И.С.Гоноровский РАДИО- ТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов радиотехнических специальностей вузов Москва Е)"РАДИОи связь» 1986 ББК 32.841 Г65 УДК 621.372(075) Гоноровский И. С. Г65 Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для ву- зов.—4-е изд., перераб. и доп.—М.: Радио и связь, 1986. —512 с.: ил. Изложены основы современной теории детерминированных и случайных сигналов и преобразования сигналов в радиотехнических цепях. В отличие от предыдущего издания (1977 г.) расширены разделы, посвященные цифровым сигналам и их обработке, статистическим методам в радиотехнике, большее внимание уделено синтезу цифровых цепей, введена глава, посвященная но- вому направлению в радиоэлектронике: «Кепстральный анализ сигналов» Для студентов радиотехнических специальностей вузов, полезна инжене- рам. 2402020000-182 ББК 32.841 Г —————————— 92-86 046(01)-86 Рецензенты: кафедра «Теория цепей и сигналов» и кафедра «Радиотехни- ческие системы» Горьковского политехнического института Учебник Иосиф Семенович Гоноровский РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ Заведующая редакцией Г. И. Козырева. Редактор Т. М. Бердичевская Художественный редактор И. С. Шеин. Переплет художника Ю. В. Архангельского Технический редактор Т. Н. Зыкина. Корректор Г. Г. Казакова ИБ № 692 Сдано в набор 27.01.86. Подписано в печать 02.07.86. Т-07570. Формат 70X100'/ie. Бумага офсетная № 2 Гарнитура литературная Печать офсетная. Усл.-печ. л. 41,6. Усл. кр.-отт. 41,6. Уч.-изд. л. 41,11 Тираж 30000 экз. Изд. № 21351 Зак. № 1326. Цена 1 р. 70 к. ' Издательство «Радио и связь», 101000 Москва. Почтамт, а/я 693 Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 129041. Б. Переяславская. 46 @ Издательство «Радио и связь», 1986 ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ «Радиотехнические цепи и сигналы» (РТЦиС)—базовый курс в системе под- готовки современного инженера в области радиотехники и радиоэлектрони- ки. Его целью является изучение фундаментальных закономерностей, свя- занных с получением сигналов, их передачей по каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях. Курс РТЦиС, опирающий- ся на такие дисциплины, как «Математика», «Физика», «Основы теории цепей», вводит студентов в круг новых понятий и терминов, глубокое пони- мание и усвоение которых необходимо для изучения последующих инженер- ных дисциплин: это тот язык, на котором говорят современные радиоинже- неры. Излагаемые в курсе РТЦиС методы анализа сигналов и радиотехниче- ских цепей используют математический аппарат, в основном известный студентам из предшествующих дисциплин. Важная задача курса РТЦиС— научить студентов выбирать математический аппарат, адекватный решаемой задаче, показать, как работает этот аппарат при решении конкретных на- учных и технических задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов видеть тесную связь математического описания с физической сто- роной рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели изучаемых процессов. Радиоэлектроника является отраслью знаний, чрезвычайно быстро раз- вивающейся как в научном, так и в техническом плане. Появляются новые направления, использующие как новые научные идеи и методы, так и но- вые схемотехнические решения, новую техническую базу. Однако и некоторые «старые», традиционные методы и идеи не отмирают, остаются необходимыми в арсенале радиоинженера. Это обстоятельство заставляет жестко отбирать материал, излагаемый в курсе так, чтобы он отвечал современным'требова- ниям и учитывал тенденции развития радиоэлектроники. Неизбежно за рам- ками курса остаются конкретные вопросы схемотехники, хотя принципиаль- ные вопросы, необходимые для понимания схемотехнических задач, в курсе освещаются. Каков же круг вопросов, которые в настоящее время наиболее важны для большинства приложений радиоэлектроники и в соответствии с новой программой УМУ-Т-7'171 должны составлять основное содержание курса РТЦиС? Во-первых, это вопросы теории сигналов: спектральный и корреляционный анализ информационных и управляю- щих сигналов; особенности спектрального и корреляционного анализа узкополосных радиосигналов, введение понятий комплексного и аналитического сигналов; основы теории дискретных и цифровых сигналов; статистический анализ случайных сигналов и помех, изучаемый в едином комплексе с детерминированными сигналами. 3 Во-вторых, это теория преобразования перечисленных выше сигналов в линейных цепях — апериодических и частотно-избирательных. В-третьих, это основные положения теории нелинейных и параметриче- ских устройств и преобразования в них сигналов. Важное значение приобрели вопросы теории цифровой обработки сигна- лов, оптимальной обработки сигналов на фоне помех и основные положения теории синтеза радиотехнических цепей — аналоговых и цифровых. В свете перечисленных требований в книгу введены новые разделы и сде- ланы дополнения, учитывающие специфику современной элементной базы, новых методов представления сигналов и методов их обработки. Современ- ный курс, посвященный радиоцепям и сигналам, невозможен без изложения основных понятий нового принципа обработки мультипликативных и «свер- нутых» сигналов (обобщенная линейная фильтрация), а также кепстраль- ного анализа. Для уяснении этих понятий требуется знакомство со всем предыдущим содержанием курса, что и обусловило помещение новой главы «Обобщенная линейная фильтрация. Кепстральный анализ» в конце книги. Материал предыдущего издания переработан и в методическом плане с целью повышения его доходчивости. Материал повышенной сложности, рас- считанный на более подготовленных студентов, набран петитом. В работе над книгой и при подготовке рукописи автор пользовался ценными советами и критическими замечаниями ряда сотрудников кафедры радиотехники МАИ, а также других вузов и научно-исследо- вательских институтов. К рецензированию книги были привлечены кафедры Горьковского политехнического института «Теория цепей и сигналов» и «Радиотехни- ческие системы». Большое число критических замечаний и ценных реко- мендаций, сделанных коллективами этих кафедр, позволило существен- но улучшить содержание учебника. При окончательном редактировании рукописи были учтены замечания и пожелания ряда членов научно- методической комиссии MB и ССО СССР по радиотехнике и радио- управлению. Всем коллегам автор выражает свою искреннюю призна- тельность. Глава 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ 1.1. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ НА РАССТОЯНИЕ И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАДИОТЕХНИКЕ ЧАСТОТЫ Основной задачей радиотехники является передача сообщения на расстоя- ние. Расстояние разделяет отправителя и адресата, датчик команд и испол- нительное устройство, исследуемый процесс и измерительный механизм, ис- точник космического радиоизлучения и регистрирующий прибор радиотеле- скопа, различные блоки ЭВМ — словом, источник и потребитель информа- ции. Расстояние, на которое передается сообщение, может быть очень незна- чительным (передача команд в ЭВМ от одного блока к другому) или огром- ным (межконтинентальная или космическая связь). Передача сообщений осуществляется с помощью проводных, кабельных, волноводных линий или в свободном пространстве. Естественно, что для передачи сигналов целесооб- разно использовать те физические процессы, которые имеют свойство пере- мещаться. К числу таких процессов относятся применяемые в радиотехнике электромагнитные колебания — радиоволны. Любой физический процесс, используемый в качестве агента (посред- ника, переносчика) для передачи информации, должен обладать свойством принимать всю совокупность состояний, по которым можно было бы одно- значно установить соответствующее состояние объекта или процесса, являю- щегося источником информации. Для этого радиоволны подвергают модуля- ции. Процесс модуляции заключается в том, что высокочастотное колебание, способное распространяться на большие расстояния, наделяется признака- ми, характеризующими полезное сообщение. Таким образом, это колебание используется как переносчик сообщения, подлежащего передаче. Выбор длины волны излучаемого колебания весьма существен для обес- печения устойчивой и надежной связи. Выбор того или иного диапазона волн для каждой конкретной системы связи определяется следующими факторами: особенностью распространения электромагнитных волн данного диапа- зона; характером помех в данном диапазоне; характером сообщения (шириной спектра); габаритными размерами антенной системы, необходимыми для осущест- вления направленного излучения. Практически для использования пригодны те участки диапазона, в ко- торых обеспечиваются благоприятные условия распространения радиоволн и в приемлемой степени удовлетворяются остальные перечисленные условия. Для современной радиотехники характерны интенсивное изучение мало- исследованных диапазонов волн и стремление к расширению диапазона ис- пользуемых волн в сторону как весьма длинных, так и коротких, вплоть до световых. Последнее не должно казаться странным, так как радиоволны и световые волны имеют одинаковую природу (электромагнитные волны). Подразделение радиоволн на диапазоны, вошедшее в практику, дано в табл. 1.1. . . г.' . 