ББК 32.841 С34 УД К 621.372(075) Сиберт У. М. С34 Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. Ч. 2: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.—360 с., ил. ISBN 5-03-000978-7 Совремваный курс теории сигналов и их обработки, подготовленный известным американским специалистом и входящий в серию книг по элек- тротехнике и информатике, которую выпускает Массачусетский технологи- ческий институт (США). Во 2-й части рассматриваются фильтры, принцип неопределенности, случайные сигналы, а также современные системы связи. Изучение тем ведется на многочисленных примерах и задачах. Книга может послужить базой для годичного вводного курса для преподавателей и студентов вузов, по специальностям «Радиоэлектроника», «Связь», «Радиолокация» и «Вычислительная техника». Она представляет также интерес для высококвалифицированных специалистов в указанных областях. 2402040000—453 '• 041 (01)—88 172—88, ч. 2 ББК 32.841 Редакция литературы по электронике ISBN 5-03-000978-7 (русск.) ISBN 5-03-000976-0 ISBN 0-262-19229-2 (англ.) 1986 by The Massachusetts Institute of Technology перевод на русский язык, «Мир», 1988 11 ИМПУЛЬСЫ И ИНТЕГРАЛ НАЛОЖЕНИЯ 11.О* Введение Искусству аппроксимации принадлежит центральная роль в прак- тике решения инженерных и научных задач. Это вызвано тем, что в нашем мире в той или иной степени все взаимосвязано. Совре- менная наука добивается наибольших успехов в таких ситуациях, в которых все эффекты малы, кроме немногих, определяемых первичными причинами. Этим отчасти объясняется, почему со- временная наука имеет количественный характер — располагает шкалой, дающей возможность измерять степень «малости», — и отчасти, почему методы современной науки позволяют с боль- шим успехом объяснять поведение физических систем, чем био- логические, социальные, политические или экономические явле- ния. В этих последних менее ясно, каким образом следует осу- ществлять аппроксимацию и как решать, чем можно пренебрегать. С самого начала этой книги мы стремились в возрастающей степени выходить за пределы рассмотрения только электрических цепей, уменьшать внимание к деталям, объединяя отдельные элементы, и проводить аппроксимацию так, чтобы способствовать лучшему пониманию более сложных систем. Один из путей осу- ществления аппроксимации заключается в использовании таких идеализированных представлений, как линейные системы. Другой путь — рассмотрение предельных случаев, например анализ системы спустя длительное время после начала воздействия, когда все переходные процессы полностью затухли, t. e. изучается только установившееся состояние системы. Системная функция — это предельная установившаяся величина реакции системы, яв- ляющаяся функцией от s, на специальное входное воздействие exp(s<). Она характеризует поведение линейных инвариантных во времени систем в частотной области. Теперь мы хотим интер- претировать альтернативную или дуальную характеристику си- стем во временной области как предельную реакцию на другой вид входного воздействия — импульс. Глава 11. Импульсы и интеграл наложения 11.1. Эффект сглаживания, создаваемый физическими системами Действие каждой макроскопической системы неизбежно включает в себя в определенной степени сглаживание или усреднение вход- ного воздействия. Такое усреднение обусловлено фундаменталь- ными и 'термодинамическими закономерностями, характеризу- емыми словом «макроскопический»; при достаточно детальной (микроскопической) шкале явлений мы не можем игнорировать флуктуации, которые возникают во всех диссипативных1) си- стемах из-за теплового перемешивания дискретных зарядов и элементов массы. Система, способная разрешать входные воздей- ствия, сколь угодно близкие друг к другу (в пространстве или во времени), уже не может быть подвергнута анализу как детер- минированная макроскопическая система. Математически сглаживание имеет два принципиальных следствия: 1. Входные воздействия, которые равны нулю (или достаточно малы) за пределами некоторого обычно достаточно короткого временного интервала, вызывают, как правило, существенно одинаковый эффект, если их площади (интегралы по времени) равны 2). Таким образом, мы будем считать, что все входные воз- действия Xf (t}, показанные на рис. 11.1, создадут существенно »х,Ы а- Рис. 11.1. Примеры .«коротких» временных функций. одинаковый выход в тех случаях, когда при достаточно малом со значении 6 заштрихованные площади, J Xi (t} dt, имеют одина- ковую величину. 2. Два входных воздействия, являющиеся идентичными, за исключением ограниченных по величине различий для малых 1) Диссипативные системы характеризуются убыванием полной энергии при их движении. В таких системах единственными стационарными состояниями являются состояния равновесия, к которым система приближается при любых начальных условиях, см., например, Л. Л. Андронов, А. А. Витт и С. Э. Хай- кин. Теория колебаний. — М.: ГИФМЛ, 1959, гл. III, § 1, с. 168—175.— Прим. ред. 2) Возможность исключений из этого правила мы исследуем в разд. 11.5. 11.1. Эффект сглаживания 7 дискретных моментов времени 1), будут создавать идентичные выходы. Так, х^ (t) и ^ (О, показанные на рис. 11.2, создают одинаковый эффект воздействия на систему при любом конечном значении К.. , , . fsinu/, 11-Q ,iX,(r)=smt^ т^Нх ,-n 1л, I - U Рис. 11.2. Колебания, различающиеся только в точке t == 0. Для линейных систем эти следствия эффекта сглаживания связаны между собой, поскольку площадь разности сигнальных воздействий х^ (t} — ^ (t} на рис. 11.2 равна нулю. Пример 11.1.1 Системная функция простой цепи, показанной на рис. 11.3. имеет вид Н is) - v(s) ГРНП - ——ис—— п {s) - TW (рнс) - s+1/RC • А/'(/) 'Pw. 11.3. Простейшая система с различными входными воздействиями (Г (t) и t (<)). Сравним теперь реакции системы на воздействия Г (f) и i" (f), приведенные на том же рисунке. Обратите внимание на то, что t' (t) и f" (t) имеют одинаковую площадь » 00 00 J Г (0 dt == J t" (t) dt = Л о о независимо от значений т и 6. а) Пусть V (s) является реакцией на воздействие /' (s) = = S [i' (t)] = -^- (1 - е^в). Тогда Г(^Я(.)Г(,=^^^=^-^^)(1-^, 1) Формально все, что здесь требуется, — это ввести нулевую меру. Глава 11. Импульсы и интеграл наложения Следовательно, vr^t)=Z-l[V'(s)}= А^- (1 — e-'W) и (t) — -^-(1 - е- С-в)/яс) u (t - 6) О, л^ t<0, ^L (1 _ е- 0. Тем не менее было бы неудобным определять единичный импульс 6 (i) как lim Г (f) = lim i" (t) = б (f). с-»о т-»о Беда заключается в том, что математическая функция опреде- ляется ее значением для каждого значения ее аргумента; при- веденная выше процедура предельного перехода не в состоянии определить значения 6 (t) в только действительно интересной части области ее существования, а именно в окрестности точки t = 0. И это не является математическим каламбуром. Попытка определить функцию такими выражениями, как 1) 6 (0 = 0, t ^ О, 2) 6(0)= со, (И.1.1) с 3) J б (o^=i, приводит к неоднозначности, несовместимости и «парадоксаль- ному» поведению. Наиболее успешный путь обхода этих трудно- стей состоит в отказе от попыток определения значений импульс- 10 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения ной «функции» 6 (0 и в сосредоточении внимания на результатах ее воздействия или свойствах1). Функции, определенные посредством того, что они «делают», а не того, чем они «являются», называются распределениями или обобщенными функциями. За последние 25 лет появилась обшир- ная математическая литература, посвященная таким функциям 2). В этой главе мы попытаемся обрисовать преимущества подобного подхода. 11.2. Импульсы и их основные свойства Если единичный импульс может быть определен как обычная функция 6 {t), то он должен обладать одним свойством — дей- ствительно являющимся фундаментальным и характеристиче- ским, — что реакция ЛИВ-сиЪтем при использовании б (<) в ка- честве входного воздействия должна представлять собой то, что мы уже назвали реакцией на единичный импульс h (t) этой си- стемы. Поскольку, как правило, мы можем описать реакцию любой ЛИВ-системы интегралом свертки 00 00 y(t)== J A;(T)/i(<-T)dT= J h(x)x(t-t)dr==x(t)»h(t), ——00 ——00 можно ожидать, что мы сможем задать условие х (f) = б (f) и получить у (t) = h (t), т. е. 00 00 h(t)= J б (т) А (< - т) dT = J /i (т) 6 (< - т) dT (11.2.1) ——00 ——00 или в символической форме 6 (О*/i(0= А(0. 6 (О*/i(0= МО. (11.2.2) ^ С. Дж. Мэйсон часто рассказывает о студенте, который обратился к нему со следующей жалобой: «Вы говорите, что повсюду, за исключением начала координат, импульс столь мал, что его нельзя увидеть, тогда как в начале коор- динат он столь велик, что его опять нельзя разглядеть. Другими словами, его нигде невозможно обнаружить, я по крайней мере его не вижу!» Студент без- условно прав: нет никаких способов определить, чем импульс «является», можно лишь определить, что он «делает». 2) Среди некоторых ранних, однако еще сохраняющих свою ценность публи- каций по данному вопросу можно назвать следующие: L. Schwiartz, Theories des Distributions, v. 1, 2 (Paris: Hermann, 1957—Г959); Л. H. Zemanian, Distribution, Theory and Transform Analysis (New York, NY.: McGraw-Hill, 1965); M. J. Light- hill, Fourier Analysis and Generalized Functions (New York, NY.: Cambridge University Press, 1958); И. M. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними. — M.: ГИФМЛ, 1959. 11.2. Импульсы и их основные свойства 11 Поскольку мы можем подать единичный импульс 6(<) в ка- честве теста на вход любой ЛИВ-системы, соотношение (11.2.2) должно быть справедливо для любой временной функции h(t). Мы используем уравнение (11.2.2) как определяющее свойство импульса: свертка импульса с любой функцией воспроизводит эту функцию. Мы применяем обозначение б (t) для представления единичного импульса таким образом, как будто б(<) является обычной функцией, однако мы не определяем значения б(/) как для обычной функции; всякий раз, когда у нас возникает не- уверенность относительно того, какой «смысл» следует вкладывать в это обозначение, мы можем просто осуществить свертку 6 (t) с произвольной «тест-функцией» и использовать уравнение (11.2.2) для интерпретации результата, как это иллюстрируется в следу- ющих примерах х). Пример 11.2.1 Часто, естественно, оказывается удобным представлять функ- цию 6 (t) в виде узкого импульса большой амплитуды, концентри- рующегося вблизи точки t == 0. Чтобы связать это представление Ah{t) Рис. 11.6. «Произвольная» функция h (t). с определением, опирающимся на свертку (11.2.2), графически изобразим подынтегральные выражения в уравнении (11.2.1) так, как мы это делали в гл. 10. Если h (t) имеет произвольную форму (рис. 11.6), то подынтегральное выражение в (11.2.1) будет 1) Использование импульсных функций в науке и технике популяризиро- валось английским физиком П. А. M. Дираком и Оливером Хевисайдом еще задолго до того, как импульсы «заслужили уважение» среди математиков. И дей- ствительно, мы по-прежнему продолжаем пользоваться введенным Дираком обозначением 6 (<), и единичный импульс часто называют б-функцией Дирака. И Дирак, и Хевисайд подчеркивали мысль, что б (t) определяется в смысле того, что она «делает». Так, например, Дирак говорил: «Во всех тех случаях, когда появляется неклассическая функция [т. е. импульс], она будет представлять собой нечто такое, что в конечном счете будет использоваться в подынтеграль- ном выражении. Таким образом, использование неклассических функций не свя- зано с какими-либо нарушениями строгой теории, а является лишь способом, позволяющим в сжатой форме выражать определенные соотношения, которые в случае необходимости мы можем переписать в форме, не содержащей неклас- сической функции, однако отличающейся чрезмерной громоздкостью, что ведет К утрате ясности приводимых выкладок». 