УДК 621.396.6:621.372.54 Остапенко А. Г. Анализ и синтез линейных радиоэлектронных цепей с по- мощью графов: Аналоговые и цифровые фильтры.—М.: Радио и связь, 1985.— 280 с., ил. С позиций теории графов исследуются основные разновидности уравнений и графов, описываются алгоритмы расчета схемных функций, функций чувствитель- ности и параметров собственных шумов линейных радиоэлектронных цепей. Под- робно рассматриваются вопросы реализации передаточных функций: с незави- симой регулировкой параметров, повышенного быстродействия, с малым уровнем собственных шумов, с минимизацией числа компонентов. Приводятся примеры синтеза практических схем аналоговых и цифровых фильтров, в том числе и •фильтров с управляемыми частотными характеристиками. Книга ориентирует читателя на автоматизацию моделирования линейных радиоэлектронных цепей в процессе их исследования и разработки. Для научных работников, специализирующихся по проектированию линейных аналоговых и цифровых радиоэлектронных устройств. Табл. 3, Ил. 198. Библиогр. 93 назв. Рецензенты: проф. В. И. А н и с и м о в, проф. Л. Я. Нагорный Редакция литературы по конструированию и технологии производства радиоэлектронной аппаратуры АЛЕКСАНДР ГРИГОРЬЕВИЧ ОСТАПЕНКО АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ АНАЛОГОВЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Заведующий редакцией Ю. Н. Рысев. Редактор В. Г. Миронов. Редактор издательства Н. К. Калинина. Переплет художника А. Я. Толмачева. Художественный редактор Т. В. Бусарова. Технический редактор Т. Н. Зыкина. Корректор Т. В. Дземидович И Б № 972 Сдано в набор 15.02.85 Подписано в печать 14.05.85 Т-11825 Формат 60Х90'/]о Бумага тип. № 2 Гарнитура литературная Печать высокая Усл. печ. л. 17,5 Усл. кр.-отт. 17,5 Уч.-изд. л. 17,16 Тираж 9700 экз. Изд. № 20803 Зак. № 22 Цена 1 р. 80 к. Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693 Московская типография № 5 ВГО «Союзучетиздат» 101000 Москва, ул. Кирова, д. 40 2402020000—153 0 046(01)-85 25-85 Издательство «Радио и связь», 1985 ПРЕДИСЛОВИЕ В книге рассмотрены методы анализа и синтеза с помощью графов аналоговых и цифровых линейных радиоэлектронных це- пей. В качестве адаптивной модели описываемой цепи предложен ориентированный беспетлевой граф, применение которого позво- лило на основе единого подхода рассмотреть анализ и синтез как аналоговых, так и цифровых линейных радиоэлектронных цепей; разработать и реализовать на ЭВМ адаптивные алгоритмы много- вариантного расчета схемных функций; сократить избыточность вычислений схемных функций; еще более структурно сблизить схе- му и ее граф, упростив тем самым неавтоматизированную про- цедуру перехода « графу при анализе, а также сократив неодно- значность перехода к линейным радиоэлектронным цепям при синтезе. Преимущества предлагаемой модели распространены на анализ сложных цепей. Для этого применительно к ориентирован- ным беспетлевым графам разработаны соответствующие диакоп- тические алгоритмы, а также рассмотрены вопросы оптимизации разбиения модели на подграфы, аспекты построения макромоде- лей с помощью графов и вопросы формирования схемных функ- ций из характеристических многочленов подграфов. В книге последовательно изложены методики расчетов функ- ций чувствительности к изменению параметров пассивных и ак- тивных элементов аналоговых цепей, а также к изменению пара- метров цифровых линейных радиоэлектронных цепей. Описаны адаптивные алгоритмы расчета отклонений частотных характери- стик и группового времени запаздывания. Приведены методики расчета параметров собственных шумов аналоговых и цифровых линейных радиоэлектронных цепей, а также различных видов их соединений. Особое внимание уделено синтезу с помощью графов. При этом использован единый подход-к реализации схемных функций аналоговых и цифровых линейных радиоэлектронных цепей. Про- цесс синтеза рассмотрен как последовательность этапов и про- цедур, для которых предлагаются разнообразные правила. По раз- работанным методам в монографии проведен синтез активных двух- и четырехполюсников, фильтров различного порядка с ис- пользованием разнообразных активных и пассивных элементов. Результаты этих исследований подтверждены примерами практи- ческих схем. В материале, посвященном синтезу цифровых линей- ных радиоэлектронных цепей, обсуждены разнообразные подходы к построению структур цифровых цепей по заданной передаточной функции. Рассмотрены звенья второго порядка, а также сложные некаскадные структуры, предложены алгоритмы их моделирова- ния на ЭВМ. ВВЕДЕНИЕ Современные тенденции в проектировании радиоэлектронной аппаратуры (РЭА), нашедшие свое выражение в повышении сте- пени интеграции, стремлении к многофункциональности и широ- ком использовании систем автоматизации проектирования, тре- буют дальнейшей формализации описания радиоэлектронных уст- ройств и цепей. Радиоэл&ктронная цель, ,в том числе и линейная радиоэлект- ронная цепь (ЛРЭЦ), представляет собой прежде всего понятие топологическое, так как в ней всегда могут быть выделены два непересекающихся множества: узлов и ветвей (компонентов), на которых по некоторому закону организована электронная струк- тура. С другой стороны, схемная функция (СФ) цепи есть поня- тие аналитическое, в самом общем случае не имеющее наглядной связи с упомянутой структурой. Между ЛРЭЦ и СФ протекает процесс проектирования, и роль связки между этими разнородны- ми понятиями как при анализе, так и при синтезе выполняет мо- дель цепи, с той или иной степенью приближения отражающая сущность протекающих в ней физических процессов. И именно мо- дель во многом определяет эффективность этапов проектирова- ния. В свете изложенного всякий процесс анализа либо синтеза ЛРЭЦ включает, по крайней мере, два перехода: структура—мо- дель (модель—структура) и модель—СФ (СФ—модель). Слож- ность проектирования, естественно, зависит от объема затрат на выполнение указанных переходов, который, в свою очередь, опре- деляется свойствами используемых моделей. Поэтому к современ- ным моделям ЛРЭЦ на разных уровнях иерархии предъявляют ряд требований, среди которых прежде всего: простота формиро- вания и наглядность описания (применение инженерных методик), возможность получения аналитических выражений СФ с малым объемом вычислений (удобство многовариантного моделирования и оптимизации [21]), возможность описания разнообразных по компонентному составу ЛРЭЦ применительно к расчету различ- ных СФ (проблемная адаптация [75] модели), а также сложных цепей (макромоделирование и декомпозиция модели [6, 53]). Из известных разновидностей моделей ЛРЭЦ указанным требова- ниям во многом отвечают графы, основы теории которых изложены в [26, 49, 71, 74]. Возникновение и развитие теории графов обусловлено стрем- лением к простоте и наглядности в теоретических исследованиях. Достоинства аппарата этой теории проявляются в том, что в ней та или иная задача формулируется и иллюстрируется в удобной я лаконичной форме в виде графа, отображающего исследуемую модель. Кроме того, задачи на графы в своих постановках и ре- шениях, как правило, просты, наглядны и не требуют специаль- ной математической подготовки, что делает их доступными широ- кому кругу исследователей. Отсюда имеется возможность решать значительное число громоздких задач анализа и синтеза более просто, чем это делать другими методами. Структурная близость графов и электронных схем обусловила тот факт, что ЛРЭЦ стали одним из первых объектов приложения теории графов [37, 48]. Дальнейшее развитие данного научного на- правления, нашедшее свое основное отражение в многочисленных трудах отечественных и зарубежных ученых, предопределило ме- сто графов в радиоэлектронике. В частности, графы нашли при- менение при анализе и синтезе пассивных [7, 13, 44, 51, 68, 71, 80, 82] и активных [1, 12, 16—18, 24, 29, 57, 84, 86] целей, в вопро- сах автоматизации расчета СФ [7, 9, 10, 12, 19, 21, 22, 45, 47, 58, 59, 89], при решении конструктороко-технологических задач проек- тирования РЭА [5], в синтезе систем автоматики [49, 67] и для опи- сания электромеханических систем [28]. Несмотря на многообра- зие перечисленных работ, было бы неправильно утверждать, что методики, основанные на графах, вытеснили другие алгоритмы анализа и синтеза ЛРЭЦ. Эффективное использование графов в радиоэлектронике было подготовлено и постоянно, обогащается .результатами фундаментальных трудов в области электротехники [56, 57, 65, 83], теории чувствительности [15, 69], синтеза линейных цепей I'll, 31, 39, 40, 46, 77, 78, 81, 86], матричного анализа [35,64, 73, 77, 89], автоматизации проектирования электронных схем [2, 4, 6, 27, 51, 53, 63, 85] и т. п. Разнообразие прикладных задач, а также исторически сло- жившаяся многозначность подходов в их решении породили раз- личные типы графов [1, 16, 52, 68, 71, 72], каждый из которых име- ет вполне ограниченную область эффективного моделирования электронных схем. Например, сигнальные графы Мэзона, удоб- ные для расчета цифровых цепей [14, 32, 42], при описании анало- говых ЛРЭЦ обычно неизоморфны их схеме и обладают сущест- венной избыточностью вычислений СФ [I]. Не имеющие этого не- достатка унисторные графы [52] избыточны при описании актив- ных аналоговых элементов и не пригодны для расчета цифровых ЛРЭЦ. Вместе с тем разработчику РЭА в рамках одного и того же технического задания все чаще приходится иметь дело как с аналоговыми, так и с цифровыми устройствами обработки сигна- лов, что обусловливает необходимость применения адаптивных (к компонентному составу) методов проектирования ЛРЭЦ. Известные виды графов и соответствующие алгоритмы их рас- чета подвергаются также критике за то, что в сравнении с мат- ричными методами они уступают в скорости анализа, так как фак- тически решают систему уравнений не в численном, а в символь- ном виде. Однако при многовариантном анализе, необходимость •осуществления которого нередко присутствует в практических раз- 5 работках ('проектирование цепей с управляемыми параметрами, статистические расчеты характеристик, параметрическая оптимиза- ция и т. п.), значительно удобнее выполнять численные расчеты на каждом шаге посредством подстановки фактических данных в ранее полученное символьное выражение СФ вместо многократ- ного численного решения одной и той же системы уравнений с по- мощью матриц. При этом значимость, особенно для моделирова- ния цепей повышенной сложности, приобретает задача минимиза- ции избыточности вычислений СФ. Разработка адаптивных методик представляет интерес не толь- ко для анализа, но и для синтеза ЛРЭЦ. Имеющие место попыт- ки разработки методологии структурного синтеза с помощью гра- фов в основном относятся к аналоговым цепям [24, 43]. Вместе с тем подробный анализ специфических приемов реализации пере- даточных функций аналоговых и цифровых ЛРЭЦ позволяет вы- делить инвариантные процедуры. Это значит, что возможно и це- лесообразно исследовать такие процедуры с целью их унифика- ции (компонентной адаптации). При этом графы должны выпол- нять роль математического аппарата, формализующего процесс структурного синтеза ц&пей за счет сокращения числа интуитив- ных и увеличения эвристических и логических последовательно- стей операций. Гл ава первая ГРАФЫ ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ 1.1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ 1.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАФА Областью приложения теории графов являются системы, состо- ящие из объектов разнообразной природы. Для описания таких систем можно выделить два непересекающихся множества, так что элементы одного из них по определенному закону связаны между собой элементами другого. В частности, речь может идти о множестве переменных и множестве функционалов, устанавли- вающих связь между переменными математической модели иссле- дуемой системы. В теории линейных радиоэлектронных цепей (ЛРЭЦ) такими множествами являются, например, множество уз- ловых потенциалов .и множество передач из узла в узел ЛРЭЦ [12, 17, 52]. Множество связываемых элементов называ- ют множеством вершин графа, а множество связывающих элемен- тов—множеством ребер графа. Поэтому, чтобы определить граф, следует задать множества вершин и ребер, а также закон (преди- кат), устанавливающий взаимную принадлежность (инциденцию) элементов этих множеств. Считают, что граф G=G(X,A,T) (I.I) задан, если даны непустое множество вершин Х=^0, не пересе- кающееся с ним множество ребер А(А(}Х=0} и предикат (инци- дентор) Г. Обычно Г является трехместным предикатом [26], т. е. определенным на всех упорядоченных тройках — Хг, Xj и о^, для которых Хг, х^Х и о^еЛ. Аналитически предикат описывается логическим высказыванием следующего вида: Г(х„ а„, х,}, (1.2) которое означает, что ребро ад соединяет вершины Хг и Xj. Вер- шины Xi и Xj называются смежными, а ребро ад — инцидентным этим вершинам. Геометрически граф принято изображать совокупностью точек, взаимно однозначно соответствующих элементам множества вер- шин X, и связывающих их линий, взаимно однозначно соответст- вующих элементам множества ребер Л. Например, высказыванию (1.2) соответствует граф, показанный на рис. 1.1,а. Следует от- метить, что в начертании графа существует определенная свобо- 7 "* а) dk Xi Xj в} Xi X, S) Рис. 1.1. Разновидности ребер графа да. Так, например, на чертеже ребра графа соединяющие две вер- шины могут изображаться .прямыми или кривыми, короткими или длинными непрерывными линиями. Существует также свобода в выборе места положения на чертеже вершин графа, но с точки зрения наглядности описания целесообразно располагать их так, чтобы в начертании графа число пересечений различных ребер было минимальным. 1.1.2. ЭЛЕМЕНТЫ И ЧАСТИ ГРАФА Исходя из определения графа (1.1), для всякого элемента й^е гЛ справедливо одно и только одно из следующих высказыва- ний: ^XiXj[Xi=^x,&r(Xi. ah, х,)&Г(х„ dh. х,)]; (1.3) 'Sx.a[T(Xi, ал, х,)]; (1.4) '3.x,Xj[Xi^'=Xj&T\x,, uk, Xj)&Y(x„ ah, xi)}. (1.5) Логические высказывания (1.3)—(1.5) позволяют классифици- ровать ребра на ориентированные (направленные) ребра—дуги (1.3), петли—(1.4) и неориентированные (ненаправленные) реб- ра—звенья (1.5). Графически высказывания (1.3)—(1.5) соответ- ственно иллюстрируются на рис.1.1, а, бив . Уместно отметить, что в ряде практических случаев (имеются в виду унисторные графы ЛРЭЦ [57]) звенья (рис. 1.1,в) в соответствии с высказыванием (1.5) изображаются совокупностью двух (слитых в одну) дуг (рис. 1.1,г). При изучении таких свойств графов, которые не за- висят от направления его дуг, удобно пользоваться предикатом Г(х„ dk, Xj)^=>r(Xi, uk, Xj)\VГ(Xj, dk. Хг), называемым полуинцидентором. При описании физических систем каждому ребру ставится в соответствие вес 6(аь), именуемый весом ребра аь и равный кон- кретной физической величине. Что касается вершин графа, они отождествляются с переменными, описывающими состояние объ- екта. Например, при решении ряда технических задач (обобщен- ный сигнальный граф [1]) пользуются понятием взвешенной вер- шины (веса вершины), которое может быть трактовано как вес петли, инцидентной данной вершине. В качестве разновидностей элементов в графе могут быть вы- делены цепи и циклы. Цепью называется последовательность х^а^а^хч. ... Хп-\алХк 8 элементов графа, для которой справедливо высказывание & Г (Xi0.i+ix.i+i). Такая цепь графа изображена на рис. 1.2,а. Циклом графа называется замкнутая цепь Хо-=Хц. Примером цикла может слу- жить граф, изображенный на рис. 1.2,6. s.4. ~~~-- Чц Хц-1 хц-1 хц S) а) Рис. 1.2. Примеры цепи (а) и цикла (б) графа Весьма важную роль при описании ЛРЭЦ с помощью графов играют такие их элементы, как путь и контур. Путем PO,N из вер- шины л-о в вершину XN называется конечная цепь Хоа\х\а,чХч ... XN-\O.NXN, 0-6) для которой истинно высказывание ' N-1 & Г(Х{, Qi+l, Xi+i). i=0 Пример графического изображения пути показан на рис. 1.3,а. В качестве количественных характеристик пути Р используются такие понятия, как длина пути 1(Р) и вес пути б(Р). Число ребер, 5) Рис. 1.3. Примеры пути (а) и контура (б) графа образующих путь, называется длиной пути. Для пути (L6)_ длина t(Po,N)=N. Вес пути—произведение весов образующих его ре- бер,'для пути (1.6) вес 6(Ро,^)=П6(аг). i=i Путь может быть конечным и бесконечным; он нaзьIвaeтcяпP? стым, если в нем ни одно ребро не встречается дважды. Путь Р, в котором ни одна из вершин не встречается дважды, называется элементарным. При описании ЛРЭЦ обычно используют простые элементарные пути. Поэтому для краткости в дальнейшем под термином «путь» будем подразумевать простой элементарный путь. Замкнутый путь называется контуром L; исходя из выраже- ния (1.6), для контура XO=XN- Графически контур показан на рис. 1.3,6. Определения длины l(L) и веса 6(L) контура аналогич- ны соответствующим определениям, сделанным выше для пути. Контур L называется простым, если все его ребра различны, или составным (сложным) —в противном случае. Контур L называет- ся элементарным, если все его вершины различны. Для описания свойств ЛРЭЦ применяют элементарные кон- туры, которые в дальнейшем будем называть просто контурами. Для таких контуров, как и для путей (исключая начальную и ко- нечную вершину), истинно высказывание, утверждающее, что каж- дая вершина инцидентна двум дугам, причем для одного из них она является конечной, а для другого начальной, т. е. V^eL[s+(^,,)=s-(^)-l], Vn-iesP &i^O&i^=N^[s+(Xi) =s-(x,i) = I], ГДе S+(Xi) —ЧИСЛО ДУГ, ИСХОДЯЩИХ ИЗ ВерШИНЫ Хг; S~(Xi) —ЧИСЛО дуг, входящих в вершину Хг. Достаточно широко используемыми на практике элементами графов являются деревья и прадеревья. Деревом называется граф, не содержащий циклов (рис. 1.4,а). Ребра, дополняющие хд& а) ^о' Рис. 1.4. Примеры дерева (а) и прадерева (б) графа дерево, называются хордами. Прадеревом Т называется дерево, в котором 'каждая вершина (за исключением одной Хо, именуемой корнем прадерева) является конечной только для одной дуги (рис. 1.4,6), т. е. yxi(^T[s-(x,)=l&i^=0]. Весом прадерева называется произведение весов всех входящих в него дуг. Нередко для описания графов пользуются понятием й-дерева; ^-дерево (^-прадерево) представляет собой объединение k несо- прикасающихся деревьев (прадеревьев); вес ^-дерева (^-прадере- ю ва) равен произведению весов всех образующих его деревьев (пра- деревьев). Дуальным относительно fe-дерева является понятие k- хорды, представляющей собой совокупность k несоприкасающихся хорд дерева (прадерева). Частным случаем прадерева является звезда — совокупность простых путей с общей конечной или на- чальной вершиной; эту вершину назовем центром Хс звезды. Ес- ли центром звезды S является начальная вершина путей Pc,i, т. е. т 5= & Ре.