5 Таблица 1.1 Волны Диапазон радиоволн Диапазон радиочастот Нерекомендуемые термины Декамегаметровые 100000—10000 км 3—30 Гц Мегаметровые 10000—1000 км 30—300 Гц Гектокилометровые 1000—100 км 300—3000 Гц Мириаметровые 100—10 км 3—30 кГц Сверхдлинные Километровые 10—1 км 30—300 кГц Длинные Гектометровые 1000—100 м 300—3000 кГц Средние Декаметровые 100—10 м 3—30 МГц Короткие Метровые 10—1 м 30—300 МГц Дециметровые 100—10 см 300—3000 МГц Сантиметровые 10—1 см 3—30 ГГц Ультракороткие Миллиметровые 10—1 мм 30—300 ГГц Децимиллиметровые 1—0,1 мм 300—3000 ГГц Субмиллиметровые Примечание. Длина волны >. связана с периодом колебания Т или с частотой f-=\ /Т соот- ношением K^cT=:c/f, где с=3.10' м/с—скорость распространения электромагнитных волн в ва- кууме . Связь на мириаметровых и километровых волнах, применявшаяся на первом этапе развития радиотелеграфии, имеет два больших недостатка: необходимость большой мощности передатчика из-за сильного поглоще- ния поверхностной волны при ее распространении над земной поверхностью; невозможность передачи сигналов, ширина спектра которых соизмерима с несущей частотой. Гектометровые волны получили широкое применение в радиовещании. Основным преимуществом связи на этих волнах является устойчивость при- ема, недостатком — трудность обеспечения большой дальности действия. Поэтому на таких волнах осуществляется преимущественно местное радио- вещание в зоне с радиусом в несколько сотен километров. Лишь небольшое число сверхмощных гектометровых радиостанций обслуживает большие райо- ны. В СССР, имеющем огромную территорию, существуют наиболее мощные в мире радиовещательные станции этого диапазона. Главные преимущества декаметровых волн — возможность обеспечения большой дальности действия при относительно малой мощности передатчика и возможность осуществления направленного излучения. Основным недо- статком связи на этих волнах является колебание уровня принимаемого сиг- нала (замирание), часто сопровождающееся сильными искажениями переда- чи при сложной структуре сигнала, состоящего из большого числа компонен- тов с различными частотами. Условия распространения неодинаковы для различных составляющих спектра сигнала. Это явление, называемое изби- рательные замиранием, приводит к временным выпадениям из спектра сиг- нала отдельных составляющих или, наоборот, к увеличению их амплитуд. Таким образом, в точке приема нарушается правильное соотношение между отдельными спектральными компонентами сигнала, в результате чего иска- жаются его тембр и чистота. Так как явление избирательного замирания про- является тем сильнее, чем шире спектр сигнала, то на декаметровых волнах осуществлять передачу таких сложных сигналов, как, например, телевизион- ные, практически невозможно. Большой экспериментальный материал по распространению декаметро- вых волн позволил установить оптимальные длины волн для различных ча- сов суток и времени года, что открыло путь широкому развитию коротко- волнового радиовещания. В настоящее время декаметровые волны широко применяются также" в радиотелеграфии на магистральных линиях связи, в морской и авиационной радионавигации. В результате освоения диапазонов радиоволн 10 м—0,1 мм появились новые области радиовещания, в частности телевизионные. Для диапазона метровых волн характерно удачное сочетание следующих двух факторов. Применение очень высокой частоты излучения позволяет соответственно рас- ширить полосу частот передаваемого сообщения, так как условия передачи и усиления сигналов в радиоаппаратуре определяются в основном относи- тельной шириной спектра сигнала. Особенности же распространения метро- вых волн (в пределах прямой видимости) почти полностью исключают ис- кажения сигнала из-за интерференции волн, распространяющихся по раз- ным путям. Из приведенного краткого обзора видно, что развитие радиотехники ха- рактеризуется непрерывным расширением используемых диапазонов волн. Из курса физики известно, что эффективное излучение электромагнит- ной энергии можно осуществить лишь при условии, что геометрические раз- меры излучающей системы соизмеримы с длиной волны. Поэтому передача сообщений в диапазоне мириаметровых волн затруднена. Напротив, для диа- пазона световых волн можно создать малогабаритные излучатели с чрезвы- чайно высокой направленностью и огромной концентрацией энергии в луче. Например, луч, посланный с Земли, образует на поверхности Луны пятно диаметром всего лишь в несколько сотен метров. Однако использование све- товых волн для передачи сообщений связано с трудностями реализации мо- дуляции, приема, а также с влиянием погодных условий и т. д. 1.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ В процессе передачи и приема сообщений сигналы подвергаются раз- личным преобразованиям. Некоторые из этих преобразований являются типовыми, обязательными для большинства радиотехнических систем неза- висимо от их назначения, а также от характера передаваемых сообщений. Перечислим эти фундам ентальные процессы и попутно отметим их основные черты применительно к обобщенной схеме радиотехнического канала, пред- ставленной на рис. 1.1. Преобразование исходного сообщения в электрический сигнал и коди- рование. При передаче речи и музыки такое преобразование осуществляет- ся с помощью микрофона, при передаче изображений (телевидение) — с помощью передающих трубок (например, суперортикона). При передаче письменного сообщения (р адиотелеграфия) сначала осуществляют кодирова- ние, заключающееся в том, что каждая буква текста заменяется комбинацией Не Г Передающая редатчин антенна. ~- Кодирующее устройство Модулятор Генератор несущей частоты 1_ Регистрирующее устройство Декодирующее устройство Детектор Линейный частотно-избирательный усилитель \ Приемная Приемник антенна --•" Рис. 1.1. Радиотехнический канал связи стандартных символов (например, точек, тире и пауз в коде Морзе), которые • затем преобразуют в стандартные электрические сигналы (например, импуль- сы разной длительности или разной полярности). Следует отметить, что схема на рис. 1.1 соответствует введению инфор- мации «в начале» канала связи, т. е. непосредственно в передатчике. Несколь- ко иначе обстоит дело, например, в радиолокационном канале, где информа- ция о цели (дальность, высота, скорость и т. д.) получается в результате при- ема радиоволны, отраженной от цели. Генерация высокочастотных колебаний. Высокочастотный генератор является источником колебаний несущей частоты. В зависимости от назна- чения радиоканала связи мощность колебаний изменяется от тысячных долей до миллионов ватт. Естественно, что конструктивные формы и размеры этих генераторов различны — от простейшего малогабаритного элемента до гран- диозного технического сооружения. Основными характеристиками высокочастотного генератора являются частота и диапазонность (возможность быстрой перестройки с одной рабочей частоты на другую), мощность и КПД. Особенно важное значение для ра- диотехники имеет стабильность частоты колебаний. Условия распростра- нения радиоволн и широкий спектр частот диктуют применение очень высо- ких несущих частот. Условия же обработки сигналов на фоне помех и необ- ходимость ослабления взаимных помех между различными радиоканалами заставляют добиваться максимально возможного уменьшения абсолютных изменений частоты. Это приводит к чрезвычайно жестким требованиям к от- носительной стабильности частоты. Управление колебаниями (модуляция). Процесс модуляции заклю- чается в изменении одного или нескользких параметров высокочастотного ко- лебания по закону передаваемого сообщения. Частоты модулирующего сиг- нала, как правило, малы по сравнению с несущей частотой генератора. Для осуществления модуляции используются различные приемы, обычно осно- ванные на изменении потенциала электродов электронных приборов, вхо- дящих в радиопере дающее устройство. Основная характеристика процесса модуляции — степень соответствия между изменением параметра высокоча- стотного колебания и модулирующим сигналом. Усиление слабых сигналов в приемнике. Антенна приемника улавлива- ет ничтожную долю энергии, излучаемой антенной передатчика. В зависи- мости от расстояния между передающей и приемной станциями, от степени направленности излучения антенн и условий распространения радиоволн мощность на входе приемника Ю-10 — 10~14 Вт. На выходе же приемника для надежной регистрации сигнала требуется мощность порядка единиц ватт и более. Отсюда следует, что усиление в приемнике должно достигать 107— 1014 по мощности или W—107 по напряжению. В современных приемниках уверенная регистрация сигнала обеспечи- вается при напряжениях на входе порядка 1 мкВ. Решение этой сложной задачи оказывается возможным благодаря достижениям современной элек- троники. Большую роль играют также специальные методы построения схем приемников, обеспечивающие большое усиление при сохранении устойчи- вости