С.И.БАСКАКОВ Радиотехнические цепи и сигналы Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве экспериментального учебника для студентов радиотехнических специальностей высших учебных заведений Москва «Высшая школа» 1983 ББК 32.841 Б27 УДК 621.396.1 Рецензенты: кафедра теоретических основ радиотехники МИРЭА; засл. деят. науки и техники РСФСР, проф., д-р техн. наук Н. И. Чистяков Баскаков С. И. Б 27 Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник. — М.: Высш. школа., 1983. — 536 с., ил. В-пер.: I р. 50 к. Учебник содержит систематическое изложение разделов теоретической радиотехники, входящих в программу курса «Радиотехнические цепи и сиг- налы». Рассматриваются вопросы общей теория сигналов и их спектральных представлений. Приводятся элементы статистической радиотехники и методы анализа прохождения сигналов через линейные, нелинейные и параметриче- ские системы. Излагаются теории цепей с обратной связью, автоколебатель- ных систем, устройств цифровой обработки сигналов, оптимальных линей- •ых фильтров. Для студентов радиотехнических специальностей вузов. Может быть использован радноинженерами и лицами, повышающими квалификацию в области теоретической радиотехники. 24ПЮММ—Овб Б —————————— КБ—40—4—81 001(ei)—83 ББК 32.841 6Ф2 Издательство «Высшая школа», 1983 Предисловие ........ 5 Введение .......... 8 ЧАСТЬ I РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ Глав а 1 Элементы общей теории рядио- • техмпесшх ствалов 11 1.1. Классификация радиотех- нических сигналов ..... 12 1.2. Динамическое представле- ние сигналов ........ 17 1.3. Геометрические методы в теории сигналов ...... 23 1.4. Теория ортогональных сиг- налов ........... 29 Глава 2 Спектральные представления сигналов .......... 40 2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье ........ .41 2.2- Спектральный анализ не- периодических сигналов. Пре- образование Фурье ..... 47 2.3. Основные свойства преоб- разования Фурье ...... 57 2.4- Спектральные плотности неинтегрируемых сигналов . 62 2-5. Преобразование Лапласа 67 2.6. Основные свойства пре- образования Лапласа .... 71 Глава 3 Эвергетическве спектры снгна- аиалваа ........... 77 3.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергети- ческий спектр ........ 77 3.2. Корреляционный анализ сигналов .......... 84 3.3. Функция автокорреляции дискретных сигналов .... 92 3.4. Взаимная функция корре- ляции двух сигналов .... 97 Глава 4 Модулвровавиые опалы . . 103 4.L Сигналы с амплитудной модуляцией ........ 104 4.2. Сигналы с угловой моду- ляцией ........... 114 4.3. Сигналы с внутриимпуль- сной частотной модуляцией . 125 Глава,? Сигвалы с (м раввченяым спек- тром ............ 135 5.1. Некоторые математиче- I* ские модели сигналов с ограни- ченным спектром и их свой- ства ............ 135 5.2. Теорема Котельникова . 140 5.3. Узкополосные сигналы . 146 5.4. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта . 152 Глава 6 Основы теории случайных ст- • валов ........... 166 6.1. Случайные величины и их характеристики ....... 166 6.2. Статистические характери- стики систем случайных вели- чин ............ 174 6.3. Случайные процессы . . 181 Глава 7 Коррелионмная теория случай- ных процессов ....... 193 7.1. Спектральные представле- ния стационарных случайных процессов ......... 193 7.2. Дифференцирование и ин- тегрирование случайных про- цессов ........... 201 7.3. Узкополосные случайные процессы .......... 209 ЧАСТЬ 2 РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕ- ПИ, УСТРОЙСТВА И СИС- ТЕМЫ Глава 8 Воздевствве дегермввврован- иых сигналов ва лвяе—ые ста- ционарные системы ..... 225 8.1. Физические системы и их математические модели . . . 226 8.2. Импульсные, переходные и частотные характеристики ли- нейных стационарных систем 230 8.3. Линейные динамические системы .......... 238 8.4. Спектральный метод . . 247 8.5. Операторный метод . . 256 Глава 9 Возденете детермшшрова—ых сигналов ва частотво-нзбнра- • тельные системы ...... 267 9.1. Модели частотно-избира- тельных цепей ....... 267 9.2. Частотно-избирательные цепи при широкополосных входных воздействиях .... 276 9.3. Частотно-избирательные цепи при узкополосаых вход- ных воздействиях ...... 283 4 Глава 10 Воздействие случайных сигна- лов на линейные стационарные цепи ............ 299 10.1. Спектральный метод ана- лиза прохождения случайных сигналов через линейные ста- ционарные цепи ...... 300 10.2. Источники флуктуацион- ных шумов в радиотехнических устройствах ........ 310 Глава 11 Преобразования сигналов в не- линейных радиотехнических це- пях ............ 322 11.1. Безынердионные нелиней- ные преобразования .... 323 11.2. Спектральный состав тока в безынерционном нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии .... 328 11.3. Нелинейные резонансные усилители и умножители час- тоты ............ 332 11.4. Безынерционные нелиней- ные преобразования суммы гар- монических сигналов .... 336 11.5. Амплитудная модуляция. Детектирование АМ-сигналов 340 11.6. Воздействие стационар- ных случайных сигналов на безынерционные нелинейные цепи ............ 347 Глава 12 Преобразования сигналов в ли- нейных параметрических цепях 355 12.1. Прохождение сигналов через резистивные параметри- ческие цепи ......... 356 12.2. Энергетические соотно- шения в параметрических реак- тивных элементах цепи . . . 363 12.3. Принципы параметриче- ского усиления ....... 368 12.4. Нестационарные динами- ческие системы ....... 377 12.5. Воздействие гармониче- ских сигналов на параметриче- ские системы со случайными ха- рактеристиками ....... 383 Глава 13 Основные теории синтеза линей- ных радиотехнических цепей 391 13.1. Аналитические свойства входного сопротивления линей- ного пассивного двухполюс- ника ............ 392 13.2. Синтез пассивных двухпо- люсников .......... 397 13.3. Частотные характеристи- ки четырехполюсников . . . 402 13.4. Фильтры нижних частот 407 13.5. Реализация фильтров 414 Глава 14 Активные цепи с обратной свя- зью и автоколебательные сис- темы ............ 421 14.1. Передаточная функция линейной системы с обратной связью ........... 421 14.2. Устойчивость цепей с об- ратной связью ....... 427 14.3. Активные ЯС-фильтры . 433 14.4. Автогенераторы гармони- ческих колебаний. Режим мало- го сигнала ......... 439 14.5. Автогенераторы гармони- ческих колебаний. Режим боль- шого сигнала ........ 449 Глава 15 Дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрации .... 462 15.1. Дискретные импульсные последовательности ..... 463 15.2. Дискретизация периоди- ческих сигналов ...... 468 15.3. Теория г-преобразования 473 15.4. Цифровые фильтры . . 478 15.5. Реализация алгоритмов цифровой фильтрации .... 485 15.6. Синтез линейных цифро- вых фильтров ....... 494 Глава 16 Оптимальная линейная фильтра- ция сигналов ........ 504 16.1. Оптимальная линейная фильтрация сигналов извест- ной формы ......... 505 16.2. Реализация согласован- | ных фильтров ....... 511 16.3. Оптимальная фильтрация случайных сигналов ..... 521 Приложения ........ 527 Рекомендуемая литература . 530 Предметный указатель . . 532 Предисловие Курс «Радиотехнические цепи и сигналы» в настоящее время занимает одно из центральных мест среди фундаментальных дисциплин, определяющих своим содержа- нием профессиональную подготовку радиоинженеров. Следуя за направлением на- учно-технического прогресса, отражая тенденции развития элементной базы радио- электроники и ее теоретического арсенала, этот курс объединяет и систематизирует наиболее важные принципы в области радиотехники. Содержание данной книги соответствует программе курса «Радиотехнические цепи и сигналы», утвержденной MB и ССО СССР. Предполагается, что читатель. приступающий к изучению книги, прослушал ряд предшествующих курсов, а именно: «Введение в специальность», «Высшая математика», «Физика», «Основы теории цепей» и «Электронные приборы». Работая над текстом, автор придерживался концепции возможно более тесного сближения излагаемого материала с практикой учебной работы в вузе. Это в первую очередь определило принцип отбора материала и степень детальности освещения: на страницы книги вынесено лишь то, что, как показывает практический опыт препо- давания, может быть полностью усвоено студентами за отведенное на это время. Изучение конкретных схемотехнических решений, их сравнительный анализ — все это относится уже к специальным инженерным дисциплинам; изучаемым позднее. Курс «Радиотехнические цепи и сигналы» отличается разнообразием содержания, обилием понятий и методов, с которыми учащиеся сталкиваются впервые. Большую роль в этом курсе играют математические приемы исследования. Прочное овладение ими совершенно обязательно, поскольку они служат логическим фундаментом постро- ения последующих радиотехнических дисциплин. Для связи теоретических положений и радиотехнической практики в главах книги содержится много примеров, раскрываю- щих характерные приемы инженерного анализа. Содержание и структура книги. Книга состоит из двух частей. Первая часть РАДИО- ТЕХНИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ знакомит читателя с методами, принятыми в настоя- щее время для описания и изучения свойств сигналов. Рассматриваются вопросы клас- сификации сигналов, фундаментальный принцип геометрической трактовки прост- ранства сигналов, спектральный и корреляционный анализ детерминированных ко- лебаний, теория модулированных радиосигналов, а также дискретное