12 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения Рис. 11.7. Подынтегральные выражения в (11.2.1) для функции h (<), изобра- женной на рис. 11.6. таким, как показано на рис. 11.7, где мы представили б (f) в виде узкого прямоугольного импульса, хотя приемлем также любой узкий и высокий импульс. Два этих изображения являются одинаковыми, за исключением лишь того, что они зеркальны во времени; обратите внимание на то, что б (f) представляет собой импульс «в» точке т == 0, тогда как б (t — т) — импульс «в» точке т == t, т. е. «в» точке, где аргумент функции равен нулю. Следо- вательно, произведение 6 (т) Х h (t — т) очень мало повсюду, за исключением ближайшей окрестности точки т = 0, где (при условии что импульс, представляющий б (t), является достаточно узким, а функция h (t — т) — достаточно гладкой в ближайшей окрестности точки т; = 0) мы с определенным приближением имеем б (т) h (t — т) w б (т) h (t — 0) = 6 (т) h (О, так что реакция на импульс имеет следующий вид: 00 00 00 y(t)== J 6 (т) h (t - т) dx w J 6(T)A(Odi=ft(0 J 6 (т) dx = h (t), ——00 ——00 ——00 что и требовалось доказать (поскольку б (f) * 1 =1, то мы можем сказать, что функция 6 (f) имеет единичную площадь). Матема- тически использование единичной импульсной функции в интеграле (таком, например, как (11.2.1)) преследует цель выбирать значение подынтегрального выражения в точке, характеризуемой наличием в ней единичного импульса. • * * Пример 11.2.2 В качестве другого примера использования единичного импульса в подынтегральном выражении рассмотрим выражение и (f) * * 6(0, которое соответствует соотношению (11.2.2) и имеет вид 00 J и (t - т) 6 (т) dx = и (t). Поскольку 11.2. Импульсы и их основные свойства 13 1, Т«, О, в противном случае, мы можем записать эквивалентные соотношения оо i J У (t — т) 6 (т) dx = J 6 (т) dt = и (t). Это означает, что (неопределенный) интеграл от единичного им- пульса представляет собой единичную ступенчатую функцию. И наоборот, интерпретируя неопределенный интеграл как перво- образную функцию, мы можем утверждать в операционном смысле, что единичный импульс является производной единичной ступен- чатой функции (11.2.3) Чтобы показать, что такая интерпретация действительно не противоречит определению импульса через свойство (11.2.2), введем формально и (t) для обозначения du (t)/dt и рассмотрим соотношение g(0*u(0== J u(x)g(t-v)dx, где g (f) — некоторая произвольная функция, используемая для тестирования того, что и (t) «делает» внутри интеграла. Интегри- руя по частям (с g (f), формально вводимым для обозначения ^ (0/^0> получим со Т=со со J u(-v)g(t-t)d'v=u(x)g(t-f) | — J u(T)(—g(^-T))dT?= = [1 -g(— °o) - O.g(oo)] + J g (t - т) d-v = 1=0 Сравнивая найденный результат с (11.2.2), мы можем заметить, что и (t), как и утверждалось ранее, имеет ту же операционную характеристику (т. е. ведет себя так же), что и 6 (f). Другой путь интерпретации соотношения (11.2.3) связан с пред- ставлением и (t) в виде предела последовательности линейно 14 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения Аппроксимация «(/•) ^ Аппроксимация 8(0 Единичная площадь Рис. 11.8. Последовательность функций, приближающаяся в пределе к ступен- чатой функции (слева), и их производные (справа). нарастающих функций, изображенных на рис. 11.8. Как пока- зано, последовательность соответствующих производных ведет себя подобно импульсу. * * * Приведенные примеры наводя.т на некоторые мысли. Во- первых, следует обратить внимание на то, что любая последова- тельность, ведущая себя в пределе как функция 6 {t), должна быть неограниченной в окрестности точки t == 0. Символическое изоб- Длина пропорцио- нальна А Рис. 11.9. Символическое представление импульса. ражение на рис. 11.9 (которое, если не считать небольших от- клонений, является более или менее стандартным) можно рас- сматривать в качестве приемлемого графического представления импульса. Отметим, что амплитуда Л в действительности яв- ляется площадью импульса. Если временная шкала изменяется, то и величина Л должна быть соответствующим образом изменена, т. е. 6Н=^б(0. (11.2.4) Для доказательства правильности соотношения (11.2.4) введем функцию 6 (at) в подынтегральное выражение, чтобы увидеть, как она там «работает». Следовательно, мы рассматриваем J 6(at)g(t)dt, 11.2. Импульсы и их основные свойства 15 где g (t) является нашей произвольной тестирующей функцией. Заменим переменную на т = at, в результате чего получим g (т/о) I ° I dr. что, согласно (11.2.1), равняется g (0)/[а|. Но это значение также есть и значение интеграла ! №(')-"• Сказанное означает, что функция 6 (at) ведет себя так же, как и б (t)/\a\. В частном случае, когда а= —1, мы можем, исходя из выражения (11.2.4), заключить, что 6(—/) = б (t), т. е. 6 (/) ведет себя как четная функция, хотя узкий сигнал боль- шой амплитуды, служащий приближением импульса, вовсе не должен иметь вид четной функции. На рис. 11.9 также показано, как следует представлять импульс, который располагается не в точке t == 0. Чтобы найти положение сдвинутого импульса, например 6 (t — Т), следует определить значение t, при котором аргумент функции обращается в нуль, т. е. в данном случае это будет точка t = Т. Амплитуда Л импульса напряжения выра- жается не в вольтах, а в вольт-секундах. Сама функция 6 (t) в символическом представлении имеет размерность с~1, так что 00 интеграл J 5 (t) dt является безразмерной величиной, равной ——00 единице, а величина Л 6 (t) имеет размерность вольта. Поскольку любой узкий импульс большой амплитуды, веду- щий себя в пределе как б (t), характеризуется тем, что равен нулю для всех t =/= 0, произведение функции б (t) на любую достаточно гладкую функцию / (t) зависит только от значения / (О): 6 (0/(/)== 6 (0/(0). (11.2.5) И снова следует подчеркнуть, что равенство вида (11.2.5) говорит лишь о том, что обе его половины при введении каждой из них в подынтегральное выражение (вместе с тестирующей функцией) проявляют себя одинаковым образом. Уравнение (11.2.5) харак- теризует выборочное свойство импульса. (Как это великолепно выразил Хевисайд: «Функция [S>(t)] определяет отдельное зна- чение произвольной функции в силу своей импульсивности».) Нельзя не учитывать важности слов «достаточно гладкая», так как ключевое требование к функции / (t) сводится к тому, что ее значение при t == 0 и ее локальное среднее значение в окре- стности t == 0 должны быть одинаковы. Таким образом, для произ- 16 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения ведения разрывной функции на единичный импульс, располага- ющийся в точке разрыва, например 6 (t) и (t), невозможно найти совместимое с этой ситуацией значение, и по этой причине ее следует избегать. (В качестве классической иллюстрации труд- ностей и кажущихся парадоксов, возникающих, если игнориро- вать сделанное предупреждение, см. задачу 11.21.) По существу по той же причине импульсы (и родственные им функции, которые будут обсуждены далее) нельзя успешно использовать в нелиней- ных системах, так как невозможно, например, придать содержа- тельное значение б2 (t). В то же время свертка импульса с раз- рывной функцией (как в случае (11.2.2)) не порождает никаких трудностей, поскольку точное значение разрывной функции в точке разрыва совершенно не важно с физической точки зрения (вспомните соображения по поводу сглаживания в физических системах, приведенные в разд. 11.1). Так, например, 6(0 * u(t) = u(t}. (11.2.6) Пример 11.2.3 В качестве другого примера, иллюстрирующего результат введе- ния импульса в подынтегральное выражение, рассмотрим пре- образование Лапласа (^-преобразование) задержанного импульса: со 3 [5 {t - Т)} ^ J б (t - Т) е-^ dt = о со = J 6(1—Т'){в-^и(1)}а1= —СО = е-^и (Г), то есть 3 [6 (t - Т)] == е-^, Т > 0. (11.2.7) Обратному преобразованию е~57', Т > 0 соответствует импульс в точке t == Т. Случай импульса в точке t = 0 вызывает определенные труд- ности. По существу нижний предел определяющего интеграла в одностороннем преобразовании Лапласа ставит перед нами проблему, которую мы, как правило, хотим избежать и которая связана с истолкованием такого произведения, как и (t) 6 (t). В рассматриваемом случае наиболее прямым и внутренне непро- тиворечивым подходом было бы принятие соглашения (для при- ложений ^-преобразования), в соответствии с которым функция 6 (t) представляет собой узкий импульс большой амплитуды, равный нулю при всех t < 0. Чтобы показать, что это соглашение 11.3. ЛИВ-системы общего вида 17 принято, некоторые авторы записывают интеграл ^-преобразо- вания в следующем виде: S[x(t)}^ J x^e-^dt, о— (11.2.8) показывая этим, что импульс в точке t = 0 должен быть включен в интервал интегрирования 1). В таком случае мы можем полу- чить 5'[6(01 из предшествующего результата при Т -г 0, что дает S\b (f)\ = 1. (11.2.9) Этот результат, конечно, согласуется с нашей предыдущей ин- терпретацией импульсной характеристики h (t) как обратного ^-преобразования системной функции H (s) для каузальных систем: если x{t) = 6(0, то Х (s) == 1, так что Y (s) = = Х (s) H (s) = H (s) и y(t)==h(t). (Этот вопрос рассматри- вается несколько глубже в разд. 11.4 и в задаче 11.17). * * * 11.3. ЛИВ-сйстемы общего вида; интеграл наложения В гл. 10 мы ввели общую формулу свертки y(t)= J x(t)h(t-x)dx (11.3.1) для описания в явной форме широкого класса линейных инва- риантных во времени систем. Если h (t) = 0 для t < 0, т. е. если система является каузальной, то эту формулу можно использовать для вычисления реакции электрических .RLC-цепей со сосредото- ченными параметрами (а также их механических, акустических, тепловых, химических, экономических и других аналогов), на которых до настоящего времени концентрировалось наше внима- ние. В таких системах, характеризующихся дифференциальными уравнениями конечного порядка с постоянными коэффициентами, что соответствует рациональным системным функциям, импульс- ная характеристика представляет собой сумму членов вида <"с'51 • Однако та же формула может быть применена к системам с рас- пределенными параметрами, описываемым дифференциальными 1) Сходная проблема возникает в дискретном времени: является ли нуль наибольшим отрицательным целым числом или же наименьшим положительным целым числом? Наше определение (8.1.1) одностороннего Z-преобразования включает нуль в множество положительных целых чисел. 18 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения уравнениями в частных производных; в этом последнем случае на h {t) накладываются значительно меньшие ограничения. И она, кроме того, приложима к таким системам, как антенны, опти- ческие системы, рентгеновские и ультразвуковые системы фор- мирования изображений, в которых независимая переменная может относиться и ко времени, и к пространству. Подобные системы необязательно должны быть каузальными. В любом из таких случаев дело может обстоять так, что мы будем доста- точно знать о внутренней структуре системы, чтобы вычислить функцию h (t) на основе измерений значений ее элементов и пара- метров. Или же мы можем считать такую систему «черным ящи- ком», доступ к которому возможен только через его «зажимы». В этом случае мы можем, по крайней мере в принципе, измерить h (t} опытным путем аналогично тому, как это делается в при- мере 11.1.1. Таким образом, если нам известно, что система может быть описана посредством (11.3.1), то тогда, измеряя или вычис- ляя реакцию на один конкретный входной сигнал — единичный импульс, — можно характеризовать реакцию системы на любой другой входной сигнал. Важность последнего утверждения зависит от того, насколько обширен и интересен класс систем, который может быть описан формулой свертки (11.3.1). Цель нашего доказательства сводится к тому, что каждая система, удовлетворяющая требованиям линейности и инвариантности во времени, может быть представ- лена таким образом и, следовательно; ее «вход-выход» при любых условиях может быть охарактеризован наблюдениями поведения системы всего при одном условии, а именно при воздействии на нее импульсом 1). Линейность и инвариантность во времени являются, следова- тельно, весьма сильным ограничением. В отличие от этого попытка охарактеризовать «вход-выход» неЛИВ-системы, опи- раясь всего лишь на наблюдения ее реакций на различные вход- ные воздействия, в лучшем случае окажется ненадежным пред- приятием. Один экстремальный случай соответствует системе, произвольно меняющей свои характеристики во времени. По- пытка описать закономерности ее поведения на основе наблюдений будет совершенно безнадежным занятием. С другой стороны, если даже известно, что система является инвариантной во вре- мени (так что с уверенностью можно ожидать, что ее реакция 1) В действительности условия линейности и инвариантности во времени являются столь сильными, что, зная реакцию ЛИВ-системы на (почти) любое входное воздействие (не обязательно импульс), мы можем вычислить ее реакцию на (почти) любое другое входное воздействие. Сказанное означает, что (почти) любая пара типа «входное воздействие — реакция на выходе» (по существу) полностью характеризует ЛИВ-систему. (Чтобы понять, почему вводится слово «почти», следует обратиться к задаче 12.1.) 