работы приемника. Проблема усиления в приемнике неотделима от проблемы выделения сигнала на фоне помех. Поэтому одним из основных параметров приемника является избирательность, под которой подразумевается способность выде- лять полезные сигналы из совокупности сигнала и посторонних воздействий (помех), отличающихся от сигнала частотой. Частотная избирательность осу- ществляется с помощью резонансных колебательных цепей. Выделение сообщения из высокочастотного колебания (детектирование и декодирование). Детектирование является процессом, обратным модуля- ции. В результате детектирования должно быть получено напряжение (ток), изменяющееся во времени так же, как изменяется один из параметров (ам- плитуда, частота или фаза) модулированного колебания, т. е. должно быть восстановлено передаваемое сообщение. Детектор, как правило, включается на выходе приемника, следовательно, к нему подводится модулированное ко- лебание, уже усиленное предыдущими ступенями приемника. Основное тре- бование к детектору — точное воспроизведение формы сигнала. После детектирования осуществляется декодирование сигнала, т. е. процесс, обратный кодированию. В ряде радиотехнических каналов кодиро- вание и декодирование не используются. Помимо перечисленных процессов, так или иначе связанных с преобра- зованием частотных спектров, в радиотехнических устройствах широкое применение находит усиление колебаний без трансформации частоты, осу- ществляемое в различных усилителях. К таким усилителям относятся: низкочастотные усилители управляющих сигналов, используемые перед модулятором передатчика, а также на выходе приемника; усилители коротких импульсов, применяемые в телевизионной и ра- диолокационной технике, а также в импульсных системах радиосвязи; высокочастотные усилители большой мощности, используемые в радио- передающих устройствах; высокочастотные усилители слабых сигналов, применяемые в радио- приемных и измерительных устройствах. Кроме упомянутых процессов, присущих, как уже отмечалось, любому радиотехническому каналу, в ряде специальных случаев широко применя- ются другие процессы: умножение и деление частоты, генерация коротких импульсов, различные виды импульсной модуляции и т. д. 1)3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИГНАЛОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РАДИОТЕХНИКЕ С информационной точки зрения сигналы можно разделить на детерми- нированные и случайные. Детерминированным называют любой сигнал, мгновен- ное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероят- ностью единица. Примерами детерминированных сигналов могут служить им- пульсы или пачки импульсов, форма, амплитуда и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. К случайным относят сигналы, мгновенные значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятно- стью, меньшей единицы. Такими сигналами являются, например, электриче- ское напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности зна- ков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам относится также последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приемника, когда амплитуды импульсов и фазы их вы- сокочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий распро- странения, положения цели и некоторых других причин. Можно привести большое число других примеров случайных сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случай- ный. Перечисленные выше детерминированные сигналы, «полностью извест- ные», информации уже не содержат. В дальнейшем такие сигналы часто бу- дут обозначаться термином колебание. Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике прихо- дится иметь дело со случайными помехами — шумами. Уровень шумов яв- 9 t О t О г) Рис. 1.2. Сигналы произвольные по величине и по времени (а), произвольные по вели- чине и дискретные по времени (б), квантованные по величине и непрерывные по вре- мени (в), квантованные по величине и дискретные по времени (г) ляется основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале. Поэтому изучение случайных сигналов неотделимо от изучения шумов. Полезные случайные сигналы, а также помехи часто объеди- няют термином случайные колебания или случайные процессы. Дальнейшее подразделение сигналов можно связать с их природой: можно говорить о сигнале как о физическом процессе или как о закодирован- ных, например в двоичный код, числах. В первом случае под сигналом понимают какую-либо изменяющуюся во времени электрическую величину (напряжение, ток, заряд и т. д.), опре- деленным образом связанную с передаваемым сообщением. Во втором случае то же сообщение содержится в последовательности двоично-кодированных чисел. Сигналы, формируемые в радиопередающих устройствах и излучаемые в пространство, а также поступающие в приемное устройство, где они под- вергаются усилению и некоторым преобразованиям, являются физическими процессами. В предыдущем параграфе указывалось, что для передачи сообщений на расстояние используются модулированные колебания. В связи с этим сиг- налы в канале радиосвязи часто подразделяют на. управляющие сигналы и на радиосигналы; под первыми понимают модули- рующие, а под вторыми—модулированные колебания. Обработка сигналов в виде физических процессов осуществляется с помощью аналоговых электронных цепей (усилителей, фильтров и т. д.). Обработка сигналов, закодированных в цифру, осуществляется с помо- щью вычислительной техники. Представленная на рис. 1.1 и описанная в § 1.2 структурная схема ка- нала связи не содержит указаний о виде используемого для передачи сооб- щения сигнала и структуре отдельных устройств. Между тем сигналы от источника сообщений, а также после детектора (рис. 1.1) могут быть как непрерывные, так и дискретные (цифровые). В связи с этим применяемые в современной радиоэлектронике сигналы можно разделить на следующие классы: произвольные по величине и непрерывные по времени (рис. 1.2, а); произвольные по величине и дискретные по времени (рис. 1.2,6); квантованные по величине и непрерывные по времени (рис. 1.2, б); квантованные по величине и дискретные по времени (рис. 1.2, г). Сигналы первого класса (рис. 1.2, а) иногда называют аналоговыми, так как их можно толковать как электрические модели физических величин, или непрерывными, так как они задаются по оси времени на несчетном мно- жестве точек. Такие-множества называются континуальными. При этом по оси ординат сигналы могут принимать любое значение в определенном ин- тервале. Поскольку эти сигналы могут иметь разрывы, как на рис. 1.2, а, 10 то, чтобы избежать некорректности при описании, лучше такие сигналы обозначать термином континуальный. Итак, континуальный сигнал s (t) является функцией непрерывной пе- ременной t, а дискретный сигнал s (х) — функцией дискретной переменной х, принимающей только фиксированные значения [9]. Дискретные сигналы могут создаваться непосредственно источником информации (например, ди- скретными датчиками в системах управления или телеметрии) или образо- вываться в результате дискретизации континуальных сигналов. На рис. 1.2, б представлен сигнал, заданный при дискретных значениях времени t (на счетном множестве точек); величина же сигнала в этих точ- ках может принимать любое значение в определенном интервале по оси орди- нат (как и на рис. 1.2, а). Таким образом, термин дискретный харак- теризует не сам сигнал, а способ задания его на временной оси. Сигнал на рис. 1.2, в задан на всей временной оси, однако его величина может принимать лишь дискретные значения. В подобных случаях говорят о сигнале, квантованном по уровню. В дальнейшем термин дискретный будет применяться только по отноше- нию к дискретизации по времени; дискретность же по уровню будет обозна- чаться термином квантование. Квантование используют при представлении сигналов в цифровой фор- ме с помощью цифрового кодирования, поскольку уровни можно пронумеро- вать числами с конечным числом разрядов. Поэтому дискретный по времени и квантованный по уровню сигнал (рис. 1.2, г) в дальнейшем будет называть- ся цифровым. Таким образом, можно различать континуальные (рис. 1.2, а), дискрет- ные (рис. 1.2, б), квантованные (рис. 1.2, б) и цифровые (рис. 1.2, г) сигналы. Каждому из этих классов сигналов можно поставить в соответствие ана- логовую, дискретную или цифровую цепи. Связь между видом сигнала и ви- дом цепи показана на функциональной схеме (рис. 1.3). При обработке континуального сигнала с помощью аналоговой цепи не требуется дополнительных преобразований сигнала. При обработке же кон- тинуального сигнала с помощью дискретной цепи необходимы два ^преобра- зования: дискретизация сигнала по времени на входе дискретной цепи и А налоговая цепь ~1-|————— Дис/еретиза >—) ция по времени Дискретная цепь I Воосгпановлв- J ~1h-J ' no времени с J Г—1 A-U. \ "-1 1-1.J.с Цифровая цепь Г Ч и-^I L.)