ББК 32.841 С34 УД К 621.372(075) Сиберт У. М. С34 Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. Ч. 1: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 336 с., ил. ISBN 5-03-000977-9 Современный курс теории сигналов и их обработки, подготовленный известным американским специалистом и входящий в серию книг по элек- тротехнике и информатике, которую выпускает Массачусетский техноло- гический институт (США). В 1-й части глубоко и всесторонне изучаются одностороннее преоб- разование Лапласа и Z-преобразование, системные функции, свойства линейных инвариантных во времени (ЛИВ) систем дискретного и непрерыв- ного времени и методы их исследования во временной и частотной областях. Изучение тем ведется на многочисленных примерах и задачах. Книга может послужить базой для годичного вводного курса для преподавателей и студентов вузов по специальностям «Радиоэлектроника», «Связь», «Радиолокация» и «Вычислительная техника». Она представляет также интерес для высококвалифицированных специалистов в указанных областях. 2402040000—404 041 (01)—88 172—88, ч. 1 ББК 32.841 Редакция литературы по электронике ISBN 5-03-000977-9 (русск).© 1986 by The Massachusetts Institute ISBN 5-03-000976-0 „ of Technology ISBN 0-262-19229-2 (англ.) © ^вод на русскии язык' р*' ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Современный этап научно-технического прогресса характери- зуется революционными изменениями в передаче, обработке и использовании информации, которые оказывают влияние на все стороны жизни общества. Под их влиянием происходят коренные преобразования целого ряда научных направлений (биология, экономика, социология и др.), обусловленные переходом от опи- сательных методов исследования к точным количественным мето- дам на основе весьма сложных моделей, с той или иной степенью полноты и достоверности представляющих соответствующие про- цессы и явления. Все это стало возможным благодаря успехам в создании новых методов и средств формирования и обработки информации, выдвигающих в свою очередь новые научные и тех- нические проблемы, решение которых приводит к следующему качественно новому этапу научно-технического прогресса. В настоящее время доминируют цифровые методы обработки информации, реализуемые цифровыми процессорами, к которым предъявляются всевозрастающие требования по быстродействию, объемам памяти, надежности, энергопотреблению и т. п. Наряду с непрерывным совершенствованием технологии все более значи- тельную роль играют согласование и оптимизация архитектуры вычислительных устройств и систем с реализуемыми в них алго- ритмами. В этих условиях от исследователей и инженеров, ра- ботающих в области создания систем формирования и обработки информации различного назначения и использования их в раз- ных областях науки и техники, требуется широта представлений, глубокое понимание и знание основных закономерностей, прису- щих процессам и системам формирования и обработки информа- ции, одним из краеугольных камней в фундаменте которых яв- ляется теория преобразования сигналов и систем их обработки. Предлагаемая советскому читателю книга профессора Масса- чусетского технологического института (МТИ — одно из веду- щих научных и учебных учреждений в США) У. Сиберта «Цепи сигналы, системы» относится к указанному направлению и яв- 6 Предисловие редактора перевода ляется одной из первых в серии по электротехнике и информа- тике, выпускаемой МТИ. Книга представляет собой фундаментальный вводный курс по линейным системам и сигналам и их преобразованиям. При этом, по мнению автора, одной из главных его целей является стремление вооружить читателя навыками для изучения и обсуж- дения поведения систем в противоположность богатым деталями формальным методам анализа. Автор значительное внимание уделяет свойствам используемого математического аппарата, по- казывает как присущие ему возможности, так и ограничения. Говоря о сингулярных функциях, автор все время подчеркивает бессмысленность выяснения того, чем они «являются», указывая, что смысл имеет лишь то, что они «делают». Изучение тем ве- дется на многочисленных примерах, сложность которых нарастает по мере освоения материала. Каждый раздел завершается набором задач, предназначен- ных как для усвоения материала, так и более глубокого его ос- мысления и обобщения. Всего в книге содержится 300 задач. Книга может послужить базой для годичного вводного курса повышенной сложности для многих специальностей, опирающе- гося на предшествующие курсы по элементам электрических и электронных цепей и теории дифференциальных и разностных уравнений. Несмотря на то что в отечественной литературе имеются пре- красные монографии и учебники, содержащие изложение теории цепей, сигналов и систем, книга У. Сиберта, представляющая собой, как уже отмечалось, фундаментальный вводный курс, явится их естественным дополнением, полезным студентам и преподавателям вузов, готовящих специалистов по электронике и информатике. Она также найдет заинтересованный отклик среди высококвалифицированных специалистов в соответствующих об- ластях. При работе над переводом мы стремились с возможно большей точностью донести до читателя мысли и стиль автора. Особенно непросто это было выполнить в многочисленных его «отступле- ниях», носящих характер глубоких и интересных научно-техни- ческих обобщений. В процессе перевода были исправлены обна- руженные опечатки, а в отдельных местах даны примечания либо с целью пояснения, либо указания соответствующей литературы на русском языке. Главы 1—6 и предисловие автора перевел Л. А. Шпирт, главы 7—13—Э. Я. Пастрон и главы 14—20 — В. А. Усик. И. С. Рыжак Мы должны быть благодарны Господу за то, что Он создал мир таким, что все простое в нем истинно. а все сложное — ложно. Григорий Сковорода [украинский философ XVIII века) Нашу жизнь растрачивают подробности ... проще, проще! Генри Дэвид Торо (американский писатель и мыслитель XIX века} Простота — величайшая мудрость. Неизвестный французский автор Одна из основных целей теоретического исследова- ния в любой области знаний состоит в том, чтобы найти такую точку зрения, с которой объект представ- ляется в своей предельной простоте. Джосайя Уиллард Гиббс (американский физик-теоретик конца XIX века) Ищите простоту и сомневайтесь в ней. Альфред Норт Уайтхед (американский математик, логик и философ} ПРЕДИСЛОВИЕ Основу учебного плана, предназначенного для всех студентов факультета электротехники и вычислительной техники Массачу- сетского технологического института (МТИ), составляют четыре курса. До недавнего времени два из них представляли собой традиционные вводные курсы по электротехнике, посвященные теории электрических цепей и линейным системам, а два других — вводные курсы по вычислительной технике. В них изучались языки программирования и архитектура ЭВМ. Однако к 1978 г. стало ясно, что потребности и интересы студентов факультета весьма разнообразны. Для одних основные курсы электротех- ники — это первый шаг.на пути к профессиональной деятельности в области разработки электронных схем и приборов, систем связи и управления или применения теории электромагнитных полей и волн к решению инженерных задач. Для других студентов эти курсы — заключительные предметы с технической или физиче- ской направленностью. Поэтому в 1979 г. на факультете были видоизменены основные электротехнические дисциплины как по форме, так и по содержанию. Были добавлены такие темы, как простейшие электронные приборы и цепи, особое внимание было уделено математическим методам с целью расширения приложе- ний, введены лабораторные работы умеренной сложности, обес- печивающие практическое освоение современной техники. Соот- ветствующие изменения были введены и в основные курсы по вычислительной технике, однако подробно это обсуждается в других книгах серии по электротехнике и информатике, изда- ваемой MI T Press. В основе этой книги лежат лекции по второму курсу электро- технического цикла. Для его усвоения необходимы предваритель- ное знакомство с основополагающими соотношениями для эле- ментов электрических цепей (включая простые полупроводнико- вые приборы и операционные усилители), некоторый опыт при- менения законов Кирхгофа при составлении динамических урав- нений для простых цепей как в узловой форме, так и в форме Предисловие 9 уравнений состояния, а также навыки решения динамических уравнений либо при нулевом воздействии, либо при воздействии в виде экспоненты (возможно, комплексной). В главе 1 даны об- зор и некоторое развитие этого исходного материала. Учебник по такому предварительному курсу находится в стадии подго- товки. Главы 2—4 знакомят с методами операционного исчисления (односторонним преобразованием Лапласа), системными функ- циями и методом комплексной частоты в теории цепей, описываю- щими линейные инвариантные во времени (ЛИВ) цепи через со- отношения вход-выход (функциональные или типа «черного ящи- ка»). Взаимные связи ЛИВ-систем исследуются в главах 5 и 6 с акцентом на практическое и концептуальное значение обратной связи. В следующих двух главах через определенные аналогии между сосредоточенными системами непрерывного времени (опи- сываемыми дифференциальными уравнениями и преобразованием Лапласа) и системами дискретного времени (описываемыми раз- ностными уравнениями и Z-преобразованием) рассматривается математическая структура ЛИВ-цепей, представленных в преды- дущих главах, и читатель знакомится с важными применениями этих структур и более широкой их интерпретацией. Системы дискретного времени обеспечивают возможность опи- сания ЛИВ-систем посредством соотношения вход-выход во вре- менной области с помощью импульсной характеристики и свертки. Этому посвящена глава 9. В главе 10 эти идеи распространяются на системы непрерывного времени. В главе 11 на основе методов операционного исчисления или обобщенных функций подробно исследуются математические тонкости, связанные с применением импульсов в непрерывном времени. Исследование операции свертки как метода описания функцио- нального поведения ЛИВ-систем позволяет выделить две частично перекрывающиеся категории систем — каузальные (не обязательно устойчивые) с входными воздействиями, заданными для t > ty в которых влияние эффектов от предшествующих воздействий, обусловливается состоянием системы в момент времени t = = t„; устойчивые системы (не обязательно каузальные), с входными воздействиями, которые обычно задаются на всей временной оси —оо < t < оо. Первую категорию — каузальные системы — можно не слишком строго рассматривать в качестве управляемых систем; соответствующие аналитические средства описаны в пер- вой половине книги. Вторую же категорию систем можно нестрого трактовать как системы связи; средства для их анализа бази- руются на двусторонних преобразованиях, в частности на пре- образовании Фурье, описанном во второй половине книги (в на- чальном курсе для этого не требуется предварительного знания теории функций комплексного переменного). 10 Предисловие Комплексные экспоненты являются собственными функциями ЛИВ-систем. В главах 12 и 13 изучается, как на основе этого свой- ства можно представлять сигналы в виде сумм или интегралов от экспонент. При этом выясняются основные закономерности рядов и преобразований Фурье, значение которых для таких важных приложений, как дискретизация, фильтрация и перенос частоты (модуляция), обсуждается в следующих четырех главах. Во всех этих разделах (а особенно в главе 16, где устанавливаются соот- ношение длительность — полоса и принцип неопределенности) акцент делается на характеристики, которые могут быть получены путем изучения поведения системы одновременно во временной и частотной областях. Для облегчения этого процесса время- частотные (дуальные) соотношения выводятся по возможности в симметричной форме. Преимущества такого подхода особенно проявляются при детальном изучении в главе 17 принципов по- строения систем связи. Глава 18 посвящена приложениям другого рода — цифровой обработке сигналов. Преобразование Фурье в дискретном вре- мени (полученное в главе 14 как дуальная интерпретация формул рядов Фурье) используется для проверки различных подходов к применению цифровой аппаратуры для выполнения таких опе- раций, как низкочастотная фильтрация аналоговых сигналов. В предпоследней главе показано, что знания корреляционных функций и спектральной плотности мощности, получаемых ус- реднением входных процессов, достаточно для определения соот- ветствующих характеристик процессов на выходе ЛИВ-систем. Обсуждается связь между описанием сигналов с помощью харак- теристик и функционалов, получаемых усреднением, и концеп- цией случайности процесса. В главе 20 на основе этого анализа объясняются преимущества широкополосных систем, использую- щих ИКМ и ЧМ. На протяжении всей книги я пытался сбалансировать два в определенной степени противоречивых требования. С одной стороны, как и положено во вводном курсе, предназначенном для студентов с различной подготовкой, я старался свести мате- матический уровень к минимально необходимому для объясне- ния основных обсуждаемых вопросов. С другой стороны, учиты- вая зрелость и широту студенческих интересов, я выбирал для обсуждения темы (вне зависимости от их сложности и тонкости), которые казались наиболее увлекательными с точки зрения их математического, философского или прикладного интереса. Так, например, первое требование удержало меня от соблазна предста- вить динамические уравнения цепи в матричной форме. Второе же требование заставило ввести некоторые положения теории обоб- щенных функций и случайных процессов, несмотря на опасность чрезмерного упрощения рассматриваемых вопросов. Обеспече- Предисловие 11 ние этого баланса оказалось особо сложным при доказательстве математических теорем; как правило, я старался избегать стро- гого формализма, пытаясь следовать совету Хевисайда: «Лучшее доказательство — такое описание факта, при котором он может восприниматься как факт». Я также руководствовался афоризмом Бертрана Рассела: «Книга должна быть либо ясной, либо строгой; совместить два этих требования невозможно». И хотя это высказы- вание, на мой взгляд, несколько резковато, там, где у меня был выбор, я отдавал предпочтение ясности. Задачи в конце каждой главы (за исключением последней)' являются ее неотъемлемой частью. Некоторые из них предназна- чены для практики по темам данной главы; простейшие объеди- нены в раздел «Упражнения» и обычно снабжены ответами. Од- нако многие задачи предназначены для расширения или углуб- ления материала. На мой взгляд, одно лишь чтение этих задач (хотя бы для того, чтобы узнать, какие темы обсуждаются) должно рассматриваться как необходимый компонент процесса обу- чения. В МТИ материал этой книги является основой курса, который читается в течение 14 недель (по 5 часов в неделю). Часы распре- деляются следующим образом: 2 часа — лекции, 2 часа — семи- нары и 1 час — консультации; при этом размеры групп опреде- ляются видом занятий. Лекции и сопутствующие демонстрации предназначены для того, чтобы студенты проникли в самую суть материала и увидели перспективы, чего трудно добиться другими методами обучения; кроме того, лекции используются для раз- вития таких тем, как вычислительные методы и двустороннее преобразование Лапласа, которые в книге практически не об- суждаются. Составной частью курса являются четыре лаборатор- ные работы; в настоящее время они охватывают проектирование активных фильтров, сравнение методов численного интегрирова- ния дифференциальных уравнений, изучение систем на основе линий задержки с отводами, а также исследование свойств ЧМ- модуляторов и цепей фазовой синхронизации. Не все темы каждой главы книги изучаются каждый семестр, и не все темы книги изучаются каждым студентом. Тем не менее опыт пяти лет работы в рамках этого курса в его нынешней форме позволяет утверждать, что большинство студентов, завершая курс, в общем представляют себе поведение сложных систем и имеют элементарные навыки, которые служат достаточной осно- вой для изучения более сложных и специализированных дисцип- лин. Хотя эта книга мыслилась скорее как вводный курс, нежели монография или справочник полезных формул и алгоритмов для решения задач, она, как я полагаю, может использоваться и для других целей. В частности, снабженная дополнительными замет- ками и практическим материалом по выбору руководителя она 12 Предисловие могла бы оказаться хорошей основой годового спецкурса для многих специальностей. Какова бы ни была надпись на титульном листе, можно смело утверждать, что ни одна книга такого типа не может быть творе- нием одного человека. Как на ее форму, так и на содержание ог- ромное влияние оказало мое общение в прошлом с большим педа- гогом Эрнстом Адольфом Гиллемином. Велика также роль бес- численного количества сотрудников и студентов, с которыми я общался в течение своей более чем тридцатилетней преподаватель- ской деятельности. С особым удовольствием мне хотелось бы от- метить значительный вклад в эту работу Хела Эйбелсона, Роба Бакли, Майка Досона, Боба Гэллагера, Ленни Гулда, Барта Джонсона, Боба Кеннеди, Марвина Кешнера, Джей Лим, Пи- тера Мэтиса, Билла Шрайбера, Кэма Сирла, Стива Сентурии, Джерри Сассмана, Арта Смита, Дика Торнтона, Джорджа Вер- гезе, Стюарта Вагнера, Алана Уиллски, Джона Уайятта, Марка Зана и Виктора Зу. За многие часы, отданные этой книге и обра- ботке предшествующих ей записей, я глубоко благодарен редак- тору издательства MIT Press Ларри Коэну, секретарям, прорабо- тавшим все эти годы, в особенности Барбаре Рикер и Сильвии Нельсон, Пат Макдауэлл, которая подготовила рисунки, и Эми Хендриксон, которая помогла мне выполнить окончательный набор на компьютеризированной системе ТЕХ, любезно предоставлен- ной мне Лу Брейда. Самой сердечной благодарности заслуживают моя жена Сэнди и дети, которые отказались от многих удоволь- ствий, для того чтобы папа мог работать над книгой. И наконец, я благодарен руководству и. деканам факультета (а теперь еще и Фонду развития инженерно-технических учебных программ им. Бернарда М. Гордона) за ту финансовую поддержку, которая сделала возможной написание этой книги, а также за веру — при отсутствии какой-либо явной гарантии, — что она когда-нибудь будет завершена. 1 ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ 1.0. Введение В этой главе преследуется двоякая цель: напомнить читателю основные принципы анализа электрических цепей и сформулиро- вать эти принципы таким образом, чтобы обеспечить возможность их более глубокого исследования в последующих главах. Цепи (или схемы) являются совокупностью взаимно соединенных эле- ментов. Однако слово «цепь» может характеризовать как реаль- ную структуру, которую мы создаем в лаборатории из резисторов, конденсаторов и транзисторов, соединенных с помощью проводов или печатных шин, так и идеализированную модель, создаваемую на основе абстракций. В данной книге мы в основном будем об- суждать цепи в этом последнем смысле (хотя никогда не следует забывать, что нам как инженерам модели цепей интересны в ос- новном лишь как средство для понимания и разработки реальных систем). Таким образом, наша первая задача состоит в том, чтобы определить, что будут означать применительно к идеальным це- пям слова «взаимосвязанные» и «элементы». Модель цепи пред- ставляет собой графическое изображение системы динамических уравнений, описывающих поведение этой цепи. Однако при таком описании характеристики цепи выражены, как правило, в неяв- ной форме; в конце настоящей главы мы выясним, как можно решать простые динамические уравнения, получая точные харак- теристики реакции цепи на простые стимулирующие воздействия. Цель последующих глав состоит в том, чтобы путем обобщения и совершенствования превратить идеи данной главы в совокуп- ность мощных средств для анализа и проектирования сложных систем, характерных для современной инженерной практики. 1.1. Основные соотношения для элементов В моделях электрических цепей элементы или ветви характери- зуются уравнениями (называемыми основными соотношениями}. 14 1. Динамические уравнения для простых цепей связывающими напряжения и токи в ветвях1). Простейшими идеализациями элементов электрических цепей являются линей- ные сопротивления, емкости, индуктивности и идеальные источ- ники, основные свойства которых иллюстрируются на рис. 1.1. Сопротивление + 9 */(/) v{f)i.R-— Емкость + 9 v(t}: Ht) Индуктивность + 9 т'ш v(t)^SL Идеальный независимый источник напряжения Идеальный независимый источник тока ;(/) ,- ,o{f) Рис. 1.1. Простые линейные двухполюсные электрические элементы с сосредо- точенными параметрами и основные соотношения для них. Обратите внимание на отличие источников тока от источников напряжения; ориентация стрелки или знаков «с-)-» и «—» внутри символа определяет положительное направление для данного источника, а: о (t) == Ri (t) или i (t) = Go (f); единицы измере- ния R — омы (Ом). 6: i (f) = С dv(f) dt или"о (О—о (0) = С di, единицы измерения С — фарады (Ф). в: v (f) = L di (t) dt или f (<) — »• (0) == единицы измерения L — генри (Гн). г: t» (f) = Vy (t) не зависит от t (f). д: i (f) = = i'o (t) не зависит от v (t). Заметим, что базовые направления для тока i (t) и напряжения о (t) в основных соотношениях всегда выбираются такими, как пока- 1) Вероятно полезно указать, что большинство идей, рассматриваемых в этой книге, применимы также к другим случаям, когда основными динамиче- скими переменными являются напряжения и потоки (например, механические силы и скорости, температуры и потоки тепла, химические потенциалы и ско- рости реакций). Кроме того, многие модели, рассматриваемые в общественных и биологических науках, описываются уравнениями аналогичными тем, которые мы будем рассматривать. В некоторых работах затрачивается много сил для фор- мализации этих аналогий. Мы не убеждены в целесообразности этих усилий, поскольку для большинства студентов соответствующий переход не представ- ляется сложным. Примеры неэлектрических приложений можно найти в много- численных задачах, помещенных в различных разделах настоящей книги. 