г, ;==! где т—число путей, образующих звезду S, то такую звезду на- зовем расходящейся (рис. 1.5,а). В противном случае, если центр звезды S является конечной вершиной образующих 5 путей Pj,c, т. е. 5= т : & Р /=0 то звезду назовем сходящейся ('рис. 1.5,6). Кроме того, назовем простой звезду, каждый путь которой имеет длину, равную еди- нице. Примеры сходящейся и расходящейся простых звезд изоб- ражены соответственно на рис. 1.5, в и г. Ж/я X, Рис. 1.5; Звезды графа Характерной особенностью звезды является то, что любой вер- шине, не являющейся центром звезды, инцидентны только одна исходящая и одна входящая дуги. Рассмотрим части графов. Пусть имеем два графа G(X,A,T) и G'(X',A',T'), где Х'^.Х и A'^A; V — предикат, индуцированный инцидентором Г на множествах А' и X'. Если Х'^0&\а^А"а.х„ Xj^X'^F (х„ dk, x,)], то G' является частью G. К числу частей относится и сам граф G; прочие его части обычно называют собственными. Для прак- 11 тики наибольшее значение имеют следующие два типа частей графа. Подграфом графа G(X, А, Г) называется часть графа G'(X', A', Y'), порожденная подмножеством вершин X'^X, если подмножество ребер А'<=.А удовлетворяет следующему условию:. Ул-г, x^X'Vaki=A[r(xi, ад, х,}=^а^А']. Иными словами, при образовании подграфа сохранены все реб- ра исходного графа, которые соединяют между собой подмноже- ство вершин X'. Суграфом называется часть графа, порожденная подмножеством ребер A'^A при Х^Х, т. е. при образовании су- графа сохранено множество вершин исходного графа и исключе- ны некоторые ребра. Разновидностью суграфа можно считать прадеревья и элементарные графы [I], веса которых определяют слагаемые симметричных и несимметричных алгебраических до- полнений определителей ЛРЭЦ. Если G' является суграфом графа G, со сам граф G называ- ется сверхграфом; если G'—подграф, то G—надграф, и если G' — часть графа, то G — объемлющий граф. 1.1.3. РАЗНОВИДНОСТИ ГРАФОВ Графы подразделяются на конечные и бесконечные. В даль- нейшем будут рассматриваться только конечные графы, т. е. такие графы G(X, Л, Г), у которых оба множества, Х и Л, конечны. По виду ребер различают неориентированные и ориентированные гра- фы, которые соответственно состоят только из неориентированных и ориентированных ребер. Смешанным графом называется граф, имеющий как ориентированные, так и неориентированные ребра. На практике для описания ЛРЭЦ обычно используют ориентиро- ванные графы (или кратко орграфы). Ориентированный граф G,. не содержащий петель, удовлетворяет соотношению Vx.e=G[s°(A-,,)=0], где s°(xz) —число петель, инцидентных вершине Хг. Униграфом называется граф G, не содержащий кратных ре- бер, т. е. та.кой, что каждая пара его вершин соединена не более чем одним ребром: "Vxi, Xj^G,[s(xi, Xj) = I], где s(Xi, Xj) —число ребер, соединяющих вершины Х{ и х,. Граф, не являющийся униграфом, называется мультиграфом. В теории ЛРЭЦ значительно чаще используются униграфы, а не мультиграфы. В случае, когда никакая пара вершин не соединена более чем; р ребрами (р^О), т. е. VX.i, Xj\s(Xi, Xj)^p], граф называется /?-графом. Отсюда следует, что 0-граф—это пу- стой граф, а 1-граф—это униграф. 12 1.1.4. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ Наиболее часто употребляемой операцией над графами являет- ся операция объединения. Объединением графов С,(Х,, Л„ Г,),1'= =1(1)п называется граф G(X, А, Г), для которого х= и^.&л=йл. t=i i=i и предикат Г индуцирован предикатами Гг, t'=l(l)ra. Примером результата операции объединения может служить граф, изобра- женный на рис. 1.6,а, который получен в результате объединения графов (рис. 1.6,6 и а). Заметим, что операция объединения гра- фов распространяется также на случай, когда множества Xi, f= =1(1)л являются пересекающимися. Рис. 1.6. Примеры, иллюстрирующие операции суммы и пересечения графов Другой операцией над графами является операция пересече- ния. Ее результатом над графами Gi(X{, Л„ Г»), t'=l(l)n следу- ет считать граф G(X, Л, Г), в котором Х=П^.&Л=ПЛг t=l t=l и предикат Г индуцирован предикатами Гг, i'==l(l)n. Граф (рис. 1.6,г) является примером пересечения графов (рис. 1.6,6 и в). Известны также и другие операции над графами, которые под- робно изложены в [26, 49]. 1.1.5. СВОЙСТВА ГРАФОВ Для неориентированного графа G(X, Л, Г) две его вершини, Xj, Xk^X, называются связными, если между ними существует, по крайней мере, одна цепь. Связным называется неориентированный граф, у которого любые две вершины являются связными. Для ориентированного графа существует понятие сильной связности вершин Xj и Xh. Эти вершины являются сильно связа- ными, если имеется хотя бы один путь из вершины х, в вершину x,i или наоборот. Соответственно сильно связаным орграфом на- зывается граф, в котором любые две вершины сильно связаны. Примером такого графа может служить граф, изображенный на рис. 1.7, а. Как и для любых математических моделей, для графов мож- но поставить задачу выяснения тождественности (задачу иденти- 13 ffj ^ Рис. 1.7. Примеры изображения планарного графа фикации) друг друга двух и более графов. В этой связи приме- няется понятие изоморфизма, учитывающее, что в ряде случаев графы могут различаться лишь способом упорядочения ребер (дуг). Иными словами, условием изоморфизма двух графов, Gi(Ji, Ai, Fi) и Gz(Xz, Лг, Гг), является наличие взаимно одно- значных соответствий Xi-'^Xz; Ai-^As таких, что вершины со- единены ребрами в одном из графов в том и только в том слу- чае, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Граф называется планарным, если он может быть графически изображен на плоскости так, что все пересечения его ребер яв- ляются лишь вершинами графа (рис. 1.7). В противном случае граф называется нелланарным. 1.1.6. ГРАФЫ, МАТРИЦЫ И УПРАВЛЕНИЯ По определению (1.1), граф считается заданным, если опре- делена пара множеств, Х и А, и трехместный индентор Г. Следо- вательно, задание графа требует трехмерной таблицы истинности. Описывая Г посредством трех двухместных предикатов, можно обойтись тремя двумерными таблицами. Использование пятизнач- ной логики [26] позволяет ограничиться только одной двумерной таблицей (матрицей). Матрицей инциденций графа G(J, А, Г) называется прямо- угольная матрица а, С= Си С 12 . . . с!} clm сц Cit Ci] . . . Cim Сщ РЩ • • • Cnj • • • cnm 14 где X= {xi, Хч, ..., Хп}—множество вершин графа G; А = = {a.i, 02, ..., dm}—множество ребер графа G; с„—элементы матрицы, определяются по графу G следующим образом: а) если а,—дуга, исходящая из вершины л;„ то Cz,=i; б) если а,—дуга, входящая в вершину Xi, то Сг,='п; в) если а,—петля при вершине Xj, то с„=^; г) если а,—ребро, инцидентное вершине Хг, то Cij=6; д) если а,—ребро, не инцидентное вершине Хг, то Ci,==0. Следовательно, матрицей инциденций однозначно может быть определен всякий граф с пронумерованными вершинами и ребра- ми. Для примера орграфу, изображенному на рис. L8, одно- значно соответствует следующая матрица инциденций: с= ? S о о о Xi ХгХаX,, о л S 11 о о о Т) о S о о о ^ л Следует отметить, что возможна и обратная постановка задачи, обусловливающая необходимость построения графа по матрице инциденций; она не всегда имеет решение. Необходимым услови- ем существования решения обратной задачи является наличие од- ного либо двух ненулевых элементов в каждом столбце матри- цы С. Если ненулевой элемент только один, то это t,, если таких элементов два, то это или ^ и т), или 9 и 6. а?< о- -ОХп S!f О. ( Г" ^w^ б) Рис. 1.8. Пример ори- ентированного графа Рис. 1.9. Части графа, соответствующие строке (а) и столбцу (б) ^-матрицы Для описания графов используются также матрицы соседст- ва, сечений и контуров [71]. Однако недостаток вышеописанных матриц заключается в том, что они отражают только наличие или отсутствие инциденций между вершинами и ребрами и не учи- тывают веса ребер, которые зачастую присваиваются каждому из 15 этих элементов при описании реальных объектов (в частности, ЛРЭЦ). В этом отношении более удобной следует считать мат- рицу М, элементы которой определяются следующими соотноше- ниями: T(Xi, ац, JCi)=^ii=6(a„); T(Xh, a,k, Xj)=>vijk=6(ajk), где i, /, k=\(l)n; G(X, А, Г)—униграф, описываемый матрицей М; Х={х\, хч, ..., Хп}. Назовем М звездной матрицей графа. Не- трудно заметить, что М есть квадратная матрица размерности пХп. При этом диагональные элементы звездной матрицы соот- ветствуют весам петель ац в узлах Хг, а недиагональные элемен- ты, расположенные на пересечении ;-й строки и k-ro столбца, со- ответствуют весам дуг а^, связывающих вершину Xh. с вершиной Xj. В общем случае строка / матрицы М содержит веса петли и входящих в вершину /' дуг: Wi . . . Wh V-U . . . [Чп Этой строке соответствует сходящаяся простая звезда с петлей в ее центре Xj (рис. 1.9,д). Поэтому методика построения графа может быть сведена к последовательности построения сходящих- ся простых звезд и петель в каждом узле с последующим их объ- единением. Аналогично в общем случае столбцу k матрицы М V'ik • ^hh • Wh • V^nh соответствует расходящаяся простая звезда с петлей в ее центре Xh (рис. 1.9,6). Отсюда всякий орграф может быть построен путем объединения расходящихся простых звезд и петель, сформированных для каждой его верши- ны отдельно. Примером звездной матрицы может служить матрица М= X-t Л-2 Oi о 0 о U2 о 0 0:4 0 а, 0 о о 0 "а о построенная для графа (см. рис. 1.8). Приведенный пример сви- детельствует о простоте формирования звездной матрицы. Досто- 16 инством матрицы М следует также считать ее соответствие си- стеме однородных уравнений 2 ciijXj=0, i==l(l)n /=i 2а„^=0, i==l (1)п (1.7) или в матричной форме МХ=0, где Х= вектор переменных, соответствующих вершинам. Система уравнений (1.7) широко используется при описании ЛРЭЦ и других линейных систем. При этом возможно отождест- вление определителей цепи (системы), уравнений (1.7), звездной матрицы и соответствующего ей графа, которые используются в качестве моделей исследуемых объектов. К достоинствам матрицы М следует отнести также ее удоб- ство для формирования контурных и древесных суграфов, необ- ходимых при вычислении симметричных и несимметричных алгеб- раических дополнений определителей описываемой линейной си- стемы. С использованием метода обобщенных чисел, разработан- ного Я. К. Трохименко [84], процедура формирования таких су- графов может быть автоматизирована. Поэтому в дальнейшем при описании графов мы отдадим предпочтение звездной мат- рице. 1.2. УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ 1.2.1 УРАВНЕНИЯ КИРХГОФА Одной из старейших • областей применения графов является теория электронных цепей, где графы первоначально представля- ли собой топологическую интерпретацию систем линейных урав- нений. Методика решения уравнений с помощью графов сводит-, ся к построению топологических структур, соответствующих ис- ходной системе уравнений, и к введению определенных правил^, позволяющих найти искомое решение (в частности, в символьной форме), непосредственно по виду этих структур. Графы, отображающие системы линейных уравнений, назы- вают сигнальными графами, многообразие которых получено при использовании разнообразных форм записи исходных уравнении. К фундаментальным уравнениям электрических цепей относят- ся уравнения Кирхгофа. Они связаны с топологией цепей, так как для их записи необходимо оперировать с такими топологическими 17 понятиями, как звезда или контур. В общем виде уравнения Кирхгофа могут быть записаны следующим образом [71]: а) первый закон (для токов) С/=0, (1.8) где С—матрица инциденций описываемой ЛРЭЦ; /—вектор то- ков ветвей той же ЛРЭЦ; б) второй закон (для напряжений) BU=0, (1.9) где В — контурная матрица описываемой ЛРЭЦ; U — вектор-стол- бец напряжений на ветвях той же ЛРЭЦ. Для записи первого закона Кирхгофа в качестве структурной основы используются простые звезды, а второго — простые кон- туры. На основании первого закона Кирхгофа (1.8) и компонентных уравнений цели можно получить уравнение узловых напряжений (потенциалов): YU=0, где У — матрицы узловых проводимостей описываемой ЛРЭЦ; U^ вектор-столбец узловых потенциалов (напряжений относительно некоторого базисного узла) той же ЛРЭЦ. Аналогично на основании второго закона Кирхгофа может быть получено уравнение контурных токов с матрицей контурных со- противлений. • Обобщенно уравнения цепи могут быть записаны в следующем виде: 2 а,х,=0, (1.10) где Хг—переменная (в 'зависимости от выбранного координатно- го базиса — напряжение или ток) соответственно звезды или кон- тура; а,—с соответствующим знаком коэффициент, имеющий размерность проводимости или сопротивления, взаимно однознач- но связанный с t-м структурным элементом; п — число топологи- ческих элементов, входящих в состав структуры описываемой под- цепи. Если все переменные Хг в ('1.10) имеют размерность толь- ко токов или только напряжений, то координатный базис назы- вают однородным. На практике может также применяться сме- шанный координатный базис, когда множество переменных одно- временно содержит элементы с размерностью как токов, так и напряжений [I]. При этом некоторые коэффициенты а, равны еди- нице. Выбор координатного базиса связан с топологией соответст- вующего графа. С точки зрения максимального топологического подобия исследуемой ЛРЭЦ и ее графа в большинстве практи- ческих случаев удобно использовать однородный координатный базис узловых напряжений. Это позволяет исключить из процеду- ры построения графа трудоемкую операцию записи уравнений ви- 18 да (1.10). Однако в ряде случаев для сокращения избыточности вычислений [1] используют смешанный координатный базис. Процедура построения графов по уравнениям (1.10) включает в себя два этапа. Первый этап предусматривает преобразование уравнения (1.10) к виду, который определяет в дальнейшем тип используемого графа. На втором этапе устанавливается взаимно однозначное соответствие между переменными Хг и вершинами подграфа, а также между коэффициентами а, и весами ребер подграфа. Известны и другие случаи [82], .когда переменные xi ставятся в соответствие весам дуг, а коэффициенты йг — верши- нами подграфа. Однако такие графы не нашли широкого приме- нения. Вышеописанная процедура повторяется .столько раз, сколь- ко имеется уравнений, 'или, иными словами, на сколько подцепей звездного или контурного вида разделена анализируемая цепь. Объединение полученных подграфов позволяет получить граф всей цепи. 1.2.2. УРАВНЕНИЯ МНОГОПОЛЮСНИКОВ Уравнения вида (1.10) и соответствующие им графы часто ис- пользуются для описания цепей, содержащих совокупность двух- полюсников. Однако на практике применяют также многололюс- ные радиоэлектронные элементы (биполярные и униполярные транзисторы, оптроны, тиристоры и др.). Для описания многопо- люсников применяют уравнения, в которых в качестве переменных фигурируют токи и напряжения на внешних зажимах многополюс- ника. Такие системы уравнений могут быть записаны в виде сле- дующего матричного соотношения (для автономных многополюс- ников) : Y=AX, (1.11) где A=[ajh\, /=1(1) и, k=\ (1)n — квадратная матрица коэффи- циентов; Х=[хг\, t=li('l)n и У=[г/г], 1=1(1)/г—/г-мерные векторы- столбцы независимых переменных внешних зажимов; г/, и Х{ — переменные t'-ro зажима многополюсника. Б частности, для четырехполюсников можно записать уравне- ние (1.11) с Z, У, G, Я-матрицами и построить соответствующие графы [16]. Необходимо отметить, что коэффициенты ац (параметры тран- зисторов и других активных элементов) существенно зависят от Хг и У{. Поэтому такую систему параметров допустимо применять для малых сигналов, что соответствует линейным режимам ра- боты. 1.2.3. УРАВНЕНИЯ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Интенсивное развитие современной электронной техники во- оружило разработчика-схемотехника устройствами с высокими техническими параметрами. Интегральная технология позволяет 19 создать многообразие микросхем, имеющих низкие входную про- водимость, уровень внутренней обратной связи и выходное со- противление, так что их влиянием часто можно пренебречь. В та- ких случаях выражение (1.11) упрощается за счет нулевых эле- ментов Л-матрицы. Рассмотрим часто встречающиеся на практике многополюсни- ки, для которых /г=й (четырехполюсники), описываемые уравне- нием У\ =anXi, (1.12) где х\ — входная переменная; у\ — выходная переменная. Напри- мер, усилитель напряжения характеризуется уравнением (1.12)' при a\\=k, где k—коэффициент усиления по напряжению, в этом случае х\ и у\ — входное и выходное напряжения. Для интегрирующего и дифференцирующего звеньев также справедливо (1.12) три Дц=—1/рт и ац=—рг соответственно, где р—оператор Лапласа; т—постоянная времени звеньев. Реальные усилители напряжения, интегрирующие и дифферен- цирующие звенья могут иметь и невысокое входное сопротивление. Поэтому выражение (1.12) для них применимо только в том слу- чае, если предшествующий им каскад имеет весьма низкое вы- ходное сопротивление или имеется буферный каскад на входе звена. Примером идеализированного представления многополюсной цепи при п > 2 может служить сумматор, реализуемый с помощью операционного усилителя и описываемый выражением (1.13) где Xi—входные, a Xn+m, т. е. п-\-т 2 aijXj=0, f=l(l)/i. /=i Сигнальный граф строится на основании причинно-следствен- ной формы исходных уравнений: П+П1 / у __ V (' xi — /J \ • У-1 \ i^i х„ г= 1(1) п. i л^^ (1.15) Устанавливая взаимно однозначное соответствие между пере- менными х, и вершинами, а также между коэффициентами а„ и дугами, получаем, по определению [52], сигнальный граф (Мэзо- на). Вершины графа, соответствующие переменным л'п+i, ••- 21 •-; Хп+т, называют истоками. Каждая дуга графа имеет норми- рованный вес 1 или (—an/an), поэтому такая форма представле- ния сигнального графа получила название нормализованной. Су- ществует еще одна форма представления графа Мэзона, которой соответствуют следующие уравнения: п+т X, =^ (—й„)^+(1—й„)^, 1=1(1)Я . (1.16) (/^t) При переходе от выражения (1.16) к графу в вершинах Х{ по- являются петли с весами (1—а„), а веса дуг не нормируются по отношению к весу вершины йц. В ряде случаев это бывает более удобно, например при расчете функций чувствительности. Рассмотрим в качестве примера обобщенную пассивную под- цепь (рис. 1.10,а). Анализ ее проведем в однородном координат- ном базисе узловых напряжений, считая искомой переменной на- пряжения в узлах относительно некоторого базисного узла. Ис- б) Рис. 1.10. Схема обобщенной пассивной подцепи (а), ее нормализованный (б) и ненормализованный (в) граф Мэзона ходное уравнение (1.15) в этом случае примет вид где s^. h\ Yh • •j' (.1.17) где У„= 2 У.. i=i Сигнальный граф для уравнения (1.17), построенный согласно определению [I], приведен на рис. 1.10,6. Ненормализованный граф Мэзона (1.16) изображен на рис. 1.10,в. Процедуру построения графов активных элементов рассмотрим на примере простейшего идеализированного звена, приведенного под номером 1 в табл. 1.1. На основании (1.12) ему соответству- ет уравнение Ui=KUi, откуда при установлении топологического взаимно однозначного 'соответствия получаем граф, приведенный в табл. 1.1. Для операционного усилителя (ОУ) (табл. 1.1) имеем уравнение U^Ui+Uz, поскольку UiQiO. Используя выражения (1.16), получаем граф ОУ (табл. 1.1). По аналогии получены графы дифференциального ОУ, интегриру- ющего и дифференцирующего звеньев (с постоянной времени т), а также сумматора (табл. 1.1). Отметим, что графы активных 22 Таблица 1.1. Ориентированный беспетлевой граф линейной радиоэлектронной цепи № Элемент Граф элемента № Элемент Граф элеменга 1 d?