-<• —— Цифровой сиенал 1 Дискретный смнал Контищ/альный сигнал Рис. 1.3. Виды сигнала и соответствующие им цепи II обратное преобразование, т. е. восстановление континуальной структуры сигнала на выходе дискретной цепи. Наконец, при цифровой обработке кон- тинуального сигнала требуются еще два дополнительных преобразования: аналог—цифра, т. е. квантование и цифровое кодирование на входе цифро- вой цепи, и обратное преобразование цифра—аналог, т. е. декодирование на выходе цифровой цепи. Процедура дискретизации сигнала и особенно преобразование аналог— цифра требуют очень высокого быстродействия соответствующих электрон- ных устройств. Эти требования возрастают с повышением частоты контину- ального сигнала. Поэтому цифровая техника получила наибольшее распро- странение при обработке сигналов на относительно низких частотах (зву- ковых и видеочастотах). Однако достижения микроэлектроники способствуют быстрому повышению верхней границы обрабатываемых частот. 1.4. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЦЕПЕЙ Радиотехнические цепи и элементы, используемые для осуществления перечисленных в § 1.2 преобразований сигналов и колебаний, можно раз- бить на следующие основные классы: линейные цепи с постоянными параметрами; линейные цепи с переменными параметрами; нелинейные цепи. Следует сразу же указать, что в реальных радиоустройствах четкое вы- деление линейных и нелинейных цепей и элементов не всегда возможно. От- несение одних и тех же элементов к линейным или нелинейным часто зависит от уровня воздействующих на них сигналов. Тем не менее приведенная выше классификация цепей необходима для понимания теории и техники обработки сигналов. Сформулируем основные свойства этих цепей. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Можно исходить из следующих определений. 1. Цепь является линейной, если входящие в нее элементы не зависят от внешней силы (напряжения, тока), действующей на цепь. 2. Линейная цепь подчиняется принципу суперпозиции (наложения). В математической форме этот принцип выражается следующим равен- ством: L [si(Q+ s,(t)+ ...] = L[si(01^ L MQI+ .... (1.1) где L — оператор, характеризующий воздействие цепи на входной сигнал. Суть принципа суперпозиции может быть сформулирована следующим образом: при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно определить путем наложения (суперпози- ции) решений, найденных для каждой из сил в отдельности. Можно исполь- зовать еще и такую формулировку: в линейной цепи сумма эффектов от от- дельных воздействий совпадает с эффектом от суммы воздействий. При этом предполагается, что цепь свободна от начальных запасов энергии. Принцип наложения лежит в основе спектрального и оператор- ного методов анализа переходных процессов в линейных цепях, а так- же метода интеграла наложения (интеграл Дюамеля). Применяя принцип наложения, любые сложные сигналы при передаче их через линейные цепи 12 можно разложить на простые, более удобные для анализа (например, гар- монические) . 3. При любом сколь угодно сложном воздействии в линейной цепи с по- стоянными параметрами не возникает колебаний новых частот. Это выте- кает из того факта, что при гармоническом воздействии на линейную цепь с постоянными параметрами колебание на выходе также остается гармониче- ским с той же частотой, что и на входе; изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Разложив сигналы Si (t), Sg (t), ... на гармонические колебания и подставив результаты разложения в (1.1), убедимся, что на выходе цепи мо- гут существовать только колебания с частотами, входящими в состав вход- ного сигнала. Это означает, что ни одно из преобразований сигналов, сопровождаю- щихся появлением новых частот (т. е. частот, отсутствующих в спектре вход- ного сигнала), не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами. Такие цепи находят широчайшее приме- нение для решения задач, не связанных с трансформацией спектра, таких как линейное усиление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т. д. 3. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Имеются в виду цепи, один или несколько параметров которых изме- няются во времени (но не зависят от входного сигнала). Подобные цепи ча- сто называются линейными параметрическими. Сформулированные в предыдущем пункте свойства 1 и 2 справедливы и для линейных параметрических цепей. Однако в отличие от предыдущего случая даже простейшее гармоническое воздействие создает в линейной це- пи с переменными параметрами сложное колебание, имеющее спектр частот. Это можно пояснить на следующем простейшем примере. Пусть к резистору, сопротивление которого изменяется во времени по закону R (t) = Ro/(l + т cos Ш), приложена гармоническая ЭДС е (t) = Ее cos d)t. Ток через сопротивление t (t) = е (t)/R (t) = (?0/^0) (1 + т cos fit) cos wt == (E,/Ry) [cos (of + + (/n/2) cos (со + fi)t + (m/2) cos ((o — Q) t]. (1.2) Как видим, в составе тока имеются компоненты с частотами <в ± О, которых нет в е (t). Даже из этой простейшей модели ясно, что, изменяя во времени сопротивление, можно осуществить преобразование спектра вход- ного сигнала. Аналогичный результат, хотя и с более сложными математическими вы- кладками, можно получить для цепи с переменными параметрами, содержа- щей реактивные элементы — катушки индуктивности и конденсаторы. Этот вопрос рассматривается в гл. 10. Здесь лишь отметим, что линейная цепь с переменными параметрами преобразует частотный спектр воздействия и, следовательно, может быть использована для некоторых преобразований сигналов, сопровождающихся трансформацией спектра. Из дальнейшего будет также видно, что периодическое изменение во времени индуктивности или емкости колебательной цепи позволяет при некоторых условиях осущест- вить «накачку» энергии от вспомогательного устройства, изменяющего этот параметр («параметрические усилители» и «параметрические генераторы». гл. 10). 13 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ Радиотехническая цепь является нелинейной, если в ее состав входят один или несколько элементов, параметры которых зависят от уровня вход- ного сигнала. Простейший нелинейный элемент—диод с вольт-амперной характеристикой, представленной на рис. 1.4. Перечислим основные свойства нелинейных цепей. 1. К нелинейным цепям (и элементам) принцип суперпозиции непри- меним. Это свойство нелинейных цепей тесно связано с кривизной вольт- амперных (или иных аналогичных) характеристик нелинейных элементов, нарушающей пропорциональность между током и напряжением. Напри- мер, для диода, если напряжению и^ соответствует ток i\, а напряжению и^ — ток la, то суммарному напряжению Ug = и^ + Ug будет соответствовать ток t'g, отличный от суммы t\ + t'2 (рис. 1.4). Из этого простого примера видно, что при анализе воздействия сложного сигнала на нелинейную цепь его нельзя разлагать на более простые; необ- ходимо искать отклик цепи на результирующий сигнал. Неприменимость для нелинейных цепей принципа суперпозиции делает непригодными спек- тральный и иные методы анализа, основанные на разложении сложного сиг- нала на составляющие. 2. Важным свойством нелинейной цепи является преобразование спек- тра сигнала. При воздействии на нелинейную цепь простейшего гармониче- ского сигнала в цепи помимо колебаний основной частоты возникают гармо- ники с частотами, кратными основной частоте (а в некоторых случаях и по- стоянная составляющая тока или напряжения). В дальнейшем будет пока- зано, что при сложной форме сигнала в нелинейной цепи помимо гармоник возникают еще и колебания с комбинационными частотами, являющиеся ре- зультатом взаимодействия отдельных колебаний, входящих в состав сигнала. С точки зрения преобразования спектра сигнала следует подчеркнуть принципиальное различие между линейными параметрическими и нелиней- ными цепями. В нелинейной цепи структура спектра на выходе зависит не только от формы входного сигнала, но и от его амплитуды. В линейной пара- метрической цепи структура спектра от амплитуды сигнала не зависит. Особенный интерес для радиотехники представляют свободные колеба- ния в нелинейных цепях. Подобные колебания называются автоколебаними, поскольку они возникают и могут устойчиво существовать в отсутствие внеш- него периодического воздействия. Расход энергии компенсируется источни- ком энергии постоянного тока. ^ t/2 "S U Рис. 1.4. Вольт-амперная ха- рактеристика нелинейного эле- мента (диода) Основные радиотехнические процессы: генерация, модуляция, детекти- рование и преобразование частоты — сопровождаются трансформацией ча- стотного спектра. Поэтому эти процессы можно осуществить с помощью либо нелинейных, либо линейных параметрических цепей. В некоторых случаях используются одновременно как нелинейные, так и линейные параметричес- кие цепи. Следует, кроме того, подчеркнуть, что нелинейные элементы работают в сочетании с линейными цепями, осуществляющими выде- ление полезных компонентов преобразованно- го спектра. В связи с этим, как уже отмеча- лось в начале данного параграфа, деление цепей на линейные, нелинейные и линейные параметрические весьма условно. Обычно для описания поведения различных узлов одного и того же радиотехнического устройства при- ходится применять разнообразные математи- ческие методы — линейные и нелинейные. 