11.3. ЛИВ-системы общего вида 19 на определенные входные воздействия будет сегодня точно такой же, как и вчера), мы все же, как правило, ничего не можем сказать относительно ее выходной реакции на входное воздействие, кото- рое мы прежде не изучали специально и не рассматривали в явной форме. Из наблюдений поведения системы можно, естественно, выявить такие ее характеристики, которые определяются не линейностью и инвариантностью во времени, а иными специфи- ческими ограничениями, однако ни один класс таких ограничений по своей силе и значимости даже не приближается к ЛИВ-классу. Доказательство того, что формула (11.3.1) является наиболее общим представлением ЛИВ-систем непрерывного времени, по- добно приведенному в гл. 9 доказательству того, что дискретная свертка (9.2.2) является наиболее общим представлением ди- скретных ЛИВ-систем. Вспомните, что мы сначала интерпрети- ровали произвольное ДВ входное воздействие х [п] как сумму взвешенных задержанных единичных отсчетов х[п]== S х [т] 6 [п - т]. (11.3.2) Затем, воспользовавшись свойством инвариантности во времени, мы доказали, что каждый задержанный единичный отсчет в вы- ражении (11.3.2) должен породить в качестве выхода реакцию на этот задержанный единичный отсчет 6[п —т] => h[n — т]. (11.3.3) И наконец, опираясь на свойство линейности, мы пришли к вы- воду, что взвешенная сумма входных воздействий должна поро- дить соответствующую взвешенную сумму реакций 03 00 х[п]= ^ х1т]6[п—т}=> ^ x[m]h[n—m]=y[n]. (11.3.4) т= — со /л=» — со Следовательно, «вход-выход» любой ДВ ЛИВ-системы может быть описан формулой свертки 00 у[п}= S x[m\h[n—m}, (11.3.5) m=— со где h [п]—наблюдаемая реакция системы на входное воздей- ствие 6[п]. Чтобы распространить это доказательство на НВ-системы, требуется сделать один дополнительный шаг, показывающий, что по существу любая НВ-функция x(t) может быть представ- лена как предел последовательности взвешенных задержанных единичных импульсов. Для этого рассмотрим изображенную на рис. 11.10 гладкую функцию x(t) как сумму задержанных импульсных функций Xn(t). 20 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения X(t}= ^ Xn(t) п=—оо _______It и \ Рис. 11.10. Разложение х (0. При достаточно малом интервале А, х^ (t) ведет себя как им- пульс площадью х (п Д) Д, расположенный в точке t = п Д: х„(0 »л:(пД)б(<—пД)Д. (11.3.6) Следовательно, в случае достаточно малого значения Д мы можем записать со x(t)w S ;с(пД)б(^-пД)Д. (11.3.7) п=—со Смысл выражения (11.3.7) заключается в том, что обе его стороны будут оказывать по существу одинаковое воздействие на (макро- скопическую, сглаживающую) физическую систему и воспри- ниматься по существу одинаковым образом любым измерительным прибором с ограниченной разрешающей способностью. Следует также учитывать, что если мы формально выполним в выражении (11.3.7) предельный переход Д ->- 0, то сумма превратится в ин- теграл со x(t)= f x(x)6{t-t)d-v=x(t)*6(t}, (11.3.8) —со который мы уже рассматривали в качестве одной из форм опре- деляющего свойства функции 6 (f) и который мы теперь интер- претируем как представление х (f) в виде последовательности взвешенных задержанных импульсных функций. Если мы будем исходить из справедливости уравнения (11.3.7) для каждого случая, то остальная часть доказательства полностью совпадает с (11.3.3)—(11.3.5). Поскольку система является ин- вариантной во времени б (< — т) =^/i (< — т), (11.3.9) а также линейной (см. рис. 11.11), можно записать со со S х (лД) 6 (t - пД) Д =>- S x(n^)h(t—nA)^wy(t). (11.3.10) 11.3. ЛИВ-системы общего вида t/i(/l 21 ^«("Д)8С-"й)й <(0)8(^)Д 4Д6Д Рис. 11.11. Построение у ((). Если выполнить предельный переход Д -*• 0, то формально мы получим выражение 03 y(f)= J x(t)h(t-t)dt=x(t) *h(t), (11.3.11) —CO которое можно считать общим представлением любой ЛИВ НВ-си- стемы. Поскольку в этом выражении функция у (t) интерпрети- руется как взвешенная сумма (суперпозиция) задержанных им- пульсных реакций (11.3.11), ее часто называют представлением ЛИВ-системы в виде интеграла наложения. Словесные построения, которыми мы только что занимались, вроде бы убедительно показывают, почему следует ожидать, что формула, подобная (11.3.11), даст нам общее представление ЛИВ НВ-системы, однако все эти слова строгим математическим дока- зательством никак не назовешь. Тем не менее Л. Шварц в 1957 г. показал, что «высказанное выше заключение можно доказать совершенно строго при условии, что х (t), у (t) и h (t) определены как обобщенные функции в смысле того, что они «делают». Как мы вскоре увидим, некоторые из этих условий явно необходимы, так как в противном случае такие первичные ЛИВ-системы, как идеализированные усилители, линии задержки и дифференциру- ющие схемы, нельзя будет описать посредством (11.3.11). Доводы, сходные с доводами, использованными нами для вывода формулы интеграла наложения, сплошь и рядом встре- чаются в математической физике в виде идеи рассмотрения пол- ного эффекта как непрерывной плотности массы, заряда или силы, получаемого в результате суперпозиции элементарных эффектов от «сосредоточенных» точечных масс и т. д., что является рас- пространенным и мощным приемом. В качестве специфического примера можно привести простую формулу для выражения элек- 22 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения тростатического потенциала в точке г, создаваемого точечным зарядом q, находящимся в точке Го: |г-г„1 • Если мы захотим определить электростатический потенциал, обусловленный плотностью заряда р (Гц), то сможем заменить непрерывную плотность сосредоточенными зарядами р (Гд) dv и затем сложить их элементарные вклады, чтобы получить сум- марный эффект ^Н^ь который дается интегралом Пуассона, выражающим решение уравнения Пуассона. Совершенно очевидно, что форма этого результата и характер соображений, которые привели к нему, в структурном отношении идентичны с интегралом наложения (11.3.11) и «истоками», приводящими к нему. Решения в форме интегралов этого типа могут быть найдены для многих линейных дифференциальных уравнений математи- ческой физики (еще один подобный пример приводится в за- даче 11.3). В общем случае эта процедура называется в теории дифференциальных уравнений методом Грина, а интегральное ядро, которое аналогично импульсной характеристике, назы- вается функцией Грина в задачах рассматриваемого типа. Линейность является основополагающей в методе Грина и в интеграле наложения, однако инвариантность во времени (или ее пространственный эквивалент — однородность или гомоген- ность) не является столь необходимой. Так, для изменяемой во времени линейной системы мы можем определить функцию h (t, х) как ее реакцию в момент времени t на импульс, приложен- ный в момент времени т, и, повторяя аргументацию, которая привела к формуле (11.3.11), написать оэ y(t)= J x(x)h(t, t)dT. (11.3.12) •—оэ (Рассмотрение меняющихся во времени систем продолжено в за- даче 11.1.) Метод Грина является одним из наиболее действенных средств для более глубокого изучения дифференциальных уравнений, однако он, вероятно, имеет большую ценность для обсуждения общих свойств решений, чем как метод нахождения конкретных решений. Сходные соображения, как мы увидим позже, можно высказать и в отношении интеграла наложения. Во многих отно- шениях главной целью данной книги является стремление воору- 11.3. ЛИВ-системы общего вида 23 жить читателя богатым и выразительным языком для обсуждения поведения систем в противоположность богатым деталями фор- мальным методам анализа. Пример 11.3.1 Идеальный усилитель (рис. 11.12) с коэффициентом усиления К. характеризуется тем, что его выход идентичен его входу, но при этом в К. раз больше: У (t) == Кх (t). x{t} Рис. 11.12. Идеальный усилитель и его импульсная характеристика. Импульсная характеристика, очевидно, представляет собой импульс площадью К h (t) = Кб (t) и, следовательно, у (t) == х (t) * h (t) = х (t) * Кб (t) = Кх {t). Пример 11.3.2 Идеальная линия задержки на структурной схеме рис. 11.13 изображается прямоугольником и имеет импульсную характери- стику h (t) = 6 (t — Т). Ее выход равен 03 00 у (f) = J х (т) h (t - т) dx = J х (т) 6 {t - т - Г) dt = х (t - Т), ——00 —frt /)(/) \tD Рис. 11.13. Идеальная линия задержки и ее импульсная характеристика. который представляет собой входное воздействие, задержанное на Т секунд. Идеальная линия задержки является ЛИВ-системой, однако ее нельзя построить из конечного числа ^LC-элементов. (Ее системная функция H (s) = 2 [h (t) ] = exp (—sT) не является 24 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения рациональной функцией.) При условии использования достаточ- ного числа схемных элементов можно построить цепи, аппрокси- мирующие характеристики идеальных линий задержки со сколь угодно высокой точностью. (См., например, задачу 11.19.) Посредством идеальных линий задержки можно достаточно точно для многих целей описать временные задержки, возникающие из-за конечной скорости распространения звука или электро- магнитного излучения. Пример 11.3.3 Одна очень полезная ЛИВ-система строится путем каскадного соединения нескольких линий задержки с целью образования линии задержки с отводами. В каждом из отводов с помощью индивидуальных усилителей или аттенюаторов осуществляется взвешивание сигналов и последующее их сложение с целью фор- мирования общего выхода, как показано на рис. 11.14. Результат, как легко видеть, весьма сходен с ДВ тра.нсверсальными филь- трами, которые первоначально обсуждались в разд. 7.2. хШ Задержка Г x{t-T) Задержка 7' х(/-2Л Задержка Т K(t- 37-1l—» Задержка Т ^ ]———» \° "7 ^ 7 ^ 7 V V Рис. 11.14. Система из линий задержки с отводами. Импульсная характеристика такой системы задержки с от- водами может быть получена заданием х (t) ="б (t) и последу- ющим суммированием выходов с различных отводов линии h (t) = а„§ (t) + а^ (t — Т) + ... + й4§ (t - 4Г), Рис. 11.15. Функция h (t) системы из линий задержки с отводами. n\t)^ •°1 ("о 10л 2Г Г — ———»• -—^ зг 4Г • - <- как схематически показано на рис. 11.15. Надлежащим выбором коэффициентов передачи усилителей в отдельных отводах линию задержки с отводами можно настроить так, что она будет аппро- ксимировать импульсную характеристику любой ЛИВ-системы при выполнении следующих условий: 11.3. ЛИВ-системы общего вида 25 а) полная величина задержки в линии равна или больше дли- тельности существенной части реакции, которую нужно аппро- ксимировать; б) протяженности самих отводов линии достаточно малы, так что представляющие интерес входные воздействия можно считать практически постоянными на всем временном интервале, соответствующем каждому отводу линии задержки. Требуемая h{t) Равные площади /!(/) линии задержки с отводами1h-r^ 'Г " " " ^ || J[ <г- Рис. 11.16. Метод выбора коэффициентов усиления для отводов линии задержки. Один из способов выбора положения отводов предложен на рис. 11.16. Площадь каждого импульса здесь сделана равной соответствующей заштрихованной площади рассматриваемой импульсной характеристики. (Сравните с ходом рассуждения при выводе 11.3.7.) Для улучшения аппроксимации мы можем использовать ка- скадное соединение линии задержки с отводами и фильтра, осу- ществляющего интерполяцию или сглаживание. Распространенный пример такого фильтра — интегратор с конечным временем ин- тегрирования, или схема запоминания нулевого порядка с импульс- ной характеристикой, показанной на рис. 11.17. Ранее схема обсуждалась в примере 10.2.1. При каскадном включении такого фильтра и линии задержки с отводами, имеющей импульсную характеристику, показанную на рис. 11.15, получается ЛИВ-си- стема, импульсная характеристика которой отображается сигна- лом «ступенчатой формы» (рис. 11.18). 4/>(/) ^(/) Рис. 11.17. Функция h (f) для интегра- тора с конечным временем интегриро- вания. Рис. 11.18. Функция h (t} для кас- кадного соединения систем, показан- ных на рис. 11.15 и 11.17. Импульсные характеристики того же самого типа можно также получить каскадным соединением линии задержки с от- водами и идеального интегратора, импульсная характеристика 26 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения / Задержи Т Задержка Г Задержка Т ЗадержкаТ ^— t——- 7 7 ' Рис. 11.19. Каскадное соединение системы из линий задержки с отводами и ин- тегратора. которого равна и (t). В порядке упражнения вы можете попы- таться найти такие значения коэффициентов усиления в отводах линии рис. 11.19, при которых результирующая импульсная характеристика системы будет совпадать с изображенной на рис. 11.18. Пример 11.3.4 Получение свертки двух сигналов «ступенчатой» формы, подобных изображенным на рис. 11.20, будет совсем несложным делом, если 2 »хШ 23 1 —•> Рис. 11.20. Ступенчатые функции. воспользоваться процедурой построения из примера 11.3.3, при- менив ее в обратном порядке. Предположим, что нас интересует реакция фильтра с импульсной характеристикой h (t) на входное воздействие х (t), показанное на рис. 11.20. Мы можем без особых трудностей приступить к этой задаче, как в примере 10.2.2, пере- гибая и сдвигая одно из колебаний последовательно относительно другого и вычисляя произведение прямоугольников при каждом очередном сдвиге. Однако задача несколько упростится, если каждое из колеба- ний представить в виде импульсных последовательностей х (f) и h (t), показанных на рис. 11.21, каждая из которых подверглась свертке с импульсным колебанием р (t). Весь процесс решения 11.3. ЛИВ-системы общего вида 27 "":112 /)(/) 1 2 Рис. 11.21. Импульсные последовательности, полученные из х (t) и/г(<)рис. 11.20. задачи можно будет тогда рассматривать как определение им- пульсной характеристики многокаскадной системы, изобр.