^ k 1 2 4 н^ -f/p-e "Iэ1 2 r-^ r^ 5 г^-? В——^——0 -/ г. • 3 ^ го^^ 6 1^^In <<^f '^n+fnV^ элементов, приведенные в табл. 1.1, применимы не только для сиг- нального графа, но и для других видов графов. Для построения графа Мэзона не обязательно составление уравнений. Эту трудоемкую процедуру можно не проводить, если прибегнуть к соответствующим правилам, подробно описанным в [58]. Рассмотрим граф усилителя с однопетлевой обратной связью (рис. 1.11). Согласно [52], получаем граф, изображенный на рис. 1.1'2, где У2=У12+ У23+У24 и Уз=У2з+Узз. Оценивая по этому при- меру достоинства сигнального графа, следует отметить сравни- тельную простоту его построения. Однако при этом граф избы- точен по содержимой информации. Проводимости Viz, Уаз, YSA, УЗЗ фигурируют как в весах дуг графа, так и в весах петель при вер- шинах YS и Уз. Впоследствии это приводит к избыточности вы- числительных затрат, проявляющейся в выполнении лишних опе- раций, а также в появлении взаимно сокращающихся членов. К тому же, веса петель в вершинах содержат единицы, что порож- дает дополнительные взаимно сокращающиеся слагаемые. Рис. 1.11. Схема усилителя с олно- петлевой обратной связью Рис. 1.12. Граф Мэзона схемы, изображенной на рис. 1.11 23 1.3.2. ГРАФ КОУТСА От некоторых недостатков графа Мэзона свободна топологиче- ская модель, предложенная Коутсом [1, 16]. Граф Коутса соот- ветствует следующей системе уравнений: n-\-tn S a„x,=0, f=l(l)/!. (1.18) При этом переменные х, образуют совокупность вершин графа, а коэффициенты а,г, — совокупность дуг и петель. Применительно к обобщенной пассивной подцепи (см. рис. 1.10,а) выражение (1.18) примет следующий вид: ^ У„[/,+^Уй=0, ё1/ где Уй= 2 У, t'=i Граф Коутса, соответствующий анализируемой подцепи (см. рис. 1.10,а), представлен на рис. 1.13. Что касается активных элемен- тов, то их графы аналогичны тем, которые приведены в табл. 1.1, так как уравнения вида (1.12) в данном случае не преобразу- ются. Учитывая вышеизложенное, можно сформулировать правила построения графа Коутса, которые описаны в работе [16]. Рис. 1.13. Граф Коутса обоб- щенной пассивной подцепи (рис. 1.10,а) Рис. 1.14. Граф Коутса схемы. изображенной на рис. 1.11 Согласно правилам [16], был построен граф Коутса (рис. 1.14)' для цепи, изображенный на рис. 1.11. Сравнение его с сигналь- ным графом для этой же цепи (см. рис. 1.12) позволяет сделать вывод, что они изоморфны. При переходе от сигнального графа к графу Коутса веса петель в вершинах уменьшены на единицу, а в весах всех петель и дуг графа знак изменен на противополож- ный. Проведенные операции в ряде случае позволяют снизить из- быточность вычислений. К достоинствам графа Коутса относит- ся также то, что граф этого типа непосредственно соответствует исходной системе уравнений в наиболее общей форме (1.18). Вме- сте с тем граф Коутса аналогично сигнальному графу содержит информативно-избыточные петли в разрешенных вершинах, что следует считать его недостатком. 24 1.3.3. ОБОБЩЕННЫЙ СИГНАЛЬНЫЙ ГРАФ Обобщенный сигнальный граф (ОСГ), предложенный В. И. Анисимовым [I], является в определенной степени обобще- нием графов Мэзона и Коутса. Исходная система уравнений (1.18) для построения ОСГ приводится к так называемой [1] обобщенной причинно-следственной форме п-\-т ацХ1= 2 uijXj, 1=1(1)". /=i (/•^o (1.19) Согласно определению [I], каждой разрешенной вершине Xi ставится в соответствие вес ац. Далее, уравнению (1.19) для каждого t ставится в соответствие простая сходящаяся звезда с центром в вершине л:, и дугами, имеющими вес а», и исходящими соответственно из вершин Ху. Применительно к обобщенной пассивной подцепи, изображен- ной на рис. 1.10,а, уравнение (1.19) примет следующий вид: п+т [4У„=2-У,^, <^&) где Yk= S y'ife, откуда следует граф (рис. 1.15,а). Для сравнения с графами Мэ- зона и Коутса, вес вершины графа (рис. 1.15,а) заменим петлей в той же вершине с тем же весом (рис. 1.15,6). Такое представ- ,•.**». » » / . k • п о————>-<х————о У№ № Ynh W Рис. 1.15. Обобщенный сигнальный граф обобщенной пассивной подцепи (рис. 1.10,а) ление не изменит сущности ОСГ, ибо разрешенные вершины и вводимые петли находятся во взаимно однозначном соответствии. Такая интерпретация ОСГ позволяет выявить определенные ана- логии с графами Мэзона и Коутса. Так, например, наблюдается сходство в процедуре построения ОСГ и графа Коутса, так как обе топологические структуры являются следствием системы урав- нений, записанной в наиболее общей форме (1.18), (1.19). Раз- личие в этих графах заключается в, знаке весов дуг, что под- тверждает сравнение графа Коутса (см. рис. 1.14) и ОСГ (рис. 1.16), построенных для одной и той же ЛРЭЦ (см. рис. 1.11). К недостаткам ОСГ следует отнести избыточность вычислений при анализе ЛРЭЦ в однородном координатном базисе узловых на- пряжений [18]. Вместе с тем ОСГ отличается от графа Коутса 25 простотой формирования знака слагаемых [I]. Кроме того, ОСГ обладает меньшей избыточностью вычислений. Особенно эффек- тивной областью применения ОСГ является анализ аналоговых ЛРЭЦ в неоднородном координатном базисе. (Уц^Угз {Уз) k \ft} ^~г^——э——? Рис. 1.16. Обобщенный сиг- нальный граф схемы, изобра- женной н^ рис. 1.11 Рис. 1.17. Унисторный граф обобщенной пас- сивной подцепи (рис. 1.10,а) 1.3.4. УНИСТОРНЫЙ ГРАФ Необходимость описания невзаимных ЛРЭЦ (с активными эле- ментами) обусловила появление унисторных графов, [52], которые близки к двунаправленным графам [68]. Действительно, всякая двунаправленная дуга может быть представлена совокупностью двух встречно включенных унисторов с соответствующими веса- ми; в ряде случаев используется только однонаправленные дуги или один унистор. Поэтому можно не рассматривать отдельно дву- направленные графы, считая их аналогичными унисторным гра- фам. Отличительной особенностью унисторного графа по сравнению с рассмотренными выше сигнальными графами, является отсутст- вие петель в вершинах. Например, для пассивной подцепи (см. рис. 1.10,а) имеем унисторный граф (рис. 1.17). Всякий взаимный двухполюсный элемент описывается унистор- ным графом (рис. 1.18,а), а невзаимный—графом (рис. 1.18,6), где У] и Уз—проводимости элемента в прямом и обратном на- правлениях. Графы двухполюсников, присоединенных к базисно- му узлу и к идеализированному источнику ЭДС, изображены на рис. 1.18, в,г.. У Y YI Уг 6} Г Рис. 1.18. Разновидности унисторных дуг Многополюсные элементы (рис. 1.19,а), в том числе и невза- имные активные цепи, изображенные в виде унисторного графа, могут быть представлены суперпозицией C2N подграфов (рис. 1.19,6), связывающих через У-параметры произвольные пары уз- лов /I, 'ft, и k\, k2 [58]. Изображенный на рис. 1.19,6 граф опи- 26 сывает 2Л?^полюсник (рис. то он может быть описан занных на рис. 1.19,е. К граф изображен на рис. 1.19.а). Что же касается Л^-лолюсника,. суперпозицией C^-i подграфов, пока- примеру для четырехполюсника такой 1.20.а, а для трехполюсника—на рис. а) • 6} • Рис. 1.19. Многополюсник (а) и части (б, а) его унисторного графа 1.20,6, где параметры Увх, gnp, §обр, Увых являются элементами У- матрицы этих многополюсников. Правила построения унисторных графов изложены в [57, 58]. Согласно этим правилам, простейшей цепи, изображенной на рис. 1.11, при описании активного элемен- уобр ^пр <У Рис. 1.20. Унисторные графы четырехполюсника (а) и трехполюсника (б) та У-'па'раметрами соответствует унисторный граф, показанный на рис. 1.21. Анализ графа (рис. 1.21) показывает, что его подграф, отно- сящийся к пассивной части цепи, претерпел существенные упро- щения. В нем отсутствуют две пе- тли по сравнению с ранее рас- смотренными сигнальными графа- ми (см. рис. 1.12, 1.14, 1.16). Вме- сте с тем граф активного трехпо- люсника не может быть сведен к одной дуге k, как в сигнальных графах (см. рис. 1.12, 1.14, 1.16). Это можно считать недостатком рцс. 1.21. Унисторный граф схе- унисторных графов, мы, изображенной на рис. 1.11 27 1.3.5. ОРИЕНТИРОВАННЫЙ БЕСПЕТЛЕВОЙ ГРАФ Одна из задач анализа состоит в поиске графа, подобного ис- следуемой цели. Решение этой задачи существенно упрощает опе- рацию перехода от схемы к графу и обратно, которая в подавля- ющем большинстве случаев неавтоматизирована. При этом по- вышается наглядность процедуры анализа и синтеза, что снижает вероятность ошибки (особенно при расчетах без использования ЭВМ), а также весьма упрощает целенаправленные операции над графами (особенно при синтезе) с учетом физических свойств си- стемы. Соответствие графа и схемы ЛРЭЦ сводится к соответствию узлов и вершин, а также ветвей и дуг. Соответствие по узлам и вершинам может быть обеспечено при использовании однородного координатного базиса узловых напряжений. Именно поэтому опи- санные графы—сигнальный (см. рис. 1.12), Коутса (см. рис. 1.14), ОСГ (см. рис. 1.16) и унисторный (см. рис. 1.21) —имеют верши- ны, соответствующие узлам 0'писываемой РЭЦ (см. рис. 1.11). Но все эти графы избыточны по количеству'дуг в сравнении с ветвями исходной схемы (см. рис. 1.10). Кроме того, сигнальные графы Мэзона, Коутса и обобщенный граф имеют петли в вершинах (см. рис. 1.12, 1.14, 1.16). Отмеченные недостатки побудили ав- тора к введению ориентированного беспетлевого графа (ОБГ). Специфика ОБГ заключается в том, что он объединяет в себе достоинства унисторного графа в представлении пассивных под- цепей, а также сигнальных графов при описании идеализирован- ных активных звеньев. Для пассивной подцепи (см. рис. 1.11) ОБГ идентичен унисторному графу (см. рис. 1.17). При этом полностью сохраняются правила построения графа, проиллюстрированные на рис. 1.18. Для построения графов активных элементов рассмотрим эквивалентную схему активного трехполюсника (рис. 1.22,а), ко- торому соответствует следующее уравнение: E=i(Us—.?/4) = =/<([/!—Ut). Учитывая, что вершина 4 является базисной, пере- пишем последнее уравнение в виде Us=KUi. В результате с уче- том правил построения графов пассивных подцепей (см. рис. 1.18) получаем граф, изображенный на рис. 1.22,6. При условиях Увх= ==0, Увых =0°, очевидно, получаем известный граф (рис. 1.22,б). / h Ъ 2. о—>—о———»-о А Увых (Убх i4 6} k 2,3 Рис. 1.22. Эквивалентная схема замещения (а) и ориентированный беспетлевой граф (б, б) активного трехполюсника 28 Идеализированному активному четырехполюснику (усилителю напряжения) эквивалентна схема (ряс. 1.23,а), для которой спра- ведливо уравнение E^=(Us—U^)=K (Ui—?/2), откуда, учитывая, что узел 4—базисный, имеем Us=K(Ui—Uz). По аналогии получаем ОБГ (рис. 1.23,6). Дальнейшая идеали- зация (Увх=0, Увых=оо) приводит к графу, изображенному на S) Рис. 1.23. Эквивалентная схема замещения (а) и ориентированный беспетлевоч граф (б, в) активного четырехполюсника рис. 1.23,6. Для описания дифференциальных каскадов (рис. 1.24,а) может быть использован ОБГ, показанный на рис. 1.24,6 или на рис. 1.23,8. г^ Рис. 1.24. Эквивалентная схема замещения (а) и ориентированный беспетлевой граф (б) дифференциального каскада Рассмотренные активные многополюсники и их графы (см. рис. 1.22—'1.24) свидетельствуют о том, что ОБГ достаточно эф- фективно могут описывать линейные активные цепи, как полно- стью идеализированные (см. рис. 1.22,8 и 1.23,в), так и с конеч- ными входными Увх и выходными Увых проводимостями (см. рис. 1.22,6, 1.23,6, 1.24,6). С другой стороны, ОБГ активной цепи, со- хранив свойства сигнальных графов, оказался по своей структу- ре проще унисторного графа (см. рис. 1.19, 1.20). Следует также заметить, что ОБГ применим для исследования ЛРЭЦ, целиком состоящих из идеализированных звеньев. Такая задача довольно часто встречается для цифровых систем, а также для аналоговых ARC-цепей на основе ОУ [86]. В этом случае ОБГ принимает фор- му (которую будем называть вырожденной), представляющую со- бой сигнальный граф (табл. 1.1). 29 3 k Yi 12. 2. Угз 33 Рис. 1.25. Ориентированный Рис. 1.26. Упрощенный беспетлевой граф схемы, изо- граф, связывающий за- браженной на рис. 1.11. дающие в искомую пе- ременные Если при этом учесть (см. рис. 1.17, 1.18) простоту в описа- нии пассивных подцепей, как у унисторного графа, то применение ОБГ при анализе и синтезе ЛРЭЦ следует считать перспектив- ным. Учитывая вышеизложенное, в настоящей книге в основном будут использованы ОБГ или его вырожденные формы. В качестве иллюстрации вышеизложенного построен ОБГ для простейшей ЛРЭЦ (см. рис. 1.11), изображенный на рис. 1.25. 1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ПЕРЕМЕННЫХ В ГРАФАХ 1.4.1. СПОСОБЫ ПОИСКА ВЗАИМОСВЯЗИ ПЕРЕМЕННЫХ В ГРАФАХ Рассмотрим 'процедуру поиска взаимосвязи между некоторыми вершинами графа, отображающими соответствующие переменные исследуемой ЛРЭЦ. Эта процедура позволяет привести исходный граф к эквивалентному графу, содержащему только вершины за- дающих и искомых переменных, связанных минимальным коли- чеством дуг. В результате находится аналитическая зависимость между задающими и искомыми переменными, функционально об- условленная инциденцией и весами дуг графа. Различают три спо- соба поиска взаимосвязи переменных в графах. Первый из них ('назовем его прямым) основан на свойствах графов и заключается в том, что исходный граф путем последо- вательных упрощений сводится к графу с желаемым набором вер- шин и дуг. Процедура последовательных упрощений реализуется по специальным правилам преобразования графов. На примере нормализованного сигнального графа [52], данный способ может быть проиллюстрирован как исключение вершин и объединение дуг для получения структуры, изображенной на рис. 1.26, где х\, ..., Хп—задающие переменные, а Ху—искомая переменная. Э.ти преобразования эквивалентны приведению исходной системы уравнений к выражению хо=2ад, (1.20) f=i путем исключения ненужных промежуточных переменных. зо Второй способ (назовем его косвенным) позволяет получить выражение (1.20) непосредственно из графа без эквивалентных его упрощений. Решение в этом случае .получается на основе вы- числения коэффициентов а,г по формуле, специфика которой об- условлена видом исходного графа. Данный способ, по сравнению с прямым способом, в .подавляющем большинстве случаев явля- ется более экономичным, так как позволяет, минуя трудоемкие операции преобразования графов, получить передаточную функ- цию (коэффициент передачи). Третий и наиболее часто используемый на практике способ по- иска взаимосвязи переменных в графах (назовем его комбиниро- ванным) заключается в последовательном частичном применении прямого и косвенного способов. Обычно на первом этапе граф с помощью соответствующих преобразований приводится к виду, удобному для реализации второго этапа, на котором рассчитыва- ют передаточную функцию. Следует отметить, что трудоемкость, с которой получено то или иное решение, не является единственным критерием эффек- тивности анализа и синтеза. В процессе последовательных преоб- разований (редукции [22]) исходного графа, в отличие от косвен- ного способа, возможна наглядная оценка физических процессов в описываемой цепи, поэтому правила преобразования графов поз- воляют исследователю глубже понять свойства изучаемой ЛРЭЦ, что особенно важно при решении обратной задачи—синтезе ЛРЭЦ. 1.4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФОВ Впервые правила преобразования были разработаны для сиг- нальных нормализованных графов [52] и отражали эквивалентные операции над линейными уравнениями. Основные правила преоб- разований сигнальных графов описаны в работах [52, 58] и по- этому в настоящей книге опускаются. Значительно реже и менее полно освещены в литературе пра- вила преобразования унистор-ных графов [52]. Поэтому представ- ляет интерес их рассмотрение. Пусть задан унисторный граф (рис. 1.27,а). Задача состоит в том, чтобы его упростить, исключив вершину 0. Согласно опреде- лению унистора [57], можно записать Ih=YkUk или Uo= S t/ftYft/Ao, fe=i (1.21) "+i где Ао= 2 Yk—узловая проводимость; Uk—узловой потенциал k=\ вершины с номером k. Аналогично для узла (/г+1) ^n+i=?WAn+i. 31 (1.22) Подставляя (1.21) в (1.22), получаем выражение U п+1= An+1 &==i где Yho= которому соответствует граф рис. 1.27,6, эквивалентный исходно- му графу (рис. 1.27,а). д+/ '/?