представление непрерывных сигналов с ограниченным спектром. Подробно излагаются методы описания и измерения характеристик случайных сигналов. Во второй части РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ, УСТРОЙСТВА И СИСТЕМЫ читатель найдет систематическое изложение принципов анализа и расчета явлений про- хождения разнообразных сигналов, как детерминированных, так и случайных, через линейные и нелинейные радиотехнические цепи. Особо подчеркнута роль узкополосных частотно-избирательных цепей. Рассмотрены приемы синтеза линейных четырех- полюсников и двухполюсников с заданными частотными характеристиками, а также вопросы прохождения сигналов через линейные параметрические цепи. Изучая безы- нерционные нелинейные цепи, читатель знакомится с важнейшими видами преобра- зований сигналов — модуляцией, детектированием, умножением и преобразованием частоты. Рассмотрена теория автогенераторов гармонических колебаний. Изложены направления, возникшие в радиотехнике сравнительно недавно под влиянием успехов микроэлектронной технологии. Сюда относятся активные фильтры для обработки аналоговых сигналов и как одно из наиболее перспективных направлений — цифровая фильтрация сигналов. Наконец, приведены элементы теории оптимальной линейной фильтрации детерминированных и случайных сигналов. Открыв эту книгу, читатель, безусловно, обратит внимание на принцип оформле- ния ее страниц. Здесь наряду с основным текстом имеются поля, на которые вынесена вспомогательная, дополнительная и наглядно-графическая информация. В частности, на полях сосредоточены'. 1. НАПОМИНАНИЯ, относящиеся к ранее пройденным учебным курсам, на- пример к курсам основ теории цепей и физики. 2. СВЕДЕНИЯ СПРАВОЧНОГО ХАРАКТЕРА, такие, как. значения фундамен- тальных физических констант, табличные интегралы и т. д. 3. КРАТКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ, цель которых — показать наличие межпредметных связей, обратить внимание на общность методов, принятых в радиотехнике и других, порой далеких, областях научной и прикладной деятельности. 4. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РИСУНКИ, которые в тексте, как правило, не упоми- наются, однако служат неотъемлемыми элементами излагаемого учебного материала. Наличие этих рисунков, помимо сокращения объема книги, дает возможность в извест- ной мере приблизить стиль книжного изложения к стилю живой" лекторской речи. 5. УКАЗАНИЯ, помогающие организовать работу читателя с текстом. На полях книги в соответствующих местах появляются следующие сигнальные значки: • — в данном месте текста описан некоторый принцип, имеющий первостепен- ное значение для радиотехники; • — указание на то, что в тексте сформулировано новое понятие, которое чита- телю предлагается запомнить; х — читателю рекомендуется решить соответствующую задачу из числа приве- денных в конце главы; данная задача иллюстрирует положения, изложенные в основ- ном тексте. В настоящее время учебный процесс в вузе характеризуется высокой интенсивно- стью. Это требует от учащегося четкого планирования своего времени. Стремясь помочь студентам в этом важном деле, автор уделил особое внимание оптимальной дозировке материала, предлагаемого для усвоения и повторной проработки. Каждая глава книги отвечает отдельной большой теме лекционного курса. Основ- ной структурной единицей главы является параграф, приближенный по своему объему к отдельной лекции. Самая мелкая структурная единица — раздел параграфа, в кото- ром содержится некоторый завершенный вопрос. В конце каждой главы помещены РЕЗУЛЬТАТЫ, прочное знание которых являет- ся обязательным. Следующей, более активной фазой самоконтроля являются ответы на ВОПРОСЫ. Особенно большую пользу эта работа может принести студентам в ходе подготовки к экзаменам. Желательно, чтобы читатель по мере изучения курса постоянно обращался к раз- делу ЗАДАЧИ. Здесь собран материал для самостоятельной работы, по тематике и уровню сложности отвечающий содержанию той или иной главы. В методический аппарат каждой главы включен факультативный раздел БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ЗАДАНИЯ. Работа над этими заданиями рекомендуется студентам, которые глубоко интересуются методами теоретической радиотехники и имеют склон- ность к научным исследованиям. В основу данной книги положен материал лекций, читаемых автором на радиотех- ническом факультете Московского ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции энергетического института. Автор признателен своим коллегам и в особенности проф. Н. Н. Федорову, проф. Г. Д. Лобову, доц. А. М. Николаеву, доц. В. П. Жукову и доц. В. Г. Карташеву за неизменную поддержку и ценные советы. Большую помощь при подготовке рукописи книги оказали критические замечания и рекомендации рецензентов проф. Н. И. Чистякова и проф. К. А. Самойло. Автор благодарит проф. И. С. Гоноровского, любезно согласившегося ознакомиться с окончательным вариантом рукописи. Отзывы о книге направляйте по адресу: Москва, К-51, Неглинная ул., 29/14, изд-во «Высшая школа». Автор Введение В решениях XXVI съезда КПСС существенное значение придается ускорению научно-технического прогресса. К числу важных областей науки и техники, достиже- ния которых непосредственно способствуют росту материального и культурного уров- ня нашего общества, принадлежит радиотехника. Радиотехника — научно-техническая область, задачами которой являются: 1) изучение принципов генерации, усиления, излучения и приема электромагнит- ных колебаний и волн, относящихся к радиодиапазону; 2) практическое использование этих колебаний и волн для целей передачи, хранения и преобразования информации. На первоначальном этапе своего развития, вслед за изобретением радио А. С. По- повым в 1895 г., радиотехника решала преимущественно проблемы электросвязи, используя электромагнитные колебания с длинами волн в несколько сотен или тысяч метров. В настоящее время круг применений радиотехники необычайно расширился. Радиосвязь, телевидение, радиоуправление, радиолокация, радионавигация, радио- технические методы в биологии, медицине, геофизике — таков далеко не полный пе- речень отраслей радиотехники. Науку, занимающуюся физическими основами радиотехники, называют радио- физикой. Радиофизика — ветвь прикладного естествознания, тесно связанная с такими фундаментальными областями, как квантовая механика, физика твердого тела и др. Проникновение радиотехники в смежные области (электронику, вычислительную технику) обусловило возникновение широкой научно-технической области, получив- шей собирательное название радиоэлектроники. Радиотехника и радиоэлектроника получили всестороннее развитие в нашей стране. Большой общепризнанный вклад в фундаментальные основы радиотехники внесли советские ученые — академики Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси, В. А. Фок, А. И. Берг, В. А. Котельников и многие другие. Как известно читателю из материала курса «Введение в специальность», передача сообщения от источника к получателю с помощью радиотехнических методов осу- ществляется по радиоканалу. Основные элементы радиоканала — передатчик, прием- ник и та физическая среда, в которой происходит распространение электромагнитных волн. Средой распространения может быть как свободное пространство, так и специ- альные технические устройства — волноводы, кабели и другие линии передачи. Сигнал, поступающий от первичного источника сообщений, на передающей сторо- не радиоканала с помощью микрофона, телевизионной камеры или других подобных устройств преобразуется в электрические колебания. Эти колебания не могут быть непосредственно использованы для возбуждения электромагнитных волн по причине 9 их относительной низкочастотности. Поэтому в радиотехнике применяют способы передачи сигналов, основанные на том, что низкочастотные колебания, содержащие исходное сообщение, с помощью специальных устройств управляют параметрами достаточно мощного несущего колебания, частота которого лежит в радиодиапазоне. Процесс подобного преобразования сигналов называют модуляцией несущего ко- лебания. Модулированный сигнал излучается антенной передатчика. Возбужденные при этом электромагнитные волны вызывают появление в антенне приемника радиосиг- нала, уровень которого обычно весьма мал. После частотной фильтрации и усиления принятый сигнал должен быть подвергнут демодуляции (детектированию) — опера- ции, обратной по отношению к модуляции. В результате на выходе приемника возни- кает колебание, являющееся копией переданного исходного сообщения. Приведенное описание принципа функционирования простейшего радиоканала подчеркивает, что передача сообщений по радиоканалу сопровождается разнообраз- ными преобразованиями сигналов. Эти преобразования осуществляются посредством соответствующих физических систем — радиотехнических цепей. Каждая радиотехни- ческая цепь выполняет определенную операцию над сигналами; характер этой опе- рации целиком зависит от внутренней структуры данной физической системы. Так, принято различать усилители, фильтрующие частотно-избирательные системы, пре- образователи формы электрических колебаний, модуляторы, детекторы и многие другие виды радиотехнических цепей, рассматриваемые в данном курсе. В любом реальном радиоканале помимо полезного сигнала неизбежно присутству- ют помехи, возникающие по многим причинам — из-за хаотического теплового дви- жения электронов в элементах цепей, несовершенства контактов в аппаратуре, влия- ния соседних радиоканалов с близкими несущими частотами, наличия в пространстве шумового космического радиоизлучения и т. д. Способность радиотехнических средств передачи информации противодействовать вредному влиянию помех и обеспечивать высокую верность передачи называют помехоустойчивостью. В современной радио- технике задача создания помехоустойчивых систем является одной из центральных. Отдельная отрасль, получившая название статистической радиотехники и базирую- щаяся на вероятностных методах, занимается теорией и практикой построения таких систем. Одним из наиболее действенных путей достижения высокой помехоустойчи- вости является использование совершенных видов модуляции сигналов, в частности помехоустойчивого кодирования сообщений. Итак, в курсе «Радиотехнические цепи и сигналы» изучаются следующие основные вопросы: 1. Свойства разнообразных сигналов и помех, а также принципы их математического описания. 