ажен- ной на рис. 11.22. Должно быть ясно, что & (t) * р (f} = х (t), так как каждый импульс в х (t) генерирует во втором блоке си- стемы импульсный сигнал р (f), амплитуда которого масштаби- руется площадью импульса, а сам он задерживается или сдви- гается по времени в зависимости от временного положения импульса. x(/l хЩ —»— Р(П хШ—»— Hit) PU} x{t}*h{f —»— 8(/1 |—————|х(/)|—————|х(Ж——;——1 |—————| х(/)»л(/) _^—1 *,-> 1 - I -.-. l - 1 /;(,) 1 - ' ••• 1 Импульсная характеристика , =х(/)»р(/)= х(Л Импульсная характеристика =пЩ*р(/)=/)(/) ^ Импульсная характеристика = x(t) »/»(?) Рис. 11.22. Анализ свертки x(t)*h(t): х (f), р (t), h {f)—импульсные харак- теристики. Суть приема заключается в использовании ассоциативного закона (разд. 10.2) для изменения порядка выполнения отдельных операций. Новый порядок будет иметь следующий вид: 1) найти свертку х (t) * h (t); 2) найти свертку р (t) * р (f); 3) найти свертку результатов двух предшествующих операций. Свертка двух импульсных последовательностей становится очень простой операцией, если только принять во внимание, что фундаментальное свойство импульса (11.2.2), выражаемое соот- ношением б (t) * х (f) = х (t), сохраняет свою справедливость и тогда, когда сама функция х (t) состоит из импульсов. Это является общим принципом, заслуживающим внимания. СВЕРТКА С ЗАДЕРЖАННЫМ И МАСШТАБИРОВАН- НЫМ ИМПУЛЬСОМ Свертка колебания произвольной формы (включая и колебания, содержащие импульсы, и сходные с ними составляющие) с задержанным и масштабированным им- 28 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения пульсом является просто соответствующей задержкой и масштабированием этого колебания. Формально x(f) * 7 11 4 ./ 1 2 1 1 *1-1' s 2 'I ' V Щ-2} (-2) x(/)* , , (5) й(/) (-4) / 0 \ t13' L1 4 , 11 1 Ц———.——k. / 25 :J (-2) Рис. 11.23. Свертка импульсных ледователыюстей S (t) и h {t). пос-(-5Ц 11.3. ЛИВ-системы общего вида 29 импульсов, для каждого из которых в отдельности находится свертка с х (t), и последующего сложения этих результатов с целью получения импульсной последовательности х (t) * h (t). Свертка функции р (t) с самой собой дает равнобедренный треугольник, *рШ*рШ Рис. 11.24. р (f)*p(t). который изображен на рис. 11.24 (имеет тот же вид,, что и в при- мере 10.2.2). И наконец, определение свертки импульсной после- довательности 5t (t) * h (t) с треугольником р (t) * р (f) дает Рис. 11.25. y(f)== x (f)*h(f). суперпозицию треугольников, которая показана на рис. 11.25 и представляет собой искомую свертку х (t) * h (t). Обратите внимание на то, что изображенная последовательность пиков фактически является последовательностью площадей импульсов в х (t) * h (t). * * * Часто оказывается полезным альтернативный способ описания свертки двух импульсных последовательностей х (t) * h (t). Так, мы можем записать в общем виде импульсную последовательность следующим образом: ^(0=^S x[n]6(t-n), h(t)=_ S h[n]6(t-n), n== — со 30 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения где с помощью квадратных скобок, как и в гл. 7—9, обозначаются функции дискретного времени. Тогда легко показать, что y(t)=^(t) *h(t)= S y[n]6{f-n}, П=== — со где y[n]—свертка в дискретном времени х[п] и h[h], т. е. > 00 у [п] = х [п] * h [п] = ^ x[m}h[n — т]. ст== — со функцию у [п} легко оценить любым из методов, изложенных в гл. 9, включая и метод Z-преобразования. 11.4. Импульсы и мгновенные изменения начального состояния Импульсная характеристика цепи является не только (по опре- делению) РНС, но также в известном смысле и РНВ (поскольку по существу б (t) = 0 при t > 0). Оба, и вход и состояние, равны нулю, тогда как импульсная характеристика не равна нулю! Разрешение этого кажущегося парадокса состоит в том, что по- данный импульс устанавливает мгновенно в момент t = 0 специ- фическое ненулевое состояние, порождающее импульсную харак- теристику 1). Определение этого состояния представляет собой интересный пример импульсной манипуляции. Пример 11.4.1 Вариант схемы, изображенной на рис. 11.26, был впервые рас- смотрен в примере 2.5.2. Пусть v (t) == б (t) и (^ (0 —) = .If) ^-Ом v(t} Рис. 11.26. Цепь для примера 11.4.1. = Vc (0 —) = 0. В момент t = 0 «бесконечное» по величине напря- жение должно оказаться почти целиком приложенным к рези- стору 0,5 Ом. Даже импульс тока (Имеется в виду интеграл тока 1) О скачкообразных изменениях начальных условий см., например, Дж. Коул, Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972, гл. 2. — Прим. ред. 11.4. Изменения начальных состояний 31 за конечное время, т. е. конечный заряд) может за временной интервал от t = 0 — до / = 0 + вызвать лишь конечное изме- нение напряжения Vy (f), причем для схемы рис. 11.26 закон Кирхгофа для напряжений 'Должен удовлетворяться в левой части контура. Таким образом, i (t) будет представлять собой единичный импульс в момент t = 0, который должен целиком пройти через конденсатор, так как ток в катушке индуктивности характеризуется конечной скоростью нарастания, в результате чего на катушке индуктивности возникает скачок напряжения, равный Vc (0 +). Следовательно, состояние при t == 0 + равно IL (0 +) - IL (0 —) = 0 и 0+ 0+ "c(0+)=-o^rJtc(0^=2J i(t)dt= о— о— ^2°(-^-Л=4В. J 0,5 Ом о— На рис. 11.27 показаны напряжения и токи в отдельных ветвях схемы при v (t) == б (f). Обратите внимание, что условие, вытека- ющее из законов Кирхгофа, удовлетворяется в любой момент времени, включая и тот, когда действует импульс. Важно также и то, что «производная» такой разрывной функции, как Vc (t), содержит импульс, площадь которого равна высоте скачка в точке разрыва. Сказанное представляет собой обобщение результатов, полученных в разд. 11.2, показывающее, что «производная» еди- ничной ступенчатой функции «является» реакцией на единичный импульс (единичной импульсной функцией), т. е. действует по- добно этой реакции. * * « Из примера 11.4.1 видно, что мы можем рассматривать им- пульсную характеристику как РНВ на состояние, мгновенно уста- навливаемое посредством импульса. Однако вместо этого мы скорее предпочтем рассматривать импульсную характеристику в качестве РНС. Это означает следующее: если наше входное воздействие содержит импульсы в момент t = 0, то мы опре- деляем «начальное состояние» как такое, которое существует в момент t = 0—; это согласуется с нашим переопределением интеграла преобразования Лапласа, нижним пределом которого является / == О —. Глава 11. Импульсы и интеграл наложения v{l}-' 8(Л .Г|.(^ 1-4(П= ^IZe-^-Be-2')^) 4 ,0) 2 s-2 1 ^ ————!-»•? ^{t}--2S(f}-(\&e-зt-Qe•2t)u^t} " ^(/)=;Щ-'с^= ^-^е-3'^--")^) (2) 4 / -4 -8 v[t)-'yi{t)-vc{t)=0 Vc(t')-'VL(t)-iL(t)=0 i(t)-ib(t)-ic(t}=0 Рис, 11.27. Напряжения и токи в схеме рис. 11.26. I{s)=CsV(s}-Cv{0) Ht} ,,C J(s) i/l/Cs vW/s V(s) J(s) (МО) -e ,1/Cs /С Рис 11 28 Альтернативные представления начального состояния конденсатора в частотной (слева) и временнбй (справа) областях. 11.5. Дублеты и другие обобщенные функции 33 В гл. 2 и в задаче 2.3 мы доказали, что можно получить пра- вильные зависимости между ^-преобразованиями переменных в ветвях схемы, если заменить каждый конденсатор любым из его представлений посредством импеданса, которые изображены на рис. 11.28 слева (аналогичное доказательство можно привести и для катушек индуктивности). Первое из них (а) имеет очевид- ную интерпретацию (как это было пояснено в задаче 2.2), согласно которой конденсатор с начальным напряжением УС (0) неотличим в момент / > 0 от незаряженного конденсатора, включаемого в момент t = 0 последовательно с батареей, имеющей неизменное напряжение v (0). Теперь мы в состоянии дать аналогичную интерпретацию во временнбй области для альтернативной цепи (б). Источник тока, преобразованием которого является постоянная Си (0), во временной области превращается в импульсный источ- ник Си (0) б (t). Этот источник в момент t = 0 мгновенно уста- навливает напряжение v (0) на незаряженном конденсаторе С. Совершенно очевидно, что, соединяя такой импульсный источник с каждым элементом цепи, способным запасать энергию, мы можем задать любые начальные условия, которые пожелаем. В то же время при наличии одиночного импульсного источника на входе цепи мы способны задать только одно специфическое состояние, которое порождает одну специфическую реакцию — импульсную характеристику цепи. 11.5. Дублеты и другие обобщенные функции; согласование импульсов Класс полезных обобщенных функций, определенных на основе того, что они «делают», а не того, чем «являются», охватывает гораздо более широкий круг различных функций, чем одни лишь импульсы. Рассмотрим, например, заштрихованную функцию / (t), Рис. 11.29. Функция f (t), аппроксими- рующая дублет. изображенную на рис. 11.29. Чтобы выяснить, что собственно функция / (f) «делает», мы можем умножить ее на тестирующую 2 Счберт У. М., ч. 2 34 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения функцию g (0 1) и полученное произведение проинтегри- ровать т Об ^f(t)g(t)dt= ^g(t)dt-^g(t)dt. —со —в О Аппроксимируя каждый интеграл для малых б площадью трапе- ции, найдем со ^f(t)g{t)dt g (-6/2)-g (5/2) ^^, dg(t) 6 6-<-o dt Таким образом, для случая малых значений 6 функция / (t) произ- водит выборку (со знаком минус) производной тестирующей функции g (t) в точке t == 0. Как говорят, функция f (t} при предельном переходе ведет себя как дублет, который мы будем обозначать символом 6 (t) и определим посредством такого свойства, как х (t) * 6 (f) = == х (t) или LU J x{x)6(t-v)dv=x(t), (11.5.1) что эквивалентно свойству со J x(t)b(t)dt=-x(0}. (11.5.2) (Обратите внимание на знаки в выражениях (11.5.1) и (11.5.2): б (t) ведет себя как нечетная функция, т. е. 6 (—t) = —6 (<).) Уравнение (11.5.1) утверждает, что 6 (<) является импульсной характеристикой идеальной дифференцирующей цепи. Симво- лическое обозначение можно считать вполне уместным, поскольку в операционном смысле дублет является производной импульса. Это следует формально из (11.5.1), если х (f} == б (f). То же можно показать, выявив, что «делает» производная d6 {t}ldt, когда осу- ществляется ее свертка с тестирующей функцией dt 1) В теории обобщенных функций такая функция называется основной, см., например. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними. — М.: ГИФМЛ, 1959, гд. 1, § 1. — Прим. ред. 11.5. Дублеты и другие обобщенные функции Интегрируя по частям, мы получим результат 35 rf5(0 dt w - i5(T)(--^-t))dT= который показывает именно то (по определению), что «делает» дублет. Таким образом, оба представления операционно экви- валентны и для них можно использовать одно и то же символи- ческое обозначение. Преобразование Лапласа для дублета следует немедленно из основного определения: ев 2 [б (t)] == J 6 (t) е-^ dt == - ^ (е-0 |^о = s. о-. Как это можно было ожидать из соотношений для производных, преобразование Лапласа для дублета равняется преобразованию Лапласа для импульса, умноженному на s. Пример 11.5.1 Полезное правило для ЛИВ-систем состоит в том, что РНС на производную входного воздействия х (t) представляет собой произ- водную реакции у (t), соответствующей входу х (t). Это следует непосредственно из того, что результирующее поведение каскад- ного соединения систем, показанного на рис. 11.30, не зависит от их порядка. 