+/ Рис. 1.27. Преобразование графа сходящихся унисторов L. l.^U,U), Y(n+l)ft= Аналогично для другого графа (рис. 1.28,а) справедливо пре- образование (рис. 1.28,6), где Yn+iYh А. ' где Ао=Уо — узловая проводимость. ^1 ^. /^Уо Ya »^< : ^1 11 /г\ V и} Рис. 1.28. Преобразование графа расходящихся унисторов С учетом описанного правила исключения вершины (см. рис. 1.27, 1.28) рассмотрим унисторный граф цепочечного вида, изображенный на рис. 1.29,а. Проводя последовательно исключе- ние вершин 2, 3, ..., п—1, получаем граф (рис. 1.29,6), для ко- торого у у N^ Y_w+l) у,, у., ^п Y(k+\)k ll\N==I\2 11 ——————' ' ЛЛ—^21 11 fc=2 л'» <—2 д* где узловая проводимость А^Уй^-о+У^й-н). N-1 а) Рис. 1.29. Преобразование последовательного соединения унисторов 32 В дополнение к описанным правилам следует добавить еще од- но, основанное на известном свойстве однонаправленных дуг гра- фа. Данное правило иллюстрируют рис. 1.30,а (исходный граф) и рис. 1.30,6 (преобразованный граф), где п п Vl2= 2 Vis.i, У21= 2 У21,г. (=1 f=l В качестве иллюстрации описанных правил преобразования унисторных графов можно получить известную в электротехнике формулу преобразования звезды в треугольник и т. п. Наиболее плодотворной областью примене- ния правил преобразования уни- у^ ^ ущ сторных графов следует считать л/^~~~^\ у у анализ соединений многополюс- ^Q • й2 /о-^2——^oz ников. Целесообразность исполь- „'^^__^" зования в данном случае прямого 12''n оу 2f'n б) способа поиска взаимосвязи пере- „ . „„ гт <- , - v Рис. 1.30. Преобразование параллель- менных в графе объясняется тем, дого соединения унисторов что применение второго способа приводит в данном случае к необходимости перечисления огромно- го количества прадеревьев и как следствие к громоздкости мате- матических выкладок. 1.4.3. РАСЧЕТ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ГРАФОВ ПО ФОРМУЛАМ Несмотря на широкое многообразие видов графов ЛРЭЦ, в формулах расчета их передаточных функций имеется существен- ная аналогия. Для графов, рассмотренных в настоящей книге, то- пологическая формула передачи может быть записана в следу- ющем обобщенном виде: Тл= _xi_ Xk W^ Д. (1.23) где k — номер вершины-истока, соответствующей переменной Xk; I — номер вершины-стока, соответствующей переменной Xi; P^wi— вес некоторого t'-ro пути из вершины k в вершину /; А»—опреде- литель дополняющего путь Р» подграфа, образованного из исход- ного путем удаления вершин и дуг, принадлежащих f-му пути; Л— определитель исходного графа. Для различных типов графов вес пути Р^ равен Р^»=Пб(а,), /=i где 6(cij)—вес /-и дуги графа, образующей i-й путь из вершины k в вершину I; п — число дуг, входящих в состав t'-ro пути из вер- шины k в вершину I. 2—22 33 Для нахождения определителей может быть использована сле- дующая обобщенная формула: Д="26(Ы, (1.24) тде 6(ges) —вес s-го элементарного графа*, образованного из ис- ходного графа по специальным правилам, обусловленным типом графа; т—число всевозможных элементарных графов, образован- ных на исходном графе. При этом вес элементарного графа из вы- ражения (1.24) равен , б(Ы=(-1^П6(а<), (1.25) где 6(а<)—вес t-v. дуги графа, образующей s-й элементарный граф (OtSges); г—число дуг, входящих в состав s-го элементар- -ного графа; q—натуральное число, обусловленное типом графа и тгекоторыми количественными показателями s-го элементарного графа. Выражения (1.24) и (1.25) справедливы также и для опреде- лителя дополняющего подграфа Аг. Как видно ,из формул (1.23)— (1.25), специфика используемого для расчета графа играет роль лишь при формировании (1.24) и расчете весов (1.25) элементар- ных графов. Рассмотрим эту процедуру для различных типов гра- фов. В сигнальном графе (Мэзона) элементарный граф состоит из множества некасающихся контуров; фактор q равен количеству некасающихся контуров, входящих в состав данного элементарно- го графа. Вес элементарного графа в этом случае b(ges)==(-\)4HLr, (1.26) г=1 где Lr—'вес г-го контура, входящего в состав данного элементар- ного графа. По аналогии с (1.25) Lr= П b{a.j), /=i (1.27) где б (а,) —вес ;-й дуги, входящей в состав г-го контура; р—дли- на г-го контура. Следует заметить, что исходный граф может со- держать несколько элементарных графов с одним и тем же фак- тором. Исключение составляет единственный элементарный граф с фактором <7=0, который следует считать множеством контуров, вырожденных в вершину, имеющую вес, равный 1. Поэтому с уче- том (1.26), (1.27) формула для расчета определителя сигнально- го графа (Мэзона) часто записывается в следующем виде: * Элементарным графом [1] назовем компонент исходного графа, имеющего вес, равный слагаемому определителя исходного графа. 34 Q N, <, А=1+ 2 (-I)9 S П LW, (1.28)' 1?=1 t=l r=l где Nq—число элементарных графов с фактором q; Q—макси- мальное значение фактора q, при котором элементарный граф не является пустым множеством контуров; L^r— вес г-го контура, принадлежащего i-му элементарному графу с фактором q. Выражение (1.28) нашло широкое применение при решении нормализованных графов и в дальнейшем будет весьма полезно при анализе линейных цифровых РЭЦ. Элементарный граф Коутса [16] представляет собой совокуп- ность некасающихся контуров и петель исходного графа. Вес эле- ментарного графа Коутса [16] равен (1.29) где Lr—вес г-го контура (петли) элементарного графа; m—чис- ло контуров и петель, входящих в состав элементарного графа; п—число вершин исходного графа. Веса контуров Lr определя- ются по формуле (1.27). Элементарный ОСГ [1] представляет собой множество некаса- ющихся контуров и взвешенных вершин, одновременно включаю- щее в себя все не являющиеся чистыми стоками или истоками вершины исходного графа. Причем взвешенные вершины (петли) не входят в состав контуров. Вес элементарного ОСГ равен 6(ges)= IlLrTlBt, r=\ t=\ (1.30)- где Lr—вес г-го контура, входящего в состав элементарного гра- фа; п — число некасающихся контуров элементарного графа; Bi — вес t-v. взвешенной вершины, входящей в состав элементарного графа; те—число взвешенных вершин в составе элементарного графа. При этом вес контуров Lr определяется по следующей фор- муле: N L,=—II6(a,), /•=1 где 5 (а,) —вес t-й ветви, входящей в состав г-го контура; N — число дуг г-го контура. Веса вершин определяются по правилам, приведенным в [!];& однородном координатном базисе узловых напряжений вес верши- ны равен сумме весов сходящихся в данной вершине дуг. Применительно к унисторному графу [71] элементарный граф представляет собой прадерево с корнем в базисной вершине. Вес элементарного графа в этом случае равен 6{ges)= Пб(а<), t=i 35 (1.32) где 6(а<) —вес t-v. дуги образующего элементарный граф праде- рева; п — число дуг, входящих в состав прадерева. Элементарный ОБГ [24] образован совокупностью некасающих- ся контуров и дополняющих их прадеревьев, одновременно по- строенных на всех узлах исходного графа. При .этом дополня- ющее прадерево образуется на графе, полученном из исходного путем закорачивания на базовую вершину всех вершин, принадле- жащих некасающимся контурам. Каждый контур обязательно дол- жен содержать дугу, соответствующую идеализированному актив- ному элементу. Вес элементарного ОБГ 6(^)=Й^П6(а<), r-\ t-1 (1.33) где Lr — вес г-го контура, входящего в состав элементарного гра- фа; п—число контуров элементарного графа; 6(я<)—вес <-й ду- ги в составе прадерева, образующего элементарный граф; т— число дуг в прадереве элементарного графа. При этом вес кон- Tvj'a Lr определяется по формуле (1.31). Приведенные выше выражения (1.23)—(1.33) позволяют рас- считывать передаточные функции не только между стоком и един- ственным истоком. С помощью этих формул можно определять передаточную функцию между простыми вершинами, не являющи- мися стоками или истоками. Для этого применимо следующее вы- ражение: 2 Р^ Д. XI Tlm= (1.34) где I и т—вершины графа; k— исток; P^—i-vi путь из верши- ны k в вершину I; Дг — определитель, дополняющий f-й путь под- графа; ?,('"")— j-v. путь из вершины k в вершину т; Л, — опреде- литель дополняющего /-и путь подграфа. Формула (1.34) является следствием выражения (1.23). Если необходимо определить переменную, соответствующую некоторой вершине /г-графа, при наличии нескольких истоков, то следует воспользоваться формулой JCft= S TkjXj, /=1 (1.35) где х, — независимая переменная, соответствующая ;'-му истоку в графе; п—число истоков в графе; Гид—передаточная функция из /'-го истока в вершину k, определяемая согласно выражению (1.23). Формула (1.35) является интерпретацией принципа суперпози- ции для линейных систем [17]. Доказательство приведенных формул для расчета передаточ- ных функций различных типов графов можно найти в [1, 17, 52, 58], а для ОБГ — в гл. 2. 36 Глава вторая РАСЧЕТ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ 2.1. АЛГОРИТМ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ 2.1.1. ПЕРЕХОД ОТ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ ЦЕПИ К ГРАФУ Одним из центральных аспектов анализа (в том числе и рас- чета схемных функций) ЛРЭЦ является формирование математи- ческой модели (графа) ЛРЭЦ. В этой связи актуальным становит- ся вопрос о выборе типа графа с точки зрения его универсально- сти (возможности расчета как аналоговых, так и цифровых ЛРЭЦ), трудоемкости вычисления схемных функций (количества взаимносокращающихся и дробных членов), удобства расчета дру- гих функций (функций чувствительности, параметров собственных шумов и т. п.), простоты построения (отсутствия необходимости записи уравнений, максимального структурного соответствия гра- фа и ЛРЭЦ), возможности автоматизации расчета и др. Данным критериям, как будет показано далее, во многом отвечает ОБГ, отличающийся от известных графов большим соответствием струк- туре цепи, меньшей избыточностью вычислений, возможностью расчета (в том числе автоматизированного) аналоговых и цифро- вых ЛРЭЦ и т. п. Однако описание аналоговых цепей с помощью ОБГ ограничено однородным координатным базисом узловых напряжений. Учитывая популярность данного базиса [17, 18, 85] среди разработчиков ЛРЭЦ, а также возможность преобразова- ния к однородному базису гибридных систем уравнений [11, 73], отмеченный недостаток ОБГ можно не считать существенным. Прежде чем решать задачу расчета схемных функций (СФ), рассмотрим алгоритм анализа ЛРЭЦ с помощью графов. Исход- ными данными будем считать параметры и топологию анализиру- емой цепи, а также некоторые критерии оптимальности, которые в дальнейшем управляют всей процедурой анализа. Промежуточ- ные данные представляют собой граф, а выходные данные — либо выражение СФ (параметра), интересующее исследователя, либо массив численных значений СФ, однозначно определенных из гра- фа ЛРЭЦ. Это позволяет представить анализ ЛРЭЦ (с помо- щью графов) в виде алгоритма, структурная схема которого изоб- ражена на рис. 2.1. Алгоритм (рис. 2.1) предусматривает разделение процедуры анализа с помощью графов на два основных этапа, первым из которых является переход от исходной цепи к соответствующему ей графу. Данный этап, в свою очередь, делится на процедуру 37 Цепь Правила построения эквивалентных схем Преобразование схемы замещения Построение графа схемы Правила построения арафов схем Граф-схемная функция I i Преобразование ерафа I Правила преобразо- вания арафов Расчет передаточной функции параметра врафа - Е——- Схемная функция Правила расчета арафоб Рис. 2.1. Структурная схема анализа линейных радиоэлектронных цепей с по- мощью графов преобразования схемы цепи и процедуру построения графа. Под преобразованием исходной ЛРЭЦ понимается представление ее с помощью эквивалентных схем замещения, включающих простей- шие элементы: резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности с проводимостью У или сопротивлением Z (рис. 2.2,а), идеальные независимые (рис. 2.2, б, б) и зависимые (рис. 2.2, г, д, е, ж) источ- ^- 1 ^ / \ Т Т IT о \ 1. 1——^2—— УЗ +У^З =(^2+^24) X Х (^23 + ^Зо) + Y23^30——^23^24 Коутса У2-У^————^^<--^схо^у Д+Х =(-1)2+2^3+(-1)2+1^3+ / 1\2+l/,v V /V IV -L V ^ \^ 1 2>^^/S k \9 -у23. ф (—1) Й^23'24=(yl2+J23+r24)X(^23 + Yso) —Yls—kY^ = (^12 + ± + ^24) (^23 + Yso) + ^23^'ЭО —— ^23^24 •ОСГ У». Y„ J^Wk\W Д= = (- kY^Y„) + Y^ + (- У|з). 1 =/V ! V 1 V \ /V 1 V \ y2 l'12-f- •'23 "Г '24) (.'И"'!- 'ЗОЛ '23 1 '2 '^ ' Г Ф . Ф - ^23^24 = (^12 + ^24) (^23 + YM^+ ! V V hV V -SL •Г'23^30 /г•'23^24 ОБГ /. Y,2 , J^~~>\ . Д - ^23 + (^12 + ^24) Y^ + (Y„ + "1 -24) '30 —— ^'24'23 — '30' 23 ~Т~+(Yi2+ Y^) (Кгз + Ysa) — kY^Y.^ г2^; а I YSS W члены подчеркнуты. Строгое доказательство этого свойства ОБГ будет дано ниже. Следует заметить, что такой простейший пример (см. рис. 1.11) для сравнения выбран умышленно, ибо избыточ- ность вычислений для графов Мэзона, Коутса и ОСГ с усложне- нием пассивной подсхемы будет резко возрастать, что не имеет 46 места для ОБГ. Что касается унисторных графов, при анализе взаимных ЛРЭЦ они не дают избыточности вычислений. Расчет параметров схем с невзаимными многополюсниками с помощью унисторных графов порождает существенную избыточность вычи- слений. Соответствующие примеры приведены в гл. 4. 2.2. РАСЧЕТ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ АНАЛОГОВЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ 2.2.1. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ГРАФОВ ЛИНЕЙНЫХ АНАЛОГОВЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ Сформулируем методику расчета передаточных функций ориен- тированных беспетлевых графов, для чего предварительно рассмот- рим компоненты ОБГ. В данном графе G=(X,A,T) могут быть выделены подмножества «сигнальных» К и «унистор- ных» У дуг, причем A=K[]Y, YW=0. Сигнальная дуга графа соответствует активному элементу це- пи; ее вес—физически безразмерный коэффициент передачи по напряжению зависимого источника. Унисторная дуга графа со- ответствует двухполюснику цепи и имеет вес, равный проводимо- сти двухполюсника. Граф, в котором присутствуют как сигнальные, так и унистор- ные дуги, классифицируем как невырожденный. Для различения типов дуг невырожденного графа, при их графическом изображе- нии, для сигнальных дуг стрелку будем размещать в середине дуги, а для унисторных дуг—на ее концах. Следует заметить, что возможно вырождение ОБГ в унисторный или сигнальный графы в зависимости от вида описываемой цепи. В ориентированном беспетлевом графе может быть выделена; его контурная часть, представляющая собой совокупность постро- енных на данном ОБГ не касающихся друг друга контуров, каж- - дый из которых содержит хотя бы одну сигнальную дугу. По ана- логии с сигнальным графом контурную часть ОБГ будем характе- ризовать фактором—количеством контуров, принимающим зна- чения от нуля до некоторого максимально возможного для данно- го ОБГ числа. Вес контурной части равен произведению взятых с обратным знаком весов всех входящих в нее контуров. Прадерево ОБГ, в котором все дуги только унисторные, а не- разрешенные вершины объединены с базисной вершиной, является Древесной частью. Произведение весов унисторных дуг такого пра- дерева есть вес древесной части. Древесную часть ОБГ, образо- ванную из исходного графа посредством объединения всех вершин контурной части с базисной вершиной, назовем дополняющей. Как и для других видов графов ЛРЭЦ, одним из центральных понятий для ОБГ является элементарный граф, который опреде- 47 лим как суграф, представляющий собой совокупность контурной части и дополняющей ее до исходного графа древесной части. Фактор элементарного графа примем равным фактору его кон- турной части; он может принимать значения от нуля до некоторо- го максимально возможного для данного графа числа (ранга гра- фа). Вес элементарного графа равен произведению весов образую- щих его контурной части и дополняющей ее древесной части. С учетом данных определений докажем ряд теорем, необходи- мых для расчета схемных функций. Основополагающей среди них является теорема об определителе ОБГ. Теорема 2.1. Определитель ОБГ равен сумме весов всевозмож- ных его элементарных графов detG==26(gJ. (2.9) i Доказательство. Пусть имеется ОБГ Gen вершинами. Ему соответствует система уравнений Oil "12 вк tllm Дщ Ofl а<2 an СЧт ащ °ml а-тъ a.mt 0'тт а-тп Onl Яп2 4nt ^'mn °nn Xt ==ЦЛ||х]|=о. (2.10) Записанная система уравнений является основной для графа цепи G(X, А, Г), в котором Х образует множество вершин, Л—множество дуг, а система (2.10) задает инциденте? Г. Применительно к ОБГ, описывающему ЛРЭЦ в однородном координатном базисе узловых напряжений, каждая вершина графа однозначно соответствует узлу цепи (точнее, ее эквивалентной схемы). В зависимости от того, какой .