2. Свойства физических систем, выполняющих роль радиотехнических цепей. 3. Методы анализа преобразований сигналов в радиотехнических цепях, способы построения основных видов цепей. 4. Приемы синтеза радиотехнических цепей с заданными свойствами. В наши дни радиотехника является бурно развивающейся научно-прикладной об- 10 ластью. Говоря о перспективах ее ближайшего развития, следует сказать о тенденции перехода ко все более высокочастотным диапазонам электромагнитных колебаний и волн. Так, колебания сверхвысокочастотного диапазона (СВЧ), ранее применяв- шиеся в основном в радиолокации, стали широко использоваться в телевизионных, связных и телеметрических радиоканалах. Достигнуты большие успехи в создании лазерных линий связи с несущими частотами, лежащими в световом и инфракрасном диапазонах. Быстрыми темпами идет развитие элементной базы радиотехники и радиоэлектро- ники. Если традиционные радиотехнические цепи представляют собой почти исклю- чительно комбинации линейных и нелинейных электрических цепей, то сейчас интен- сивно исследуются и внедряются в практику функциональные устройства и системы, производящие обработку сигналов за счет специфических волновых и колебательных явлений в твердых телах — в полупроводниках, диэлектриках и магнитных материа- лах. Огромную роль в современной радиотехнике играют изделия микроэлектронной технологии. Доступные, надежные и быстродействующие интегральные схемы ока- зали большое влияние на многие области радиотехники. Микроэлектроника обусло- вила возможность широкого перехода к принципиально новым цифровым способам обработки и преобразования радиотехнических сигналов. Есть все основания считать, что отрасли радиотехники будут и впредь расширяться и развиваться на базе прогресса во многих Смежных областях науки и техники. 1. Радиотехнические сигналы Глава 1 Элементы общей теории радиотехнических сигналов Термин «сигнал» часто встречается не только в областях науки и техники, но и в повседневной жизни. Не задумываясь о строгости терминологии, мы иногда отождествляем такие понятия, как сигнал, сообщение, информация. Обычно это не приводит к недоразумениям, поскольку слово «сигнал» ведет свое происхождение от латинского термина «signum» — «знак», имеющего широкий смысловой диапазон. Тем не менее, при- ступая к систематическому изучению теоретической радиотех- ники, следует по возможности уточнить содержательный смысл понятия сигнала. В соответствии с принятой традицией сигна- лом называют процесс изменения во времени физического со- стояния какого-либо объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. В практике человеческой деятельности сообщения неразрывно связаны с заключенной в них информацией. Круг вопросов, базирующихся на понятиях «сообщение» и «информация», весьма широк. Они являются объектом при- стального внимания инженеров, математиков, лингвистов, фи- Информация наряду с веществом и полем относится к важнейшим категориям естествознания 12 Элементы общей теории сигналов 1.1 Классификация радиотехнических сигналов математическая модель В большинстве случаев носителями радиотехнических сигналов являются электромагнитные колебания лософов, В 40-х годах К. Шеннон завершил первоначальный этап разработки нового научного направления — теории ин- формации. Затрагиваемые в теории информации проблемы, как прави- ло, далеко выходят за рамки курса «Радиотехнические цепи и сигналы», поэтому в данной книге не будет излагаться связь между физическим обликом сигнала и смыслом заключенного в нем сообщения. Тем более не обсуждается вопрос о ценности информации, заключенной в сообщении и, в конечном счете. в сигнале. Приступая к изучению каких-либо новых объектов или яв- лений, всегда стремятся провести их предварительную класси- фикацию. Наша основная цель на данном этапе—выработка критериев классификации сигналов, а также, что очень важно для последующего, установление определенной терминологии. Сигнал и его математическая модель. Сигналы как некоторые физические процессы можно наблюдать с помощью различных приборов и устройств — электронных осциллографов, вольт- метров, приемников. Такой эмпирический подход имеет сущест- венный недостаток. Явления, изучаемые экспериментатором, всегда выступают как частные, единичные проявления, лишен- ные той степени обобщенности, которая позволила бы судить об их фундаментальных свойствах, предсказывать результаты в изменившихся условиях. Для того чтобы сделать сигналы объектами теоретического изучения и расчетов, следует указать способ их математического описания, или, говоря языком современной науки, создать ма- тематическую модель исследуемого сигнала. Математическая модель сигнала представляет собой функ- циональную зависимость, в которой аргументом является время. Как правило, в дальнейшем математические модели сигналов будут обозначаться символами латинского алфавита s(t), u(t), /(О и т. д. Выбор модели (в данном случае физического сигнала) явля- ется первым важным шагом на пути к систематическому изуче- нию явления. Прежде всего математическая модель позволяет 'абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напряженность электро- магнитного поля и т. д. Вторая существенная сторона метода, базирующегося на понятии математической модели, заключена в том, что пред- Классификация радиотехнических сигналов 13 ставляется возможным описывать именно те свойства сигна- лов, которые объективно выступают как наиболее важные. При этом игнорируется большое число второстепенных, мало- существенных признаков. Например, в подавляющем большин- стве случаев было бы крайне затруднительно подобрать точные функциональные зависимости, которые соответствовали бы электрическим колебаниям, наблюдаемым экспериментально. Тем не менее исследователь, руководствуясь всей совокупно- стью сведений, которые ему доступны о системе в целом, вы- бирает из наличного арсенала математических моделей сигна- лов те, которые в конкретной ситуации наилучшим образом описывают физический процесс при наибольшей простоте. Итак, выбор модели — процесс в той или иной степени творче- ский. Функции, описывающие сигналы, могут принимать как ве- щественные, так и комплексные значения, поэтому в дальней- шем мы часто будем говорить о вещественных и комплексных моделях сигналов. Использование одного или другого способа — исключительно дело математического удобства. Знание математических моделей сигналов дает возможность сравнивать их между собой, устанавливать тождество и разли- чие и в конечном счете проводить их классификацию. Одномерные и многомерные сигналы. Типичным для ра- диотехники сигналом является напряжение на зажимах какой- либо цепи или ток, протекающий в ветви. Такой сигнал, опи- сываемый одной функцией времени, принято называть одномер- ным. В этой книге мы чаще всего будем изучать именно одно- мерные сигналы. Тем не менее иногда удобно вводить в рас- смотрение многомерные сигналы вида ^(0=^i(0. ^(t)....,v^(t)\, образованные некоторым множеством одномерных сигналов. Целое число N называют размерностью такого сигнала (терми- нология заимствована из линейной алгебры). Понятие многомерного сигнала иллюстрируется, например, системой напряжений на зажимах многополюсника. Важно отметить, что многомерный сигнал — упорядоченная совокупность одномерных сигналов. Поэтому в общем случае сигналы с различным порядком следования компонент не равны друг другу: {"1. V-t} ^ S. Такая функция описывает процесс перехода некоторого фи- зического объекта из «нулевого» в «единичное» состояние, причем этот переход совершается по линейному закону за вре- мя 2Е,. Если параметр S, устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет совершаться мгновенно. Математическая модель этого предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда Динамическое представление сигналов 19 «О, Оливер Хевисайд 0(0= 1 °-{ 0.5. t=0, (1.2) (1850-1925)-английсний физик 1 1, t>0. С помощью функции o(t) удобно описывать разнообразные процессы коммутации в электрических цепях. В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину ty. Запись смещенной функции такова: О, /<о- (1.3) Приведенный здесь способ определения функции включения не является единственно возможным. Например, функции, об- разующие последовательность "»(/)= 1 + ехр (— nt) как нетрудно проверить, с ростом номера п все более точно аппроксимируют собой разрывный сигнал, претерпевающий скачок на единицу при t=0. В теоретической радиотехнике функции включения очень широко используются для описания разрывных, в частности импульсных, сигналов. 