8Ш х(?) /)Ш х(?) <(/) h{f} y[t) 8Ш у(П Рис. 11.30. Демонстрация того, что h (i) * х (<) = — (ft (t) * х (t)). Пример 11.5.2 Один из способов определения функции h (t), который особенно эффективен в случае простейших цепей, сводится к тому, что сначала находят реакцию на единичную ступенчатую функцию, а затем дифференцируют ее. Чтобы проиллюстрировать такой 2* 36 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения подход, возьмем реакцию на единичную ступенчатую функцию цепи из примера 11.1.1, для которой, как известно, у (t)=R (l-e-^^)u(O. d/dt (Переходная характеристика) = Импульсная характеристика ДС Rc Рис. 11.31. Переходная и импульсная характеристики цепи примера 11.1.1. Эта реакция изображена на рис. 11.31. Ее производную можно найти путем дифференцирования формулы для v(t) по отдельности в двух областях t < 0 и t > 0: , , -tIRC dv(t) dt dt _d_ dt ^[R(l-e-w^^J^e , f>0; =h(t)= t<0. (0) = 0, Реакция на единичную ступенчатую функцию имеет раарыв в на- клоне в точке t = 0, следовательно, реакция на единичный им- пульс также будет иметь там разрыв. Другой способ нахождения h (t) связан с формальным исполь- зованием правила дифференцирования произведения в формуле реакции на ступенчатую функцию, включающую и (t), и учетом того, что и (t) = б (t): dv(t) _^—_,,^,_ ^ = ^ [R (1 - е-^)} и (t) + R (1 - е-(fj. Сигнал такой формы, которая изображена на рис. 11.32, при достаточно малом значении б будет вести себя как сочетание импульса с дублетом, т. е. как б (t) + б (t). Здесь мы видим при- мер сигнала, который имеет «нулевое значение при / =/= О», «очень большое значение в окрестности t = О» и «единичную площадь», однако его характеристики отличаются существенно большей сложностью, чем характеристики импульса. При этом мы еще раз убеждаемся в наличии трудностей, которые возникают при попытке определить, «что собой представляет» импульс. Дополнив нашу таблицу преобразований Лапласа сингуляр- ными функциями и их преобразованиями, мы сможем расширить и завершить начатое в гл. ^обсуждение использования теоремы разложения Хевисайда для вычисления обратных преобразова- ний. Тогда мы ограничили применение этой теоремы исключи- тельно правильными рациональными функциями (у которых многочлен в числителе имеет меньшую степень, чем многочлен в знаменателе). Причина такого ограничения заключалась в том, что обратное преобразование неправильной рациональной функ- ции (у которой степень многочлена в числителе равна степени многочлена в знаменателе или превышает ее) содержит импульсы или сингулярные функции более высоких порядков, а также экс- поненты. Мы уже привели разъяснения по поводу нашего подхода при рассмотрении примера. (Нам пришлось столкнуться с анало- гичной проблемой в случае Z-преобразования в примере 8.1.3.) 38 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения Пример 11.5.3 Рассмотрим s3 + 5s2 + 9s + 1 Х (s) = s2 + 3s + 2 ' Это преобразование имеет полюсы в s == —1, —2. Вычеты в по- люсах равны соответственно s3+5^+9s+l , , ^, ^ ~-^-щs^-(s+l)\^ s3 + 5sa + 9s + 1 / , ^ , _ г • (^^Ч^)-^^1-2"5- -4 | 5 s+1 ' s+2 s—3 Однако ясно, что X(s)^ s2 + 3s + 2 • Члены этого выражения, описывающие конечные полюсы, исче- зают при s -г оо, тогда как заданная функция в действительности имеет полюс в бесконечности. Чтобы завершить разложение на элементарные дроби, мы должны ввести члены, описывающие характеристики системы при больших значениях s. Простейший способ, позволяющий найти эти члены, сводится к делению числи- теля на знаменатель, причем этот процесс продолжается до тех пор, пока степень многочлена остатка не станет меньше степени многочлена знаменателя. В результате деления многочлена s3 + + 5s2 + 9s + 1 на s2 + 3s + 2 получаем частное s + 2 и в остатке s — 3. Следовательно, X(s)=s+2+-i————==s+2- 4 ' 5 s2 + 3s + 2 s+1 ' s+2 x (t) = 6 (t) + 26 (0 - 4e-'« (0 + 5е-2^ (Q. * * * Одной важной особенностью сингулярных функций является то, что уравнения, содержащие как обычные функции, так и син- гулярные функции различных порядков, требуют независимого согласования сингулярных функций каждого порядка. Нет ни- каких способов, позволяющих приравнять обычные функции, находящиеся в одной части этого уравнения, сингулярным функ-' циям 1) в другой его части или импульсы в одной части уравнения дублетам в другой его части и т. д. (естественно, существует исключение в некотором предельном смысле). Мы проиллюстри- руем сказанное (иногда такую процедуру называют согласованием импульсов) соответствующим примером. *) По крайней мере к конечному числу сингулярных функций. 11.5. Дублеты и другие обобщенные функции 30 Пример 11.5.4 Дифференциальное уравнение, связывающее вход о (t) и выход Vc (t) цепи из примера 11.4.1, имеет вид d^c W —да— +5 doc (О dt + бос (t) - 4 (11.5.3) Если v (f) == S (0, то правая часть этого уравнения равна 46 (f) + + 46 (t). Для согласования дублета мы заключаем, что Од (t) должно иметь разрыв величиной в 4 В в точке t = 0, так что Vc (t) может содержать импульс в точке t == 0 площадью 4 В-с, а УС (0—дублет с моментом 4 В-с2. Таким образом, значение УС (0 +) должно равняться 4 В. Однако для согласования 6 (/)-чле- нов в обеих частях уравнения начальный наклон 6с (0 +) должен также иметь соответствующее значение. Из-за разрыва Од (t) величиной в 4 В член 5dvc (t)idt помимо составляющей, определя- емой дублетом, должен содержать импульс площадью 4 — 20 = = —16 В -с. Импульс во второй производной обусловлен наличием разрыва в наклоне; исходя из этого, мы находим, что Од (0 +) == == —16 В-с-1. Рис. 11.33. ь'д (!) и ее производные. '10 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения Корнями характеристического уравнения являются s == —2, —3. Следовательно, РНВ должна иметь такой вид: uc (t) = Ае-2' + Be-3'. Используя информацию, полученную из согласования им- пульсов, мы приходим к выводу, что Л+й=Ус(0+)=4 и —2Л — 3В = Vc (0 +) == —16, т. е. Л = —4, В = +8, а это является результатом, полученным ранее для реакции »с (О на импульс. Графические изображения трех членов в левой части уравнения (11.5.3) приведены на рис. 11.33. Заметим, что их сумма равна двум членам в правой части того же уравнения. В частности, обратите внимание на то, что производные в точках разрыва порождают импульсы, а производные импульсов — дублеты. Это важно, поскольку всегда можно подходить к разрывной функ- ции как к сумме непрерывных функций (производные которых могут иметь разрывы, но во всем остальном ведут себя нормально) и ступенчатой функции (производной которой является импульс). * * * 11.6. Выводы Импульсы различной формы оказывают на ЛИВ-систему одина- ковое воздействие при условии, что они имеют достаточно малую длительность и одинаковую площадь. Если площадь такого импульса равна единице, то все они эквивалентны единичному импульсу 6 (t). Импульс не может быть определен как обычная функция; вместо этого он задается как оператор — определяется тем, что «делает», а не тем, чем «является». Фундаментальное свойство импульса заключается в том, что при свертке любого колебания с импульсом воспроизводится это колебание. Другие обобщенные функции также могут .быть описаны исходя из того, что они «делают»; таким образом, 6 (t), дублет, определяется тем своим свойством, что его свертка с любым колебанием дает произ- водную этого колебания. Дублет ведет себя как производная импульса, а импульс — как производная ступенчатой функции. Поскольку любую функцию можно рассматривать как сумму коротких импульсов с различными весами и задержками, реакцию любой ЛИВ-системы на входное воздействие можно рассматривать как сумму взвешенных и задержанных реакций на короткие импульсы, импульсных характеристик. В этом нашем рассмотре- нии. интеграл свертки трактуется .как интеграл наложения и де- монстрируется, что это является общей формой представления «входа-выхода» любой ЛИВ-системы при условии, что импульсная характеристика сама может содержать импульсы, дублеты и дру- гие обобщенные функции. Упражнения к главе 11 41 Изучение ЛИВ-систем (как отмечалось в предыдущих главах) имеет важное значение по трем взаимосвязанным причинам: 1. Линейные системы легко анализировать и эффективно характеризовать. Или, выражая то же с несколько других пози- ций, изучение линейных систем опирается на богатые возможности математики. 2. Многие представляющие интерес физические системы можно достаточно точно аппроксимировать с помощью линейных систем, во всяком случае при достаточно малых входных воздействиях. 3. Относительно просто проектировать и строить физические системы, основанные на линейных моделях и предназначенные для решения разнообразных нетривиальных и важных задач. В конечном счете третья причина, вероятно, является наиболее важной. Перефразируя Вольтера, можно сказать: если бы линей- ных физических систем не было, их необходимо было бы при- думать. Многие изготовители компонентов прилагают немалые усилия, чтобы их изделия имели характеристики, близкие к ли- нейным в возможно более широком диапазоне условий, так как это повышает степень полезности компонентов при создании систем. Импульсная характеристика и интеграл наложения являются исключительно эффективными средствами описания поведения ЛИВ-систем общего типа. Однако наш предыдущий опыт ис- пользования ^-преобразований подсказывает, что методы, от- носящиеся к частотной области, могут оказаться эффективными и в тех случаях, когда система не является каузальной. Подходя- щим инструментом в этом случае является преобразование Фурье — наша следующая тема. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 11 Упражнение 11.1 Система имеет выход у (f) == F [х (/)], равный нулю во все моменты времени, в которые входное воздействие х (t) гуЬ 0. При каждом переходе входного воздей- ствия через нуль соответствующий выход будет содержать импульс, площадь которого равна производной входного воздействия в тот же момент. (Предполо- жим, что все допустимые входные воздействия являются непрерывными функ- циями с непрерывными производными.) а) Изобразите типичный вход и соответствующий ему выход (покажите условно площадь импульса высотой стрелки). б) Покажите, что система является и инвариантной во времени, и одно родной, т. е. F [Кх (01 = K.F [х (f)]. в) Покажите с помощью построения контрпримера по отношению к супер- позиции, что система тем не менее нелинейна. 12 ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЩИХ ЛИВ-СИСТЕМ 12.0. Введение Методы исследования в частотной области, использовавшиеся в данной книге до настоящего момента, были представлены в гла- вах 2 и 8 и основывались на одностороннем ^-преобразовании и одностороннем Z-преобразовании. Ввиду этого их применение автоматически ограничивалось каузальными системами. Кроме того, следует отметить, что в явном виде рассматривались только входные воздействия и системные реакции в области t > 0. Воз- действия, обусловленные входами в моменты t < 0, если такие имели место, описывались через реакцию на начальное состояние при нулевом входном воздействии, т. е. в терминах РНВ. Эффективность методов исследования в частотной области не зависит от особенностей описания состояния и каузальности, однако самым тесным образом связана с концепцией линейности и инвариантности во времени. Ключевую роль в описании линей- ных систем и их сигналов играет осознание того, что если {^ (t)} представляет собой некоторое множество входов, вызывающих известные реакции T); (t) = F [^ (<)], то любое входное воздей- ствие, которое можно представить в виде взвешенной суммы таких входов, x(t)=^x^(t), (12.0.1) будет вызывать реакцию y(t)=F[x(t)]= S^.(0. (12.0.2) Следовательно, принципиальной проблемой при функциональном описании ЛИВ-систем является выбор множества {^i (t}\, так чтобы оно: а) являлось максимально возможным множеством сигналов, которое можно представить в виде (12.0.1); б) отличалось максимальной простотой описания множеств 16i(0) И \r\t{t)}. 12.0. Введение 61 Как мы видели в главах 9 и 11, одним из приемлемых пред- ставлений {Л; (t)} можно считать множество задержанных им- пульсов, однако имеются и другие представления. В частности, для каждой линейной системы (инвариантной во времени или нет) существует специальное множество функций, называемых соб- ственными или характеристическими функциями, которые опре- деляются следующим свойством: (12.0.3) где ^i — постоянные величины, называемые собственными или характеристическими значениями. Для этих специальных вход- ных воздействий выход системы будет представлять собой сигнал той же формы, что и у входного воздействия (они могут разли- чаться лишь постоянным масштабным коэффициентом), и, таким образом, трудность описания множеств {^ (/)} и (т]; (t)} облег- чается наполовину. В общем случае множество функций {S, (/)}, удовлетворяющее условиям (12.0.3), зависит от конкретных свойств системы, заложенных в структуре F [•]. Однако если линейная система вместе с тем инвариантна во времени, то вы- является примечательное свойство систем этого класса: их соб- ственные функции почти не зависят от специфических особенностей конкретной системы: собственные функции любой ЛИВ-системы являются просто комплексными экспоненциальными функциями е^, —оо < t < оо. Различные значения комплексной частоты s соответствуют различным собственным функциям 1). Мы уже по существу доказали этот результат в разд. 3.3 для каузальных цепей со сосредоточенными параметрами, где было продемонстрировано, что реакция на входное воздействие е^и (t) с течением времени приобретает преимущественно вид Н (s) е^ (при условии, что s лежит правее крайнего правого по- люса Н (s), т. е. в области сходимости). Поскольку положение начальной точки отсчета времени для систем, инвариантных во времени, является произвольным, это в принципе означает, что для таких каузальных цепей и комплексной частоты s в обла- сти сходимости реакция на е5', —оо < t < оо (т. е. е^ подается при t = —оо), будет иметь вид Н (s) е^ для любых конечных моментов времени, —оо <; t << оо. Мы можем легко доказать в общем случае существование у каждой произвольной ЛИВ-системы (не обязательно каузальной) собственных функций, воспользовавшись для этой цели интегра- 1) Как будет показано в дальнейшем, существуют определенные ограниче- ния на значения s, при которых exp (si) может быть собственной функцией. Кроме того, имеются особые ситуации, для которых собственными функциями ЛКВ-систем являются более сложные функции, чем простейшие экспоненты. См. задачу 14.14. 