элемент подключен к узлу ЛРЭЦ, соответствующая ему строка матрицы Л бу- дет иметь различный вид. Для ОБГ уравнения системы (2.10) (и следователь- но, строки матрицы Л) можно разделить на два типа: 2 aijXj^O, где /=i 2 ат,х,=0, где а„ /=1 48 прь' j=i, ati=k; При /'=/, dtt=—1; при j^i, a,(=0; при j^l, dtj=Q; п .. = — 2 "mr. г=1 r-ftm (2.11) (2.12) ОБГ G не имеет дуг, соответствующих элементам а-т-т и я», которые явля- ются источниками избыточности в графе. Что же касается других, не равных нулю элементов матрицы Л, то элемент ац^К, (t^i) соответствует сигналь- ной дуге, а элемент am,<=Y, (m^j) соответствует унисторной дуге ОБГ. Полезно отметить, что к подмножеству У относятся также фигурирующие в диагональных элементах матрицы Л веса дуг, исходящих из базисной верши- ны, для которой не составляется соответствующее уравнение и не формируется строчка матрицы Л. На основании результатов, приведенных в гл. 1, уравнения вида (2.11) являются компонентными уравнениями управляемого источника напряжения описываемой ЛРЭЦ, а уравнения (2.12) соответствуют уравнениям первого за- кона Кирхгофа. Поставим задачу вычисления определителя матрицы Л по виду соответст- вующего ей графа G, т. е. без учета элементов а« и dmj при m=j и t=i, не имеющих соответствующих им дуг в графе G. С этой целью воспользуемся спе- цификой матрицы Л, которая состоит в том, что имеются два типа строк, пер- вый из которых относится к активным элементам (2.11), второй—к пассивным (2.12) (выделены строки t и т соответственно). Воспользуемся общим выражением для определителя матрицы [1] detA= 2 (—1)^,1,1012,2 -ainjn, (2.13) где суммирование осуществляется по всем различным подстановкам из индексов коэффициентов ( 1112'" •" 1 и г — четность каждой из таких подстановок. С уче- — \Л/2.../п ] том того, что всякому недиагональному элементу а,, может быть поставлена в соответствие дуга (х„ х,), а всякому диагональному а,,—петля, каждый член суммы разложения определителя матрицы Л может быть представлен в виде произведения весов некасающихся контуров, включая петли. Соответственно выражение (2.13) можно записать в виде det'A=S (—l)dП(a„l„^ais2l•82...a„;,•si), (2.14) где г—длина контура; /,!=t„;; /'«t=t'»k-i, (^=2, 3, .... I) и под знаком произ- ведения стоят все возможные группировки коэффициентов (агви-и, ciis-asi, ... ..., а,.,,!,:), индексы которых образуют совокупность независимых контуров; d=n—g; g—число независимых контуров подстановки. Среди контуров могут быть как содержащие, так и не содержащие сиг- нальные дуги. Совокупность контуров, содержащих сигнальные дуги, есть кон- турная часть G. С учетом этого detA=2^SnLt,, (2.15) s где L.—вес s-й контурной части gi.s; SIILis — определитель графа, полученно- го из исходного объединением всех вершин контурной части §ы с базисной вер- шиной. Согласно [71 J, определитель равен сумме весов прадеревьев, являющихся суграфами grs с корнем в базисной вершине. Это полностью соответствует оп- ределению веса древесной части, отсюда SnZ-fs—сумма весов, дополняющих gLi древесных частей. С учетом того, что по определению вес элементарного графа ge, равен 6{ge,)==6(gL.)S(gT.), 49 выражение (2.15) примет следующий вид: defA= 26(ge,). s При этом вес контурной части, как и вес дополняющей ее древесной части гра- фа, формируется без участия диагональных членов а.тт и а» матрицы А. Так как подстановка (2.13) производится по всем г, /, при расчете определителя А перечисляется все множество элементарных графов. Отсюда можно считать вы- ражение (2.9) и теорему 2.1 доказанными. Рассмотрим методику расчета алгебраического дополнения Д^ элемента а.зь матрицы Л с помощью соответствующего ей ОБГ. Теорема 2.2. Несимметричное алгебраическое дополнение Адй равно сумме всех возможных произведений весов путей из /-вер- шины в k-ю вершину на определители частей графа, не касающих- ся этих путей, т. е. Л^=2^,Л(5), (2.16) s где Phj^ — вес s-го пути из j-v. вершины в k-ю вершину; Д00 — оп- ределитель подграфа, дополняющего s-й путь, и суммирование осу- ществляется по всем возможным путям в k-ю вершину из /-и вер- шины. Доказательство. Для доказательства выражения (2.16) положим в матрице ajk=\', а,г=0, i=\(\}n, i^=k. Получим матрицу Л'= "11 "ift aij а-т о 0 1 0 0 0 0 Ощ ank ащ Qnn Вычисляя определитель этой матрицы разложением по /-и строке, получаем detA'=(—l)l^+}detAjh=^,h. (2.17) Введенной матрице А' соответствует граф G', кото- рый может быть образован из графа G, если в по- следнем удалить все дуги, входящие в ;'-ю вершину, и ввести дугу a.jh=—1 (рис. 2.16). Определитель ма- трицы А' и соответствующего ей графа G' равен сум- ме произведений весов некасающихся контуров, включающих одновременно все вершины графа. Каж- дый член суммы содержит в качестве сомножителя вес дуги ад. Следовательно, любое слагаемое опре- делителя A'^detA', т. е. вес элементарного графа G,, можно записать в виде 50 Рис. 2.16. Граф для ра- счета несимметричного алгебраического допол- нения 6(^,,)-^),,Д(5)=_а,,,р('),.,Д(«)=рЩ,.,Д('), (2.18) где L^'ijj—вес s-го контура, проходящего через вершину х,; P^k,—вес s-ro пути в k-ю вершину из /'-вершины; Д^)—определитель подграфа, дополняюще- го s-й путь. Суммируя по всем возможным путям из ;-й вершины в fe-ю вершину, на основании (2.17) и (2.18) получаем выражение (2.16), что и требовалось до- казать. Теорема 2.3. Симметричное алгебраическое дополнение А„ рав- но определителю графа С,, образованного из исходного графа объ- единением вершины Xj с базисной вершиной, т. е. Д„=.А7 , (2.19) где А7 —определитель графа GT , образованного из исходного объединением /'-и и базисной вершин. Доказательство. Справедливость соотношения (2.19) следует из того об- стоятельства, что симметричное алгебраическое дополнение Д,, равно опреде- лителю матрицы, образуемой из исходной матрицы Л удалением ;-й строки и ;'-го столбца. Такой операции соответствует объединение вершины х, в графе G с базисной вершиной, в результате чего образуется граф G—. Перейдем теперь к задаче определения передаточной (схем- ной) функции ОБГ от одной его вершины к другой. Теорема 2.4. Передаточная функция ОБГ между вершинами j (исток) и k может быть найдена по формуле у рс") дс") •" ki Н^=-"———^——, (2.20) где А — определитель ОБГ; РЬ}^ — вес т-го пути из /-и вершины в k-ю; А^—определитель подграфа, дополняющего т-и путь. Доказательство. Для доказательства запишем систему уравнений (2.10), добавив к ней вектор-столбец задающих переменных X': АХ+А'Х'=0. Исходя из формулировки теоремы, рассмотрим случай, когда имеется лишь од- на задающая переменная (для графа это эквивалентно единственному истоку). В этом случае для некоторой строки матрицы Л справедливо соотношение 2 ацХ1+ацХ,=0, 1=1 (2.21) где Xj—задающая переменная. Согласно теореме Крамера [34], решение системы уравнений (2.21) имеет вид п ]С Aift0„ Д -Xj, Ще Д—определитель матрицы Л, соответствующий графу G; Д<»—алгебраиче- ское дополнение элемента о^ этой матрицы. 51 Используя (2.16), запишем V, tW (S ^)л(5))-» \ s Xft= Отсюда схемную функцию H^j можно записать в виде " / \ 2 S ^)A(S) a./ S ^)л(т) [=1 \ s ' т д д так как каждое из произведений (—P^^idi,) определяет все пути, проходяще- го через 1-ю вершину в k-ю из /'-и вершины. Суммирование по всем i эквива- лентно в данном случае перечислению всевозможных путей из у-й вершины в /г-ю вершину; в результате получаем выражение (2.20). 2.2.2. МЕТОДИКА РАСЧЕТА СХЕМНЫХ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ С учетом теоремы 2,4 рассмотрим два возможных случая рас- чета схемных функций ЛРЭЦ, когда в качестве задающей пере- менной использованы ток или напряжение, т. е. к описываемой це- пи присоединены идеализированные источники тока или напря- жения. Пусть С—линейная цепь с п узлами (рис. 2.17, а), которой соответствует ОБГ G (рис. 2.17,6) и в которой выделены узлы i и k, соответствующие переменным, порождающим искомую схемную функцию. Пусть между узлами f и базовым подключен идеальный источник тока / (рис. 2.18,а). С учетом (2.21), где для ОБГ ац=Уц, xi=Ui, а„=1, л:,=7, Рис. 2.17. Линейная радиоэлектронная цепь (а) и ее граф (б) при отсутствии задающих источников Рис. 2.18. Линейная радиоэлектронная цепь с источником тока (а) и ее графы (б, в) 52 имеем уравнение Кирхгофа для f-го узла S У,«[/,+/=0 i=i в координатном базисе узловых напряжений Ui {Уц — соответст- венно проводимость двухполюсника, соединяющего узлы i и 1). Граф G примет вид (рис. 2.18,6), где появились новая вершина х,, соответствующая току /, и дуга а,г,=\. Поэтому все пути из Xj в Xk ЭКВИВалеНТНЫ ПУТЯМ ИЗ Хг В Xk И Ajfe=Aift, т. е. несимметричные алгебраические дополнения первого (см. рис. 2.17,6) и второго (рис. 2.18,6) графов тождественно равны. Симме- тричное алгебраическое дополнение, т. е. знаменатель передаточ- ной функции А,, для графа (рис. 2.18,6) тождественно равен оп- ределителю графа (см. рис. 2.17,6). На основании вышеизложенного можно сформулировать прави- ла расчета передаточных функций для ЛРЭЦ с источником тока (см. рис. 2.17,а). С этой целью представим граф (рис. 2.18,6) в виде (рис. 2.18,е), откуда видно, что для расчета передаточной функции Hhi=U/.I необходимо: 1) вычислить веса всех путей, проходящих через выделенные вершины i, k и 0 — базисную вершину, т. е. веса всех путей, про- ходящих из вершины f через единичную дугу (0, k), соответству- ющую измерительному прибору, а также вычислить алгебраиче- ские дополнения указанных путей; 2) вычислить определитель графа, соответствующего анали- зируемой цепи при исключении источника тока и измерительного прибора, т. е. графа исходной ЛРЭЦ (см. рис. 2.17,6). Расчеты по пункту / изложенной методики могут быть прове- дены с помощью Л-матрицы графа, в которой вычеркнуты f-я стро- ка и k-й столбец. При реализации пункта 2 методики Л-матрица исходного графа ЛРЭЦ не требует изменений. Если в качестве источника сигнала используется идеальный ис- точник напряжения (рис. 2.19,а), задача фактически сводится к расчету передаточной функции между вершинами i и k графа ис- ходной ЛРЭЦ (рис. 2.19,6). При этом уравнения составляются для всех вершин, за исклю- чением вершины, соответствующей узлу, к которому подключен идеальный источник напряжения. Данная вершина Хг=Е стано- Рис. 2.19. Линейная радиоэлектронная цепь с источником напряжения (я) ш ее графы (б, в) 53 вится истоком, откуда несимметричное алгебраическое дополне- ние может быть определено как совокупность весов путей и их дополнений, проходящих (рис. 2.19,6) из вершины через единич- ную дугу (0, k), что эквивалентно вычеркиванию i-й строки и k-то столбца Л-матрицы исходного графа. Для расчета симметричного алгебраического дополнения, очевидно, необходимо объединить вершину i с базисной вершиной 0 (рис .2.19,е). Задача определения тока в некоторой ветви анализируемой ЛРЭЦ (рис. 2.20,а) легко сводится к определению передаточных функций к вершинам графа / и k, соответствующим узлам (/, k) выделенной ветви, и расчету по следующей формуле: Ij,k—(ffj,i-Hk,i)XiY,,h, где У,й—вес дуги (рис. 2.20,6), соответствующей выделенной вет- ви ЛРЭЦ. Рис. 2.20. Линейная радиоэлектронная цепь с незаземленным выходом (а) и ее .граф (б) На основании изложенной методики можно формализовать рас- чет Z, Y, G и Я-параметров с помощью ОБГ. Используя предлагаемую методику расчета СФ, рассмотрим не- сколько примеров ее применения. Пример 2.1. Имеется звено простейшего НЧ фильтра (рис. 2.'21,а) [86]. Не- обходимо найти его передаточную функцию H=V/E. V б) Рис. 2.21. Схема НЧ-фильтра \а) и ее ориентированный беспетлевой граф (б) Используя табл. 1.1, нетрудно построить граф (рис. 2.21,6), необходимый для расчета Н. Несимметричному алгебраическому дополнению графа (теорема 2.2) согласно (рис. 2.22,а) соответствует только один элементарный граф с •весом 6i=y,y^„. 54 Для определения симметричного алгебраического дополнения (теорема 2.3) не- обходимо перечислить контуры графа (рис. 2.21,6). Единственный контур этого графа показан на рис. 2.22,6 и вес его равен 6(L)=YsknpCi. Определитель дополняющей древесной части равен единице. В результате вес элементарного графа можно определить по следующей формуле: ^=—6(L)=—YtknpCi. Далее необходимо перечислить все элементарные графы с фактором, равным- нулю (рис. 2.22,6), веса которых из рис. 2.22,г, д, е, ж, з соответственно равны бз^рСгУг; б4=У1У2; б^рС^л 6s=pCipC2; бт^рСг. В результате 6i knY^___________ _ Н= 7 ""р^Са+Р^ ^.+^2(1—^)]+^2 I, 6. 1=2 г -г а) Р^{ Уг ^1 23^ 6} 0,1,tt -ЬО,^ v————o0,1,if ^—————ДДУ/, SJ -'- gj -L "-l т ' ' Рис. 2.22. Элементарные ориентированные беспетлевые графы схемы (рис. 2.21,6) Аналогично используя граф (рс. 2.23), можно получить выражение входно- го сопротивления цепи (рис. 2.21,а) вх U p^CiCa+P [Ca^i+Ci^O—fenn+^i YZ I ~~ Yi^CiC^+pCiY^l—kn)] 1 -< уг (рс, Л - Уг .3 ^п г"^ 2 4 РСг.0 J Пример 2.2. Из [77] известно, что амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) высоких порядков могут быть реализованы как в виде набора эле- ментарных фильтровых звеньев, так и с помощью многопетлевой струк- туры. Последний случай рассмотрим под- робнее. Активная .RC-цепь п-го порядка (kni', i==l(l)n) изображена на рис. 2.24,д, а ее граф на рис. 2.24,6. В графе (рис. 2.24,6) можно выделить характерные подграфы (рис. 2.24,в, г) с весами г-<=—*щУ<+1Х Х ^n(i+i)pC, и Дг = Уг 4- рСг соот- 55 Ри»>. 2.23. Граф для расчета входно- го импеданса НЧ-фильтра (рис. 2.21,я) ветственно. Подграфы первого вида (рис. 2.24,б) относятся к контурным частям а подграфы (рис. 2.24,г)-к древесным дополняющим частям ОБГ. Поэтому симметричное алгебраическое дополнение графа (рис. 2.24,6) равно Двх.вх= П Д,+ 2 г.. ПДг+ 2 LiL, П Дг+...+ 2 LiL,...L„ '" ^! "/" ^-Ж -/•-.=>————— где w — целая часть д/2; Z,„ L„ ..., Lg — некасающиеся контура. 'Рис 2.24. Активная RC-цепь я-го порядка (а), ее граф (б) и подграфы (в, г) Аналогично несимметричное алгебраическое дополнение графа (рис. 2.24,6) п Двх.вых= П Yskn,, s=l а передаточная функция по напряжению от входа к выходу ПУ RT,IV Н вх. вых вх. вых ДНУ „. Далее определим входное сопротивление схемы (рис. 2.24,а) До» „„ 1"вх.вх «где Д'вх.вх=Двх.вх при Д1=рС1. 56 2.2.3. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА СХЕМНЫХ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ АНАЛОГОВЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ С ИДЕАЛИЗИРОВАННЫМИ АКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Нередко при исследовании аналоговых ЛРЭЦ в первом при- ближении допустимо идеализированное описание активных элемен- тов. Так, например, коэффициент усиления ОУ можно считать бес- конечно большим [77]. Применение идеализированных моделей активных элементов позволяет существенно упростить анализ ана- логовых схем, однако такая идеализация нередко приводит к из- быточности вычислений [18]. Поэтому поставим задачу сокраще- ния отмеченной избыточности вычислений с помощью соответст- вующей методики расчета СФ. С этой целью введем несколько не- обходимых определений. Прежде всего определим унисторное прадерево как прадерево графа, включающее лишь унисторные дуги. Аналогично можно вве- сти понятие унисторного ^-прадерева. Унисторное /г-прадерево, дополненное его сигнальными хорда- ми так, что образуются некасающиеся контуры, назовем допол- ненным унисторным ^-прадеревом с фактором, равным количест- ву входящих в его состав некасающихся контуров. При этом вес дополненного унисторного й-прадерева равен произведению весов всех его дуг, умноженному на минус единицу в степени его фак- тора. С учетом данных определений докажем следующую теорему. Теорема 2.5. Определитель ОБГ, содержащего п неразрешенных вершин, равен сумме весов всевозможных его дополненных и не- дополненных унисторных п-прадеревьев с корнями в неразрешен- ных вершинах. Доказательство. Из теоремы 2.1 известно, что определитель ОБГ равен сум- ме весов всевозможных его элементарных графов, каждый из которых, по оп- ределению, представляет собой совокупность контурной и дополняющей ее дре- весной частей данного графа. Причем вес s-го элементарного графа равен про изведению весов образующих его контурной §ы и дополняющей древесной grs частей: 6{ge.)=6[gL.)6(gT.). Далее, считая, что grs образован т сигнальными дугами с весами k„ t=l(l)m и г унисторными дугами с весами (/,, j=\(\)r, получаем б(§es)=(-l)c's П k, П^З, где q, — фактор gm. Кроме того, считая, что для grs возможно построить d различных праде- ревьев с весами соответственно Гц, »=!(!) d, можно записать 6(gr.)= 2 Тп. 4=1 57 Доказанная теорема 2.6 при анализе ЛРЭЦ, содержащих идеа- лизированные ОУ (с бесконечным коэффициентом усиления по на- пряжению) , посредством ОБГ объявляет существенными лишь те дополненные унисторные т-прадеревья, в состав которых од- новременно входят все соответствующие ОУ сигнальные дуги с весами, приравненными единице. Отсюда для расчета СФ линей- ных цепей с идеальными ОУ достаточно в ее ОБГ перечислить и определить вес всех унисторных /п-прадеревьев, дополненных все- ми соответствующими ОУ сигнальными хордами, положив их веса равными единице. Пример 2.3. Для иллюстрации результатов теоремы 2.6 рассмотрим расчет передаточной функции цепи с ОУ, изображенной на рис. 2.25,а. Ее ОБГ приве- ден на рис. 2.25,6. Полагая в нем (i==l и пользуясь методикой теоремы 2.6, име- ем следующие элементарные графы: для несимметричного алгебраического до полнения—граф (рис. 2.25,б), вес которого равен б, = Vi (^1) (Уз+ У4) =—Yi (Уз+ У4); для симметричного алгебраического дополнения — графы (рис. 2.25,г и <Э) с весами соответственно б2=-У.(-1)(Уз+У4)=У2(Уз+У4); бз=-У4(+1)(У1+У2)=-У4(У1+У2). Чтобы получить результирующую передаточную функцию, достаточно осу- ществить необходимые подстановки в следующую формулу: Я1,з=б1/(б2+6з). Сравнительный анализ с расчетом данной цепи (рис. 2.25,а) посредством ОСГ [18] показывает, что использование теоремы 2.6 позволило исключить необхо- Рис. 2.25. Схема линейной радиоэлектронной цепи с одним ОУ (а), ее граф (б) и соответствующие элементарные графы (в, г, д) 60 димость перечисления элементарных графов, веса которых пренебрежимо малы при jx-'-oo. Необходимо отметить, что усложнением анализируемой цепи при- менение теоремы 2.6 становится еще более эффективным. 