1.1. Основные соотношения для элементов 15 зано на рисунке; т. е. для тока t (<) положительным считается направление от положительного полюса через элемент, а для напряжения о (<) — от положительного полюса к отрицатель- ному. Единицами измерения i (t) и о (t} являются соответственно амперы и вольты. Элементы цепей могут иметь более двух полюсов (терминалов). Из идеальных многополюсных элементов к наиболее важным от- носится, пожалуй, идеальный управляемый (или зависимый} источник. На рис. 1.2 показаны четыре основных типа таких источ- ii(t1 Рис. 1.2. Идеальные управляемые (зависимые) источники и основные соотноше- ния для них. Отметим, что для обозначения управляемых источников исполь- зуются ромбы, а независимых — кружки, а — источник напряжения, управляе- мый напряжением, о; (t) = av^ (t) не зависит от ^ (t)', б — источник тока, управ- ляемый напряжением, ('з (О = gui {t) и не зависит от Чд (t); в — источник напря- жения, управляемый током, Уд (/) = ri\ {t) и не зависит от (д (<); г — источник тока, управляемый током, (^ (t) = pt'i (t) и не зависит от Од (<). ников. Идеальные управляемые источники — это, как правило, результат идеализации активных элементов, таких как транзи- сторы и операционные усилители в их линейной области. В част- ности, идеальный операционный усилитель является важным осо- бым случаем идеального, управляемого напряжением источника напряжения, который получается в пределе, когда коэффициент усиления сх становится очень большим. Он имеет свое собственное специальное обозначение, показанное на рис. 1.3. Идеальный опе- рационный усилитель всегда используется в цепи обратной связи, которая устанавливает конечное значение выходного напряже- ния путем сведения практически к нулю разности напряже- ний ДУ (Q на входе. Другие примеры многополюсных элементов, таких как связанные контуры и трансформаторы, преобразова- тели и гираторы, обсуждаются в задачах в конце гл. 3. Идеальные двухполюсные элементы (исключая независимые источники), показанные на рис. 1.1—1.3, являются линейными, 16 Динамические уравнения для простых цепей т. е. их динамические переменные удовлетворяют ПРИНЦИПУ СУПЕРПОЗИЦИИ (ЛИНЕЙНОСТИ} 1): Если t" (t) и v' (t) — произвольная пара функций, удовлетворяю- щих основным соотношениям элемента, a i" (t} и и" (t) — любая другая пара, удовлетворяющая тем же основным соотношениям, то говорят, что элемент подчиняется принципу суперпозиции (или, что эквивалентно, является линейным), если пара функций t (t} = аГ (t) + Ы" (t) и о (0 = av' (t} + bv" (t) также удовлетво- ряет основным соотношениям для любых значений констант а и Ь. Двухполюсные элементы, представленные на рис. 1.1—1.3 (исключая независимые источники), удовлетворяют также ПРИН- ЦИПУ ИНВАРИАНТНОСТИ ВО ВРЕМЕНИ1): Вход >=0 f+ Ду(П.L-i-0 Aaui/m V/ ± о—а) Инвертирующий - вход _Г—° Рис. 1.3. Идеальный операционный усилитель. Если t (t) и v (t) — произвольная пара функций, удовлетворяю- щих основным соотношениям элемента, то элемент является инвариантным во времени, если f (t — Т) и о (t — Т) также удов- летворяют основным соотношениям при любом значении Г. Цепи, составленные целиком (исключая независимые источники) из линейных инвариантных во времени элементов, являются при- мерами линейных инвариантных во времени (ЛИВ) систем2). Как мы увидим в последующих главах, понятие ЛИВ-систем отличается, однако, большей общностью. Наиболее распространенным нелинейным элементом является, вероятно, диод, идеализированные основные соотношения для которого приведены на рис. 1.4. На том же рисунке представлены основные соотношения для ключа, который, несомненно, является наиболее важным из элементов с изменяющимися во времени пара- метрами. Цепи, содержащие нелинейные элементы, а также эле- менты с изменяющимися во времени параметрами, являются чрез- вычайно полезными. Некоторые примеры приведены в задачах 1) Эти определения распространяются непосредственно и на многополюсные элементы. Другие примеры двухполюсных элементов как линейных, так и не- линейных и/или инвариантных во времени приведены в упражнении 1.1. а) В ряде работ такие системы называются стационарными, см., например: Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. «Очерки по математической теории систем». — М.: Мир, 1971; Л. Заде, Ч. Деэоер «Теория линейных систем. Метод пространства состояний». — М.: Наука, 1970. — Прим. ред. 1.2. Соединения элементов. Законы Кирхгофа 17 1.13—1.15. Однако анализ таких цепей зачастую весьма труден. Существует относительно немного общих принципов или мето- дов для исследования поведения нелинейных цепей; каждая из них порождает свои аналитические проблемы. Теория же ЛИВ- систем, напротив, содержит богатый набор теорем, принципов и методов, которые дают мощные средства для исследования и раз- работки. В результате нелинейности, присущие реальным элек- тронным цепям, часто локализуют в виде отдельных ячеек, соеди- i(t) Идеальный v(t) v(t) - ;(П | Управление i(U Разомкнутое состояние ;(П Замкнутое ^т// состояние •v(t) Рис. 1.4. а — идеальный диод, i (t) = 0 для о (i) ^ О, v (t) = 0 для i (t} > 0. б — идеальный ключ; управление — независимая функция времени, имеющая два состояния: «разомкнуто» t (t) = 0 и «замкнуто» v (t) = 0. няемых с помощью ЛИВ-систем. Такой подход значительно упро- щает анализ, обеспечивая при этом свободу в проектировании, достаточную для получения требуемых динамических характе- ристик. В тех случаях, когда такая изоляция или локализация невозможна, как, например, в случае некоторых быстродействую- щих интегральных схем, процесс проектирования может привести к использованию численных методов для исследования поведения прибора при систематическом изменении различных его пара- метров. Для этой цели были разработаны машинные программы моделирования цепей; однако большое распространение подобных моделирующих программ не устранило необходимости в понима- нии математических основ ЛИВ-систем, поскольку эта матема- тика является мощным языком, в терминах которого может об- суждаться поведение сложных систем. 1.2. Соединения элементов. Законы Кирхгофа Помимо ограничений, обусловленных основными соотношениями для элементов, напряжения и токи в ветвях электрических це- пей подчиняются дополнительным ограничениям, обусловленным двумя фундаментальными законами, которые иллюстрируются на рис. 1.5. 18 I. Динамические уравнения для простых цепей ЗАКОН КИРХГОФА ДЛЯ ТОКОВ (ЗКТ): алгебраиче- ская сумма токов, притекающих к любому узлу цепи, равна нулю. (В более общей форме: алгебраическая сумма токов, про- текающих сквозь любое сечение цепи, должна быть равна нулю. При этом сечение — произвольная совокупность ветвей, при отсе- чении которых цепь распадается на две части.) 1) ЗАКОН КИРХГОФА ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ (ЗКН): алгебраическая сумма направленных падений напряжений вдоль любого замкнутого контура цепи равна нулю. (В более общей форме: сумма падений напряжений вдоль любого замкнутого кон- тура должна равняться нулю.) Контур Рис. 1.5. Законы Кирхгофа: а — для токов (Е токов в сечении равна нулю); б — для напряжений (S падений напряжений при обходе контура равна нулю). Оба закона вытекают из уравнений Максвелла 2) при условии, что цепь такова, а переменные изменяются настолько медленно, что практически вся электромагнитная энергия сосредоточивается внутри «элементов», а не в пространстве между ними; такое ак- кумулирование энергии можно описывать как сосредоточенное. Для цепей обычных настольных размеров, собранных из элемен- тов с сосредоточенными параметрами, закрны Кирхгофа являются хорошей аппроксимацией при частотах, не превышающих несколь- ких десятков мегагерц. 1.3. Динамические уравнения. Метод узловых напряжений и уравнений состояния Законы Кирхгофа и основные соотношения дают в совокуп- ности 2N независимых уравнений для N напряжений и N токов. соответствующих N ветвям цепи. Однако запись и решение этих 1) Первый закон Кирхгофа является следствием принципа сохранения количества электричества, см., например, И. Е. Тамм. «Основы теории элек тричества». — М.: Наука, 1966. — Прим. ред. 2) Полный анализ условий, при которых справедливы законы Кирхгофа, содержится, например, в работе: R. М. Fano, L. J. Chu, R. В. Adier. Electro magnetic Fields. Energy, and Forces (New York, NY: John Wiley, 1960). 1.3. Метод узловых напряжений и уравнений состояния 19 динамических уравнений 1) обычно значительно упрощаются при использовании одной из нескольких специальных процедур (ме- тодов), которые позволяют значительно уменьшить количество неизвестных. Особенно важными на практике являются два таких метода, приводящие к так называемым уравнениям в узлах или уравнениям состояния. Первый метод называется МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ НАПРЯ- ЖЕНИЙ 2): 1. Выбирается опорный узел. Уравнения, как правило, полу- чаются проще, если выбранный узел является общим для наи- большего количества источников напряжения и/или наибольшего числа ветвей. 2. Определяются узловые напряжения между каждым из про- чих узлов и опорньм узлом, при этом из двух узлов, к которым присоединяется идеальный (зависимый или независимый) источник напряжения, обозначать следует лишь один узел. (В частности, не следует обозначать ни один узел, соединенный с опорным це- пью из одного или нескольких идеальных источников напряже- ния.) Таким образом, число переменных оказывается на единицу меньше, чем количество узлов минус количество идеальных источ- ников напряжения 3). Каждая переменная соответствует напряже- нию данного узла относительно опорного. 3. По узловым напряжениям для всех означенных узлов со- ставляются уравнения Кирхгофа для токов. (Если к узлу подклю- чен один или несколько идеальных источников напряжения, то, как показано в примере 1.3.1, уравнение Кирхгофа следует со- ставлять для сечения, включающего как требуемый узел, так и указанные источники напряжения.) Таким образом, метод узловых напряжений дает столько же уравнений и неизвестных, сколько в цепи выделено узловых пере- менных. В общем случае эта величина значительно меньше удвоен- 1) Во многих работах по электротехнике они называются уравнениями равновесия, но это название вряд ли можно считать подходящим, поскольку цепь весьма редко находится в состоянии равновесия как в механическом, так и в термодинамическом смысле. В физике аналогичные уравнения называются динамическими или уравнениями движения, именно динамическими мы их и будем называть. 2) Принятое название метода в отечественной и переводной литературе, см.: П. Л. Калантаров и Л. Р. Нейман. «Теоретические основы электротех- ники».—М.—Л.: ГЭИ, 1951, 78; Г. Воде. «Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью». — М.: ИП, 1948, гл. 1. — Прим. ред. ^Если цепь содержит контур источников напряжения (или узел источни- ков тока), то законы Кирхгофа предполагают, что величины этих источников не являются независимыми; таким образом, один источник может быть исключен без изменения поведения цепи. Применительно к числу независимых узловых переменных это правило предполагает, что подобное исключение выполнено. 20 1. Динамические уравнения для простых цепей ного числа ветвей. При известных узловых напряжениях значе- ния всех напряжений и токов в ветвях вычисляются обычно чрез- вычайно просто. Пример 1.3.1 Следуя указанной выше процедуре, запишем узловые уравнения для цепи, изображенной на рис. 1.6. 1. За опорный примем узел, помеченный как заземленный. Выбор этого узла обусловлен тем, что в нем соединяются четыре ветви, включая один источник напряжения. 2. Обозначим три узловых переменных напряжения, как показано на рисунке. Цепь имеет шесть узлов; заметим, что 6 уз- лов минус 2 источника напряжения минус 1 равно 3 независимым узловым напряжениям. tUm Ui " <- Символ заземления Рис. 1.6. Схема для иллюстрации метода узловых напряжений. 3. Запишем уравнения Кирхгофа для трех означенных узлов: а) для токов, вытекающих из узла, помеченного о^ (t): t v,(t)^(t} ^_^_J^)_^)^ ^(0)=0; (1.3.1) о б) для токов, вытекающих из узла, помеченного о, (t): t -^ \[U2 (т) - "1 (х)] dt - ti (0) + С dv^ + о t + -^ \ ["2 (т) - v, (т) + Уь (т)] dx - и (0) == 0; (1.3.2) о в) для токов, вытекающих из сечения, помеченного пунктир- ной линией на рис. 1.6 и включающего узел Оз (0 и источник на- пряжения о;, (t): t —— \ [и, (т) - »ь (г) - v, (т)] dr + t, (0) + -"-^ = i-c (t). (1.3.3) "t ,1 -^2 О 1.3. Метод узловых напряжении и уравнения состояния 21 В результате получается система из трех интегродифференциаль- ных уравнений с тремя неизвестными узловыми напряжениями ^ (О, У, (t) и Уз (0. Пример 1.3.2 В качестве второго примера составления узловых уравнений рассмотрим схему, представленную на рис. 1.7. Если операцион- ные усилители идеальны, то каждый из изображенных на рис. 1.7 повторителей напряжения можно заменить, как показано на рис. 1.8, управляемым источником с единичным коэффициентом передачи. v,[t} Рис. 1.7. Еще одна схема для иллюстрации метода узловых напряжений. В результате получается эквивалентная схема, представлен- ная на рис. 1.9, содержащая три зависимых источника напряже- ния. (Заметим, что входной ток идеального повторителя напря- жения равен нулю. Таким образом, повторитель напряжения дей- ствует как буфер или изолятор. Несмотря на равенство выход- ного напряжения входному, повторитель напряжения в общем случае нельзя заменить проводником, соединяющим вход с выхо- дом, не нарушив при этом поведения цепи.) Цепь, изображенная на рис. 1.9, содержит 8 узлов и 4 источ- ника напряжения; следовательно, для ее описания необходимо 8 —4 —1=3 узловых напряжения и^ (t), v^, (t) и из (0. Наилуч- шим опорным узлом является опять-таки реальная точка зазем- ления схемы, поскольку в ней сходятся 6 ветвей и она является общей для всех источников напряжения. Составив уравнения Кирх- 22 I. Динамические уравнения для простых цепей гофа для каждого означенного узла, получим три уравнения стремя неизвестными: с-^^-ч--^ 1МО-"о (01= о; с 4г [Уа (0 - Уз (01 + -^- ["2 (0 - fi (01 = о; С^^+^-^^-Уа^-О. (1.3.4) (1.3.5) (1.3.6) Рис. 1.8. Эквивалентная схема повторителя напряжения—управляемый ис- точник. Рис. 1.9. Эквивалентная схема цепи, изображенной на рис. 1.7. * * * Второй метод составления динамических уравнений — МЕ- ТОД УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ: 1. Временно заменяется каждая индуктивность L, идеальным источником тока величиной I, (Q, а каждая емкость Сд — идеаль- ным источником напряжения v^ (t). 2. В полученной цепи, состоящей лишь из сопротивлений и источников, определяются напряжения У] (t) (на источниках тока, заменяющих индуктивности) и токи 1\ (t) (через источники напряжения, заменяющие емкости). В результате для ЛИВ-цепи имеем систему уравнений для и, (t) (или t^ (t)), представляющую взвешенные суммы токов в индуктивностях, ij(t), напряжений на емкостях, Vh(t), и параметров независимых источников. 1.3. Метод узловых напряжений и уравнений состояния 23 3. В левой части этих уравнений производится замена Vj (t) = L] —u- и t'h (t) == Cft -v——, в результате чего получается система дифференциальных уравнений первого порядка, выражен- ных через переменные состояния — токи через индуктивности и напряжения на емкостях. Пример 1.3.3. Для конкретизации формальных этапов вышеприведенной про- цедуры рассмотрим еще раз цепь, приведенную в примере 1.3.1. Приписав индуктивностям' и емкостям токи и напряжения в вет- вях, получим картину, изображенную на рис. 1.10, t)'ct'l Рис. 1.10. Схема, иллюстрирующая метод уравнений состояния. +y,t')- -i»;(»)+ Рис. 1.11. Схема рис. 1.10 после замены источниками элементов, накопляющих энергию. Заменяя индуктивности и емкости идеальными источниками соответственно тока и напряжения, получим схему, показанную на рис. 1.11. Тогда на основании элементарного анализа рези- стивной цепи имеем "1 (t} -= -Rlt'1 (0 - УЗ (t) + Уа (0, (1.3.7) "2 (0 = -R^ (t) - Уз (0 - УЬ (0 + +^te(0, (1.3.8) t, (Л = t\ (0 + t, (t}. (1,3.9) 24 1. Динамические уравнения для простых цепей г dti (О „/Л- / ^^и > m - С dv3 w L\—-/—> ^\Ч — '-г—и- И 1» \Ч — u3<—> Поскольку и, (t) = Li-^, v,(t) = L,-^- и i-з W = С-^ мы получаем динамические уравнения в форме состояний: М = --^ (0 - -^-^(0+^"а (0, (1.3.10) di, (0 d< dvs (Q d< ^2 (О -т-Гз(0--^ь(0 2 ^-2 ^2 Г- tl (0 + ^ t2 (t). ie(t}, (1.3.11) (1.3.12) Заметим, что левая часть каждого из этих уравнений представ- ляет собой первую производную переменной состояния (ti (t), t'2 (Q или Уз (Q)> a правая часть — функция лишь переменных со- стояния и независимых источников (Од (t), УЬ (О и ^с (0). * * * Токи в индуктивностях и напряжения на емкостях названы переменными состояния, поскольку их значения в конкретный момент времени являются суммарным итогом всей предыстории в той части, в какой она может воздействовать на будущее пове- дение цепи. Это следует из того, что токи в индуктивностях и на- пряжения на емкостях определяют существующее в данный мо- мент в цепи распределение запасенной энергии 1). В качестве переменных состояния могут быть выбраны не только токи через индуктивности и напряжения на емкостях. Такое же количество их независимых линейных комбинаций с равным успе- хом может использоваться как система переменных состояния, поскольку из них однозначно получаются как напряжения на емкостях, так и токи в индуктивностях. (См. задачу 1.1.) Число независимых переменных состояния называется по- рядком цепи. Описанная выше процедура подсказывает, что по- рядок равен числу емкостей и индуктивностей в цепи. Однако если цепь содержит контуры из емкостей и источников напряже- ния или сечения из индуктивностей и источников тока, то каждый такой контур или сечение уменьшает на единицу количество не- 1} Вспомним, что произведение напряжения ветви на соответствующий ток является мгновенной мощностью, подводимой к элементу этой ветви. Для ЛИВ-ем- кости С интеграл мгновенной мощности, соответствующий запасенной энергии в момент времени /, равен J ^ (т) «с (т) dx = ^ (т) С dv^- dr = -^ We (t). ——00 ——00 Аналогично для ЛИВ-индуктивности L энергия, запасенная в момент времени t, равна -„- Li? (t). В обеих этих формулах мы молчаливо предположили, что при 2i t = —оо элемент находится в нулевом, состоянии, т. е. УС (—°°) = *L (—°°) = О- 1.4. Структурные схемы 26 зависимых переменных состояния (и число уравнений состояния). Это происходит из-за того, что уравнения Кирхгофа ограничивают значимость идеальных источников на первом этапе процедуры составления уравнений состояния. (См. задачу 1.2.) Уравнения состояния описывают локальные изменения состоя- ния. При этом важна их форма, учитывающая то, что скорость из- менения состояния является функцией текущего состояния и те- кущих входов. В силу такой структуры динамические уравнения в форме уравнений состояния имеют определенные преимущества в сравнении с узловой формой, в особенности в части доказатель- ства теорем, а также при описании общих свойств цепей. Однако другие процедуры составления динамических уравнений (анало- гичные узловому методу или методу переменных состояния) потребуют в общем случае другого числа переменных и уравне- ний, давая в результате уравнения иной сложности. Выбор «луч- шей» процедуры не наука, а искусство, и зависит от особенностей конкретной цепи и целей проводимого анализа. Как узловой ме- тод, так и метод уравнений состояния можно распространить на цепи произвольной сложности, включающие нелинейные и изменяющиеся во времени элементы. Для каждого из методов су- ществуют формальные алгоритмы анализа цепей, которые по за- данной топологии цепи и основным соотношениям для элементов автоматически реализуют динамические уравнения. Более того, по крайней мере для ЛИВ-цепей сложность получения точных ана- литических решений динамических уравнений в первом прибли- жении не зависит от метода составления уравнений — как мы увидим впоследствии, она определяется в основном порядком системы. 1.4. Структурные схемы После того как для какой-либо системы — не обязательно элек- трической цепи — записаны динамические уравнения в форме уравнений состояния, нетрудно составить структурную схему, а из нее получить аналогичную по поведению электронную схему. Под «аналогичной» мы понимаем, что если на входы электронной схемы поданы такие же по форме сигналы, что и на входы иссле- дуемой системы, то переменные состояния (или любые комбина- ции переменных состояния и входных сигналов, для которых могут быть выбраны выходы) в исследуемой системе будут иметь такую же форму, что и в электронном аналоге. Естественно, в процессе перехода от реальной системы к электронному аналогу мы вправе выбирать любые, удобные для нас единицы переменных электронной схемы, соответствующие единицам переменных реаль- ной системы. Мы вправе также выбирать масштаб времени для аналога с тем, чтобы ускорить представление некоторых медлен- 26 1. Динамические уравнения для простых цепей ных явлений (таких, как геологический процесс) или замедлить быстрые (как, например, процессы взрыва). В течение многих лет подобные электронные аналоговые компьютеры широко использо- вались для разработки сложных, дорогостоящих и трудных в мо- дификации систем, таких, например, как системы управления самолетами или ракетами. Сегодня динамический анализ подобных систем делается обычно цифровым способом, однако, несомненно, структурные схемы все еще остаются полезными, а электронные схемы, полученные на их основе, все еще имеют множество при- ,у(01 «О . Т . y(f) , Интегратор ——»\ f ——- у(») = ^х (т)с<т+у(0) Усилитель ytf) = /1х(П С^ор -^@-^ ^^П ТхгС' Перемножитель ———*W———^ ' ' г Рис. 1.12. Простые элементы структурных схем. менений в ситуациях, возникающих в реальном масштабе вре- мени, например при обработке звуковых сигналов. Некоторые наиболее распространенные элементы, встречаю- щиеся в простых структурных схемах, показаны на рис. 1.12. Каждый элемент (блок) определяет соотношение между одним или несколькими выходами (помечены выходящими стрелками) и од- ним или несколькими входами (помечены входящими стрелками). Когда блоки соединяются друг с другом, выход одного из них становится входом другого. Следующий пример показывает, как соединение таких блоков может описывать заданную систему уравнений состояния. Пример 1.4.1 Цепь, изображенная на состояния d»i (О й-=-т^) <». (О dt i> (0 • рис. 1.10, привела к трем уравнениям -—У8(0+-7-".