62 Глава 12. Частотные методы исследования лом наложения (11.3.11), который был введен для описания таких систем со со У (0 = f х (т) h (t - т) d-с = J h (т) л- (; - т) dr. (12.0.4) —со _со Осуществляя во втором интеграле подстановку х (t) == е^, —оо <; <; t <^ оо, мы получим со Г оо ~l y(t)= J h (т) е5 С-^) dt == J h (т) е-" dT ^ = Я (s) e^, (12.0.5) ——СО |_—00 J где H(s)= J h^e-^dt (12.0.6) является обобщенным представлением системной функции, опре- деленной в разд. 10.1 для каузальных систем как S? [h(t)]. Из выражения (12.0.5) следует, что Н (s) является собственным зна- чением для собственной функции е^. В случае ЛИВ-системы реакцию на любой член множества входных воздействий {е^}, —оо<^<оо, где {sJ является некоторым допустимым множеством комплексных чисел, легко описать, поскольку для этого необходимо знать всего лишь одну функцию Н (s), так как набор реакций имеет вид Н (s,) е^, —оо < < t << оо. Кроме того, учитывая свойство линейности, мы можем сразу же найти, что реакция на любое входное воздействие, кото- рое мы можем записать как х(1)=^Х,е^, -оо«<оо, (12.0.7) имеет следующий вид y(t)= S XiH(Si)es^t, -оо<^<оо. (12.0.8) Идея, положенная в основу уравнений (12.0.5)—(12.0.8), играет в теории систем весьма важную роль, и именно благодаря ей понятие частоты приобрело столь важное значение для при- ложений. (И действительно, инженеры-практики иногда стано- вятся такими рабами понятия частоты, что им оказывается трудно подходить к сигналам как к временным функциям!) С аналити- ческой точки зрения важнейшее преимущество описания систем в частотной области заключается в том, что (как мы это уже за- метили в случае ^-преобразований) системные (передаточные) функции каскадно соединяемых систем можно просто перемножать (что во многих случаях значительно легче представить и оценить, 12.1. Области сходимости для Н (s) 63 чем свертку импульсных характеристик соединяемых систем). Кроме того, свойство est быть собственными функциями ЛИВ-си- стемы предполагает определенный тип разделения сигналов, что имеет фундаментальное значение для обеспечения разнообразия приборов и устройств. Так, например, идея выделения отдельным радиостанциям определенных частотных каналов основывается на том, что передаваемые по ним сигналы не будут смешиваться, распространяясь через общую передающую среду (которая по существу обладает ЛИВ-свойствами), тогда как проблема со спутниками, используемыми в качестве связных трансляторов для одновременного обслуживания ряда абонентов (в режиме мультиплексирования), связана как раз с тем, что такая «пере- дающая среда» обычно не является ни линейной, ни инвариантной во времени. Подход к ЛИВ-системам общего вида, опирающийся на методы анализа в частотной области, представляет собой альтернативу подходу, который мы обсуждали в предыдущей главе и который рассматривал системы во временной области. Рассмотрение системы в частотной области, как мы увидим, часто позволит нам составить более ясные представления о ней, причем и в плане анализа, и в плане синтеза. И, кроме того, взгляд на один и тот же предмет с двух различных сторон скорее всего позволит лучше осмыслить его, чем взгляд всего с одной из них. Нам остается выяснить два вопроса общего характера: 1. Какие ограничения (если таковые есть) налагаются на зна- чения комплексной частоты s, для которых х (t) == е^ •=> у (t) = = Н (s) е"^ 2. Насколько большой класс временных функций х (t) может быть представлен в виде (12.0.7), если на s; будут налагаться надлежащие ограничения? Эти темы и будут являться главными в этой и следующих главах. 12.1. Области сходимости для Н (s) Область s-плоскости, в пределах которой входное воздействие е5', —оо < t < оо, порождает на выходе конкретной ЛИВ-си- стемы реакцию Н (s) е^, —оо <^ t «< оо, является такой областью, в пределах которой интеграл Н (s) = f h (0 е-51 dt существует или в некотором смысле сходится. Легко доказать, что эта область в общем случае представляет собой полосу, парал- лельную /'(о-оси, как показано на рис. 12.1. Либо одна, либо обе границы этой полосы одновременно могут быть в ±оо; существует 64 Глава 12. Частотные методы исследования ju s-плоскость Рис. 12.1. Полоса сходимости в общем случае. также возможность о^ == Од, так что эта полоса превращается в одиночную линию. Некоторые примеры, которые иллюстрируют имеющиеся здесь различные возможности, исследуются в задаче 12.2. Ряд важных специальных случаев заслуживает особого внимания: а) Если функция h (t) каузальная или даже если h (t) просто является правосторонней (т. е. если существует такое Т, не обя- зательно положительное, что h (t) = 0, t <^ Т), то область сходи- мости H (s) будет всегда находиться в правой полуплоскости. б) Аналогично, если Н (s) является левосторонней функцией, область сходимости Н (s) будет находиться в левой полуплоскости. в) Если h (t) — импульс (т. е. одновременно и правосторонняя и левосторонняя функция), областью сходимости Н (s) будет вся s-плоскость. 00 г) Если h (t) имеет О ВО В-устойчивость (т. е. если \h(t}\dt<^ —со << оо), область сходимости Н (s) будет всегда включать jwi-ось. Обобщая результаты обсуждения каузального случая в разд. 3.3, отметим, что попытка воздействовать на систему входным сигна- лом е^, —оо <^ t <^ оо, комплексная частота s которого лежит за пределами полосы сходимости Н (s), вызовет появление «пере- ходного процесса», обусловленного тем, что входное воздействие имеет «начало» и «окончание» при t = ±оо. Такой «переходный процесс» может достигать неограниченно больших значений за конечное время и тем самым решающим образом определять реакцию. Только для значений s, лежащих в области сходимости, е5' является собственной функцией системы. 12.2. Интеграл Фурье Чтобы завершить построение схемы анализа в частотной области, к разработке которой мы приступили в разд. 12.0, мы должны еще ответить на следующие вопросы': а) Насколько велик класс временных функций, которые могут быть представлены в виде взвешенной суммы экспоненциальных функций, а комплексные частоты для которых выбираются из 12.2. Интеграл Фурье 65 области значений, лежащих исключительно в полосе сходимости, определенной в предыдущем разделе? б) Как мы можем определить приемлемые веса? Формулируя эти вопросы в символьной форме, мы пытаемся найти представле- ние для входных временных функций, которые имеют форму уравнения (12.0.7), так что ^(0=ХХ;е5'', -оо<«со, (12.2.1) t где s; ограничиваются значениями из полосы сходимости для системной функции Н (s), т. е. в общем случаео^ < Re [s,] < Од. Можно было ожидать, что наиболее общее представление мы получим, воспользовавшись всеми допустимыми значениями s, и такое представление имело бы вид а, ею x(f)= J do J d(oX(cr, w)e^+W. Ol —CO Однако схемы подобного типа слабо изучены и еще в меньшей степени применяются главным образом по той причине, что в тай- ком обобщении редко кто нуждается 1). Для большинства целей достаточно ограничиться значениями s вдоль прямой, параллель- ной оси /со, т. е. ограничиться представлениями вида 00 x(t)^-^- Jx^o+JaK"0^"^. (12.2.2) '—со (Коэффициент 1/2л вводится исключительно по соображениям последующего удобства.) Уравнение (12.2.2) в принципе аналогично уравнению (12.2.1), т. е. является представлением в виде «суммы» характеристических входов. Если Оо может быть выбрано в пределах полосы сходимости Н (s), т. е. если Oi < < "о < °2> то п0 аналогии с уравнением (12.0.8) мы можем за- писать со у (t) == -^- J Х (сто + /•") Н (ffo + /•») e'°'+/"'' do. (12.2.3) ——00 Другими словами, у (t) можно представить в форме у (t) = -^- J Y (сто + У") ^'+^' dco, (12.2.4) —оо У (Оо + /со) == Х (Оо + /а) Н (OQ + /со). причем ^ == X (Оо + /to) H (Oo + /"). (12.2.5) 1) См однако, W. M. Brown, Analysis of Linear Time-Invariant Systems (New York, NY: Mcnraw-Hill, 1963). 3 Сиберт У. М., ч. 2 66 Глава 12. Частотные методы исследования Это поясняет всю схему, которую мы задумали. В дальнейшем в приложении к гл. 13 будет обсуждено представ- ление, сходное с (12.2.2). В данный момент, однако, мы ограни- чимся случаем, в котором h (t) соответствует устойчивой системе, так что ось /ю находится внутри полосы сходимости, и мы можем выбрать значение Оо = 0. Тогда выражение (12.2.2) приобретает следующий вид: (12.2.6) и в такой форме называется представлением х (t) в виде интеграла Фурье. При операциях с интегралами Фурье для многих целей оказывается удобным выбор / = (о/2л в качестве переменной интегрирования, т. е. частоты в герцах (или числа периодов в се- кунду), а не ю, круговой частоты, выражаемой в радианах в се- кунду, благодаря чему выражение (12.2.6) преобразуется к виду х(0== J X^n^eWdf. (12.2.7) Кроме того, поскольку мы до сих пор еще не определили Х (/2л/), удобно опустить коэффициент /2л и записать предыду- щее выражение просто как ^(0= J X(f)eWdf, (12.2.8) которое в дальнейшем мы будем использовать в качестве основ- ной формы представления функции х (t) в виде интеграла Фурье. По той же причине большего удобства заменим системную функ- цию Н (]ш) = Н (/2л/) на Н (/), опустив коэффициент /2л. Функ- цию Н (/) будем в дальнейшем называть частотной характери- стикой, чтобы отличать ее от системной функции Н (s). С импульс- ной характеристикой h (t) она связана соотношением Я(/)= J h^e-i^dt, (12.2.9) которое существует, если система устойчива. С помощью функций Н (/) и Х (/) мы можем записать DU У(0= J Y(f)eWdf 12.3. Специальный случай — ряд Фурье 67 (12.2.10) Используя одинаковые функциональные обозначения для ча- стотной характеристики Н (f) и системной функции Н (s), мы, конечно, идем на некоторый риск возможного их перепутывания, особенно в связи с тем, что частотная характеристика равна си- стемной функции при замене s на /2л/. Аналогичная возможность для возникновения путаницы существует (если х (t) == 0 для t < 0) между преобразованием Фурье, Х (f), и ^-преобразованием, Х (s), функции х (t). На практике, однако, эти сходные обозна- чения не вызывают тех осложнений, которые можно было бы ожи- дать. Достигнутые нами простота и симметрия в общем и целом стоят того риска, на который мы пошли, предложив эти обозна- чения. А во всех тех сравнительно редких случаях, когда мы хо- тим говорить о частотных характеристиках и системных функциях, а также преобразованиях Фурье и Лапласа в рамках одной и той же задачи, можно просто вернуться к обозначениям Н (/2я/) и X(j2nf}. Наша главная задача в нескольких следующих главах будет состоять в том, чтобы найти те ограничения (если они вообще есть), которые необходимо наложить на классы функций х (t), допускаю- щих представление в виде (12.2.8), а также научиться выбирать приемлемое соответствующее преобразование Фурье X(f). 12.3. Специальный случай—ряд Фурье Наиболее наглядным подходом к пониманию сущности интеграла Фурье можно считать тот, который воспроизводит примерный путь исторического развития этого понятия, т. е. нам целесооб- разно начать с ряда Фурье. В некоторых отношениях идеи, ле- жащие в основе ряда Фурье, восходят к древнему Вавилону 1). В них можно, кроме того, обнаружить заимствования из понятий, которые использовались в циклах и эпициклах астрономической системы Птолемея, и значительную часть соображений о консо- нансах в музыке 2), возможно, связанных еще с именем Пифа- гора. Если перейти ко времени, которое к нам гораздо ближе, то следует отметить, что ряд математиков, работавших в начале XVIII века (включая Л. Эйлера и Д. Бернулли), уже знали сле- дующее: если каким-либо путем установить, что колебание 1) См. G. de Santillana, The Origins of Scientific Thought (Chicago, IL: Uni- versyy of Chicago Press, 1961). 2) Консонанс (созвучие) — слитное, согласованное, одновременное звучание различных тонов, противостоит понятию диссонанса. СЭС. — М.: Сов. энци- клопедия, 1986, с. 620. З* 68 Глава 12. Частотные методы исследования х (t} можно выразить в виде конечной взвешенной суммы гармони- чески связанных между собой синусоид, т. е. если будет известно что ^(O^o+^cos^+J^sin^- (12.3.1) "=1 n=l (где Т — постоянная, смысл которой мы выясним ниже), то в этом случае значения коэффициентов а„ и &„ можно найти из формул г QO= -^-^x(t)dt, (12.3.2) о г a^=-^-^x(t)cos^-dt, т^О, (12.3.3) о г &m== -^-J^) sin -2^-^. / и - 2л/72/ (12.3.4) Эти результаты легко следуют из наблюдения: синусоиды, чьи частоты выражаются целыми числами, кратными некоторой ос- новной частоте /о == 1/Г, образуют множество ортогональных функций 1), т. е. г 2 Г . 