14 Изложенные выше основные свойства цепей трех классов — линейных с постоянными параметрами, линейных параметрических и нелинейных — сохраняются при любых формах реализации цепей: с сосредоточенными пара- метрами, с распределенными параметрами (линии, излучающие устройства) и т. д. Эти свойства распространяются также и на устройства цифровой обра- ботки сигналов. Следует, однако, подчеркнуть, что положенный в основу деления це- пей на линейные и нелинейные принцип суперпозиции сформулирован выше для операции суммирования сигналов на входе цепи [см. (1.1)1. Однако этой операцией не исчерпываются требования к современным системам обработки сигналов. Важным для практики является, например, случай, когда сигнал на входе цепи является произведением двух сигналов. Оказывается, что и для подобных сигналов можно осуществить обработку, подчиняющуюся принципу суперпозиции, однако эта обработка будет являться сочетанием специально подобранных нелинейных и линейных операций. Подобная обра- ботка называется гомоморфной. Синтез подобных устройств рассматривается в конце курса (см. гл. 16), после изучения линейных и нелинейных цепей, а также цифровой обработ- ки сигналов, развитие которой и явилось толчком к широкому применению гомоморфной обработки. 1.5. ПРОБЛЕМА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Комплекс устройств, используемых для передачи информации от ис- точника до получателя (а также разделяющая их среда), образуют канал связи. От канала связи требуется по возможности полная передача инфор- мации. Потери информации могут вызываться искажениями сигналов из-за несовершенства отдельных элементов канала, а также из-за помех. Помехи возникают во всех элементах канала связи: как в среде, исполь- зуемой для передачи сигнала от передатчика к приемнику, так и в техниче- ских устройствах, выполняющих необходимые преобразования сигнала. В первом случае помехи называются внешними, во втором — внутренними. Источником внешних помех являются атмосферные явления, шумы кос- мического пространства, радиоустройства, работающие на близких частотах, индустриальные помехи, медицинская радиоаппаратура и др. Помехи подобного рода создают проблему электромагнитной совмести- мости (ЭМС). Взаимные помехи между радиостанциями устраняют рациональным раз- мещением (распределением) частот, регламентируемым специальными между- народными соглашениями, улучшением качества передачи в результате уменьшения нежелательного, так называемого внеполосного излучения, увеличением стабильности несущей частоты, применением направленных антенн и т. д. Все это позволяет в какой-то мере разрешить проблему «тес- ноты в эфире». Однако проблема ЭМС еще далека от своего разрешения. Ее требуется учитывать при проектировании и разработке новых радиотехниче- ских устройств и систем, в частности при выборе формы и параметров радиосигналов, выборе частотного диапазона, в котором помехи минималь- ны, при размещении радиоустройств и т. д.1. ' Проблема ЭМС детально рассматривается в книге: Князев А. Д. Элементы тео- рии и практики обеспечения ЭМС радиоэлектронных средств. — М.: Радио и связь, 1984. 15 Внутренние шумы, обязанные своим возникновением дискретной при- роде заряженных частиц, образуются из-за теплового движения этих ча- стиц в элементах электрических цепей, из-за дробового эффекта в электрон- ных приборах и ряда других явлений, имеющих место при работе радиотех- нических устройств. Особенно сильно действие внутренних шумов при боль- шом усилении сигнала, т. е. при приеме слабых сигналов. Одновременно с полезным сигналом усиливаются и шумы, которые могут по интенсивности оказаться соизмеримыми с сигналом, в результате чего последний окажется частично или полностью замаскированным. Принципиально задача ослабления внутренних шумов является наибо- лее сложной, но и их уровень можно существенно снизить, применив усили- тельные устройства, работающие в режиме глубокого (например, до темпе- ратуры жидкого гелия) охлаждения, в результате чего снижается интенсив- ность теплового движения частиц. Однако, несмотря на все эти меры, пол- ностью избавиться от помех невозможно. Со времени изобретения радио А. С. Поповым (в 1885 г.) и до настояще- го времени основной проблемой радиотехники была и остается проблема помехоустойчивости связи, включающая в себя и упомянутую выше пробле- му ЭМС, и большое число других проблем, охватывающих все разделы радио- техники: генерирование мощных колебаний, освоение и выбор волн, обеспе- чивающие благоприятные условия распространения, использование антенн направленного действия, поиски новых видов радиосигналов и новых спо- собов их обработки на фоне помех и т. д. Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ 2.1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала s (f) являются его мощность и энергия. Мгновенная мощность определяется как квадрат мгновенного значения s(t): Р (t) = s2 (0. Если s (t) — напряжение или ток, то р (t) есть мгновенная мощность выделяемая на сопротивлении в 1 Ом. Энергия сигнала на интервале ^> t\ определяется как интеграл от мгно- венной мощности: t, t, Э== [p{t)dt=. fs2(/)^. • (2.1) J ^ (, fi Отношение з , '. ___ ———=———f s2 (0 dt =-?{f) . . (2.2) 4-^i t,-t,^ имеет смысл средней на интервале t^, ti мощности сигнала. 16 Реальные сигналы имеют конечную длительность и ограниченную по величине мгновенную мощность. Энергия таких сигналов конечна. В теории сигналов часто рассматриваются функции времени, заданные на всей оси времени —оо •< t<^ oo при конечной величине средней мощности. Говорить об энергии подобных сигналов, обращающейся в бесконечно большую ве- личину, не имеет смысла. 2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА В ВИДЕ СУММЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КОЛЕБАНИИ Для теории сигналов и их обработки важное значение имеет разложение заданной функции / (х) по различным ортогональным системам функций (р„ (х}. Напомним основные определения, относящиеся к свойствам ортого- нальных систем. Бесконечная система действительных функций »Ро(^),ф1(х),(рг(^), ...,т (-<) Фп. М dx при т ^п обращаются а в нуль в силу ортогональности функций фщ (х} и (рп {х). В правой части оста- ется одно слагаемое ь ь J Сц Vn (х) (рп (х) dx = Сц J <р^ (^ dx ^ с„ \\ (р„ Ц2, и а что позволяет написать ь f\f(x)^(x)dx^Cn\\(f„\\2, откуда следует важное соотношение ь crt== —— ilCPn и —— 1 становится ясным из рассмотрения векторной диаграммы (рис. 2.1), соответствующей (2.29) при \п\ == 2. Вещественная функция 2 |c,J cos (/!(OiM- 6,1) получается как сумма проекций на горизонтальную ось 0В двух векторов длиной |cJ, вращающихся с угловой частотой \п\ со, во взаимно противоположных направлениях. Вектор, вращающийся против часовой стрелки, соответствует положительной частоте, а вектор, вращаю- щийся по часовой стрелке, — отрицательной. После перехода к. тригономе- трической форме понятие «.отрицательная частота» теряет смысл. Коэф- фициент Со не удваивается, так как в спектре периодического сигнала со- ставляющая с нулевой частотой не имеет «дублера». Вместо выражения (2.30) в математической и радиотехнической литера- туре часто встречается следующая форма записи: s(/)= -Г-Йц)> QO 2 S 11=1 (а„ cos nc0i 14- &„ sin nwi t) = -us- ^ An cos (/t(0i t -j n== 1 (2.31) причем 9„ = -- arctg(&„ йп). Из сопоставления выражений (2.31) и (2.30) видно, что амплитуда /г-й гармоники Л„ связана с коэффициентом |<"J ряда (2.28) соотношением А —91 "п — •'- 1 а а„=2спс, Ьп =2с„ Таким образом, для всех положительных значений п (включая и п — 0) Т/-2 J "<" s(/)cos/i(0i tat '/- 2 Г' b„ =— \ s(t) sin/ко, tdt. -772 (2.32) Рис. 2.1. Представление гармо- нического колебания в виде цвух комплексных составляю- щих: с положительной и отри- цательной частотами Если сигнал представляет собой функ- цию, четную относительно t, т. е. s (/) ~- =- s (—t), в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты 6„ в соответствии с формулой (2.32) обращаются в нуль. Для нечетной относительно / функции s (/), наобо- рот, в нуль обращаются коэффициенты а„ и ряд состоит только из синусоидальных членов. Две характеристики — амплитудная и фазовая, т. е. модули и аргументы комплекс- ных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания. Наглядное пред- ставление о «ширине» спектра дает графи- ческое изображение спектра амплитуд. В ка- честве примера на рис. 2.2, а построен спектр коэффициентов |с„|, а на рис. 2.2, б—спектр амплитуд An == 2 [cJ для одного и того же периодического колебания. Для исчерпываю- 22 О-,-г 1 I I ' 1111 / -Zu/ О I 2й^ rtUf -WWf -v>f Uf a) Тт2 llii. / 2(->f Wf A ^ -^ Vz.- Т^д 1 Т i j 0 2(u, nvif a Рис. 2.10. Спектр импульсной после- довательности. показанной на рис. 2.9 26 При малых значениях п можно считать л ^ 2Е. "^л — F 2^- 19 401 Л„ ~ ——— — L . (^-.tU) ЯП / / Постоянная составляющая, равная йо/2 =^ ?r„/^ вдвое меньше ампли- туды 1-й гармоники. При построении спектра коэффициентов (Сд) величина Гц приближенно равнялась бы |ri|. 2.