(0, (1.4.1) "1 —1 --^-Уа(0--^Уь(0+^<с(<), (1.4.2) 1.4. Структурные схемы 27 (1.4.3) Моделью этих уравнений может быть структурная схема, приве- денная на рис. 1.13, состоящая из интеграторов, сумматоров и усилителей. Поскольку это система 3-го порядка, необходимы три интегратора, выходы которых соответствуют переменным состоя- ния t'i (0, t'a (О И "з (0. Ключом к построению или анализу подоб- ных схем являются входы интеграторов, т. е. производные пере- Рис. 1.13. Структурная схема, моделирующая уравнения (1.4.1, 1.4.2, 1.4.3). менных состояния. Каждая производная в соответствии со своим уравнением состояния представляет собой сумму взвешенных вход- ных сигналов и переменных состояния. Схема, изображенная на рис. 1.13, выполнена таким образом, чтобы облегчить понима- ние этой структуры. Если, скажем, в качестве интересующей нас выходной величины применительно к схеме рис. 1.10 мы выберем напряжение ц; (t) на сопротивлении Ry, то для реализации урав- нения Vc (I) = ^?2 (ic (0 — t'2 (0) к структурной схеме требуется добавить лишь несколько блоков. * * Пример 1.4.2 Для синтеза электронной схемы, аналогичной структурной, при- веденной на рис. 1.13, можно соединить между собой схемы опе- рационных усилителей, изображенных на рис. 1.14, установив 28 1. Динамические уравнения для простых цепей в них элементы с соответствующими значениями 1). Каждая из схем на рис. 1.14 объединяет фактически несколько функций, соответствующих основным блокам рис. 1.12. Соответствующее соединение усилителей показано на рис. 1.15. Заметим, что все переменные вне зависимости от обозначений являются по суще- ству напряжениями. Обозначения, стоящие рядом с резисто- «•• о ' Я, II R, II Ад ° Я,!!^"^ Я,С Я;С - я».f-r'-+J'4-^-fЛ+^-^ Я, \ »э R* 1 \ Я| Яг / Рис. 1.14. Выполнение интеграторов и сумматоров на операционных усилителях Идеальный Рис. 1.15. Реализация уравнений (1.4.1—1.4.3) с помощью электронной схемы. рами, — сопротивления, однако, поскольку на поведение схемы влияет лишь отношение сопротивлений, их можно одинаково отмасштабировать до любого удобного диапазона величин. Зна- чение емкостей интеграторов Сд определяет временной масштаб электронного аналога и выбирается в соответствии с потребно- стями. * * * 1.5. Решения динамических уравнений Как бы ни были получены динамические уравнения для сосредо- точенных цепей — методами узловых напряжений или уравнений состояния, описанными в разд. 1.3, либо с помощью какой-то дру- 1) Эти устройства названы «операционный усилитель» потому, что вначале они использовались в аналоговых компьютерах для реализации таких операций, как интегрирование и суммирование. 1.6. Решения при нулевых входных воздействиях 29 гой процедуры, — они, как правило, представляют собой систему дифференциальных уравнений нескольких переменных 1). Та- кие уравнения описывают неизвестные реакции на известные сти- мулирующие воздействия лишь неявным образом и имеют форму: (операции над реакциями) = (операции над стимулами). С другой стороны, часто требуется описание в явном виде (или операционное): реакция == (операции над стимулами). Для получения операционного описания динамические уравнения должны быть решены (проинтегрированы), а не просто оценены. Более того, может оказаться, что решение не является единствен- ным (поскольку результаты обработки двух различных реакций могут совпасть таким образом, что оба удовлетворят динамиче- ским уравнениям). Для получения единственного решения необ- ходимо дополнительно иметь вспомогательную информацию, та- кую как начальные условия или начальное состояние. Если цепь линейна и инвариантна во времени, то явное реше- ние динамического уравнения в замкнутой форме практически всегда можно получить (по крайней мере принципиально и для широкого класса входных функций). Простейшие такие решения получаются комбинацией решений для двух специальных случаев: а) задающие или входные воздействия равны нулю; б) задающие или входные воздействия экспоненциальны во времени. Рассмотрению решений для этих двух специальных случаев для ЛИВ-цепей посвящена остальная часть настоящей главы. Одна же из задач последующих глав состоит фактически в том, чтобы показать, что эти случаи не так «специальны», как кажутся. 1.6. Решения динамических уравнений при нулевых входных воздействиях Если все независимые источники равны нулю на некотором ко- нечном (to < t < ti) или полубесконечном (i> iy) интервале вре- мени, то в течение этого интервала напряжения и токи в ветвях могут быть равными нулю, однако это не обязательно, так как может оказаться не равной нулю энергия, запасенная в цепи от входных воздействий в течение времени t < iy. В этом случае от- клик цепи называется реакцией при нулевом воздействии (РНВ), а также собственной или гомогенной реакцией. Легко показать, х) Узловые уравнения для цепей, содержащих индуктивности, будут также включать интегралы узловых напряжений (см. пример 1.3.1). Но такие инте- гралы легко «устраняются» путем дифференцирования уравнений. 30 I. Динамические уравнения для проствпс цепей что токи и напряжения в сосредоточенных ЛИВ-цепях в течение интервала времени с нулевым входным воздействием могут иметь ненулевые значения тогда и только тогда, когда они являются суммой определенных экспоненциальных функций времени (на- зываемых «.собственные модыч>) с характерными постоянными вре- мени (в общем случае, комплексными), обратными значениями которых являются собственные частоты цепи. Эти основные поло- жения лучше всего поясняются на примере. Пример 1.6.1 Схема с повторителями напряжения из примера 1.3.2 привела к эквивалентной схеме, изображенной на рис. 1.16. Для этой Рис. 1.16. Эквивалентная схема цепи, изображенной на рис. 1.9. схемы с помощью метода узловых напряжений мы получили сле- дующие динамические уравнения: с^+^х(0=-^о(0, С ^ [v, (t) - Уа (01 + -7Г ^ ^ - vt (0] = °' с^-+-^-1Уз(0-^(0]=о. (1.6.1) (1.6.2) (1.6.3) Предположим, что Од (t) = 0 в течение интервала ty < t < ti. В качестве решения для этого интервала выберем выражения вида Vt(t)=V^, v^t}^V^, Уз(1)=У^ (1.6.4) и, подставляя их, получим (С5+-^-)У1е" =0, (1.6.5) --^-Vlest+(Cs+-^-)v,e" - CsV^' = 0, (1.6.6) - -^ V^ + (Cs + -У) V^ = 0. (1.6.7) Общий множитель е5' можно сократить, поскольку он не равен нулю при любых конечных s и t. Результирующая система из 1.6. Решения при нулевых входных воздействиях 31 трех линейных алгебраических уравнений с неизвестными V^, Уд и Vy имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда опре- делитель из коэффициентов обращается в нуль, т. е. если Cs +д 0 0 ~~R~ Cs + 1 R -Cs 0 1 R Cs ^ (PCs)" + 2 (RCs)2 + 2RCs + 1 R3 =0. (1.6.8) Корни этого характеристического уравнения являются характе- ристическими (или собственными} частотами 1) цепи: 1 RC -1 ± /• ^3 2RC (1.6.9) Таким образом v^ (t), v^ (t) и Vy (t) могут иметь вид (1.6.4) при не- нулевых значениях (по крайней мере некоторых) амплитуд Уц У 2 и Vs при условии, что s имеет одно из значений (1.6.9). Для каждого допустимого значения s, однако, выражения (1.6.5— 1.6.7) налагают ограничения на Уц Уз и УЗ- Таким образом, если s = —1/^С, то из (1.6.7) сразу же следует, что Уз должно рав- няться нулю, а из (1.6.6)—что V^ = Уз. Следовательно, одно ненулевое решение нашей задачи с нулевым входным воздейст- вием таково: (1.6.10) где А — произвольная константа. При заданных значениях этих узловых напряжений легко вычислить все напряжения и токи в ветвях. В них в качестве сомножителя войдет также произволь- ная константа А. Аналогичный результат справедлив для каждой собственной частоты. Для каждой из них узловые напряжения (а следовательно, все напряжения и токи в ветвях) представляют собой произведе- ние констант на экспоненциальные множители с соответствующей собственной частотой. Константы определяются выражениями (1.6.5—1.6.7) независимо для каждой собственной частоты с точ- ностью до одного общего произвольного (в общем случае комплекс- ного) множителя. Таким образом, для s = (—1 ± /' ^~3)/2RC из (1.6.5) следует, что Vi = 0, а из (1.6.7) — что \\ = Уз6*'"73- ') Их называют также сингулярностями цепи, поскольку для этих значе- ний s узловые уравнения являются вырожденными и имеют неединственные ре- шения. 32 1. Динамические уравнения для простых цепей Тогда два других решения нашей задачи с нулевым входным воз- действием имеют вид Ui(0=0, (1.6.11) о,(0= ^e-'/2Wg/v7t/2.Rc, (1.6.12) "а (0 = Bie-/"^-'/2^/у? t/2^c (1.6.13) и МО^О. (1.6.14) о„ (0 = B^-tl^er-l ^ '/^с, (1.6.15) Us (0 = B^e-^^e-i ^ ^c. (1.6.16) Если несколько наборов узловых напряжений (и соответствую- щие напряжения и токи в ветвях) независимо удовлетворяют за- конам Кирхгофа и основным соотношениям в ветвях для цепи из линейных элементов в условиях нулевого входного воздействия, то легко показать, что переменные для узлов и ветвей, получен- ные путем наложения (суммирования) соответствующих перемен- ных из каждого набора, также удовлетворяют законам Кирх- гофа и основным соотношениям в ветвях, т. е. эта комбинация подчиняется динамическим уравнениям для цепи в условиях нуле- вого входного воздействия. Более того, если действующие в цепи токи и напряжения имеют действительные значения, то коэффи- циенты в членах, соответствующих комплексно-сопряженным собственным частотам, должны быть комплексно-сопряженными. Следовательно, для цепи на рис. 1.16 в условиях нулевого вход- ного воздействия узловые напряжения в наиболее общей форме имеют вид Vl(t)=Ae-t'I 0, то частным решением является v (0 = V = const. Тогда член du (t)/dt в выражении (1.7.1) равен нулю. В результате получим 1=^. (1.7.2) v(f) Рис. 1.17. Схема к примеру 1.7.1. Рис. 1.18. Реакция на постоянное входное воздействие. Легко показать путем подстановки в (1.7.1), что реакция при ну- левом входном воздействии имеет вид Ае-*!^, так что полное решение записывается как v(t) = RI + Ae-tl^. (1.7.3) Если известно, что значение v (t) при t == 0 равно v (0), то из (1.7.3) сразу же следует, что A==v(0)—RI. (1.7.4) После подстановки получим u(0=^?/+(У(0)-.R^)<'-f/•RC, 00. (1.7.5) График зависимости v (t) представлен на рис. 1.18 для нескольких значений v (0). Заметим, что t = RC соответствует моменту вре- мени, когда реакция, изменяясь, проделала примерно 2/3 пути от начального до конечного значения. (Точная величина состав- ляет 1 — — w 0,632.) Заметим также, что прямая, имеющая наклон, равный скорости изменения реакции цепи в начальный момент, пересекает установившееся значение в точке t == RC. Способностью записать выражение полной реакции (1.7.5) для системы первого порядка с постоянным входным воздейст- вием и прямо из формулировки задачи без всяких предваритель- ных этапов точно ее нарисовать (как на рис. 1.18) должны обла- 1.7. Решения при экспоненциальных входных воздействиях 35 дать все инженеры и ученые. Примеры того, как это полезно при практическом анализе электронных цепей, даны в задачах 1.13 и 1.14. « « * Пример 1.7.2 Для иллюстрации воздействия экспоненциальных входных сиг- налов в более сложном случае продолжим анализ цепи из приме- ров 1.3.2 и 1.6.1. Пусть входным воздействием будет &„ (<) = Vye^, а узловые напряжения имеют вид а; (t) = V,e< Тогда динамиче- ские узловые уравнения запишутся как CsV^ + -^ V^ == -^- Voe", (1.7.6) Cs (V^ - Уз^) + -^- (У^ - V^) = О, (1.7.7) CsV^ + -^-(V^ - V^) == 0. (1.7.8) Сокращая общий множитель е^ и решая эту систему уравнений, получим (1.7.9) v _ _______"o^^-l-^_______ /1 7 1ГГ> 'ъ~ (RCs)» + 2 (RCs)2 + 2 (RCs) + 1 ' (i.t.iU) V-==_________K°_________ П 7 lit '3 fl?r<:\3 _L 9 /1?Г^ -1_ 9 tVr^\ J- 1 • ^l.i.ll; (RCsy + 2 (RCs)2 + 2 (RCs) + 1 • Рассмотрим два специальных случая: а) Реакция цепи на ступенчатое воздействие, когда входной сигнал представляет собой единичную ступенчатую функцию и (t}, о, (0 = и (t) = 1, при <>-0, О, при t<0. (1.7.12) В соответствии с соглашением 1) при вычислении реакции цепи на ступенчатое воздействие предполагается, что для t «< 0 цепь находится в состоянии покоя, т. е. "1 (<) = "2 (0 = "з (О -О, «О. (1.7.13) *) К сожалению, этим соглашением пользуются не все специалисты в данной области. Если цепь не находится в состоянии покоя при t = 0, то речь пойдет уже о реакции цепи не на ступенчатое, а постоянное воздействие типа иц (t) = 1, f>0. 2* 36 1. Динамические уравнения для простых цепей Поскольку напряжения на емкостях не могут изменяться мгно- венно, состояние в момент времени i = О* описывается равен- ством v, (0^) = v, (О") = Уз (О") = 0. (1.7.14) Для t > 0 t»o (i) имеет вид "o(0-Vo^ (1.7.15) при Уо = 1, s == 0. Таким образом, окончательно из (1.7.9—1.7.11) получим частные решения У1(0=У1^|у.=1..=о=1, (1.7.16) ^(0=У2^|^1,.=о==1, (1.7.17) из(0=Уз^|у.=1,,=о=1. (1.7.18) Используя результаты примера 1.6.1, запишем полные решения vi(t)= 1 тАе-ч^, (1.7.19) u, (t) == 1 + Be-'^elvs twc + B'e-^Cg-/ тТ twc^ (i ,7.20) v, (<)=!+ Ае-ч^ + Be-/"/3e~'/2^Cg/ -cT tiwc _^. + J3*e;"/3e- 1/RC значительно меньше 1. Таким образом, данная цепь |Н(ум)| WRC -г70 ,~ wyH(j^) Рис. 1.20. Частотная характеристика ФНЧ Баттерворта третьего порядка. при входном воздействии Оо (<) и выходном сигнале Vy (t) пропус- кает низкие частоты и (до какой-то степени) задерживает или подавляет высокие частоты. Поэтому она называется фильтром нижних частот. Поскольку граница между полосами пропуска- ния и подавления проходит вблизи к» = \/RC, эта точка назы- вается граничной частотой или частотой среза фильтра. Как мы увидим далее, существует много различных видов фильтров ниж- них частот (ФНЧ); фильтры, для которых \HUw)\•t==——!——.-, (1.7.33) ' \1 " 1 + (о/<йо)2" называются фильтрами Баттерворта п-то порядка с частотой среза ©о. 1.8. Выводы Используя метод уравнений состояния или метод узловых на- пряжений, можно непосредственно получить систему динамиче- ских дифференциальных уравнений для любой цепи с сосредото- 1.8. Выводы 39 ченными параметрами. Если цепь линейна и инвариантна во вре- мени, то решение этих уравнений, состоящее в нахождении либо реакции на нулевое входное воздействие, либо частной реакции на экспоненциальный сигнал, начинается предположением о на- личии экспоненциальных решений вида Ае^. В результате диф- ференциальные уравнения преобразуются в систему алгебраиче- ских уравнений относительно амплитуд экспонент. В случае отыс- кания реакции на нулевое входное воздействие эти уравнения одно- родны, что обусловливает возможность ненулевых амплитуд только для определенных характеристических частот. Таким образом, в общем виде реакция на нулевое входное воздействие представ- ляет собой сумму экспоненциальных членов на характеристиче- ских частотах, причем амплитуды этих членов получаются из данных о состоянии цепи в начале интервала нулевого воздействия (или эквивалентной информации). В случае экспоненциального входного сигнала, пропорционального е^, алгебраические урав- нения, получаемые из предположений о наличии решений вида Ае^ не являются однородными, что в общем случае обусловливает свое значение амплитуд для каждого частного решения задачи. Полное решение получается путем суммирования этого частного решения с членами, соответствующими реакции на нулевое вход- ное воздействие. При этом амплитуды выбираются такими, чтобы полное решение удовлетворяло известному состоянию системы в некоторый момент времени (или эквивалентной информации). Эти «классические» методы анализа поведения цепи могут модифицироваться в различных направлениях. Например, алгеб- раические уравнения, получаемые в результате подстановки решений вида Ае^ в динамические дифференциальные уравне- ния, могут быть записаны непосредственно из схемы (т. е. без предварительного составления дифференциальных уравнений) с помощью импедансных методов. Читатели, по всей вероятности, уже накопили некоторый опыт использования импедансных ме- тодов в более ранних курсах. Разработка импедансных методов с помощью нового средства — преобразования Лапласа — будет одной из целей следующей главы. Преобразование Лапласа поз- воляет также получить формальную процедуру для нахождения реакции линейной инвариантной во времени цепи на произволь- ный входной сигнал, имеющий форму не только экспоненты или совокупности экспонент, анализом которых, как может показаться, ограничиваются «классические» методы данной главы. В конеч- ном итоге, однако, станет ясно, что значительные возможности преобразования Лапласа обусловлены тем, что функция практи- чески любой формы может быть представлена как сумма экспо- нент. В этом заключается основа метода фур ье-анализа. Таким образом, полезность частотных методов для изучения поведения ЛИВ-систем, включая импедансные методы и их обобщение до 40 1. Динамические уравнения для простых цепей понятия системной функции, не ограничивается экспоненциаль- ными воздействиями, а простирается значительно шире. Область применения методов ЛИВ-анализа чрезвычайно разно- образна и богата. Это делает язык ЛИВ-моделей исключительно ценным инструментом как для понимания, так и для разработки сложных динамических структур, подобных тем, которые исполь- зуются при обработке сигналов, в измерительных системах, а также в системах связи и управления. Помочь вам научиться не только «решать» задачи, но и «говорить» на этом языке — вот истинная цель данной книги. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1 Упражнение 1.1 Предполагается, что все сигналы определены в интервале —со < << оо. а) Покажите, что каждое из нижеприведенных основных соотношений опи- сывает двухполюсный элемент, который является линейным и инвариантным во времени. 1)^°-+"«)=.(0. 2) v (t) =-i(t-l), t 3) »(<)= [ v (т) cos (t — t) dt, —go t 4) f(0=Jt>(T)dT+f(0). б) Покажите, что каждое из нижеприведенных основных соотношений опи- сывает элемент, который не линеен и/или не инвариантен во времени. 1) v(t)i(t)=l. t 2) i (<) = J v (т) dr. О 3) о (t) = i (<) cos t, 4) v (t) =i (<)+!. Упражнение 1.2 а) Задайтесь исходным узлом и соответствующими узловыми напряжениями для каждой из приведенных на рис. 1,21 цепей; запишите соответствующие динамические уравнения в узловой форме. б) Задайтесь соответствующими переменными состояния для каждой из ни- жеприведенных цепей и запишите соответствующие динамические уравнения в форме уравнений состояния. Рис. 1.21. Ответы: - ^(Ц. 1а) 16) d[^(Q-o,(Q] t,i(Q „ dt ' R ~~ С dvc (<) OQ (0 + УС (О dt ~ ———R———• Рис 1,22. Рис. 1.23. 2а) -^- J », (т) dx + IL (0) + ^-^oW - g„ [., (0 -.„(<)]= 0. 26) L^^(0+-1^-. sm "^ n Рис. 1.24 44 1. Динамические уравнения для простых цепей х(Ц Рис 1.28. Упражнение 1.7 0,1 мкФ ,, 0,5 мкФ ' Г^1 20к0м^ ^olt ;~ 2мкФ 1мкФ I 14 Гн | 1,67 кОм > в /т^ЧмкФ Ответы: о Ле ,-250t | п -250С/3 в Ае-"°'+Ве- е Ae-^'+Bte-101 г ^-""'(^DOt+fl) Рис. 1.29. Определите собственную частоту и реакцию на нулевое входное воздействие (РНВ) для каждой из схем на рис. 1.29. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1 Задача 1.1 С физической точки зрения напряжения на емкостях и токи в индуктивностях являются, очевидно, вполне достаточной совокупностью переменных состояния, поскольку их текущие значения описывают локализацию запасенной энергии в цепи и, таким образом, определяют общий эффект, который прошлые стиму- лирующие воздействия могут оказывать на будущее поведение. Однако не менее очевидно, что они в этом отношении не являются единственными; любая другая комбинация величин, из которых алгебраическим путем могут быть получены напряжения на емкостях и токи в индуктивностях, также является вполне под- ходящим набором переменных состояния. Задачи к главе 4Б а) Преобразуя узловые уравнения из примера 1.3.2 в форму уравнений со- стояния, докажите, что для этой цепи узловые напряжения образуют соответ- ствующую совокупность переменных состояния. б) С помощью каких-либо простых примеров покажите, что узловые напря- жения не всегда образуют соответствующую совокупность переменных состояния. Задача 1.2 Три индуктивности, изображенные на рис. 1.30, это либо три независимые ка- тушки, либо эквивалентная схема двух связанных катушек (см. задачу 3.7). В любом случае в соответствии с ЗКЛ в центральном узле лишь два тока через индуктивности могут быть независимыми. Поэтому цепь имеет только две неза- висимые переменные состояния, а следовательно, ее порядок не третий, а второй. Рис. 1.30. а) Выбрав в качестве независимых переменных состояния t'i (t) и iy (f), запишите выражения для v. (t) и Од (<), пользуясь лишь t. (t), t'„ (<), о (f) и 1д (<). б) Рассматривая Т-образную схему из индуктивностей как четырехполюс- ник (см. приложение к гл. 3), получите характеризующие его уравнения в виде dii (t) dt dt» (0 dt = Гц01 (t) + Г„о, (<), - r,i0i (<) + Г„о, (f) и определите {Г^} через [L^]. в) Используя результаты (а) и (б), получите для вышеприведенной цепи уравнения состояния в обычной форме. Задача 1.3 При соответствующих значениях параметров схема, приведенная на рис. 1.31, работает как неинвертирующий интегратор. Рис. 1.31. 2 ОДНОСТОРОННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 2.0. Введение Динамическая система в технике обычно характеризуется своим функциональным назначением — усилитель, контроллер двига- теля, радиопеленгатор и т. д. Для физических систем, наблюдае- мых в природе (например, солнечной), достаточно ответить на вопрос «Как она действует?» В случае же технической системы необходимо также выяснить: «Для чего она предназначена?» Аналогичный интерес к целевому назначению возникает при изу- чении биологических систем и общественных формаций, которые, как обычно считается, развивались в условиях ограничений, породивших видимость целенаправленности. Таким образом, при изучении технических систем приходится постоянно обращаться как к их функциональным описаниям (пере- даточная функция, «черный ящик»), так и структурным (принци- пиальная или блочная схема, характеристика состояния). Пере- ход от структурного к функциональному описанию требует ана- лиза заданной структуры для определения ее передаточной ха- рактеристики. Обратный переход может потребоваться при син- тезе структуры с заданной функциональной характеристикой. Математически функциональное описание системы имеет вид оператора 1} у (t) - / [х (t), ^ (0), ^ (0), ... Кп (0) 1, (2.0.1) ') В дальнейшем, при обсуждении общих вопросов, касающихся поведения систем без конкретизации размерностей (напряжение, ток, смещение, темпера- тура и т д.) входных и выходных временных функций, мы будем обозначать входной сигнал через х (t}, выходной — через у (t), а переменные состояния — через \i (t). Системы, естественно, могут иметь более одного входа или выхода; в этом случае в выражение (2.0.1) потребуется внести соответствующие формаль- ные изменения. Заметим, что система, характеризующаяся (точечной) функцией вида у (t) == х2 (t) является более ограниченной, чем система, характеризующаяся i оператором типа у (t} = \ х (т) dv + у (0); в первом случае текущее значение о выходного сигнала зависит лишь от текущего значения сигнала на входе, тогда как- во втором случае величина выходного сигнала зависит от значений сигнала на входе в различные моменты времени, например в течение всего интервала от t == 0 до настоящего момента. Более того, наличие в выражении компонента у (0) свидетельствует о том, что в выходном сигнале учитываются даже более отдаленные воздействия 2.1. Одностороннее преобразование Лапласа 57 который в явном виде устанавливает однозначное соответствие выходного сигнала у (t), i > 0 каждому входному воздействию х (<), t > 0 и каждому начальному состоянию, описываемому ^i (0)' ^а (0)' ••• ^n (0)- Конкретная система может иметь несколько эквивалентных х) функциональных, равно как и структурных описаний (например, схему цепи, систему уравнений в узлах, систему уравнений состояния). Наша главная задача в настоящей главе состоит в том, чтобы, пользуясь методами преобразования Лапласа, получить так называемое частотное представление функ- ционального описания ЛИВ-системы. В последующей главе мы будем изучать эквивалентное временное представление. 