15 10 - 5 - О 2.5 5.0 7.5 10 решите задачи 1 и 2 Пример 1.1. Имеется импульсный сигнал v прямоугольной формы длительностью 5 мкс и амплитудой 15 В. Начало отсчета времени совпа- дает с фронтом импульса. Записать аналитическое выражение этого сигнала. Эффект скачка уровня при t=0 описывается фунцией c=15[i(t). Для того чтобы импульс окончился при 4= 5 • 10'6 с, необходимо вычесть такой же импульс включения, запаздывающий на этот отрезок времени. так что о(<)=15в(<)—1&»(<—5. 10-«) В. Пример 1.1. Источник э.д.с., линейно изменяющийся во времени по закону e(t)=3.0- Vft В, подключается к внешним цепям идеальным ком- мутатором, срабатывающим в момент времени 1ц—1 мкс. Записать математическую модель для напряжения на выходе такой системы. При временах, меньших 2 мкс. напряжение на выходе источника равно нулю, поэтому очевидно, что и (<) = 3.0 • 10*< - э (f — 2 • 10-^) В. 20 Элементы общей теории сигналов и.В 1=2 МКС -0 t.MKC Этот процесс можно записать и по-иному, представив его как сумму импульса включения, возникающего в момент срабатывания коммута- тора, и линейно нарастающего импульса: и (0 =[6+3. 10"(<—2. 10-*)]э(<—2. 10-*) В. Динамическое представление произвольного сигнала с по- мощью функций включения. Рассмотрим некоторый сигнал s(t), причем для определенности положим, что s(t)=0 при t<0. Пусть {А, 2А, ЗА, ...} —последовательность моментов времени и {.У] ,А'д, Sy, ...} — соответствующая им последовательность зна- чений сигнала. Если Sy == s(0) — начальное значение, то, как видно из построения, текущее значение сигнала при любом ( приближенно равняется сумме ступенчатых функций: s (/) w SoO (0 + (si — so) ст (/ — Л) + (s, —Si)(T(/—2A)4-...= == s„a (/) + ^ (Sft - s„.i) a{t— kA). Если теперь шаг Л устремить к нулю, то дискретную перемен- ную /сА можно будет заменить непрерывной переменной т. Малые приращения (^ — ^ _, ) превратятся в дифференциалы ds =((Ь-/с1т)ат, и мы приходим к форме динамического пред- ставления произвольного сигнала: (1.4) 00 s(/)= =s„o(Q4 h! ds dr o(t- -Т) dT. о Пример \Л.Сигнал s(t) равен нулю при t<0 и изменяется по закону квадратичной параболы s(t}= At2 при t>0. Найти динамическое пред- ставление этого сигнала. Динамическое представление сигналов 21 Здесь ^о=0- ds/d-c =2Лт, поэтому 00 s(<)=2A С •сэ(<—т)<Ь. Смысл последней формулы в том, что высота элементарных ступенек, из которых складывается сигнал, линейно нарастает во времени. Переходя ко второму способу динамического представления сигналов, когда элементами разложения служат короткие им- пульсы, следует ввести новое важное понятие. Дельта-функция. Рассмотрим импульсный сигнал прямо- угольной формы, заданный следующим образом: v(t; S) [°( at + о t f^-41- V 2 /J (1.5) Этот импульс характерен тем, что при любом выборе пара- метра ?, его площадь равна единице: П. 1. Например, если и — напряжение, то П„ = 1 В • с. Пусть теперь величина t, стремится к нулю. Импульс, сокра- щаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел после- довательности таких функций при ^->0 носит название дельта- функции или функции Дирака: 8(<)=limo(/; S). (1.6) s-»o Дельта-функция — весьма интересный математический объ- ект. Будучи равной нулю всюду, за исключением точки t=0 (принято говорить, что она сосредоточена в этой точке), эта функция тем не менее обладает единичным интегралом й(< - 1„) С 8(/)d/= 1. (1.7) Функция Дирака с точки зрения математики является обоб- „ щенной функцией. В настоящее время теория обобщенных функ- изображение дельта- ций получила самое широкое развитие. Она позволила во мно- функции 22 Элементы общей теории сигналов гих областях науки изучать разрывные процессы, описание ко- торых средствами классического анализа затруднительно. В данном курсе аппарат дельта-функций будет использован постоянно. Основная причина популярности дельта-функции во многих физических задачах связана со следующим. Напомним известное положение механики: если на материальную точку массой т а интервале времени [t],^] действует переменная сила F(t), то изменение количества движения точки mo,—CTt>i= I F(f)dl. ^ Таким образом, существенно важна не сама сила, а ее им- решите задачу 15 пульс, фигурирующий в правой части последнего равенства. Дельта-функция как раз и является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (пло- щадью). В математике показано, что свойства дельта-функции при- сущи многим последовательностям обычных классических функ- ций. Приведем два характерных примера [1]: S (/) = lim Vn/(2v) exp (— n/«/2); (1.8) П-fr-OO 8(0= lim sinnt . (1.9) я-»оо Я^ Динамическое представление сигналов с помощью дельта- функций. Вернемся к задаче описания аналогового сигнала по- средством суммы примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 1.3, б). Если si, —значение сигнала на fe-м от- счете, то элементарный импульс с номером k представляется так: th(0=Sklo(<-^)-o(/-/k-A)]. (1.10) По принципу динамического представления исходный сиг- нал s(t) должен рассматриваться как сумма таких элементар- ных слагаемых: s(t)= 2 Tk(0- (L11) k==—oo В этой сумме при любом t, отличном от нуля, будет только один член, отвечающий тому номеру k, который удовлетворяет не- равенству ^« 0, мы должны заменить сумми- рование операцией интегрирования по формальной перемен- ной т, дифференциал которой dx будет аналогичен величине А. Поскольку lim |а(<—т)—а(/—т—А)]-!-==$(/—т), А->.0 Л получим искомую формулу динамического представления сиг- нала Г s(<)= С s(T)S(f—T)dT. (1.12) Отметим важное свойство дельта-функции: ее физическая размерность такая же, как и размерность частоты. Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта- функцию и произведение проинтегрировать по времени, то ре- зультат будет равен значению непрерывной функции в той точ- ке, где сосредоточен 8-импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции. В частности, отсюда вытекает структурная схема системы, осуществляющей измерение мгновенных значений некоторого сигнала s(t). Система должна состоять из двух звеньев: пере- множителя и интегратора. Ясно, что измерение величины s(to) будет тем точнее, чем короче реальный сигнал (например, пря- моугольный видеоимпульс), приближенно представляющий дельта-функцию. При решении многих теоретических и прикладных задач радиотехники возникают такие вопросы: 1) в каком смысле можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, что один сигнал значительно превосходит другой? 2) можно ли объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала «похожи» друг на друга? В XX в. в математике были разработаны мощные методы функционального анализа, обобщающие наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства. Ока- залось, что идеи функционального анализа дают возможность фильтрующее свойстьо дельта-функции 6(' - 'о) 1.3 Геометрические методы в теории сигналов 24 Элементы общей теории сигналов создать стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным образом скон- струированном бесконечномерном пространстве. Линейное пространство сигналов. Пусть M=[s^t), s^(t),...}— некоторое множество сигналов. Причина объединения этих объектов,—наличие у каждого сигнала некоторых свойств, общих для всех элементов множества М. Пример 1.4. Множество М образовано всевозможными аналоговыми сигналами, отличными от нуля в интервале времени [0,15 мкс] и равными нулю вне этого интервала. Пример 1.5. Множество М состоит из сигналов вида s,(t) = = Aj cos ((Oyt + vfj) — гармонических колебаний, отличающихся своими ам- плитудами, частотами и начальными фазами. Исследование свойств сигналов, образующих такие мно- жества, возможно в случаях, когда удается проследить взаимо- связь между отдельными сигналами. Принято говорить, что при этом множество сигналов наделено определенной структу- рой. Выбор той или иной структуры в множестве диктуется физическими соображениями. Так, применительно к электриче- ским колебаниям известно, что они могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это позволяет для некоторых множеств вводить структуру линей- ного пространства. Для того чтобы множество сигналов М образовывало ве- щественное линейное пространство, должны выполняться сле- дующие условия (аксиомы): ц 1. Любой сигнал иСМ при любых t принимает лишь вещест- структура линейного венные значения. пространства 2. Для любых иСМ и vCM существует их сумма w=u+v, причем w также содержится в М. При этом операция суммиро- вания коммутативна: и + и== о+ " и ассоциативна: и + (v + х) = (и + v) + х. 3. Для любого сигнала sCM и любого вещественного числа а определен сигнал f= asC M. 4. Множество М содержит особый нулевой элемент 0 такой, что и+ ф=и для всех иСМ. Если рассматривать математические модели сигналов, при- нимающих комплексные значения, а также допустить в аксио- Геометрические методы в теории сигналов 25 ме 3 умножение на комплексное число, то приходим к понятию комплексного линейного пространства. Введение структуры линейного пространства является пер- вым шагом на пути к геометрической трактовке сигналов. Элементы линейных пространств часто называют векторами, • чтобы подчеркнуть аналогию свойств этих объектов и обычных векторы трехмерных векторов. Ограничения, налагаемые аксиомами линейного простран- ства, весьма жестки. Далеко не каждое множество сигналов является линейным пространством. Пример 1.6. Множество М образовано прямоугольными видеоим- пульсами напряжения, существующими на интервале времени [0, 20 мкс], причем амплитуды этих импульсов не превосходят 10 В. Можно ли счи- тать данное множество линейным пространством7 Сложив, например, импульсы с амплитудами 6 и 8 В, получаем импульс, не содержащийся в множестве М. Поэтому М не образует ли- нейное пространство. Понятие координатного базиса. Как и обычное трехмерное пространство, линейное пространство сигналов может быть снабжено специальной структурой, играющей роль системы координат. Говорят, что совокупность векторов {е,, е^, е^, ...