2яп< 2nmf „ -у- J sin —у— cos —у— (и = 0 при всех /г, те, (12.3.5) о 2я/я/ т" 0, п^т, 1, га == те^О. (12.3.6) такнмобразом' "ОДетзвляя, например, в правую часть уравнения (12.3.3) разложение х (t) в ряд из (12.3.1) и изменяя порядок ин- ' тегрирования и суммирования, мы найдем, что с учетом (12 35) и (12.3.6) исчезнут все члены ряда, за исключением а^. Очевидно, что в форме ряда (12.3.1) можно представить сиг- налы ограниченного класса. В частности, поскольку ( sin ) [ sin ) cos ("+2-)- ^ ("), к ГЛ11 ^еоипртеское истолкование этого понятия будет дано в приложении 12.3. Специальный случай — ряд Фурье 69 ТО ЯСНО, ЧТО х (t + Т) = х (t), (12.3.7) т. е. х (t) должна быть периодической функцией с периодом Г. (Также очевидно, что любое целое число периодов Г также яв- ляется периодом функции х {t}.) Однако даже среди периодиче- ских функций класс функций х (t), состоящих из конечной сум- мы синусоид, является весьма специальным. Тем не менее Ж. Б. Ж. Фурье ^ в 1807 г. высказал смелое предположение, что бесконечный ряд в форме (12.3.1) может фактически представлять любую произвольную периодическую функцию, причем даже такую, которая содержит разрывы. Более того, он доказал, что коэффициенты разложения такой произвольной функции могут быть найдены по тем же формулам (12.3.2)—(12.3.4), которые используются при представлении функции конечной суммой си- нусоид. Фурье был в большей мере инженером или физиком, чем математиком, ,и его доказательство этих положений не удов- летворило даже современников2). Однако вскоре стало ясно, что он скорее прав, чем ошибается, хотя прошло много лет, прежде чем вся проблема полностью прояснилась3). Действительно, изучение рядов Фурье оказалось одной из наиболее плодотвор- ных глав в истории математики 4) и привело к важнейшим резуль- татам, включая радикальный пересмотр понятий функции и схо- димости. Однако, прежде чем глубже погрузиться во все эти во- просы, мы на примере покажем, что по крайней мере в некоторых 1) Книга J. В. J. Fourier, Theorie Analytique de la Chaleur была впервые опубликована в 1822 г. Недавнее издание на английском языке выпущено аме- риканским издательством «Доуэр» (Нью-Йорк). 2) Фурье изложил свои идеи в конкурсной работе по теории теплоты, пред- ставленной во Французскую академию. Жюри — в его состав входила «прослав- ленная троица» Лаплас, Лагранж и Лежандр — пришло к согласию о присужде- нии Фурье премии, однако указало на отсутствие строгости в математических методах, которые он использовал. С позиций нашего современного понимания относительно порядка бесконечных величин теперь легко видеть, что исходное утверждение Фурье можно сформулировать корректно, но для этого необходимо наложить определенные ограничения на функцию х (<), поскольку число точек, в которых производится независимое определение х (t) в пределах периода 0 < < « Т, представляет собой несчетное множество, тогда как ряд (12.3.1) при N —>- оо содержит число независимых коэффициентов, являющееся счетным мно- жеством. Между прочим основатель теории бесконечных множеств Г. Кантор пришел к своим результатам благодаря своим ранним исследованиям рядов Фурье. 3) Первое строгое доказательство версии теоремы Фурье было дано Дирихле в 1829 г. Исчерпывающее обсуждение всей этой проблемы могло состояться лишь в начале нашего столетия, когда была развита теория интеграла Лебега, т. е. почти сто лет спустя после того, как впервые была сформулирована «тео- рема» Фурье. Исследование рядов Фурье и в настоящее время остается активной ветвью математики. 4) См., например. Н. S. Carslaw, Introduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals (London: Macmillan, 1930), pp. 1—3U. 70 Глава 12. Частотные методы исследования случаях ряд Фурье, по всей видимости, фактически сходится к функции х (t), разложением которой он является, хотя сама функция х (t) вовсе и не имеет той гладкости, которой как будто должна обладать сумма синусоид. Пример 12.3.1 Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, которая изображена на рис. 12.2. Основная частота 4<(/) -Т/4 774 Т Рис. 12.2. Периодическая прямоугольная волна. для нее равна /о == 1/7' Гц. Поскольку sin (2nnt/T) является не- четной функцией, а х (t) — четной, все коэффициенты Ьт в (12.3.4) будут равны нулю. Однако 772 774 ао=-у- ^ x(t)dt==-^- J 1^=4-- —Г/2 —Г/4 (Обратите внимание на то, что, поскольку функция х (t) является периодической, пределами для интегралов в (12.3.2)—(12.3.4) могут быть границы любого подходящего периода, например (—Г/2) и Т/2, а не обязательно 0 и Т.) Кроме того, для m -^= 0 имеем Г/2 774 2 Г ,,. 2лт1 „ 2 f 2nmt „ am=-J- j x (t) cos -J— dt == -y- j cos-y—d/= -772 r Inrnt 774 -774 sin Г 2wn "" Г 3 /_J\{yn—l)/2 sin Л/П -774 m = 1, 3, 5, ..., О, т = 2, 4, 6, .. Ряд Фурье для этой функции х (t) имеет вид Innt ~Т~~ 2(_1)(п-1)/2 -cos 1,2 2эт< ^+-„-COS-y- 2 Зя cos ^+——cos 2 5ii 10п< /10 ч й\ i»^.^.i_ii 12.4. Другие формы ряда Фурье -Г/2 Г/2 71 ^•^--•«^^ II ^-~^^'«7 .С1-"/2 2яп< cos Рис. 12.3. Частичные суммы ряда Фурье для функции рис. 12.2. { 2 (—!)<''- nn xi (<)=-§-+ ^ n==l n нечетн. На рис. 12.3 показано, как частичные суммы сходятся к х (t). На каждом очередном графике представлена предыдущая частич- ная сумма, что дает возможность оценить эффект добавляемого члена ряда. 12.4. Другие формы ряда Фурье. Спектр Форма ряда Фурье, описываемая выражением Vi Innt , \л, , 2яга< x{t)=ao+.^anWS—j—+ ^bnsin-y-, n=l "=1 где ао = 2nn< cos ~т~ On \Ьп \dt, п>1, sin Innt Т (12.4.1) (12.4.2) (12.4.3) 72 Глава 12. Частотные методы исследования называется тригонометрической. Это, вероятно, наиболее распро- страненное представление ряда, однако имеются и другие, ко- торые часто оказываются более полезными. Одно из важнейших среди них — это амплитудно-фазовая форма, которая построена Znnt , . . 2nnt на основе того, что а„ cos —„— + On sin --— можно также запи- сать и как с„ cos (-п— — бд), так что выражение (12.4.1) при- обретает вид (12.4.4) (12.4.5) (12.4.6) ^)=.,+;![^cos(^--9„), n=l ,2 П» Сп = V On + b', On = arctg (un/Qn), b. где то есть a„==c„cos9n, Ь„ == Сд sin 9„. (12.4.7) Однако, возможно, простейшей и наиболее полезной формой за- писи ряда Фурье — той, которой мы в дальнейшем будем пользо- ваться почти исключительно, — является экспоненциальная форма1) __ x(t)== S X [п] е/2""'/7', П==в-.оо 772 Х[п}=^- J x{f)e-i^/Tdt. -Т 14. (12.4.8) (12.4.9) При использовании экспоненциальной формы для определе-, ния коэффициентов ряда необходим всего один интеграл, однако следует обратить внимание на то, что сумма в (12.4.8) охватывает не только положительные значения п, но и отрицательные (отри- цательные «частоты»!). Однако, если функция х (t) является ве- щественной (как мы молчаливо предполагали уже ранее), тогда из (12.4.9) сразу же следует, что Х [—п] — величина, комплексно сопряженная с Х [п]: Х [—п] = X* [га]. (12.4.10) Таким образом, комплексные амплитуды компонент с отрицатель- ной частотой определяются амплитудами компонент с положитель- ной частотой. Путем сравнения с ранее полученными результа- !) Как и прежде, квадратные скобки в Х In] указывают, что переменная я принимает только целочисленные значения. 12.4. Другие формы ряда Фурье 73 тами для п ^- 0 мы можем легко установить следующие соотно- шения: йо=^[0], с„=2|Х[га]|,^ a„=2Re[X[ra]], ra^O, e„--argX[ra], X И =-^n -/frn) =-^-с„е /en- (12.4.11) В случае комплексных функций х (t) тригонометрическая и ам- плитудно-фазовая формы ряда Фурье используются чрезвычайно редко, тогда как экспоненциальная форма (12.4.8) очень хорошо согласуется с комплексными сигналами (естественно, в этом слу- чае соотношение (12.4.10) теряет свою справедливость). Пример 12.4.1 Для колебания прямоугольной формы из примера 12.3.1 с уче- том (12.4.9) можно записать Г/4 Г/4 Х[га]=4- [ \e-^Wdt=^(-——)e-l^lT \ f74 . [g-/nn/2 _ е/л"/2] = -Г/4 -t/ _ 1 — —/2пп (1)<"-')/2 -, " нечетщ ЯП 0, п четное, 1/2, п =0. (_1)("-1)/2 ЯП ' ==1 0, п четное, п^О, Если принять во внимание соотношения (12.4.11), то увидим, что эти результаты находятся в согласии с аналогичными резуль- татами, которые были получены в примере 12.3.1. * * * Множество коэффициентов ряда Фурье (X [п]} в (12.4.9) в совокупности образует спектр функции х (t), и процесс их оп- ределения носит название спектрального анализа 1). В частности, Х [0 ] является средним значением функции х (t) или ее значе- 1) Слово «спектр» было введено в физику Ньютоном (1664 г.) при описании анализа разложения призмой света на его цветовые компоненты или частоты. Термин используется в математической и физической литературе в несколько различных смыслах для обозначения множеств {X [п]}, [\ Х [п]|}== ^п}. (| Х [п] |2} и т. д. В данной книге «спектр» без всяких прилагательных модифи- цирующего толка будет, как правило, относиться к множеству комплексных амплитуд {Л' [п]}; другие типы спектров будут обозначаться такими терминами, как «амплитудный спектр» и «спектр мощности». эпилог «Начни с начала и продолжай, пока не дойдешь до конца, после этого остановись», — так Король Сердец объяснял Белому Кролику, как читать стихотворение. Подобно стихотворениям, книги имеют последовательную структуру, свои начало и конец. Это последний раздел данной книги. Однако теория систем и сиг- налов, как мы узнали, — это не просто последовательное изло- жение различных тем. Она содержит многочисленные замкнутые контуры и разветвления, множество параллельных и пересека- ющихся путей. Большинство идей связано прямо или косвенно с многими другими. Не существует простой последовательной процедуры, с помощью которой можно было бы систематически изучить и усвоить эту многомерную иерархию. Здесь нет ни начала, ни конца. Нельзя полностью усвоить одну тему, не ка- саясь остальных. И поэтому мы должны периодически возвра- щаться назад, чтобы проанализировать прежние концепции с но- вой, более выгодной позиции. Если вам пришлось по душе введе- ние в эту захватывающую область, я надеюсь, что у вас в будущем будет множество поводов вновь обратиться к книге и пополнить знания, касающиеся цепей, сигналов и систем. ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Автокорреляционная функция 173, 212, 307 Амплитудная модуляция 216 — — коэффициент полезного действия 227, 246 Амплитудные искажения 177 Аналитический сигнал 236 Андронов А. А. 6 Ансамбль сигналов 302 Антенны, ограничения апертуры, уси- ления, диаграммы направленности 205, 210 Балансный модулятор 250 Беккенбах Э. 157 Беллман Р. 157 Бесселя неравенство 155 Билинейное преобразование 296 Боде X. В. 178 Боковые полосы 223 Бройль, Луи де 199 Буняковского—Шварца неравенство 157 Бурлинга теорема 251 Быстрое преобразование Фурье (БПФ) 287, 301 Вайнштейн Л. А. 241 Ван-Миеро С. 340 Векторы — как представление сигналов 151 — нормированные 151 — ортогональные 151 — скалярное произведение 156 Вероятность 303, 315 Взаимно корреляционные функции 320 Вивер Д. К- 252 Винер Н. 180, 333 Витт А. А. 6 Вносимые потери 177 Возенкрафт Дж. 143 Время нарастания 179, 193, 198 Выброс 179, 185 Гармонический анализ 74 Гауссовская функция 102, 123, 125, 200, 203 Гельфанд И. М. 10 Генератор местный 220 — управляемый напряжением 243, 255 Гетеродинирование 229 Гиббс Дж. В. 187 — явление 187 Гильберта преобразование 184, 233 Г рама—Шмидта процедура 152 Грея код 348 Грина метод, функция 22 Групповая задержка 259 Гуд А. Дж. 287 Двустороннее Z-преобразование 266 Девиация частоты 240 Дезоер Ч. 181 Делорайн Е. М. 340 Дельта-модуляция 340 Демодулятор 217 — детектор произведения 217 Дерьявич Б. 340 Детектор 217 — гомодинный 217 —синхронный 217, 227 Децимация 294 Джекобс И. 143 Дирак П. А. М. 11 Дирихле П. Г. 69, 104 — ядро 186 Дискриминатор 244 Дифференцирующая схема 77 Диффузионное уравнение 46 Длительность 193 Достаточность действительной части 192 Дуальности принцип 100 Дублеты 33 354 Предметно-именной указатель — преобразование Лапласа 35 Дюамеля интеграл 49 Единичная ступенчатая функция, ин- теграл от единичного импульса 13 — — — преобразование Фурье 111 Заде Л. 181 Задержка 175, 193, 195 — групповая и фазовая 259 Затухания уровень 177 Зеркальный сигнал 231 Зобель 178 Зо.