2.3. РАСЧЕТ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЦИФРОВЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ 2.3.1. МЕТОДИКА РАСЧЕТА С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЦИФРОВЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ Как уже отмечалось, при анализе цифровых ЛРЭЦ целесооб- разно использовать вырожденную форму ОБГ, соответствующую нормализованному графу Мэзона. Отсюда следует, что процедура расчета передаточных функций цифровых ЛРЭЦ непосредственно связана с формулой Мэзона [52], т. е. с перечислением конту- ров и путей графа, описывающего анализируемую цепь. Следует также отметить, что для цифровых ЛРЭЦ практически нет необ- ходимости вычислять такие СФ, как входное или выходное сопро- тивление. Поэтому известное многообразие СФ в этом случае обыч- но сводится к единственной передаточной функции, связывающей входной и выходной сигналы. Пример 2.4. На рис. 2.26,а показана структурная схема цифровой ЛРЭЦ. Построим соответствующий ей граф (рис. 2.26,6) и найдем передаточную функ- цию данного графа от его входа к выходу. Для этого проведем перечисление контуров Li=Cz-1; Z.2=.Dz-2 и путей р,=Л; Рг=г-' В; Рз=г-2. С учетом того, что все они касаются друг друга, получаем следующую переда- точную функцию: Р1+Р2+Рз Я вх. вых По аналогии может быть рассчитана передаточная функция для любой сколо угодно сложной цифровой ЛРЭЦ. та? к, ЯР 3—\ г-' •——| и ^——с ?^ 5 ЕР Г~1 » а _ , Вход , -. о_ • Bwxou о, f f*"^л. >^ 1^Лъ - to „ s ^ Рис. 2.26. Схема цифровой линейной радиоэлектронной цепи (а) и ее граф (б) 61 2.3.2. МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЦИФРОВЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ При анализе частотно-зависимых аналоговых ЛРЭЦ в обла- сти низких частот в первом приближении зачастую пользуются правилами, согласно которым конденсатор представляется как ра- зомкнутая ветвь, а катушка индуктивности—как замкнутая ветвь (в графе эти операции приводят соответственно к объединению вершин и устранению дуг). ./„v-„„- /^-\ 7 г. ' \ т^—; -/-}.1 V-4———1——^ п-2 • п-/^ -„-A.J Т-т-^ ^ Удобство данных правил оче- видно. Однако их недостатком яв- ляется непригодность для анали- за цифровых ЛРЭЦ. В связи с этим рассмотрим по- ведение частотно-зависимых зве- ньев цифровых ЛРЭЦ при изме- нении частоты сигнала. б) Рис. 2.27. Временные диаграммы квантованных по времени постоян- ного (я) и гармонического (б) сиг- налов Докажем, что в цифровой ЛРЭЦ, находящейся в установив- шемся режиме, для сигнала, рав- ного постоянной величине (мож- но рассматривать как сигнал с ну- левой частотой), передаточная функция звена единичной задерж- ки равна единице. Так как мы рассматриваем установившийся режим, то времен- ные значения сигнала на выходе произвольного звена единичной задержки могут быть изображены, как показано на рис. 2.27,а, где t—время. Из рис. 2.27, а видно, что каждое предыдущее зна- чение сигнала х на выходе звена равно его последующему значе- нию: х[п—2]=-х[п—1]=х[п]==ха. (2.26) Отсюда следует, что коэффициент передачи звена единичной за- держки равен единице. Докажем также, что в цифровой ЛРЭЦ, на- ходящейся в установившемся режиме, для сигнала с частотой, равной половине частоты квантования, передаточная функция зве- на единичной задержки равна минус единице. Доказательство может быть проведено с помощью рис. 2.27,6, где изображены тональный сигнал на выходе звена единичной за- держки (в установившемся режиме) с частотой, равной половине частоты квантования (штрихпунктирная линия), и его выборки с частотой квантования. Из графика (рис. 2.27,6) следует, что каждое последующее зна- чение квантованного сигнала x(t) равно взятому с обратным зна- ком предыдущему значению, т. е. x[n]=—x[n—l]'=зx[n—2]=xo. (2.27) 62 Отсюда следует, что коэффициент передачи звена единичной за- держки на частоте, равной половине частоты квантования, имеет значение минус единица. Из выражений (2.26) и (2.27) однозначно следует следующая методика предельной оценки частотных характеристик цифровых ЛРЭЦ. 1. На низких частотах для оценки предела АЧХ следует в графе анализируемой цепи (рис. 2.28,а) всем дугам, соответству- ющим звеньям единичной задержки, поставить в соответствие вес, равный единице, и рассчитать передаточную функцию преобразо- ванного графа (рис. 2.28,6). .3 Г- Z ' V Рис. 2.28. Графы, иллюстрирующие методику предельной оценки частотных ха- рактеристик цифровых линейных радиоэлектронных цепей 2. На высоких частотах (половинная частота квантования яв- ляется здесь пределом) для оценки предела АЧХ следует в гра- фе анализируемой цепи всем дугам, соответствующим звеньям единичной задержки, поставить в соответствие вес, равный минус единице, и рассчитать передаточную функцию преобразованного графа (рис. 2.28,е). Пример 2.5. В качестве примера рассчитаем предельные значения АЧХ циф- рового фильтра, граф которого приведен на рис. 2.29,а. Для расчета в области низких частот преобразуем исходный граф (рис. 2.29,а) в граф, изображенный на рис. 2.29,6, передаточная функция которого равна „_ 1-1 _р 1—1,9976+0,9980 Для области верхних частот имеем граф (рис. 2.29,а), передача которого равна Н ==- 1—1 1+1,9976+0,9980 Рис. 2.29. Пример предельной оценки частотной характеристики цифровой ли- нейной радиоэлектронной цепи второго порядка 63 Отсюда следует, что анализируемый цифровой фильтр является подоено- пропускающим. Для развития сформулированной методики определенный прак- тический и теоретический интерес представляет следующее утвер- ждение: если линейная цифровая цепь имеет передаточную функ- цию 2 ^ Я(2-')= "о_+^^Ч^±ап^_^^——(2.28) 6„+^-Ч-...+^г-m ^_, i=o то предельные значения ее АЧХ в установившемся режиме на час- тотах, равных нулю или половине частоты квантования, соответст- венно равны п 2е' \imH[z-l(2лf)]=•—^——; (2.29) f ь, 1=0 t=0 lim Я^-^лД^ f-»l/2 Г f^-1)7^ .7=0 (2.30) Для доказательства достаточно воспользоваться выражениями (2.26) и (2.27), из которых следует, что для определения предель- ных значений АЧХ следует в выражение передаточной функции подставить г~\==\ и z-l=—1. В результате получим формулы (2.29) и (2.30). Изложенный метод оценки предельных значений частотных ха- рактеристик цифровых ЛРЭЦ достаточно прост и нагляден. Кроме того, он универсален, так как применим к анализу цифровых ЛРЭЦ произвольной сложности и конфигурации. 2.4. АЛГОРИТМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО РАСЧЕТА СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ 2.4.1. СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ГРАФОВ В [47, 51] дана классификация алгоритмов расчета схемных функций, где по способу получения СФ различают косвенные (тре- бующие составления уравнений ЛРЭЦ) и прямые (без составления уравнений) алгоритмы, а по способу представления СФ—числен- ные, численно-символьные и символьные алгоритмы. Всякий ал- горитм символьного или численного анализа имеет свою область эффективного применения. Достижения в разработке и примене- нии численных алгоритмов расчета ЛРЭЦ, нашедшие свое отра- 64 жение, в частности, в работах 3. М. Бененсона [51], позволяют в настоящее время посредством современных ЭВМ довольно быст- ро (единицы секунд) рассчитывать СФ весьма сложных ЛРЭЦ. Однако в случае, если радиоэлектронная цепь подвергается мно- гократному расчету, оптимизации или она фигурирует в качестве подсхемы в более сложных устройствах, целесообразно получение в символьном виде. Кроме того, применение символьных СФ позволяет избежать накопление ошибок при расчетах. Трудности преобразования символьной информации в ЭВМ сопряжены в ос- новном с большими затратами' памяти ЭВМ и обусловили появ- ление и развитие численно-символьных алгоритмов, реализация ко- торых на ЭВМ нередко производится на основе символьных мето- дов [47, 21]. По способу математического описания исходной ин- формации и процесса получения СФ можно выделить матричные алгоритмы и алгоритмы, использующие графы. Известны [85] различные алгоритмы анализа ЛРЭЦ с помо- щью сигнальных графов, исследование которых (перечисление контуров и путей) позволяет заменить решение изоморфных систем уравнений. Несмотря на то, что эти алгоритмы в основном явля- ются прямыми, избыточность вычислений, проявляющаяся в на- личии дробных слагаемых (это в первую очередь относится к нор- мализованному графу Мэзона) или взаимно-сокращающихся чле- нов, ограничила область их применения (в более выгодном поло- жении по сравнению с другими сигнальными графами в этом от- ношении находятся ОСГ). Это побудило проектировщиков ЛРЭЦ при разработке программ символьного анализа использовать для описания исследуемых схем графы несигнального типа. Первой областью применения явились пассивные цепи, где расчет СФ сводился к перечислению и определению весов деревьев неориен- тированного графа. Попытка автоматизации процедуры поиска де- ревьев привела к созданию метода структурных чисел [17], сущ- ность которого сводится к кодированию ребер и вершин графа и записи (в кодах) матрицы их инциденции (структурного числа). Причем высказыванию инциденции ребра Яь вершинам Хт, и Xj Т(х„ aft, x,) (2.31) в структурном числе соответствует элемент k в /-и строке. Такое простое представление графа приводит к избыточности вычислений при символьном анализе, устранение которой порождает необхо- димость сравнения кодов ребер в каждом дереве и сочетаний ко- дов (в деревьях) между собой. Это обусловливает существенные затраты машинного времени и объема памяти ЭВМ. Более удобное описание графа и процедуру расчета его опре- делителя дает метод обобщенных чисел [84]. Каждый элемент ма- трицы (обобщенного числа) графа в данном случае представляет собой группу из двух кодов. Так, например, для высказывания (2.31) этот элемент, фигурирующий в /-и строке обобщенного чи- сла, равен сочетанию двух кодов ik. Процедура генерирования пра- Деревьев в данном случае также не свободна от избыточности, ус- 3—22 6,5 транение которой предусматривает сравнение сочетаний кодов с последующим исключением дубликаций, соответствующих взаим- но-сокращающимся членам определителя. Простейший способ ус- транения избыточности связан с кодированием дуг графа простыми числами. Такой подход, хотя и имеющий ограниченные возмож- ности, нашел применение для инженерных ЭВМ типа «Мир» [85]. Существует также группа алгоритмов расчета определителей графов, исключающих необходимость сравнения их слагаемых [21, 47]. Их сущность сводится к использованию в процессе генериро- вания прадеревьев (без дубликаций) дополнительных проверок. Например, при реализации алгоритма расширенных структурных чисел [21], где всякая дуга (2.31) соответствует элементу струк- турного числа, образованного тремя кодами / k i, осуществляется проверка на наличие контура в каждом сочетании элементов структурного числа. Рассмотренные алгоритмы в той или иной степени формализо- ваны и доведены до соответствующих программ расчета схемных функций на ЭВМ. Однако даже самые совершенные среди них при описании активных цепей, где активные элементы представлены соответствующими унисторными подграфами (см. рис. 1.19—1.20), неизбежно избыточны. Причем избыточность эта резко возрастает с ростом количества активных элементов в анализируемой ЛРЭЦ. Кроме того, описанные методы (за исключением методов, исполь- зующих сигнальные графы) не пригодны для анализа графов, вклю- чающих хотя бы частично сигнальные дуги. Отсюда следует вы- вод о непригодности описанных алгоритмов к расчету цифровых ЛРЭЦ, описываемых сигнальными графами, и аналоговых ЛРЭЦ с идеализированными активными элементами, представленными сигнальными дугами. С другой стороны, известные алгоритмы ана- лиза сигнальных графов не рассчитаны на наличие ;(хотя бы ча- стично) в графе унисторных дуг, а также обладают существенной избыточностью вычислений. Вместе с тем из доказательства тео- ремы 2.1 и табл. 2.1 можно сделать вывод о том, что в случае ре- ализации алгоритма символьного расчета схемных функций с по- мощью ОБГ результат не будет иметь избыточности вычислений, обусловленной пассивными элементами. Данный факт имеет су- щественное значение, ибо, как уже отмечалось, применение гра- фов наиболее эффективно при многократных автоматизирован- ных расчетах, где избыточность символьного анализа приводит к ощутимым вычислительным затратам на этапе численного расче- ^a. Особенно это проявляется при моделировании сложных ЛРЭЦ, поэтому сокращение избыточности вычислений при прочих равных условиях эквивалентно соответствующему увеличению максималь- ной сложности анализируемых схем. Кроме того, применение ОБГ (в отличие от других видов графов) открывает перспективы рас- чета СФ аналоговых ЛРЭЦ с идеализированными активными элементами, а также анализа цифровых ЛРЭЦ. Поэтому представ- ляет реальный интерес рассмотрение алгоритмов расчета схем- ных функций с помощью ОБГ. 66 3.4.2. АЛГОРИТМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ОРИЕНТИРОВАННЫХ БЕСПЕТЛЕВЫХ ГРАФОВ Для унисторных графов известны различные алгоритмы раз- ложения определителя: по базовой вершине (2.2), по путям меж- ду двумя выбранными вершинами (2.3), суть которых заключает- ся в формировании выражения определителя графа по частям, т. е. с помощью анализа соответствующих частей исходного гра- фа. В ряде случаев (например, при расчете функций чувствитель- ности и т. п.). такой подход является более экономичным. Попытаемся разработать подобные алгоритмы для ОБГ, для чего рассмотрим напряжение его определителя по нескольким вы- бранным дугам. С этой целью докажем следующую теорему. Теорема 2.8. Определитель ОБГ G, включающего п унисторных дуг с весами г/г, i'=l(l)n, равен det G=det G1.2. - ."+ 2 y,det G,+ S y^hdet G,,k+ ... + есть не что иное, как совокупность членов det G, не содержащих в качестве сомножителя параметр t/i. Рассмотрим группу членов определителя G, содержащих Уг в качестве сом- ножителя, которая, очевидно, соответствует совокупности всевозможных допол- ненных и недополненных от-прадеревьев G, включающих дуги (/.. Воспользуем- З* 67 ся свойством прадеревьев, которое заключается в том, что вес прадерева по отношению к некоторой его дуге у, может быть записан как 6(Г)=1/.б(Г,), где 6 (Г,) —вес прадерева Г, в котором дуга уе замкнута, т. е. объединены ин- цидентные ей вершины. Перебирая таким образом множество всех дополненных и недополненных тп-прадеревьев G, включающих дугу у,, получаем, что сумма всех членов det G, содержащих в качестве сомножителя вес у; равна уг det С,. Таким образом выражение (2.33) следует считать доказанным. Рассмотрим теперь случай, когда га=2. Докажем, что для произвольно вы- бранных унисторных дуг с весами у, и yk справедливо выражение (2.32). Вос- пользуясь доказанным выражением (2.33), раскроем определитель G по дуге (/,. В результате получим detG=(/,detG,+detG(». Определители графов G, и G<" можно также разложить по дуге уь, т. е. detG, =!/tdet'G,,k+det GjW; det G">=t/„det' G„(.i)+det G". D. Делая соответствующие подстановки, получаем detG=i/,[ykdet'G,,k+detG,W]+t/kdetGk")+detGO'.k), ; или det G=det' G". ")+[(/, det 0",+у„ G^} +y,iJk det G,, „. Как видно, последнее выражение соответствует формуле (2.32) для уг=2. Считая, что выражение (2.32) справедливо для п=г, т. е. detG=detG(».2,...,r)+2 t/,det'G,+ 2 y,Vhdet G,, „+ i=\ i, k=\ i^k + ... +i/it/2... Уг det Gi, 2,.... r, (2.34) докажем, что оно справедливо и для п==г+1. С этой целью разложим каждый из определителей ОС-2' ••••r); Gi; G,,k; Gi,z,..., г по дуге i/(r+i): detG+detG<^•2••••r•r+l); det Gi^yr+i det G.^+n+det' G.^+*); det G,, k=t/r+i det G,, „, (r+i)+det G,, ц('-+1); ^ ^^.....г^+^С!^ .,,r, (r+i) + det G,^' ,,. "Проводя подстановку полученных выражений в (2.34), получаем +detG^l•2•••••r•г+l>+'S [У> Уг+l det °i, r+i + t=-i + у i det G^-1'] + S 1Уг+1 У, Vk det G/, ^, r+i + У/ УЙ О^1'! + /, k=\ i^k +•••+ [У1 У2. • -У^г+l) det °1,2,..., г, г+1 + {У1Уг- ••Уг} det ^t,1.'..,.- 68 Перегруппируем полученное выражение следующим образом: Г г Л det G == det G(1 • 2. • • • • г. ^Ч + у det G^2- • • • • г) + S У{ det ^г+1) + i '-i J Г '" '" 1 + S г/t•г/r+ldetG,•,г+l+ S ^•'/fedetG^1' +---+(У1У2...