2.1. Одностороннее преобразование Лапласа Одностороннее преобразование Лапласа (сокращенно ^-преобразо- вание) представляет собой оператор, отображающий функцию вре- мени в функцию комплексной переменной s = о + /со в соответ- ствии с формулой 00 Х (s) =- 2 [х (t}\ = J х (t} e-5' dt. о (2.1.1) Следует подчеркнуть, что данный интеграл отображает х (I) в функцию переменной s. Нас интересуют значения Х (s) не в ка- кой-то отдельной точке, а в некоторой области комплексной s- плоскости, поскольку (как будет обсуждаться в дальнейшем) при задании Х (s) в некоторой области s-плоскости мы, вообще говоря, можем однозначно восстановить х (t) для t > 0, т. е. преобразование Лапласа обеспечивает взаимно однозначное соот- ветствие. Именно это свойство взаимной однозначности и обусловливает полезность преобразования Лапласа 2). Так, предположим, что нам требуется описать оператор у (t) == f [х (t), {X; (0)} ], характе- ризующий некоторую систему. Вместо прямого решения этой задачи часто проще и нагляднее оказывается описывать оператор 1) Два оператора эквивалентны, если для каждого состояния и входного воздействия они дают один и тот же отклик при одинаковом состоянии и входном сигнале. 2) Как видно из названия, ^-преобразование является одним из многих вкладов в математику и физику маркиза Пьера Симона де Лапласа (1749—1827), который указал на взаимно однозначное соответствие между двумя функциями и применил свои результаты для решения дифференциальных уравнений в статье с загадочным названием «О том, что следует», опубликованной в 1779 г. Однако истинная ценность ^-преобразования для решения прикладных задач оставалась неизвестной в течение более ста лет, до тех пор, пока его по существу вновь не открыл и не распространил эксцентричный английский инженер Оливер Хевисайд (1850—1925), исследования которого оказали серьезное влияние на многие аспекты современной электротехники. 58 2, Одностороннее преобразование Лапласа У (s) = F [X (s), {Kf (0)}], связывающий преобразования Лап- ласа для входного и выходного сигналов. В силу взаимной одно- значности это эквивалентно искомому описанию. По причинам, которые будут описаны ниже, s называется комплексной частотой. Таким образом, оператор Y (s) == F [X (s), {^, (0)}], как говорят, характеризует систему в частотной области, тогда как у (t) == == f [x (i), {Ki (0)}] характеризует ее во временной- области, вход выход + ^ временная область ->- х (t) =>- у (t) = / [х (t), {^(0)}], t t частотная область -»- Х (s) => Y (s) = F [X (s), {^(0)}. Преобразование Лапласа в качестве математического инстру- мента для вычисления отклика на конкретные простые воздей- ствия полезно главным образом, для систем, функционально экви- валентных сосредоточенным ЛИВ-цепям умеренной сложности, скажем 3-го порядка. В случае нелинейных или изменяемых во времени систем описание или оценка F [ • ] обычно ничуть не легче, чем / [ • 1. Для простейших ЛИВ-систем (1-го порядка) с простыми входными воздействиями наиболее эффективны, как правило, прямые методы (как в примере 1.7.1). Очень большие системы во всех случаях требуют технических вспомогательных средств; методы преобразования Лапласа сопряжены с обработкой матриц, содержащих алгебраические элементы (функции s), и включают нахождение корней полиномов высокого порядка, причем обе эти процедуры трудно реализуемы в компьютерах. Однако внутри своей, хотя и ограниченной, но важной области, преобразование Лапласа является удивительно эффективным средством для ре- шения задач теории цепей, и, что еще более важно, оно дает пони- мание общих свойств и поведения систем. 2.2. Примеры ^-преобразований и теоремы Пример 2.2.1 x(f)=l, t>0, 00 *х(П I X (s) = \ х (t) e-5' at = о 00 00 = f le-5' at = — -1- e-^ \ = -\- J s ' \ s Рис. 2.1. О 6 при условии, что Re [s] > 0 так, что e~si -»- 0 при i ~> оо. * * * 2.2. Примеры ^-преобразований 59 Пример 2.2.2 ^(<)=е-"<, <>о. оо X(s)= (е-»'е-"^= ? 1 s-l-a . g— (S+(X) < s+» 0 Рис. 2.2. оо. при условии, что Re [s] > —а так, что e-WX ->0 при t • • « Заметим, что значения х (t) для t <^ 0 не влияют на Х (s) (и поэтому, очевидно, не могут быть восстановлены из Х (s)). Следовательно, а) S [Ц = S [и (t)] =4-, Re [s] > 0; 6) S [e-°<] = 2 [e^u (t)] = 2 [и (-t) + е-^и (t)] == -^, Re [s] > —ос Двухстороннее преобразование Лапласа, определяемое как 00 [ х (t) er^dt, зависит от х (t) для t < 0 и обладает к тому же ря- ^—со дом других свойств, которые будут кратко рассмотрены в при- ложении к гл. 14.) Важно также отметить, что интеграл, определяющий Х (s), часто существует лишь в ограниченной области s-плоскости, называемой областью (абсолютной) сходимости. Должно быть очевидным, что если х (i) не имеет особенностей, а скорость ее роста не превышает е0»' для некоторого конечного значения Оц, то произведение е~^х (t) будет абсолютно интегрируемым в пра- вой полуплоскости, Re [s] > Сто- Минимальное (действительное) число Сто. лр" котором выражение е~^х (t) абсолютно интегрируемо для всех ст :> Сто, называется абсциссой (абсолютной) сходимости. Область абсолютной сходимости может занимать целиком всю s-плоскость, так что Сто = —оо. Это справедливо, например, если х (t) — импульс, т. е. если х (i) не равно нулю лишь на ко- нечном интервале времени. С другой стороны, если х (i) растет быстрее, чем любая экспонента, например х (t) = е^, то области сходимости не существует и методы преобразования Лапласа не могут быть применены. Большинство представляющих для нас интерес Х (s) — ра- циональные функции (отношения полиномов относительно s). 60 2. Одностороннее преобразование Лапласа Корни полинома-знаменателя являются значениями s, при ко- торых функция Х (s) -*- оо, они называются полюсами. Корни полинома-числителя называются нулями. По определению в об- ласти сходимости не может быть полюсов; для рациональной функции Х (s) =~- 3 [х (t) ] областью сходимости является зона, лежащая правее самого правого полюса. Однако, как видно из следующих примеров, в наших исследованиях будут часто появ- ляться преобразования, не являющиеся рациональными функ- циями. Пример 2.2.3 x(t)=u(t-T), t>0, T>Q. X(s)= [x(t)e=s^dt= \e-"dt -sT Рис. 2.3. при условии, что Re [s] > 0, так что е-*1 -- 0 при t -*• оо. * * * Совместно примеры 2.2.3 и 2.2.1 являются иллюстрацией общей теоремы: ТЕОРЕМА ЗАДЕРЖКИ1): Пусть 3 [х (t) ] == Х (s). Тогда для Т > О, 2 [х (t - Т) и (t - Т)] = Х (s) е-^. (Доказательство теоремы задержки следует непосредственно из простой замены переменной в (2.1.1). Заметим, что теорема за- держки в общем случае не справедлива для Т < 0. Это можно показать с помощью ^-преобразований х (t) = и (t) и х (t -(- + 1) и (t -)- 1) = и (t + 1). Можете ли вы сформулировать усло- вия, при которых она справедлива для Т < 0 ?) 1) В некоторых математических руководствах по преобразованию Лапласа называется теоремой смещения: / Т \ S \х (t + Г)] =esт^X(s)-{x (1} е-^ dt \ о ) (см., например, Г. Дёч. «Руководство к практическому применению преобразо- вания Лапласа». — М.: ГИФМЛ, 1960, с. 21- — Прим- ред.). 2.2. Примеры ^-преобразований 61 Пример 2.2.4 x(t)= 1, 0T, x(r) X (s) = {x (t} е-ч dt = {le-^dt = — -j- e-^ \ = 00 0 == —(1 — е~^\ при всех s. * * * Рис. 2.4. Заметим, что импульс х (f) в примере 2.2.4 можно записать в виде разности двух временных функций х (0 = 1 — и (t — Т), t > О, Т > 0. Результирующая Х (s) представляет собой разность преобразо- ваний каждой из указанных функций времени. Это также является примером общей ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОСТИ: Пусть S[x^(t}]=Xi(s) и S[x.,(t)]=X^(s). Тогда 3?[axi(t)+bx^(t)]==aXi(s}+bX^s). (И опять доказательство теоремы линейности следует непосред- ственно из (2.1.1).) Ясно, что ни одно из преобразований, полученных в примерах 2.2.3 и 2.2.4, не является рациональной функцией из-за присутствия е-'7. Однако, вблизи точки s = 0 выражение (1/s) е-87' ведет себя почти также, как 1/s; у него имеется полюс в точке s = 0. По- скольку е~^ не имеет особенностей для всех конечных s, область сходимости в примере 2.2.3 соответствует Re-Is] > 0. Несмотря на свою структуру, выражение преобразования Лапласа для импульса из примера 2.2.4 (1/s) (1 — е-»7')1) не имеет особенностей для всех s, включая s = 0. В самом деле, для существования 3- преобразования импульсного сигнала из примера 2.2.4 никаких ограничений на s налагать не требуется, так что область сходи- мости в этом случае занимает целиком всю плоскость. Теоремы линейности и задержки полезны тем, что позволяют без интегрирования находить ^-преобразования многих интерес- ных функций. Приведем несколько примеров. 1} lim- •-о = Т. — Прим. ред. 62 2. Одностороннее преобразование Лапласа Пример 2.2.5 x(t) — p—at. •e-f" t>0, x (s) == s+ct ~ "s+0 (S+(X)(S+P) • Область сходимости ограничивается /е-т либо Re [s] >—«, либо Re Is] > -i / > — Р в зависимости от того, что из них находится правее. Рис. 2.5. * * * Пример 2.2.6 x (t) == sin Qot = — [el^ - е-?0»'], i > О, 2/ Для /9 > а X(s) 2/ s- 2/ s+/'u»o До S2 + (0§ ' Re [si > 0. * * * Пример 2.2.7 х(П x(t)= sin u>ot, ДЛЯ 0 « < Я/(0о для всех других t Jl (Оо (Во Рис. 2.6. (Оо = sin (i>ot + +sincй^--Й•"[<-^]' (Оо у /<л — " _L 0 е—эя/и» = - •"» /1 J_ <'—s"/"o^ n пя RCPY л W — ,2 + cog ^ s2 + t0§ е S2 + t0§ \ г /> д s. Эта Х (s) не имеет полюсов ни в одной точке конечной s- плоскости. (Очевидные полюса в точках s = ± /tOg компенсируются в этих точках нулями выражения (1 -)-е"5"7"»).) * * * В дальнейшем мы, как правило, будем опускать указание обла- стей сходимости, подразумевая при этом, что существует некото- рое значение Сто, такое, что для Re [s] > Стд sse преобразования, производимые в конкретной задаче, достаточно определены. 2.3. Обратное преобразование Лапласа Схема, предложенная в разд. 2.1 для анализа систем с помощью преобразования Лапласа, требует возможности обращения опи- санного выше процесса и восстановления х (t) по заданной Х (s). 2.3. Обратное преобразование Лапласа 63 Можно показать (это совсем не очевидно), что эта задача решается с помощью обратного преобразования Лапласа х (t) = 2^ [X (s)l = -2^- \ X (s) ^ ds, (2.3.1) где интегрирование ведется вдоль соответствующего контура С в комплексной плоскости. Этот интеграл может оказаться исклю- чительно удобным во многих случаях, однако возможности и эффективность его использования зависят от глубины понимания теории функций комплексного переменного, что выводит эту задачу за рамки наших исследований. (Тем не менее эти вопросы мы еще затронем после знакомства с преобразованием Фурье в гл. 14.) Для наших целей вполне достаточной будет реализация об- ратного преобразования путем разложения Х (s) на сумму членов, каждый из которых является прямым преобразованием простой функции времени. Окончательное выражение для искомого пре- образования получается с помощью теоремы линейности и теоремы единственности (одна из формулировок которой представлена ниже). ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ: Если Xi (s) = 2 [xi (0 ] и Хг (s) = 2 [ху (t) ] существуют и равны в любой малой области s-плоскости, то Xi (s) = = Ха (s) во всей общей для них области сходимости, а х^ (t) == Ху, (t) почти всюду для t > 0. Эта теорема означает, что для практических целей обратное пре- образование является единственным п. Методика нахождения обратного преобразования, которую мы собираемся изложить, работает всегда, когда Х (s) является ра- циональной функцией, а также в некоторых других случаях. Идея состоит в том, что любую рациональную функцию можно разложить на элементарные дроби. В частности, если рациональ- ная функция является правильной (степень числителя меньше степени знаменателя—это ограничение мы снимем в гл. 11) и если корни знаменателя (полюса Х (s)) являются простыми или *) Естественно, из Х (s) ничего нельзя узнать относительно х (t) для «О. Выражение «почти всюду» означает, что х^ (t) и Жд (t) могут отличаться в изоли- П, при ^1) рованных точках, например х^ (t) == 1, х^ (t) == < >; однако в силу (. 0, при t = 1 ) причин, которые мы рассмотрим в гл. 11, на практике эти отличия не играют роли. Доказательство теоремы единственности приведено, например, в работе D. V. Widder. The Laplace Transform (Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1946) p. 63. Единственность тесно связана с тем, что Х (s) является аналитиче- ской функцией во всей ее области сходимости, т. е. Х (s) можно разложить в схо- дящийся ряд Тейлора относительно любой точки в этой области. 64 2. Одностороннее преобразование Лапласа различными (это ограничение будет вскоре снято), то всегда можно записать .л—1 ат^^ан-!^""^--- +ap у/-. ап5" + an-is"~1 + • • • + ар л (s) - ~^т——————————————————— •+&0 +••• + (s-Sp^)(s-Sp^ ... (s-SpJ km S" + frm-lS"-' + fel i ^2 •+ (2.3.2) s —s, S—S, s—s, "Pi ' "P. ° "Pm где ^i, k^, ... , km — соответствующий набор констант, называе- мых вычетами \}. Как только будут найдены ki, сразу же можно записать выражение для соответствующей х (t) в виде x{t) = k^^ + k^^ + ... + ^spm', t > 0. (2.3.3) Это выражение или его обобщение, включающее случай кратных полюсов, часто называют теоремой разложения Хевисайда. Из выражения (2.3.2) должно быть очевидным, что для Х (s) с простыми полюсами вычеты легко находятся по формуле ^=[X(s)(s-^)]^. (2.3.4) Следующие примеры иллюстрируют использование метода разло- жения на элементарные дроби при нахождении обратного преоб- разования Лапласа для Х (s) с простыми полюсами. Пример 2.3.) у , ^ _ s+3 _ s +3 _ fep i fei л (s' ~~ s^+s ~ s (s + 1) - s ' s + 1 ' где s+3 ko = [X (s) s],=o = =3, S + 1 |s=0 -2. A-i=[X(s)(s+l)b=-i==^3 Таким образом, ^(s)=±--,l-^-=>x(t)=з-2e-^ <:>0- Поскольку операция разложения на элементарные дроби является алгебраическим тождеством, ее можно и должно всегда проверять путем обратного преобразования разложения в рациональную дробь у /„х ^ 3 (s + 1) - 2s _ s+3 л W s Is -I- П ~ s3 -|- .< s(s+l) 1) Обратите внимание, что нормировка X (s) в (2.3.2) осуществляется таким образом, чтобы в знаменателе коэффициент при максимальной степени s был равен единице. Невыполнение этого условия является распространенным источ- ником ошибок в оценке вычетов. 2.3. Обратное преобразование Лапласа 65 Пример 2.3.2 X(s) где S+ 1 S+ 1 ^__fe___l_--fe——— "s^TT" (^+/)(5-/) s+^ s-/ ' 1-/ -2/ k+ = [X (s) (s + j)}^i = ^Ц- ^ s+1 1+/ k, = [X (s) (s - j)}^ - -^ ^ = ^r - -^ ^-w^• Таким образом, х u\ ^ \_ g/n/4g-/< i '_ е°/яЛе// = -^2 cos (t — л/4), t > 0. \ ' 1^2 1^2 Заметим, что поскольку полиномы числителя и знаменателя имеют действительные коэффициенты, полюсы, равно как и вычеты, по- лучаются в виде комплексно сопряженных пар. Пример 2.3.3 X(s)= g_ (s+a) T s-\-a Это выражение не является рациональной функцией, но оно может быть записано как сумма произведений рациональных функций и множителей в~'•T\ 1 ,-"Г -sT X(s) s + a s + » Следовательно, на основании теоремы задержки x(t)==e-aт—e-aт[e-a^•t-т\lu(t—T)]=e-rlt—e-atu(t—T), <>0. х{1} ^-^'-^-"^(г-т-) Рис. 2.7. Это - импульсообразный сигнал, причем мы видим, что факти чески Х (s) не имеет полюсов ни в точке s = — «, ни в какой либо другой точке конечной s-плоскости; область сходимости яанимает целиком всю плоскость. 3 Сиберт У. М. 4 ПОЛЮСЫ И НУЛИ 4.0. Введение Для любой ЛИВ-цепи с сосредоточенными параметрами систем- ная функция Н (s) всегда имеет форму отношения полиномов аргумента s, т. е. является рациональной функцией. В соответ- ствии с основной теоремой алгебры любой полином может быть разложен на множители, соответствующие его корням QnS" + On-lS"-' + "n-zS"-2 + • • • + OlS + QO = == a„ (s — Si) (s — Sg) ... (s — Sn). Таким образом, рациональная системная функция Н (s) всегда может быть записана как Н (s) = К (s-s^)(s-s^) ... (s-s^) (^piK5-^) ••• (^рм) и полностью определена (с точностью до действительной постоян- ной) корнями полиномов числителя и знаменателя — нулями Szi и полюсами Spi функции Н (s). Расположение нулей и полюсов обусловливается как типом системной функции (например, вход- ной импеданс или передаточное отношение), так и элементами, входящими в состав цепи, и топологией схемы. Положение нулей и полюсов содержит значительную информацию — как каче- ственного, так и количественного характера — относительно свойств системы, включая, в частности, основные особенности ее частотной характеристики Н (/со). Такова тематика данной главы. Этим мы по существу "завершим изучение цепей, состоящих из простейших электрических элементов. В следующей главе мы приступим к анализу систем, элементы которых сами являются системами или сложными цепями. 4.1. Диаграммы полюсов-нулей Часто наиболее наглядным и удобным способом охарактеризовать системную функцию является графическое изображение распо- 4.1. Диаграммы полюсов-нулей 119 ложения ее полюсов и нулей на комплексной s-плоскости, назы- ваемое диаграммой полюсов-нулей. Пример приведен на рис. 4.1. s+l H(S) = Рис. 4.1. Пример диаграммы полюсов-нулей. Тип используемых элементов, а также структура цепи огра- ничивают области s-плоскости, в которых могут располагаться нули и полюсы. Прежде всего важно отметить (как показано в гл. 2) что, поскольку величины элементов являются действительными числами, полюсы и нули располагаются либо на действительной ст-оси (например, нуль на рис. 4.1), либо в виде комплексно-сопря- женных пар симметрично относительно оси ст (например, полюсы на рис. 4.1). Более того, если цепь составлена только из положи- тельных R, L и С (допустимы трансформаторы и связанные ка- тушки, но не управляемые источники), то полюсы системной функ- ции должны лежать в левой s-полу плоскости или на оси /со (т. е. a <$ 0); доказательство приведено в задаче 4.4. Цепи, состоящие исключительно из положительных R, L и С, являются пассивными. Системные функции, полюсы которых не лежат в правой s-полу- плоскости, называются устойчивыми; пассивная ЛИВ-цепь яв- ляется устойчивой 1). 1) Обратное утверждение неверно: устойчивая цепь не обязательно пас- сивна — в этом мы уже не раз убеждались на примерах с использованием опе- рационных усилителей; подробно этот вопрос будет обсуждаться в гл. 6. В более общем виде пассивность означает, что энергия, которую можно получить от эле- мента или цепи, не может превосходить конечной величины, определяемой на- чальным состоянием; см., например, J. L. Wyatt, Jr., et at. IEEE Trans. Cir. & Sys., CAS—28 (1981): 48—61. Устойчивость означает, что эффекты от малых возмущений также малы; ЛИВ-система явно неустойчива, если ее РНВ содержит экспоненциально нарастающие компоненты. Этому соответствуют полюсы си- стемной функции в правой s-полуплоскости, указывающие на то, что в этом случае результат любого возмущения, сколь малым бы оно ни было, в конечном счете будет велик. Более глубокое обсуждение вопросов устойчивости, включая более строгие определения, содержится в гл. 6. 120 4. Полюсы и нули Для специальных классов пассивных цепей расположение полюсов подчиняется еще большим ограничениям (подробнее см. задачу 4.4.): 1. В ЛИВ-цепях, состоящих только из положительных R и L, либо только из положительных R и С (без управляемых источ- ников), все полюсы должны лежать в отрицательной части дей- ствительной оси. RC- или RL.-v.em иногда называют цепями с за- туханием, поскольку их РНВ является рчвешенной суммой моно- тонно убывающих экспонент. 2. В ЛИВ-цепях, содержащих только положительные L и С (без управляемых источников) все полюсы должны лежать на оси /св. Идеальные LC-цепи называются цепями без потерь и находятся на границе устойчивости; их РНВ является взвешенной суммой незатухающих синусоид, которые не нарастают и не умень- шаются. Для пассивной цепи нули системной функции — в отличие от полюсов — могут, вообще говоря, располагаться в любой точке комплексной плоскости, хотя опять-таки, для некоторых систем существуют определенные ограничения: 1. Если Я (s) является входным импедансом, т. е. если V (s) = Н (s) I (s), где V (s) являются ^-преобразованием РНС-напряжения на им- педансе Н (s), обусловленного источником тока / (s), то (как указано в разд. 3.2) l/H(s) также системная функция, а именно входная проводимость, удовлетворяющая уравнению /(s) H(s) где / (s) — ^-преобразование .РНС-тока, протекающего через импеданс Н (s) в результате воздействия источника напряжения V (s). В этом случае нули функции Н (s), являющиеся полюсами функции \1Н (s), должны подчиняться тем же ограничениям, что и полюса: в общем случае для пассивных ^LC-цепей они должны лежать в левой полуплоскости, для пассивных RC- и .RZ.-цепей — в отрицательной части оси о, а для пассивных LC- цепей г) — на оси /Q). 1) Эти ограничения на расположения нулей необходимы, но недостаточны для того, чтобы Н (s) была входным импедансом. Так, для RC-, RL- и LC-цепей, имеющих системные функции, соответствующие входным импедансам, полюсы и нули должны фактически перемежаться, что можно показать с помощью раз- вития методов, изложенных в задачах 4.5 и 4.6. Для общего случая RLC-ц.