}, принадлежащих М, является линейно независимым координат- % ным базисом, если равенство линейная независимость ^1^=Ф (1.13) «• возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов а,. Если дано разложение некоторого сигнала s(t) в виде s(^)= ^c,e„ i то числа {GI, Сд, ...} являются проекциями сигнала s(t) относи- тельно выбранного базиса. В задачах теории .сигналов число базисных векторов, как правило, неограниченно велико. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. , Пример 1.7. Если линейное пространство образовано сигналами, ко- торые описываются многочленами неограниченно высокого порядка: п=0 26 Элементы общей теории сигналов (такие функции называются аналитическими), то координатным базисом в этом пространстве служит система одночленов {«?, == 1; е» = Г, е, =<•;...). • норма сигнала Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала. Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствовало бы длине вектора. Это по- зволит не только придать точный смысл высказыванию вида «первый сигнал больше второго», но и указать, насколько он больше. Аналог длины вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору s(t)? L однозначно сопоставлено число ][s|| —норма этого вектора, причем должны быть выполнены следующие аксиомы нормированного пространства: 1. Норма неотрицательна, т. е. ||s| >0, причем j|s|| =0 тогда и только тогда, если s=0. 2. Для любого числа а справедливо равенство || as || == | а | . || s || . 3. Если s(t) и p(t) — два вектора из L, то выполняется не- равенство треугольника \\s+p\\< ||s||+ II/» II. Норма сигналов может вводиться различными способами. В радиотехнике чаще всего полагают, что вещественные сигналы имеют норму /I (1.14) (из двух возможных значений корня выбирается положитель- ное). Для комплексных сигналов / f ss*dl , (1.15) энергия сигнала Если сигнал отображает напряжение, то размерность его энергии В2 • с где * —символ комплексно-сопряженной величины. Квадрат нормы носит название энергии сигнала'. по Е,= (|sB«= J s*(/)d/. (1.16) Геометрические методы в теории сигналов 27 Именно такая энергия будет выделена в резисторе с сопротив- лением 1 Ом. если на его .зажимах будет действовать напряже- ние s(t). Пример 1.8. Вычислить энергию и норму сигнала s(t), представляю- щего собой импульс напряжения; форма импульса треугольная с высо- той U и длительностью т„. В интервале времени [0, т,] сигнал описывается функцией s(t)= =l/t/x.. Энергия сигнала f,= (U*/t2) J <* О, 2) (и, v)=(v, и}, 3) (Xu, v) =К (и, v). где К — число, 4) (и + и, w) = (и, w) + (о, a'). Линейное пространство, в котором введено скалярное про- изведение (1.20), причем справедливы условия (1.22), называ- ется вещественным гильбертовым пространством §6. В математике доказывается, что в гильбертовом простран- стве справедливо фундаментальное неравенство Коши—Буня- ковского (и, v) | < Ни» - И и (1.23) Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в него скалярное произведение по формуле (и, и)^= f u(t)o\t)dt. (1.24) (1-22) Пример 1.11. Имеются два смещенных во времени жспоненциальных импульса напряжения (В): ^(^Sexpt—lO5^^); и, (0 = 5ехр (— W (t —2 • 10-*)) u (t —2 • 10-*). Найти скалярное произведение данных сигналов, а также угол между ними. Энергия этих сигналов одинакова: II "ill2 =11"» II2 =25 J e о Скалярное произведение (ui, м,) =25 \ e —2-10'f d/= 1.25- 10-* В2-с. Отсюда cos^ =0.819н')< '"t. U, 'ttt. ", =35°. Теория ортогональных сигналов 31 Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Два сиг- нала и я v называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю: (u, o)= f u(t)v(t)dt=0. (1.25) принцип ортогональности Образно говоря, ортогональные сигналы предельно «непо- хожи» друг на друга. Пусть S6—гильбертово пространство сигналов с конеч- ным значением энергии. Эти сигналы определены в промежутке времени [t,, tJ, конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же интервале задана бесконечная система функций {u^, и-^,..., и»,...}, попарно ортогональных друг другу и обла- дающих единичными нормами: {1, если i == j, (u.u.)= „ ... (1.26) • ' •" 0. если 1ф}. Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан орто- нормированньш базис. , Разложим произвольный сигнал s(t)?^s ряд: (1.27) орто!!0рмированны" базис Представление (1-27) называется обобщенны.^ рядом Фурье сиг- нала s(t) в выбранном базисе. Коэффициенты этого ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию щ с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (1.27) и затем проинтегри- руем результаты по интервалу времени, в котором заданы сиг- налы: t, оо /, \s(t}u^(t}dt= Vc. fu.u„d/. J ^— J (1.28) Ввиду ортонормированности базиса в правой части (1.28) остается только член суммы с номером /=fe, поэтому Ch= \s{t)Uk(t)dt={s,u^. ?, (1.29) алгоритм вычисления коэффициентов обобщенного ряда Фурье Возможность представления сигналов посредством обоб- щенных рядов Фурье является фактом большого принципиаль- 32 Элементы общей теории сигналов ного значения. Вместо того, чтобы изучать функциональную за- висимость в несчетном 'множестве точек, мы получаем возмож- ность характеризовать эти сигналы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье Ck, которые представляют собой проекции вектора s(t) в гиль- бертовом пространстве на базисные направления. Примеры ортонормированных базисов. Способы построения бесконечных систем взаимно ортогональных функций подробно изучены в математике (см., например, [2]). Здесь в качестве примеров будут приведены два наиболее важных и распростра- ненных случая. О'ртонормированная система гармонических сигналов. Чита- тель может самостоятельно убедиться в том, что на интервале [О, 7] система тригонометрических функций с кратными часто- тами, дополненная постоянным во времени сигналом: «„= 1/УТ, Ui= l/"27Tsin27r//r, u, == l/"27rcos27r//T, (1-30) Сигналы, соответствующи е функциям Уолша, легко генерируются с помощью микроэлектронных переключательных устройств "2m-l == V L" SinCT/TU^, u^ = /27Tcos 2v.mtlT , образует ортонормированный базис. Разложение периодических функций в ряды по этой системе будет подробно рассмотрено в следующей главе. Система функций Уолша. В последнее время под влиянием методов обработки дискретных сигналов широкое распростра- нение получила ортонормированная система функций Уолша Эти функции характерны тем, что на интервале своего сущест- вования [—Т/2, Т/2] они принимают лишь значения ± 1, которые отличаются лишь знаками. Введем безразмерное время 9= г/Г и будем обозначать k-ю функцию Уолша, как это принято, символом wal (k. У). Способ аналитического задания этих функций несколько сло- жен (см. Приложение 1). Однако идею образования их легко усмотреть из рис. 1.4, на котором изображены графики несколь- ких первых функций Уолша. Интересно Отметить, что номер функции k равен числу пе- ремен знака на интервале ее существования. Теория ортогональных сигналов 33 +1 +1 -1 Рис. 1.4. Графики нескольких первых функций Уолша Очевидно условие нормировки функций Уолша при любом значении k: 1/2 || wal (k, О) ||2 -- Г wal2 (*, ft) d» = 1. Ортогональность этих функций обеспечивается принципом их построения и может быть проверена непосредственно. На- пример, 1/2 -I /4- О [ wal(l, »)wal(2, <))(Ь1) == t' (— \)2^ ^- f(-l)-ld&+ —1/2 —1/2 —1/4 1/4 . 1/2 + f l^^ f 1(— 1)di> == 0. О 1/4 Разложение сигнала с конечной энергией, заданного на интер- вале времени [—Т/2, Т/2], в обобщенный ряд Фурье по функ- циям Уолша имеет вид s(&) = Vc„wal(^, У); 0 == t/T. (1.31) и о Призер 1.12. Найти первые два коэффициента в разложении импульса треугольной формы по системе функций Уолша. В интервале времени [—Г/2, Г/2] разлагаемый сигнал описывается функцией s(t)=.U(tlT+4t). 2—944 34 Элементы общей теории сигналов Вычисляем коэффициенты обобщенного ряда Фурье: •/, Ч, s со = \ s (0) wal (0, 0) d» = U Г (» + у) d& = -^- ; /; -•/. -•/, •/, о с, = Г s(»)wal(l, »)d»=—t/ f(8+~)dй+ V V \ ~ / -•А -•/> +^J(»+^)d.=^. о о тп Итак, при аппроксимации колебания треугольной формы двумя первыми членами ряда по системе функций Уолша мы получаем при- и ~ ближенное представление ступенчатой формы. Интересно отметить, что ———• 3I//4 с точки зрения введенной выше энергетической нормы уже такая грубая „„ аппроксимация является удовлетворительной. Действительно, энергия ...___ исходного сигнала |' i '/, -та о та Г I 1 \2 U2 Es=u' Jh-^^T- -'/2 в то время как энергия разности 1/. [|s(»)—c,wal(0, »)—Ciwal(l, ») ||2 = 4f/2 f ^de = -Lp— J 3 • 16 о составляет лишь '/к • или 6.25°,, от энергии аппроксимируемого сигнала. Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье. Рассмотрим некоторый сигнал s(t), разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе: *=1 и вычислим его энергию: ?, = (sy/ = J ^ ^ (с,^) и,и,Л = ^ ^ (с.