У,^+1) Х L'=i /, ft=i J i^k • XdetGi^,.,,r,r+i> откуда имеем i detG=detG(l•2•••••Г+l>+S! ^detG^+S '// ^. det G/ fe+ 1=1 7, k=l J^k + • • • + (У1 У2 • • •t/r+l) (let GI , 2,... , r+1. что и требовалось доказать. Доказанная теорема 2.8 позволяет свести процедуру форми- рования определителя графа к последовательности расчета определителей его суграфов, образованных посредством все- возможных размыканий и замыканий выбранных п унистор- ных дуг. С точки зрения матрицы графа операция размы- кания дуги эквивалентна обнулению ее веса, а следовательно, и обнулению соответствующих элементов матрицы. Операция за- мыкания дуги (объединение инцидентных ей вершин) эквивалент- на суммированию строк и столбцов, матрицы графа, соответству- ющих инцидентным данной дуге вершинам. Таким образом, реа- лизация рассмотренного алгоритма (2.32) предусматривает нали- чие программного блока, обеспечивающего генерацию суграфов по матрице исходного графа. Такой подход, как это будет показано далее, может быть эффективен при расчете функций чувствитель- ности ЛРЭЦ посредством ОБГ. Однако изложенный алгоритм предусматривает разложение определителя графа лишь по уни- сторным дугам. Вместе с тем в ОБГ имеют место и сигнальные дуги. Поэтому рассмотрим вопрос о разложении определителя гра- фа по его сигнальным дугам, для чего докажем следующую тео- рему. Теорема 2.9. Определитель ОБГ С?, включающего п сигнальных дуг с весами ц,, f==l(l)n, равен det G = det Gi „ + 2 det GO + 2 det GW + ... + det GC. -. "\ 1=1 /, k=\ l7tk (2.35) где G<1'-,'")—суграф, образованный из G устранением всех п сигнальных дуг; G^'^—суграф, образованный из G устранением сигнальных дуг iij и щ и включающий все выбранные сигнальные Дуги кроме ц, и (АД. G^—суграф, образованный из G устранени- 69 ошибочности отсчета амплитуды. Вышеизложенная процедура пов- торяется для каждого нового значения частоты входной (тесто- вой) синусоиды с единичной амплитудой. Несколько сложнее вы- глядит процедура формирования ФЧХ, суть которой сводится к со- поставлению фаз входной синусоиды и ее отклика в моделируемой цифровой ЛРЭЦ. Фактически задача сводится к определению ко- личества периодов квантования между двумя соседними наиболее близкими к нулю значениями (при равных по знаку производных) входного и выходного сигналов. С учетом периода входного сигна- ла производится перевод полученных значений в радианы. Что же касается импульсной и переходной характеристик, то они форми- руются как отклики на входное воздействие в виде единичного им- пульса или единичного скачка соответственно. Рассмотренный алгоритм моделирования цифровых ЛРЭЦ ре- ализован в виде программы машинного расчета DDF-MS (при- ложение 2). Приложение 1 КОМПЛЕКС ПРОГРАММ АДАПТИВНОГО МНОГОВАРИАНТНОГО АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ Комплекс программ AMALREC предназначен для анализа линейных ана- логовых и цифровых цепей, написан на языке PL/I и ориентирован на примене- ние быстродействующих ЭВМ серии ЕС. В состав комплекса входят программы: а) AMALREC-CF — программы символьного расчета схемных функций и многовариантного численного расчета амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик;, б) AMALREC-SF — программа многовариантного расчета функций чувстви- тельности амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик; в) AMALREC-NS — программа численного многовариантного расчета спект- ральной плотности собственных шумов на выходе; г) AMALREC-AD — программа численного расчета отклонений амплитудно- частотной и фазочастотной характеристик при заданных допусках на параметры компонентов; д) AMALREC-GT — программа многовариантного численного расчета груп- пового времени запаздывания цепи. В основу комплекса положены алгоритмы расчета ЛРЭЦ с помощью ориен- тированных беспетлевых графов, изложенные в настоящей книге. Исходной информацией для работы программ являются следующие сведе- ния: а) код режима работы, указывающий, какие характеристики цепи необхо- димо определить в результате анализа; б) коды входной и выходной вершин, а также коды всех неразрешенных вершин; в) число вершин графа цепи; г) построчная информация об обобщенном числе анализируемой цепи, ука- зывающем инциденцию вершин и дуг ее ориентированного беспетлевого графа; д) типы и номиналы компонентов анализируемой цепи по всем вариантам расчета; е) коды варьируемых компонентов цепи; ж) коды узлов подключения источников шума; з) параметры источников шума цепи; и) диапазон частот для построения искомых характеристик цепи. Указания о решении определенной задачи анализа ЛРЭЦ формируются со- гласно заданному в потоке входных данных режиму работы с последующим обращением к соответствующим из вышеперечисленных программам. Выходная информация выдается ЭВМ в соответствии с поставленной задачей. При полном анализе она содержит следующие формы: а) символьное выражение схемной функции цепи в кодах параметров ком- понентов; 265 б) амплитудно-частотная характеристика цепи; в) фазочастотная характеристика цепи; г) частотная зависимость функции чувствительности амплитудно-частотной характеристики цепи; д) частотная зависимость функции чувствительности фазочастотной харак- теристики цепи; е) спектральная плотность шумов на выходе цепи; ж) частотная зависимость относительных отклонений амплитудно-частотной характеристики при заданных допусках на параметры компонентов цепи; з) частотная зависимость абсолютных отклонений фазочастотной характе- ристики при заданных допусках на параметры компонентов цепи; и) групповое время запаздывания цепи. Соответствующим сервисным блоком предусмотрена возможность вывода результатов численных расчетов как в виде таблиц, так и в виде графиков. Для контроля предусмотрена также возможность распечатки исходных дан- ных анализа. Комплекс программ AMALREC отлажен посредством ЭВМ ЕС-1022 на примерах расчета ARC-цепей, LC-усилителей; дискретно-аналоговых и цифро- вых фильтров. Для инженерных ЭВМ серии «Электроника» разработан также вариант опи- санного комплекса программ на языке БЭИСИК,. Отладка производилась с помощью вычислительной системы 15ИПГ-003. По сравнении со многими аналогичными пакетами прикладных программ AMALREC обладает более широкими функциональными возможностями. На- пример, многие эффективные программные комплексы [2, 2!1, 22, 33, 45, 47, 62, 63] рассчитаны на анализ лишь аналоговых цепей. С другой стороны, из- вестные пакеты программ проектирования линейных цифровых цепей [32, 59, 60, 76] не пригодны для расчета аналоговых ЛРЭЦ. Вместе с тем при разра- ботке современной радиоэлектронной аппаратуры разработчику в рамках одно- го и того же технического задания все чаще приходится иметь дело как с ана- логовыми, так и с цифровыми цепями. Причем часто необходимо проводить анализ различных вариантов реализации. Предлагаемый комплекс программ AMALREC эффективен в вышеописан- ной проектной ситуации и может быть использован в составе системы автома- тизации проектирования аналоговых, дискретно-аналоговых или цифровых фильтоов в виде анализирующего блока в сочетании с подсистемами аппрок- симации характеристик [32, 59], параметрического (структурного) синтеза и пополнения базы данных [2]. Эксплуатацию указанного блока удобно произво- дить в диалоговом режиме. Приложение 2 КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ Комплекс программ проектирования цифровых фильтров (DDF) написан на языке PL/I и ориентирован на применение быстродействующих ЭВМ серии ЕС. В состав комплекса входят следующие программы: a) DDF-AP—программа аппроксимации характеристик цифровых фильт- ров; 266 б) DDF-SP—программа расчета параметров компонентов для структур по директивам оператора; в) DDF-MS—программа моделирования структур цифровых фильтров с заданной разрядностью. Программа аппроксимации характеристик (DDF-AP) основана на преобра- зовании передаточной функции низкочастотного аналогового прототипа из р- области в г-область. В качестве прототипа могут быть использованы фильтры с аппроксимациями Баттерворта, полиномиальной чебышевской, инверсной чебы- шевской и эллиптической. Исходной информацией для работы данной программы являются следую- щие сведения: а) код требуемого типа аппроксимации; б) требуемый тип фильтра (низкочастотный, высокочастотный, полосовой, режекторный); в) граничные частоты полос пропускания и задерживания; г) допустимые затухания в полосах пропускания и задерживания; д) диапазон частот, в котором проводится контрольный расчет полученной функции; е) частота дискретизации сигнала. Выходная информация программы DDF-AP представляет собой совокуп- ность коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра, записанной в виде произведения передаточных функций звеньев второго порядка, а ампли- тудно-частотной и фазочастотной характеристик рассчитанного фильтра. Программа расчета параметров компонентов DDF-SP предназначена для вычисления коэффициентов перемножителей звеньев цифрового фильтра, зане- сенных в библиотеку. Основой данной библиотеки являются структуры звеньев, полученные в гл. 7 настоящей книги. .Входной поток программы DDF-SP включает в себя следующие сведения: а) коэффициенты исходной передаточной функции, которые могут быть сформированы программой DDF-AP или же заданы оператором; б) код структуры из библиотеки, для которой рассчитываются параметры компонентов. Выходная информация состоит из значений коэффициентов звеньев и мат- риц инциденции, которые полностью характеризуют структуру цифрового филь- тра. Предусмотрена возможность- использования выходных данных программы DDF-SP в качестве входного потока для комплекса AMALREC (приложение 1), который в данном случае выполняет роль анализирующего блока. Программа моделирования DDF-MS позволяет получить импульсную, ам- плитудно-частотную, фазо-частотную характеристики, отклик фильтра на задан- ную реакцию и вычисляет дисперсию собственного шума цифрового фильтра. Программа основана на решении разностных уравнений, формируемых из мат- рицы инциденции. Входными данными программы являются: а) матрица инциденции и значения коэффициентов, которые могут быть сформированы непосредственно программой DDF-SP или оператором; б) код режима работы, определяющий вид получаемой характеристики; в) разрядность регистров, отводимых под коэффициенты фильтра; г) разрядность регистров, отводимых под хранение результатов арифмети- ческих операций; 267 д) форма представления значений коэффициентов и переменных (в прямом или дополнительном коде); е) диапазон частот, в котором формируются частотные характеристики. Решение разностных уравнений осуществляется в двоичном коде с фикси- рованной запятой. Рассчитанные характеристики могут выводиться как в виде таблиц, так и в виде графиков. Для инженерных ЭВМ серии «Электроника» разработан также вариант описанного комплекса программ на машинно-ориентированном языке ассемблера. Отладка проводилась посредством вычислительной системы 15ИПГ-003. Этот вариант комплекса DDF позволяет проводить проектирование цифровых фильт- ров в.диалоговом режиме. Сравнивая DDF с аналогичными пакетами прикладных программ [32, 59, 76], следует прежде всего отметить его более широкие возможности на этапе структурного синтеза. Кроме того, с помощью программы DDF-MS возможно более точное моделирование аппаратурной реализации цифровых фильтров по сравнению с известными программами FILRI [32]. Математические записи и обозначения, принятые в книге аеЛ — элемент а принадлежит множеству Л Г — не Г (логическое отрицание высказывания Г) M&N — М и N (конъюнкция высказываний М, N) УаеЛГ — «для любого элемента я множества Л истинно высказывание Г» ЗаеЛГ — «существует хотя бы один такой элемент а множества Л, для ко- торого истинно высказывание Г» Si — пустое множество Н — комплексная передаточная функция графа (параметр анализируе- мой цепи) }Н\—модуль комплексной передаточной функции Н arg Н — аргумент комплексной передаточной функции Н G — граф IG —длина графа G 6(0) —вес графа G Р — путь графа L — контур графа Г — дерево графа — g, — элементарный граф SL —контурная часть графа gr — древесная часть графа 5",,—относительная чувствительность параметра цепи Н к изменению параметра элемента цепи а U — напряжение в узлах цепи /— ток в ветвях цепи .R — сопротивление пассивного элемента цепи У — проводимость пассивного элемента цепи С — емкость пассивного элемента цепи k — коэффициент передачи по напряжению активного элемента цепи р — оператор Лапласа 2-1 — коэффициент передачи цифрового звена единичной задержки (DO — частота нуля передаточной функции т — постоянная времени цепи Q — добротность амплитудно-частотной характеристики tup — частота полюса передаточной функции 269 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Анисимов В. И. Топологический расчет электронных схем. — Л.: Энергия, 1977.—340 с. 2. Анисимов В. И., Дмитриевич Г. Д., Перков Н. К. Состояние работ по соз- данию базовой учебно-проектной САПР «ЭМЦ-2». — Изв. ЛЭТИ. Автома- тизированное проектирование в радиоэлектронике и приборостроении. 1982, вып. 310, с. 3—5. 3. Антонью А. Цифровые фильтры: Анализ и проектирование: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1983. — 320 с. 4. Арайс Е. А., Дмитриев В. М. Моделирование неоднородных цепей и систем на ЭВМ. — М.: Радио и связь, 1982. — 160 с. 5. Баэилевич Р. П. Декомпозиция и топологические методы автоматизирован- ного конструирования электронных устройств. — Львов: Вища школа, 1981. — 168 с. 5. Баталов Б. Н., Егоров Ю. Б., Русаков С. Г. Основы математического мо- делирования больших интегральных схем на ЭВМ. — М.: Радио и связь, 1982. — 168 с. 7. Беллерт С., Возняцки Г. Анализ и синтез электрических цепей методом структурных чисел: Пер. с польск./Под ред. П. А. Панкина. — М.: Мир, 1972. — 332 с. 8. Белоусов А. П., Каменецкий Ю. А. Коэффициент шума. — М.: Радио и связь, 1981. — 112 с. 9. Березко Л. А., Шаповалов Ю. И. Реализация метода подсхем при симво- лическом анализе линейных схем. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1980, 23, № 6, с. 21—25. 10. Березко Л. А., Шумков Ю. М. Частичный структурный 'синтез линейных схем РЭА. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1982, 25, № 6, с. 24—08. 11. Бессонов Л. А. Линейные электрические цепи. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1974. — 320 с. 12. Блажкевич Б. И. Физические основы алгоритмов анализа электронных це- пей. — Киев: Наукова думка, 1979. — 240 с. 13. Блажкевич Б. И., Воробкевич А. Ю. О множестве степеней прадеревьев графов проводимостей невзаимных RLC-шат.—В кн.: Отбор и передача информации, 1975, № 5, с. 3'5—38. 14. Верешкин А. Е., Катковник В. Я. Линейные цифровые фильтры и методы .их реализации: Анализ ошибок квантования по уровню. — М.: Сов. радио, 1973. — 152 с. 15. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей: Пер. с амгл./Под ,ред. Ю. Л. Хотунцева. — М.: Сов. .радио, 1973. — 200 с. 270 16. Горбань Б. Г. Широкополосные усилители на транзисторах. — М.: Энер- гия, 1975. — 248 с. 17. Гуревич И. В. Основы расчетов радиотехнических цепей. — М.: Связь, 1975. — 368 с. 18. Гутников В. С. Интегральная электроника в измерительных устройствах. — Л.: Энергия, 1980. — 248 с. 19. Демирчян К. С., Рябихин Е. А. Анализ чувствительности функций цепей-- тари помощи ЭЦВМ с использованием только матрицы инциденции. — Изв. АН СССР. Энергетика и транспарт, 1970, № 6, с. 169—173. 20. Демирчян К. С., Рябихин Е. А. Исследование чувствительности функций ак- тивных цепей на ЭЦВМ. — Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1972,. № 5, с. 66—69. 21. Дмитришин Р. В. Оптимизация электронных схем на ЭВМ. — Киев: Тех- ника, 1980. — 224 с. 22. Дмитришин Р. В. Генерация формулы характеристического уравнения для многоварнантного анализа схем. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1982, 25, № 6, с. 89—91. 23. Дмитришин Р. В., Подольский М. Р. Генерация частотных схемных функ- ций на 'основе овертываяия мультипрафов электронных схем. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1982, 25, № 6, с. 4—8. 24. Ефанин Н. Е., Остапенко А. Г., Косиков В. И. Активные ^С-фильтры на 'повторителях напряжения. — М.: Радио и связь, 1981. — 88 с. 25. Знаменский А. Е., Попов Е. С. Перестраиваемые электрические фильтры. — М.: Связь, 1979. — 128 с. 26. Зыков А. А. Теория конечных графов. — Новосибирск: Наука, 1969. — 543с. 27. Ильин'В. Н. Основы автоматизации схемотехнического проектирования.— 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Энергия, 1979. — 392 с. 28. Ильинский Н. Ф., Цацеткин В. К. Приложение теории графов к задачам электромеханики.—М.: Энергия, 1968.—200 с. 29. Ионкин П. А., Миронов В. Г. Синтез ^С-схем с активными невзаимными элементами.—М.: Энергия, 11976. — 240 с. 30. Калниболотский Ю. М., Каэанджан Н. Н., Нестер В. В. Расчет чувстви- тельности электронных схем. — .Киев: Техника, 1982. — 176 с. 31. Калниболотский Ю. М., Королев Ю. В. Синтез электронных схем. — Киев: Вища школа, 1979. — 232 с. 32. Капелини В., Константинидис А. Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 360 с. 33. Комплекс программ частотного анализа линейных электронных схем/ Ю. М. Калниболотский, Н. Н. Казанджан, Е. А. Романенко, Л. П. Гоголева. — Из'в. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1980, 23, № 6, с. 99—101. 34. Корн Г., Корн Т. Справочник по .математике для научных работников и инженеров: Пер. с ангя./Под ред. И. Г. Арамоновича.—М.: Наука, 1970.— 720 с. 35. Крон Г. Исследование сложных систем по частям: Диа.коптика: Пер. с англ./Под ред. А. В. Баранова.—М.: Наука, 1072.—544 с. 36. Крутчинский С. Г. Структурный синтез звеньев второго порядка с решаю- щими усилителями. — В .кн.: Избирательные системы с обратной связью. — Таганрог: ТРТИ, 1976, вып. 3, с. 19—25. 37. Кудрявцев Л. Д. О некоторых математических вопросах теории электриче- ских цепей. — Успехи математических наук, 1948, т. 3, .№ 4, с.. 80—118. 38. Кустов О. В., Лундин В. 3. Операционные усилители в линейных цепях. —• М.: Связь, 1978. — 144 с. 39. Ланнэ А. А. Потенциальные характеристики линейных фильтрующих це- пей. — М.: Связь, 1974. — 56 с. 271 -40. Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электронных схем. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Связь, 1978. — ЗЭ6 с. 41. Ланнэ А. А., Шевкопляс Г. Б. Шумы и точность реализации характеристик цифровых фильтров.—Зарубежная 'радиоэлектроника, 1974, К» 4, с. 18—47. 42. Лет Г. Аналоговые и цифровые фильтры: Расчет и реализация: Пер. с англ./Под ред. И. Н. Теплюка. — М.: Мир, 1982. — 592 с. 43. Лыпарь Ю. И. Структурный синтез электронных цепей: Учебное пособие.— Л.: ЛПИ, 1982. — 84 с. 44. Максимович Н. Г. Методы топологического анализа электрических цепей. — Львов: Изд-.во Львовского университета, 1970. — 258 с. 45. Матвийчук Н. Г. Топологический метод определения характеристического полияома электронной .схемы по частям. — В кн.: Теоретическая электро- техника и машинное проектирование электронных цепей. — Киев: Наукова думка, 1973, с. 192—200. 46. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. — М.: Выс- шая школа, 1976. — 208 с. 47. Машинная оптимизация электронных узлов РЭА/А. Г. Ларин, Д. И. Тома- шевокий, Ю. М. Шумков, В. М. Эйдельнант. — М.: Сов. радио, 1978. — 19Й с. 48. Меерович Э. А. Геометрическая теория электрических цепей. — Электриче- ство, 1947, № 2, с. 30—39. 49. Мелихов А. Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. — М.: Нау- ка, 1971. — 416 с. 50. Мигулин И. Н., Чаповский М. 3., Яворский В. П. Низкочастотный уэко- полосный перестраиваемый фильтр с постоянной полосой пропускания и широким диапазоном перестройки.—Электросвязь, 1970, № 6, с. 77—78. .51. Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектр оняых устройств/ 3. М. Бененсон, М. В. Елистратов, Л. К. Ильин и др.; Под ред. 3. М. Бененсо- на.—М.: Радио и связь, 1981.—272 с. 52. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы: Пер. с англ./Под ,ред. А. А. Соколова. — М.: ИЛ, 1963. — 620 с. 53. Нагорный Л. Я. Моделирование электронных цепей на ЭВМ. — Киев: Тех- ника, 1974. — 360 с. 54. Нагорный Л. Я., Задерей А. Н. Определение передаточных функций сиг- нального графа методом декомпозиции. — В кн.: Электронные цепи, пере- дача и обработка информации. — Киев: Наукова думка, 1979, с. 24—31. 