е.пн, имеющей системную функцию в виде входного импеданса, ограничения на рас- положение нулей могут быть получены из того, что з соответствии с задачей 4.5 импеданс должен быть «положительной действительной функцией» 2). 2) Относительно «положительных действительных функций» см., например, Г. Боде. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. —М.; ГИИЛ, 1948, гл. IX, с. 206; И. С. Га-юровский. Радиосигналы и переходные явления в радиоцепях. — М.: ГИЛСР, 1954, § 34, с. 90. — Прим. ред. 4.1. Диаграммы полюсов-нулей 121 2. Цепь лестничного типа структурно выглядит как «лестница» с перемежающимися последовательными и параллельными вет- вями. Можно показать, что нули любой передаточной функции лестничной цепи должны находиться в левой полуплоскости. Для RC- или ^L-лестничной цепи нули должны лежать в отри- цательной части оси сг, для LC-цепи лестничного типа они должны располагаться на оси /со. Пример 4.1.1 Двойная Т-образная схема (рис. 4.2) это широко применяемая Рис. 4.2. Двойная Т-образная цепь. РС-и,еяъ, которая состоит из двух параллельно соединенных простых цепей лестничного типа (рис. 4.3). Полные входную и передаточную проводимости в режиме короткого замыкания двой- ной Т-образной схемы (см. приложение к гл. 3) можно легко найти, суммируя полные проводимости в режиме короткого за- мыкания составляющих ее элементарных цепей (в силу своей структуры названных Т-образными): ^^ "•" с I с v!(t) 'R/2 + 40 Рис. 4.3. Элементарные Т-образные цепи, из которых составлена двойная Т-об- разная цепь на рис. 4.2. _ Cs(s+2,K'C) ~ 2(s+i/KCT Y^(s)^Y^(s)= _ __—Cs3__ 2(s+l//?C) ' Y'n(s)^Y^(s)^ S+1/2RC ~ R (s + l/RC) ' Y^(s)»Y'^(s)= _ —I____ ~ 2R•tC(s+l/RC)~• 122 4. Полюсы и нули Следовательно, у ,,_ Cs(s+'2/RC) , S+1/2RC __ Yii(S)—yw(.s)— ^(s+l/RC) i R(s+l/RC) С (s2 + As/RC + l/^C2) - 2 (s + l/RC) __^2 1 ^12 (s) = У 21 (s) = 2(s+\/RC) ~ 'WC (s + l/RC) = —C (s2 + 1/^C2) — 2 (s + 1/^C) Отметим, что Уц (s) является полной входной проводимостью /?С-цепи, полюса и нули которой, как показано на рис. 4.4, яс -е- -0,268 яс ЯС s-плос кость 1 1Ш . 1 ЯС s-плоскость J_ 'яс Рис. 4.4. Диаграммы полюсов-нулей для Уц (s) (слева) и У^ (s) (справа). находятся в отрицательной части действительной оси (и переме- жаются в соответствии с предыдущим примечанием). Теми же свойствами характеризуются Уц (s) и У ц (s). С другой стороны, Y^ (s) является полной передаточной проводимостью 7?С-цепи^, у которой полюс, как и требуется, располагается в отрицательной части действительной оси, а нули лежат на оси /и. (Двойная Т- образная схема не является цепью лестничного типа, в силу чего нули полной передаточной проводимости не обязательно должны лежать в отрицательной части действительной оси. Заметим однако, что У;2 (s) и У"\ч (s), которые соответствуют полным пере- даточным проводимостям .RC-цепи лестничного типа, имеют нули в точках s=0 или s = со, которые, по крайней мере в предель- ном смысле, находятся в отрицательной части действительной оси.) Благодаря наличию нулей на оси /со, двойная Т-образная схема может использоваться для режекции или подавления вход- ных синусоид с частотами вблизи ю = MRC, что препятствует появлению на выходе цепи этих составляющих входного сигнала. (О применении см. задачу 4.13.) 4.2. Векторная интерпретация Н (}<а) 123 4.2. Векторная интерпретация Н (/со) Многие важные характерные черты Н (js>) как функции /со можно получить непосредственно из диаграммы полюсов-нулей для Н (s). Такое применение диаграммы основано на том, что комплексное число s — s„ может быть представлено в виде вектора на комплекс- ной плоскости, соединяющего концы векторов s и So. Длина этого вектора [ s — So 1; его угол равен arg (s — s„) (см. рис. 4.5). Вектор Sp Рис. 4.5. Векторное представление комплексных чисел s, Sy и s — So. Предположим теперь, что мы записали (^^Х5-^) ••• (s-^) (4.2.1) Тогда, выразив каждый член в форме величина — угол и положив s = /ей, получим и П'/*0-5»! (4.2.2) Y[\i4>—!>pi\ <=l N M arg Н (/(о) = S arg (jw - s„) - S arg (/a - Sp,), (4.2.3) t=i «=1 т. е. | Н (/со) | равен К, умноженному на отношение произведения длин векторов, соединяющих каждый из нулей с точкой /со на оси /со, к произведению длин векторов, соединяющих каждый из полюсов с точкой /'&). Аналогично угол вектора Н (/со) равен разности сумм углов отдельных членов. Ценность такого вектор- ного представления Н (/(о) лучше всего иллюстрируется примером. 124 4. Полюсы и аули Пример 4.2.1 Попытаемся найти системную функцию схемы на операционном усилителе, представленной на рис. 4.6. Пользуясь обычной экви- Рис. 4.6. Схема к примеру 4.2.1, валентной схемой идеального операционного усилителя, а также правилами суперпозиции и делителя напряжения, мы легко можем найти соотношение между Vi (s) и У 2 (s), приравняв напряжения на инвертирующем и неинвертирующем входах: ^•>(«^) . ^"ттт^ R (1/Cs) 1 R(l/Cs) " ' ~Cs "' R + l/Cs -• к+ I/LS _ „ (s)_^s— (4.2.4) +^——i——R^l/Csr-'^^Ro+R' ' ' D I _|_ "•'-'- ' " '' Cs ' R + l/Cs Преобразовав (4.2.4), получим =H(s)=K -LfJ- Q L - оо (Ry ->- 27?), полюсы приближаются к точкам ± /о)о (если же Ry > '2R, то полюсы перемещаются в правую полуплоскость, что означает неустойчивость системы). При изменении Ry диаграмма полюсов-нулей для этой цепи ведет себя точно так же, как диаграмма полюсов-нулей для импе- данса Z (s) параллельного резонансного контура, показанного на рис. 4.8, при изменении параллельного сопротивления R 11 s "fflt" Z(s)--,—————=/?- -JГ+-Ls+cs s "Юо". где K=R, щ=——, Q=RY^=^RC= V' LC R (O()L Таким образом, результаты, которые мы получили при исследо- вании соотношения между положением полюсов-нулей и частот- ной характеристикой для схемы с операционным усилителем, могут широко использоваться для большого класса резонансных систем. Резонанс заслуживает внимания главным образом, когда Q велико, скажем 10 или больше. При этом полюсы находятся 150 4. Полюсы и нуля Задача 4.15 В справочнике изготовителя операционных усилителей указывается, что приве- денная на рис. 4.43 схема может использоваться в качестве фильтра для подавле- ния «шипа» иглы в усилителе электрофона. Рис. 4.43. а) Покажите, что системная функция Н (s) = Уд (s)/Vi (s) (PHC) опреде- ляется выражением н (s) -= (RC^RCtRCs) s" + 2ДС„ (RCi + RC,) s2 + (RCt + 3RC.,) s + 1 • б) Нанесите полюсы Н (s) на диаграмму s-плоскости при Ci = 0,0022 мкф, Сг = 330 пф, Су = 0,0056 мкф, R =- 10 кОм. (Совет. Один из полюсов должен быть вблизи s == —2л-104 с"1.) в) Изобразите ( Н (/со) |. (СовеЛ. Считайте Н (s) аппроксимацией одного из фильтров Баттерворта нижних частот, описанных в разд. 4.3.) г) Изготовитель операционных усилителей указывает, что в этом фильтре нижних частот частота по уровню половинной мощности (частота, на которой I // (/(0) I2 == 0>5) может регулироваться с помощью строенного переключателя или потенциометра, одновременно изменяющего величину сопротивления R трех резисторов. Объясните это с помощью анализа структуры Н (s). Опишите положения полюсов и определите значение частоты на уровне половинной мощ- ности, если при увеличении R вдвое (до 20 кОм) значения емкостей оставлены без изменения. Проделайте то же самое для половинного значения R (5 кОм). (На эти вопросы можно ответить без повторных вычислений и повторного раз- ложения полинома знаменателя Н (s).) 5 СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ 5.0. Введение До сих пор в слова «цепь», «схема» и «система» мы вкладывали более или менее одинаковый смысл. Однако значения этих слов довольно различны. Из всех трех «цепь» возможно имеет наиболее чистый «электрический обертон», характеризующий циркуляцию носителей зарядов по замкнутым контурам. Слово «схема» под- черкивает лишь топологические характеристики структуры и слабо отражает функциональное назначение составных элементов. И наконец, слово «система», предполагает, что данную структуру целесообразно рассматривать иерархически — в виде подсистем, связанных определенным образом, а возможно даже, и как эле- мент суперсистемы. Изучение достоинств и недостатков иерархи- ческого «системного подхода» к сложным структурам является важным направлением данной книги, и именно сейчас наиболее подходящий момент для начала объяснения почему. Физическая наука оказалась наиболее эффективной в изуче- нии явлений, которые поддаются анализу, т. е. могут быть раз- ложены на составляющие, расчленены или представлены только через взаимодействие компонентов. В самом деле, возможность анализа (вместе с возможностью суммирования эффектов прошлых испытаний в наблюдаемом распределении энергии в системе) по существу определяет, что мы понимаем под «физической системой». Процесс же, обратный анализу, — синтез сложной структуры путем соответствующей связи элементов для реализации некото- рой поставленной цели — суть технического проектирования. В отличие от физических систем успехи науки и техники в пони- мании и управлении общественными, экономическими, политиче- скими или биологическими системами значительно скромнее. Характерная особенность этих систем состоит в том, что целое имеет тенденцию превосходить сумму отдельных частей или, во всяком случае, выглядеть отличным от нее (причем, часто ка- жется, что в этих системах прошлое в текущей структуре отра- жается более значительно, чем в распределении энергии или ее эквивалента в пределах инвариантной во времени структуры). 152 5. Связанные системы и обратная связь Другая особенность физических систем состоит в том, что процедуры анализа и синтеза обычно наиболее эффективны, если выполняются не сразу для всей системы, а по частям, этапам. Так, например, телевизионный приемник лучше всего представлять как высший уровень объединения усилителей, смесителей, генера- торов, фильтров, вентилей, детекторов и т. д., каждый из которых состоит из интегральных схем, транзисторов, резисторов, конден- саторов и т. д., которые в свою очередь состоят из различных базовых материалов, определяющих размеры, форму и взаимное положение. Попытка анализа такого устройства в один прием путем решения уравнений Максвелла для определения электро- динамического состояния всевозможных компонентов, образую- щих телевизор, была бы и чрезвычайно глупой (человеческое вос- приятие требует, по всей видимости, промежуточных иерархиче- ских уровней) и чрезвычайно трудной. Любопытно, что фактиче- ские вычислительные затраты, необходимые для решения большой проблемы, обычно выше, если проблема решается сразу целиком, чем если сначала она «расчленяется» на небольшое число под- проблем, которые решаются раздельно при произвольных гра- ничных условиях, а затем уже соединяется в одно целое. На каждом уровне иерархического процесса анализа/синтеза мы пытаемся объединить функциональные описания подсистем и структурную информацию об их взаимосвязи с тем, чтобы полу- чить функциональное описание более крупной системы, кото- рое в свою очередь может объединяться с функциональными опи- саниями других систем и структурной информацией об их взаимо- связи для получения функционального описания еще более круп- ной суперсистемы и т. д. Итак, в предшествующих главах мы изу- чали, как объединить функциональные описания ЛИВ-элементов электрической цепи (т. е. основные соотношения типа закона Ома) и структурные выражения, характеризующие топологию цепи (например, полученные из законов Кирхгофа), для получения полного функционального описания цепи (например, системной функции). В данной главе мы будем изучать некоторые свойства суперсистем, образованных путем соединения ЛИВ-систем, за- данных своими системными функцямии. Особое внимание будет уделено простейшему нетривиальному соединению—системе с об- ратной связью. По мере продвижения вверх по системной иерархии конкретные физические принципы, характеризующие поведение элемента на нижних уровнях, обычно становятся все менее важными. До сих пор наши обсуждения базировались в основном на элементах электрической цепи, хотя ясно, что математически аналогичные описания «вход-выход» равным образом применимы ко многим другим физическим явлениям, относящимся к механике, химии, теплоте, акустике, гидродинамике и т. д. В самом деле, как отме- 5.1. Простые соединения систем 153 чалось в гл. 1, подобные аналогии находятся тривиально для любого из аспектов: либо поток энергии, либо работа термодина- мических систем. Нефизические модели с той же или сходной мате- матической структурой широко используются в социальных и биологических научных исследованиях. Обычным примером яв- ляется макроэкономическая модель, в которой переменными «вход-выход» могут быть такие атрибуты, как налог, денежно- кредитная политика, нормы прибыли, показатели безработицы и инфляции, а также валовый национальный продукт. Учитывая такой расширенный подход, мы перейдем от электрических ве- личин типа напряжений и токов к более регулярному использо- ванию абстрактных символов, таких как х (t) и у (t) для входа и выхода соответственно. 5.1в Простые соединения систем. Влияние нагрузки Простейшие соединения систем делятся на каскадные (или по- следовательные) и параллельные, показанные в виде структурных схем на рис. 5.1. Если в качестве подсистем выступают ЛИВ- X(s) -X(s) X(s) X(s) H(s) -- H|(S)H^,(S)= f-ys| H,(s) His! -- H|(S)+H->(S) a 6 Рис. 5.1. Последовательное (а) и параллельное (б) соединения систем. системы, характеризующиеся своими системными функциями, то сочетания, изображенные на рис. 5.1, эквивалентны (по край- ней мере в части поведения РНС-характеристики «вход-выход») одной ЛИВ-системе, системная функция которой определяется, как показано, произведением или суммой составляющих систем- ных функций. Заметим, в частности, что поскольку произведение коммутативно, результирующая системная функция «вход-вы- ход» не зависит от порядка, в котором соединены ЛИВ-подси- стемы. По сути, ничего нового здесь нет — фактически мы поль- зуемся структурными схемами таким же способом с самого на- чала этой книги, правда, без тщательного обоснования. 154 б. Связанные системы и обратная связь Однако важно отметить, что хотя формулы, помещенные на рис 5.1, несомненно являются правильной интерпретацией смы- сла приведенных структурных схем, они могут дать недостаточно корректное описание аналогичных соединений соответствующих Рис. 5.2. ЛИВ-четырехполюсники, описанные коэффициентами передачи по на- пряжению в режиме холостого хода. попей Итак, рассмотрим два ЛИВ-четырехполюсника (рис. 5.2), для которых принимаем, что Я, (s) и Нъ (s) описывают, как ука- чано коэффициенты передачи по напряжению в режиме холо- стого хода, т. е. /ь (s) = Id (s) = 0. Соединим эти два четырех- H(s)= vd[s} ^ H| (s) Нг(5) в общем случае Рис. 5.3. Последовательное соединение четырехполюсников, изображенных на рис^ 5.2. потосника, как показано на рис. 5.3. Теперь уже в общем слу- чае нельзя сказать, что результирующая системная функция Н (s) = Н. (s) Яг (s), поскольку при таком соединении /ь (s) не обязательно равен нулю и, следовательно, Уь (s)/Va (s) не обязательно, как раньше, равно Н, (s). Более того системная функция при простом последовательном соединении будет в об- щем случае зависеть от порядка включения четырехполюсников. Для того чтобы системная функция последовательно соеди- ненных четырехполюсников равнялась произведению отдельных системных функций и не зависела от порядка включения, что мо- жет оказаться весьма удобным при проектировании, существует несколько приемов. Один из них — установить между этими двумя 5.1. Простые соединения систем 165 четырехполюсниками, как показано на рис. 5.4, повторитель на- пряжения в качестве буфера или развязывающего усилителя. Если этот повторитель входит в состав второго четырехполюсника, то этим гарантируется, что выходной ток первого четырехполюс- Рис. 5.4. Использование развязывающего усилителя при последовательном соеди- нении четырехполюсников. ника равен нулю даже при его соединении со вторым четырех- полюсником. Если повторитель напряжения входит в состав первого четырехполюсника, то этим гарантируется, что выходное напряжение первого четырехполюсника не зависит от потребляе- мого тока. В обоих случаях Н (s) == Н^ (s) Ну, (s). Если между четырехполюсниками устанавливать подобные развязывающие усилители либо если повторители напряжения являются входным или выходным каскадом обоих четырехполюсников, то результат их последовательного соединения не будет зависеть от порядка соединения. Примером использования подобной развязки может служить рассмотренное в задаче 4.9 1) каскадное соединение схем Саллена—Ки при синтезе систем, имеющих только полюсы. Еще один способ сделать системную функцию последовательно соединенного комплекса равной произведению системных функций компонентов — это замерить или рассчитать системную функцию Н^ (s) первого четырехполюсника при условии, что его нагрузкой является не разомкнутая цепь, а входной импеданс второго че- тырехполюсника. Тогда системная функция, как показано на 1) На практике порядок, в котором соединяются системы, часто чрезвы- чайно важен (даже при использовании развязывающих усилителей). Это зависит от пределов, в которых выбранные нами идеализации справедливы. Так, если мы соединим последовательно мощный усилитель и аттенюатор, то установка усилителя первым может вызвать перегрузку входных каскадов аттенюатора, тогда как установка первым аттенюатора может привести к такому слабому сиг- налу на входе усилителя, что начнут проявляться случайные наводки, пульсации источника питания и тепловой шум. Во избежание этой обоюдоопасной ситуации в цепях междугородной телефонной связи, например, (см. разд. 5.2) регулярно через несколько километров устанавливаются усилители, так что уровень сиг- нала никогда не опускается слишком низко и не становится слишком высоким. Естественно, результат последовательного соединения (даже теоретически) не зависит от порядка только в том случае, если обе системы линейны и инва- риантны во времени; это особенно важно при проектировании модулирующих и детектирующих систем. 156 6. Связанные системы и обратная связь рис. 5.5, будет, как и требуется, равна Я (s) = H^ (s) H^(s) (хотя изменение порядка компонентов даст тот же результат лишь в слу- чае, если Яг (s) определена аналогичным образом и соответствую- щие нагрузочные импедансы учтены). При разработке четырех- полюсников, предназначенных для соединения друг с другом в различных комбинациях (в качестве примеров можно привести такие компоненты тракта звуковоспроизведения, как усилители, микшеры, аттенюаторы, микрофоны, а также СВЧ-компоненты — волноводы или коаксиальные кабели), часто удобно так проекти- ровать каждый четырехполюсник, чтобы его номинальные харак- теристики реализовывались при запитке от тевениновского источ- 1,^51=0 Zgis) @ H|(S)= lols) l^ls)/r,(s) --Z^s) -- ^(s)/Ic(s)|l,(s)=o J<,(s)=0 Уд15) нг['•}~• Tw •c' ' I,(s)=0 (?) k,(Sl<=^>Q)^(S)H|(S)H2(S)^(S) "-' <^—- '-—^ ч—- Рис. 5.5. Переопределение функции Н (s) с учетом влияния нагрузки. ника и нагрузке в виде резистора определенной стандартной ве- личины (50 или 300 Ом). Е'сли это условие выполнено, а выходной каскад всегда нагружен на указанный импеданс, то результат последовательного включения не зависит от порядка компонентов для ЛИВ-подсистем. Последовательное и параллельное соединение подсистем при создании более крупных систем является чрезвычайно важным в науке и технике. Тем не менее класс сложных систем значительно шире совокупности систем, которые можно создать путем приме- нения лишь двух указанных операций. Простейший пример более сложной системы — система с обратной связью, изучению ко- торой посвящен следующий раздел. 5.2. Простые системы с обратной связью ЛИВ-система, состоящая из двух ЛИВ-подсистем, соединенных, как показано на рис. 5.6, называется простой системой с обратной связью. Для нахождения общей системной функции «входа—вы- хода» Н (s) = Y (s)/X (s) запишем два уравнения Е (s) == Х (s) - Р (s) У (s), У (s) = К (s) E (s). 6.2. Простые системы с обратной связью 157 Исключив промежуточную переменную Е (s), получим Я (s} - K(s) "^1- l+p(s)K{s) (5.2.1) Эта формула настолько важна, что ее стоит выучить наизусть. Заметим, что знак плюс в знаменателе является результатом вы- бора знака минус на нижнем входе (входе обратной связи) сум- мирующего элемента на структурной схеме рис. 5.6; если бы знак обратной связи на этой схеме был плюс, то в знаменателе выражения (5.2.1) был бы минус. У(5) Рис. 5.6. Простая система с обратной связью. Мало что в этой обманчиво простой формуле (5.2.1) говорит о ее магических возможностях для конструирования. Сделаем, однако, еще один важный шаг. Предположим, что мы выбрали подсистемы К (s) и (3 (s) такими, чтобы коэффициент усиления в кольце К, (s) Р (s) значительно превышал 1. Тогда 1) K(s) _ 1 H(s) если |p(s)/C(s)|»l. (5.2.2) р (s) K(s) - р (s)' При проектировании важны два аспекта этой приближенной формулы: а) Если усиление в петле большое, то общая системная функ- ция практически не зависит от свойств прямого тракта К. (s); б) Если усиление в петле большое, то общая системная функ- ция примерно равна обратному значению системной функции тракта обратной связи р (s). Ценность второго положения недооценивалась до конца 30-х годов, когда оно стало основой так называемой классической теории управления, изучением которой мы займемся в следующей главе. Однако важность первого положения — что обратная связь уменьшает влияние флюктуации и искажений в прямом тракте — по крайней м«ре интуитивно понималась уже в течение длительного 1) За исключением некоторых идеализированных ситуаций, сделать | р (s) К (s) \ :§> 1 для всех комплексных s обычно невозможно. Тем не менее аппроксимация Н (s) w 1/р (s) будет справедлива и полезна, если диапазон s, в котором | Р (s) К. (s) | 3> 1, включает все s, для которых ^-преобразование входного воздействия Х (s) имеет значительную величину. 168 5. Связанные системы и обратная связь времени. Так, например, Норберт Винер считал, что первое сви- детельство осознанного понимания ценности системы с обратной связью содержится в работе о шаровом центробежном регуляторе скорости паровой машины, опубликованной Джеймсом Клар- ком Максвеллом в 1868 г.1- 2). Однако очень похожая идея, относя- щаяся к регулированию водяных часов, была описана Архимедом еще в1П в.дон.