменению параметров ее элементов . . . . ....'..... •"" 255. Гл а в а восьмая. Ошибки смещения выходного уровня актив- ных цепей . . . ........... 228 8.1. Подход к определению ошибок смещения выходного уровня цепей с активными элементами ..... 228 8.2. Ошибки смещения нулевого уровня решающего усили- теля, вызванные напряжением смещения нулевого уровня операционного усилителя ......... 230 8.3. Ошибки смещения нулевого уровня решающего усили- теля в произвольном узле решающей цепи, вызванные напряжением смещения нулевого уровня операционного усилителя ............ 231 8.4. Ошибки смещения нулевого уровня решающего усили- теля, вызванные входными токами операционного уси- лителя . . . ........... 233 8.5. Ошибки смещения нулевого уровня решающего усили- теля в произвольном узле решающей цепи, вызванные входными токами операционного усилителя .... 236 8.6. Ошибки смещения нулевого уровня цепей с несколькими операционными усилителями . . ...... 237 Глава девятая. Дополнительные вопросы анализа схем двунаправленными графами .......... 240 9.1. Анализ устройств, содержащих развязанные однонап- равленные звенья . . ........ 9.2. Получение «укороченных» выражений схемных функций устройств . . . .......... 244 9.3. Анализ индуктивно-связанных цепей ...... 247 Приложение. Примеры часто используемых обозначений 250 "Список литературы ............. 252 ЮРИЙ ВИКТОРОВИЧ тимкин Анализ электронных схем методом двунаправленных графов Редактор В. А. Р ы ж и к о в Редактор издательства 3. И. Михесва Переплет художника В. Я. Батищева Художественные редакторы Т. А. Дворецкова, Г. И. Панфилова Технический редактор В. В. Хапаева Корректор Л. С. Тимохова ИБ № 18 Сдано в набор 12.03.85 Подписано ч печать 09.08.85 Т-16693 Формат 84Х108 1/32 Бумага типографская № 1 Гарнитура литер-турная Печать высокая Усл. печ. л. 13,44 Усл. кр.-отт. 13,65 Уч.-изд. л. 14,81 Тираж 6200 экз. Заказ 272 Цена 95 к. Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10 Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Зна- мени МПО «:Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова» Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР но делам издательств, полиграфии и книжной тосговлн. 113054. Москва. М-54. Валовая. 28. Ю.В.Тимкин АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ методом двунаправленных графов ш МОСКВА ЭНЕРГОАГОМИЗДАГ 1985