55. Нагорный Л. Я., Кофто А. Г. Распараллеливание алгоритма решения систе- мы линейных уравнений с полиномиалмной матрицей коэффициентов. — В кн.: Анализ и машинное проектирование электронных цепей. — Киев: Наукова думка, 1980, с. 46—50. 56. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. — 3-е изд., стереот. и доп. Т. ,2. — Л.: Энергоиэдат, 1981. — 416 с. 57. Основы инженерной электрофизики. Ч. И/Под ред. П. А. Ионкина. — М.: Высшая школа, 1972. — 634 с. ' 58. Остапенко Г. С. Аналоговые полупроводниковые интегральные микросхе- мы. — М.: Радио и связь, 1981. — 282 с. 59. Пакет прикладных программ дисап-аплрокоимация/А. И. Петренко, С. А. Бублик, Л. Г. Бутакова, Л. А. Шумакова. — Автоматизация проектирования в электронике, вып. 27, 1983, с. 62—64. 60" Пелед А., Лиу Б. Цифровая обработка сигналов. Теория, проектирование, . реализация: Пер. с англ. А. И. Петренко и др./Под ред. А. И. Петренко,— Киев: Вища школа, 1979. г— 263 с. 61. Петренко А. И., Бублик С. А. Построение устройств цифровой обработки сигналов на микропроцессорах. — Изв. .вузов СССР. Радиоэлектроника, 1981, 24, № 6, с. 4—15. 272 в2. Петренко А. И., Тимченко А. П., Слюсар П. Б. Сравнение программ схемо- технического проектирования на базе набора тестовых задач. — Изв. вузов. СССР. .Радиоэлектроника, 1980, 23, № 6, с. 5—12. 63. Проектирование прием.но-усилительных устройств с применением ЭВМ/ Л. И. Бурин, Л. Я. Мельников, В. 3. Топурия, Б. Н. Шелковников.—М.: Радио и связь, 1981.— 176 с. 64. Пухов Г. Е. Теория и метод подсхем. — Электричество, 1952, К" 8, с. 66—73. 65. Пухов Г. Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электрических це- пей. — Киев: Наукова думка, 1967. — 564 с. 66. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ./Под .ред. Ю. Н. Александрова. — М.: Мир, 1978. — 848 с. 67. Раицын Т. Н. Синтез систем автоматического управления методом направ- ленных графов. — Л.: Энергия, 1970. — 96 с. 68. Робишо Л., Буавер М., Робер Ж. Направленные графы и их приложение к электрическим цепям и машинам: Пер. с франц./Под ред. Э. М. Пейса- ховича. — М.: Энергия, 1964. — 248 с. 69. Роэенвассер Е. Н., Юсупов Р. Н. Чувствительность систем управления. — М.: Наука, 1981. 464 с. 70. Свирщева Э. А., Минаев А. И. Алгоритм и программа синтеза /PC-схем с операционными усилителями в дифференциальном включении. Избирательные системы с обратной связью. — Таганрог, 1978, вып. 4, с. 185—1.86. 71. Сешу С., Рид М. Б. Линейные графы и электрические цепи: Пер. с англ./ Под ред. П. А. Ионкина. — М.: Высшая школа, 1971. — 448 с. 72. Сигорский В. П. Матрицы и графы в электронике. — М.: Энергия, 1968. — 176с. 73. Сигорский В. П., Петренко А. И. Алгоритм анализа электронных схем. — М.: Сов. .радио, 1976. — 608 с. 74. Сигорский В. П. Математический аппарат инженера. — 2-е изд. — Киев: Техника, 1975. — 768 с. 75. Сигорский В. П. Проблемная адаптация систем автоматизированного проек- тирования. — В кн.: Автоматизация проектирования в электронике. — Киев: Техника, 1982, вып. 26, с. 3—14. 76. Система автоматизированного проектирования устройств цифровой обработ- ки сигналов/А. И. Петренко, С. А. Бублик, Л. Г. Бутакова, Л. А. Шумако- ва. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1981, 24, № 6, с. 96—98. 77. Синтез активных ЙС-цепей. Современное состояние и проблемы/Под ред. А. А. Ланнэ. — М.: Связь, 1975. — 296 с. 78. Синтез линейных электрических и электронных цепей (метод переменных состояния)/П. А. Ионкин, Н. Г. Максимович, В. Г. Миронов, Ю. С. Пер- фильев, П. Г. Стахив. — Львов: Изд^во Львовского университета, 1982.— 313 с. 79. Смит Д. М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей: Пер. с англ./Под ред. О. А. 'Чембровского. — М.: Машино- строение,'1980. — 271 с. 80. Соколов А. А. Топологический анализ электрических и электронных це- пей. — Электричество, 1967, № 2, с. 47—49. 81. Степаненко И. П. Основы теории транзисторов и транзисторных схем. — 4-е изд. — М.: Энергия, 1977. — 67G с. 82. Сучилин А. Н. Применение направленных графов к задачам электротехни- ки. — Л.: Энергия, 1971. — 104 с. 83. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Основы теории линейных це- пей/П. А. Ионкин, А. И. Даревский, Е. С. Кухаркин, В. Г. Миронов, Н. А. Мельников; Под ред. П. А. Ионкина. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1976. — 544 с. 273 84. Трохименко Я. К. Метод обобщенных чисел и анализ линейных цепей — М.: Сов. радио, 1972. — 212 с. 85. Трохименко Я. К., Каширский И. С., Ловкий В. К. Проектирование радио- технических схем на инженерных ЭЦВМ. — Киев: Техника, 1976.—272 с. 86. Хейнлейн В. Е., Холмс В. X. Активные фильтры для интегральных схем: Пер. с англ./Под ред. Н. И. Слепова и И. Н. Теплюка. — М: Связь 1980. — 656 с. 87. Хэпп X. Диакоптика и электрические цепи: Пер. с англ./Под ред. В.Г.Ми- ронова. — М.: Мир, 1974. — 344 с. 88. Цикин И. А. Дискретно-амаяоговая обработка сигналов. — М.: Радио и связь, 1982. — 160 с. 89. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике/А. В. Брунченко, Ю. Т. Бутылыжий, Л. М. Гольденберг и др.; Под ред. Л. М. Гольденберга. — М.: Радио и связь, 1982. — 224 с. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Адаптивный метод проектирования 5 Алгоритм адаптивный 141—143 — моделирования цифровой ЛРЭЦ 262—264 — формирования АЧХ 263 Анализ ЛРЭЦ 4, 37, 38, 74 Базис координатный 18, 19 — узловых напряжений 44 Библиотека структур 147, 148 Вершина взвешенная 8 — неразрешенная 20 — правило введения в графе 167, .1'6& — разрешенная 20 — связная 13 — смежная 7 Вес прадерева 10 — пути 9 — ребра 8 — элементарного графа 45 Взаимосвязь переменных 30 Граф 4 — активных элементов 28 — бесконечный 1|2 — двунаправленный 26 — заданный 14 — звездообразного соединения N- полюсника 83—86 — конечный 1'2 — Коутса '24 — ЛРЭЦ 23, 52—54, 2,18, 221 — — с источником тока 52 — — при отсутствии заданных ис- точников 52 — — с обратной связью 180, Ю4 — — с операционным усилителем 60 — Мэзона 5, 21' — — в нормированной форме 32 — невырожденный 47 — неориентированный 1'2 — непланарный 14 — объемлющий 1Q — ориентированный Ifii — — беспетлевой 28, 29 — — — определитель 48 — операционного усилителя 22, 2'3 — передаточной функции 189, 210 — планарный 14 — полосового фильтра 184, 1'86 — расчета несимметричного алге- браического дополнения 50 — — функциональной чувствитель- ности 127, 128, 137 — регулятора иммитанса 177 — связный 18 — сигнальный 17, 21, 44. — — ненормированный 22 — — обобщенный (ОСГ) 8, 25 — — элементарный 35 — смешанный 1й — собственная часть 111 — сумматора 22, 23' ; — трехполюсника в составе ЛРЭЦ 11Q9 — унисторный 5, 26, 27, 31, 44 — — определитель 42, 45, 49 — — трехполюсника 180 — — четырехполюсника 132 — усилителя с однопетлевой обрат- ной связью 23, 27 — фильтра нижних частот 54, 55 — — полосового 186 — цифровой ЛРЭЦ 41, 42, 61, 62, 137 — цифрового линейного фильтра со- того порядка 75 — четырехполюсника 39, 40, li39 — элементарный 34, 36 — — беспетлевой ориентированный 36, 47, 55 — — передаточной функции 189, 192, 210, 21'5 — — с управляемым весом 178 — элементов режекторного фильтра :2М'—21Э Диакоптика 75—77 Длина пути 9 Дуга, введение в графе 168 — невырожденная 47 1-граф 12 Жесткая логика 262 Звезда простая 11 — расходящаяся 111 — сходящаяся М Избыточность графа 45, 46 Изоморфизм 14, 44 Иммитанс 176, 184 Инцидентор 7, 146 Исток 22 Кирхгофа уравнение 17, 18 Кластер 88 Контур простой 9, 1'Q — составной 10 — элементарный 10 Кортеж 73 Коутса граф 24 ft-дерево 10 ЛРЭЦ — линейная радиоэлектрон- ная цепь 4 Макрограф 78, 79 Макромодель факторная 77, 78 — электрическая 78 275 Матрица звездная 16, 17 — инциденции 1'4, 16 — М IS — чувствительности 202 Метод наращивания 76 — обобщенных чисел 65 — оптимальной нумерации 77 — присоединенной схемы 123 — редукции 77 — структурных чисел 65 Минимизация объема памяти 224— 226 — ошибок 225 — собственных шумов 240 Многополюсников уравнение 19 Множество вершин 7 — непересекающееся 4 — ребер 7 Модель цепи 4 Мультиграф 1'2 Надграф 16 0-граф'1а Объединение графов 13, 224 Определитель графа 42, 43, 48, 49 — — ЛР.ЭЦ 67 Орграф 12, 13 Пересечение 13 Подграф 12 Прадерево 1'0 — унисторное 57 Полунцидентор 8 Предикат 7 Путь 9, 10 />-граф 18 Разностное уравнение 20 Реализация передаточной функции JV-ro порядка 212, 213 — полосно-заградительного фильтра 233, 236 — фильтра верхних частот 197 Ребро инцидентное 7 Редукция графа 3'1, 77, 78 Сверхграф 1'2 Синтез ARC-cxeu 149 — каскадный 226 — ЛРЭЦ 4, 5, 148—L50, 175 — цифровых цепей 2122 Структуры реализации передаточных функций 172—174 Суграф 12 Сумматор 20 Схемная функция 4, 37 — — расчет 33, 42 Таблица истинности 14 Теория чувствительности 5 Униграф 1Й Унистор 26 Фактор 47, 48 Фильтр-генератор 219, 220 — цифровой рекурсивный 21 Формула передачи 33 Фрагмент 75 Хорда 10 Центр звезды I'll Цепь графа 8 Цикл графа 5, 8, 9 Цифровая ЛРЭЦ 41 Чувствительности расчета Г23 Шум квантования 225 Эквивалентная схема замещения 38, 39, 40, 41' Элемент аналоговый 40 ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Предисловие ................. 3 Введение .................. 4 Глава первая. Графы линейных радиоэлектронных цепей ... 7 1.1. Основы теории графов ............. 7 1.1.1. Определение графа .....:...... 7 1.1.2. Элементы и части графа ........... 8 1.1.3. Разновидности графов ........... 12 1.1.4. Операции над графами ........... 13 1.1.5. Свойства графов ............. 13 1.1.6. Графы, матрицы и уравнения ......... 14 1.2. Уравнения линейных радиоэлектронных цепей ....... 17 1.2.1. Уравнения Кирхгофа ............ 17 1.2.2. Уравнения многополюсников . . ........ 19 1'.2.Э. Уравнения идеализированных элементов ....... 19 1.2.4. Разностные уравнения ............ 20 1.3. Основные типы графов линейных радиоэлектронных цепей ... 21 1.3.1. Сигнальный граф ............ 21 1.3.2. Граф Коутса .'............. 24 1.3.3. Обобщенный сигнальный граф ......... Й5 1.3.4. Унисторный граф ............. 2'6 1.3.5. Ориентированный беспетлевой граф ........ 38 3.4. Определение взаимосвязи переменных в графах ...... 30 1.4.1. Способы поиска взаимосвязи переменных в графах ... 30 1.4.2. Преобразование графов ........... 31 1.4.3. Расчет передаточных функций графов по формулам ... 33 Глава вторая. Расчет схемных функций линейных радиоэлектронных .цепей с помощью графов ............. 37 3.1. Алгоритм анализа линейных радиоэлектронных цепей с помощью гра-. фов .................. 37 2.1.1. Переход от радиоэлектронной цепи к графу ..... 37 2.1.2. Переход от графа к параметру радиоэлектронной цепи . . 42 2.1.3. Критерии оптимальности анализа радиоэлектронных цепей с по- мощью графов ..... ........ 48 2.2. Расчет схемных функций линейных аналоговых радиоэлектронных це- пей .................. 47 2.2.1. Методика расчета передаточных функций графов линейных ана- логовых радиоэлектронных цепей ......... 47 2.2.2. Методика расчета схемных функций с помощью графов . . 52 277 Стр. 2.2.3. Особенности расчета схемных функций линейных аналоговых ра- диоэлектронных цепей с идеализированными активными элемен- тами ................ 57 2.3. Расчет схемных функций линейных цифровых радиоэлектронных цепей 61 2.3.1. Методика расчета с помощью графов схемных функций линей- ных цифровых радиоэлектроных цепей ....... 61 2.3.2. Метод предельной оценки с помощью графов передаточных функций линейных цифровых радиоэлектронных цепей . . 62 2.4. Алгоритмы автоматизированного расчета схемных функций с помощью графов ................. 64 2.4.1. Сравнение алгоритмов расчета графов ....... 64 2.4.2. Алгоритмы формирования выражений определителей ориентиро- ванных беспетлевых графов .......... 67 2.4.3. Применение ЭВМ для расчета схемных функций .... 71 Глава третья. Расчет схемных функций сложных линейных радио- электронных цепей с помощью графов .......... 74 3.1. Особенности расчета сложных радиоэлектронных цепей .... 74 3.1.1. Постановка задачи ............ 74 3.1.2. Обзор методов расчета сложных радиоэлектронных цепей . 75 3.2. Расчет схемных функций посредством свертывания модели ... 77 3.2.1. Редукция графов ............. 77 3.2.2. Макромоделирование ............ 78 3.3. Расчет схемных функций по частям ......... 88 3.3.1. Декомпозиция модели ........... 88 3.3.2. Расчет схемных функций посредством декомпозиции графов . 95 3.3.3. Расчет схемных функций посредством наращивания графов . 100 Глава четвертая. Расчет параметров собственных шумов и функций чувствительности линейных радиоэлектронных цепей с помощью графов 102 4.1. Параметры шумов радиоэлектронных цепей ....... 102 4.1.1'. Спектральная плотность шума ......... 102 4.1:2. Коэффициент шума ............ 103 4.Г.З. Отношение сигнал-шум ........... 1'04 4.2. Расчет параметров шумов линейных аналоговых радиоэлектронных цепей с помощью графов ............ 105 '4.2.1. Расчет спектральной плотности шума . . . . ... 105 4.2.2. Расчет коэффициента шума .......... 107 4.2.3. Расчет отношения сигнал-шум . . . . ..... 109 4.3. Расчет параметров шумов линейных цифровых радиоэлектронных цепей с помощью графов ............ 1'Ю 4.3.1. Особенности моделей источников шума линейных цифровых радиоэлектронных цепей ........... 110 4.3.2. Расчет .параметров шумов линейных цифровых радиоэлектрон- ных цепей ............... 112 4.3.3. Расчет параметров шумов соединений линейных цифровых ра- диоэлектронных цепей . . .......... 114 4.3.4. Автоматизация расчета параметров шумов ..... 118 4.4. Функции чувствительности ............ 119 4.4.1. Разновидности функций чувствительности ...... М9 4.4.2. Функции чувствительности высших порядков . .... 120 4.4.3. Расчет отклонений схемных функций с помощью функций чувст- вительности .............. 121 4.4.4. Инварианты функций чувствительности ...... 1'22 4.4.5. Сравнение методов расчета функций чувствительности . . . 1'23 4.5. Расчет с помощью- графов функций чувствительности линейных ана- логовых радиоэлектронных цепей .......... 134 4.5.1. Функции чувствительности к изменению параметров пассивных элементов ............... 124 278 Стр. 4.5.2. Функции чувствительности к изменению параметров активных элементов ............... 1'27 4.6. Расчет функций чувствительности линейных цифровых радиоэлект- ронных цепей с помощью графов .... ..... 135 4.6.1. Функции чувствительности к изменению коэффициентов умно- жителей . . . ... . ......... 135 4.6.2. Функции чувствительности к изменению частоты квантования сигнала ............... 137 4.7. Автоматизация расчета функций чувствительности ..... 140 Глава пятая. Основы синтеза линейных радиоэлектронных цепей с помощью графов ............... 143 5.1. Постановка задачи синтеза линейных радиоэлектронных цепей . 143 5.1.1. Этап аппроксимации характеристик ........ 143 5.1.2'. Этап реализации характеристик ......... 145 5.1.3. Реализация характеристик с помощью графов .... 149 5.2. Переход от передаточной функции к графу . . . . . . . 152 5.2.1. Преобразование передаточных функций . . .... 152 5.2.2. Построение графов передаточных функций ...... 156 5.3. Переход от графа к линейной радиоэлектронной цепи .... 166 5.3.1. Преобразование графов ........... 166 5.3.2. Построение линейных радиоэлектронных цепей по графам . 171 Глава шестая. Синтез линейных аналоговых радиоэлектронных це- пей с помощью графов .............. 175 6.1. Синтез двухполюсников с помощью графов ....... 175 6.1'.1. Постановка задачи реализации заданных функций иммитанса . 1'75 6.1.2. Реализация регуляторов иммитанса . . . . . . . 176 6.1.3. Фильтры на основе регуляторов иммитанса . . . . . . 181 6.2. Синтез многополюсников по заданным передаточным функциям . . 187 6.2.1. Общие положения синтеза многополюсников с помощью графов 187 6.2.2. Реализация передаточных функций второго порядка . . . 188 6.2.3. Реализация передаточных функций п-го порядка .... 1'&2 6.3. Синтез многополюсников с использованием функций чувствительнос- ти ................. 198 6.3.1. Постановка задачи синтеза с использованием функций чувстви- тельности ........ ...... 198 6.3.2. Применение функций чувствительности при реализации пере- страиваемых характеристик .......... 199 6.3.3. Методика синтеза с учетом матрицы чувствительности . . 202 6.3.4. Синтез четырехполюсников на основе вырожденных ориентиро- ванных беспетлевых графов .......... 203 6.3.5. Синтез четырехполюсников на основе ориентированных беспет- левых графов . . . . .... ...... 21'7 Глава седьмая. Синтез линейных цифровых радиоэлектронных цепей с помощью графов ............... 222 7.1. Методика синтеза линейных цифровых радиоэлектронных цепей с помощью графов ............... 222 7.2. Синтез линейных цифровых радиоэлектронных цепей второго порядка 266 7.2.1. Прямые и канонические реализации ....... 226 7.2.12'. Реализация передаточных функций подоено-пропускающего типа 236 7.2.3. Реализация передаточных функций полосно-заграждающего ти- па ................. 244 279 7.3. Синтез линейных цифровых радиоэлектронных цепей высокого по- рядка .................. 2511 7.3.1. Синтез с использованием г-преобразования повышенной точное - ности .'............... 251' 7.3.2. Реализация всепропускающих передаточных функций . . . 25( 7.3.3.. Реализация передаточных функций с комплексными коэффициен- тами ................ 259 7.4. Моделирование на ЭВМ линейных цифровых радиоэлектронных цепей 262 Приложение 1. Комплекс программ адаптивного многовариантного ана- лиза линейных радиоэлектронных цепей ..... 265 Приложение 2. Комплекс программ проектирования цифровых фильтров 26( Математические записи и обозначения, принятые в книге .... 26е Список литературы ............... 27С Предметный указатель .............. 27S А.Г.Остапенко АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ Аналоговые и цифровые фильтры МОСКВА . РАДИО И СВЯЗЬ» 1985