э. Нет сомнения, что первая «осознанная оценка» значения обратной связи значительно старше. На самом деле «изобретатель» обратной связи, кто бы он или она ни был, веро- ятно, не считал это «изобретение» чем-то особенным — просто проявлением здравого смысла. Современная теория систем с обратной связью начинается по существу с работы X. С. Блэка и его соратников (в особенности X. Найквиста и Г. В. Боде) на фирме Bell Telephone Laboratories в конце 20-х гг. Блэк работал над созданием усилителей для про- тяженных телефонных линий связи 3). В первой трансконтинен- тальной системе (1914 г.) использовался медный провод диаметром 3 мм, масса которого составляла порядка полутонны на милю. И несмотря на это, общие потери, обусловленные сопротивлением провода длиной 3000 миль, достигали примерно 60 дБ; для уве- личения амплитуды сигнала было установлено от трех до шести ламповых усилителей. Тогда же стало понятно, что если бы можно было использовать больше усилителей, то стало бы допустимо и большее затухание за счет применения провода меньшего се- чения. Потенциально это дало бы значительное снижение рас- ходов. Однако усилители того времени обладали ограниченной полосой пропускания и вносили существенные нелинейные иска- жения; результирующий эффект от последовательного соединения даже сравнительно небольшого числа таких усилителей был не- приемлем. Задача Блэка состояла в создании лучшего усилителя Изобретенный им (1927 г.)0 усилитель с отрицательной обратной связью был настолько удачен, что к 1941 г. в первой системе с ис- пользованием коаксиального кабеля могли последовательно вклю- чаться 600 усилителей, каждый с коэффициентом усиления 50 дБ (потери в последовательно включенных кабелях могли достигать фантастической величины 30 000 дБ!) и полосой, настолько ши- рокой в сравнении с усилителями 1914 г., что допускали передачу не по одному, а по 480 телефонным каналам. 1) J. С. Maxwell. Proc. Soc., (London), March 5, 1868. а) См., например,Л. Л. Андронов, И. Н. Вознесенский. «О работах Д. К. Макс- велла, И. А. Вышнеградского и А. Стодолы в области теории регулирования машин»; Л. Л. Андронов. Собрание трудов. — М.—Л.: А. Н. СССР, 1956, с. 490— 521. — Прим. ред. 81 ff. W. Bode. Proc. Symp. Active Networks and Feedback Systems (Poly- technic Institute of Brooklyn, N. Y: Polytechnic Press, 1960). 41 Первая открытая публикация была в журнале Electrical Engineering, 53 (Jan, 1934), 114—120. 5.3. Действие отрицательной обратной связи 159 В своих исследованиях Блэк выделял два вида обратной связи — вырождающуюся (или отрицательную) обратную связь, при которой сигнал обратной связи действительно уменьшает входное воздействие на блок К (s) (в наших обозначениях это р >• 0), и регенеративную (или положительную) обратную связь, при которой сигнал обратной связи увеличивает входное воздей- ствие (р << О или изменение знака на суммирующем элементе на +) ". Преимущества регенеративной обратной связи — уве- личение коэффициента усиления и (для | ^К, \ > 1) генерация полезных колебаний — были известны задолго до Блэка. Отри- цательная же обратная связь всегда считалась вредной, по- скольку она явно снижала общее усиление 2). Блэк, однако, ука- зал, что если требуется высокая общая надежность системы и ее нечувствительность к искажениям и изменениям несовершенных активных элементов в ветви К., то для этого несомненно, надо спроектировать сначала усилитель с коэффициентом усиления большим, чем максимально необходимо, а затем снизить его до желаемой величины путем охвата усилителя отрицательной (пас- сивной) обратной связью. В качестве аргументов он приводил уже отмеченные факторы: если | (3 (s) К (s) | ^> 1, то общая систем- ная функция записывается как Я (s) w 1/|3 (s), не зависит от К. (s) и, следовательно, не зависит от многих искажений и ограни- чений, присущих К, (s). Чтобы детально разобраться в этом, лучше всего рассмотреть несколько примеров. 5.3. Примеры действия отрицательной обратной связи Пример 5.3.1 Предположим, что требуется построить усилитель с коэффициентом усиления 10, способный отдавать несколько десятков ватт в на- грузку типа громкоговорителя. Такой усилитель можно было бы сделать либо в виде однокаскадного устройства на мощном тран- зисторе без всякой обратной связи, либо в виде многокаскадного устройства с тем же мощным транзистором в выходном каскаде, используя отрицательную обратную связь для уменьшения об- щего коэффициента усиления до 10. Эти две возможности иллю- 1) Различие между положительной и отрицательной обратной связью оче- видно, когда Р и К. — действительные, постоянные множители (коэффициенты усиления или ослабления). Если же Р (s) и К (s) — комплексные функции s (как мы обычно будем полагать), это различие становится менее очевидным. 2) Патентная заявка Блэка была задержана более чем на девять лет частично из-за того, что описанный в ней принцип настолько противоречил устоявшимся понятиям, что сначала сотрудники патентного бюро не поверили в его работо- способность. Они отнеслись к ней «так же, как к заявке кп вечный двигатель». См. Н. S. Black. «Inventing the negative feedback amplifier». IEEE Spectrum (Dec., 1977), 54—60. 160 5. Связанные системы и обратная связь стрируются структурными схемами на рис. 5.7. где для кон- кретности мы приняли, что часть многокаскадного усилителя, предшествующая усилителю мощности, имеет коэффициент уси- ления 100. к = юоо Общий коэффициент усиления =10 1000 Общий коэффициент усиления = I + 0,099- 1000 -- 10 Общий коэффициент усиления =5 Общий коэффициент усиления = —————————— = q QO I + 0,099 • 500 ' Рис. 5.7. Влияние обратной связи на коэффициент усиления усилителя мощ- ности (слева — без обратной связи, справа — с обратной связью). Теперь предположим, что коэффициент усиления усилителя мощности уменьшился вдвое относительно своего начального зна- чения (возможно, в результате старения активных элементов, из- менения нагрузки, температуры или напряжений источника пи- тания). Тогда общий коэффициент усиления усилителя без об- ратной связи также уменьшится на 50 %, а изменение коэффи- циента усиления в усилителе, охваченном обратной связью, со- ставит лишь 1 %. Для формализации эффекта, проиллюстрированного приме- ром 5.3.1, Боде 1' ввел величину, названную чувствительностью S усилителя: АЯ р _ ОТНОСИ!, иамспспги, w^.^. .. .,——- относит, изменение усиления активного элемента относит, изменение общего усиления системы Я /с о i\ _---..„ „„.ooouuB усиления активного элемента t^K. ' • " " ' "Т 11 Г. Боде. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. — М.: ГИИЛ, 1948. Наше определение фактически обратно определению Боде. 5.3. Действие отрицательной обратной связи 161 Для усилителя без обратной связи S = 1. С другой стороны, при небольших изменениях чувствительность усилителя с обратной связью равна <,, ^ к дн _ a in я _ i .- „ „ " ^ и ~лк~ — л in к — i _;_ fty ' (о.о./} К дН Н дК a in я : д\пК 1+РК ' а это показывает, что эффект отрицательной обратной связи со- стоит в уменьшении чувствительности (в сравнении с системой без обратной связи) в (1 + рЯ) раз, а при больших усилениях в кольце — примерно в (ЗЛ" раз. Соответственно эффект положи- тельной обратной связи состоит в увеличении чувствительности, что при больших усилениях часто ведет к неустойчивости и воз- никновению автоколебаний. Менее строго, как мы уже показывали, при больших коэффи- циентах усиления в кольце (| рК | ^> 1) общий коэффициент уси- ления равен Hw— (5.3.3) и зависит не от К., а только от коэффициента р, который обычно определяется пассивными, линейными, дешевыми и надежными элементами. В том же духе мы можем рассматривать показанный на схеме сумматор как компаратор, сравнивающий входной сиг- нал х с ру (операция, обратная требуемой и выполняемая над выходной величиной). Возникающий сигнал ошибки подвергается такому значительному усилению, что он должен быть весьма ма- лым. Это, конечно, подход, которым мы всегда пользовались при анализе схем с идеальными операционными усилителями. В дан- ной главе наша задача — выделить основные принципы обратной связи, которые ранее иллюстрировались только для характерных случаев. Пример 5.3.2 Реальные схемы редко в точности соответствуют простой модели системы с обратной связью; из-за влияния нагрузки задача выбора р и К обычно не отличается ни простотой, ни однозначностью. К счастью, трудности уменьшаются, когда усиление в петле ^>К значительное, а именно в этих условиях обратная связь эффек- тивна. а) Неинвертирующий усилитель, показанный на рис. 5.8, является редким исключением из этого правила. Если, как пока- зано, считать, что операционный усилитель обладает бесконечным' входным импедансом, нулевым выходным импедансом и конечным коэффициентом усиления ос,, то очевидно, что Vo (s) == V, (s) - ^^ V, (s), V, (s) == аУо (s). 6 Сиберт У. М. 6 ДИНАМИКА СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 6.0. Введение Если существующую систему с коэффициентом передачи К. (s) охватить обратной связью, то получится новая система, которая может оказаться не только менее чувствительной к изменениям и искажениям К. (s) (при условии достаточно большого усиления в кольце, см. гл. 5), но и вообще иметь иное, отличное от К. (s) расположение полюсов-нулей, а следовательно, и иную динамику. Влияние обратной связи на динамику систем всесторонне изуча- лось в 40-х и 50-х годах применительно к задачам создания си- стем управления. Более того, Норберт Винер 1) и его последова- тели сделали теорию управления с обратной связью (назвав ее «кибернетика») краеугольным камнем целой философской сис- темы. Она охватывает всевозможные аспекты от автоматики до физиологических и психологических процессов, включая эко- номические и общественные системы, и даже принципы этики. Время и развитие альтернативных воззрений несколько умень- шили великолепие этой картины, однако управление с обратной связью остается в основе как важнейших идей, так и полезных технических приложений. 6.1. Инверсные системы Динамический эффект обратной связи зависит от величины усиле- ния в разомкнутой системе (кольце) |3 (s) К (s) в исследуемом диа- пазоне частот. Если обратная связь «мала» (| р (s) К. (s) \ < 1), то и ее влияние на поведение системы также мало; полюсы и нули Н (s) обычно расположены вблизи полюсов и нулей К. (s). С дру- 11 Н'. Винер, Кибернетика, или управление и связь в животном и машине, М., Сов. радио, 19582'. 21 См. также Н. Винер, Новые главы кибернетики, М., Сов. радио, 1963. — Прим. ред. 6.1. Инверсные системы 177 гой стороны, если обратная связь «велика» ([ Р (s) К. (s) | > 1), то ^--rrraW-w (6•l•2) В этом случае влияние обратной связи на поведение системы может оказаться огромным, поскольку теперь собственные частоты Н (s) приближенно соответствуют полюсам 1/(3 (s), а не полюсам K(s). В случае большого усиления в кольце, системная функция системы с обратной связью приближенно равна функции, обратной системной функции тракта обратной связи. Применение обратной связи с большим усилением в кольце для реализации системной функции, обратной системной функции заданной системы, т. е. реализации инверсной системы 1), часто оказывается очень по- лезным приемом. Инверсные системы обычно применяются для устранения или компенсации динамических погрешностей аппа- ратуры связи, измерительных или управляющих устройств. Для примера предположим, что датчик замедленно реагирует на из- менения некоторой величины х {t). В подобных случаях изобра- жение выходного сигнала датчика должно быть записано не просто как изображение Х (s) желаемого сигнала х (t), а в виде произ- ведения Х (s) HQ (s). При этом системная функция Ну (s) описы- вает искажающее влияние «вялого» датчика. Предположим, од- нако, что мы смогли бы последовательно соединить «вялый» дат- чик с устройством, системная функция которого равна 1/Яо (s)- Тогда преобразование полной реакции приняло бы вид Х (s) Яо (s)- • (1/Яд (s)) = Х (s), т. е. инверсная система 1/Ну (s) позволила бы восстановить исходный сигнал х (t) из выходного сигнала, иска- женного «вялым» датчиком 2). Особенно эффективно применение обратной связи для реализации инверсной системы, если харак- теристики Яо (s) неизвестны или если они меняются со временем или от окружающих условий. При прочих равных условиях пред- полагается, что копия исходной системы, установленная в тракте обратной связи, должна вести себя так же, как и сама исходная система. Обратная связь может оказаться полезной для синтеза инверсной системы, если по какой-либо причине системную функ- цию Ну (s) реализовать легче, чем 1/Яд (s). Следующие примеры иллюстрируют различные применения этой идеи. 1) Инверсные и обратные цепи, см., например, Г. Боде, Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью, М., ИЛ, 1948, гл. X, § 2, 236— 240. — Прим. ред. 2) Процесс обработки выходного сигнала ЛИВ-системы с целью восстановле- ния сигнала на ее входе называется также обращением свертки; объяснение этого будет изложено в гл. 10. Заметим также, что, как указано в гл. 3, инверсную систему обычно нельзя реализовать просто путем подачи сигнала на выход исход- ной системы и наблюдения соответствующего сигнала на ее входных зажимах. 178 6. Динамика систем с обратной связью Пример 6.1.1 Легко показать, манипулируя импедансами, что w Т-образной цепи рис. 6.1 коэффициент передачи поС/а i11 ° " ля мостовой напряжениюjuiRC s-плоскость1/0 - РГ ?^['^.-vll" ^оС +v;,!') я^ Примерные положения•а»1,|Но(^)| при ' I „,, w (^2+ 2 ' - ЛСя +1а | о "(л) ^ (Я^.(2 \а + а)RCs+1 ^.1у2+о2 -i——,———————».uiff С Рис. 6.1. Мостовая Т-образная цепь. в режиме холостого хода определяется выражением, приведенным на этом рисунке вместе с частотной характеристикой и диаграм- мой расположения полюсов-нулей (для больших значений а). Цепь, инверсную Ну (s), приближенно можно реализовать, по- местив мостовую Т-образную цепь в тракт обратной связи, охва- тывающей усилитель, как показано на рис. 6.2. Такая схема будет i juRC I/O /^ \- Примерное ^ положение при а »1 ~» и большом усилении " (RCs)2 + - RCs + 1 а Рис. 6.2. Приближенная инверсия передаточной функции мостовой Т-образной цепи. иметь системную функцию Н^ (s) w l/ffy (s), а ее частотная ха- рактеристика и диаграмма расположения полюсов-нулей будут такими, как изображено на рис. 6.2. Поскольку полюсы Ну. (s) располагаются на комплексных частотах, пассивная цепь, реали- зующая Яа (s), должна содержать индуктивности. Примеры дру- 6.1. Инверсные системы 179 тих схем с /?С-элементами, использующих обратную связь для по- лучения комплексных полюсов, уже описывались ранее (см. примеры 1.3.2, 1.4.2, 4.2.1 и задачи 1.6, 3.11, 4.9, 4.15). * * * Заметим, что, поскольку нули пассивной передаточной функ- ции могут быть в правой полуплоскости, попытки реализовать инверсию такой системы могут привести к неустойчивой структуре с полюсами в правой полуплоскости. Неустойчивость в системах с обратной связью может возникнуть по многим причинам, что, как мы обсудим в разд. 6.3, устанавливает пределы возможностей, достигаемых введением обратной связи. Пример 6.1.2 Использование обратной связи для построения инверсных систем не ограничивается только линейными системами. Так, многие типы транзисторов имеют экспоненциальную зависимость тока коллектора от напряжения база—эмиттер в области нулевого напряжения коллектор—база. Экспоненциальный закон справед- лив в широком динамическом диапазоне (для нескольких декад). (Аналогичные соотношения справедливы и для диодов, но в мень- шем динамическом диапазоне.) Таким образом, схема, изображен- ная на рис. 6.3, реализует точную логарифмическую характери- ц^с^.е-""7"" или „,=-'^111^ Ч I. Рис. 6.3. Логарифмический усилитель. стику, применимую для разработки аналоговых умножителей и многих других устройств. * * * 7 СИГНАЛЫ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ И ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 7.0. Введение До сих пор в нашем исследовании сигналов и систем основное внимание уделялось токам и напряжениям в качестве сигналов и электрическим цепям в расчете систем. Разумеется, мы указы- вали на различные аналогии с простыми механическими систе- мами и исследовали (по крайней мере в ознакомительном плане) системы, построенные из более крупных блоков, чем элементар- ные резисторы, индуктивности и емкости. Математически же все наши сигналы задавались как функции непрерывной переменной t и почти все наши системы описывались системами линейных диф- ференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами (что эквивалентно системным функциям, пред- ставляющим собой рациональные функции комплексной час- тоты s). С этой главы мы приступим к процессу обобщения наших математических моделей в более широкие классы сигналов и систем. Такого рода обобщения и расширения представляют инте- рес отчасти потому, что позволят нам анализировать и создавать более широкий круг реальных систем и устройств. Но не менее важно научиться пренебрегать некоторыми не столь сущестен- ными характеристиками наших системных моделей с тем, чтобы можно было сконцентрировать внимание на таких исключительно важных свойствах, как линейность и инвариантность во вре- мени. Говоря более конкретно, в следующих нескольких главах мы будем рассматривать системы, сигналы в которых представ- ляют собой не функции непрерывного времени, а счетные после- довательности. Мы будем обозначать такие последовательности х[п}, у[п] и т.д., где квадратные скобки показывают, что заключенная в них переменная, называемая дискретным време- нем, принимает только целочисленные значения: ..., —2, —1, О, 1, 2, ... . Сигналы дискретного времени (ДВ-сигналы), так же как и сигналы непрерывного времени (НВ-сигналы), могут за- даваться многими различными способами: посредством графиков 7.0. Введение 221 (рис. 7.1), формулами, например х[п\ = 2", в виде таблиц зна- чений или в виде комбинации этих методов представления. АхН x(D -4 з , г з 'Л-^2/ \°'6 I « ' ' 1 | ' I I »п . . \ I /i I I I I у » f -г-I ' I * 4 5 6 -O.S-6fi \^/-W 01Ц2 6,3 Oft \, Рис. 7.1. Сравнение ДВ-сигналов (слева) и НВ-сигналов (справа). Дискретный по времени режим работы свойствен многим системам. Вот лишь некоторые из множества возможных приме- ров: типичные банковские операции, к которым относятся регу- лярные ежемесячные платежи; медицинские назначения больному («по две таблетки каждые четыре часа»); эконометрические мо- дели, в которых используются периодически определяемые ин- дексы и показатели; модели эволюционного процесса, характе- ризующие изменения в популяциях от поколения к поколению. Кроме того, к аналогичному математическому описанию приводит исследование самых разнообразных структур, отличающихся ре- гулярностью в пространстве, а не во времени. Сюда относятся, например, каскадно включенные четырехполюсники, линии за- держки с отводами, дифракционные решетки, фильтры на поверх- ностных акустических волнах (ПАВ-фильтры) и фазированные антенные решетки. В других случаях ДВ-сигналы получаются при периодической выборке из какого-либо НВ-сигнала. Если выборка осуществляется достаточно часто, а исходный сигнал до- статочно гладкий то, как будет показано в гл. 14, потери информа- ции могут быть малыми. Примерами такого рода являются кино- и телевизионные изображения, которые получаются выборкой кадров через каждые 30—40 мс. Иногда причиной перехода от НВ-сигналов к ДВ-сигналам оказывается желание сделать возможным коллективный доступ к дорогостоящим средствам связи или системе обработки данных целому ряду пользователей. Диапазон примеров здесь весьма широк и простирается от палатной медсестры, последовательно измеряющей температуру больных, до систем телеметрии, пере- дающих вперемежку выборки различных данных, поступающих с разбросанных на значительных расстояниях нефтяных скважин, метеостанций или космических зондов. Но наиболее часто на сегодняшний день причина замены НВ-сигнала счетной последо- вательностью заключается в том, чтобы сделать возможной об- работку сигнала на цифровых компьютерах или других специа- лизированных логических устройствах. В качестве иллюстрации 222 7. Сигналь! дискретного времени могут быть названы такие различные области применений, как анализ и синтез речи; радио-, радиолокационная, инфракрасная и рентгеновская астрономия; исследования сигналов ультра- звуковых локаторов и геофизических сигналов; анализ кристал- лических решеток и структур на молекулярном уровне; интерпре- тация результатов медицинских обследований, в частности элек- трокардиограмм, томограмм, полученных методами компьютерной томографии, а также изображений, полученных с применением магнитного резонанса; улучшение качества изображений или рас- познавание образов при обработке фотографий, сделанных со спутников или космических зондов, рентгеновских снимков, мазков крови или напечатанных материалов. Обработка на ЭВМ требует не только применения ДВ-сигнала, но также, чтобы числа, представляющие каждую выборку, были округленными, т. е. квантованными, а это является потенциально дополнитель- ным источником ошибок. Правда, при этом достигается большой выигрыш в гибкости и возможностях способа обработки. Так, например, после того как выполнены временные отсчеты и кван- тование сигналов в сложном радиолокационном приемнике, вся дальнейшая обработка сводится к логическим операциям, кото- рые принципиально свободны от проблем, связанных с дрейфом параметров, чувствительностью, шумами, искажениями сигнала и точностью настройки, зачастую ограничивающих эффективность аналоговых приборов и устройств. Так, цифровые фильтры спо- собны выполнять обработку сигналов предельно низких частот, которые в аналоговых фильтрах были бы безнадежно искажены из-за влияния дрейфа и старения. Кроме того, цифровые ЭВМ способны решать такие задачи, как приближенное решение боль- ших систем нелинейных дифференциальных уравнений, практи- чески неразрешимых каким-либо другим путем. При этом для перехода на другую задачу не требуется менять что-либо в аппара- туре, надо лишь изменить программы. Такое компьютерное мо- делирование во все большей степени приходит на смену, стадии «макетирования» при проектировании сложных систем, ибо оно выполняется быстрее, обходится дешевле и позволяет более гибко менять параметры в целях оптимизации основных характеристик. В действительности иногда (как в случае проектирования инте- гральных схем) смоделированный «макет» может оказаться более точным, чем выполненный из «реальных» элементов (в данном случае дискретных транзисторов), безусловно отличающихся от тех, какие в конечном счете будут использоваться в реальном приборе. Для .