имерфельд А. 198 Идеальный усилитель 23 — — импульсная характеристика 23 Импульс — амплитудно-импульсная модуляция 344 — боковые лепестки 209 —кодово-импульсная модуляция 146, 347 — последовательности 26, 133 — разрешение 206 — системы передачи данных 204 — фазово-импульсная модуляция 145, 349 — формирующий фильтр 145 Импульсная функция 5 и далее — — изменение временной шкалы 14 — — изменение начального состоя- ния 30 — — как производная единичной сту- пенчатой функции 13 — — определяющее свойство 11 — — преобразование Лапласа 16 — — производная 36 — — свертка 27 — — свертка последовательности 29 Импульсная характеристика — — БИХ 278 — — в качестве РНВ 31 — — КИХ 277, 283 Интеграл наложения 21 Интегральный синус 185 Интегратор с конечным временем ин- тегрирования 25 Интерференция межсимвольная 145, 206 Информации теория 343 Канал 218 — пропускная способность 343 Кантор Г. 69 Карм эффективность 335 Карсон Дж. Р. 140, 231, 241, 243 Каузальность (причинность) 180, 183 Кауэр В. 178 Квадратурные компоненты 235 — модуляция 247 — уплотнение 221 Квантование 338 Коды с исправлением ошибок 147 Колмогоров А. Н. 151 Компандирование 228 Комплексная огибающая 235 Конечная импульсная характеристика (КИХ) 277, 283 Корректирующие цепи 177 Костас Дж. 256 Котельников В. А. 140 Коуд Дж. 30 Коши О. Л. 111, 140 Кули Дж. 286 Кэмпбелл Г. 178 — теорема 324 Лагерра функции 172 Лагранж Ж. Л. 69 Ландау X. Л. 143 Лаплас Л. С. 69 — двустороннее преобразование 121 Лежандр А. М. 69 Линия задержки — — идеальная, импульсная ха- рактеристика 23 — — с отводами 24 Ляпунова теорема 203 Магнус В. 118 Мгновенная частота 239 Модулятор 216 — балансный 250 Модуляция — амплитудное ограничение 226 — амплитудно-импульсная 344 — — — однополосная 234 — — — — с подавленной несущей 231 — кодово-импульсная 347 — дельта-340 — коэффициент 238 — линейная 225 — перемодуляция 224, 226 — фазовая (угловая) 238 — фазоимпульсная 349 — частотная 238 Моменты импульсных характеристик 195—197 Музыкальный сигнал 223 Мэйсон С. Дж. 10 Предметно-именной указатель Наложения эффект 142 Неопределенности принцип 199 Непрозрачности полоса 176 Несущая частота 217, 223 Нечетно-гармоническая функция' 75 Ньютон И. 73 Оберхеттингер Ф. 118 Область сходимости 63 Обобщенные функции 10 — — преобразование Фурье 105 Огибающая 217, 235 — детектор 221 — комплексная 235 Ограничитель 244 Окна Бартлетта 276 — функция 275 Оппенгейм А. В. 279 Оптические системы, ограничения раз- решающей способности 206 Ортогональные функции 68 Основная частота 68 Отсчетов теорема 139 Ошибка — интегральная квадратическая 116 — минимальная среднеквадратиче- ская 159 — среднеквадратическая 159 Параметрическое усиление 262 Парсеваля теорема 83, 115, 155, 159 — — ДВПФ-версия 291 — — ДПФ-версия 299 Переходная полоса конечной вели- чины 177 — проводимость 49 — характеристика 49 Период 70 — основной гармоники 74 Пик-фактор 227, 246 Пифагор 67 Повышенная частота отсчетов 144 Поллак X. О. 143 Полоса пропускания 176 Полосовой процесс 215 — фильтр 176 Помехи перекрестные 219 Пороговый эффект 351 Преобразование — аналого-цифровое (АЦП) 273 — цифро-аналоговое (ЦАП) 274 Приемник — прямого усиления 230 — супергетеродинный 229 Приподнятый косинусоидальный им- пульс 209 Проверка на четность 341 Произведение длительности на ши- рину полосы 195 Птолемей 67 Пуассон С. Д. 111 — интеграл 22 Пульсации 177 Пзли—Винера теорема 181 Распределения 10 Рациональные функции — — неправильные, преобразование 37 Реакция на единичный импульс 9 Рунге Р. 287 Рэлей Дж. У. 115, 261 Свертка — круговая 276 — теорема преобразования Фурье 113 Сглаживания эффект 6 Системы связи, радиовещание и маги- стральная (направленная) связь 287 Скорость передачи двоичной информа- ции 204 Сигналы — аналитические 236 — зеркальные 231 — речевые, музыкальные, видео 223 — случайные 303, 316 — «ступенчатой формы» 25 Симметрии принцип 100 Система, меняющаяся во времени 22 Совер 74 Согласование импульсов 38 Сопряженная симметрия 98 Спектр 73 — двусторонний или односторонний 194 — дискретный или линейчатый 74 — плотность мощности 306 325 Спектральная плотность 96 — — мощности 306, 325 Спектральные представления речевого сигнала 205 Спектральный анализ 73, 75 Среднеквадратическая величина 82 Статистическая регулярность 312 Степени свободы 142 Стробирование 175 Стробоскопический осциллограф 168 «Ступенчатой формы» сигнал 25 Схема запоминания нулевого порядка 25 356 Предметно-именной указатель Тепловой шум 327 Титчмарш Е. 104, 123 Томас Л. 287 Триплет 36 Узкополосные процессы (колебания) 217, 233 Уплотнение (мультиплексирование) — квадратурное 221 — по'времени 144 — частотное 218 Усилитель — высокой частоты 230 — идеальный, импульсная характе- ристика 23 — параметрический 262 — промежуточной частоты 231 Фазовая — автоподстройка частоты (ФАПЧ) 221, 223, 244, 255 — задержка 259 — искажения 177 — модуляция 238 Фармер М. Б. 144 Фейера ядро 188, 207 Фильтр 175 — амплитудные и фазовые искажения 177 — Баттерворта 182, 200, 278 — верхних частот 176 — вносимые потери 177 — дискретный во времени (ДВ) 273 — идеальный нижних частот 176 — интерполирующий (сглаживающий) 25 — Калмана 333 — неискажающий 177 — переходная полоса 177 — полоса непрозрачности 176 — полосовой — пульсации 177 — с ограниченной полосой пропуска- ния 116 — уровень затухания 177 — формирующий 145 — частота среза 177 Фильтрующее свойство 130 Фомин С. В. 151 Фостер Р. М. 178 Функция, почти периодическая 116 Фурье Ж. Б. Ж. 69 — интеграл 66, 96 — преобразование 95 — — свойства 120 — — сопряженная симметрия 98 — — таблица 119 — ряд 67, 94, 136, 147, 154 — — амплитудно-фазовая форма 72 — — измерение коэффициентов 81 — — тригонометрическая форма 72 — — экспоненциальная форма 72 — теорема 96 Хайкин С. Э. 6 Характеристическая (собственная) функция 61, 265 — — — значение 61, 265 , Хартли Р. В. Л. 88, 124, 140, 233 Хевисайд О. 11, 15 Хургин Я- И. 170 Хэмминг Р. В. 209 — импульс 209 Хэннинга окно 209 Центральная предельная теорема 203 Цифровое преобразование 337 Частота — дискриминатор 244 — мультиплексирование с частотным уплотнением 63, 218 — основная 68 — преобразователь 228 — сдвиг 175 Частотная модуляция (ЧМ) 145, 238 — — стереофоническая система с уп- лотнением 257 — — узкополосная —— широкополосная 241, 243 — манипуляция 242 — характеристика 66 Чезаро интерпретация несобственного интеграла 188 Шафер Р. В. 279 Шварц Л. 21 Шеннон К. 140, 343 Шилов Г. Е, 10 Широкополосные процессы 217 Штейнера симметризация 214 Шум — белый 322, 327 — дробовой 327 — полоса 130, 213 — тепловой 327 Энергетический спектр 115 Энергия 115 Эхо-сигнал 298 Яковлев В. П. 170 СОДЕРЖАНИЕ 11. ИМПУЛЬСЫ И ИНТЕГРАЛ НАЛОЖЕНИЯ .......... 5 11.0. Введение ......................... 5 11.1. Эффект сглаживания, создаваемый физическими системами. . 6 11.2. Импульсы и их основные свойства ............. 10 11.3. ЛИВ-системы общего вида; интеграл наложения. ...... 17 11.4. Импульсы и мгновенные изменения начального состояния. . . 30 11.5. Дублеты и другие обобщенные функции; согласование импуль- сов ............................ 33 11.6. Выводы .......................... 40 Упражнения к главе 11 .................... 41 Задачи к главе 11 ....................... 45 12. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЩИХ ЛИВ-СИ- СТЕМ ............................. 60 12.0. Введение ......................... 60 12.1. Области сходимости для Н (s) ............... 63 12.2. Интеграл Фурье ..................... 64 12.3. Специальный случай — ряд Фурье ............. 67 12.4. Другие формы ряда Фурье. Спектр ............ 71 12.5. Усреднение периодических функций. Теорема Парсеваля ... 80 12.6. Выводы .......................... 84 Упражнения к главе 12 .................... 85 Задачи к главе 12 ....................... 86 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА ФУРЬЕ ...... 93 13.0. Введение ......................... 93 13.1. Переход от ряда Фурье к интегралу Фурье ........ 94 13.2. Более строгие формулировки теоремы Фурье ........ 103 13.3. Примеры применения теоремы Фурье; сингулярные функции 106 13.4. Свойство свертки в преобразованиях Фурье. ........ 112 13.5. Выводы .......................... 117 Приложение А к главе 13 ................... 118 Приложение Б к главе 13 ................... 121 Упражнения к главе 13 .................... 123 Задачи к главе 13 ....................... 124 14. ОТСЧЕТЫ ВО ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ. . . 133 14.0. Введение .......................... 133 14.1. Периодическая импульсная последовательность ....... 133 358 Содержание 14.2. Преобразование Фурье периодических функций. Другое пред- ставление ряда Фурье ................... 135 14.3. Теорема отсчетов ..................... 139 14.4. Системы с импульсной модуляцией ............. 144 14.5. Дискретное во времени преобразование Фурье. ....... 147 14.6. Выводы .......................... 150 Приложение к главе 14 ..................... 151 Упражнения к главе 14 .................... 160 Задачи к главе 14 ....................... 162 15. ФИЛЬТРЫ, РЕАЛЬНЫЕ И ИДЕАЛЬНЫЕ ........... 175 15.0. Введение ......................... 175 15.1. Идеальные фильтру .................... 176 15.2. Условие причинности и преобразование Гильберта ...... 179 15 3. Переходная характеристика идеального фильтра и явление Гиббса .......................... 184 15.4. Выводы .......................... 188 Упражнения к главе 15 .................... 189 Задачи к главе 15 ....................... 190 16. СООТНОШЕНИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ-ПОЛОСА И ПРИНЦИП НЕ- ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ...................... 193 16.0. Введение ......................... 193 16.1. Определения задержки, времени нарастания, длительности и полосы ......................... 193 16.2. Значение принципа неопределенности. Импульсная разреша- ющая способность ..................... 204 16.3. Выводы .......................... 210 Упражнения к главе 16 .................... 211 Задачи к главе 16 ....................... 211 17. ПОЛОСОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ И СИСТЕМЫ С АНАЛОГОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ................ 215 17.0. Введение ......................... 215 17.1. Амплитудная модуляция .................. 216 17.2. Смесители и супергетеродинные приемники ......... 228 17.3. Однополосная модуляция; обобщенное представление узкопо- лосного сигнала ....................... 231 17.4. Фазовая и частотная модуляция .............. 238 17.5. Выводы .......................... 245 Упражнения к главе 17 .................... 246 Задачи к главе 17 ....................... 247 18. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В СИСТЕМАХ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ .......................... 264 18.0. Введение ......................... 264 18.1. Свойства дискретного во времени преобразования Фурье, . . 266 18.2. Фильтры с дискретным временем .............. 272 18.3. Дискретный во времени ряд Фурье и дискретное преобразо- вание Фурье (ДПФ) .................... 280 18.4. Свойства дискретного во времени ряда Фурье и дискретного преобразования Фурье ................... 285 18.5. Выводы .......................... 288 Упражнения к главе 18 .................... 291 Задачи к главе 18 ....................... 292 Содержание 359 19. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ ..... 302 19.0. Введение ......................... 302 19.1. Средние для периодических функций ............ 305 19.2. Свойства средних на бесконечном временном интервале. . . 312 19.3. Вероятностные модели простых случайных процессов. . . . 317 19.4. Выводы .......................... 329 Задачи к главе 19 ....................... 329 20. СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ .............. 336 20.0. Введение ......................... 336 20.1. Дискретизация и квантование ............... 337 20.2. Коды с исправлением ошибок ............... 341 20.3. Модуляция и детектирование ............... 343 20.3.1. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) 344 20.3.2. Кодово-импульсная модуляция (КИМ) ........ 347 20.3.3. Фазоимпульсная модуляция (ФИМ) ......... 349 20.4. Выводы .......................... 350 Эпилог ............................. 352 Учебное издание Уильям Макконвей Сиберт ЦЕПИ, СИГНАЛЫ, СИСТЕМЫ В двух частях Ч. 2 Зав. редакцией Ю. А. Кузьмин Научный редактор Т. Г. Хохлова Мл. редакторы: И. А. Гревцова, Т. В. Ежкова Художник А. Д. Смеляков Художественные редакторы: М. Н. Кузьмина, Н. И. Заботина Технический редактор Т. А. Мирошина Корректор Н. А. Гиря ИБ № 6447 Сдано в набор 08.01.88. Подписано к печати 20.09.88. Формат BOXSOVn. Бумага тип № 1 , Печать офсетная. Гарнитура литературная. Объем бум. л. 11,25. Усл. печ. л. 22,50. Усл. кр.-отт. 22,50. Уч.-изд. л. 22,33. Изд. № 8/5613. Тираж 37000 экз. Зак. 367. Цена 2 руб. 10 коп „> ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» В/о «Совэкспорткнига» Государственного ко- митета СССР по делам издательств, полиграфин и книжной торговли, 129820, ГСП Москва И-110, 1-й Рижский пер., 2 Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10. Circuits, Signals, and Systems William McC. Siebert The MIT Press Cambridge, Massachusetts London, England McGraw-Hill Book Company New York St. Louis San Francisco Montreai Toronto У. M. Сиберт -Цепи сигналь системы В двух частях Перевод с английского Э. Я. ПАСТРОНА, канд. техн. наук В. А. УСИКА под редакцией д-ра техн. наук И. С. РЫЖАКА Москва «Мир» 1988