с,) | u,u,d/. (1.32) /, /, i--\ /=1 >=1 /=1 <, Поскольку базисная система функций ортонормирована, то в сумме (1.32) отличны от нуля только члены с ;'=/. В итоге полу- чаем замечательный результат: Данная формула обобщает теорему _° д Пифагора для случая Е, =- у С. . (1.33) бесконечномерного •в- ' пространства '~ Теория оргогональных сигналов 35 Смысл полученного выражения: энергия сигнала равна сумме энергий всех компонент, из которых складывается обоб- щенный ряд Фурье. Оптимальность разложения сигнала по ортогональному ба- зису. Для сигнала s(t) введем конечномерную аппроксимацию ?(Q=^c„u,(0 *=i с неизвестными коэффициентами с,, и потребуем, чтобы эти коэффициенты были выбраны из условия минимальности энер- гии ошибки аппроксимации: ~ ''Г V Т !«.= lls—sll^ s — J^ CftUfc d/ == min. (1.34) <\ 1_ * J Необходимое условие минимума состоит в том, что коэффи- циенты Cm должны удовлетворять системе линейных уравнений -^-=0, m== I, 2, ... ,N. (1.35) vcm В развернутой форме ошибка аппроксимации <; Г N N N ~\ ;. = J s^ - 2s ^c^ + ^ ^ c,CjUiUj At. Аналогом длины вектора в линейном пространстве сигналов выступает его нор- ма. Квадрат нормы называется энергией сигнала. ^ Линейное пространство сигналов становится метрический пространством, если можно определить расстояние (метрику) между двумя векторами. ^> Для нахождения угла между двумя элементами линейного пространства вво- дится понятие их скалярного произведения, пропорционального взаимной энергии сигналов. Если скалярное произведение равно нулю, то сигналы называются орто- гональными. <^0 Представление сигнала в виде разложения его по ортонормированному базису носит название обобщенного ряда Фурье. Коэффициенты такого ряда равны ска- лярным произведениям разлагаемого сигнала и соответствующих базисных векторов. 38 Элементы обшей теории сигналов •^ Важнейшими примерами ортонормированных базисных систем служат гармо- нические функции с кратными частотами, а также функции Уолша. 0<> Энергия сигнала равна сумме энергий всех составляющих, из которых образуется обобщенный ряд Фурье. <^> Разложение сигнала по ортонормированному базису характеризуется минималь- ной среднеквадратичной ошибкой аппроксимации. <Х^ Процесс извлечения полезной информации, содержащейся в сигнале, можно пред- ставить себе как аппаратурное определение числовых значений коэффициентов обобщенного ряда Фурье этого сигнала. 1. Приведите два-три примера физических про- цессов, требующих для своего описания слу- чайных математических моделей. 2. Какие характеристики применяются для опи- сания моделей импульсных сигналов? 3. В чем заключена разница между видеоим- пульсом и радиоимпульсом? 4. При каких условиях замена аналогового сигнала дискретным неадекватна? 5. Как формулируется принцип динамического представления сигнала? 6. Перечислите основные свойства дельта-функ- ции. 7. В чем заключаются важнейшие аксиомы ли- нейного пространства? 8. Каков физический смысл квадрата нормы сигнала? 9. Как следует понимать геометрический смысл неравенства Коши—Буняковского? 10. Изобразите графически несколько приме- ров ортогональных сигналов. 11. Какие функциональные пространства назы- вают гильбертовыми? 12. В чем заключено удобство разложения сиг- налов по ортогональной системе функций Уол- ша? 1. Импульс напряжения треугольной формы изображен на рисунке: 3. Составьте математическую модель для опи- сания бесконечной последовательности одина- ковых импульсов треугольной формы: О г. Составьте математическую модель этого сиг- нала, используя комбинацию функций включе- ния. 2. Решите задачу 1 применительно к симмет- ричному треугольному импульсу: - ЗТ-2Г 2Г ЗТ т./2 4. В соответствии с формулой (1.4) найдите динамическое представление экспоненциально- го видеоимпульса, описываемого функцией u(t)= Uexp(—at)cr(t). Задачи 39 5. По условиям предыдущей задачи найдите динамическое представление гауссового видео- импульса M(t)=[/exp(-pt2), определенного на всей бесконечной оси време- ни. Обратите внимание на ту модификацию, которой должна быть подвергнута форму- ла (1.4). 6. Покажите, что дельта-функция может пони- маться как производная от функции включения: 8(t)=do/dt. Указание. Вычислите производную от функции u(^, t), представляемой формулой (1.1), и перейдите к пределу при ^->0. 7. Найдите энергию и норму сигнала, описывае- мого математической моделью вида u(t)=l;oexp(-a|f|). 8. Вычислите энергию и норму импульса ко- синусоид альной формы: {О, TC/2. 9. Сигнал u(t) представляет собой симметрич- ный треугольный импульс; сигнал »(t) — впи- санный в него импульс прямоугольной формы; V Определите амплитуду прямоугольного импуль- са таким образом, чтобы минимизировать рас- стояние между этими двумя импульсами. 10. Используя принцип ортогональное! и, на основании рис. 1.4 постройте график функции wal (4, S). 11. Покажите, что взаимные расстояния между любыми двумя функциями из совокупности wal (О, У), wal (1,8) и wal (2, в) одинаковы и равны ^/~2'. » 12. Проведите такой же анализ для ортонор- мированной системы тригонометрических функ- ций (см. формулу (1.30)). Сравните получен- ные результаты. Можно ли здесь провести аналогию с обычной теоремой Пифагора? рБолее сложные задания 13 В ходе эксперимента была зафиксирована следующая осциллограмма сигнала: Н,В «III щ и 10 15 20 25 30 Jt.MKC Есть предположение, что этот сигнал описы- вается экспоненциальной функцией времени. Предложите по возможности простой графи- ческий способ для проверки этой гипотезы. 14. Предложите математическую модель для аналитического описания сигнала следующего вида: 15. Последовательный колебательный контур возбуждается источником импульсной ч. д. с. 40 Спектральные представления сигналов Параметры системы: R=50M, L=IOMKFH, С =2 нф. Длительность импульса Ти=0.5 мкс, его амплитуда С/о =12 В. Покажите, что в данном случае реальный им- пульс можно заменить математической мо- делью вида A6(t). Каков должен быть при этом коэффициент Л? Перечислите несколько простых физических си- туаций, относящихся к повседневному опыту, когда фактически возникающее воздействие на какую-либо систему можно приближенно за- менить дельта-импульсом. 16. Докажите, что дельта-функция может рас- сматриваться как предел вида 17. Обобщите понятия энергии и нормы на векторные сигналы с произвольной размер- ностью N. 18. Докажите, что если SK— вещественное гиль- бертово пространство, содержащее сигналы и и v, то имеет место равенство параллелограмма: Цу+^+Нм-^^Н^н2. 19. Докажите, что в комплексном гильберто- вом пространстве справедливо тождество 4(и, v) = ^u-^-v\\2-\\u-v\\2+^•\\u+JЦl-j\\u- -м2 20. Пусть { Ui,(t), fc=l',2,...}—ортонормиро- ванный базис в некотором гильбертовом про- странстве <5У. Покажите, что для произвольных s,, 8д с <й9 выполняется равенство Парсеваля (Д,, ^) =^1."*) (Sl.Uk). Глава 2 Спектральные представления сигналов ' Среди разнообразных систем ортогональных функций, ко- торые могут использоваться в качестве базисных для представ- ления радиотехнических сигналов, особое место занимают гар- монические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Важность гармонических сигналов для радиотехники обуслов- лена рядом причин. В частности, гармонические сигналы ин- вариантны относительно преобразований, осуществляемых ли- нейными электрическими цепями. Если на входе линейной цепи действуют гармонические колебания, то сигнал на ее выходе также остается гармоническим, отличаясь от входного лишь амплитудой и начальной фазой. Кроме того, техника генериро- вания гармонических сигналов относительно проста. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармони- ческих колебаний с различными частотами, то говорят, что осу- ществлено спектральное разложение этого сигнала в базисе гармонических функций. Сумма отдельных гармонических ком- понент сигнала образует его спектр. Математической моделью процесса, циклически повторяю- щегося во времени является периодический сигнал s(t\ обла- дающий свойствами s{t}=s{t+nT}, /i=±l,±2,... (2.1) (Г—период сигнала). Спектральное представление сигнала можно получить, ис- пользуя разложение в ряд Фурье. Ряд Фурье. Зададим на интервале времени [—Г/2, Т/2] уже рассмотренный в предыдущей главе ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными часто- тами: . у„ = l/1/Т, iii = ^27Tsin 2^/T, иг == Y21T cos 2v:ttT, Ну = \/~2JT sin \vtlT , (2.2) u,=^27Tcos4^/T,... Любая функция i1/2. Например, положив я=0, р=1, из (П.1.1) получаем wal (1, ») = — wal (0, 29 + —) — wal /О, 2» — —1 . Интересное свойство функций Уолша состоит в следующем: « wal(m, »)wal(n, ») == wal (/, 8), (П. 1.3) причем индекс / является суммой индексов т и п по mod 2 (читается: «по модулю два» и обозначается l=mn). Для того чтобы выполнить такое сложение, следует представить т и п в форме двоичных чисел, а затем сложить их без переносов в старшие разряды, используя правило 1®0=0®1=1, О ®0=1ф1=0. (П.1.4) Например, если т =5= 101 (двоич.)ип=6= 110(двоич.), то 101 ©110= =011 (двоич.)