описания системы, предназначенной для обработки или видоизменения ДВ-сигналов, т. е. ДВ-системы, естественно вос- пользоваться системой разностных уравнений, которые в случае ДВ-систем выполняют такую же роль, какую дифференциальные 7.1. Линейные разностные уравнения 223 уравнения — в случае НВ-систем. И действительно, как мы уви- дим далее, анализ линейных разностных уравнений в сущности отражает все детали анализа линейных дифференциальных урав- нений. Таким образом, следующие несколько глав в некотором роде будут повторением предшествующего материала. К тому же ДВ-системы математически в некотором отношении проще, чем НВ-системы. Следовательно, переход от указанных систем к ЛИВ- системам общего типа будет проще, если мы выполним его сна- чала для ДВ-систем, как и будет сделано в гл. 9. 7.1. Линейные разностные уравнения Линейное разностное уравнение N-го порядка с постоянными коэффициентами, связывающее входной ДВ-сигнал х [п] с вы- ходным сигналом у[п], имеет вид1) ^a^y[n+k]=^btX[n+l]. (7.1.1) *=о г=о Каким образом получаются такие уравнения, можно увидеть из следующих примеров. Пример 7.1.1 Ссуда под недвижимость в сумме 50 тыс. долл. должна быть возвращена через 30 лет равными ежемесячными взносами раз- мером р долл. Выплачиваемый процент установлен на уровне 15 %/год от невозвращенной суммы. Пусть Р [п]—неоплачен- ная часть ссуды, оставшаяся после выплаты п-го ежемесячного взноса. Тогда Р[п + 1] = (1 + г) Р[п] —р, /г>0, (7.1.2) где г = 0,15/12 = 0,0125 — ежемесячная норма процента. Перво- начально Р [0] = 50000, и мы ищем значение р, при котором Р [360] == 0. Мы вернемся к этой задаче в примере 7.3.1, а пока заметим, что (7.1.2) принимает вид (7.1.1), если N = 1 (первый порядок) и t/Ы - РЫ, х\п\ - р, 0 < п < 360, "о- -(1 + г}. Ь„ 1, QI - 1, Ь, 0 но всех других случаях ufc 0 во всех других случаях. ') Без потери общности можно r'nii равным одному и гому же значению /V | некоторые из коэффициентов равными п.. число членов слева и справа а (7.1.1) I. поскольку мы всегяа можем принять нулю. 224 7. Сигналь» дискретного временя Пример 7.1.2 Численное интегрирование дифференциальных уравнений обычно включает в себя разностные уравнения как промежуточный этап, обусловленный заменой производных выражениями, в кото- рые входят разности: dx(t) x(t+M)~x(t) x(t}= dt где Л< — величина шага, представ," чющего собой небольшое приращение времени, которое мы будем считать постоянным. Рассмотрим теперь рис. 7.2, где показана схема из примера 1.3.3, Рис. 7.2. Цепь к примеру 7.1.2. но два источника из нее исключены. Из примера 1.3.3 динамиче- ские уравнения в форме переменных состояния имеют вид dt di2 W dt dvs (t) dt ^=-^)-7^(0+т-^)- "1 •-\ ^-i с выходным уравнением "2 (t) - -РЛ (t)- Заменяя производные по приведенной выше формуле, получаем ^+AO^(l-4^)^)-^3(0+^aW, f, (t + до ^ (i - -^) ^ (t) - ^-уз (о, V, (t + АО W Оз (0 + -^ fl (0 + -^ t'2 (t), v^t)=-R^(t). Подставляя t = пМ, ti (t) = i\ (n^t) = г\ Ы и т. д. и исполь- зуя численные значения ^ = ^ = 1 кОм, Li = La = 0,1 Гн, 7.1. Линейные разностные уравнения 225 С = 0,2 мкФ, Л^ = 10 мкс, получаем систему из трех разностных уравнений t'lln + 1 1 = 0,9i\ln] — Ю-^зЫ + 10-*o„[n], tab + 1] = 0,94 Ы — Ю-УзЫ, Оз1" + 11 = "зЫ + 50t\[n] + 504Ы, v^[n}= —10%Ы. К этому примеру мы еще вернемся в примере 7.3.2. * * * Существует много различных способов аппроксимации си- стемы дифференциальных уравнений системой разностных урав- нений, подобно тому как было сделано выше; каждому из них соответствуют различные алгоритмы интегрирования. Способ, выбранный в примере 7.1.2 (известный под названием алгоритма Эйлера аппроксимации «вперед») х), возможно, является самым прямым путем, но обычно он не самый лучший по минимизации ошибки аппроксимации при заданной величине шага. Действи- тельно, для многих систем (включая и нашу — см. пример 8.3.2) алгоритм Эйлера аппроксимации «вперед» численно неустойчив, и это выражается в том, что полная накопленная ошибка при- ближенного решения растет во времени, если только величина шага не является достаточно малой. Указанную трудность можно преодолеть, применив различные алгоритмы неявного интегриро- вания 1), например алгоритм аппроксимации Эйлера «назад», ./, , ,,. x(t+M)—x(f) который использует подстановку x[t + Дг) w ——•————— и в нашем случае приводит к уравнениям l.li'i [п + 1 ] + Ю-^з I" + 11 = ii Ы + Ю-"»» [n + 1 ], 1,11-2 [tl+ 1] + Ю-^з 1"+ 11 = 4 l"l. —50fi [n + 1 ] — 504 [п + 1 ] + Уз Ь + 11 - "з Ы, которые нужно решать при каждой итерации, так как новые зна- чения i\ [п], 4 1^1 и "з 1"] "Р" " + 1 зависят друг от друга (поэтому алгоритм Эйлера «назад» называется «неявным»). Дру- гие примеры простых неявных алгоритмов приведены в задаче 7.1. Исчерпывающее рассмотрение вопросов выбора таких алгоритмов можно найти, например, в книге L. О. Chua и Р.-М. Lin. Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975). 1) Алгоритмы неявного интегрирования, к которым относятся и алгоритмы Эйлера аппроксимации «вперед» и «назад», основаны на формулах интерполиро- вания соответственно вперед и назад, см., например, Л. В. Канторович и 5. И. Крылов, «Приближенные методы высшего анализа», М.—Л., ГИТТЛ, 1952, 184—185. — Прим. ред. 8 Сиберт У. М. 226 7. Сигналы дискретного времени Пример 7.1.3 Чтобы проиллюстрировать случай, в котором переменная п соответствует пространству, а не времени, рассмотрим однород- ную многозвенную цепь лестничного типа, часть которой пока- зана на рис. 7.3. .i[n-\] i[n} ,[n+i] -ллл^----- ffl -ЛЛЛ/- я. -ЛЛЛг ffl ----—vw- Рис. 7.3. Однородная многозвенная цепь лестничного типа к примеру 7.1.3. Напряжения и токи в этой цепи удовлетворяют следующим уравнениям: v[n+ 1] = v[n] —i[n] 7?i, i[n+\}=iW-^^-. Первое из них можно разрешить относительно f [га] и подставить во второе вместо i [п] и i [п + 1 ], что приводит к единственному однородному разностному уравнению относительно о [п\ R^v[n + 2] — (2^ + ^i) v[n + 1 ] + ^u[n] = 0, (7.1.3) Рассмотрение этого примера будет продолжено в примере 7.4.1. » * « 7.2. Структурные схемы и уравнения состояния для ДВ-систем При описании НВ-систем удобной и полезной альтернативой дифференциальным уравнениям являются принципиальные и структурные схемы. Аналогичные схемы можно предложить и для описания ДВ-систем. Одна из таких схем представляет собой прямой аналог структурных схем класса интеграторов, суммато- ров и усилителей для НВ-сигналов, которые рассматривались в разд. 1.4; вместо интегратора в ней используется ДВ-устрой- ство, получившее название аккумулятора, или накопителя. В ДВ- структурной схеме другого рода используются задерживающие элементы, которые в общем более предпочтительны в качестве элементов памяти. Рассмотрение структурных схем обоих видов позволяет глубже познакомиться с поведением ДВ-систем, в част- ности с понятием состояния, и дает возможность еще попрактико- ваться с разностными уравнениями. 7.2. Структурные схемы ДВ-систем 227 На рис. 7.4 представлены элементы, используемые в ДВ- структурных схемах накопителей, сумматоров и усилителей. ,<["] ••к[п]-у[п] х[л] матору[л+1]-уН y[oj i УсилитеУ[л] ————————»• I Накопитель Рис. 7.4. Некоторые основные дискретные по времени структурные схемы эле- ментов. Разностное уравнение в данном случае описывает накопитель 1) тем же самым неявным способом, как описывается интегратор, когда говорят, что сигнал на его входе — это производная вы- ходного сигнала. В примере 9.1.1 мы покажем, что накопитель данного вида можно в явном виде описать выражением gW=y[0}+ J,x[m}, ms=o которое проясняет и само название «накопитель», и его соотно- шение с НВ-интегратором. Отметим, что для получения един- ственного решения разностного уравнения накопителя необ- ходимо задать начальное значение выходной функции у 10]; на рис. 7.4 оно задается в явном виде через отдельный вход. Действительно, выходной сигнал у[п^} в момент времени п = гад определяет состояние накопителя в этот момент. Это означает, что если известны у[пц] и входной сигнал х[п] при п ^> По, то определен выходной сигнал г/[га] при га > Пу. Следова- тельно, если ДВ-система представлена структур»ной схемой свя- занных между собой накопителей, сумматоров :и усилителей, то текущее состояние такой системы определяется текущими зна- чениями выходов накопителей. Чтобы получить динамические разностные уравнения этой системы в переменных состояния, достаточно взять в качестве переменных выходы накопителей и определить из структурной схемы, как эти переменные, комбини- 1) Как предполагалось в разд. 7.1, у НВ-интегратора имеется много воз- можных ДВ-аналогов. Для выбранного здесь варианта, кг.к и прежде, применим алгоритм Эйлера «вперед» (см. задачу 8.7). 8* 244 7. Сигналы дискретного временя б) Предположим, что С, = 4Ci и что обе емкости в момент t = 0 не заря- жены. Пусть также Оц (<) = Vy и (t) (считая, что ступенька возникает сразу, как только Si открывается). Покажите, что 4 u[n}. ",["]= V,\ 1 в) Пусть Т == 1 мс. Постройте график о, (0- на том же графике постройте о, (П при Г = 0,25 мс. , г) Пусть v't (t) — РНС на некоторый входной сигнал Чо (i). Пусть также у" (л — рНС на некоторый другой входной сигнал OQ (0- Правильно ли утвер- ждать, что о; (0 = v\ (t) + v'i {t) будет РНС на входной сигнал Vy (t) = v'y(t) + 4- УО (О? Другими словами, выполняется ли в этой цепи принцип суперпозиции? 8 ОДНОСТОРОННЕЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 8.0. Введение ^-преобразование и системные функции дают наиболее удобный метод нахождения реакции при нулевом начальном состоянии (РНС) систем непрерывного времени (НВ-систем). Аналогичный аппарат можно применить и для систем дискретного времени. Экспонента дискретного времени z" играет в этом случае роль ядра е5*, а Z-преобразование заменяет ^-преобразование. Наше изложение этих вопросов будет кратким и ограниченным по охвату, но оно даст читателю регулярный метод решения линей- ных инвариантных во времени разностных уравнений и позна- комит с такими полезными понятиями, как системная функция дискретного времени и характеризация систем дискретного вре- мени расположением полюсов и нулей на комплексной z-плоскости. 8.1. Z-преобразование Одностороннее Z-преобразование последовательности х[п} опре- деляется формулой X(z)=^x[n]2-n. (8.1.1) п=0 Если \х[п]\ возрастает не быстрее, чем экспонента, этот ряд бу- дет сходящимся для всех г, находящихся вне некоторого круга на комплексной г-плоскости, радиус которого Го называется радиусом схо- димости (рис. 8.1). Как и в случае ^-преобразования, полезность Z-пре- образования базируется на взаимно одно- Рис. 8.1. Типичная область сходимости. значном соответствии между Х(г) и последовательностью х[п} Это означает, что каждому х[п\, определенному для л >• О, соответствует одно и только одно Х[г\, определенное для | г [ > > Го, и обратно. Для Z-преобразований эта теорема единствен- 246 8. Одностороннее Z-преобразование ности по существу является интерпретацией центральной тео- ремы/касающейся единственности и сходимости степенных рядов аналитических функций комплексного переменного 1) 2). Пример 8.1.1 Пусть х [п] — ДВ-экспонента л-[л] =Ла", л>0, х[п] (8.1.2) Z- ПЛОСКОСТЬ 0^0,8 I 1 1 t т , ,-, Z 3 4 5 б 7 Рис. 8.2. ДВ экспоненциальная функция и ее область сходимости показанная на рис. 8.2. Тогда Х (г) = A S ^z-" n=Q СХОДИТСЯ К А Х(г) (8.1.3) 1—02-» ' если | аг~1 \ < 1 или | г | > | а |. Эти формулы справедливы и в том случае, когда а комплексное. Заметим, что X(z) имеет нуль при а = 0 и полюс при z == а на окружности, ограничивающей об- ласть сходимости. z-плоскость 234567 Рис. 8.3. Z-преобразование х [л] = Л, п ;> О, Один важный частный случай имеет место при а = 1, что дает х[п] == А == const при п > 0. Полюс Х[п] в этом случае оказывается при г = 1 (рис. 8.3). ') См., например, Е. В. Saff и Л. D. Snider, Fundamentals of Complex Ana- lysis for Mathematics, Science, and Engineering (New York, NY: Prentice Hall 1976). 2) В отечественной литературе см., например, Л. И. Маркушевич, Теория аналитических функций, М., Наука, т. I, 1967, т. II, 1968. — Прим. ред. 8.1. Z-преобразование 247 Другая интересная ситуация возникает при отрицательных значениях а, так как тогда последовательность х [п ] имеет знако- *х[л] --4(-0,8)",П20 Д. г-плоскость а =-0,8 -0,8 А Рис. 8.4. Z-преобразование к in] = А (—0,8)", п ^ О, переменные члены. В этом случае полюс лежит на отрицательной части действительной оси (рис. 8.4). Пример 8.1.2 Рассмотрим при | z | >r|•г, выражение у ,,. _ ЗОг" л (г) - б^-г-1 - 1_J_^--L^ ' 1 б 6 По теореме единственности ему должна соответствовать един- ственная х[п\, /г>0. Как можно выполнить обратное Z-преоб- разование? Один путь нахождения х [п\, п ^s О состоит в том, чтобы разложить X(z) в степенной ряд по степеням z~1. Нужный результат можно получить, например, длинным делением числа 5 на многочлен 1) 1 — -д- г"1 — -д- г"2, в результате которого по- С qc лучим частное 5 + -г-г"1 + ое z-2 + ... (отметим, что и чис- 0 00 литель, и знаменатель Х (z) записываются в виде рядов по убы- вающим степеням z). Следовательно, при достаточно больших [ z [ (практически при | z [ > 0,5) можно записать X(z)=5+4^+^^+.... Поскольку в общем виде Х(г) = ^ х[п\ z-", мы получаем п=о х[0] = 5; x[l] = -J-; x[2] = |J- и т. д. *) См., например, Л. И. Маркушевич, Теория аналитических функции, М., Наука, т. 1. 1967, 339—342. — Прим. ред. 274 8. Одностороннее Z-преобразование Найдите в замкнутой форме выражение для системной функции Н (г), соответ- ствующей этой формуле, Н (г) = § & ["1 г-". п=0 в) Выброс, имеющийся в отклике данной системы на ступенчатую функцию, во многих случаях весьма неприятен. Предлагается компенсировать данную систему, включив последовательно с ней (как показано на рис. 8.33) еще одну систему, описываемую разностным уравнением h[n] УН Компенсирующая система w[n] —»— w [п] = ay In] 4- by In — 1 ] + сд \п — 2]. <["] Рис. 8.33. Определите значения постоянных а, и и с, при которых суммарный отклик на выходе последовательно включенных систем был бы просто задержанной единич- ной ступенчатой функцией и[п—I]. г) Предложите вариант реализации компенсирующей системы, описываемой разностным уравнением в пункте (в), используя в нем линии задержки, усили- тели и сумматоры. Задача 8.11 Пусть вы играете с приятелем в игру "«совпадающие монеты». У каждого из вас имеется столбик медных монет одинакового достоинства. Вы сравниваете верх- ние монеты столбиков. Если обе верхние монеты лежат вверх орлом или решкой (т. е. если они «совпадают»), то вы забираете обе монеты и кладете их в самый низ вашего столбика. В противном случае выигрывает ваш партнер и кладет обе монеты в основание своего столбика. Затем сравниваются следующие верх- ние монеты. Игра заканчивается, когда все монеты окажутся в одном столбике — у вас или у вашего партнера. Допустим, что в некоторый момент в вашем столбике насчитывается п монет, а в столбике вашего партнера — т = N — п монет. Считая, что суммарное число монет N фиксировано, определим вероятность р[п] того, что вы выиграете на данном шаге. Очевидно, что р[0] •= 0 (вы проиграли) и p[N] = 1 (вы выиграли). В общем случае должно выполняться разностное уравнение PI"+lI=4-^n+21+-^M• (Если начать с ситуации, когда у вас п -(- 1 монета, то с вероятностью 0,5 вы получаете еще одну монету и у вас становится п + 2 или с той же вероятностью 0,5 проигрываете одну монету и оказываетесь в положении с п монетами.) Используя методы ^-преобразования для решения этого уравнения в заданных граничных условиях, найдите р [п} для любого га при 0 ^ га ^ N. 9 РЕАКЦИЯ НА ЕДИНИЧНЫЙ ОТСЧЕТ И СВЕРТКА В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ 9.0. Введение Функция единичного отсчета 1} б [п] = 1, п=0, О, п ^= О, -5 -4-3-2-1 1234 Рис. 9.1. Изображение 6 [n]. введенная в примере 8.1.3 и показанная на рис. 9.1, играет исклю- чительно важную роль в теории ЛИВ-систем дискретного времени. Действительно, РНС на 6 [га], названная реакцией на единичный отсчет2) и обозначаемая символом h [га], полностью характери- зует РНС на любой другой входной сигнал. Отсюда сразу же (для класса изучаемых нами систем) получаем а) Z-преобразование единичного отсчета имеет вид 00 S Ь[n}г-n= 1. n=0 б) Z-преобразование реакции на единичный отсчет, следо- вательно, равно Н {г) Х 1. Таким образом, реакция на единичный г) В некоторых работах б [га] называют единичной импульсной функцией дискретного времени. 2) Поскольку единичный отсчет по определению равен нулю при всех га =^ О, включая, в частности, все га < 0, мы будем считать, что h [га] — это безусловно РНС. Это согласуется с тем, о чем мы договаривались ранее в отношении реак- ций на единичную ступенчатую функцию как систем непрерывного времени, так и дискретного времени. И если 6 [я] называют единичной импульсной функ- цией дискретного времени, то га [га] называют реакцией на единичный импульс. 276 9. Реакция на единичный отсчет и свертка отсчет и системная функция представляют собой пару Z-преобра- зования h[n]^=>H(z) (откуда становится понятным выбор символа h [n] для обозначе- ния реакции на единичный отсчет). в) При заданной h [п\ мы можем найти РНС на произвольное входное воздействие х[п], преобразуя h[n] и х[п] и выполняя затем обратное преобразование произведения Н (г) Х (г). Но (как мы покажем ниже) при 'заданной h [n] можно рассчи- тать РНС на произвольное входное воздействие х[п} непосред- ственно во временной области — без выполнения преобразования, умножения и обратного преобразования — с помощью процесса, называемого сверткой п у[п]== S х [т] /г [га — т]. от==0 Нашей первой задачей в этой главе будет изучение того, ка- кими особенностями обладает свертка и какую эквивалентность в смысле описания «вход-выход» можно установить между ней и поведением системы разностных уравнений или соответствующей структурной схемой. Такое изучение важно по следующим при- чинам: 1. Представление о поведении РНС ЛИВ-систем с помощью свертки часто оказывается более простым или более глубоким, чем при использовании разностных уравнений, системных функ- ций или структурных схем. 2. Формула свертки часто допускает эффективную реализа- цию операций, выполняемых ЛИВ-системами, с помощью машин- ных алгоритмов или специальных аппаратных средств. 3. Операцию свертки легко обобщить для описания более ши- рокого класса ЛИВ-систем дискретного времени, чем мы рассма- тривали до сих пор. В гл. 10 мы осуществим такое обобщение на схожий, но мате- матически более тонкий случай ЛИВ-систем непрерывного вре- мени общего типа. 9.1. Теорема свертки и Z-преобразование Начнем с доказательства следующей теоремы: Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СВЕРТКИ Пусть n у[п]= S х [т] h [n — от]. т=0 (9.1.1) 9.1. Теорема свертки и Z-преобразование 277 Тогда Z-преобразование у[п] имеет вид Y(z)=X(z)H(z), где Х (г} и Я (г) есть Z-преобразования х(п) и h [п\ соответственно. Эта теорема включена в сводку свойств Z-преобразования (при- ложение к гл. 8). Для доказательства теоремы, оценим Y (г) не- посредственно: Y(z)= S г/[/г]г-"= f; | S х [т] h [n - т] }г-". (9.1.2) п=о L >п=о п=0 Перепишем (9.1.2) в виде ' ?(z)=S ^x[m}h[tl-m}u{n-tn}\z-mг-(n-^. (9.1.3) n=so L"»==o J Выполняя сначала1) суммирование в (9.1.3) по n, находим со Г со '] У(г)= S x[m\z-m\ ? /г [п — т] и [п — т] г-с1-'»» . (9.1.4) m=o L n=o J Но, поскольку единичная ступенчатая функция при отрицатель- ных значениях ее аргумента обращается в нуль, выражение, за- ключенное в квадратные скобки в (9.1.4), оказывается равным S h[n}г-^^=H(z) (9.1.5) и не зависит от т. Оставшаяся же сумма дает У (г) == Х (г) Н (г), (9.1.6) что и требовалось доказать. Пример 9.1.1 В разд. 8.3 были даны определения накопителей, описываемых алгоритмом Эйлера «вперед», как во временной, так и в частотной областях (рис. 9.2). Системная функция такого накопителя имеет вид г-1 Я (г)= (9.1.7) г—\ 1) Изменение порядка суммирования требует, чтобы суммируемые члены достаточно быстро стремились к нулю при га, т->- оо. Это всегда имеет место, если г находится внутри общей области сходимости Я (г) и Х (г). 1 278 9. Реакция ва единичный отсчет в свертка Из таблицы Z-преобразований (приложение к гл. 8) следует, что реакция накопителя на единичный отсчет (рис. 9.3) равна 1, п>1, л • " u (9-1-8) О для всех других значении п1). гу[0] Рис. 9.2. Представление накопителя, описываемого алгоритмом Эйлера «вперед», ~ Х fz'\ по временной и частотной областях. у["+ 1] — д [п] == х[п]; У (г) = —'-i -j- zy[0] г-\ '•'г^Т- Рис. 9.3. Реакция на единичный отсчет накопителя, описываемого алгоритмом Эйлера «вперед». -2-1 23456789 10 Тогда из теоремы о свертке следует, что РНС на произвольное входное воздействие х[п], га >-0 равна п п у[п}= S x[m]h[n-m}= S х[т]и[п - т - I]. (9.1.9) fft=0 m==0 1, т<ге, О, т>п, Как функция от т и[п — т — 11 -2 -I 2 3 л-1л n+1 (9.1.10) Рис. 9.4. График и [га — т — 1 ]. что графически показано на рис. 9.4, Отсюда следует п—\ „гл ^х[т}, п>1, У [П] = т=0 О, п==0. (9.1.11) 1) Строго говоря, (9.1.7) определяет /i[ra] только для п ^ 0. Фактически этого достаточно для того, чтобы оценить сумму, описывающую свертку в та- ких же пределах, как в (9.1.1). Но в более общем случае ЛИВ-систем дискрет- ного времени, с которыми мы вскоре познакомимся, накопитель, описываемый алгоритмом Эйлера «вперед», является каузальной системой, для которой под- разумевается, что h[n] == 0 при п < 0. 