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА Пусть сигнал s (/) (ток, напряжение) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т. Энергия такого сигнала, длящегося от / -= —оо до / L oo, бесконечно велика. Основной интерес представляют средняя мощность периодическо- го сигнала и распределение этой мощности между отдельными гармоника- ми. Очевидно, что средняя мощность сигнала, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно воспользоваться формулой (2.17), в которой под коэффициентами <"„ следует подразумевать коэффициенты ряда (2.20), под интервалом ортогональности /.,—/I—величину периода Т, а под нормой ||<(„|| - величину YT 1см. (2.21)1. Таким образом, средняя мощность периодического сигнала ^)=^- f KrT- f \c.^. (2.41) 11 =~ — 00 II == —— У Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учитывая, что с„ = Qii'2 и \с„\ -= A.,i'i, получаем ^)=(tf-2^ (^f-f^f-T^ А1- (2•42) Если s (t) представляет собой ток ( (t), то при прохождении его через со- противление г выделяется мощность (средняя) Р^п2^)^/-^ : /f 2 + /|,'2+,..), где /„ ==: Оо 2 — постоянная составляющая, а /„ == Лп — амплитуда п-й гармоники тока / (/). Итак, полная средняя мощность равна сумме средних мощностей, выде- ляемых отдельно постоянной составляющей /ц и гармониками с амплиту- дами /I, /г, ... Это означает, что средняя мощность не зависит от фаз от- дельных гармоник. Это вытекает из ортогональности спектральных состав- ляющих, в данном случае на интервале Г. 2.6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Изложенный в § 2.3 гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. Пусть такой сигнал s (t) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (/i. /.,) (рис. 2.11). 27 Выделив произвольный отрезок времени Т, включающий в себя проме- жуток (/1, <.д), мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье s(<)-= ^ (•„е"»"'', 0<;<Т, (2.43) tl 5 —— Ой где о), = 2п'Т, а коэффициенты с„ в соответствии с формулой (2.22) '2 г„ == -!- f s^e.-"101'^/. (2.44) - со ос- новная частота функции ю, ==- 2л/Т -->-0. Иными словами, расстояние меж- ду спектральными линиями (см. рис. 2.2), равное основной частоте со,, становится бесконечно малым, а спектр — сплошным. Поэтому в выражении (2.45) можно заменить Юд на dw, /но, на текущую частоту ш, а операцию суммирования операцией интегрирования. Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье оь г 1г 1 s(/)=J- Г е'"" С s{x)e-iш'cdx\dю. (2.46) 2л J J —эс L t, J Внутренний интеграл, являющийся функцией ш, '1 S(u>)= ^ 5(0е-'1"'^, (2.47) '1 называется спектральной плотностью или с и е к т р а л ь- ной характеристикой функции s {t). В общем случае, когда пределы ^ и Л; не уточнены, спектральная плот- ность записывается в форме .ю S((o)== f s^e-'^dl. (2.48) — i\- После подстановки (2.48) в выра- жение (2.46) получаем -Т 0 ti ti Т i г- s(t}-= .—\ S{w)ei^л^dw. (2.49) 2л J Рис. 2.11. Одиночный импульс —ос 28 Выражения (2.48) и (2.49) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. Выражение (2.48) отличается от (2.22) только отсутствием множителя 1/Г. Следовательно, спектральная плотность S (со) обладает всеми основными свойствами коэффициентов с„ комплексного ряда Фурье. По аналогии с (2.23) и (2.25) можно написать S (со) = Л (со) —1В (и) = S (и) е'9^, (2.50) где оо оо Л((й)= С s(t)cos(utdt, B((o)= f s(0sin(o/d/. (2.51) —— С» —— 00 Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражения- ми 5 (о) == V[A^)PT[B~W, . (2.52) 6 (со) == —arctg [В (й))/Л (со)]. (2.53) Первое из этих выражений можно рассматривать как амплитуд- но-частотную (АЧХ), а второе — как фазо-частотную характеристики (ФЧХ) сплошного спектра непериодического сиг- нала s (/). Как и в случае ряда Фурье, S (<й) является четной, а 9 (ю) — нечетной функцией частоты со. На основании формулы (2.50) нетрудно привести интегральное преобра- зование (2.49) к тригонометрической форме. Имеем [аргумент функции 8 (со) в последующих выражениях опущен]: 00 00 s(^)=J- Г 5 (и)) еЧ^+в) do == -1- Г S( 1. Длительность импульса Sg (0 в п раз меньше, чем исходного, и равна т„/п. Спектральная плот- ность сжатого импульса Рис. 2.13. Сжатие сигна- bi/" •^i/'1 ла при сохранении его 5г(©)== С S,(rte-'"'d/= f S-, (nt) е-imt dt формы и амплитуды ' ' J "' • J о о Вводя новую переменную интегрирования т = nt, получаем т Я ь „ _ / —— т Я ••И -'——Т S.,(a) ^-Lf Si(T)e " d-c. n J -4^- " п J о Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, как спектральная плотность исходного сигнала Si (t) при частоте (о/п, т. е. Si ((o/n). Таким образом, S2(to)^(l/n)Si(co/n). Итак, при сжатии сигнала в п раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в п раз. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т. е. при п •< 1) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. 3. СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА Применим (2.48) к произведению s(t) cos (u>ot + Од) 00 00 f s^cos^+e^e-'^d/^ f s(o[—e<((й.t+e«)+ — 00 — 00 i"e °° 4-.-!-e•-'^o'''t+9«>^e-''йfd/==•-••e—• С s{t) е-' (»-»»)' dt+ 2 . J ^ J ——00 _;е ? х^е-ч'^'0.)'^. I Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции s {t) при частоте со -- (Оо, а второй интеграл — при ча- стоте о) 4- "о- Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме 00 С s(Ocos((Oo^+eo)e-tw^^-l-[et9«S((o—(йo)+,e-•9oS(cй+cйo)], (2.58) — 00 где S (о») — спектральная плотность сигнала s (/). Из выражения (2.58) вытекает, что расщепление спектра S (a) на две части, смещенные соответственно на +Юо и —соо, эквивалентно умножению функции s (t) на гармоническое колебание cos m^t (при 6о = 0). Более подробно это положение рассматривается в гл. 3 при изучении модулированных колебаний. 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА Дифференцирование сигнала s, {t) можно трактовать как почленное диф- ференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная функции е10' равна /сое'"', из чего непосредственно вы- текают следующие соответствия: Si (0 - Si ((о), s, (/) = ^-(0 -tcoSi(co) - Sa (ю). (2.59) at К этому результату можно прийти также из общего преобразования Фурье 30 JC Г ^fiJiL е - ""' dt . Si (t) е -'"" г iwSi (со).. . t'coSi (01). J dt — ос —•• 0^ Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, поскольку при t -> ±00 Si (/) —>~0 (условие интегрируемости сигнала). Аналогичным образом можно показать, что сигналу < S2(0== \ s^(x)dx —— 00 соответствует спектральная плотность S2(co)=-(l,(co)Si(co). (2.60) Следует, однако, подчеркнуть, что в отличие от операции .))= \ s^e-^'dt = \ f(l)g{!)e ^'dt. (2.61) --(Х- - ex' Каждую функцию /' (t) и g (t) можно представить в виде интеграла Фурье: ,Х; ОС 1 " 1 Г* /•(/)==—- I F (со) е""' dw, g(t)=—— G^e'^dco. --- i?0 -- 1Х1 1 См.: Математические основы современной радиоэлектроники /И. А. Большаков, Л. С. Гуткин, Б. Р. Левин, Р. Л. Стратонович. - М.: Сов. радио, 1968. 2 лак. i:i 2 б у. , 33 Подставляя в (2.61) второй из этих интегралов, получаем 00 ,- 00 -, S((o)^-1- С f(t)\ Г G(x)e^x1dx\e-•:wtdf^ 2" J | J | - - oc L — oc J 00 p 00 , ^_L Г G(x) f /(/)e 'c--^/ \dx. ..-..- 00 1- —— 00 -J Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной t представ- ляет собой спектральную плотность функции / (t) при частоте (D - х. т. е. F (со — х). Следовательно, 00 S (со) == — f G (х) F ((о —х) dx. (2 62) 2л J — оо Итак, спектр произведения двух функций времени / (t) и g (t) равен, (с коэффициентом 1/'2л) свертке их спектров F (со) и G (со). Из выражений (2.61) и (2.62) в частном случае о> 0 вытекает следую- щее равенство: \ f(t)g(t}^=-^ [ G(.v)F( x}dx. Заменяя в последнем выражении х на (D. получаем 00 С*.' , X. f f(t)g{f)di =-—— f G(co)F(—(o)d(.)=—— f G (0) F* (10) dw. (2.63) J 2n J 2л J — - 00 -" 00 гэс где F* (со) ^ F(—o)—спектральная функция, комплексно-сопряженная функция F (ci)). Аналогично можно показать, что произведению двух спектров F (о) < у G (м) -= S (со) соответствует функция времени s (t}. являющаяся сверт- кой функций f (t) и g (t}: ОС- • 00 s(f}=- Г f(y)g(f—y)dy^ С f{t-y)g(y}dy^ -} t/ - ос — ) F* (о)) - S (со) S* ((и) = \ S (о) Г2 ^ 52 ((о), где S (ьо) — спектр сигнала s (t), а S (м) — модуль этого спектра. Таким образом, в соответствии с (2.63) приходим к окончательному ре- зультату JO X; :Х- Э= С s2(t)dt=—— \ \S(w)\Чw=-\-{ y^d^. (2.66) J 2л ,1 л J — -XI — ,•«•• (I Это важное соотношение, устанавливающее связь между энергией сиг- нала и модулем его спектральной плотности, известно под названием ра- венства Парсеваля. Между выражениями (2.42) и (2.66) имеется существенное различие. В § 2.5 речь шла о средней мощности периодического колебания. Операция усреднения осуществлялась делением энергии отрезка колебания за один период на величину Т. Для непериодического колебания конечной длитель- ности усреднение энергии за бесконечно большой период дает нуль и, следо- вательно, средняя мощность такого колебания равна нулю. Важно отметить, что энергия непериодического сигнала не зависит от фазировки спектральных составляющих. Это является, как и для периоди- ческого сигнала, результатом ортогональности спектральных составляющих. Различие заключается лишь в интервалах ортогональности: период Т для периодического сигнала и бесконечно большой интервал для непериодиче- ского сигнала. Из выражения (2.66) видно, что величину S (о))|2, имеющую смысл энергии, приходящейся на 1 Гц, можно рассматривать как спектральную плотность энергии сигнала. 