=3 (десятич.) Таким образом, wal (5, »)wal(6, 0) = wal (3, 0). В литературе наряду с функциями Уолша wal (и, 9) часто встречаются две связанные с ними системы: четные функции са1 (п, 3) (аналогичные Приложения 527 косинусам) и нечетные функции sal (n, 8) (аналогичные синусам). Связь между упомянутыми функциями такова: cal(n, &) =wal(2n, 8), sal(n, 8) = wal(2n - 1, У). (П. 1.5) г To Ti У; 9° Го Ti •г, о 0.000 0.000 0.000 100 0.411 0.611 0.203 10 0.000 0.001 0.001 110 0.509 0.713 0.176 20 0.004 0.009 0.008 .120 0.609 0.805 0.138 30 0.015 0.029 0.027 130 0.708 0.878 0.095 40 0.034 0.066 0.056 140 0.801 0.934 0.056 50 0.065 0.121 0.095 150 0.881 0.969 0.027 60 0.109 0.196 0.138 160 0.944 0.989 0.008 70 0.166 0.288 0.176 170 0.985 0.997 0.001 80 0.236 0.390 0.203 180 1.000 1,000 0.000 90 0.319 0.500 0.212 Таблица значений функций Берга 7„(9),7,(Э)иу^) SUBROUTINE BERG (N, Т, G) PI =3.1415926 A=N IF (N. EQ. 0) GOTO 1 I F (N. EQ. 1) GOTO 2 G = 2. * (SIN (A * T) * COS(T) - A • COS * (A * T) * SIN (Т)) / (PI * A * (A * A - 1.)) RETURN 1 G = (SIN(T) - T * COS(T)) / PI RETURN 2 G' = (T - SIN(T) * COS(T)) / PI RETURN END Обращение к данной подпрограмме осуществляется с помощью оператора CALL BERG (а, р, у). Здесь а и р — фактические значения номйра гармоники п и угла отсечки 8 соответственно. Вычисленное зна- чение функции у„(8) заносится в ячейку памяти с именем -у. FO>) /о 5(t) 1/Р l/p2 1/(Р+а) CT(t) t exp (—at) Подпрограмма вычисления функций Берга Связь между изображениями по Лапласу и оригиналами [39] 528 Приложения F(p) /С) p/(p+a) 5(t) —вехр (—et) / ' al\p(P+a)} 1.— exp(-at) 1 ^p~вr ^*^t (p+a)(p+b) & — в (е е ^ P -^(&е-*'-.е-") (р+а)(р+Ь) 1/(р+а)2 fe-" • р1(р+аУ (l-et)e-" со/^+со2) sin cot р/^+ю2) cos cot (o/[(p+a)2+ш2] e~'" sin cot (p+a)/[(p+a)2+ш•г] f"'" COS COt рКр^-а2) ch at ^/[р^р+а)] at—(l —e-'") 1 1 Г) i 1 /l^-at ^-bl\ 1 р(р+а)(р+Ь) —т i + ——т ^ус — at i \ ab \ a —Ь J 1 , ,1 - FI — е- "'(cos (Ot + -^- sin cot)] pl(p+ay+w2] в2 + CO2 | CO 'J 1 ., \,, (e''" — cos ost + •S- sin cot) (р+аХрЗ+со2) U + CO- '" .Р —:-•—5- (—ae" '" + о cos cot + со cos cot) (^'+в)0»2+(й2) a^co2 ,^2 —i-^—^-(a^'"'—ao) sin cot + со2 cos cot) (p+a)(^2+(i>2) a2-KB2 ' ' Подпрограмма вычисления коэффициентов дискретного преобразования Фурье SUBROUTINE TRFUR(X,A,B,N,G) DIMENSION X(N), A(N), B(N) G=0. A1=0. AN = N D01I=1,N G = G + X(I) 1 A1=A1+(-1.)**I*X(I) G = G / AN A(N/2)=A1/AN M=N-/2-1 D02I= 1M AI=I Приложения A(I)=0. B(I)»0. 003 J=1,N AJ=J Т = 6.283185 *AI*AJ/AN С = COS (Т) S = SIN (T) A(I) = A(I) + X(J) * С 3 B(I) » B(I) + XCJ) * S A(I) = A(I) * 2. / AN 2 B(I) = B(I) * 2. / AN RETURN END Аргументы данной подпрограммы таковы: X—вещественный мас- сив обрабатываемых чисел; А и В — соответственно массивы веществен- ных и мнимых частей ДПФ; N—длина входного массива; G—имя переменной, которой отвечает постоянная составляющая ДПФ. Часть ячеек памяти, отводимых для массивов А и В, остается свободной, что допустимо, если длина обрабатываемого массива не превышает не- скольких десятков отсчетов. Рекомендуемая литература Основная 1. Гоноровскш И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — М-: Советское радио, 1977. В настоящее время эта книга является наиболее полным вузовским учебным руководством по данному курсу. 2. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов и цепей. — М.: Высшая школа, 1975. Книга служит учебным пособием по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы» для студентов радиотехнических специальностей вузов. В сжатой форме излагается большое число сведений, относящихся к основным разделам курса. 3. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Советское радио, 1966. Обширная монография, посвященная разнообразным вопросам прикладной теории случай- ных процессов, воздействию шумов и помех на радиотехнические устройства, а также оптималь- ной фильтрации сигналов. Дополнительная 4. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М. — Л.: Госэнерго- издат, 1956. 5. Шеннон К. Работы по. теории информации и кибернетике: Пер. с англ./ Под ред. Р. Л. Доб- рушина и О. Б. Лупанова. — М.: ИЛ, 1963. 6. Колмогоров А. N.. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1972. 7. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. — М.: Наука, 1972. 8. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: ГИТТЛ, 1953. 9. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1980. 10. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Физматгиз, 1963. 11. Лаврентьев М. А., Шабот Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Физматгиз, 1958. 12. Боголюбов Н. И., Митропольский, Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — М.: Физматгиз, 1958. 13. Кобзарев Ю. Б. О нелинейном методе трактовки явлений в ламповом генераторе. — ЖТФ, 1935, №5. 14. Рытое С. М. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 1. — М.: Наука, 1976. 15. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. — М.: Советское радио, 1974. 16. Френкс Л. Теория сигналов: Пер. с англ./ Под ред. Д. Е. Вакмана. — М.: Советское радио, 1974. 17. Папу лис, А. Теория систем и преобразований в оптике: Пер. с англ./ Под ред. В. И. Алексее- ва. — М.: Мир, 1971. 18. Голдман С. Теория информации: Пер. с англ./ Под ред. В. В. Фурдуева. — М.: ИЛ. 1957. 19. Стейн С., Джонс Дж. Принципы современной теории связи и их применения к передаче дискретных сообщений: Пер. с англ./ Под ред. Л. М. Финка. — М.: Связь, 1971. 20. Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / Зюко А. Г., Кловский Д. Д., Назаров М. В., Финк Л. М. — М.: Связь, 1980. 21. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы: Пер. с англ./ Под ред. В. С. Кельзона. — М.: Советское радио, 1971. 22. Хармут X. Ф. Передача информации ортогональными функциями. / Пер. с англ. — М.: Связь, 1975. Рекомендуемая литература 23. Харкевич А. А, Борьба с помехами. — М.: Наука, 1965. 24. Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов. — М.: Советское радио, 1970. 25. Зертв Н. В., Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей —М.: Энергия, 1965. 26. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи с распределенными параметрами. — М.: Высшая школа, 1980. 27. Гиллемин Э. А. Синтез пассивных цепей: Пер. с англ./ Под ред. М. М. Айзинова. — М.: Связь, 1970. 28. Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез: Пер. с англ./Под ред. С. Е. Лондона. — М.: Связь, 1973, 29. Вой Кайчэнь. Теория и проектирование широкополосных согласующих цепей: Пер. с англ./ Под ред. Ю. Л. Хотунцева. — М.: Связь, 1979. 30. Матхатв П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей — М.: Высшая школа, 1976. 31. Андреев В. С. Теория нелинейных электрических цепей. — М.: Связь, 1972. 32. Масленников В. В., Сироткин А. П. Избирательные RC-усилители. — М.: Энергия, 1980. 33. Хъюлсман Л. П. Теория и расчет активных КС-цепей: Пер. с англ./ Под ред. А. Е. Знаменско- го и И. Н. Теплюка. — М.: Связь, 1973. 34. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. / Под ред. А. М. Трахтмана. — М.: Совет- ское радио, 1980. 35. Введение в цифровую фильтрацию: Пер. с англ. / Под ред. Л. И. Филиппова. — М.: Мир, 1976. 36. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. — М.: ИЛ, 1948. 37. Котельников В. А., Николаев А. М. Основы радиотехники, ч. II,—М.: Связьиздат, 1954. 38. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи / Под ред. В. И. Тихонова. — М.: Совет- ское радио, 1980. 39. Сборник^задач по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы» / Под ред. А. М. Николаева. — М.: Советское радио, 1972. 40. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: ГИФМЛ, 1963. 41. Лосев А. К. Введение в специальность «Радиотехника». — М.: Высшая школа, 1980. 42. Понтрягт Л. С. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976. 43. Стретт Д. В. (Рэлей). Теория звука. — М.: Гостехиздат, 1955, т. 1. Предметный указатель Автогенератор — жесткий режим 452 .— мягкий режим 452 — стационарная амплитуда колебаний 451 — с внутренней обратной связью 446 — с трансформаторной связью 440 — типа S-C 444 — трехточечныв 442 — условие самовозбуждения 441 — устойчивость стационарных режимов 452 Автокорреляции функция — детерминированного сигнала 86 — дискретного сигнала 92, 94 — ЛЧМ-СИгнала 130, 13) — на выхолю линейной системы 301 — неограниченно протяженного сигнала 89 — огибающей 218 — связь с энергетическим спектром 89, 195 — случайного процесса 183 Автокорреляционная характеристика системы 256 Амплитуди синфазная и квадратурная 147 Ансамбль реализации 181 Аппроксимация характеристик нелинейных элемен- тов — Кусочно-линейная 329 — показательна» 331 — степенная 330 База сигнала 129, 517 Базис ортонормированный 31 — сигналов с ограниченным спектром 141 — оптимальность разложения 35 Баркера сигналы 96, 515 Безынерционности условие 323 Белый шум 200 Берга функции 44. 