9.1. Теорема свертки и ^-преобразование 279 Уравнение (9.1.11) описывает, разумеется, РНС, соответствую- щую у [0] = 0. Если же у [01^0, то к РНС нужно добавить обратное преобразование выражения zy[0] _ у[0] (9.1.12) 1 — 1—г-»» которое, согласно табл. 8.1 (приложение к гл. 8), есть константа у [0 ] при всех п >• 0. Таким образом, полная реакция записы- вается в виде Pl"]=y[0]+S x[m], (9.1.13) ni=0 оправдывающем название «накопитель» и с очевидностью показы- вающем его связь о интегратором непрерывного времени. Пример 9.1.2 Пусть мы хотим найти реакцию у[п] системы, показанной на рис. 9.5, на входную единичную ступенчатую функцию х [п] = -3 -2 2345 Рис, 9.5. ДВ-система и входное воздействие для примера 9.1.2. = и[п}. Из формулы для обратной связи или из выражения, определяющего выход сумматора при условии РНС ^^(^^-^(г), получаем системную функцию в виде У(г} 0<о< 1 lilt,, -2-1 1234567 Рис. 9.6. Реакция системы, показанной на рис. 9.5, на единичный отсчет. Выполняя обратное преобразование, находим реакцию системы на единичный отсчет, показанную на рис. 9.6. Тот же самый ре- 282 0. Реакция на единичный отсчет и свертка ность у [п]. На рис. 9.9 показано положение полос при га = 4; результаты для всех значений п приведены на графике рис. 9.10. ^УМ , -3-2-1 3416789 10 Рис. 9.10. Результат свертки, проиллюстрированной на рис. 9.9. * * * Способ, проиллюстрированный примером 9.1.3, особенно эф- фективен, когда h[n] отлично от нуля лишь для конечного числа значений п; такого рода систему часто называют КИХ-системой (с конечной импульсной '> характеристикой). В противоположность этому /i [п] = а", п ^- 0, имеет ненулевые значения при любых больших га, и ее называют БИХ (бесконечной импульсной 1) характеристикой). КИХ-системы можно моделировать нерекур- сивным или трансверсальным фильтром, который был показан первоначально на рис. 7.8 и здесь на рис. 9.11 (для рассмотренной Рис. 9.11. Трансверсальный фильтр, реализующий h [п] из примера 9.1.3. выше h In}}. Рекурсивные (с обратной связью) системы типа пока- занной на рис. 7.9 приводят к БИХ, иллюстрацией чему может служить рис. 9.6 в примере 9.1.2. В примере 9.1.3 как га [га], так и х [га] имеют конечную дли- тельность. Их Z-преобразования являются, таким образом, просто многочленами по г~1 и, следовательно, допускают простой способ проверки полученного выше результата. Итак, Х (г) = —2 + 2-i + 2z-2 - г-3 и Н (г) = —1 +г-l+2z-2, значит, Y (г) = Н (г) Х (г) = (—2 + г-i + 2г-3 - г-3) (—1 + г-1 + 2г-2) = = 2 - Зг-1 - 5z-2 + 5г-3 + Зг-* - 2г-5, из которого следует у [га], построенная на рис. 9.10. 1) _Такие сокращения дублируют название для h[n] (ДВ-реакции на еди- ничный импульс), о котором упоминалось в сноске разд. 9.0. 9.2. Свертка и ЛИВ-системы 283 9.2. Свертка и линейные инвариантные во времени системы общего типа Формула л у[п]= S х [m] h [га— т] (9.2.1) m=0 представляет собой частный случай более общей формулы свертки со у[га]= S -с [от] га [га-m]. (9.2.2) т==—со Общая формула описывает линейную и инвариантную во времени операцию над х [га], удовлетворяя двум условиям; ЛИНЕЙНОСТИ (СУПЕРПОЗИЦИИ): Если х^[п] и х^[п]—какие-либо два произвольных входных воздействия в результате некоторой операции над ними дают на выходе соответственно хорошо опреде- ленные г/itra] и у^[п}, так что х^[п\ -»-t/i[ra], Хг[п] -»-у^[п], то говорят, что операция линейна, если выполняется условие х [п} = ах,_[п] + Ьх^[п] -»- у[п] = ау^[п] + Ьу^[п] для всех постоянных а и Ь. ИНВАРИАНТНОСТИ ВО ВРЕМЕНИ Если х [га]—какое-либо произвольное входное воздей- ствие в результате некоторой операции дает на выходе хорошо определенную у [га], так что х[п] ->- t/[ra], то говорят, что операция инвариантна во времени, если выполнено условие х[п— N]->y[n— N] для всех —оо < N •< оо. Доказательства в обоих случаях получаются практически сразу, если под термином «хорошо определенный» понимать, что сходи- мость бесконечной суммы (9.2.2) не зависит от порядка суммиро- вания. Определенные здесь условия линейности и инвариантности во времени операций те же самые (за исключением перехода от непре- 10 ПРИМЕНЕНИЕ СВЕРТКИ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ 10.0. Введение Операция ДВ-свертки со д[п}= S x[m}h[n—m] т=—со описывает класс ЛИВ-систем, более широкий, чем определяемый линейными разностными уравнениями с постоянными коэффици- ентами, но (как будет показано в последующих главах) для них характерны многие аналитические упрощения и структуры, кото- рые делают разностные уравнения столь же полезными. Операция свертки дает также в явном виде формулу для вычисления реак- ции ЛИВ-систем во временной области, которая дополняет явную формулу в частотной области Y (г) = Х (г) Н (г) для РНС каузальных систем. Подобные же утверждения справедливы для систем непрерыв- ного времени. В данной главе мы покажем, что интеграл свертки t y(t}=^x(r}h(t-r}d-v о является во временной области эквивалентом обратного ^-пре- образования формулы Y (s) = Х (s) H (s) для ЛИВ-цепей или аналоговых каузальных систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Как и в случае ДВ-систем, h (t) — это обратное ^-преобразование системной функции Н (s). Мы называем h (t) реакцией на единичный импульс, но, к сожалению, в НВ-системах не так просто, как в предыдущей главе, сказать, каким может быть «единичный импульс», чтобы h (t} было реакцией на него. Поэтому мы отложим до гл. 11 рассмотрение вопроса о том, что собой пред- ставляют эти импульсы и подобные им. В данной главе мы сосре- 10.1. Теорема о ^-преобразовании свертки 303 доточим внимание на наиболее важных свойствах интеграла свертки в форме, которая описывает РНС множества каузальных систем в более общей форме со g(t)= J x(v)h(t-v)d-s, —со характеризующей (как мы покажем в следующей главе) реакцию любой ЛИВ-системы непрерывного времени, каузальной или нет. 10,1. Теорема об ^-преобразовании свертки • Начнем о доказательства теоремы. ТЕОРЕМА ОБ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИИ СВЕРТКИ: Пусть (10.1.1) Тогда ^-преобразование у (t) имеет вид Y (s) = Х (s) H (s), где Н (s) = S [h (t) ] и Х (s) == S [х (t) 1. Доказательство проводится аналогично доказательству соответ- ствующей теоремы о Z-преобразовании в разд. 9.1. Таким обра- зом, прямая оценка Y (s) дает со со Г t ~\ Y(s)= [y^e-^dt^ С \x(t)h(t-v)dt \e-sfdf= J J I J | " о LO J ' х (т) h (t - т) и (t - т) 0, выражение h (i — т) и (t — t) представляет собой просто задержанное h (t) и (t} и внутренний интеграл становится Н (s) е-". Выполне- ние внешнего интегрирования завершает доказательство. *) Как и в случае дискретного во времени аргумента, изменение порядка интегрирования оправдано для значений внутри общей области сходимости Н (s) и Х (s). 304 10. Применение свертки для систем непрерывного времени Эта теорема о свертке применима к сигналам любой формы и их преобразованиям. Если, в частности, х (t), у (t) и h {t) яв- ляются соответственно входом, выходом и импульсной характе- ристикой какой-либо схемы или системы с сосредоточенными параметрами, то только что полученный результат Y (s) = Х (s) H (s) для РНС означает, что можно также найти РНС во временной об- ласти, используя формулу свертки (10.1.1). Несколько примеров помогут уяснить, как это осуществляется. Пример 10.1.1 В задаче 2.1 было сделано допущение, что интегратор можно представить во временной и частотной областях так, как пока- ^1^0) у(?) dl ! Рис. 10.1. Блок интегратора. Рис. 10.2. Импульсная характеристика. зано на рис. 10.1. Это означает, что системная функция интегра- тора имеет вид H{s)=- (10.1.4) и, следовательно, h(t)==u(t), (10.1.5) как представлено на рис. 10.2 1). Теорема свертки определяет таким образом, что РНС, являющаяся частью полной реакции, должна иметь вид t y(t)=^x(r)h(t-x)dx= о t t =f x(^:)u(t-t)d^:=<[x(t}d•s. (10.1.6) 1) Строго говоря, то обстоятельство, что h (t) есть обратное ^-преобразова- ние H (s) = 1/s, свидетельствует лишь о том, что h (t) = 1, 00. Этого по су- ществу достаточно для оценки интеграла свертки в пределах интегрирования, заданных в теореме об ^-преобразовании свертки. Но в более широком контексте ЛИВ-систем общего вида интегратор представляет собой каузальную систему, для которой h (t) == 0 при «О. 10.1. Теорема о ^-преобразовании свертки 305 Полная реакция, таким образом, равна t y(Q=J^(T)dT+t/(0) (10.1.7) и в точности соответствует тому, что называется «интегратором». * * * Пример 10.1.2 Системная функция Т^С-схемы (рис. 10.3) имеет вид H(s)^^(PHC)= ^;^ . (10.1.8) + г(Г) iWW RZ С 1 Рис. 10.3. Цепь и импульсная характеристика к примеру 10,1.2. Следовательно 1], С (10.1.9) Воспользуемся теперь формулой свертки для нахождения РНС- реакции схемы, показанной на рис. 10.3, при входном воздей- ствии, изображенном на рис. 10.4. 1) Обратим внимание на размерность h (t) в данном примере, которая, как очевидно, есть Ф~1 == В/(А-с). Если h (f) рассматривается как реакция на еди- ничный импульс и если эта реакция представляет собой некоторое напряжение, то у входного «единичного импульса» тока должна быть размерность А-с (а не А;, чтобы можно было получить выход вход = выход или вход [В/(А-с)]-(А.с)= В. Эти соображения несомненно необходимы для того, чтобы формула свертки была сбалансирована по размерности, и будут развиты в гл. 11. 11 Сиберт У. М. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аккумулятор (накопитель) 226, 261 Анализ 56, 151 Аналогии 14 Аналоговые компьютеры 28 Умножитель 174, 179 Базовые направления (тока, напряже- ния) 14 Баттерворта фильтр 38, 115, 129, 139, 144, 145, 150 Бесселя уравнение 85 Воде Г. В. 158, 160, 200 i— диаграмма 130—132 Ван дер Поля уравнение 52 Взаимность 101, 107, 109, 117 Винер Н. 176 Вход инвертирующий 16 — неинвертирующий 16 Вычеты 64 Гамильтониан 116 Генри 14 Гиратор 113 Граничная частота 38 Действительная часть 36 Декада 132 Децибел (дБ) 130 ' Динамические уравнения 13, 18 Диод 17 Дифференцирования теорема 69 Добротность 124 и далее Единственности теорема 63 Емкость 14, 69 Зависимый источник 15 Задержка 60, 230, 251, 256 Заземления символ 20 Замкнутый контур 18 Идеальный — источник 14 — трансформатор 111 Импеданс 69, 91 Инвариантность во времени, принцип 16, 283 Инверсные системы 163 и далее, 294, 299 Индуктивность 14. 69 — взаимная НО Интегратор — неинвертирующий 26, 28, 80, 304 — с конечным временем интегрирования 309 Интегрирования теорема 79 Искажения 247 Источник — зависимый 15 '—^ идеальный 14 — напряжения 14 '— независимый 15 —— тока 14 >-^ управляемый 15 Каузальность 315 и далее Кибернетика 176 Кирхгофа законы для напряжения и тока 17, 18 Ключ 17 Компаратор 161 Комплексная частота 58, 98 Контроллер 186 Корневой годограф 189 Корректор электромагнитной воспроизво- дящей головки 143 K.OLUU принцип аргумента 199 Коэффициент усиления в кольце обратной связи 157 Кронекера дельта-функция 250 Лапласа преобразование 57 —• — обратное 62 — таблицы 76 Лейбница правило 309 Линейность 16, 283 — теорема 61 Линейные инвариантные во времени си- стемы (ЛИВ) 16 Линия задержки с отводами 230 Максвелл Дж. К- 158 — соотношение 117 Модель — магистрального движения 85 — сердца 54 Мостовая Т-образная цепь 178 Мультивибратор 52 Найквист X. 158 Напряжения источник 14 Начальное состояние 29, 318 Начальные условия 29, 32, 234 Независимый источник 14, 15 332 Предметный указатель Нортона теорема 74 Нулевое состояние 88 Нули 60, 118 и далее, 260 Обратная связь 156 и далее — — отрицательная 159 — — положительная 159 Октава 131 Ом 14 Оператор 56 Операционный усилитель 15 — — ширина полосы при единичном коэф- фициенте усиления 181 Опережающего сдвига теорема 254 Описание в неявной форме 13 Основные соотношения 13 и далее Пассивная система 317 — цепь 119, 141 Передаточная функция 89 Перемножитель 26 Повторитель напряжения 21, 155 Положительная действительная функция 141 Полюсов-нулей диаграммы 118 — — комплексно-сопряженная симметрия 119 Полюсы 60, 97, 118 и далее, 260 — кратные 66 Порт 89 Порядок — системы 33 — цепи 24 Постоянное входное воздействие 33 Потенциальные модели 127 Преобразователь отрицательного импедан- са 113 Приборы с переносом заряда 233 f— типа «пожарная цепочка» Проводимость (отношение ток/напряже- ние) 89 —— входная 92 Разложение на элементарные дроби 63 Разностные уравнения 223 —— — для переменных состояния 229 — — порядок Рациональные функции 59 Реакция на единичный импульс 302, 321 — — — — размерность 305 — при нулевом воздействии (РНВ) 29, 88, 236, 260 — при нулевом начальном состоянии (РНС) 88, 260 — цепи на ступенчатое воздействие 35 — на единичный отсчет 275 — — — — 282 Регулировка тембра схемы 146 и далее Резистор, сопротивление 14, 68 Резонанс 125, 126 Роберж Дж. К. 172 ДС-генератор 192 Саллена — Ки схема 145 Свертка 276 и далее — алгебраические свойства 286 — графическая интерпретация 306 и далее — интеграл 302 — обращение 177, 290 — теорема о преобразования Лапласа 303 — Z-преобразозание 276 Сечение цепи 19 Сигналы дискретного времени (ДВ) 220 — ошибки 242 Сингулярности 31 Синтез 56, 151 Системная функция 89, 260 ^- — связь с дифференциальными урав- нениями 96 Системы 151 ^- дискретные по времени 222 —— инвариантные во времени 283 I— инверсные 163, 294, 299 ^ каноническая форма 232 ,— каузальные 315 и далее, 322 — линейные 283 — — инвариантные во времени 16 — параллельные 153 , — порядок 88, 33 — последовательно соединенные 153 — с выборкой данных 272 — структурное описание 56 — трансверсальные, или рекурсивные 230 — управления 176 — устойчивые 119, 319 —— функциональное описание 56 Собственная (гомогенная) реакция 29 Собственная частота 30, 31, 140 — — порядок (кратность) 33 — мода 30 Сопротивление (отношение напряже- ние/ток) 89 — входное 91 Стабилизатор напряжения 173 Структурные схемы 25 — — общий вид 46, 48 Сумматор 26, 28, 227, 257 Супергетеродинный приемник 144 Суперпозиция 16, 87 — теорема 251 Сходимости абсцисса 59 — область 59, 94, 245, 260 Таймер в интегральном исполнении (ИС типа 555) 40 Теорема Тевенина 74, 168 — Теллегена 140 — о конечном значении 81, 269 —— о начальном значении 81, 269 —— умножения на п 251 г- — — t 67 ^- — — экспоненту 251 Т-образная цепь 121 — — двойная 121 Тока источник 15 Точка излома 132 Точки уровня половинной мощности 126 Транзистор 15 Управления теория 157, 176 Управляемость 97, 138 Уравнения в узлах 19 — состояния 22 Усиление 227, 257 — запас 203 Усилитель 26 — логарифмический 179 — развязывающий 155 Устойчивость 119, 187, и далее, 193, 206, 319 —— в смысле ОВОВ (ограниченным входам при нулевом начальном состоянии соот- ветствуют ограниченные выходы) 187, 2»й — критерий Рауса 190 — — Найквиста 199 и далее — обращенного маятника 193 — по Ляпунову 187, 199 — условная 203 фазовый запас 204 фазоопережающая цепь 205 Фарада 14 Фибоначчи числа 238, 241 Фильтр нижних частот 38 — — — амплитудно- и фазочастотные ха- рактеристики 38 — — — идеальный 128 — для подавления «шипа» иглы в про- игрывателе 150 — на переключаемых конденсаторах 243 — разделительный 147 функциональное описание системы 56 Функция единичной выборки 250 Характеристическое уравнение 31, 260 — число 50 Хевисайд О. 57 — теорема разложения 64 Цепь 13, 151 — без потерь 120 — ветви 13 — двойная Т-образная 121, 149 — корректирующая 193, 203, 204 — лестничного типа 120, 226 — минимально-фазовая 148 Предметный указатель 333 — пассивная 119, 141 — с затуханием 120 — Т-образиая 121 — фазокорректирующая 139 i— фазоопережающая 205 —— Фостера форма (^С-цепь) 142 —— элементы 13 Частное решение 33 Частотная область 58, 256 '— характеристика 37 i— — в установившемся состоянии при синусоидальном входном воздействии 34, 93 «Черный ящик» 56 Четырехполюсник 99 — ЛДСЛ-представление 111 — гибридное представление 111 Численное интегрирование 224, 261 —— — алгоритм Эйлера аппроксимации «вперед» 225, 277 — — —— аппроксимации «назад» 225, 270 '— — правило Симпсона 240, 270 — -— правило трапеций 240, 270 Чувствительность 160 Эквивалентность 46, 57 Электрокардиограмма 54 Элементы с сосредоточенными параметра- ми 18 Эффект Миллера 171, 175 Z-преобразование 245 и далее — область сходимости 245, 260 i-- обратное 247 —-таблица 265 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА ............. 5 ПРЕДИСЛОВИЕ .......................... 8 1. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ .................... 13 .0. Введение ...................••••••• 13 .1. Основные соотношения для элементов ............ 13 .2. Соединения элементов. Законы Кирхгофа ........... 17 .3. Динамические уравнения. Метод узловых напряжений и уравне- ний состояния ....................... 18 .4. Структурные схемы ..................... 25 .5. Решения динамических уравнений .............. 28 .6. Решения динамических уравнений при нулевых входных воз- действиях ....................•••••• 29 1.7. Решения динамических уравнений при экспоненциальных вход- ных воздействиях ...................... 33 1.8. Выводы ........................... 38 Упражнения к главе 1 ..................... 40 Задачи к главе 1 ........................ 44 2. ОДНОСТОРОННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ....... 56 2.0. Введение .......................... 56 2.1. Одностороннее преобразование Лапласа ........... 57 2.2. Примеры ^-преобразований и теоремы ............ 58 2.3. Обратное преобразование Лапласа .............. 62 2.4. Кратные полюсы ...................... 66 2.5. Применение преобразования Лапласа для анализа цепей .... 68 2.6. Выводы ........................... 76 Приложение к главе 2 ...................... 76 Упражнения к главе 2 ..................... 77 Задачи к главе 2 ........................ 79 3. СИСТЕМНЫЕ ФУНКЦИИ .................... 87 3.0. Введение .......................... 87 3.1. Формула суперпозиции для ЛИВ-цепей ........... 87 3.2. Системные функции ..................... 89 3.3. Системная функция как реакция на экспоненциальное входное воздействие ........................ 93 3.4. Системные функции и дифференциальные уравнения '«вход- выход» ........................... 95 Содержание 335 3.5. Выводы ........................... 98 Приложение к главе 3 ..................... 99 Упражнения к главе 3 ..................... 101 Задачи к главе 3 ..................... ^ .. 103 4. ПОЛЮСЫ И НУЛИ ....................... 118 4.0. Введение .......................... 1]8 4.1. Диаграммы полюсов-нулей .................. 118 4.2. Векторная интерпретация Н (/<о) ............... 123 4.3. Потенциальные модели системной функции .......... 127 4.4. Диаграммы Боде ................... ', '. '. 130 4.5. Выводы ........................ . 134 Упражнения к главе 4 ................... . 134 Задачи к главе 4 ...................... . 138 5. СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ ........ 151 5.0. Введение .......................... 151 5.1. Простые соединения систем. Влияние нагрузки . .....'.'.. 153 5.2. Простые системы с обратной связью ........... ^ . 156 5.3. Примеры действия отрицательной обратной связи . ......'. 159 5.4. Выводы .................,......'.'.. 172 Упражнения к главе 5 ..................... 172 Задачи к главе 5 ................... '. '. ', ', '. 173 6. ДИНАМИКА СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ......... 176 6.0. Введение .......................... 176 6.1. Инверсные системы ..................... 176 6.2. Влияние обратной связи на полосу частот и время реакции 180 6.3. Устойчивость ........................ 187 6.4. Применение обратной связи для стабилизации неустойчивых си- стем. ............................ 193 6.5. Выводы ....................... 199 Приложение к главе 6 .................. ' 199 Упражнения к главе 6 ...................'. 206 Задачи к главе 6 ......................'. 209 . 7. СИГНАЛЫ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ И ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТ- НЫЕ УРАВНЕНИЯ ...................... 220 7.0. Введение .......................... 220 7.1. Линейные разностные уравнения ............... 223 7.2. Структурные схемы и уравнения состояния для ДВ-систем . . . 226 7.3. Прямое решение линейных разностных уравнений ....... 233 7.4. Реакция при нулевом входном воздействии .......... 236 7.5. Выводы ..................... • • • • • ^^ Упражнения к главе 7 ................ • • • ^д Задачи к главе 7 ..................... '. 240 S. ОДНОСТОРОННЕЕ 2-ПРРОБРАЗОВАН11Е И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 245 8.0. Введение .......................... 245 8.1. Z-npеобразование ................. 245 82. Применение Z-преобразования к ЛИВ-системам дискретного времени ......... . ............. 253 8.3. Представление систем дискретного времени в частотной области 256 8.4. Выводыi ... ...... . . ....... 26.1 Приложение к главе 8. 265 336 Содержание Упражнения к главе 8 ..................... 266 Задачи к главе 8 ........................ 267 9. РЕАКЦИЯ НА ЕДИНИЧНЫЙ ОТСЧЕТ И СВЕРТКА В ДИСКРЕТ- НОМ ВРЕМЕНИ. ........................ 275 9.0. Введение .......................... 275 9.1. Теорема свертки и Z-преобразование ............. 276 9.2. Свертка и линейные инвариантные во времени системы ..... 283 9.3. Алгебраические свойства общей операции свертки ....... 288 9.4. Пример обращения свертки .................. 290 9.5. Выводы .............'.............. 294 Упражнения к главе 9 ..................... 295 Задачи к главе 9 ........................ 296 10. ПРИМЕНЕНИЕ СВЕРТКИ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ ................. 302 10.0. Введение ......................... 302 10.1. Теорема об ^-преобразовании свертки ........... 303 10.2. Свертка и общие ЛИВ-системы .............. 307 10.3. Каузальность и устойчивость ............... 315 10.4. Выводы .......................... 321 Упражнения к главе 10 .................... 322 Задачи к главе 10 ....................... 322 Предметный указатель ..... .^ ............... 331 Учебное издание Уильям Макконвей Сиберт ЦЕПИ, СИГНАЛЫ, СИСТЕМЫ В двух частях Ч. 1 Зав. редакцией Ю. А. Кузьмин. Научный редактор Т. Г. Хохлова Мл. редакторы И. А. Гревцова, Т. В. Ежкова. Художник А. Д. Смеляков. Художественные редак- торы М. Н. Кузьмина, Н. И. Заботина. Технический редактор Т. А. Мирошина. Кор- ректор Н. А. Гиря. ИБ № 6445 Сдано в набор 05.12.87. Подписано к печати 05.09.88. формат 60Х901/!». Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Гарнитура литературная. Объем 10,50. бум. л. Усл. печ. л. 21. Усл. кр.-отт. 2'. Уч.-изд. л. 21,60. Изд. №. 8/5612. Тираж 37000 экз. Зак. 366. Цена 2р. 00 к. Издательство «Мир» В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2 Ленинградская типография №- 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Госу- дарственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 193144^ г» Ленинград, ул. Моисеенко, 10. Circuits, Signals, and Systems William McC. Siebert The MIT Press Cambridge, Massachusetts London, England McGraw-Hill Book Company New York St. Louis San Francisco Montreal Toronto У. M. Сиберт ^ V ь системы В двух частях Перевод с английского Э. Я. ПАСТРОНА, канд. техн, наук Л, А, ШПИРТА под редакцией д-ра техн. наук И. С, РЫЖАКА Москва «Мир» 1988