2.10. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Основной задачей настоящего параграфа является пояснение свойств преобразований Фурье, приведенных в предыдущих параграфах, на приме- рах, важных для практики. 36 1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС Простейшее колебание, определяемое выражением J Л при —Ти/2<^<т„/2, О при /<—т„/2 и ^>т„/2 (2.67) и представленное на рис. 2.14, а, получило широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Применяя формулу (2.48), на- ходим спектральную плотность (рис. 2.14, б) «»т„ -V2 COT,. Si (со) = Л f е-'"'^-.-4 J —t 2Л sin sin (тТи/2) мти/2 (2,68) Заметим, что произведение Лти, равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при со == 0, т. е Si (0) == Лт [см. (2.55)1. Таким образом, выражение (2.68) можно записать в форме Si (со) _- Si (0) sin(мт•l/2) - Si (0) sine f-^"- (>)Т„/2 \ 2 Здесь через sine (сот„/2) обозначена функция (2.69) sine (х) == (sin x)/x. (2.70) При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями функции Si (со) сокращается, что равносильно сужению спектра. Значение 5i (0) при этом возрастает. При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции Si (со) увеличивается (расширение спек- тра), а значение Si (0) уменьшается. В пределе при Тд -> О (Л = const) точки coi = ±2л/т„, соответствующие' двум первым нулям функции Si (со), удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от —оо до оо. На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля Si (со), отнесенного к величине Si (0), и аргумента 9 (со) спектральной плотности. Первый из этих графиков можно рассматривать как АЧХ, а второй — как ФЧХ спек- тра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака Si (со) учитывается на рис. 2.15, б приращением фазы на л, О а) г„/2 t Рис. 2.14. Прямоугольный импульс (а) и его спектральная плотность (б) 37 Рис. 2.16. Совмещение начала отсчета вре- мени с фронтом прямоугольного импульса -Зп-Zn-n О 2ff3ff ыУц/2 ^ecw) Рис. 2.15. Модуль (а) и аргумент (б) спек- тральной плотности прямоугольного им- пульса При отсчете времени не от середины импульса (как на рис. 2. 13), а от фронта (рис. 2.16) ФЧХ спектра импульса должна быть дополнена слагае- мым о)Тц/2, учитывающим сдвиг импульса на время Тц/2 (в сторону запазды- вания). Результирующая ФЧХ принимает при этом вид, показанный на рис. 2.15, б штриховой линией. 2. ТРЕУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС Представленный на рис. 2.17, а импульс определяется выражением А [ ти/2 Afl- 4-1 (2.71) ти/2 Прямое вычисление спектральной плотности треугольного импульса по формуле (2.48) хотя и несложно, все же несколько громоздко. Для иллюстрации применения теорем о спектрах, приведенных в преды- дущем параграфе, найдем сначала спектральную плотность функции, являю- щейся производной от заданного сигнала s,, (t). График производной показан на рис. 2.17, б. Спектральная плотность положительного прямоугольного А по аналогии с формулой импульса длительностью Тц/2 и амплитудой Ти/2 (2.68) и с учетом сдвига середины импульса на время Тц/4 относительно точ- ки <== О Ти sin ((ОТи/4) e+'^H/4 ^ d sin (^и/4) „"'"и/4 соТи/4 в) _67t _^П Ти Г- 0 2Л ^Л т.. т„ ffn V» Рис. 2.17. К определению спектральной плотности треугольного импульса 38 Спектральная плотность отрицательного импульса, показанного на рис. 2.17, б, соответственно _л sin ((от„/4) -K,H со (У Рис. 2.18. Колоколообразный (гаус- совский) импульс (а) и его спект- тральная плотность (б) откуда d=-iwalY2. (2.76) Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду 5а(ю)-Ле^ Г e-^/^+'O2^. — оо Переходя к новой переменной х = (t/^/r2d) -г d, получаем 00 S3 (со) - Ле"21/'2а f e-^dx. Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен У л, окончатель- но получаем ЗзН^ЛТ/^ае-^/^.бе-"'/2''2, (2.77) где Ь=\1а\ В^---У2лаА. График этой функции изображен на рис. 2.18, б. Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выражаются одинако- выми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на со или наоборот. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне е~1/2 от максимального значения, равна 2Ь = 21 а == 2-2ти = 4ти, а коэффициент В == У2лаА- Гауссовскому спектру ЗзН^е-"2/2''' соответствует гауссовский импульс ВЬ (2.78) (2.79) с длительностью 2/Ь и амплитудой А = ВЫ\/ 2л. Очевидно, что чем меньше длительность импульса т,,, тем шире спектраль- ная полоса 26. 4. ИМПУЛЬС ВИДА SINC (х) На рис. 2.19, а изображен импульс, определяемый выражением sin (От t s\n2пfmt (2.80) Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48) восполь- зуемся результатами п. 1 данного параграфа и свойством взаимной заменяе- мости со и t в преобразованиях Фурье для четных функций времени (см. п. 7 §2.8). Из рис. 2.14 очевидно, что после замены со на t и t на о заданной функ- ции &з (t) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Остается лишь найти площадь этого спектра и его уровень. 40 -2nf^ 0 2rtf^ ы Рис. 2.19. Импульс пила sine ((i),„/) (u) и его спектральная плотность (б) Для этого сопоставим абсциссу t -- л.м,,, на рис. 2.19, а с аналогичной абсциссой о) --- 2л/Т|, на рис. 2.14, б. Очевидно, что при замене t на со (или наоборот) в данном примере необходимо исходить из соответствия л/со,,, —<• —>-.2л/т„, т. е. т,, —>"2о),„, откуда следует, что 2ьо,п и есть искомая ширина спектра S^ (со). Уровень спектра, равномерный в полосе —со„, < со < OJ,„, проще все- го определить по его значению в точке со — 0, для которой S,, (0) равно пло- щади импульса 1см. (2.55)1: sinu),» I Sill X &> (0) = [ .s, {t) dt = A dt =. d,x- Wrn (2.81) "'tn '^Im Итак, окончательно 54 (СО) А 2/,„ О при 1 <о | при 1 со | ; с"» • со„, (2.82) 5. ГРУППА ОДИНАКОВЫХ И РАВНООТСТОЯЩИХ ИМПУЛЬСОВ Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.20) обозначим через Si (со). Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно перво- го на время Т (в сторону запаздывания), спектральную плотность можно на основании (2.57) представить выражением S^ (со) S, (o>) e -/t07, для тре- тьего импульса Б..; (со) ^-- Si (со) е-'2'07' и т. д. Для группы из N импульсов в соответствии с принципом линейного сум- мирования спектров при сложении сигналов спектральная плотность S((o)^Si(co)|l 4-е-""7" .е-'2107' г... г-е-"^ """Ч. (2.83) При частотах, отвечающих ус- ловию со -: /г2л/Т, где k — целое число, каждое из слагаемых в квад- ратных скобках равно единице и, следовательно, S\k2n T\^NS,\k2n T|. (2.84) Рис. 2.20. Пачка одинаковых, равноотстоя- щих импульсов Таким образом, при частотах (о := kin! Т модуль спектральной 41 СС) ^ ' 2л 1 2г zs. -v- S) о • •• 1 2S. 7л 4 Т Т 2л Рис. 2.21. Модуль спектральной плотности пачки из трех (а) и четырех (6) импульсов плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие различных импуль- сов с указанными выше частотами складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2л. При частотах же о) (1W) (2л/Т), а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов е-'*7" обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточных значениях ча- стот модуль S (о) определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов. В качестве иллюстрации на рис. 2.21, а изображен спектр (модуль) пачки из трех прямоугольных импульсов, а на рис. 2.21. б — из четырех при интервале между соседними импульсами Т --•= Зт„. Штриховыми линиями показана спектральная плотность одиночного импульса. С увеличением чис- ла импульсов в пачке спектральная плотность все более расщепляется и в пределе при Л' -«• оо принимает линейчатую структуру спектра периодиче- ской функции (см. рис 2.12). 2.11. БЕСКОНЕЧНО КОРОТКИЙ ИМПУЛЬС С ЕДИНИЧНОЙ ПЛОЩАДЬЮ (ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ) Некоторые из возможных импульсов, площадь которых равна едини- це, изображены на рис. 2.22. Амплитуды всех этих импульсов обратно про- порциональны соответствующим образом определенной длительности. При стремлении длительности к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса остается неизменной и равной единице. Амплитуду прямоугольного импульса следует приравнять величине 1/л-, (рис, 2.22. а), где х, длительность импульса 42 При гауссовском импульсе (рис. 2.22, б) амплитуда должна быть прирав- нена 1/1/^ 2лд, поскольку ^0 1 e'-^'^'dx^] 2ла. Наконец, для импульса вида sin (2л/пг^)/л л- (рис. 2.22, в), площадь которого равна единице, амплитуда равна 2/щ (при х — 0). Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорциональна параметру /',„. При устремлении параметров х^ и а к нулю, a f,n к бесконечности все три изображенные на рис. 2.22 функции можно определить следующим об- разом: (2.85) оо при -<•== О, О при х -^ О при одновременном условии 00 1 б (х) dx ^- площадь импульса =1. (2.86) Функция б (х), обладающая указанными свойствами, называется еди- ничным импульсом, импульсной функцией или дельта-функцией (а также функцией Дирака). Применительно к исходным функциям, изображенным на рис. 2.22, б и в, дельта-функция должна быть определена выражениями 6(A')=lim jsin (2л7„, х)'лх\. l.