528 Билинейное преобразование 498 Варактор 368 Величины случайные — определение 168 — статистическая независимость 177 — функциональные преобразования 172, 177 Вероятность —~ определение 167 — переходная 190 — эмпирическая 168 Видеоимпульс — гауссов 54 — прямоугольный 52 — экспоненциальный 52 Выбросы случайного процесса 206 Гармоники 42 Гармоническая последовательность 482 Генератор накачки 363 Гильберта преобразование 156, 212 Гиратор 439 Гистерезис колебательный 454 Группа узкополосная 295 Групповое время запаздывания 295, 518 Гурвица многочлен 429 Дарлингтона теорема 402 Девиация фазы 115, 117 Дельта-коррелированность 195 Дельта-функция (функция Дирака) — определение 21 — физический смысл 22 Детектирование синхронное 361 Детектор АМ-сигнала 340 — диодный 346 — коллекторный 343 Децибелы 251 Дискретизирующая последовательность 464 Дискретные сигналы 16 — принцип кодирования 93 Дисперсия — случайного процесса 183 — случайной величины 170 — физический смысл 186 Дюамеля интеграл 231, 234 Емкость дифференциальная 369 z-преобразование 473 — непрерывных функций 475 — обратное 475 — определение 474 — свертки дискретных сигналов 477 — условие сходимости 474 Импульсная характеристика — определение 230 — физический смысл 230 — цифрового фильтра 487, 493 — частотно-избирательной цепи 262, 277 Импульсные сигналы 14 Индекс угловой модуляции 117 Интегратор аналоговый 436 Интервал — дискретизации 463 — корреляции 199 Искажения нелинейные в усилителе 331 Квазиоптимальный фильтр 519 Квазичастота 208 Канал зеркальный 360 Колебание несущее 104 Контур — колебательный последовательный 267 — — параллельный 269 Предметный указатель 533 — — с перестраиваемой емкостью 379 — холостой 372 Корреляция случайного процесса и его производной 204 Котельникова — ряд 141, 466, 471 — теорема 141 Коэффициент — амплитудной модуляции 105 — детектирования 343 ~- корреляции случайных величин 176 — корреляции случайного процесса 185 — нелинейных искажений 332 — неравномерности характеристики 411 — передачи мощности частотный 254 — сжатия импульса 518 Крутизна — преобразования 360 — характеристики дифференциальная 325 — характеристики средняя 450 Лазер 447 Линия задержки дисперсионная 518 Математическое ожидание (среднее значение) — случайной величины 170 — случайного процесса 183 Матрица — импульсных характеристик 232 — корреляционная 177 — частотных коэффициентов передачи 236 Мгновенной частоты метод 293 Модель математическая — сигнала 12 — системы 226, 227 Модуляция — амплитудная 104, 108, 110 — — случайная 383 — балансная 112 — импульсная 463 — однополосная амплитудная 113 — угловая 115 — — случайная 386 — фазовая 115 — частотная 116 Момент — ковариационный 176 — корреляционный 176 Моментные функции случайного процесса 183 Мэнли—Роу уравнения 375 Найквиста — критерий устойчивости 431 — формула 311, 313 Неопределенности соотношение 56 Норма сигнала 26 Нормализация случайного сигнала линейной цепью 309 Обратная связь — запаздывающая 427 — коррекция частотных характеристик 424 — отрицательная 422 — положительная 423, 441 Обращения формула 259 Огибающая — комплексная 148 — радиоимпульса 15 — суммы гармонического сигнала и узкополосного шума 219 — физическая 149 • Оператор системный 226 Оптимальный фильтр 504, 521 Отклонение среднеквадратичное при оптимальной фильтрации 523 Парсеваля равенство 79 Передаточная функция системы 257 — нули и полюсы 258 — свойства 259 Перемодуляция 106 Переходная характеристика линейной цепи 233 Плотность вероятности — гауссовой случайной величины 171 — многомерной случайной величины 174 — огибающей и начальной фазы узкополосного случайного процесса 213 — определение 168 — случайного сигнала на выходе нелинейного эле- мента 348- — суммы случайных величин 180 Плотность спектральная — гармонических колебаний 63 — дельта-функции 55 — детерминированного сигнала 48 — интеграла 60 — произведения сигналов 60 — производной 59 — случайная 194 — радиоимпульса 65 — условие существования 51 — функции включения 64 Полоса цепи шумовая 307 Порядок — комбинационной частоты 339 — линейной динамической системы 238 Преобразование Лапласа 67 Преобразование Фурье — быстрое (БПФ) 472 — дискретное (ДПФ) 468 — обратное дискретное (О ДПФ) 471 — определение 49 — свойства 57 Преобразование частоты — в параметрических элементах 358 — при синтезе фильтров 417 Приемник супергетеродинный 359 Пространство сигналов — гильбертово 30 — линейное 24 — метрическое 28 — нормированное 26 — свойство полноты 36 Процессор цифровой 479 Пэли—Винера критерий 237 534 Предметный указатель Радиоимпульс 15, 65 Размерность пространства сигналов. 145 Распределение — гауссово (нормальное) 171 — многомерное гауссово 178 — Пуассона 316 — равномерное 170 — Раиса 220 — Рэлея 215, 217 Расстройка обобщенная 268 Рауса—Гурвица критерий устойчивости 429 Регенерация 426 Режим перенапряженный усилителя 334 Резонатор цифровой 497 Ряд Фурье — комплексная форма 45 — обобщенный 31 Свертка — аналоговых сигналов 62, 231 — круговая дискретных сигналов 473 Сигнал — амплитудно-манипулированный 110 — аналитический 153 — аналоговый 15 — детерминированный 14 — дискретный 16, 462 — динамическое представление 17 — идеальный низкочастотный 135 — идеальный полосовой 137 — импульсный 14 — квантованный 479 — периодический 41 — полезный на выходе согласованного фильтра 510 — случайный 14, 181 — сопряженный 154 — узкополосный 147, 284 — широкополосный 277 Сигнал/шум отношение на выходе согласованного фильтра 510 Симметрия квадрантная 407 Синтез цепей структурный 414 Система — динамическая линейная 238 — — нестационарная 377 — линейная 227 — математическая модель 227 — нелинейная 228 — параметрическая 227 — распределенная 229 — собственные колебания 240 — со случайными характеристиками 383 — устойчивость 246, 428 Скалярное произведение сигналов 29 Случайный процесс — дифференцируемый 203 — измерение характеристик 187 — интегрирование 205 — марковский 189 — сопряженный 211 — стационарный 184 — определение 181 — узкополосный 209 Согласованный фильтр — для ЛЧМ-импульса 516 — для пачки видеоимпульсов 512 — для прямоугольного видеоимпульса 512 — для прямоугольного радиоимпульса 514 — для сигнала Бархера 515 Сопротивление — входное линейного двухполюсника 392 — нелинейного двухполюсника 324 Спектр — АМ-сигнала 109 — аналитического сигнала 155 — комплексной огибающей 151 — сигналов с угловой модуляцией 118, 120, 123 — тока в параметрическом резистивном двухпо- люснике 357 — тока в нелинейном двухполюснике 328 Спектральный метод анализа линейных систем 247 Спектральное разложение — детерминированных сигналов 40 — случайных сигналов 194 — физический смысл 282 Сходимость по вероятности 201 Теорема о числе нулей и полюсов входного сопро- тивления двухполюсника 393 Угол отсечки — в диодном детекторе 347 — определение 44 — оптимальное значение 335, 336 Узкополосный случайный процесс — нелинейные преобразования 351 — функция автокорреляции 209 Умножение частоты резонансное 335 Уравнение — укороченное автогенератора 450 — характеристическое 240, 428 Усилитель — малых колебаний резонансный 272 — —• воздействие белого шума 308 — — частотная характеристика 273 — малых колебаний с апериодической нагрузкой 244 — масштабный 435 — нелинейный резонансный 333 — операционный 433 — параметрический 368 — — двухконтурный 371 — — одноконтурный 369 — — в режиме расстройки 371 — — устойчивость 376 Устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 491 Фаза полная 114 Фазовая плоскость 456 Предметный указатель 535 Физической реализуемости условие 233 Фильтр — активный 433, 436 — Баттерворса 408 — гауссов 276 — гребенчатый 427 — нижних частот 407 — полосовой 418 — Чебышева 411 Флуктуации 166 Формула Рэлея — в узком смысле 81 — обобщенная 78 Фостера теорема 397 Френеля интегралы 128 Функция — взаимной корреляции детерминированных сигна- лов 97 — взаимной корреляции случайных процессов 188 — включения (Хевисайда) 18 — Дирака 21 — положительная вещественная 394 — распределения 168, 174 —: системная цифрового фильтра 484 — Уолша 32, 527 — характеристическая 173 — — многомерная 179 — цепи 403 Характеристика — амплитудно-фазовая 430 — амплитудно-частотная 236 — вольт-амперная 324 — вольт-купонная 368 — колебательная 334 — фазочастотная 236 Хинчина (Винера—Хинчина) теорема 195 Цепь — дифференцирующая 252 — интегрирующая 253 — каноническая 402 — Кауэра 399 — лестничная 398 — минимально-фазовая 405 — минимального сопротивления 394 — неминимально-фазовая 405 — параметрическая 227, 356 Цикл предельный 457 Цифровой фильтр — алгоритмы 480 — импульсная характеристика 481, 487, 493 — каноническая схема 490 — методы синтеза 494, 497 — порядок 485 — принцип построения 478 — рекурсивный 489 — трансверсальный (нерекурсивный) 485 — частотный коэффициент передачи 483 Частота — боковая 107 — граничная усиления 245, 426 — комбинационная 339 — комплексная 67 — мгновенная — — резонансная 380 — — узкополосного сигнала 149, 159 — основная периодической последовательности 41 — отрицательная 46 — промежуточная приемника 360 — среза фильтра 407 — холостая параметрического усилителя 372 Частотный коэффициент передачи 235 — связь с импульсной характеристикой 235 Ширина спектра — при AM 109 — при угловой модуляции 122 — эффективная случайного процесса 199 Шоттки формула 317 Шум — дробовой электронных приборов 314 — квантования 480, 500 — резистора тепловой 310 Энергетический спектр — взаимный 79 — детерминированного сигнала 81 — на выходе линейной системы 302 — случайного процесса 195 — односторонний 196 Эквивалент низкочастотный узкополосной цепи 278 Энергия — взаимная 29 — детерминированного сигнала 26 — при разложении в обобщенный ряд Фурье 34 Святослав Иванович Баскаков Радиотехнические цепи и сигналы Редакторы О. В. Долженко, Л. С. Куликова Младший редактор Г. Г. Бунина Художник Ю. Д. Федичкин Художественный редактор С. Г. Абелин Технический редактор А. К. Нестерова Корректор Г. И. Кострикова ИБ № 3884. Изд. № ГР-1. Сдано в набор 27.01.82. Подп. в печать 12.01.83. Т-01211. Формат 70 х 90 '/i6. Бум типографская № 1. Гарнитура тайме. Печать офсетная. Объем 39,20 усл. печ. л. Усл. кр.-от. 78,98. Уч.-изд. л. 30,52. Тираж 25 000 экз. Зак. № 944. Цена 1 р. 50 к. Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14. Расчет макета книги осуществлялся с использованием ЭВМ, программно- аппаратурных средств машинной графики и наборно-печатающей техники. Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государственном ко- митете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.