„^ "-+0 1/2л Возможны и другие многочисленные определения 6 (х). При сдвиге импульса по оси х на величину Хп определения (2.85), (2.86) должны быть записаны в более общей форме _ | Х ППИ А' ==А-„. fi(A-- A-„)= 1 I U при v =^ л-„ ПС \ 6 (A- A'n)dA-=l, (2.87» (2.88) fi(A---A-„)=lim _ -е-" '•.i»2'-'"", "-о Учл» BfA'-.-^^lim-^2^^-^. (2.89) (2.90) х^ 0 Xf x "г Т Ч) Рис. 2.22. Импульсы, обращающиеся и дельта-функцию при стремлении длительности к нулю г, 43 Но «разность фаз» можно однозначно определить только в пределах ± 180°, хотя истин- ная разность фаз может при этом достигать сотен и даже тысяч радиан (например, в случае ЛЧМ-сигнала). Поэтому принято выражение «определение фазы по модулю 2я». Однако такой подход в некоторых задачах неприемлем, например, при определе- нии групповой задержки (запаздывания) сигнала в физических цепях, используемых для формирования сигналов. Известно, что групповая задержка определяется как про- изводная ФЧХ. При этом имеется в виду истинная ФЧХ, без отбрасывания целого числа 2л. В физических цепях задержка сигнала является конечной величиной, из чего следует, что 6s(°>) б0'"' непрерывная функция. На этом свойстве ФЧХ основан метод логарифмической производной спектральной плотности (см. гл. 16, с. 490), позво- ляющий определить истинную ФЧХ сигнала. Проиллюстрируем этот метод сначала на простом сигнале s (t) = ае""', t ^ 0, со спектральной плотностью S (<о) = а/ (а + tea). Подобный сигнал будем рассматри- вать как импульсную характеристику апериодического звена. Отказываясь от представления спектральной плотности в форме |S ((й)| е s с определением Qg ((о) == —arctg [5 (со)/Л ((о)], сначала определим In S (со) с помощью выражения (16.47) (о lnS(co^f . ds(w) „, J S (ш) d) на одной из частот (в данном примере на (о == 0). Поэтому определенная выражением (П5.3) функция 6, (ю) является одно- значной в пределах —с» <: <о <: оо. В рассмотренном примере не было необходимости прибегать к логарифмической производной, поскольку ФЧХ |6д (й))| не выходит за пределы я/2. Продолжим поэтому пример на случай трех идентичных развязанных звеньев с импульсной характери- стикой, спектральная плотность которой S (to) == [в/(а + t'(o)]3, а ФЧХ заключена в пределах ±3я/2, т. е. Зя. Повторяя предыдущие рассуждения, придем к результату Qy (о))== —3arctg to/a, хотя прямые измерения не могут дать более ±п. В тех случаях, когда ФЧХ спектра задана аналитически в виде непрерывной функции Qs (<о), вопрос о выделении «главной части аргумента» вообще не возникает (как, например, в случае ЛЧМ-импульса с ФЧХ в виде квадратичной параболы). Вопрос о неоднозначности ФЧХ приобретает особое значение при цифровой об- работке сигнала, когда дискретные отсчеты фазы производятся «по модулю 2л». Спо- собы восстановления истинной ФЧХ рассматриваются в § 16.10. 500 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.— М.: Высшая школа, 1983. 2. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. пособие для вузов/Д. В. Васильев. М. Р. Витоль, Ю. Н. Горшенков и др.: Под ред. К. А. Самойло.— М.: Радио и связь, 1982. 3. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов и цепей: Учеб. пособие для вузов.— 2-е изд., перераб. и доп. —М.: Высшая школа, 1975. 4. Теория передачи сигналов: Учебник для вузов/А. Г. Зюко, Д. Д. Кловский, М. В. Назаров, Л. М. Финк.— М.: Связь, 1980. 5. Андреев В. С. Теория нелинейных электрических цепей: Учеб. пособие для ву- зов.— 2-е изд.. перераб. и доп. —М.: Радио и связь, 1982. 6. Сборник задач по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы»/ Под ред. А. М. Николаева.— М.: Сов. радио, 1972. 7. Горяинов В. Т., Журавлев А. Г., Тихонов В. И. Статистическая радиотехника: Примеры и задачи.— М.: Сов. радио, 1980. 8. Попов В. П. Основы теории цепей: Учебник для вузов. — М.: Высшая шко- ла, 1985. 9. Трахтман А. М. Введение в обобщенную спектральную теорию.— М.: Сов. радио, 1972. 10. Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов.—М.: Сов. радио, 1970. 11. Фреикс Л. Теория сигналов: Пер. с англ. /Под ред. Д. Е. Вакмана.—М. Сов.радио,1974. 12. Конторович М. И. Операционное исчисление и процессы в электрических це- пях.— М.: Сов. радио, 1975. 13. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. I.—М.: Сов. радио, 1974. 14. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника.— М.: Сов. радио, 1966. 15. Основы теории колебаний/В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин.— М.: Физматгиз, 1978. 16. ^Вайнштейн Л. А., Вакман Д. Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. — М.: Наука,1983. 17. Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов: Пер. с англ./Под ред. Р. М. Добрушина.— М.: ИЛ, 1960. 18. Деч Р. Нелинейное преобразование случайных процессов: Пер. англ. /Под ред. Б. Р. Левина.— М.: Сов. радио, 1965. 19. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. /Под ред. А. М. Трахтмана.— М.: Сов.радио,1980. 20. Трахтман А. М., Трахтман В. А. Основы теории сигналов на конечных интер- валах.— М.: Сов. радио, 1975. 501 21. Рабииер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. /Под ред. Ю. И. Александрова.— М.: Мир, 1978. 22. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости.— М. : Сов. радио, 1956. 23. Ширмам Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов.— М.: Сов. радио, 1974. 24. Финн Л. М. Сигналы, помехи, ошибки... Заметки о некоторых неожидан- ностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Радио и связь, 1984. 25. Хармут X. Теория секвентного анализа: Пер. с англ./Под ред. Л. М. Соро- ко.— М.: Мир, 1980. 26. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей: Учеб. посо- бие для вузов.— М.: Высшая школа, 1978. 27. Карнн Ш. Теория цепей. Анализ и синтез: Пер. с англ./ Под ред. С. Е. Лон- дона.— М.: Связь, 1973. 28. Масленников В. В., Сироткин А. П. Избирательные /?С-усилители.— М.: Энергия, 1980. 29. Хьюлсман Л. П. Теория и расчет активных /?С-цепей: Пер. с англ. /Под ред. А. Е. Знаменского и И. Н. Теплюка.— М.: Связь, 1973. 30. Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ./ Под ред. С. Я. Шаца.—М.: Связь, 1979. 31. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведе- ний.— М.: ГИФМЛ, 1963. 32. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции.: Пер. с нем./Под ред. Л. И. Седова.—М.: Наука, 1968. 33. Справочник по специальным функциям./Под ред. М. А. Абрамовица и И. Сти- гана: Пер. с англ. /Под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Кармазиной.— М.: Наука, 1979. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ А — амплитуда An — амплитуда л-й гармоники АО — амнлитуда несущего колебания A(t) — огибающая амплитуд высокочастотного колебания A(t) — производная функции A (t) ^с(0. — квадратурные составляющие огибающей А (t) A,W А(Л — комплексная огибающая о.Оэк — параметр расстройки контура а.п — коэффициент ряда Фурье (при косинусе) Яв(т) — корреляционная функция детерминированного сигнала s (t) В^(т) — корреляционная функция детерминированного аналитического сигнала 2(0 йд(т) — корреляционная функция огибающей А (t) детерминированного сигнала Bsi$2^)—взаимно-корреляционная функция сигналов Si (t) и s; (t) Ьп — коэффициент ряда Фурье (при синусе) С — емкость Cn — коэффициент обобщенного ряда Фурье Е — амплитуда ЭДС EQ — амплитуда ЭДС несущей частоты E(t) — огибающая амплитуд высокочастотной ЭДС е (/) Е(<) — комплексная огибающая высокочастотной ЭДС Е((о) — спектральная плотность ЭДС e{t) — мгновенное значение ЭДС вн — напряжение накачки f,F — частота /о — центральная частота (несущая) fm — граничная (максимальная) частота G, — внутренняя проводимость источника сигнала Он — проводимость нагрузки G(t) — огибающая амплитуд импульсной характеристики цепи g{t) — мгновенное значение импульсной характеристики цепи / — амплитуда тока I — комплексная амплитуда тока !'(/) — мгновенное значение тока Jn(m) — функция Бесселя К(р), I— передаточная функция цепи на р-плоскости и на оси частот соответственно К(ио) K(ft>) — модульпередаточной функции Ко(р), — передаточная функция цепи, охваченной обратной связью Ko(t'(d) К(г) — передаточная функция дискретного фильтра на г-плоскости К.7-('<») — передаточная функция дискретного фильтра Ky(P)i — передаточная функция усилителя Ку(1Сй) KxW — ковариационная функция случайного процесса х (t) ^ам — крутизна характеристики амплитудного модулятора <:чм — крутизна характеристики частотного модулятора йфм — крутизна характеристики фазового модулятора L — индуктивность Ls(P} — преобразование Лапласа функции s (/) М — коэффициент модуляции, взаимоиндуктивность т — индекс угловой модуляции, база ЛЧМ сигнала р — комплексная переменная р(х} — одномерная плотность вероятности Q — добротность колебательного контура RxW — корреляционная функция случайного процесса х (t) /•д.(т) — нормированная корреляционная функция ^о^) — огибающая нормированной корреляционной функции S — крутизна характеристики активного элемента S(